Προετοιμασία για την Ενιαία Κρατική Εξέταση. Επίλυση λογαριθμικών και εκθετικών ανισώσεων με τη μέθοδο εξορθολογισμού. Εργασία Manovskaya "λογαριθμικές ανισότητες στην Ενιαία Κρατική Εξέταση" Λύση προφίλ λογαριθμικών ανισώσεων Ενιαίας Πολιτικής Εξέτασης

Ενότητες: Μαθηματικά

Συχνά, όταν αποφασίζετε λογαριθμικές ανισότητες, υπάρχουν προβλήματα με μια μεταβλητή βάση λογάριθμου. Έτσι, μια ανισότητα της μορφής

είναι μια τυπική σχολική ανισότητα. Κατά κανόνα, για την επίλυσή του, χρησιμοποιείται μια μετάβαση σε ένα ισοδύναμο σύνολο συστημάτων:

Το μειονέκτημα αυτής της μεθόδου είναι η ανάγκη επίλυσης επτά ανισοτήτων, χωρίς να υπολογίζονται δύο συστήματα και ένας πληθυσμός. Ήδη με αυτές τις τετραγωνικές συναρτήσεις, η επίλυση του πληθυσμού μπορεί να πάρει πολύ χρόνο.

Είναι δυνατό να προταθεί ένας εναλλακτικός, λιγότερο χρονοβόρος τρόπος για την επίλυση αυτής της τυπικής ανισότητας. Για να γίνει αυτό, λαμβάνουμε υπόψη το ακόλουθο θεώρημα.

Θεώρημα 1. Έστω μια συνεχής αύξουσα συνάρτηση σε ένα σύνολο Χ. Τότε σε αυτό το σύνολο το πρόσημο της αύξησης της συνάρτησης θα συμπίπτει με το πρόσημο της αύξησης του ορίσματος, δηλ. , Οπου .

Σημείωση: εάν μια συνεχής φθίνουσα συνάρτηση σε ένα σύνολο X, τότε .

Ας επιστρέψουμε στην ανισότητα. Ας προχωρήσουμε στον δεκαδικό λογάριθμο (μπορείτε να προχωρήσετε σε οποιονδήποτε με σταθερή βάση μεγαλύτερη από μία).

Τώρα μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το θεώρημα, παρατηρώντας την αύξηση των συναρτήσεων στον αριθμητή και στον παρονομαστή. Άρα είναι αλήθεια

Ως αποτέλεσμα, ο αριθμός των υπολογισμών που οδηγούν στην απάντηση μειώνεται περίπου στο μισό, γεγονός που εξοικονομεί όχι μόνο χρόνο, αλλά σας επιτρέπει επίσης να κάνετε λιγότερα αριθμητικά και απρόσεκτα λάθη.

Παράδειγμα 1.

Συγκρίνοντας με το (1) βρίσκουμε , , .

Προχωρώντας στο (2) θα έχουμε:

Παράδειγμα 2.

Συγκρίνοντας με το (1) βρίσκουμε , , .

Προχωρώντας στο (2) θα έχουμε:

Παράδειγμα 3.

Δεδομένου ότι η αριστερή πλευρά της ανισότητας είναι μια αυξανόμενη συνάρτηση ως και , τότε η απάντηση θα είναι πολλές.

Τα πολλά παραδείγματα στα οποία μπορεί να εφαρμοστεί το Θέμα 1 μπορούν εύκολα να επεκταθούν λαμβάνοντας υπόψη το Θέμα 2.

Αφήστε στο σετ Χορίζονται οι συναρτήσεις , , , και σε αυτό το σύνολο τα πρόσημα και συμπίπτουν, δηλ. , τότε θα είναι δίκαιο.

Παράδειγμα 4.

Παράδειγμα 5.

Με την τυπική προσέγγιση, το παράδειγμα επιλύεται σύμφωνα με το ακόλουθο σχήμα: το γινόμενο είναι μικρότερο από το μηδέν όταν οι συντελεστές έχουν διαφορετικά πρόσημα. Εκείνοι. εξετάζεται ένα σύνολο δύο συστημάτων ανισοτήτων, στα οποία, όπως αναφέρθηκε στην αρχή, κάθε ανισότητα αναλύεται σε επτά ακόμη.

Αν λάβουμε υπόψη το θεώρημα 2, τότε καθένας από τους παράγοντες, λαμβάνοντας υπόψη τον (2), μπορεί να αντικατασταθεί από μια άλλη συνάρτηση που έχει το ίδιο πρόσημο σε αυτό το παράδειγμα O.D.Z.

Η μέθοδος αντικατάστασης της αύξησης μιας συνάρτησης με μια αύξηση του ορίσματος, λαμβάνοντας υπόψη το Θεώρημα 2, αποδεικνύεται πολύ βολική κατά την επίλυση τυπικών προβλημάτων εξέτασης ενοποιημένης κατάστασης C3.

Παράδειγμα 6.

Παράδειγμα 7.

. Ας υποδηλώσουμε . Παίρνουμε

. Σημειώστε ότι η αντικατάσταση συνεπάγεται: . Επιστρέφοντας στην εξίσωση, παίρνουμε .

Παράδειγμα 8.

Στα θεωρήματα που χρησιμοποιούμε δεν υπάρχουν περιορισμοί σε κατηγορίες συναρτήσεων. Σε αυτό το άρθρο, για παράδειγμα, τα θεωρήματα εφαρμόστηκαν για την επίλυση λογαριθμικών ανισώσεων. Τα ακόλουθα πολλά παραδείγματα θα καταδείξουν την υπόσχεση της μεθόδου για την επίλυση άλλων τύπων ανισοτήτων.

ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΣΤΗ ΧΡΗΣΗ

Σετσίν Μιχαήλ Αλεξάντροβιτς

Μικρή Ακαδημία Επιστημών για Φοιτητές της Δημοκρατίας του Καζακστάν "Iskatel"

MBOU "Sovetskaya Secondary School No. 1", 11η τάξη, πόλη. Συνοικία Sovetsky Sovetsky

Gunko Lyudmila Dmitrievna, δασκάλα του Δημοτικού Προϋπολογισμού Εκπαιδευτικού Ιδρύματος "Sovetskaya Secondary School No. 1"

Περιοχή Σοβέτσκι

Στόχος της εργασίας:μελέτη του μηχανισμού επίλυσης λογαριθμικών ανισώσεων C3 με χρήση μη τυπικών μεθόδων, προσδιορισμός ενδιαφέροντα γεγονόταλογάριθμος

Αντικείμενο μελέτης:

3) Μάθετε να επιλύετε συγκεκριμένες λογαριθμικές ανισώσεις C3 χρησιμοποιώντας μη τυπικές μεθόδους.

Αποτελέσματα:

Περιεχόμενο

Εισαγωγή…………………………………………………………………………………….4

Κεφάλαιο 1. Ιστορικό του θέματος………………………………………………………………………

Κεφάλαιο 2. Συλλογή λογαριθμικών ανισώσεων ……………………………… 7

2.1. Ισοδύναμες μεταβάσεις και η γενικευμένη μέθοδος διαστημάτων……………… 7

2.2. Μέθοδος εξορθολογισμού………………………………………………………………… 15

2.3. Μη τυπική αντικατάσταση……………………………………………………… ............. 22

2.4. Εργασίες με παγίδες………………………………………………………27

Συμπέρασμα…………………………………………………………………………………… 30

Βιβλιογραφία……………………………………………………………………. 31

Εισαγωγή

Είμαι στην 11η δημοτικού και σκοπεύω να μπω σε ένα πανεπιστήμιο όπου το βασικό μάθημα είναι τα μαθηματικά. Γι' αυτό εργάζομαι πολύ με προβλήματα στο μέρος Γ. Στην εργασία Γ3, πρέπει να λύσω μια μη τυπική ανισότητα ή σύστημα ανισώσεων, που συνήθως σχετίζεται με λογάριθμους. Κατά την προετοιμασία για την εξέταση, αντιμετώπισα το πρόβλημα της έλλειψης μεθόδων και τεχνικών για την επίλυση λογαριθμικών ανισοτήτων εξετάσεων που προσφέρονται στο C3. Οι μέθοδοι που μελετώνται στο σχολικό πρόγραμμα σπουδών για αυτό το θέμα δεν παρέχουν βάση για την επίλυση εργασιών Γ3. Η καθηγήτρια μαθηματικών μου πρότεινε να δουλέψω στις εργασίες Γ3 ανεξάρτητα υπό την καθοδήγησή της. Επιπλέον, με ενδιέφερε το ερώτημα: συναντάμε λογάριθμους στη ζωή μας;

Με αυτό το σκεπτικό επιλέχθηκε το θέμα:

«Λογαριθμικές ανισότητες στην Ενιαία Κρατική Εξέταση»

Στόχος της εργασίας:μελέτη του μηχανισμού επίλυσης προβλημάτων C3 με χρήση μη τυπικών μεθόδων, εντοπίζοντας ενδιαφέροντα στοιχεία για τον λογάριθμο.

Αντικείμενο μελέτης:

1) Βρείτε τις απαραίτητες πληροφορίες σχετικά με μη τυπικές μεθόδους επίλυσης λογαριθμικών ανισώσεων.

2) Βρείτε επιπλέον πληροφορίες για τους λογάριθμους.

3) Μάθετε να επιλύετε συγκεκριμένα προβλήματα C3 χρησιμοποιώντας μη τυπικές μεθόδους.

Αποτελέσματα:

Η πρακτική σημασία έγκειται στην επέκταση της συσκευής για την επίλυση προβλημάτων C3. Αυτό το υλικό μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε ορισμένα μαθήματα, για συλλόγους και μαθήματα επιλογής μαθηματικών.

Το προϊόν του έργου θα είναι η συλλογή "C3 Logarithmic Inequalities with Solutions".

Κεφάλαιο 1. Ιστορικό

Καθ' όλη τη διάρκεια του 16ου αιώνα, ο αριθμός των κατά προσέγγιση υπολογισμών αυξήθηκε γρήγορα, κυρίως στην αστρονομία. Η βελτίωση των οργάνων, η μελέτη των κινήσεων των πλανητών και άλλες εργασίες απαιτούσαν κολοσσιαίους, μερικές φορές πολυετείς, υπολογισμούς. Η αστρονομία διέτρεχε πραγματικό κίνδυνο να πνιγεί σε ανεκπλήρωτους υπολογισμούς. Προέκυψαν δυσκολίες σε άλλους τομείς, για παράδειγμα, στον ασφαλιστικό κλάδο, χρειάζονταν πίνακες σύνθετων τόκων για διάφορα επιτόκια. Η κύρια δυσκολία ήταν ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση πολυψήφιων αριθμών, ιδίως τριγωνομετρικών μεγεθών.

Η ανακάλυψη των λογαρίθμων βασίστηκε στις ιδιότητες των προόδων που ήταν πολύ γνωστές στα τέλη του 16ου αιώνα. Σχετικά με τη σύνδεση μεταξύ των όρων της γεωμετρικής προόδου q, q2, q3, ... και αριθμητική πρόοδοςοι δείκτες τους είναι 1, 2, 3,... Μίλησε ο Αρχιμήδης στον «Ψαλμίτη» του. Μια άλλη προϋπόθεση ήταν η επέκταση της έννοιας του βαθμού σε αρνητικούς και κλασματικούς εκθέτες. Πολλοί συγγραφείς έχουν επισημάνει ότι ο πολλαπλασιασμός, η διαίρεση, ο εκθέτης και η εξαγωγή ρίζας σε γεωμετρική πρόοδο αντιστοιχούν στην αριθμητική - με την ίδια σειρά - πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμό και διαίρεση.

Εδώ ήταν η ιδέα του λογάριθμου ως εκθέτη.

Στην ιστορία της ανάπτυξης του δόγματος των λογαρίθμων, έχουν περάσει αρκετά στάδια.

Στάδιο 1

Οι λογάριθμοι εφευρέθηκαν το αργότερο το 1594 ανεξάρτητα από τον Σκωτσέζο βαρόνο Napier (1550-1617) και δέκα χρόνια αργότερα από τον Ελβετό μηχανικό Bürgi (1552-1632). Και οι δύο ήθελαν να παρέχουν ένα νέο, βολικό μέσο αριθμητικών υπολογισμών, αν και προσέγγισαν αυτό το πρόβλημα με διαφορετικούς τρόπους. Ο Napier εξέφρασε κινηματικά τη λογαριθμική συνάρτηση και έτσι εισήλθε σε ένα νέο πεδίο της θεωρίας συναρτήσεων. Ο Bürgi παρέμεινε στη βάση της εξέτασης διακριτών προόδων. Ωστόσο, ο ορισμός του λογάριθμου και για τα δύο δεν είναι παρόμοιος με τον σύγχρονο. Ο όρος «λογάριθμος» (logarithmus) ανήκει στον Napier. Προέκυψε από έναν συνδυασμό ελληνικών λέξεων: logos - "σχέση" και ariqmo - "αριθμός", που σήμαινε "αριθμός σχέσεων". Αρχικά, ο Napier χρησιμοποίησε έναν διαφορετικό όρο: numeri artificiales - "τεχνητοί αριθμοί", σε αντίθεση με numeri naturalts - "φυσικοί αριθμοί".

Το 1615, σε μια συνομιλία με τον Henry Briggs (1561-1631), έναν καθηγητή μαθηματικών στο Gresh College του Λονδίνου, ο Napier πρότεινε να ληφθεί το μηδέν ως λογάριθμος του ενός και το 100 ως ο λογάριθμος του δέκα, ή τι ισοδυναμεί με το ίδιο. πράγμα, μόλις 1. Έτσι εκτυπώθηκαν οι δεκαδικοί λογάριθμοι και οι πρώτοι λογαριθμικοί πίνακες. Αργότερα, οι πίνακες του Μπριγκς συμπληρώθηκαν από τον Ολλανδό βιβλιοπώλη και λάτρη των μαθηματικών Adrian Flaccus (1600-1667). Ο Napier και ο Briggs, αν και έφτασαν στους λογάριθμους νωρίτερα από όλους, δημοσίευσαν τους πίνακές τους αργότερα από τους άλλους - το 1620. Τα σημάδια log και Log εισήχθησαν το 1624 από τον I. Kepler. Ο όρος «φυσικός λογάριθμος» εισήχθη από τον Mengoli το 1659 και ακολούθησε ο N. Mercator το 1668, και ο δάσκαλος του Λονδίνου John Speidel δημοσίευσε πίνακες φυσικών λογαρίθμων αριθμών από το 1 έως το 1000 με το όνομα «New Logarithms».

Οι πρώτοι λογαριθμικοί πίνακες δημοσιεύτηκαν στα ρωσικά το 1703. Όμως σε όλους τους λογαριθμικούς πίνακες υπήρχαν λάθη υπολογισμού. Οι πρώτοι πίνακες χωρίς σφάλματα δημοσιεύτηκαν το 1857 στο Βερολίνο, τους οποίους επεξεργάστηκε ο Γερμανός μαθηματικός K. Bremiker (1804-1877).

Στάδιο 2

Η περαιτέρω ανάπτυξη της θεωρίας των λογαρίθμων συνδέεται με μια ευρύτερη εφαρμογή της αναλυτικής γεωμετρίας και του απειροελάχιστου λογισμού. Μέχρι εκείνη τη στιγμή, είχε εδραιωθεί η σύνδεση μεταξύ του τετραγώνου μιας ισόπλευρης υπερβολής και του φυσικού λογάριθμου. Η θεωρία των λογαρίθμων αυτής της περιόδου συνδέεται με τα ονόματα ορισμένων μαθηματικών.

Ο Γερμανός μαθηματικός, αστρονόμος και μηχανικός Nikolaus Mercator σε ένα δοκίμιο

Το "Logarithmotechnics" (1668) δίνει μια σειρά που δίνει την επέκταση του ln(x+1) σε

δυνάμεις του x:

Αυτή η έκφραση ανταποκρίνεται ακριβώς στο συρμό της σκέψης του, αν και, φυσικά, δεν χρησιμοποίησε τα σημάδια δ, ..., αλλά πιο δυσκίνητο συμβολισμό. Με την ανακάλυψη της λογαριθμικής σειράς άλλαξε η τεχνική για τον υπολογισμό των λογαρίθμων: άρχισαν να προσδιορίζονται χρησιμοποιώντας άπειρες σειρές. Στις διαλέξεις του «Τα στοιχειώδη μαθηματικά από μια ανώτερη σκοπιά», που δόθηκε το 1907-1908, ο F. Klein πρότεινε τη χρήση του τύπου ως αφετηρίας για την κατασκευή της θεωρίας των λογαρίθμων.

Στάδιο 3

Ορισμός λογαριθμικής συνάρτησης ως αντίστροφης συνάρτησης

εκθετική, ο λογάριθμος ως εκθέτης μιας δεδομένης βάσης

δεν διατυπώθηκε αμέσως. Δοκίμιο του Leonhard Euler (1707-1783)

Το "A Introduction to the Analysis of Infinitesimals" (1748) χρησίμευσε για περαιτέρω

ανάπτυξη της θεωρίας των λογαριθμικών συναρτήσεων. Ετσι,

Έχουν περάσει 134 χρόνια από τότε που εισήχθησαν για πρώτη φορά οι λογάριθμοι

(μετρώντας από το 1614), πριν οι μαθηματικοί καταλήξουν στον ορισμό

η έννοια του λογάριθμου, που αποτελεί πλέον τη βάση του σχολικού μαθήματος.

Κεφάλαιο 2. Συλλογή λογαριθμικών ανισώσεων

2.1. Ισοδύναμες μεταβάσεις και η γενικευμένη μέθοδος διαστημάτων.

Ισοδύναμες μεταβάσεις

, εάν a > 1

, αν 0 < а < 1

Μέθοδος γενικευμένου διαστήματος

Αυτή η μέθοδος είναι η πιο καθολική για την επίλυση ανισοτήτων σχεδόν οποιουδήποτε τύπου. Το διάγραμμα λύσης μοιάζει με αυτό:

1. Φέρτε την ανισότητα στη μορφή όπου βρίσκεται η συνάρτηση στην αριστερή πλευρά
, και στα δεξιά 0.

2. Βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης
.

3. Να βρείτε τα μηδενικά της συνάρτησης
, δηλαδή να λύσετε την εξίσωση
(και η επίλυση μιας εξίσωσης είναι συνήθως ευκολότερη από την επίλυση μιας ανισότητας).

4. Σχεδιάστε το πεδίο ορισμού και τα μηδενικά της συνάρτησης στην αριθμητική γραμμή.

5. Προσδιορίστε τα σημάδια της συνάρτησης
στα ληφθέντα διαστήματα.

6. Επιλέξτε διαστήματα όπου η συνάρτηση παίρνει τις απαιτούμενες τιμές και σημειώστε την απάντηση.

Παράδειγμα 1.

Λύση:

Ας εφαρμόσουμε τη μέθοδο του διαστήματος

που

Για αυτές τις τιμές, όλες οι εκφράσεις κάτω από τα λογαριθμικά πρόσημα είναι θετικές.

Απάντηση:

Παράδειγμα 2.

Λύση:

1ος τρόπος . Η ADL καθορίζεται από την ανισότητα Χ> 3. Λήψη λογαρίθμων για τέτοια Χστη βάση 10, παίρνουμε

Η τελευταία ανισότητα θα μπορούσε να λυθεί με την εφαρμογή κανόνων επέκτασης, δηλ. συγκρίνοντας τους παράγοντες με το μηδέν. Ωστόσο, σε αυτή την περίπτωση είναι εύκολο να προσδιοριστούν τα διαστήματα σταθερού πρόσημου της συνάρτησης

Επομένως, μπορεί να εφαρμοστεί η μέθοδος του διαστήματος.

Λειτουργία φά(Χ) = 2Χ(Χ- 3,5)lgǀ Χ- Το 3ǀ είναι συνεχές στο Χ> 3 και εξαφανίζεται σε σημεία Χ 1 = 0, Χ 2 = 3,5, Χ 3 = 2, Χ 4 = 4. Έτσι, προσδιορίζουμε τα διαστήματα σταθερού πρόσημου της συνάρτησης φά(Χ):

Απάντηση:

2η μέθοδος . Ας εφαρμόσουμε απευθείας τις ιδέες της μεθόδου διαστήματος στην αρχική ανισότητα.

Για να το κάνετε αυτό, θυμηθείτε ότι οι εκφράσεις ένασι- έναγ και ( ένα - 1)(σι- 1) έχουν ένα σημάδι. Τότε η ανισότητά μας στο Χ> 3 ισοδυναμεί με ανισότητα

ή

Η τελευταία ανισότητα λύνεται με τη μέθοδο του διαστήματος

Απάντηση:

Παράδειγμα 3.

Λύση:

Ας εφαρμόσουμε τη μέθοδο του διαστήματος

Απάντηση:

Παράδειγμα 4.

Λύση:

Από 2 Χ 2 - 3Χ+ 3 > 0 για όλα τα πραγματικά Χ, Οτι

Για να λύσουμε τη δεύτερη ανισότητα χρησιμοποιούμε τη μέθοδο του διαστήματος

Στην πρώτη ανισότητα κάνουμε την αντικατάσταση

τότε ερχόμαστε στην ανίσωση 2y 2 - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те y, που ικανοποιούν την ανισότητα -0,5< y < 1.

Από πού γιατί

παίρνουμε την ανισότητα

που πραγματοποιείται όταν Χ, για το οποίο 2 Χ 2 - 3Χ - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

Τώρα, λαμβάνοντας υπόψη τη λύση της δεύτερης ανισότητας του συστήματος, τελικά παίρνουμε

Απάντηση:

Παράδειγμα 5.

Λύση:

Η ανισότητα είναι ισοδύναμη με μια συλλογή συστημάτων

ή

Ας χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο διαστήματος ή

Απάντηση:

Παράδειγμα 6.

Λύση:

Ανισότητα ίσον σύστημα

Αφήνω

Επειτα y > 0,

και η πρώτη ανισότητα

σύστημα παίρνει τη μορφή

ή, ξεδιπλώνεται

τετραγωνικό τριώνυμο συντελεστή,

Εφαρμόζοντας τη μέθοδο του διαστήματος στην τελευταία ανισότητα,

βλέπουμε ότι οι λύσεις του ικανοποιούν την προϋπόθεση y> 0 θα είναι όλα y > 4.

Έτσι, η αρχική ανισότητα είναι ισοδύναμη με το σύστημα:

Άρα, οι λύσεις στην ανισότητα είναι όλες

2.2. Μέθοδος εξορθολογισμού.

Προηγουμένως, η ανισότητα δεν επιλύθηκε χρησιμοποιώντας τη μέθοδο εξορθολογισμού· δεν ήταν γνωστή. Αυτό είναι το "νέο σύγχρονο" αποτελεσματική μέθοδοςλύσεις εκθετικών και λογαριθμικών ανισώσεων» (απόσπασμα από το βιβλίο της S.I. Kolesnikova)
Και ακόμα κι αν τον ήξερε ο δάσκαλος, υπήρχε φόβος - τον γνωρίζει ο ειδικός του Unified State Exam και γιατί δεν τον δίνουν στο σχολείο; Υπήρχαν περιπτώσεις που ο δάσκαλος είπε στον μαθητή: "Πού το πήρες; Κάτσε - 2."
Τώρα η μέθοδος προωθείται παντού. Και για τους ειδικούς υπάρχουν οδηγίες που σχετίζονται με αυτήν τη μέθοδο και στις "Πιο ολοκληρωμένες εκδόσεις των τυπικών επιλογών..." στη Λύση C3 χρησιμοποιείται αυτή η μέθοδος.
ΥΠΕΡΟΧΗ ΜΕΘΟΔΟΣ!

"Μαγικό τραπέζι"

Σε άλλες πηγές

Αν a >1 και b >1, μετά καταγράψτε a b >0 και (a -1)(b -1)>0;

Αν α > 1 και 0

αν 0<ένα<1 и b >1, στη συνέχεια καταγράψτε ένα β<0 и (a -1)(b -1)<0;

αν 0<ένα<1 и 00 και (a -1)(b -1)>0.

Η συλλογιστική που πραγματοποιήθηκε είναι απλή, αλλά απλοποιεί σημαντικά τη λύση των λογαριθμικών ανισώσεων.

Παράδειγμα 4.

αρχείο καταγραφής x (x 2 -3)<0

Λύση:

Παράδειγμα 5.

log 2 x (2x 2 -4x +6)≤log 2 x (x 2 +x )

Λύση:

Απάντηση. (0; 0,5) U.

Παράδειγμα 6.

Για να λύσουμε αυτήν την ανισότητα, αντί για τον παρονομαστή, γράφουμε (x-1-1)(x-1) και αντί για αριθμητή γράφουμε το γινόμενο (x-1)(x-3-9 + x).

Απάντηση : (3;6)

Παράδειγμα 7.

Παράδειγμα 8.

2.3. Μη τυπική αντικατάσταση.

Παράδειγμα 1.

Παράδειγμα 2.

Παράδειγμα 3.

Παράδειγμα 4.

Παράδειγμα 5.

Παράδειγμα 6.

Παράδειγμα 7.

log 4 (3 x -1) log 0,25

Ας κάνουμε την αντικατάσταση y=3 x -1; τότε αυτή η ανισότητα θα πάρει τη μορφή

Μητρώο 4 ημερολόγιο 0,25
.

Επειδή log 0,25 = -ημερολόγιο 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , τότε ξαναγράφουμε την τελευταία ανισότητα ως 2log 4 y -log 4 2 y ≤.

Ας κάνουμε την αντικατάσταση t =log 4 y και πάρουμε την ανισότητα t 2 -2t +≥0, η λύση της οποίας είναι τα διαστήματα - .

Έτσι, για να βρούμε τις τιμές του y έχουμε ένα σύνολο δύο απλών ανισοτήτων
Η λύση σε αυτό το σύνολο είναι τα διαστήματα 0<у≤2 и 8≤у<+.

Επομένως, η αρχική ανισότητα είναι ισοδύναμη με το σύνολο δύο εκθετικών ανισώσεων,
δηλαδή αδρανή

Η λύση στην πρώτη ανισότητα αυτού του συνόλου είναι το διάστημα 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+. Έτσι, η αρχική ανισότητα ικανοποιείται για όλες τις τιμές του x από τα διαστήματα 0<х≤1 и 2≤х<+.

Παράδειγμα 8.

Λύση:

Ανισότητα ίσον σύστημα

Η λύση στη δεύτερη ανισότητα που ορίζει το ODZ θα είναι το σύνολο αυτών Χ,

για το οποίο Χ > 0.

Για να λύσουμε την πρώτη ανισότητα κάνουμε την αντικατάσταση

Τότε παίρνουμε την ανισότητα

ή

Το σύνολο των λύσεων στην τελευταία ανισότητα βρίσκεται με τη μέθοδο

διαστήματα: -1< t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной Χ, παίρνουμε

ή

Πολλά από αυτά Χ, που ικανοποιούν την τελευταία ανισότητα

ανήκει στην ODZ ( Χ> 0), επομένως, είναι μια λύση στο σύστημα,

και ως εκ τούτου η αρχική ανισότητα.

Απάντηση:

2.4. Εργασίες με παγίδες.

Παράδειγμα 1.

.

Λύση.Το ODZ της ανισότητας είναι όλα x που ικανοποιούν τη συνθήκη 0 . Επομένως, όλα τα x προέρχονται από το διάστημα 0

Παράδειγμα 2.

log 2 (2 x +1-x 2)>log 2 (2 x-1 +1-x)+1.. ? Το θέμα είναι ότι ο δεύτερος αριθμός είναι προφανώς μεγαλύτερος από

συμπέρασμα

Δεν ήταν εύκολο να βρεθούν συγκεκριμένες μέθοδοι για την επίλυση προβλημάτων C3 από μια μεγάλη αφθονία διαφορετικών εκπαιδευτικών πηγών. Κατά τη διάρκεια της εργασίας που έγινε, μπόρεσα να μελετήσω μη τυπικές μεθόδους για την επίλυση σύνθετων λογαριθμικών ανισοτήτων. Αυτές είναι: οι ισοδύναμες μεταβάσεις και η γενικευμένη μέθοδος των διαστημάτων, η μέθοδος του εξορθολογισμού , μη τυπική αντικατάσταση , εργασίες με παγίδες στο ODZ. Αυτές οι μέθοδοι δεν περιλαμβάνονται στο σχολικό πρόγραμμα.

Χρησιμοποιώντας διαφορετικές μεθόδους, έλυσα 27 ανισότητες που προτάθηκαν για την Ενιαία Κρατική Εξέταση στο μέρος Γ, δηλαδή το Γ3. Αυτές οι ανισότητες με λύσεις με μεθόδους αποτέλεσαν τη βάση της συλλογής «C3 Logarithmic Inequalities with Solutions», η οποία έγινε προϊόν έργου της δραστηριότητάς μου. Η υπόθεση που έθεσα στην αρχή του έργου επιβεβαιώθηκε: Τα προβλήματα C3 μπορούν να λυθούν αποτελεσματικά εάν γνωρίζετε αυτές τις μεθόδους.

Επιπλέον, ανακάλυψα ενδιαφέροντα στοιχεία για τους λογάριθμους. Ήταν ενδιαφέρον για μένα να το κάνω αυτό. Τα προϊόντα του έργου μου θα είναι χρήσιμα τόσο για μαθητές όσο και για καθηγητές.

Συμπεράσματα:

Έτσι, ο στόχος του έργου έχει επιτευχθεί και το πρόβλημα έχει λυθεί. Και έλαβα την πιο ολοκληρωμένη και ποικίλη εμπειρία των δραστηριοτήτων του έργου σε όλα τα στάδια της εργασίας. Ενώ εργαζόμουν στο έργο, ο κύριος αναπτυξιακός μου αντίκτυπος ήταν στη νοητική ικανότητα, δραστηριότητες που σχετίζονται με λογικές νοητικές λειτουργίες, ανάπτυξη δημιουργικής ικανότητας, προσωπική πρωτοβουλία, υπευθυνότητα, επιμονή και δραστηριότητα.

Εγγύηση επιτυχίας κατά τη δημιουργία ενός ερευνητικού έργου για Απέκτησα: σημαντική σχολική εμπειρία, ικανότητα λήψης πληροφοριών από διάφορες πηγές, ελέγχου της αξιοπιστίας τους και κατάταξης κατά σπουδαιότητα.

Εκτός από τις άμεσες γνώσεις αντικειμένου στα μαθηματικά, επέκτεινα τις πρακτικές μου δεξιότητες στον τομέα της πληροφορικής, απέκτησα νέες γνώσεις και εμπειρίες στον τομέα της ψυχολογίας, έκανα επαφές με συμμαθητές και έμαθα να συνεργάζομαι με ενήλικες. Κατά τη διάρκεια των δραστηριοτήτων του έργου, αναπτύχθηκαν οργανωτικές, πνευματικές και επικοινωνιακές γενικές εκπαιδευτικές δεξιότητες.

Βιβλιογραφία

1. Koryanov A. G., Prokofiev A. A. Συστήματα ανισοτήτων με μία μεταβλητή (τυποποιημένες εργασίες Γ3).

2. Malkova A. G. Προετοιμασία για την Ενιαία Κρατική Εξέταση στα Μαθηματικά.

3. Samarova S. S. Επίλυση λογαριθμικών ανισώσεων.

4. Μαθηματικά. Συλλογή εκπαιδευτικών εργασιών που επιμελήθηκε ο A.L. Semenov και I.V. Γιασχένκο. -M.: MTsNMO, 2009. - 72 σελ.-

Το άρθρο είναι αφιερωμένο στην ανάλυση των εργασιών 15 από το προφίλ Unified State Examination στα μαθηματικά για το 2017. Σε αυτή την εργασία, οι μαθητές καλούνται να λύσουν ανισότητες, τις περισσότερες φορές λογαριθμικές. Αν και μπορεί να υπάρχουν ενδεικτικά. Αυτό το άρθρο παρέχει μια ανάλυση παραδειγμάτων λογαριθμικών ανισοτήτων, συμπεριλαμβανομένων αυτών που περιέχουν μια μεταβλητή στη βάση του λογαρίθμου. Όλα τα παραδείγματα λαμβάνονται από την ανοιχτή τράπεζα εργασιών Ενοποιημένης Πολιτικής Εξέτασης στα μαθηματικά (προφίλ), επομένως τέτοιες ανισότητες είναι πιθανό να συναντηθούν στην εξέταση ως εργασία 15. Ιδανικό για όσους θέλουν να μάθουν πώς να λύνουν την εργασία 15 από το δεύτερο μέρος του προφίλ Unified State Exam σε σύντομο χρονικό διάστημα στα μαθηματικά για να πάρεις περισσότερους βαθμούς στην εξέταση.

Ανάλυση εργασιών 15 από το προφίλ Ενιαία Κρατική Εξέταση στα μαθηματικά

Παράδειγμα 1. Λύστε την ανίσωση:

Στις εργασίες 15 της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης στα μαθηματικά (προφίλ), συχνά συναντώνται λογαριθμικές ανισότητες. Η επίλυση λογαριθμικών ανισώσεων ξεκινά με τον προσδιορισμό του εύρους των αποδεκτών τιμών. Σε αυτή την περίπτωση, δεν υπάρχει μεταβλητή στη βάση και των δύο λογαρίθμων, υπάρχει μόνο ο αριθμός 11, που απλοποιεί πολύ το πρόβλημα. Έτσι, ο μόνος περιορισμός που έχουμε εδώ είναι ότι και οι δύο εκφράσεις κάτω από το πρόσημο του λογάριθμου είναι θετικές:

Title="Απόδοση από QuickLaTeX.com">!}

Η πρώτη ανισότητα στο σύστημα είναι η τετραγωνική ανισότητα. Για να το λύσουμε, θα θέλαμε πραγματικά να παραγοντοποιήσουμε την αριστερή πλευρά. Νομίζω ότι γνωρίζετε ότι οποιοδήποτε τετραγωνικό τριώνυμο της μορφής παραγοντοποιείται ως εξής:

όπου και είναι οι ρίζες της εξίσωσης. Σε αυτήν την περίπτωση, ο συντελεστής είναι 1 (αυτός είναι ο αριθμητικός συντελεστής μπροστά από το ). Ο συντελεστής είναι επίσης ίσος με 1, και ο συντελεστής είναι ο εικονικός όρος, είναι ίσος με -20. Οι ρίζες ενός τριωνύμου προσδιορίζονται πιο εύκολα χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta. Η εξίσωση που δώσαμε σημαίνει ότι το άθροισμα των ριζών θα είναι ίσο με τον συντελεστή με το αντίθετο πρόσημο, δηλαδή -1, και το γινόμενο αυτών των ριζών θα είναι ίσο με τον συντελεστή, δηλαδή -20. Είναι εύκολο να μαντέψει κανείς ότι οι ρίζες θα είναι -5 και 4.

Τώρα η αριστερή πλευρά της ανισότητας μπορεί να παραγοντοποιηθεί: title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="163" style="vertical-align: -5px;"> Решаем это неравенство. График соответствующей функции — это парабола, ветви которой направлены вверх. Эта парабола пересекает ось !} Χστα σημεία -5 και 4. Αυτό σημαίνει ότι η ζητούμενη λύση της ανίσωσης είναι το διάστημα . Για όσους δεν καταλαβαίνουν τι γράφεται εδώ, μπορείτε να παρακολουθήσετε τις λεπτομέρειες στο βίντεο, ξεκινώντας από αυτή τη στιγμή. Εκεί θα βρείτε επίσης μια λεπτομερή εξήγηση για το πώς λύνεται η δεύτερη ανισότητα του συστήματος. Επιλύεται. Επιπλέον, η απάντηση είναι ακριβώς η ίδια με την πρώτη ανισότητα του συστήματος. Δηλαδή, το σύνολο που γράφτηκε παραπάνω είναι η περιοχή των επιτρεπόμενων τιμών της ανισότητας.

Έτσι, λαμβάνοντας υπόψη την παραγοντοποίηση, η αρχική ανισότητα παίρνει τη μορφή:

Χρησιμοποιώντας τον τύπο, προσθέτουμε 11 στη δύναμη της έκφρασης κάτω από το πρόσημο του πρώτου λογάριθμου και μετακινούμε τον δεύτερο λογάριθμο στην αριστερή πλευρά της ανισότητας, αλλάζοντας το πρόσημά του στο αντίθετο:

Μετά τη μείωση παίρνουμε:

Η τελευταία ανισότητα, λόγω της αύξησης της συνάρτησης, ισοδυναμεί με την ανισότητα , του οποίου η λύση είναι το διάστημα . Το μόνο που μένει είναι να το τέμνουμε με την περιοχή των αποδεκτών τιμών της ανισότητας και αυτή θα είναι η απάντηση σε ολόκληρο το έργο.

Έτσι, η απαιτούμενη απάντηση στην εργασία μοιάζει με:

Ασχοληθήκαμε με αυτήν την εργασία, τώρα προχωράμε στο επόμενο παράδειγμα της εργασίας 15 της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης στα μαθηματικά (προφίλ).

Παράδειγμα 2. Λύστε την ανίσωση:

Ξεκινάμε τη λύση προσδιορίζοντας το εύρος των αποδεκτών τιμών αυτής της ανισότητας. Στη βάση κάθε λογάριθμου πρέπει να υπάρχει ένας θετικός αριθμός που δεν είναι ίσος με 1. Όλες οι εκφράσεις κάτω από το πρόσημο του λογαρίθμου πρέπει να είναι θετικές. Ο παρονομαστής του κλάσματος δεν πρέπει να περιέχει μηδέν. Η τελευταία συνθήκη είναι ισοδύναμη με το γεγονός ότι , αφού μόνο διαφορετικά και οι δύο λογάριθμοι στον παρονομαστή εξαφανίζονται. Όλες αυτές οι συνθήκες καθορίζουν το εύρος των επιτρεπόμενων τιμών αυτής της ανισότητας, που δίνεται από το ακόλουθο σύστημα ανισοτήτων:

Title="Απόδοση από QuickLaTeX.com">!}

Στο εύρος των αποδεκτών τιμών, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τύπους μετατροπής λογαρίθμων για να απλοποιήσουμε την αριστερή πλευρά της ανισότητας. Χρησιμοποιώντας τον τύπο απαλλαγούμε από τον παρονομαστή:

Τώρα έχουμε μόνο λογάριθμους με βάση. Αυτό είναι ήδη πιο βολικό. Στη συνέχεια, χρησιμοποιούμε τον τύπο, καθώς και τον τύπο για να φέρουμε την έκφραση που αξίζει δόξα στην ακόλουθη μορφή:

Στους υπολογισμούς χρησιμοποιήσαμε ό,τι ήταν στο εύρος των αποδεκτών τιμών. Χρησιμοποιώντας την αντικατάσταση καταλήγουμε στην έκφραση:

Ας χρησιμοποιήσουμε μια ακόμη αντικατάσταση: . Ως αποτέλεσμα, καταλήγουμε στο εξής αποτέλεσμα:

Έτσι, επιστρέφουμε σταδιακά στις αρχικές μεταβλητές. Πρώτα στη μεταβλητή: