Momen inersia pada gerak sumbu. Momen inersia pada translasi paralel sumbu. Perubahan momen inersia saat memutar sumbu

Sumbu yang melalui titik berat suatu bangun datar disebut sumbu pusat.
Momen inersia terhadap sumbu pusat disebut momen inersia pusat.

Dalil

Momen inersia terhadap suatu sumbu sama dengan jumlah momen inersia terhadap sumbu pusat yang sejajar dengan sumbu tertentu dan hasil kali luas gambar dan kuadrat jarak antara sumbu.

Untuk membuktikan teorema ini, perhatikan bangun datar sembarang yang luasnya sama A , pusat gravitasi terletak di titik tersebut DENGAN , dan momen inersia pusat terhadap sumbu X akan Ix .
Mari kita hitung momen inersia suatu bangun terhadap sumbu tertentu x 1 , sejajar dengan sumbu pusat dan berjarak agak jauh darinya A (beras).

Saya x1 = Σ y 1 2 dA + Σ (y + a) 2 dA =
= Σ y 2 dA + 2a Σ y dA + a 2 Σ dA.

Menganalisis rumus yang dihasilkan, kami mencatat bahwa suku pertama adalah momen inersia aksial relatif terhadap sumbu pusat, suku kedua adalah momen statis luas gambar ini relatif terhadap sumbu pusat (oleh karena itu, sama dengan nol), dan suku ketiga setelah integrasi dapat direpresentasikan sebagai produk sebuah 2A , yaitu sebagai hasilnya kita mendapatkan rumus:

Saya x1 = Saya x + a 2 A- teorema terbukti.

Berdasarkan teorema tersebut, kita dapat menyimpulkan bahwa serangkaian sumbu sejajar, momen inersia aksial suatu bangun datar adalah yang terkecil terhadap sumbu pusatnya. .

Sumbu utama dan momen inersia utama

Mari kita bayangkan sebuah bangun datar yang momen inersianya terhadap sumbu koordinat Ix Dan saya kamu , dan momen inersia kutub relatif terhadap titik asal adalah sama dengan saya ρ . Seperti yang telah ditetapkan sebelumnya,

saya x + saya y = saya ρ.

Jika sumbu koordinat diputar pada bidangnya di sekitar titik asal koordinat, maka momen inersia kutub tidak akan berubah, dan momen aksial akan berubah, sedangkan jumlahnya tetap. Karena jumlah variabelnya konstan, salah satu variabelnya berkurang dan variabel lainnya bertambah, begitu pula sebaliknya.
Oleh karena itu, pada posisi sumbu tertentu, salah satu momen aksial akan mencapai nilai maksimum, dan momen aksial lainnya akan mencapai nilai minimum.

Sumbu yang momen inersianya mempunyai nilai minimum dan maksimum disebut sumbu inersia utama.
Momen inersia terhadap sumbu utama disebut momen inersia utama.

Jika sumbu utama melewati pusat gravitasi suatu bangun datar, maka sumbu tersebut disebut sumbu utama, dan momen inersia terhadap sumbu tersebut disebut momen inersia pusat utama.
Kita dapat menyimpulkan bahwa jika suatu bangun simetris terhadap suatu sumbu, maka sumbu tersebut akan selalu menjadi salah satu sumbu pusat utama inersia bangun tersebut.

Momen inersia sentrifugal

Momen inersia sentrifugal suatu bangun datar adalah jumlah hasil kali luas dasar yang diambil seluruh luas dan jarak terhadap dua sumbu yang saling tegak lurus:

Saya xy = Σ xy dA,

Di mana X , kamu - jarak dari lokasi da ke as X Dan kamu .
Momen inersia sentrifugal dapat bernilai positif, negatif, atau nol.

Momen inersia sentrifugal termasuk dalam rumus untuk menentukan posisi sumbu utama bagian asimetris.
Tabel profil standar berisi karakteristik yang disebut radius girasi bagian tersebut , dihitung dengan rumus:

saya x = √ (saya x / A),saya kamu = √ (saya kamu / A) , (selanjutnya disebut tanda"√"- tanda akar)

Di mana saya x, saya y - momen aksial inersia penampang relatif terhadap sumbu pusat; A - luas penampang.
Karakteristik geometris ini digunakan dalam studi tegangan atau kompresi eksentrik, serta lentur memanjang.

Deformasi torsi

Konsep dasar tentang torsi. Torsi balok bundar.

Torsi adalah jenis deformasi di mana hanya torsi yang terjadi pada setiap penampang balok, yaitu faktor gaya yang menyebabkan gerakan melingkar pada bagian tersebut relatif terhadap sumbu yang tegak lurus terhadap bagian tersebut, atau mencegah gerakan tersebut. Dengan kata lain, deformasi puntir terjadi jika sepasang gaya diterapkan pada balok lurus pada bidang yang tegak lurus sumbunya.
Momen pasangan gaya ini disebut puntiran atau putaran. Torsi dilambangkan dengan T .
Definisi ini secara konvensional membagi faktor gaya deformasi torsi menjadi faktor eksternal (torsi, torsi T ) dan internal (torsi M kr ).

Dalam mesin dan mekanisme, poros bulat atau tubular paling sering mengalami torsi, sehingga perhitungan kekuatan dan kekakuan paling sering dilakukan untuk unit dan suku cadang tersebut.

Perhatikan torsi pada poros silinder melingkar.
Bayangkan sebuah poros silinder karet yang salah satu ujungnya dipasang secara kaku, dan pada permukaannya terdapat kisi-kisi garis memanjang dan lingkaran melintang. Kita akan menerapkan beberapa gaya pada ujung bebas poros, tegak lurus terhadap sumbu poros ini, yaitu kita akan memutarnya sepanjang sumbu. Jika Anda hati-hati memeriksa garis kisi-kisi pada permukaan poros, Anda akan melihat bahwa:
- sumbu poros, yang disebut sumbu puntir, akan tetap lurus;
- diameter lingkaran akan tetap sama, dan jarak antara lingkaran yang berdekatan tidak akan berubah;
- garis memanjang pada poros akan berubah menjadi garis heliks.

Dari sini kita dapat menyimpulkan bahwa ketika balok silinder bulat (poros) dipuntir, hipotesis penampang datar adalah valid, dan kita juga dapat berasumsi bahwa jari-jari lingkaran tetap lurus selama deformasi (karena diameternya tidak berubah). Dan karena tidak ada gaya longitudinal pada bagian poros, jarak antara keduanya tetap terjaga.

Akibatnya, deformasi torsional dari poros bundar terdiri dari rotasi penampang relatif satu sama lain di sekitar sumbu torsi, dan sudut rotasinya berbanding lurus dengan jarak dari bagian tetap - semakin jauh bagian tersebut dari ujung tetap poros, semakin besar sudut relatif terhadap sumbu poros yang dipuntirnya.
Untuk setiap bagian poros, sudut putarannya sama dengan sudut puntir bagian poros yang tertutup antara bagian ini dan segel (ujung tetap).


Sudut ( beras. 1) putaran ujung bebas poros (end section) disebut sudut puntir penuh balok silinder (poros).
Sudut putaran relatif φ 0 disebut perbandingan sudut puntir φ 1 ke kejauhan aku 1 dari bagian tertentu ke penyematan (bagian tetap).
Jika balok silinder (poros) panjang aku mempunyai penampang konstan dan dibebani momen torsi pada ujung bebasnya (yaitu terdiri dari penampang geometri homogen), maka pernyataan berikut ini benar:
φ 0 = φ 1 / l 1 = φ / l = konstanta - nilainya konstan.

Jika kita perhatikan adanya lapisan tipis pada permukaan batang silinder karet diatas ( beras. 1), dibatasi oleh sel grid cdef , kemudian kita perhatikan bahwa sel ini melengkung selama deformasi, dan sisinya, jauh dari bagian tetap, bergeser ke arah puntiran balok, menempati posisi cde 1 f 1 .

Perlu dicatat bahwa gambaran serupa diamati selama deformasi geser, hanya dalam kasus ini permukaan terdeformasi karena gerakan translasi bagian-bagian relatif satu sama lain, dan bukan karena gerakan rotasi, seperti pada deformasi puntir. Berdasarkan hal tersebut, dapat kita simpulkan bahwa pada saat torsi pada penampang, hanya gaya dalam tangensial (tegangan) yang timbul sehingga membentuk torsi.

Jadi, torsi adalah momen yang dihasilkan relatif terhadap sumbu balok dari gaya tangensial internal yang bekerja pada penampang.

Mari kita tentukan hubungan antara berbagai momen inersia suatu penampang relatif terhadap dua sumbu sejajar (Gbr. 6.7), yang dihubungkan oleh ketergantungan

1. Untuk momen inersia statis

Akhirnya,

2. Untuk momen inersia aksial

karena itu,

Jika sumbu z melewati pusat gravitasi bagian tersebut, lalu

Dari semua momen inersia terhadap sumbu sejajar, momen inersia aksial mempunyai nilai terkecil terhadap sumbu yang melalui pusat gravitasi penampang.

Sama untuk sumbu

Ketika sumbu kamu melewati pusat gravitasi bagian tersebut

3. Untuk momen inersia sentrifugal kita peroleh

Akhirnya kita bisa menulis

Dalam hal asal usul sistem koordinat yz berada di pusat gravitasi bagian tersebut, kita peroleh

Dalam hal salah satu atau kedua sumbu merupakan sumbu simetri,

6.7. Perubahan momen inersia saat memutar sumbu

Biarkan momen inersia penampang relatif terhadap sumbu koordinat diberikan zy.

Diperlukan untuk menentukan momen inersia suatu penampang yang sama terhadap sumbu yang diputar pada sudut tertentu terhadap sistem koordinat. zy(Gbr. 6.8).

Sudut dianggap positif jika sistem koordinat lama perlu diputar berlawanan arah jarum jam untuk berpindah ke sistem baru (untuk sistem koordinat persegi panjang Kartesius kanan). Baru dan lama zy sistem koordinat dihubungkan oleh ketergantungan yang mengikuti dari Gambar. 6.8:

1. Mari kita tentukan ekspresi momen inersia aksial relatif terhadap sumbu sistem koordinat baru:

Begitu pula terhadap sumbunya

Jika kita menjumlahkan nilai momen inersia terhadap sumbu dan, kita peroleh

yaitu, ketika sumbu berputar, jumlah momen inersia aksial adalah nilai konstan.

2. Mari kita turunkan rumus momen inersia sentrifugal.

.

6.8. Momen inersia utama. Sumbu utama inersia

Nilai ekstrim momen inersia aksial suatu penampang disebut momen inersia utama.

Dua sumbu yang saling tegak lurus, yang momen inersia aksialnya mempunyai nilai ekstrem, disebut sumbu inersia utama.

Untuk mencari momen inersia utama dan posisi sumbu utama inersia, kita menentukan turunan pertama sudut momen inersia, ditentukan dengan rumus (6.27)

Mari kita samakan hasil ini dengan nol:

di mana sudut rotasi sumbu koordinat kamu Dan z sehingga bertepatan dengan sumbu utama.

Membandingkan ekspresi (6.30) dan (6.31), kita dapat menetapkan hal itu

,

Akibatnya, relatif terhadap sumbu inersia utama, momen inersia sentrifugal adalah nol.

Sumbu-sumbu yang saling tegak lurus, salah satu atau kedua-duanya berimpit dengan sumbu simetri penampang, selalu merupakan sumbu inersia utama.

Mari selesaikan persamaan (6.31) untuk sudut:

.

Jika >0, maka untuk menentukan posisi salah satu sumbu inersia utama sistem koordinat persegi panjang kartesius kanan (kiri) diperlukan suatu sumbu. z berputar dengan sudut berlawanan dengan arah putaran (searah putaran) searah jarum jam. Jika<0, то для оп­ре­деления по­ло­же­ния одной из главных осей инерции для пра­вой (левой) де­кар­то­вой пря­мо­у­го­ль­ной системы координат необ­хо­димо осьz berputar miring searah putaran (berlawanan arah jarum jam) searah jarum jam.

Sumbu maksimum selalu membentuk sudut yang lebih kecil terhadap sumbunya ( kamu atau z), relatif terhadap momen inersia aksial yang memiliki nilai lebih besar (Gbr. 6.9).

Sumbu maksimum diarahkan pada sudut terhadap sumbu(), if() dan terletak di bagian genap (ganjil) sumbu, if().

Mari kita tentukan momen inersia utama dan. Dengan menggunakan rumus trigonometri yang menghubungkan fungsi,,,dengan fungsi,,dari rumus (6.27) kita peroleh

,

Gambar 7.

,

,

,

Di mana saya x, saya y – momen inersia aksial relatif terhadap sumbu acuan;

saya xy– momen inersia sentrifugal relatif terhadap sumbu acuan;

Saya xc, saya yc– momen inersia aksial relatif terhadap sumbu pusat;

saya xcyc– momen inersia sentrifugal terhadap sumbu pusat;

a, b– jarak antar sumbu.

Penentuan momen inersia suatu penampang ketika sumbu diputar

Semua karakteristik geometri bagian relatif terhadap sumbu pusat diketahui x C,di C(Gbr. 8). Mari kita tentukan momen inersia terhadap sumbu x 1,di 1, diputar relatif terhadap pusat dengan sudut tertentu A.

Angka 8

,

Di mana Saya x 1, saya y 1 – momen inersia aksial terhadap sumbu x 1,di 1 ;

saya x 1 tahun 1– momen inersia sentrifugal relatif terhadap sumbu x 1,di 1 .

Penentuan posisi sumbu pusat utama inersia

Posisi sumbu inersia pusat utama penampang ditentukan dengan rumus:

,

Di mana sebuah 0 – sudut antara sumbu inersia pusat dan utama.

Penentuan momen inersia utama

Momen inersia utama suatu penampang ditentukan dengan rumus:

Urutan perhitungan bagian yang kompleks

1) Pecahkan bagian kompleks menjadi bentuk geometris sederhana [S 1, S 2,…;x 1, kamu 1; x 2, kamu 2, …]

2) Pilih sumbu sembarang XOY .

3) Tentukan posisi pusat gravitasi bagian tersebut [x c , y c].

4) Gambarkan sumbu tengah X c OY c.

5) Hitung momen inersia abad ke-ix, ya c , menggunakan teorema translasi paralel sumbu.

6) Hitung momen inersia sentrifugal Ix c kamu c.

7) Tentukan posisi sumbu inersia utama tg2a 0.

8) Hitung momen inersia utama maksimal, sebentar lagi.

CONTOH 2

Untuk gambar yang ditunjukkan pada Gambar 13, tentukan poin-poin utamanya

inersia dan posisi sumbu utama inersia.

1) Kami membagi bagian kompleks menjadi bentuk geometris sederhana

S 1 = 2000 mm 2, S 2 = 1200mm2, S= 3200mm2.

2) Pilih sumbu XOY sembarang.

3) Tentukan posisi pusat gravitasi bagian tersebut

x c = 25 mm, kamu c=35 mm.

4) Menggambar sumbu pusat X c OY c

5) Hitung momen inersia Ix c , Iy c

6) Hitung momen inersia sentrifugal Ix c kamu c

7) Tentukan posisi sumbu inersia utama

Jika saya x > saya y Dan sebuah 0 >0 , lalu sudutnya sebuah 0 diimbangi dari sumbu X s berlawanan arah jarum jam.

8) Hitung momen inersia utama maksimal, sebentar lagi

CONTOH 3

Untuk gambar yang ditunjukkan pada Gambar. 8 menentukan posisi sumbu utama

Angka 8.

inersia dan momen inersia utama.

1) Kami menuliskan data awal dasar untuk setiap gambar

Saluran

S 1 = 10,9cm2

saya x = 20,4cm4

saya kamu = 174cm4

kamu 0= 1,44 cm

H= 10cm

Sudut yang tidak sama

S 3 = 6,36cm2

saya x = 41,6cm4

saya kamu = 12,7cm4

saya min = 7,58cm4

tga= 0,387

x 0= 1,13 cm

kamu 0= 2,6 cm

Persegi panjang

S 2 = 40cm2

cm 4

cm 4

2) Gambarlah bagian yang akan diskalakan

3) Gambarlah sumbu koordinat sembarang

4) Tentukan koordinat pusat gravitasi bagian tersebut

5) Gambarkan sumbu tengah

6) Tentukan momen inersia aksial terhadap sumbu pusat

7) Tentukan momen inersia sentrifugal terhadap sumbu pusat

Momen inersia sentrifugal untuk baja canai sudut relatif terhadap pusat gravitasinya ditentukan dengan salah satu rumus berikut:

-4

Tanda momen inersia sentrifugal untuk baja canai sudut ditentukan menurut Gambar. 9, oleh karena itu saya xy 3= -13,17cm4.

8) Tentukan posisi sumbu inersia utama

a 0 = 21,84°

9) Tentukan momen inersia utama

TUGAS 4

Untuk skema di atas (Tabel 6) perlu:

1) Gambarlah penampang dengan skala yang ketat.

2) Tentukan posisi pusat gravitasi.

3) Temukan nilai momen inersia aksial terhadap sumbu pusat.

4) Tentukan nilai momen inersia sentrifugal terhadap sumbu pusat.

5) Tentukan posisi sumbu inersia utama.

6) Temukan momen inersia utama.

Ambil data numerik dari tabel. 6.

Skema perhitungan untuk soal no.4

Tabel 6

Data awal untuk tugas no.4

№	Sudut sudut sama	Sudut yang tidak sama	Saya berseri-seri	Saluran	Persegi panjang	Skema No.
	30´5	50´32´4			100´30
	40´6	56´36´4			100´40
	50´4	63´40´8			100´20
	56´4	70´45´5			80´40
	63´6	80´50´6		14a	80´60
	70´8	90´56´6			80´100
	80´8	100´63´6	20a	16a	80´20
	90´9	90´56´8			60´40
	75´9	140´90´10	22a	18a	60´60
	100´10	160´100´12			60´40
	D	A	B	V	G	D

Petunjuk untuk Soal 5

Bending merupakan salah satu jenis deformasi dimana V.S.F muncul pada penampang batang. – momen lentur.

Untuk menghitung suatu balok terhadap lentur, perlu diketahui nilai momen lentur maksimumnya M dan posisi bagian di mana hal itu terjadi. Dengan cara yang sama, Anda perlu mengetahui gaya geser maksimum Q. Untuk tujuan ini, diagram momen lentur dan gaya geser dibuat. Dari diagram tersebut mudah untuk menilai di mana nilai maksimum momen atau gaya geser akan berada. Untuk menentukan nilainya M Dan Q gunakan metode bagian. Perhatikan rangkaian yang ditunjukkan pada Gambar. 9. Mari kita kompilasi jumlah gaya pada sumbu Y, bekerja pada bagian balok yang terpotong.

Gambar 9.

Gaya gesernya adalah jumlah aljabar semua gaya yang bekerja pada salah satu sisi penampang tersebut.

Mari kita kumpulkan jumlah momen yang bekerja pada bagian balok yang terpotong relatif terhadap bagian tersebut.

Momen lentur sama dengan jumlah aljabar semua momen yang bekerja pada bagian balok yang terpotong relatif terhadap pusat gravitasi bagian tersebut.

Agar dapat melakukan penghitungan dari ujung balok mana pun, perlu diterapkan aturan tanda untuk faktor gaya dalam.

Untuk kekuatan geser Q.

Gambar 10.

Jika ada gaya luar yang memutar bagian balok yang dipotong searah jarum jam, maka gaya tersebut positif; jika ada gaya luar yang memutar bagian balok yang dipotong berlawanan arah jarum jam, maka gaya tersebut negatif.

Untuk momen lentur M.

Gambar 11.

Jika, di bawah pengaruh gaya luar, sumbu lengkung balok berbentuk mangkuk cekung, sehingga hujan yang datang dari atas akan mengisinya dengan air, maka momen lenturnya positif (Gbr. 11a). Jika, di bawah pengaruh gaya luar, sumbu lengkung balok berbentuk mangkuk cembung, sehingga hujan yang datang dari atas tidak mengisinya dengan air, maka momen lenturnya negatif (Gbr. 11b).

Antara intensitas beban terdistribusi Q, gaya geser Q dan momen lentur M, bertindak di bagian tertentu, ada ketergantungan diferensial berikut:

Ketergantungan diferensial yang ditunjukkan pada lentur memungkinkan untuk menetapkan beberapa fitur diagram gaya transversal dan momen lentur.

1) Di area di mana tidak ada beban terdistribusi, diagram Q dibatasi oleh garis lurus yang sejajar dengan sumbu diagram, dan diagram M , secara umum, dengan garis lurus miring (Gbr. 19).

2) Di area di mana beban terdistribusi merata diterapkan pada balok, diagram Q dibatasi oleh garis lurus miring, dan diagram M – parabola kuadrat (Gbr. 20). Saat membuat diagram M pada serat terkompresi, konveksitas parabola menghadap ke arah yang berlawanan dengan aksi beban yang didistribusikan (Gbr. 21a, b).

Gambar 12.

Gambar 13.

3) Di bagian di mana Q= 0, bersinggungan dengan diagram M sejajar dengan sumbu diagram (Gbr. 12, 13). Momen lentur pada bagian balok tersebut sangat besar ( M maks,MM).

4) Di daerah di mana T> 0, M bertambah, yaitu dari kiri ke kanan ordinat positif diagram M meningkat, yang negatif berkurang (Gbr. 12, 13); di daerah-daerah di mana Q < 0, M menurun (Gbr. 12, 13).

5) Pada bagian dimana gaya terpusat diterapkan pada balok:

a) pada diagram Q akan ada lompatan sebesar dan searah gaya yang diterapkan (Gbr. 12, 13).

b) pada diagram M akan terjadi patahan (Gbr. 12, 13), ujung patahan diarahkan melawan aksi gaya.

6) Pada bagian dimana momen terkonsentrasi diterapkan pada balok, pada diagram M akan ada lompatan besarnya momen-momen ini pada diagram Q tidak akan ada perubahan (Gbr. 14).

Gambar 14.

Gambar 15.

7) Jika terkonsentrasi

momen, maka pada bagian ini momen lenturnya sama dengan momen luar (penampang C Dan B pada Gambar. 15).

8) Diagram Q mewakili diagram turunan plot M. Jadi ordinatnya Q sebanding dengan garis singgung sudut kemiringan garis singgung diagram M(Gbr. 14).

Urutan plot Q Dan M:

1) Dibuat diagram desain balok (berbentuk sumbu) yang menunjukkan beban-beban yang bekerja padanya.

2) Pengaruh tumpuan pada balok digantikan oleh reaksi yang sesuai; sebutan reaksi dan arahnya yang diterima ditunjukkan.

3) Persamaan keseimbangan balok disusun, penyelesaiannya menentukan nilai reaksi tumpuan.

4) Balok dibagi menjadi beberapa bagian, yang batasnya adalah titik penerapan gaya dan momen terpusat eksternal, serta titik awal dan akhir aksi atau perubahan sifat beban terdistribusi.

5) Ekspresi momen lentur disusun M dan gaya geser Q untuk setiap bagian balok. Diagram perhitungan menunjukkan awal dan arah pengukuran jarak untuk setiap bagian.

6) Dengan menggunakan ekspresi yang diperoleh, ordinat diagram dihitung untuk sejumlah bagian balok dalam jumlah yang cukup untuk menampilkan diagram tersebut.

7) Ditentukan bagian yang gaya transversalnya sama dengan nol dan oleh karena itu, momen bekerja Mmaks atau MM untuk bagian balok tertentu; nilai momen-momen ini dihitung.

8) Diagram dibuat menggunakan nilai ordinat yang diperoleh.

9) Diagram yang dibangun diperiksa dengan membandingkannya satu sama lain.

Diagram faktor gaya internal selama pembengkokan dibuat untuk menentukan bagian berbahaya. Setelah bagian berbahaya ditemukan, balok dihitung kekuatannya. Dalam kasus umum lentur transversal, ketika momen lentur dan gaya transversal bekerja pada bagian batang, tegangan normal dan tegangan geser timbul pada bagian balok. Oleh karena itu, masuk akal untuk mempertimbangkan dua kondisi kekuatan:

a) sesuai dengan tegangan normal

b) oleh tegangan tangensial

Karena faktor destruktif utama balok adalah tegangan normal, dimensi penampang balok dengan bentuk yang diterima ditentukan dari kondisi kekuatan tegangan normal:

Kemudian diperiksa apakah penampang balok yang dipilih memenuhi kondisi kuat tegangan geser.

Namun pendekatan penghitungan balok ini belum mencirikan kekuatan balok. Dalam banyak kasus, terdapat titik-titik pada penampang balok di mana tegangan normal dan tegangan geser yang besar bekerja secara bersamaan. Dalam kasus seperti ini, kekuatan balok perlu diperiksa dengan menggunakan tegangan utama. Teori kekuatan ketiga dan keempat paling dapat diterapkan untuk pengujian tersebut:

, .

CONTOH 1

Buatlah diagram gaya geser Q dan momen lentur M untuk balok yang ditunjukkan pada Gambar. 16 jika: F 1= 3 kN, F 2= 1,5 kN, M = 5,1 kN∙m, Q = =2kN/m, A = 2m, B = 1 m, Dengan = 3m.

Gambar 16.

1) Tentukan reaksi pendukung.

;

;

Penyelidikan:

Reaksi ditemukan dengan benar

2) Kami membagi balok menjadi beberapa bagian C.A.,IKLAN,DE,E.K.,K.B..

3) Tentukan nilainya Q Dan M di setiap situs.

SA

, ; , .

IKLAN

, ;

, .

DE

, ;

, .

HF

, , .

Mari kita cari momen lentur maksimum pada luas tersebut K.B..

Mari kita samakan persamaannya Q di bagian ini ke nol dan nyatakan koordinatnya z maks , dengan yang Q= 0, dan momen mempunyai nilai maksimum. Selanjutnya kita gantikan z maks ke dalam persamaan momen di bagian ini dan temukan Mmaks.

EK

, .

4) Kami membuat diagram (Gbr. 16)

CONTOH 2

Untuk balok yang ditunjukkan pada Gambar. 16 Tentukan ukuran benda bulat, persegi panjang ( jam/b = 2) dan bagian I. Periksa kekuatan balok-I berdasarkan tegangan utama, jika [S]= 150 MPa, [T]= 150 MPa.

1) Kami menentukan momen resistensi yang diperlukan dari kondisi kekuatan

2) Tentukan dimensi bagian lingkaran tersebut

3) Tentukan dimensi bagian persegi panjang

4) Kami memilih I-beam No. 10 sesuai dengan bermacam-macamnya (GOST 8239-89)

W X= 39,7cm3, S X * =23cm3, saya X = 198cm4, H = 100mm, B = 55mm, D = 4,5mm, T = 7,2 mm.

Untuk memeriksa kekuatan balok berdasarkan tegangan utama, perlu dibuat diagram tegangan normal dan tangensial pada bagian berbahaya. Karena besarnya tegangan utama bergantung pada tegangan normal dan tangensial, maka uji kekuatan harus dilakukan pada bagian balok yang M Dan Q Cukup besar. Pada dukungan DI DALAM(Gbr. 16) gaya geser Q memiliki nilai maksimum, namun di sini M= 0. Oleh karena itu, kami menganggap bagian dukungan berbahaya A, dimana momen lenturnya maksimum dan gaya gesernya relatif besar.

Tegangan normal, yang berubah sepanjang ketinggian bagian, mematuhi hukum linier:

Di mana kamu– koordinat titik bagian (Gbr. 24).

pada pada= 0, s = 0;

pada ymax ,

Hukum perubahan tegangan geser ditentukan oleh hukum perubahan momen statis luas, yang selanjutnya berubah sepanjang tinggi penampang menurut hukum parabola. Setelah menghitung nilai titik-titik karakteristik bagian tersebut, kita akan membuat diagram tegangan tangensial. Saat menghitung nilai t, kami akan menggunakan sebutan untuk dimensi bagian yang diadopsi pada Gambar. 17.

Kondisi kekuatan untuk lapisan 3–3 terpenuhi.

TUGAS 5

Untuk skema balok tertentu (Tabel 12), buatlah diagram gaya transversal Q dan momen lentur M. Pilih penampang untuk diagram a) bulat [S]= 10 MPa; b) balok-I [S]= 150 MPa.

Ambil data numerik dari tabel. 7.

Tabel 7

Data awal untuk soal no 6

№

saya

q 1 =q 3, kN/m

q 2 , kN/m

F 1, buku

F 2, buku

F 3, buku

M 1, kN∙m

M 2, kN∙m

M 3, kN∙m

Skema No.

0,8

1,2

Lanjutan tabel 12

2. Momen statis luas penampang terhadap sumbu Ons Dan Oh(cm 3, m 3):

4. Momen inersia sentrifugal suatu penampang terhadap sumbu Ons Dan Oi(cm 4, m 4):

Dari dulu

Aksial Jz Dan Jy dan kutub J p momen inersia selalu positif, karena koordinat pangkat dua berada di bawah tanda integral. Momen statis S z Dan S kamu, serta momen inersia sentrifugal J zy bisa positif dan negatif.

Kisaran baja canai untuk sudut memberikan nilai modulo momen sentrifugal. Nilai-nilainya harus dimasukkan ke dalam perhitungan dengan mempertimbangkan tandanya.

Untuk menentukan tanda momen sentrifugal sudut (Gbr. 3.2), kita membayangkannya secara mental sebagai jumlah dari tiga integral, yang dihitung secara terpisah untuk bagian-bagian dari bagian yang terletak di perempat sistem koordinat. Tentunya untuk bagian-bagian yang terletak pada kuarter pertama dan ketiga kita akan mendapat nilai positif dari integral ini, karena hasil kali zydA akan positif, dan integral yang dihitung untuk bagian-bagian yang terletak pada kuartal II dan IV akan menjadi negatif (hasil perkalian zydA akan negatif). Jadi, untuk sudut pada Gambar. 3.2, dan nilai momen inersia sentrifugal akan menjadi negatif.

Menalar dengan cara yang sama untuk bagian yang memiliki setidaknya satu sumbu simetri (Gbr. 3.2,b), kita dapat sampai pada kesimpulan bahwa momen inersia sentrifugal J zy sama dengan nol jika salah satu sumbu (Oz atau Oy) adalah sumbu simetri bagian tersebut. Memang untuk bagian-bagian segitiga yang terletak pada kuarter ke-1 dan ke-2, momen inersia sentrifugal hanya akan berbeda tandanya. Begitu pula dengan bagian-bagian yang berada pada kuarter III dan IV.

Momen statis. Menentukan pusat gravitasi

Mari kita hitung momen statis terhadap sumbu Ons Dan Oh persegi panjang yang ditunjukkan pada Gambar. 3.3.

Gambar 3.3. Menuju perhitungan momen statis

Di Sini: A- luas penampang, kamu Dan z C– koordinat pusat gravitasinya. Pusat gravitasi persegi panjang berada pada perpotongan diagonalnya.

Jelaslah bahwa jika sumbu-sumbu yang menghitung momen statis melewati pusat gravitasi gambar, maka koordinatnya sama dengan nol ( z C = 0, kamu= 0), dan sesuai dengan rumus (3.6), momen statis juga akan sama dengan nol. Dengan demikian, pusat gravitasi suatu bagian adalah suatu titik yang mempunyai sifat sebagai berikut: momen statis terhadap setiap sumbu yang melaluinya,sama dengan nol.

Rumus (3.6) memungkinkan kita mencari koordinat pusat gravitasi z C Dan kamu bagian dari bentuk yang kompleks. Jika bagian tersebut dapat direpresentasikan dalam bentuk N bagian-bagian yang diketahui luas dan kedudukan pusat gravitasinya, maka perhitungan koordinat pusat gravitasi seluruh bagian tersebut dapat dituliskan dalam bentuk:

.

(3.7)

Mengubah momen inersia pada translasi paralel sumbu

Biarkan momen inersia diketahui Jz, Jy Dan J zy relatif terhadap sumbu Oyz. Penting untuk menentukan momen inersia JZ, JY Dan JZY relatif terhadap sumbu HAI 1 YZ, sejajar dengan sumbu Oyz(Gbr. 3.4) dan dipisahkan dari mereka pada jarak tertentu A(secara horizontal) dan B(Tegak lurus)

Gambar 3.4. Mengubah momen inersia pada translasi paralel sumbu

Koordinat situs dasar da berhubungan satu sama lain dengan persamaan berikut: Z = z + A; Y = kamu + B.

Mari kita hitung momen inersianya JZ, JY Dan JZY.

(3.8)

(3.9)

(3.10)

Jika intinya HAI persimpangan sumbu Oyz bertepatan dengan intinya DENGAN– pusat gravitasi bagian tersebut (Gbr. 3.5) momen statis S z Dan S kamu menjadi sama dengan nol, dan rumusnya disederhanakanY i dan Z saya harus diperhatikan tanda-tandanya. Tanda koordinat tidak akan mempengaruhi momen inersia aksial (koordinat dipangkatkan kedua), tetapi tanda koordinat akan berpengaruh signifikan terhadap momen inersia sentrifugal (hasil kali Z saya Y saya A saya mungkin menjadi negatif).

Biarlah Ix, Iy, Ixy juga diketahui. Mari kita menggambar sumbu baru x 1, y 1 sejajar dengan sumbu xy.

Dan mari kita tentukan momen inersia bagian yang sama relatif terhadap sumbu baru.

X 1 = xa; kamu 1 =kamu-b

I x 1 = ∫ y 1 dA = ∫ (y-b) 2 dA = ∫ (y 2 - 2by + b 3)dA = ∫ y 2 dA – 2b ∫ ydA + b 2 ∫dA=

Ix – 2b Sx + b 2 A.

Jika sumbu x melewati pusat gravitasi penampang, maka momen statis Sx =0.

saya x 1 = Ix + b 2 A

Mirip dengan sumbu y 1 yang baru, kita akan memiliki rumus I y 1 = Iy + a 2 A

Momen inersia sentrifugal terhadap sumbu baru

Ix 1 y 1 = Ixy – b Sx –a Sy + abA.

Jika sumbu xy melalui pusat gravitasi penampang, maka Ix 1 y 1 = Ixy + abA

Jika penampangnya simetris, paling sedikit salah satu sumbu pusatnya berimpit dengan sumbu simetrinya, maka Ixy =0, artinya Ix 1 y 1 = abA

Perubahan momen inersia saat memutar sumbu.

Diketahui momen inersia aksial terhadap sumbu xy.

Kita memperoleh sistem koordinat xy baru dengan memutar sistem lama dengan sudut (a > 0), jika putarannya berlawanan arah jarum jam.

Mari kita buat hubungan antara koordinat situs lama dan baru

kamu 1 =ab = ac – bc = ab- de

dari segitiga acd:

ac/iklan =cos α ac= iklan*cos α

dari segitiga oed:

de/od =sin α dc = od*sin α

Mari kita substitusikan nilai-nilai ini ke dalam ekspresi y

y 1 = iklan cos α - od sin α = y cos α - x sin α.

Juga

x 1 = x cos α + y sin α.

Mari kita hitung momen inersia aksial terhadap sumbu baru x 1

Ix 1 = ∫y 1 2 dA = ∫ (y cos α - x sin α) 2 dA= ∫ (y 2 cos 2 α - 2xy sin α cos α + x 2 sin 2 α)dA= =cos 2 α ∫ y 2 dA – sin2 α ∫xy dA + sin 2 α ∫x 2 dA = Ix cos 2 α - Ixy sin2 α + Iy sin 2 α .

Demikian pula Iy 1 = Ix sin 2 α - Ixy sin2 α + Iy cos 2 α.

Mari tambahkan sisi kiri dan kanan dari ekspresi yang dihasilkan:

Ix 1 + Iy 1 = Ix (sin 2 α + cos 2 α) + Iy (sin 2 α + cos 2 α) + Ixy (sin2 α - cos2 α).

Ix 1 + Iy 1 = Ix + Iy

Jumlah momen inersia aksial selama rotasi tidak berubah.

Mari kita tentukan momen inersia sentrifugal relatif terhadap sumbu baru. Bayangkan nilainya x 1 ,y 1 .

Ix 1 y 1 = ∫x 1 y 1 dA = (Ix – Iy)/2*sin 2 α + Ixy cos 2 α .

Momen utama dan sumbu utama inersia.

Momen inersia utama mereka disebut nilai-nilai ekstrim.

Sumbu di mana nilai ekstrim diperoleh disebut sumbu inersia utama. Mereka selalu saling tegak lurus.

Momen inersia sentrifugal terhadap sumbu utama selalu sama dengan 0. Karena diketahui terdapat sumbu simetri pada penampang tersebut, maka momen sentrifugal sama dengan 0 yang berarti sumbu simetri adalah sumbu utama. Jika kita mengambil turunan pertama dari persamaan I x 1, lalu menyamakannya dengan “0”, kita memperoleh nilai sudut = sesuai dengan posisi sumbu inersia utama.

tan2 α 0 = -

Jika α 0 >0, maka untuk posisi sumbu utama tertentu sumbu lama harus diputar berlawanan arah jarum jam. Salah satu sumbu utama adalah maks, dan sumbu lainnya adalah min. Dalam hal ini, sumbu maks selalu berhubungan dengan sudut yang lebih kecil dengan sumbu acak yang relatif memiliki momen inersia aksial lebih besar. Nilai ekstrim momen inersia aksial ditentukan dengan rumus:

Bab 2. Konsep dasar kekuatan material. Tujuan dan metode.

Saat merancang berbagai struktur, penting untuk menyelesaikan berbagai masalah kekuatan, kekakuan, dan stabilitas.

Kekuatan– kemampuan suatu benda untuk menahan berbagai beban tanpa kerusakan.

Kekakuan– kemampuan suatu struktur untuk menyerap beban tanpa deformasi (perpindahan) yang besar. Nilai deformasi awal yang diperbolehkan diatur dengan peraturan dan perundang-undangan bangunan (SNIP).

Keberlanjutan

Pertimbangkan kompresi batang fleksibel

Jika beban ditingkatkan secara bertahap, batang akan memendek terlebih dahulu. Ketika gaya F mencapai nilai kritis tertentu, batang akan melengkung. - pemendekan mutlak.

Dalam hal ini, batang tidak runtuh, tetapi berubah bentuk secara tiba-tiba. Fenomena ini disebut hilangnya stabilitas dan berujung pada kehancuran.

Sopromat– ini adalah dasar-dasar ilmu kekuatan, kekakuan, dan stabilitas struktur teknik. Kekuatan material menggunakan metode mekanika teoritis, fisika, dan matematika. Berbeda dengan mekanika teoretis, kekuatan dan ketahanan memperhitungkan perubahan ukuran dan bentuk benda di bawah pengaruh beban dan suhu.