Бұл жиындардың ортақ элементтері бар ма? Жиындар теориясының элементтері. Негізгі сандық жиындар

1.1. Жиын теориясының негізгі ұғымдары мен анықтамалары

Дискретті математиканың кез келген концепциясын іргелі ұғымдардың бірі болып табылатын және алғаш рет неміс математигі Г.Кантор тұжырымдаған жиын ұғымы арқылы анықтауға болады.

астында көпбіртұтас ретінде қарастырылатын анықталған және ерекшеленетін объектілердің кез келген жиынтығы.

Можно говорить о множестве стульев в комнате, людей, живущих в г. Воронеже, студентов в группе, о множестве натуральных чисел, букв в алфавите, состояний системы и т. п. При этом о множестве можно вести речь только тогда, когда элементы множества различимы өз арамызда. Мысалы, бір стақан судағы көп тамшылар туралы айту мүмкін емес, өйткені әрбір тамшыны нақты және анық көрсету мүмкін емес.

Жиынды құрайтын жеке объектілер жиынның элементтері деп аталады. Сонымен, 3 саны натурал сандар жиынының элементі, ал b әрпі орыс алфавитінің әріптер жиынының элементі болып табылады.

Жиынның жалпы белгісі — бұйра жақшалар жұбы ( ), оның ішінде жиынның элементтері тізімделген. Арнайы жиындарды белгілеу үшін әртүрлі бас әріптер қолданылады. А, С, X...немесе индекстері бар бас әріптер А 1 , А 2. Жиынның элементтерін жалпы формада белгілеу үшін әртүрлі кіші әріптер қолданылады. А, с, x...немесе индекстері бар кіші әріптер А 1 , А 2 ...

Кейбір элементті көрсету үшін А С, жиынға жататын О таңбасы қолданылады. Жазылу аÎ Сэлемент екенін білдіреді ажиынтығына жатады С, және жазба xÏ Сэлемент екенін білдіреді Xжиынтыққа жатпайды С. Жазылу X 1 , x 2 ,... ...,x nÎ Саббревиатура ретінде қолданылады x 1 О С, x 2 О С,..., x nÎ С.

Әдетте, жиынның барлық элементтері бір-бірінен ажыратылады деп есептеледі. Қайталанатын элементтері бар жиын мультижиын деп аталады. Комбинаторикада мультисеттер маңызды рөл атқарады. Келесіде әртүрлі элементтері бар жиындар қарастырылады.

Сандық жиындар үшін келесі белгілерді қолданамыз:

натурал сандар жиыны, яғни.

бүтін сандар жиыны болып табылады, яғни. = (0, ±1, ±2, …);

рационал сандар жиыны, =( / \ , н ; ¹ 0);

нақты сандар жиыны;

күрделі сандар жиыны болып табылады.

Жиындар ақырлы немесе шексіз. Жиынның элементтерінің саны ақырлы болса, яғни натурал сан болса, жиын ақырлы деп аталады. n, бұл жиындағы элементтердің саны. Қоңырауды орнату шексізегер оның құрамында элементтердің шексіз саны болса. Ақырлы жиынның элементтерінің саны деп аталады қуатжәне = деп белгіленеді n, жиынтық болса Xқамтиды nэлементтері.

Жиындар теориясындағы маңызды ұғым бос жиын ұғымы болып табылады. бос жиынешбір элементі жоқ жиын болып табылады. Бос жиын таңбамен белгіленеді Мысалы:

{xÎ Р | x 2 -x+1=0}=

Бос жиын ұғымы жиындарды сипаттау арқылы анықтауда өте маңызды рөл атқарады. Сонымен, бос жиын ұғымынсыз біз топтың үздік студенттерінің жиынтығы туралы немесе нақты түбірлер жиынтығы туралы айта алмас едік. квадрат теңдеу, алдымен осы топта үздік студенттер бар-жоғын немесе бұл теңдеудің нақты түбірлері бар-жоғын білмей-ақ. Бос жиынтықты енгізу қарастырылып отырған топта үздік студенттердің бар-жоғы туралы алаңдамай, топтың үздік студенттерінің жиынтығымен тыныш жұмыс істеуге мүмкіндік береді. Бос жиын шартты түрде ақырлы жиындар деп аталады.

Қарастырылып отырған барлық элементтері бар жиын деп аталады әмбебапнемесе ғаламжәне белгіленеді У.

Арнайы жинақтармен жұмыс істеу үшін оларды орната білу керек. Жиындарды анықтаудың екі жолы бар: санау және сипаттау. Жиынды санау тәсілімен көрсету жиынды құрайтын барлық элементтерді тізімдеуге сәйкес келеді. Сонымен, топтың үздік студенттерінің жиынтығын, мысалы, (Иванов, Петров, Сидоров) үздік оқитын студенттерді тізімдеу арқылы көрсетуге болады. Жазбаны қысқарту үшін X={X 1 , X 2 , ...,x n) кейде индекстер жиынын енгізеді I={1, 2,..., n) және жазыңыз X={x i}, менÎ I. Бұл әдіс элементтердің аз саны бар шекті жиындарды қарастыру кезінде ыңғайлы, бірақ кейде оны шексіз жиындарды көрсету үшін де қолдануға болады, мысалы (2, 4, 6, 8 ...). Әрине, мұндай белгі эллипс нені білдіретіні анық болса, қолданылады.

Жиынды анықтаудың сипаттамалық тәсілі жиынның барлық элементтеріне ие болатын сипатты сипатты көрсету болып табылады. Бұл белгіні пайдаланады

X={x | xмүлкі бар Q(x)}.

Жақшадағы өрнек: барлық элементтердің жиыны X, мүлкі бар Q(x). Сонымен, егер Мтоптағы оқушылардың жиыны, содан кейін жиынтық Аосы топтың үздік студенттері формада жазылады А={XÎ М | X- топтың үздік студенті)

ол келесідей оқылады: орнату Аэлементтерден тұрады Xжинақтар М, бұл қасиеті бар Xтоптың үздік студенті.

Элементтердің қай жиыннан алынғаны күмән тудырмайтын жағдайларда X, меншік белгісі Xкөп Мжасай алмайсың. Сонымен қатар, көптеген Атүрінде жазылады

A=( X | X- топтың үздік студенті).

Міне, сипаттау әдісімен жиындарды көрсетудің кейбір мысалдары: ( x | x– жұп) – жұп сандар жиыны;

{X | X 2 –1=0) – орнату (+1, –1).

Болсын З бүтін сандар жиыны болып табылады. Содан кейін ( xÎ З | 0<x£7) жиыны (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7).

Тақ сандар жиынын келесідей анықтауға болады ( x| x=2кКейбіреулер үшін +1 кÎ З}.

Сипаттары бар жиынды анықтау тәсілі кейбір қауіптерге толы, өйткені «дұрыс емес» орнатылған сипаттар сәйкессіздіктерге әкелуі мүмкін. Міне, ең типтік парадокстардың бірі – Рассел парадоксы. Өзінің элементтері болып табылмайтын барлық жиындардың жиынын қарастырайық: . Енді жиынтық бар ма деп сұраймыз TOсіздің элементіңізбен? Егер TOÎ TO, содан кейін жиынды көрсететін сипат TO, яғни. TOÏ TO, бұл қайшылыққа әкеледі. Егер TOÏ TO, содан кейін, анықтайтын сипат болғандықтан TO, деген қорытындыға келеміз TOÎ TO, бұл болжамға қайшы келеді. Осылайша, әрбір қасиет жиынның мағыналы тағайындалуына әкелмейді.

Сонымен қатар, жиынды мәндері (иә немесе жоқ) көрсететін сипаттамалық функция арқылы көрсетуге болады. Xэлементті орнату X :

Кез келген элементтер үшін = 0 екенін ескеріңіз; = 1.

Мысал. Ғаламға берсін У={a,b,c,d,e) жиынтық X={a,c,d), Содан кейін

Ерікті жиындар үшін XЖәне Ықатынастың екі түрін анықтауға болады - теңдік қатынасы және қосу қатынасы.

Екі жиын бірдей элементтерден тұрса, тең деп есептеледі. Қабылданған белгі X=Ы, Егер XЖәне Ытең және X Ы- әйтпесе.

Мұны кез келген жиынтықта көру оңай X, Ы, Зқарым-қатынастар

Жиындардың теңдігінің анықтамасынан жиындағы элементтердің реті маңызды емес екені шығады. Сонымен, мысалы, жиындар (3, 4, 5, 6) және (4, 5, 6, 3) бірдей жиын.

Жиынның әрбір элементі болса Xжиынның элементі болып табылады Ы, сосын олар осылай дейді Xкіреді Ыжәне белгілеңіз:

Бұл жағдайда біз жиынтық деп айтамыз Xболып табылады ішкі жиынжинақтар Ы. Сондай-ақ XЖәне Ысәйкес келуі мүмкін, сондықтан қатынас деп те аталады қатаң емес қосу.Ішкі жиынның анықтамасынан туындайтын кейбір қасиеттерін атап өтеміз:

Егер және болса, онда олар осылай дейді XСонда бар Y-тің меншікті жиыныжәне таңбалау, бұл жағдайда жиындар арасындағы қатынас қатынас деп аталады қатаң емес қосу.Қатаң қосу қатынасы үшін,

Ішкі жиынды қамтымайды Xкөпшілікке Ы X деп белгіленді. Мұндай жиынтық деп аталады отбасын орнатунемесе логикалықжинақтар Xжәне белгіленеді П(X) Кез келген жиынға кіретіндіктен, онда .

Мысал. рұқсат етіңіз. Содан кейін

1-бет

9-10 сыныптар

Модуль 1: Жиындар теориясының негіздері

. . .
1-жаттығу.

А) Жиынның қандай элементтерден тұратынын түсіндір. Н, З, Q, Р.

B) Әрбір жиынның элементі болып табылатын бірнеше сандарды ата.

C) Жиындардың біреуінің элементтері болып табылатын, қалған үшеуінің элементтері болып табылмайтын сандарды ата.

D) Осы жиындардың бір-бірімен байланысын көрсететін сызбаны сал.

Жауап.

C) Мұндай элементтер тек жиынтықта болады Р. Мысалы,  Р , Бірақ  Н,  З,  Q. Кез келген жиынның элементтері Н, З, Q міндетті түрде жиынтыққа кіреді Р.

Г

Н – натурал сандар жиыны;
З – бүтін сандар жиыны;
Q – рационал сандар жиыны;

Р – нақты сандар жиыны.
Мұғалім.Материалды қарастыра отырып, біз нақты сандар жиынының шеңберінен шықпаймыз.
2-тапсырма.Жиынды көрсетіңіз:

А) мектебіңіздің математика мұғалімдері;

B) тақ сандар;

B) теңдеудің түбірлері X 2 + 5 = 0;

D) теңсіздіктің шешімдері X > 4;

Жауап: B) ( X X = 2n - 1; n  З };

D) (4; +).

Мұғалім.Қажет болған жағдайда әртүрлі типтегі теңсіздіктердің шешімдерінің сандық жиындарын жазуды қайталауға болады («Кесте» қолданбасы).
Тең жиындар.Бірдей элементтерден тұратын жиындар тең деп есептеледі.

Мысалы, A = ( 1, 2, 3 ); B =( X (X- 1)(X- 2)(X- 3) = 0 ). A = B.

Жиындар үшін теңдік қатынасы, сандар үшін теңдік қатынасы сияқты, рефлексиялық, симметриялылық және өтпелілік қасиеттеріне ие.

• 
  A = A (рефлексия);
• 
  Егер A \u003d B, онда B \u003d A (симметрия);
• 
  Егер A = B және B = C болса, онда A = C (өтпелілік).

Жиынның күші.Элементтерінің шекті саны бар жиын үшін негізгілік оның элементтерінің саны болып табылады.

А = {A;б; в; г). Оның күші:  А= 4.

Егер екі жиынтықта бірдей негізгілік болса, олар эквивалент деп аталады. Бір топ Акөптеген маусымдарға тең.

Бір қызығы, адам алдымен жиындарды элементтер саны бойынша салыстыруды, кейінірек - объектілерді санауды үйренді. Екі жиынды элементтер саны бойынша келесідей салыстыруға болады: бір жиынның әрбір элементі екіншісінің элементімен байланысты. Егер барлық элементтер жұпта «пайда болса», онда жиындар эквивалентті болады. Егер салыстыру кезінде жиындардың біреуінің кейбір элементтері жұпсыз қалса, онда ол көбірек элементтерді қамтиды.

Барлық шекті жиындарды элементтер саны бірдей барлық жиындарды бір сыныпқа орналастыру арқылы ойша сұрыптауға болады. Және бұл жиынтықтың сипаттамасы ретінде әрбір сыныпқа белгілі бір нөмір беріледі. Сонымен натурал саны 1 Жалпы сипаттамасыбір элементі бар барлық жиындардың ішінде 5 натурал саны бес элементі бар барлық жиындардың ортақ сипаттамасы болып табылады.

Шексіз жиындар үшін де жеке сәйкестікті орнатуға болады. Мысалы, бір қатарға барлық натурал сандарды, ал екінші қатарға барлық жұп сандарды элемент астындағы элементті жазайық.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 . . .

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 . . .
Бірінші жиынтықтағы барлық сандар екінші жиынтықта бірегей жұпқа ие және керісінше екенін көреміз. Яғни, натурал сандар жиынында натурал жұп сандар жиынындай элементтер саны бірдей болады. Яғни, олар тең.

N натурал сандар жиынына эквивалентті жиындар есептелетін деп аталады. Бір қызығы, мысалы, оң рационал сандар жиыны есептелетін болады.

Барлық нақты сандар жиынының кардиналдығы континуумның кардиналдығы деп аталады. Континуумның кардиналдығы (0,1) интервалына түбегейлі эквивалентті барлық жиындарға да тән. Сонымен, барлық нақты сандар жиыны (0,1) интервалына эквивалентті.
Эквиваленттік қатынас рефлексиялық, симметриялық және өтпелілік қасиеттеріне де ие.

Яғни, кез келген A және B жиындары үшін бұл дұрыс:

• 
  A = A
• 
  Егер A = B болса, онда B = A;
• 
  Егер A = B және B = C болса, A = C  болады.

3-тапсырма. Жиындардың кардиналдығын табыңыз:

A) T – үш таңбалы натурал сандар жиыны;

B) K – кубтың беттерінің жиыны;

C) Р – 7-ге еселік натурал сандар жиыны.

D) A-C пункттерінің әрқайсысына эквивалентті жиындарға мысалдар келтіріңіз.

Жауап: A) Т= 900; B) K= 6; C) К жиыны есептелетін.
мұғалім. Оқушылармен жиындар теңдігі мен жиындар теңдігі ұғымдарының айырмашылығы туралы әңгімелеу.

4-тапсырма. A – «RING» сөзінің әріптерінің жиынтығы, В – «CAP» сөзінің әріптерінің жиынтығы, С -

«КӨШЕ» сөзінің көп әріптері. Тең және эквипотентті жиындарды көрсетіңіз.

Жауап: A \u003d (K, O, L, L, C), B \u003d (C, O, K, L, L), C \u003d (Y, L, I, C, A). Барлық үш жиынтықтың кардиналдығы 5-ке тең, бұл олардың кардиналдығы бойынша эквивалентті екенін білдіреді.

Новосибирск өнімді оқыту орталығының әдіскерлері әзірлеген материалдар

1-бет

I. Жиын – кейбір жалпы қасиеттерге немесе заңдарға (бетте көп әріптер, бөлгіші бар көптеген дұрыс бөлшектер) сәйкес құрастырылған кейбір объектілердің немесе сандардың жиынтығы. 5 , аспандағы көптеген жұлдыздар және т.б.).

Жиынды жазу үшін бұйра жақшалар қолданылады: «{ »- жиын ашылады; "}" — жиын жабық. Ал жиынның өзі бас латын әріптері деп аталады: A, B, Cтағыда басқа.

Мысалдар.

1 . Жазу жиыны А, сөздегі барлық дауысты дыбыстардан құралған «математика».

Шешім. A \u003d (a, e, u). Көріп тұрсыз: сөзде болғанына қарамастан «математика»үш әріп бар «А»- жазбада және әріпте бірнеше рет қайталауға рұқсат етілмейді «А»тек бір рет жазылады. Бір топ Аүш элементтен тұрады.

2. Бөлгіші бар барлық дұрыс бөлшектердің жиынын жаз 5 .

Шешім.Есіңізде болсын: алымы бөлімінен кіші болатын жай бөлшек жай бөлшек деп аталады. арқылы белгілеңіз INқалаған жиынтық. Содан кейін:

Бір топ INтөрт элементтен тұрады.

II. Жиындар элементтерден тұрады және олар ақырлы немесе шексіз болады. Құрамында ешбір элементі жоқ жиын бос жиын деп аталады және белгіленеді Ø.

III. Бір топ INжиынның ішкі жиыны деп аталады Ажиынның барлық элементтері болса INжиынның элементтері болып табылады А.

3. Берілген екі жиынның қайсысы INЖәне МЕН TO,

Егер IN={-1; 3; 4}, C={0; 3; 4; 5), Қ={0; 2; 3; 4; 5; 6} ?

Шешім. Жиынның барлық элементтері МЕНжиынның элементтері болып табылады TO, демек, жиынтық МЕНжиынның ішкі жиыны болып табылады TO.Жаз:

IV. Қиылыс орнату АЖәне INэлементтері жиынға жататын жиын болып табылады Ажәне көптеген IN.

4. Екі жиынның қиылысуын көрсетіңіз МЖәне ФЭйлер шеңберлерін пайдаланады.

Шешім.

Кең алуан түрінен жинақтардеп аталатындар ерекше қызығушылық тудырады сандар жиындары, яғни элементтері сандар болатын жиындар. Олармен ыңғайлы жұмыс істеу үшін оларды жазып алу керек екені анық. Сандық жиындарды жазудың белгілері мен принциптерімен біз бұл мақаланы бастаймыз. Содан кейін координаталық түзуде сандық жиындар қалай бейнеленгенін қарастырамыз.

Бетті шарлау.

Сандық жиындарды жазу

Қабылданған белгіден бастайық. Белгілі болғандай, жиындарды белгілеу үшін латын әліпбиінің бас әріптері қолданылады. Жиындардың ерекше жағдайы ретінде сандық жиындар да белгіленеді. Мысалы, A , H , W және т.б. сандық жиындар туралы айтуға болады. Натурал, бүтін, рационал, нақты, күрделі сандар және т.б. жиындары ерекше маңызға ие, олар үшін өздерінің белгілеулері қабылданған:

• N – барлық натурал сандар жиыны;
• Z – бүтін сандар жиыны;
• Q – рационал сандар жиыны;
• J – иррационал сандар жиыны;
• R – нақты сандар жиыны;
• С – күрделі сандар жиыны.

Бұдан, мысалы, 5 және −7 екі санынан тұратын жиынды Q деп белгілеудің қажеті жоқ екені анық, бұл белгілеу жаңылыс болады, өйткені Q әрпі әдетте барлық рационал сандар жиынын білдіреді. Көрсетілген сандық жиынды белгілеу үшін басқа «бейтарап» әріптерді қолданған дұрыс, мысалы, А.

Белгілеу туралы сөз болғандықтан, бұл жерде бос жиынның, яғни элементтері жоқ жиынның белгіленуі де еске түседі. Ол ∅ белгісімен белгіленеді.

Сонымен қатар жиындағы элементтің мүшелік және мүшелік еместік белгіленуін еске түсірейік. Ол үшін ∈ - тиесілі және ∉ - тиесілі емес белгілерін қолданыңыз. Мысалы, 5∈N белгісі 5 саны натурал сандар жиынына жататынын білдіреді, ал 5,7∉Z - ондық 5,7 бүтін сандар жиынына жатпайды.

Бір жиынды екіншісіне қосу үшін қабылданған белгілерді де еске түсірейік. N жиынының барлық элементтері Z жиынына кіретіні анық, сондықтан N сандар жиыны Z құрамына кіреді, бұл N⊂Z деп белгіленеді. Сондай-ақ Z⊃N белгілеуін қолдануға болады, бұл Z барлық бүтін сандар жиынына N жиынын қамтитынын білдіреді. Қосылмаған және қосылмаған қатынастар сәйкесінше ⊄ және таңбаларымен белгіленеді. ⊆ және ⊇ пішінінің қатаң емес қосу белгілері де қолданылады, сәйкесінше енгізілген немесе сәйкес келеді және кіреді немесе сәйкес келеді.

Белгілеу туралы айттық, сандық жиындардың сипаттамасына көшейік. Бұл жағдайда біз тәжірибеде жиі қолданылатын негізгі жағдайларға ғана тоқталамыз.

Ақырғы және аз элементтерді қамтитын сандық жиындардан бастайық. Элементтердің шектеулі санынан тұратын сандық жиындарды олардың барлық элементтерін тізімдеу арқылы ыңғайлы сипаттауға болады. Барлық сан элементтері үтірмен бөлініп жазылады және ішіне жалпыға сәйкес келеді сипаттау ережелерін орнату. Мысалы, 0 , −0,25 және 4/7 үш санынан тұратын жиынды (0, −0,25, 4/7) деп сипаттауға болады.

Кейде сандық жиынның элементтерінің саны жеткілікті үлкен болса, бірақ элементтері қандай да бір үлгіге бағынатын болса, сипаттау үшін эллипс қолданылады. Мысалы, 3-тен 99-ға дейінгі барлық тақ сандар жиынын (3, 5, 7, ..., 99) түрінде жазуға болады.

Сонымен, біз элементтерінің саны шексіз болатын сандық жиындардың сипаттамасына оңай жақындадық. Кейде оларды бірдей эллипсис арқылы сипаттауға болады. Мысалы, барлық натурал сандар жиынын сипаттайық: N=(1, 2. 3, …) .

Сондай-ақ олар сандық жиындардың сипаттамасын оның элементтерінің қасиеттерін көрсету арқылы пайдаланады. Бұл жағдайда (x| қасиеттері) белгісі қолданылады. Мысалы, белгілеу (n| 8 n+3, n∈N) 8-ге бөлгенде 3 қалдығын беретін натурал сандар жиынын анықтайды. Сол жиынды (11,19, 27, ...) деп сипаттауға болады.

Ерекше жағдайларда элементтерінің шексіз саны бар сандық жиындар белгілі N , Z , R , т.б. немесе сандық бос орындар. Және жалпы алғанда, сандық жиындар ретінде көрсетіледі Одақоларды құрайтын жеке сандық интервалдар және элементтердің шектеулі саны бар сандық жиындар (бұл туралы біз сәл жоғарырақ айтқанбыз).

Мысал көрсетейік. Сан жиыны −10 , −9 , −8.56 , 0 сандары, [−5, −1.3] интервалының барлық сандары және ашық сандық сәуленің сандары (7, +∞) болсын. Жиындар бірлестігінің анықтамасының арқасында көрсетілген сандық жиынды былай жазуға болады {−10, −9, −8,56}∪[−5, −1,3]∪{0}∪(7, +∞) . Мұндай белгілеу шын мәнінде жиындардың барлық элементтерін қамтитын жиынды білдіреді (−10, −9, −8.56, 0) , [−5, −1.3] және (7, +∞) .

Сол сияқты әртүрлі сандық диапазондар мен жеке сандар жиындарын біріктіру арқылы кез келген сандар жиынын (нақты сандардан тұратын) сипаттауға болады. Бұл жерде интервал, жартылай интервал, кесінді, ашық сандық сәуле және сандық сәуле сияқты сандық интервалдардың неліктен енгізілгені түсінікті болады: олардың барлығы жеке сандар жиындарының белгілеуімен біріктірілген, бұл мүмкіндік береді. олардың бірігуі арқылы кез келген сандық жиындарды сипаттау.

Сандық жиынды жазғанда оның құрамдас сандары мен сандық интервалдары өсу ретімен сұрыпталатынын ескеріңіз. Бұл міндетті емес, бірақ қажетті шарт, өйткені реттелген сандық жиынды координаталық түзуде көрсету және бейнелеу оңайырақ. Сондай-ақ, мұндай жазбалар ортақ элементтері бар сандық ауқымдарды пайдаланбайтынына назар аударыңыз, өйткені мұндай жазбаларды жалпы элементтері жоқ сандық ауқымдар бірлестігімен ауыстыруға болады. Мысалы, [−10, 0] және (−5, 3) ортақ элементтері бар сандық жиындардың бірігуі жартылай интервал [−10, 3) . Бұл бірдей шекаралық сандармен сандық интервалдардың бірігуіне де қатысты, мысалы, біріктіру (3, 5]∪(5, 7] жиыны (3, 7] , біз бұған үйренген кезде жеке тоқталамыз. сандық жиындардың қиылысуын және бірігуін табыңыз.

Координаталық түзудегі сандар жиынының кескіні

Практикада сандық жиындардың геометриялық кескіндерін – олардың кескіндерін пайдалану ыңғайлы. Мысалы, қашан теңсіздіктерді шешу, онда ODZ-ді ескеру қажет, олардың қиылысуын және/немесе бірігуін табу үшін сандық жиындарды бейнелеу қажет. Сондықтан координаталық түзудегі сандық жиындарды бейнелеудің барлық нюанстарын жақсы түсіну пайдалы болады.

Координаталық түзудің нүктелері мен нақты сандар арасында бір-бірден сәйкестік болатыны белгілі, бұл координаталық түзудің өзі барлық R нақты сандар жиынының геометриялық моделі екенін білдіреді. Осылайша, барлық нақты сандар жиынын бейнелеу үшін оның бүкіл ұзындығы бойынша штрихпен координаталық сызықты салу қажет:

Көбінесе олар шығу тегі мен бір сегментті көрсетпейді:

Енді жеке сандардың қандай да бір ақырғы саны болып табылатын сандық жиындардың бейнесі туралы сөйлесейік. Мысалы, сандар жиынын салайық (−2, −0,5, 1,2) . Бұл жиынның үш санынан тұратын -2, -0,5 және 1,2 геометриялық бейнесі сәйкес координаталары бар координаталық түзудің үш нүктесі болады:

Әдетте практикалық қажеттіліктер үшін сызбаны дәл орындаудың қажеті жоқ екенін ескеріңіз. Көбінесе схемалық сызба жеткілікті, бұл қосымша масштабты білдіреді, ал бір-біріне қатысты нүктелердің салыстырмалы орнын сақтау ғана маңызды: координатасы кішірек кез келген нүкте үлкенірек координатасы бар нүктенің сол жағында болуы керек. Алдыңғы сызба схемалық түрде келесідей болады:

Бөлек, барлық мүмкін болатын сандық жиындардан олардың геометриялық кескіндерін білдіретін сандық интервалдар (интервалдар, жарты интервалдар, сәулелер және т.б.) ажыратылады, біз бөлімде егжей-тегжейлі қарастырдық. Біз бұл жерде өзімізді қайталамаймыз.

Ал бірнеше сандық интервалдар мен жеке сандардан тұратын жиындардың бірігуі болып табылатын сандық жиындардың бейнесіне тоқталу ғана қалады. Мұнда күрделі ештеңе жоқ: одақтың мағынасына сәйкес, бұл жағдайларда координаталық түзуде берілген сандық жиынның жиынының барлық құрамдастарын бейнелеу керек. Мысал ретінде сандар жиынының бейнесін көрсетейік (−∞, −15)∪{−10}∪[−3,1)∪ (лог 2 5, 5)∪(17, +∞) :

Бір немесе бірнеше нүктелерді қоспағанда, бейнеленген сандық жиынтық нақты сандардың бүкіл жиынтығы болып табылатын жиі кездесетін жағдайларға тоқталайық. Мұндай жиындар көбінесе x≠5 немесе x≠−1 , x≠2 , x≠3,7 т.б. сияқты шарттармен белгіленеді. Бұл жағдайларда геометриялық түрде олар сәйкес нүктелерді қоспағанда, бүкіл координаталық сызықты көрсетеді. Басқаша айтқанда, бұл нүктелерді координаталық түзуден «тестіру» керек. Олар ортасы бос шеңберлер түрінде бейнеленген. Түсінікті болу үшін шарттарға сәйкес келетін сандық жиынды бейнелейміз (бұл жиын негізінен):

Қорытындылау. Ең дұрысы, алдыңғы абзацтардағы ақпарат жеке сандық интервалдардың көрінісі сияқты сандық жиындардың жазылуы мен көрсетілуінің бірдей көрінісін қалыптастыруы керек: сандық жиынның жазбасы координаталық түзуде оның кескінін дереу беруі керек, ал келесі суреттен координаталық түзу үшін біз жеке бос орындар мен жеке сандардан тұратын жиындардың бірігуі арқылы сәйкес сандық жиынды оңай сипаттауға дайын болуымыз керек.

Әдебиеттер тізімі.

• Алгебра:оқулық 8 ұяшық үшін. жалпы білім беру мекемелер / [Ю. Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова]; ред. С.А.Теляковский. - 16-шы басылым. - М. : Білім, 2008. - 271 б. : науқас. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Мордкович А.Г.Алгебра. 9-сынып 14.00 1-бөлім. Оқу орындарының студенттеріне арналған оқулық / А.Г.Мордкович, П.В.Семенов. - 13-ші басылым, Sr. - М.: Мнемосине, 2011. - 222 б.: сырқат. ISBN 978-5-346-01752-3.

Жиын ұғымы негізгі математикалық ұғымдардың бірі болып табылады. Бұл анықталмаған ұғым, оны тек мысалдармен сипаттауға немесе түсіндіруге болады. Сонымен, латын әліпбиіндегі әріптер жиынтығы, берілген кітапханадағы барлық кітаптар жиынтығы, берілген топтағы студенттер жиынтығы, берілген сызықтың барлық нүктелерінің жиыны туралы айтуға болады. Жиынды анықтау үшін элементтерді санау немесе көрсету жеткілікті тәнэлемент қасиеттері, яғни. берілген жиынның барлық элементтері және оларда ғана болатын қасиет.

Анықтама 1.1.Жиынды құрайтын объектілер (объектілер) оның деп аталады элементтері.

Жиын әдетте бас латын әріптерімен, ал жиынның элементтері кіші әріптермен белгіленеді. Не xжиынның элементі болып табылады А, былай жазылған: x А(xтиесілі А). Жазбаны қарау x А(x А) дегенді білдіреді xтиесілі емес А, яғни. жиынның элементі емес А.

Жиынның элементтері әдетте бұйра жақшаларда жазылады. Мысалы, егер A-латын әліпбиінің алғашқы үш әріпінен тұратын жиынтық, содан кейін ол былай жазылады: A={a,b,c} .

Жиында элементтердің шексіз саны болуы мүмкін (түзу сызықтағы нүктелер жиыны, натурал сандар жиыны), соңғы элементтер саны (сыныптағы мектеп оқушыларының жиыны) немесе мүлде элемент болмауы мүмкін бос сыныптағы студенттер).

Анықтама 1.2.Құрамында ешбір элементі жоқ жиын деп аталады бос жиын, Ø арқылы белгіленеді.

Анықтама 1.3.Бір топ Ашақырды ішкі жиынжинақтар Бжиынның әрбір элементі болса Ажиынтығына жатады Б. Бұл белгіленеді А Б(A-ішкі жиын Б).

Бос жиын кез келген жиынның ішкі жиыны болып саналады. Егер жиынтық Ажиынның ішкі жиыны емес Б, содан кейін олар жазады А Б.

Анықтама 1.4.Екі жиынтық АЖәне Бшақырды теңегер олар бір-бірінің ішкі жиындары болса. тағайындау A=B.Бұл дегеніміз, егер x А, Бұл x Bжәне керісінше, яғни. егер және болса, онда.

Анықтама 1.5.қиылысыжинақтар АЖәне Бжиынтық деп аталады М, оның элементтері бір уақытта екі жиынның элементтері болып табылады АЖәне б.тағайындау М= А б.Анау. x А Б, Бұл x АЖәне xB.

жаз А B={x | x АЖәне x B). (Одақтың орнына Және -белгілері, & қойылады).

Анықтама 1.6.Егер А B=Ø, онда жиынтықтар деп айтамыз АЖәне B қиылыспайды.

Сол сияқты, 3, 4 және жиындардың кез келген соңғы санының қиылысуын анықтауға болады.

Анықтама 1.7.Қауымдастықжинақтар АЖәне Бжиынтық деп аталады М, оның элементтері берілген жиындардың ең болмағанда біреуіне жатады.Белгілеу M=A б.Бұл. А B={x | x Анемесе x B). (Одақтың орнына немесе -белгісі қойылады).

Жиын A 1 A2 … Ан.Ол элементтерден тұрады, олардың әрқайсысы жиындардың кем дегенде біреуіне жатады A 1,A2,…,А н(немесе бірден бірнеше болуы мүмкін) .

1.8-мысал. 1) егер A=(1;2;3;4;5) және B=(1;3;5;7;9), содан кейін А B=(1;3;5) және А B={1;2;3;4;5;7;9}.

2) егер A=(2;4) және B=(3;7), содан кейін А B=Ø және А B={2;3;4;7}.

3) егер A=(жаз айлары) және B=(30 күндік айлар), содан кейін А B=(маусым) және А B=(сәуір; маусым; шілде; тамыз; қыркүйек; қараша).

Анықтама 1.9.табиғи 1,2,3,4, ... сандары шақырылады, объектілерді санау үшін қолданылады.

Натурал сандар жиыны N, N=(1;2;3;4;…;n;…) арқылы белгіленеді. Ол шексіз, ең кіші элементі 1, ал ең үлкен элементі жоқ.

1.10-мысал. А 40 санының натурал бөлгіштер жиыны болып табылады. Осы жиынның элементтерін көрсетіңіз. Бұл рас па 5 A, 10 A, -8 A, 4 A, 0 A, 0 A.

А= (1,2,4,5,8,10,20,40). (V, V, N, N, N, V)

1.11-мысал.Сипаттамалық қасиеттерімен берілген жиындардың элементтерін көрсетіңіз.