Периодтылық үшін функцияны зерттеу. Функцияның периодтылығын қалай анықтауға болады Функция бар болса периодты деп аталады

Табиғат құбылыстарын зерттей отырып, техникалық есептерді шеше отырып, біз ерекше түрдегі функциялармен сипатталатын мерзімді процестерге тап боламыз.

D облысы бар y = f(x) функциясы, егер келесі екі шарт орындалатын кем дегенде бір T > 0 саны болса, мерзімді деп аталады:

1) x + T, x − T нүктелері кез келген x ∈ D үшін D облысына жатады;

2) D-дан әрбір x үшін бізде қатынас бар

f(x) = f(x + T) = f(x − T).

T саны f(x) функциясының периоды деп аталады. Басқаша айтқанда, периодтық функция - белгілі бір аралықтан кейін мәндері қайталанатын функция. Мысалы, y = sin x функциясы периодты (1-сурет) периоды 2π.

Назар аударыңыз, егер T саны f(x) функциясының периоды болса, онда 2T саны да оның периоды болады, сонымен қатар 3T және 4T және т.б., яғни периодтық функцияның шексіз көп әр түрлі периодтары болады. Егер олардың арасында ең кішісі болса (нөлге тең емес), онда функцияның барлық басқа периодтары осы санға еселік болады. Әрбір периодтық функцияның мұндай ең аз оң периоды болмайтынын ескеріңіз; мысалы, f(x)=1 функциясының мұндай периоды жоқ. Сонымен қатар, мысалы, ең кіші оң периоды T 0 болатын екі периодтық функцияның қосындысы міндетті түрде бірдей оң периодқа ие болмайтынын есте ұстаған жөн. Сонымен, f(x) = sin x және g(x) = −sin x функцияларының қосындысының ең кіші оң периоды мүлде жоқ, ал f(x) = sin x + sin 2x және g( функцияларының қосындысы x) = −sin x, оның ең кіші периодтары 2π, ең кіші оң периоды π-ге тең.

Егер f(x) және g(x) екі функциясының периодтарының қатынасы рационал сан болса, онда бұл функциялардың қосындысы мен көбейтіндісі де периодтық функциялар болады. Егер барлық жерде анықталған және үздіксіз f және g функцияларының периодтарының қатынасы иррационал сан болса, онда f + g және fg функциялары қазірдің өзінде периодты емес функциялар болады. Сонымен, мысалы, cos x sin √2 x және cosj √2 x + sin x функциялары периодты емес, sin x және cos x функциялары 2π периоды периодты болғанымен, sin √2 x және cos функциялары √2 x периоды √2 π болатын периодты.

Назар аударыңыз, егер f(x) периоды Т болатын периодтық функция болса, онда күрделі функция (әрине, мағынасы болса) F(f(x)) да периодтық функция болып табылады, ал T саны оның қызметін атқарады. кезең. Мысалы, y \u003d sin 2 x, y \u003d √ (cos x) (2.3-сурет) функциялары периодтық функциялар болып табылады (мұнда: F 1 (z) \u003d z 2 және F 2 (z) \u003d √z ). Дегенмен, f(x) функциясының ең кіші оң периоды T 0 болса, F(f(x)) функциясының да ең кіші оң периоды болады деп ойлауға болмайды; мысалы, y \u003d sin 2 x функциясының ең кіші оң периоды бар, ол f (x) \u003d sin x функциясынан 2 есе аз (2-сурет).

Егер f функциясы T периодымен периодты болса, нақты түзудің әрбір нүктесінде анықталған және дифференциалданатын болса, f "(x) (туынды) функциясы да T периоды бар периодты функция болатынын көрсету оңай, бірақ f(x) үшін антитуынды функциясы F (x) (Интегралдық есептеуді қараңыз) тек егер f(x) үшін периодтық функция болады

F(T) − F(0) = T o ∫ f(x) dx = 0.

Мақсаты: «Функциялардың периодтылығы» тақырыбы бойынша студенттердің білімдерін жалпылау және жүйелеу; периодтық функцияның қасиеттерін қолдану, функцияның ең кіші оң периодын табу, периодтық функциялардың графиктерін құру дағдыларын қалыптастыру; математиканы оқуға қызығушылығын арттыру; байқампаздыққа, ұқыптылыққа тәрбиелеу.

Құрал-жабдықтар: компьютер, мультимедиялық проектор, тапсырмалар карточкалары, слайдтар, сағаттар, ою-өрнек үстелдері, халық қолөнері элементтері

«Математика - бұл адамдар табиғатты және өзін басқару үшін қолданатын нәрсе»
А.Н. Колмогоров

Сабақтар кезінде

I. Ұйымдастыру кезеңі.

Оқушылардың сабаққа дайындығын тексеру. Сабақтың тақырыбы мен мақсатын таныстыру.

II. Үй тапсырмасын тексеру.

Үлгілер бойынша үй тапсырмасын тексереміз, ең қиын жерлерін талқылаймыз.

III. Білімді жалпылау және жүйелеу.

1. Ауызша фронтальды жұмыс.

Теориялық сұрақтар.

1) Функцияның периодының анықтамасын құрастырыңыз
2) y=sin(x), y=cos(x) функцияларының ең кіші оң периоды қандай?
3). y=tg(x), y=ctg(x) функцияларының ең кіші оң периоды неге тең?
4) Қатынастардың дұрыстығын дәлелдеу үшін шеңберді пайдаланыңыз:

y=sin(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)

tg(x+π n)=tgx, n ∈ Z
ctg(x+π n)=ctgx, n ∈ Z

sin(x+2π n)=sinx, n ∈ Z
cos(x+2π n)=cosx, n ∈ Z

5) Периодтық функцияның графигі қалай салынады?

ауызша жаттығулар.

1) Мына қатынастарды дәлелдеңдер

а) күнә(740º) = күнә(20º)
б) cos(54º ) = cos(-1026º)
в) sin(-1000º) = sin(80º )

2. 540º бұрыш y= cos(2x) функциясының периодтарының бірі екенін дәлелдеңдер.

3. 360º бұрыш y=tg(x) функциясының периодтарының бірі екенін дәлелдеңдер.

4. Осы өрнектерді оларға енгізілген бұрыштар абсолютті мәнде 90º аспайтындай етіп түрлендіріңіз.

а) тг375º
б) ctg530º
в) sin1268º
г) cos(-7363º)

5. МЕЗГІЛ, МЕЗГИЛ деген сөздерді қай жерде кездестірдіңіз?

Оқушылардың жауаптары: Музыкадағы кезең - бұл азды-көпті толық музыкалық ой айтылған құрылыс. Геологиялық кезең бір дәуірдің бөлігі болып табылады және 35-тен 90 миллион жылға дейінгі кезеңге бөлінеді.

Радиоактивті заттардың жартылай ыдырау периоды. Периодты бөлшек. Мерзімді басылымдар – бұл қатаң белгіленген мерзімде шығатын баспа басылымдары. Менделеевтің периодтық жүйесі.

6. Суреттерде периодтық функциялардың графиктерінің бөліктері көрсетілген. Функцияның периодын анықтаңыз. Функцияның периодын анықтаңыз.

Жауап: T=2; T=2; T=4; T=8.

7. Қайталанатын элементтердің құрылысын өміріңізде қай жерде кездестірдіңіз?

Оқушылар жауап береді: Ою-өрнек элементтері, халық өнері.

IV. Мәселені ұжымдық шешу.

(Слайд арқылы есептер шығару.)

Периодтылық үшін функцияны зерттеу тәсілдерінің бірін қарастырайық.

Бұл әдіс белгілі бір кезеңнің ең кіші екенін дәлелдеуге байланысты қиындықтарды айналып өтеді, сонымен қатар периодтық функцияларға арифметикалық амалдар және периодтылық туралы сұрақтарды қозғаудың қажеті жоқ. күрделі функция. Дәлелдеу тек периодтық функцияның анықтамасына және келесі фактіге негізделген: егер T - функцияның периоды болса, онда nT(n? 0) - оның периоды.

Есеп 1. f(x)=1+3(x+q>5) функциясының ең кіші оң периодын табыңыз.

Шешуі: Осы функцияның Т периоды деп алайық. Сонда барлық x ∈ D(f) үшін f(x+T)=f(x), яғни.

1+3(x+T+0,25)=1+3(x+0,25)
(x+T+0,25)=(x+0,25)

x=-0,25 аламыз

(T)=0<=>T=n, n ∈ Z

Қарастырылып отырған функцияның барлық периодтары (егер олар бар болса) бүтін сандар арасында болатынына көз жеткіздік. Осы сандардың ішінен ең кіші оң санды таңдаңыз. Бұл 1 . Бұл шын мәнінде кезең екенін тексерейік 1 .

f(x+1)=3(x+1+0,25)+1

Кез келген Т үшін (T+1)=(T) болғандықтан, f(x+1)=3((x+0,25)+1)+1=3(x+0,25)+1=f(x ), яғни. 1 - кезең f. 1 барлық натурал сандардың ең кішісі болғандықтан, T=1 болады.

2-тапсырма. f(x)=cos 2 (x) функциясының периодты екенін көрсетіп, оның негізгі периодын табыңыз.

3-тапсырма.Функцияның негізгі периодын табыңыз

f(x)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)

Функцияның T-периодын алайық, содан кейін кез келген үшін Xқатынасы

sin1,5(x+T)+5cos0,75(x+T)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)

Егер x=0 болса, онда

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=sin0+5cos0

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5

Егер x=-T болса, онда

sin0+5cos0=sin(-1,5T)+5cos0,75(-T)

5= - sin(1,5T)+5cos(0,75T)

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5

– sin(1,5Т)+5cos(0,75Т)=5

Қоссақ, біз мынаны аламыз:

10cos(0,75T)=10

2π n, n € Z

Период үшін барлық «күдікті» сандардан ең кіші оңды таңдап алайық және оның f үшін нүкте екенін тексерейік. Бұл сан

f(x+)=sin(1,5x+4π)+5cos(0,75x+2π)= sin(1,5x)+5cos(0,75x)=f(x)

Демек, f функциясының негізгі периоды болады.

4-тапсырма. f(x)=sin(x) функциясының периодты екенін тексеріңіз

f функциясының периоды T болсын. Содан кейін кез келген x үшін

sin|x+T|=sin|x|

Егер x=0 болса, sin|T|=sin0, sin|T|=0 T=π n, n ∈ Z.

Айталық. Кейбір n үшін π n саны кезең болып табылады

π n>0 функциясы қарастырылады. Сонда sin|π n+x|=sin|x|

Бұл n бір уақытта жұп және тақ болуы керек дегенді білдіреді, бұл мүмкін емес. Сондықтан бұл функция мерзімді емес.

Тапсырма 5. Функцияның периодты екенін тексеріңіз

f(x)=

Онда T f периоды болсын

, демек sinT=0, T=π n, n € Z. Кейбір n үшін π n саны шынымен де берілген функцияның периоды деп алайық. Сонда 2π n саны да нүкте болады

Сандар тең болғандықтан, олардың бөлгіштері де тең, сондықтан

Демек, f функциясы периодты емес.

Топтық жұмыс.

1-топқа тапсырма.

2-топқа тапсырма.

f функциясының периодты екенін тексеріңіз және оның негізгі периодын табыңыз (егер ол бар болса).

f(x)=cos(2x)+2sin(2x)

3-топқа тапсырма.

Жұмыс соңында топтар өз шешімдерін ұсынады.

VI. Сабақты қорытындылау.

Рефлексия.

Мұғалім оқушыларға сызбалары бар карточкаларды береді және бірінші сызбаның бір бөлігін, олардың ойынша, периодтылық функциясын зерттеу әдістерін қаншалықты меңгергеніне сәйкес, ал екінші сызбаның бөлігінде бояуды ұсынады. , сабақтағы жұмысқа қосқан үлесіне сәйкес.

VII. Үй жұмысы

1). f функциясының периодты екенін тексеріңіз және оның негізгі периодын табыңыз (егер ол бар болса)

б). f(x)=x 2 -2x+4

в). f(x)=2 тг(3x+5)

2). y=f(x) функциясының периоды T=2 және x € [-2 үшін f(x)=x 2 +2x; 0]. -2f(-3)-4f(3,5) өрнектің мәнін табыңыз.

Әдебиет/

Мордкович А.Г.Алгебра және тереңдетіп оқытумен талдаудың басталуы.
Математика. Емтиханға дайындық. Ред. Лысенко Ф.Ф., Кулабухова С.Ю.
Шереметева Т.Г. , Тарасова Е.А. 10-11 сыныптар үшін алгебра және бастауыш талдау.

Периодтық функциялардың графиктерін құрудың ерекшеліктері

Периодтық функцияның графигі әдетте алдымен [ интервалына салынады. x 0 ; x 0 + Т). Орындау параллель тасымалдаубарлық анықтау аймағындағы график нүктелері.

Периодтық функциялардың мысалдары және олардың графиктері.

Тригонометриялық функциялар периодтық функцияларға мысал бола алады. Негізгілерін қарастырайық.

F(x)=sin(x) функциясы

а) Анықтау облысы: D (sin x) = Р .

b) Мәндер жиыны: E (sin x) = [– 1 , 1] .
в) Жұп, тақ: функциясы тақ.

г) Периодтылық: функция негізгі периодпен периодты .

д) Функцияның нөлдері: , n үшін sin x = 0 З.

f) Функцияның тұрақтылық интервалдары:

ж) Монотондылық интервалдары: функция кезінде артады;

кезінде функция төмендейді,

h) Функцияның экстремумы:
; .

y= sin x функциясының графигі суретте көрсетілген.

F(x) = cos(x) функциясы

a) Анықтау аймағы.

b) Мәндер жиыны: E (cos x) = [ – 1 , 1 ] .

в) Жұп, тақ: функциясы жұп.

Г ) Периодтылық: Функция негізгі периоды периодты.

e) Функцияның нөлдері: кезінде.

f) Белгі тұрақтылығының интервалдары:

g) монотондылық интервалдары:

функция кезінде артады;

функциясы төмендейді

h) Төтенше жағдайлар:

Функция графигі ж= cos xсуретте көрсетілген.

F(x) = tg(x) функциясы

а) Қолдану саласы:

b) Мәндер жиыны: E ()

в) Жұп, тақ. Функция біртүрлі.

г) Мерзімділік. Негізгі периодты периодты функция

д) Функцияның нөлдері: x = n, n үшін tg x = 0 З.

f) Белгілердің тұрақтылық интервалдары:

g) Монотондылық интервалдары: функция оның анықтау облысына толығымен жататын әрбір интервалда артады.

з) Шектеу: жоқ.

Функция графигі ж=тг xсуретте көрсетілген.

F(x) = ctg(x) функциясы

a) Анықтау облысы: D (ctg x) = Р\ (n(n Z)).

b) Мәндер жиыны: E (ctg x) = Р .
в) Жұп, тақ функция тақ.

г) Периодтылық: функция негізгі периоды T = болатын периодты.

д) Функцияның нөлдері: x = /2 + n, n үшін ctg x = 0 З.

f) Белгі тұрақтылығының интервалдары;

g) Монотондылық интервалдары: функция толығымен оның анықтау облысына жататын әрбір интервалда азаяды.

з) Шектеу: жоқ.

y = ctg x функциясының графигі суретте көрсетілген.

Қызықты графиктер тригонометриялық периодтық функцияларға негізделген күрделі функциялардың суперпозициясын құру арқылы алынған.

Периодтық функцияның графигі

II. Периодтық функциялардың қолданылуы. мерзімді ауытқулар.

Тербелістер.

ауытқулар әр түрлі қайталану дәрежесімен ерекшеленетін процестер деп аталады. Тербеліс - бұл белгілі бір аралықпен қайталанатын процестер (бірақ қайталанатын процестердің бәрі тербеліс емес). Қайталанатын процестің физикалық сипатына қарай механикалық, электромагниттік, электромеханикалық және т.б тербелістер ажыратылады. Механикалық тербеліс кезінде денелердің орны мен координатасы периодты түрде өзгеріп отырады. Электрлік - кернеу мен токпен. Тербелмелі жүйеге әсер ету сипатына қарай еркін тербелістер, еріксіз тербелістер, өздігінен және параметрлік тербелістер бөлінеді.

қайталанатын процестер кез келген тірі ағзаның ішінде үздіксіз жүреді, мысалы: жүректің жиырылуы, өкпенің қызметі; біз суық кезде қалтыраймыз; құлақ қалқандары мен дауыс байламдарының тербелістерінің арқасында естиміз және сөйлейміз; Жаяу жүргенде аяқтарымыз тербелмелі қозғалыстар жасайды. Бізді дірілдететін атомдар. Біз өмір сүріп жатқан әлем ауытқуларға бейім.

мерзімді ауытқулар.

мерзімдіқозғалыстың барлық сипаттамалары белгілі бір уақыт кезеңінен кейін қайталанатын мұндай тербелістер деп аталады.

Мерзімді тербелістер үшін келесі сипаттамалар қолданылады:

тербеліс кезеңіТ, бір толық тербеліс болатын уақытқа тең;

тербеліс жиілігіν, секундына тербеліс санына тең (ν = 1/Т);

Параметрлік тербелістер тербелмелі жүйенің параметрлерінің мерзімді өзгеруімен жүзеге асырылады (әткеншекте тербелген адам өзінің ауырлық центрін мезгіл-мезгіл көтеріп, төмендетеді, сол арқылы жүйенің параметрлерін өзгертеді). Белгілі бір жағдайларда жүйе тұрақсыз болады - тепе-теңдік күйінен кездейсоқ ауытқу тербелістердің пайда болуына және өсуіне әкеледі. Бұл құбылыс тербелістердің параметрлік қозуы (яғни тербеліс жүйенің параметрлерін өзгерту арқылы қоздырады), ал тербелістердің өзі параметрлік деп аталады. Физикалық табиғаты әртүрлі болғанымен, тербелістер бірдей заңдылықтармен сипатталады, олар жалпы әдістермен зерттеледі. Маңызды кинематикалық сипаттама тербеліс формасы болып табылады. Ол тербеліс кезінде сол немесе басқа физикалық шаманың өзгеруін сипаттайтын уақыт функциясының формасымен анықталады. Ең маңыздылары синус немесе косинус заңына сәйкес өзгермелі мән уақыт бойынша өзгеретін тербелістер. Олар гармоника деп аталады. Тербелістің бұл түрі әсіресе келесі себептерге байланысты маңызды. Біріншіден, табиғат пен технологиядағы тербелістер көбінесе гармонияға өте жақын сипатқа ие болады. Екіншіден, басқа формадағы периодтық процестерді (басқа уақытқа тәуелділікпен) гармоникалық тербелістердің қабаттасуы немесе суперпозициясы ретінде көрсетуге болады.

UDC 517,17+517,51

ЕКІ периодтық функцияның қосындысының периоды

A/O. Евнин

Жұмыс негізгі периодтары белгілі екі периодтық функцияның қосындысы болып табылатын периодтық функцияның негізгі периоды қандай болуы мүмкін деген сұрақты толығымен шешеді. Периодтық функциялардың периодтық қосындысының негізгі периоды болмайтын жағдайды да зерттейміз.

Нақты айнымалының нақты мәнді функцияларын қарастырамыз. Энциклопедиялық басылымдағы «Периодтық функциялар» мақаласында: «Әртүрлі периодты периодтық функциялардың қосындысы олардың периодтары сәйкес болғанда ғана периодты болады» деп оқуға болады. Бұл бекіту үздіксіз функциялар1 үшін дұрыс, бірақ жалпы жағдайда орындалмайды. Өте жалпы пішіннің қарсы мысалы салынған. Бұл мақалада біз периодтық функцияның негізгі периоды қандай болуы мүмкін екенін анықтаймыз, ол негізгі периодтары белгілі екі периодтық функцияның қосындысы болып табылады.

Алдын ала ақпарат

Еске салайық, егер қандай да бір T F O саны үшін D(f) облысындағы кез келген х үшін x + T және x - T сандары D(f) және f(x + T) теңдіктеріне жататын болса, / функциясы периодты деп аталады. f( x) = f(x ~ T). Бұл жағдайда Г саны функцияның периоды деп аталады.

Функцияның ең кіші оң периоды (әрине, ол бар болса) негізгі период деп аталады. Келесі факт белгілі.

Теорема 1. Егер функцияның негізгі периоды To болса, онда функцияның кез келген периоды pTo түрінде болады, мұндағы p Ф 0 бүтін сан.

T\ және T2 сандары, егер T\ және T2-де де бүтін рет "сәйкес" T0 саны бар болса, пропорционалды деп аталады: T\ = T2 = n2T0, u, n2e Z. Әйтпесе, T сандары \ және Т2 өлшемсіз деп аталады. Периодтардың салыстырмалылығы (салыстырмайтындығы) демек, олардың қатынасы рационал (иррационал) сан екенін білдіреді.

1-теоремадан негізгі периоды бар функцияның кез келген екі периоды салыстырмалы болады.

Ең кіші периоды жоқ функцияның классикалық мысалы ретінде рационал нүктелерде 1-ге, иррационал нүктелерде нөлге тең Дирихле функциясын айтуға болады. Нөлден басқа кез келген рационал сан Дирихле функциясының периоды, ал кез келген иррационал сан оның периоды емес. Көріп отырғанымыздай, мұнда кез келген екі кезең салыстырмалы.

Периодтары салыстыруға келмейтін тұрақты емес периодтық функцияға мысал келтірейік.

/u + la/2, m, n e Z түріндегі нүктелерде /(x) функциясы 1-ге тең болсын, ал мынаған тең болсын.

нөл. Бұл функцияның периодтары арасында 1 және l бар

Салыстырмалы периодтары бар функциялар қосындысының периоды

Теорема 2. Фуг фундаментальды периодтары mT0 және «To, мұндағы типі бар периодты функциялар болсын.

Қосалқы сандар. Сонда олардың сомасының негізгі кезеңі (егер ол бар болса) -

мұндағы k – натурал сан m-мен салыстырылатын сан.

Дәлелдеу. h = / + g болсын. Әлбетте, mnT0 саны h периоды. Күшке

1-теорема, h негізгі периоды к - қандай да бір натурал сан түрінде болады. Болжалды

біз k саны m санымен салыстырылмайтынын басамыз, яғни k - dku m \u003d dm\, мұндағы d\u003e 1 ең көп

1 Жұптық салыстырылмайтын периодтары бар кез келген ақырлы үзіліссіз функциялардың қосындысы периодты емес екендігінің тамаша дәлелі Сондай-ақ қараңыз мақалада қамтылған.

m және k сандарының үлкен ортақ бөлгіші.Онда k функциясының периоды тең болады

және f=h-g функциясы

оның негізгі кезеңінің mTQ еселігі емес mxnTo кезеңі бар. 1-теоремамен қарама-қайшылық алынады.Демек, k- m-мен тең жай.Сол сияқты k және n сандары да ортақ жай.Сонымен, А: m-мен тең жай. □

Теорема 3. m, n және k жұптық тең жай сандар, ал T0 оң сан болсын. Содан кейін негізгі f, g және (f + g) периодтары болатындай fug периодтық функциялары бар

тиісінше mT$, nTQ және

Дәлелдеу. Теореманың дәлелі конструктивті болады: біз жай ғана сәйкес мысалды құрастырамыз. Келесі нәтижені алдын ала тұжырымдап көрейік. Мәлімдеме. m салыстырмалы жай сандар болсын. Содан кейін функциялар

fx - cos- + cos--- және f2= cos- m n m

cos- негізгі период саны 2ктп. П

Бекітудің дәлелі. 2нм саны екі функцияның периоды екені анық. Функция үшін бұл кезең негізгі екенін тексеру оңай. Оның максималды нүктелерін табайық.

x = 2lM, te Z.

Бізде = p!. Түрі қос жай болғандықтан, 5 саны /r санының еселігі болып шығады, яғни. i = I e b. Бұл /x(x) = 2 o x = 2mmn1,1 e 2, ал /\ функциясының көршілес максимум нүктелерінің арақашықтығы 2kn-ге тең, ал /1 оң периоды 2spn санынан кем болуы мүмкін емес дегенді білдіреді.

f функциясы үшін біз басқа түрдегі аргументтерді қолданамыз (олар f функциясы үшін де қолайлы, бірақ

аз бастауыш). 1 теорема көрсеткендей, /2 функциясының негізгі Γ периоды -, түрінде болады.

мұндағы k – теруге болатын кейбір натурал сан. G саны функцияның периоды болады

(2 ^ 2 xn g t t /2 + /2 = - -1 cos

барлық периодтары 2pp1 пішініне ие. Сонымен,

2nnl, яғни. m = kl. t және k өзара болғандықтан

Демек, k = 1 болатыны шығады.

Енді 3-теореманы дәлелдеу үшін біз қалаған мысалды құрастыра аламыз. Мысал. m, n және k жұптық жай сандар болсын және n немесе k сандарының кем дегенде біреуі 1-ден өзгеше болсын. Содан кейін pf k және функцияның дәлелденген бекітуінің күшімен

/ (x) \u003d cos--- + cos- t to

Және g(x) = cos-cos - n дейін

тиісінше 2 ltk және 2 tk негізгі кезеңдері және олардың қосындысы бар

k(x) = f(x) + = cos- + cos-

негізгі кезең - 2 ст.

Егер n = k = 1 болса, онда функциялар жұбы орындалады

f(x)-2 cos- + COS X және g(x) - COS X. m

Олардың негізгі периодтары, сонымен қатар k(x) - 2 функциясының периоды сәйкесінше 2лм, 2/ri 2 типті.

тексеру қаншалықты оңай.

Математика

T = 2lx деп белгілейік. mn, n және k ерікті қос жай сандар үшін / және £ функциялары /, g және / + g функцияларының негізгі периодтары сәйкесінше mT, nT және

Теореманың шарттары / - l функцияларымен қанағаттандырылады;

Салыстырмайтын периодтары бар функциялар қосындысының периоды

Келесі бекіту дерлік анық.

Теорема 4. Фуг негізгі периодтары T) және T2 өлшемсіз периодты функциялар болсын және осы функциялардың h = f + g қосындысы периодты болсын және T негізгі периоды болсын. Сонда T саны T] де, T2 де емес. .

Дәлелдеу. Бір жағынан, TnT) сандары шамалас болса, онда g = h-f функциясының r] санына сәйкес периоды болады. Екінші жағынан, 1-теореманың күші бойынша g функциясының кез келген периоды T2 еселігі болады. Т\ және Т2 сандарының сәйкес келмейтіндігімен қарама-қайшылықты аламыз. Т және Т2 сандарының салыстырылмайтындығы дәл осылай дәлелденді, d

4-теореманың керісінше де ақиқат екені таңғаларлық, тіпті біршама таң қалдырады.Салыстырмайтын периодтары бар екі периодтық функцияның қосындысы периодтық функция бола алмайды деген қате түсінік кең тараған. Шындығында, бұл олай емес. Сонымен қатар, қосындының периоды 4-теореманың бекітуін қанағаттандыратын кез келген оң сан болуы мүмкін.

Теорема 5. T\, T2 және T~ жұптық салыстырылмайтын оң сандар болсын. Содан кейін олардың h =/+ g сомасы периодты болатындай fug периодтық функциялары бар, ал f guh функциясының негізгі периодтары сәйкесінше Th T2 және T болады.

Дәлелдеу. Дәлел қайтадан сындарлы болады. Біздің конструкциялар негізінен T санының T1 және T2 периодтарының T = aT1 + pT2 (a және P - рационал сандар) ұтымды комбинациясы ретінде ұсынылуы мүмкін бе немесе жоқтығына байланысты болады.

I. T Tr және J2- рационалды комбинациясы емес.

A = (mT\ + nT2 + kT\m,n, k e Z) r1, T2 және T сандарының бүтін сызықтық комбинацияларының жиыны болсын. Егер санды nT\ + түрінде көрсетуге болатынын бірден ескереміз. nT2 + kT, онда мұндай көрініс бірегей . Шынында да, егер mxT\ + n\Tr + k\T - m2Tx + n2T2 + k2T9 болса, онда

(k) - k2)T - (ot2 - m\)T] + (n2 - u)Tb, ал k\ * k2 үшін Т рационалды түрде Т] және Т2 арқылы өрнектелетінін көреміз. Демек, k\ = k2. Енді T\ және T2 сандарының салыстырылмауынан m\ = m2 және uu = n2 теңдіктері тікелей алынады.

Маңызды факт, оңай тексерілетін факт: А жиындары мен оның толықтаушысы А-дан сандарды қосу кезінде тұйықталған: егер x e A және y e A болса, онда x + y e A; егер x e A және y e A болса, онда x + y e A.

А жиынының барлық нүктелерінде / және g функциялары нөлге тең деп алайық, ал А жиынында бұл функцияларды келесідей анықтаймыз:

f(mTi + nT2 + kT) = nT2 + kT g(mT1 + nT2 + kT) - mT1 - kT.

Көрсетілгендей, m коэффициенттері, r, T2 және r периодтарының сызықтық комбинациясының шыңы x e A санынан бірегей түрде қалпына келтірілуі мүмкін болғандықтан, f және g функцияларының көрсетілген тағайындаулары дұрыс.

А жиынындағы h =/ + g функциясы нөлге тең, ал А жиынының нүктелерінде ол тең

h(mT\ + nT2 + kT) - mT\ + nT2.

Тікелей алмастыру арқылы T\ саны f функциясының периоды, T2 саны g периоды, T~ h периоды екенін тексеру оңай. Бұл кезеңдердің негізгі екенін көрсетейік.

Біріншіден, / функциясының кез келген периоды А жиынына жататынын атап өтеміз. Шынында да,

егер А-да 0 fx болса, y e A, онда x + y e A және f(x + y) = 0 * f(x). Демек, y e A функцияның периоды емес /

Енді бір-біріне тең емес \, x2 сандары ^ және f (x 1) ~ f (x2) -ге тиесілі болсын. Функцияның анықтамасынан / біз осыдан x\ - x2 = 1T аламыз, мұнда I кейбір нөлдік емес бүтін сан. Демек, / функциясының кез келген периоды Т\ еселігі болып табылады. Осылайша, Tx шын мәнінде негізгі кезең /

T2 және T туралы тұжырымдар дәл осылай тексеріледі.

Пікір. Кітапта б. 172-173 I жағдайға басқа жалпы құрылымды келтіріңіз.

II. T - T\ және T2 рационалды комбинациясы.

T\ және T2 периодтарының рационал комбинациясын Γ = - (kxTx + k2T2) түрінде көрсетейік, мұндағы kx және

k2 ™ – ортақ бүтін сандар, k(Γ\ + k2T2 > 0, a/? және q – натурал сандар. leZ> деп қарастырайық.

рений жиынтығы B----

В жиынының барлық нүктелерінде f және g функциялары нөлге тең деп есептейміз, ал В жиынында бұл функцияларды келесідей анықтаймыз:

^ mT\ + nT2 A I

^ mTx + nT2 L

Мұнда әдеттегідей [x] және (x) сәйкесінше сандардың бүтін және бөлшек бөліктерін белгілейді. B жиынындағы k = / + q функциясы нөлге тең, ал В жиынының нүктелерінде ол тең

fmTx +nT: l H

Тікелей ауыстыру арқылы Tx саны функцияның периоды /, T2 саны g периоды, ал T h периоды екенін тексеру оңай. Бұл кезеңдердің негізгі екенін көрсетейік.

/ функциясының кез келген периоды В жиынына жатады. Шынында да, егер 0 * x e B, y e B болса, онда f(x) Φ 0, j(x + y) = 0 */(*)■ Демек, y e B _ Функция кезеңі емес/

Сонымен, / функциясының кез келген периоды Ty = түрінде болады

Мұндағы 5i және 52 бүтін сандар. Болсын

x \u003d -7] 4 - Г2, x e 5. Егер i \u003d 0 болса, онда / (i) - рационал сан. Енді / (x + 7)) санының рационалдылығынан -I - I - 0 теңдігі шығады.Демек, бізде 52 = Xp теңдігі бар, мұндағы X - кейбір бүтін сан

саны. /(x + 7)) = /(x) қатынасы пішінді қабылдайды

^ P + I + I w +

Бұл теңдік барлық бүтін түрлер үшін орындалуы керек. m-p ~ 0 болғанда (1) оң жағы болады

нөлге дейін. Бөлшек бөлшектер теріс емес болғандықтан, біз мынаны аламыз:<0, а при

m \u003d n \u003d q - ] теңдіктің (1) оң жағындағы бөлшек бөліктерінің қосындысы h-X бөлшек бөліктерінің қосындысынан кем емес

сол жақтағы. Сонымен - >0. Сонымен, X = 0 және 52 = 0. Демек, функцияның периоды / формасына ие

және теңдік (1) болады

n\ | және 52 бүтін сандар. Қарым-қатынастардан

d(0) = 0 = d(GA) =

біз 51 және ^ сандары p санының еселігі болуы керек екенін аламыз, яғни. кейбір Ax және A2 бүтін сандары үшін бізде 51 = A\p, E2 = A2p болады. Содан кейін (3) қатынасты келесідей қайта жазуға болады

A2kx = k2A\ теңдігі мен k\ және k2 сандарының теңдігінен А2 к2-ге бөлінетіні шығады. Осы жерден

кейбір бүтін t саны үшін A2 = k2t және Ax ~ kxt теңдіктері жарамды, яғни. Th ~-(kxTx + k2T2).

h функциясының кез келген периоды Т = - (к(Гх + к2Т2)9 периодының еселігі екені көрсетілген, ол осылайша

Зом, ең бастысы. □

Негізгі кезең жоқ

Теорема 6. Tx және T2~ ерікті оң сандар болсын. Содан кейін олардың негізгі периодтары сәйкесінше T\ және T2 болатындай fug периодтық функциялары бар, ал олардың сомасы h=f+g периодты, бірақ негізгі периоды болмайды.

Дәлелдеу. Екі ықтимал жағдайды қарастырайық.

I. Tx және T2 периодтары салыстыруға келмейді.

A = + nT2 +kT\ болсын. Жоғарыда көрсетілгендей, бұл санды көрсету оңай

mTx + nT2 + kT түрінде ұсынылатын болса, онда мұндай ұсыну бірегей болып табылады.

/ден; + nT2 + kT) = nT2 + kT, g(mTx + nT2 + kT) = mTx - kT.

Тексеру оңай Tx саны функцияның негізгі периоды /, T2 саны негізгі g периоды, ал кез келген рационал сан үшін kT h - f + g функциясының периоды болып табылады, сондықтан ол ең кіші кезеңі болмайды.

II. Tx және T2 периодтары салыстырмалы.

Tx = mT0, T2 = nT0 болсын, мұнда T0 > 0, m және n натурал сандар. R = + жиынын қарастырайық.

В жиынының барлық нүктелерінде fug функциялары нөлге тең деп есептейміз және В жиынында бұл функцияларды келесідей анықтаймыз:

/((/ + WT0) = W + Jit, g((/ + 4lk)T0) - W - 42k.

В жиынындағы h ~ / + g функциясы нөлге тең, ал В жиынының нүктелерінде ол тең

7j = mTQ саны функцияның негізгі периоды /, T2 ~ nT0 саны g негізгі периоды екенін тексеру оңай, ал h ~ f + g функциясының периодтары арасында түрдегі барлық сандар бар. l/2kT0, мұндағы k - ерікті рационал сан. □

6-теореманы дәлелдейтін конструкциялар h~ / + g функциясының периодтары / және g функцияларының периодтарымен салыстырылмайтындығына негізделген. Қорытындылай келе, /, g және / + g функцияларының барлық периодтары бір-бірімен салыстырмалы болатындай, бірақ / және g негізгі периодтары бар, ал f + g жоқ болатындай fug функцияларына мысал келтіреміз.

m қандай да бір тұрақты натурал сан болсын, M алымы m-ге еселік болатын азайтылмайтын бүтін емес бөлшектердің жиыны болсын. қояйық

1 егер xM; 1

ifxe mZ;

EcnuxeZXmZ; 2

O басқа жағдайларда; 1 егер xeMU

~,ifxe2 2

[Әйтпесе.

fug функцияларының негізгі периодтары сәйкесінше m және 1-ге тең болатынын көру оңай, ал қосынды / + g m/n түріндегі кез келген санның периоды бар, мұндағы n ерікті натурал сан салыстырмалы жай. м.

Әдебиет

1. Математикалық энциклопедиялық сөздік / Ш. ред. Ю.В. Прохоров - М.: Сов. энциклопедия, 1988 ж.

2. Микаэлян Л.В., Седракян Н.М. Периодтық функциялар қосындысының периодтылығы туралы// Математикалық білім. - 2000. - No 2 (13). - С. 29-33.

3. Геренштейн А.В., Евнин А.Ю. Периодтық функциялардың қосындысы туралы// Мектептегі математика. -2002. - No 1. - С. 68-72.

4. Ивлев Б.М. және т.б.. Алгебрадан есептер жинағы және 9 және 10 ұяшықтар үшін талдау принциптері. - М.: Ағарту, 1978 ж.

«Математика - бұл адамдар табиғатты және өзін басқару үшін қолданатын нәрсе»
А.Н. Колмогоров

Сабақтар кезінде

I. Ұйымдастыру кезеңі.

Оқушылардың сабаққа дайындығын тексеру. Сабақтың тақырыбы мен мақсатын таныстыру.

II. Үй тапсырмасын тексеру.

Үлгілер бойынша үй тапсырмасын тексереміз, ең қиын жерлерін талқылаймыз.

III. Білімді жалпылау және жүйелеу.

1. Ауызша фронтальды жұмыс.

Теориялық сұрақтар.

y=sin(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)

tg(x+π n)=tgx, n ∈ Z
ctg(x+π n)=ctgx, n ∈ Z

sin(x+2π n)=sinx, n ∈ Z
cos(x+2π n)=cosx, n ∈ Z

5) Периодтық функцияның графигі қалай салынады?

ауызша жаттығулар.

1) Мына қатынастарды дәлелдеңдер

а) күнә(740º) = күнә(20º)
б) cos(54º ) = cos(-1026º)
в) sin(-1000º) = sin(80º )

2. 540º бұрыш y= cos(2x) функциясының периодтарының бірі екенін дәлелдеңдер.

3. 360º бұрыш y=tg(x) функциясының периодтарының бірі екенін дәлелдеңдер.

4. Осы өрнектерді оларға енгізілген бұрыштар абсолютті мәнде 90º аспайтындай етіп түрлендіріңіз.

а) тг375º
б) ctg530º
в) sin1268º
г) cos(-7363º)

5. МЕЗГІЛ, МЕЗГИЛ деген сөздерді қай жерде кездестірдіңіз?

Жауап: T=2; T=2; T=4; T=8.

7. Қайталанатын элементтердің құрылысын өміріңізде қай жерде кездестірдіңіз?

Оқушылар жауап береді: Ою-өрнек элементтері, халық өнері.

IV. Мәселені ұжымдық шешу.

(Слайд арқылы есептер шығару.)

Периодтылық үшін функцияны зерттеу тәсілдерінің бірін қарастырайық.

Бұл әдіс сол немесе басқа периодтың ең кіші екенін дәлелдеуге байланысты қиындықтарды айналып өтеді, сонымен қатар периодтық функцияларға арифметикалық амалдар және күрделі функцияның периодтылығы туралы сұрақтарды қозғаудың қажеті жоқ. Дәлелдеу тек периодтық функцияның анықтамасына және келесі фактіге негізделген: егер T - функцияның периоды болса, онда nT(n? 0) - оның периоды.

Есеп 1. f(x)=1+3(x+q>5) функциясының ең кіші оң периодын табыңыз.

Шешуі: Осы функцияның Т периоды деп алайық. Сонда барлық x ∈ D(f) үшін f(x+T)=f(x), яғни.

1+3(x+T+0,25)=1+3(x+0,25)
(x+T+0,25)=(x+0,25)

x=-0,25 аламыз

(T)=0<=>T=n, n ∈ Z

f(x+1)=3(x+1+0,25)+1

2-тапсырма. f(x)=cos 2 (x) функциясының периодты екенін көрсетіп, оның негізгі периодын табыңыз.

3-тапсырма.Функцияның негізгі периодын табыңыз

f(x)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)

Функцияның T-периодын алайық, содан кейін кез келген үшін Xқатынасы

sin1,5(x+T)+5cos0,75(x+T)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)

Егер x=0 болса, онда

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=sin0+5cos0

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5

Егер x=-T болса, онда

sin0+5cos0=sin(-1,5T)+5cos0,75(-T)

5= - sin(1,5T)+5cos(0,75T)

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5

– sin(1,5Т)+5cos(0,75Т)=5

Қоссақ, біз мынаны аламыз:

10cos(0,75T)=10

2π n, n € Z

f(x+)=sin(1,5x+4π)+5cos(0,75x+2π)= sin(1,5x)+5cos(0,75x)=f(x)

Демек, f функциясының негізгі периоды болады.

4-тапсырма. f(x)=sin(x) функциясының периодты екенін тексеріңіз

f функциясының периоды T болсын. Содан кейін кез келген x үшін

sin|x+T|=sin|x|

Егер x=0 болса, sin|T|=sin0, sin|T|=0 T=π n, n ∈ Z.

Айталық. Кейбір n үшін π n саны кезең болып табылады

π n>0 функциясы қарастырылады. Сонда sin|π n+x|=sin|x|

Тапсырма 5. Функцияның периодты екенін тексеріңіз

f(x)=

Онда T f периоды болсын

Сандар тең болғандықтан, олардың бөлгіштері де тең, сондықтан

Демек, f функциясы периодты емес.

Топтық жұмыс.

1-топқа тапсырма.

2-топқа тапсырма.

f функциясының периодты екенін тексеріңіз және оның негізгі периодын табыңыз (егер ол бар болса).

f(x)=cos(2x)+2sin(2x)

3-топқа тапсырма.

Жұмыс соңында топтар өз шешімдерін ұсынады.

VI. Сабақты қорытындылау.

Рефлексия.

VII. Үй жұмысы

1). f функциясының периодты екенін тексеріңіз және оның негізгі периодын табыңыз (егер ол бар болса)

б). f(x)=x 2 -2x+4

в). f(x)=2 тг(3x+5)

2). y=f(x) функциясының периоды T=2 және x € [-2 үшін f(x)=x 2 +2x; 0]. -2f(-3)-4f(3,5) өрнектің мәнін табыңыз.

Әдебиет/

Мордкович А.Г.Алгебра және тереңдетіп оқытумен талдаудың басталуы.
Математика. Емтиханға дайындық. Ред. Лысенко Ф.Ф., Кулабухова С.Ю.
Шереметева Т.Г. , Тарасова Е.А. 10-11 сыныптар үшін алгебра және бастауыш талдау.