Жазық теңдеу. Жазықтықтың теңдеуін қалай жазуға болады?
Ұшақтардың өзара орналасуы. Тапсырмалар

Кеңістіктік геометрия «жалпақ» геометриядан әлдеқайда күрделі емес және біздің ғарыштағы ұшуларымыз осы мақаладан басталады. Тақырыпты түсіну үшін оны жақсы түсіну керек векторлар, сонымен қатар, ұшақтың геометриясымен таныс болған жөн - көптеген ұқсастықтар, көптеген ұқсастықтар болады, сондықтан ақпарат әлдеқайда жақсы қорытылады. Менің сабақтарымның топтамасында 2D әлемі мақаламен ашылады Жазықтықтағы түзудің теңдеуі. Бірақ қазір Бэтмен жалпақ экранды теледидардан шығып, Байқоңыр ғарыш айлағынан ұшып жатыр.

Суреттер мен белгілерден бастайық. Схематикалық түрде жазықтықты параллелограмм ретінде салуға болады, ол кеңістік әсерін береді:

Ұшақ шексіз, бірақ оның бір бөлігін ғана бейнелеуге мүмкіндігіміз бар. Іс жүзінде параллелограммнан басқа сопақ немесе тіпті бұлт та сызылады. Техникалық себептерге байланысты мен үшін ұшақты осылай және осы күйде бейнелеу ыңғайлырақ. Біз практикалық мысалдарда қарастыратын нақты ұшақтарды қалағаныңызша орналастыруға болады - сызбаны ойша қолыңызға алып, оны кеңістікте бұраңыз, бұл жазықтыққа кез келген еңісті, кез келген бұрышты береді.

Белгілеу: ұшақтарды шағын грек әріптерімен белгілеу әдеттегідей, оларды шатастырмау үшін тікелей ұшақтанемесе бірге тікелей кеңістікте. Мен әріпті қолдануға үйреніп қалдым. Сызбада бұл «сигма» әрпі, мүлде тесік емес. Тесік ұшақ болғанымен, бұл өте күлкілі.

Кейбір жағдайларда ұшақтарды белгілеу үшін бірдей грек әріптерін жазу ыңғайлы, мысалы, .

Жазықтық бір түзудің бойында жатпайтын үш түрлі нүкте арқылы бірегей түрде анықталатыны анық. Сондықтан ұшақтардың үш әріпті белгілеулері өте танымал - оларға тиесілі нүктелерге сәйкес, мысалы, т.б. Көбінесе әріптер жақшаға алынады: , жазықтықты басқа геометриялық фигурамен шатастырмау үшін.

Тәжірибелі оқырмандар үшін мен беремін пернелер мәзірі:

• Нүкте мен екі вектордың көмегімен жазықтықтың теңдеуін қалай жазуға болады?
• Нүкте мен нормаль векторды пайдаланып жазықтықтың теңдеуін қалай жазуға болады?

және біз ұзақ күтпейміз:

Жазықтықтың жалпы теңдеуі

Жазықтықтың жалпы теңдеуі мынадай түрге ие, мұнда коэффициенттер бір уақытта нөлге тең емес.

Бірқатар теориялық есептер мен практикалық есептер кәдімгі ортонормальдық негіз үшін де, кеңістіктің аффинді негізі үшін де жарамды (егер мұнай мұнай болса, сабаққа оралыңыз Векторлардың сызықтық (бейне) тәуелділігі. Векторлық негіз). Қарапайымдылық үшін біз барлық оқиғалар ортонормальдық негізде және декарттық тікбұрышты координаттар жүйесінде орын алады деп есептейміз.

Ал енді кішкене кеңістіктік қиялды жаттықтырайық. Жаман болса жарайды, енді аздап дамытамыз. Тіпті нервтермен ойнау да жаттығуды қажет етеді.

Ең жалпы жағдайда, сандар нөлге тең болмаған кезде, жазықтық барлық үш координат осін қиып өтеді. Мысалы, келесідей:

Тағы да қайталаймын, ұшақ барлық бағытта шексіз жалғасады және бізде оның бір бөлігін ғана бейнелеуге мүмкіндік бар.

Жазықтықтардың ең қарапайым теңдеулерін қарастырайық:

Бұл теңдеуді қалай түсінуге болады? Бұл туралы ойланыңыз: «Z» ӘРҚАШАН, кез келген «X» және «Y» мәндері үшін нөлге тең. Бұл «туған» координаталық жазықтықтың теңдеуі. Шынында да, формальды түрде теңдеуді келесідей қайта жазуға болады: , «x» және «y» қандай мәндерді алатыны бізге маңызды емес екені анық көрініп тұрса, «z» нөлге тең болуы маңызды.

Сол сияқты:
координаталық жазықтықтың теңдеуі болып табылады;
координаталық жазықтықтың теңдеуі болып табылады.

Есепті сәл күрделендірейік, жазықтықты қарастырайық (мұнда және әрі қарай абзацта сандық коэффициенттер нөлге тең емес деп есептейміз). Теңдеуді келесі түрде қайта жазайық: . Оны қалай түсінуге болады? «X» ӘРҚАШАН, кез келген «y» мәні үшін және «z» белгілі бір санға тең. Бұл жазықтық координаталық жазықтыққа параллель. Мысалы, жазықтық жазықтыққа параллель және нүкте арқылы өтеді.

Сол сияқты:
- координаталық жазықтыққа параллель болатын жазықтықтың теңдеуі;
- координаталық жазықтыққа параллель болатын жазықтықтың теңдеуі.

Мүшелерді қосу: . Теңдеуді былай қайта жазуға болады: , яғни «Z» кез келген нәрсе болуы мүмкін. Бұл нені білдіреді? «X» және «Y» жазықтықта белгілі бір түзу сызатын қатынас арқылы қосылады (сіз танисыз жазықтықтағы түзудің теңдеуі?). Z кез келген нәрсе болуы мүмкін болғандықтан, бұл сызық кез келген биіктікте «қайталанады». Осылайша, теңдеу координат осіне параллель жазықтықты анықтайды

Сол сияқты:
- координат осіне параллель болатын жазықтықтың теңдеуі;
- координат осіне параллель болатын жазықтықтың теңдеуі.

Егер бос мүшелер нөлге тең болса, онда жазықтықтар сәйкес осьтер арқылы тікелей өтеді. Мысалы, классикалық «тікелей пропорционалдылық» :. Жазықтықта түзу сызыңыз және оны ойша жоғары және төмен көбейтіңіз («z» кез келген). Қорытынды: теңдеу арқылы берілген жазықтық координат осінен өтеді.

Шолуды аяқтаймыз: жазықтықтың теңдеуі бастау арқылы өтеді. Мұнда нүкте берілген теңдеуді қанағаттандыратыны анық.

Және, ақырында, сызбада көрсетілген жағдай: - ұшақ барлық координат осьтерімен дос, ал ол әрқашан сегіз октанттың кез келгенінде орналасуы мүмкін үшбұрышты «кесіп тастайды».

Кеңістіктегі сызықтық теңсіздіктер

Ақпаратты түсіну үшін жақсы оқу керек жазықтықтағы сызықтық теңсіздіктерөйткені көп нәрсе ұқсас болады. Параграф бірнеше мысалдармен қысқаша шолу болады, өйткені материал тәжірибеде өте сирек кездеседі.

Егер теңдеу жазықтықты анықтаса, онда теңсіздіктер
сұраңыз жартылай бос орындар. Егер теңсіздік қатаң болмаса (тізімде соңғы екеуі), онда теңсіздіктің шешімі жарты кеңістіктен басқа, жазықтықтың өзін қамтиды.

5-мысал

Жазықтықтың бірлік нормаль векторын табыңыз .

Шешім: Бірлік вектор деп ұзындығы бір векторды айтады. Бұл векторды деп белгілейік. Векторлардың коллинеар екені анық:

Алдымен жазықтықтың теңдеуінен нормаль векторды алып тастаймыз: .

Бірлік векторын қалай табуға болады? Бірлік векторын табу үшін сізге қажет сайынвекторлық координат вектор ұзындығына бөлінген.

Нормал векторды пішінде қайта жазып, оның ұзындығын табайық:

Жоғарыда айтылғандарға сәйкес:

Жауап:

Тексеру: , ол тексеру үшін қажет болды.

Сабақтың соңғы абзацын мұқият оқып шыққан оқырмандар мұны байқаған болар бірлік вектордың координаталары дәл вектордың бағыт косинусы болады:

Бөлшектелген мәселеден алшақтайық: сізге ерікті нөлдік емес вектор берілгенде, ал шарт бойынша оның бағытының косинусын табу қажет (сабақтың соңғы тапсырмаларын қараңыз Векторлардың нүктелік көбейтіндісі), онда сіз, шын мәнінде, берілгенге коллинеар бірлік векторын табасыз. Шын мәнінде, бір бөтелкеде екі тапсырма.

Бірлік нормаль векторын табу қажеттілігі математикалық талдаудың кейбір мәселелерінде туындайды.

Біз қалыпты вектордың балық аулауын анықтадық, енді біз қарсы сұраққа жауап береміз:

Нүкте мен нормаль векторды пайдаланып жазықтықтың теңдеуін қалай жазуға болады?

Қалыпты вектор мен нүктенің бұл қатаң құрылысы дарт нысанасы арқылы жақсы белгілі. Қолыңызды алға созыңыз және ойша кеңістіктегі ерікті нүктені таңдаңыз, мысалы, серванттағы кішкентай мысық. Әлбетте, осы нүкте арқылы қолыңызға перпендикуляр бір жазықтықты салуға болады.

Векторға перпендикуляр нүкте арқылы өтетін жазықтықтың теңдеуі мына формуламен өрнектеледі:

Оны әртүрлі тәсілдермен көрсетуге болады (бір нүкте және вектор, екі нүкте және вектор, үш нүкте және т.б.). Дәл осыны ескере отырып, жазықтықтың теңдеуі болуы мүмкін әртүрлі түрлері. Сондай-ақ белгілі бір жағдайларда жазықтықтар параллель, перпендикуляр, қиылысу және т.б. Бұл туралы осы мақалада айтатын боламыз. Біз тек қана емес, жазықтықтың жалпы теңдеуін жазуды үйренеміз.

Теңдеудің қалыпты түрі

XYZ тікбұрышты координаталар жүйесі бар R 3 кеңістігі бар делік. Бастапқы О нүктесінен шығарылатын α векторын қоямыз. α векторының соңы арқылы оған перпендикуляр болатын P жазықтығын жүргіземіз.

P арқылы ерікті Q=(x, y, z) нүктесін белгілеңіз. Q нүктесінің радиус векторына р әрпімен қол қоямыз. α векторының ұзындығы p=IαI және Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

Бұл α векторы сияқты жанама бағытталған бірлік вектор. α, β және γ – Ʋ векторы мен сәйкесінше x, y, z кеңістік осьтерінің оң бағыттарының арасында түзілетін бұрыштар. Кейбір QϵП нүктесінің Ʋ векторына проекциясы р-ге тең тұрақты шама: (р,Ʋ) = р(р≥0).

Бұл теңдеу p=0 болғанда мағынасы бар. Жалғыз нәрсе, бұл жағдайда Р жазықтығы координат басы болып табылатын О (α=0) нүктесімен қиылысады, ал О нүктесінен босатылған бірлік векторы Ʋ оның бағытына қарамастан P-ге перпендикуляр болады, бұл дегеніміз Ʋ векторы таңба-дәлдікпен анықталады. Алдыңғы теңдеу векторлық түрде өрнектелген біздің Р жазықтығының теңдеуі болып табылады. Бірақ координаттарда ол келесідей болады:

Мұндағы P 0-ден үлкен немесе оған тең. Біз кеңістіктегі жазықтықтың теңдеуін оның қалыпты түрінде таптық.

Жалпы теңдеу

Егер координаталардағы теңдеуді нөлге тең емес кез келген санға көбейтсек, сол жазықтықты анықтайтын берілгенге эквивалентті теңдеу аламыз. Ол келесідей болады:

Мұндағы A, B, C – бір мезгілде нөлден айырмашылығы бар сандар. Бұл теңдеу жалпы жазық теңдеу деп аталады.

Жазық теңдеулер. Ерекше жағдайлар

Жалпы түрдегі теңдеуді қосымша шарттар болған кезде өзгертуге болады. Олардың кейбіреулерін қарастырайық.

А коэффициентін 0 деп алайық.Бұл берілген жазықтық берілген Ox осіне параллель екенін білдіреді. Бұл жағдайда теңдеудің түрі өзгереді: Ву+Cz+D=0.

Сол сияқты теңдеудің түрі келесі шарттарда өзгереді:

• Біріншіден, егер B = 0 болса, онда теңдеу Ax + Cz + D = 0 болып өзгереді, бұл Oy осіне параллелизмді көрсетеді.
• Екіншіден, егер С=0 болса, онда теңдеу Ах+Ву+D=0 түрленеді, ол берілген Oz осіне параллелизмді көрсетеді.
• Үшіншіден, егер D=0 болса, теңдеу Ax+By+Cz=0 сияқты болады, бұл жазықтықтың O (бастапқы нүкте) қиылысатынын білдіреді.
• Төртіншіден, егер A=B=0 болса, онда теңдеу Cz+D=0-ге өзгереді, ол Оксиге параллельді дәлелдейді.
• Бесіншіден, егер B=C=0 болса, онда теңдеу Ax+D=0 болады, яғни Ойзға дейінгі жазықтық параллель.
• Алтыншыдан, егер A=C=0 болса, онда теңдеу Ву+D=0 түрін қабылдайды, яғни параллелизмді Oxz-ке хабарлайды.

Кесінділердегі теңдеу түрі

A, B, C, D сандары нөл емес болған жағдайда (0) теңдеудің түрі келесідей болуы мүмкін:

x/a + y/b + z/c = 1,

онда a \u003d -D / A, b \u003d -D / B, c \u003d -D / C.

Нәтижеде біз аламыз Айта кету керек, бұл жазықтық Ox осін координаталары (a,0,0), Oy - (0,b,0) және Oz - (0,0,c) нүктеде қиып өтеді. .

x/a + y/b + z/c = 1 теңдеуін ескере отырып, берілген координаталар жүйесіне қатысты жазықтықтың орналасуын көрнекі түрде көрсету оңай.

Қалыпты векторлық координаталар

Р жазықтығына n нормаль векторының берілген жазықтықтың жалпы теңдеуінің коэффициенттері болып табылатын координаталары бар, яғни n (А, В, С).

Нормал n координаталарын анықтау үшін берілген жазықтықтың жалпы теңдеуін білу жеткілікті.

x/a + y/b + z/c = 1 түріндегі теңдеуді кесінділерде қолданғанда, сондай-ақ жалпы теңдеуді пайдаланған кезде берілген жазықтықтың кез келген қалыпты векторының координаталарын жазуға болады: (1) /a + 1/b + 1/ бар).

Айта кету керек, қалыпты вектор әртүрлі есептерді шешуге көмектеседі. Ең көп тарағандары – жазықтықтардың перпендикулярлығын немесе параллелдігін дәлелдеуден тұратын тапсырмалар, жазықтықтар арасындағы бұрыштарды немесе жазықтықтар мен түзулердің арасындағы бұрыштарды табуға есептер.

Нүкте мен нормаль векторының координаталары бойынша жазықтық теңдеуінің көрінісі

Берілген жазықтыққа перпендикуляр n нөлге тең емес вектор берілген жазықтық үшін нормаль (нормаль) деп аталады.

Координаталық кеңістікте (тікбұрышты координаталар жүйесі) Oxyz берілген делік:

• координаталары бар Mₒ нүктесі (xₒ,yₒ,zₒ);
• нөлдік вектор n=A*i+B*j+C*k.

Нормал n-ге перпендикуляр Mₒ нүктесі арқылы өтетін жазықтықтың теңдеуін құру керек.

Кеңістікте кез келген ерікті нүктені таңдап, оны M (x y, z) арқылы белгілейміз. Кез келген М (x, y, z) нүктесінің радиус векторы r=x*i+y*j+z*k, ал Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) нүктесінің радиус векторы - rₒ=xₒ* болсын. i+yₒ *j+zₒ*k. MₒM векторы n векторына перпендикуляр болса, M нүктесі берілген жазықтыққа жатады. Ортогоналдылық шартын скаляр көбейтінді арқылы жазамыз:

[MₒM, n] = 0.

MₒM \u003d r-rₒ болғандықтан, жазықтықтың векторлық теңдеуі келесідей болады:

Бұл теңдеу басқа формада болуы мүмкін. Ол үшін скаляр көбейтіндінің қасиеттері пайдаланылады, ал теңдеудің сол жағы түрленеді. = - . Егер c деп белгіленсе, онда келесі теңдеу алынады: - c \u003d 0 немесе \u003d c, ол жазықтыққа жататын берілген нүктелердің радиус векторларының қалыпты векторына проекциялардың тұрақтылығын көрсетеді.

Енді біздің жазықтықтың векторлық теңдеуін жазудың координаталық түрін алуға болады = 0. Өйткені r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, ал n = A*i+B *j+C*k, бізде:

Нормал n-ге перпендикуляр нүкте арқылы өтетін жазықтықтың теңдеуі бар екен:

A*(x-xₒ)+B*(y-yₒ)C*(z-zₒ)=0.

Екі нүктенің координаталарына және жазықтыққа коллинеар векторға сәйкес жазықтық теңдеуінің көрінісі

Екі ерікті M′ (x′,y′,z′) және M″ (x″,y″,z″) нүктелерін, сонымен қатар a (a′,a″,a‴) векторын анықтаймыз.

Енді берілген жазықтықтың теңдеуін құра аламыз, ол қолда бар M′ және M″ нүктелері, сондай-ақ координаталары (x, y, z) берілген а векторына параллель кез келген М нүктесі арқылы өтеді.

Бұл жағдайда M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) және M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) векторлары вектормен салыстырмалы болуы керек. a=(a′,a″,a‴), бұл (M′M, M″M, a)=0 дегенді білдіреді.

Сонымен, біздің кеңістіктегі жазықтықтың теңдеуі келесідей болады:

Үш нүктені қиылысатын жазықтық теңдеуінің түрі

Бізде үш нүкте бар делік: (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), олар бір түзуге жатпайды. Берілген үш нүкте арқылы өтетін жазықтықтың теңдеуін жазу керек. Геометрия теориясы мұндай жазықтық шын мәнінде бар, тек ол жалғыз және қайталанбас деп мәлімдейді. Бұл жазықтық (x′, y′, z′) нүктесін қиып өтетіндіктен, оның теңдеуінің түрі келесідей болады:

Мұндағы A, B, C бір уақытта нөлден ерекшеленеді. Сондай-ақ берілген жазықтық тағы екі нүктені қиып өтеді: (x″,y″,z″) және (x‴,y‴,z‴). Осыған байланысты келесі шарттар орындалуы керек:

Енді u, v, w белгісіздері бар біртекті жүйені құра аламыз:

Біздің жағдайда x, y немесе z - (1) теңдеуді қанағаттандыратын ерікті нүкте. (1) теңдеуін және (2) және (3) теңдеулер жүйесін ескере отырып, жоғарыдағы суретте көрсетілген теңдеулер жүйесі тривиальды емес N (A, B, C) векторын қанағаттандырады. Сондықтан бұл жүйенің анықтауышы нөлге тең.

Біз алған (1) теңдеу жазықтықтың теңдеуі болып табылады. Ол дәл 3 нүктеден өтеді және оны тексеру оңай. Ол үшін бірінші қатардағы элементтерге анықтауышымызды кеңейтуіміз керек. Анықтауыштың бар қасиеттерінен біздің жазықтық бір мезгілде бастапқы берілген үш нүктені (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) қиып өтетіні шығады. . Яғни, алдымызға қойылған міндетті шештік.

Жазықтықтар арасындағы екібұрышты бұрыш

Екібұрышты бұрыш – бір түзуден шығатын екі жарты жазықтықтан құралған кеңістіктік геометриялық фигура. Басқаша айтқанда, бұл жарты жазықтықтармен шектелген кеңістік бөлігі.

Келесі теңдеулері бар екі жазықтық бар делік:

N=(A,B,C) және N¹=(A¹,B¹,C¹) векторлары берілген жазықтықтарға сәйкес перпендикуляр екенін білеміз. Осыған байланысты N және N¹ векторларының арасындағы φ бұрышы осы жазықтықтар арасындағы бұрышқа (диэдрлік) тең. Скалярлық көбейтіндінің пішіні бар:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

дәл себебі

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/(√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

0≤φ≤π екенін ескеру жеткілікті.

Шындығында, қиылысатын екі жазықтық екі (диэдрлік) бұрыштарды құрайды: φ 1 және φ 2 . Олардың қосындысы π-ге тең (φ 1 + φ 2 = π). Олардың косинустарына келетін болсақ, олардың абсолюттік мәндері тең, бірақ олар белгілері бойынша ерекшеленеді, яғни cos φ 1 =-cos φ 2. Егер (0) теңдеуде A, B және C сандарын сәйкесінше -A, -B және -C сандарымен ауыстырсақ, онда алынған теңдеу бірдей жазықтықты анықтайды, теңдеудегі жалғыз φ бұрышы cos φ= NN. 1 /| N||N 1 | π-φ арқылы ауыстырылады.

Перпендикуляр жазықтықтың теңдеуі

Жазықтықтар перпендикуляр деп аталады, егер олардың арасындағы бұрыш 90 градус болса. Жоғарыда келтірілген материалды пайдалана отырып, екіншісіне перпендикуляр жазықтықтың теңдеуін таба аламыз. Бізде екі жазықтық бар делік: Ax+By+Cz+D=0 және A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Егер cosφ=0 болса, олар перпендикуляр болады деп айта аламыз. Бұл NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0 дегенді білдіреді.

Параллель жазықтық теңдеуі

Параллель - ортақ нүктелері жоқ екі жазықтық.

Шарты (олардың теңдеулері алдыңғы абзацтағыдай) оларға перпендикуляр болатын N және N¹ векторларының коллинеар болуы. Бұл келесі пропорционалдық шарттарының орындалатынын білдіреді:

A/A¹=B/B¹=C/C¹.

Егер пропорционалдық шарттары кеңейтілсе - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

бұл бұл ұшақтардың сәйкес келетінін көрсетеді. Бұл Ax+By+Cz+D=0 және A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 теңдеулері бір жазықтықты сипаттайтынын білдіреді.

Нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықтық

(0) теңдеуімен берілген P жазықтығы бар делік. (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ координаттары бар нүктеден оған дейінгі қашықтықты табу керек. Ол үшін P жазықтығының теңдеуін қалыпты түрге келтіру керек:

(ρ,v)=p (p≥0).

Бұл жағдайда ρ(x,y,z) - P нүктесінде орналасқан Q нүктесінің радиус векторы, p - нөлдік нүктеден шығарылған P перпендикулярының ұзындығы, v - бірлік векторы а бағыты.

P-ке жататын кейбір Q \u003d (x, y, z) нүктесінің радиус векторының ρ-ρº айырмасы, сондай-ақ берілген Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) нүктесінің радиус векторының айырмашылығы осындай векторы, оның v бойынша проекциясының абсолюттік мәні d қашықтығына тең, оны Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) бастап P дейін табу керек:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, бірақ

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =р-(ρ 0 ,v).

Осылайша шығады

d=|(ρ 0 ,v)-p|.

Осылайша, алынған өрнектің абсолютті мәнін, яғни қалаған d-ны табамыз.

Параметрлер тілін пайдалана отырып, біз анық аламыз:

d=|Axₒ+Vuₒ+Czₒ|/√(A²+B²+C²).

Егер берілген Q 0 нүктесі P жазықтығының екінші жағында, сонымен қатар координаталық нүктеде болса, онда ρ-ρ 0 және v векторының арасында, демек:

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-p>0.

Егер Q 0 нүктесі координат басымен бірге P нүктесінің бір жағында орналасқан болса, онда құрылған бұрыш сүйір болады, яғни:

d \u003d (ρ-ρ 0, v) \u003d p - (ρ 0, v)>0.

Нәтижесінде бірінші жағдайда (ρ 0 ,v)> р, екіншісінде (ρ 0 ,v) болатыны белгілі болды.<р.

Тангенс жазықтығы және оның теңдеуі

Mº түйісу нүктесіндегі бетке жанама жазықтық деп беттегі осы нүкте арқылы жүргізілген қисықтардың барлық мүмкін жанамаларын қамтитын жазықтықты айтады.

F (x, y, z) \u003d 0 беттік теңдеуінің бұл түрінде Mº (xº, yº, zº) жанама нүктесіндегі жанама жазықтықтың теңдеуі келесідей болады:

F x (xº, yº, zº)(x- xº)+ F x (xº, yº, zº)(y-yº)+ F x (xº, yº, zº)(z-zº)=0.

Егер бетті анық z=f (x, y) түрінде көрсетсеңіз, жанама жазықтық мына теңдеумен сипатталады:

z-zº = f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y-yº).

Екі жазықтықтың қиылысуы

Координаталар жүйесінде (тікбұрышты) Oxyz орналасқан, екі П′ және П″ жазықтығы берілген, олар қиылысатын және сәйкес келмейтін. Тік бұрышты координаталар жүйесінде орналасқан кез келген жазықтық жалпы теңдеумен анықталатындықтан, P′ және P″ A′x+B′y+C′z+D′=0 және A″x теңдеулері арқылы берілген деп есептейміз. +B″y+ С″z+D″=0. Бұл жағдайда бізде P′ жазықтығының қалыпты n′ (A′, B′, C′) және P″ жазықтығындағы қалыпты n″ (A″, B″, C″) болады. Біздің жазықтықтар параллель емес және сәйкес келмейтіндіктен, бұл векторлар коллинеар емес. Математика тілін қолданып, бұл шартты былай жазуға болады: n′≠ n″ ↔ (A′, B′, C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. P′ пен P″ қиылысында жатқан түзу а әрпімен белгіленсін, бұл жағдайда a = P′ ∩ P″.

a - П′ және П″ (ортақ) жазықтықтардың барлық нүктелерінің жиынынан тұратын түзу. Бұл a түзуіне жататын кез келген нүктенің координаталары A′x+B′y+C′z+D′=0 және A″x+B″y+C″z+D″= теңдеулерін бір уақытта қанағаттандыруы керек дегенді білдіреді. 0. Бұл нүктенің координаталары келесі теңдеулер жүйесінің нақты шешімі болатынын білдіреді:

Нәтижесінде, бұл теңдеулер жүйесінің (жалпы) шешімі П′ пен П″ қиылысу нүктесі қызметін атқаратын түзудің әрбір нүктесінің координаталарын анықтап, түзуін анықтайтыны белгілі болды. кеңістіктегі Oxyz (тікбұрышты) координаталар жүйесіндегі а түзуін.

Евклид геометриясындағы түзудің қасиеттері.

Кез келген нүкте арқылы сызуға болатын шексіз көп сызықтар бар.

Кез келген екі сәйкес келмейтін нүкте арқылы бір ғана түзу болады.

Жазықтықтағы сәйкес келмейтін екі түзу не бір нүктеде қиылысады, не болады

параллель (алдыңғыдан кейін).

Үш өлшемді кеңістікте екі жолдың өзара орналасуының үш нұсқасы бар:

• сызықтар қиылысады;

• түзулер параллель;

• түзу сызықтар қиылысады.

Түзу түзу- бірінші ретті алгебралық қисық: декарттық координаталар жүйесінде түзу

жазықтықта бірінші дәрежелі теңдеумен берілген ( сызықтық теңдеу).

Түзудің жалпы теңдеуі.

Анықтама. Жазықтықтағы кез келген түзуді бірінші ретті теңдеумен беруге болады

Ah + Wu + C = 0,

және тұрақты А, Ббір уақытта нөлге тең емес. Бұл бірінші ретті теңдеу деп аталады жалпы

түзу теңдеуі.Тұрақтылардың мәндеріне байланысты А, БЖәне МЕНКелесі ерекше жағдайлар мүмкін:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- сызық координат нүктесі арқылы өтеді

. A = 0, B ≠0, C ≠0 ( By + C = 0)- оське параллель түзу О

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- оське параллель түзу OU

. B = C = 0, A ≠ 0- сызық осімен сәйкес келеді OU

. A = C = 0, B ≠ 0- сызық осімен сәйкес келеді О

Түзу теңдеуі кез келген берілгенге байланысты әртүрлі формада көрсетілуі мүмкін

бастапқы шарттар.

Түзудің нүкте және нормаль вектор бойынша теңдеуі.

Анықтама. Декарттық координаттар жүйесінде векторықұрамдас бөліктермен (A, B)

теңдеуімен берілген түзуге перпендикуляр

Ah + Wu + C = 0.

Мысал. Нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуін табыңыз A(1, 2)векторға перпендикуляр (3, -1).

Шешім. A \u003d 3 және B \u003d -1 кезінде түзудің теңдеуін құрайық: 3x - y + C \u003d 0. C коэффициентін табу үшін

алынған өрнекке берілген А нүктесінің координаталарын қоямыз: 3 - 2 + С = 0, демек

C = -1. Барлығы: қажетті теңдеу: 3x - y - 1 \u003d 0.

Екі нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуі.

Кеңістікте екі нүкте берілсін M 1 (x 1 , y 1 , z 1)Және M2 (x 2, y 2 , z 2),Содан кейін түзу теңдеуі,

осы нүктелерден өту:

Егер бөлгіштердің кез келгені нөлге тең болса, сәйкес алым нөлге тең болуы керек. Қосулы

жазықтықта жоғарыда жазылған түзудің теңдеуі жеңілдетілген:

Егер x 1 ≠ x 2Және x = x 1, Егер x 1 = x 2 .

Бөлшек = kшақырды көлбеу коэффициенті Түзу.

Мысал. А(1, 2) және В(3, 4) нүктелері арқылы өтетін түзудің теңдеуін табыңыз.

Шешім. Жоғарыдағы формуланы қолданып, аламыз:

Түзудің нүкте және көлбеу бойынша теңдеуі.

Егер түзудің жалпы теңдеуі Ah + Wu + C = 0пішінге келтіріңіз:

және белгілеу , содан кейін алынған теңдеу шақырылады

Көлбеулігі k болатын түзудің теңдеуі.

Нүктедегі түзу мен бағыттаушы вектордың теңдеуі.

Қалыпты вектор арқылы өтетін түзудің теңдеуін қарастыратын нүктеге ұқсастық бойынша тапсырманы енгізуге болады

нүкте арқылы өтетін түзу және түзудің бағыт векторы.

Анықтама. Әрбір нөлдік емес вектор (α 1 , α 2), оның құрамдастары шартты қанағаттандырады

Aα 1 + Bα 2 = 0шақырды түзудің бағыт векторы.

Ah + Wu + C = 0.

Мысал. Бағыты векторы (1, -1) және А(1, 2) нүктесі арқылы өтетін түзудің теңдеуін табыңыз.

Шешім. Біз қалаған түзудің теңдеуін келесі түрде іздейміз: Ax + By + C = 0.Анықтамаға сәйкес,

коэффициенттер келесі шарттарды қанағаттандыруы керек:

1 * A + (-1) * B = 0, яғни. A = B.

Сонда түзу теңдеуі келесідей болады: Ax + Ay + C = 0,немесе x + y + C / A = 0.

сағ x=1, y=2Біз алып жатырмыз C/ A = -3, яғни. қажетті теңдеу:

x + y - 3 = 0

Кесінділердегі түзудің теңдеуі.

Егер Ah + Wu + C = 0 C≠0 түзуінің жалпы теңдеуінде болса, онда -С-ге бөлгенде мынаны аламыз:

немесе , қайда

Коэффициенттердің геометриялық мағынасы мынада: а коэффициенті қиылысу нүктесінің координатасы болып табылады

осьпен түзу О,А б- түзудің осімен қиылысу нүктесінің координатасы OU.

Мысал. Түзудің жалпы теңдеуі берілген x - y + 1 = 0.Осы түзудің кесінділердегі теңдеуін табыңыз.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Түзу сызықтың қалыпты теңдеуі.

Егер теңдеудің екі жағы да болса Ah + Wu + C = 0санға бөлу , деп аталады

нормалаушы фактор, содан кейін аламыз

xcosφ + ysinφ - p = 0 -түзудің қалыпты теңдеуі.

Қалыптастырушы фактордың ± белгісін таңдау керек μ * С< 0.

Р- басынан түзуге түсірілген перпендикуляр ұзындығы,

А φ - осьтің оң бағытымен осы перпендикуляр түзетін бұрыш О.

Мысал. Түзудің жалпы теңдеуі берілген 12x - 5y - 65 = 0. Әртүрлі типтегі теңдеулерді жазу қажет

бұл түзу сызық.

Бұл түзудің кесінділердегі теңдеуі:

Бұл түзудің еңіспен теңдеуі: (5-ке бөлу)

Түзудің теңдеуі:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.

Айта кету керек, әрбір түзуді кесінділердегі теңдеумен көрсетуге болмайды, мысалы, түзулер,

осьтерге параллель немесе координат басынан өтетін.

Жазықтықтағы түзулер арасындағы бұрыш.

Анықтама. Егер екі жол берілсе y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, содан кейін осы сызықтар арасындағы сүйір бұрыш

ретінде анықталатын болады

Екі түзу параллель болса k 1 = k 2. Екі түзу перпендикуляр

Егер k 1 \u003d -1 / k 2 .

Теорема.

Тікелей Ah + Wu + C = 0Және A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0коэффициенттер пропорционал болғанда параллель болады

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Егер де С 1 \u003d λС, содан кейін сызықтар сәйкес келеді. Екі түзудің қиылысу нүктесінің координаталары

осы түзулердің теңдеулер жүйесінің шешімі ретінде табылады.

Берілген нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуі берілген түзуге перпендикуляр.

Анықтама. Нүкте арқылы өтетін түзу M 1 (x 1, y 1)және түзуге перпендикуляр y = kx + b

теңдеу арқылы көрсетіледі:

Нүктеден түзуге дейінгі қашықтық.

Теорема. Егер ұпай берілсе M(x 0, y 0),содан кейін сызыққа дейінгі қашықтық Ah + Wu + C = 0ретінде анықталады:

Дәлелдеу. Нүкте болсын M 1 (x 1, y 1)- нүктеден түсірілген перпендикуляр негізі Мберілген үшін

тікелей. Содан кейін нүктелер арасындағы қашықтық МЖәне М 1:

(1)

Координаттар x 1Және 1теңдеулер жүйесінің шешімі ретінде табуға болады:

Жүйенің екінші теңдеуі берілген М 0 нүктесі арқылы перпендикуляр өтетін түзудің теңдеуі.

берілген сызық. Жүйенің бірінші теңдеуін келесі түрге түрлендірсек:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

онда шешіп, біз аламыз:

Осы өрнектерді (1) теңдеуге қойып, табамыз:

Теорема дәлелденді.

Бұл мақалада берілген түзуге перпендикуляр үш өлшемді кеңістікте берілген нүкте арқылы өтетін жазықтықтың теңдеуін қалай жазу керектігі туралы түсінік беріледі. Типтік есептерді шешу мысалында жоғарыдағы алгоритмді талдап көрейік.

Берілген түзуге перпендикуляр кеңістіктегі берілген нүкте арқылы өтетін жазықтықтың теңдеуін табу

Онда үш өлшемді кеңістік пен тік бұрышты координаталар жүйесі O x y z берілсін. Сондай-ақ M 1 нүктесі (x 1, y 1, z 1), түзу а түзуі және M 1 нүктесі арқылы өтетін а түзуіне перпендикуляр α жазықтығы да берілген. α жазықтығының теңдеуін жазу керек.

Бұл мәселені шешуге кіріспес бұрын, 10 - 11 сыныптар бағдарламасындағы геометрия теоремасын еске түсірейік, онда оқылады:

Анықтама 1

Жалғыз жазықтық үш өлшемді кеңістікте берілген нүкте арқылы өтеді және берілген түзуге перпендикуляр.

Енді бастапқы нүкте арқылы өтетін және берілген түзуге перпендикуляр болатын осы жалғыз жазықтықтың теңдеуін қалай табуға болатынын қарастырыңыз.

Жазықтықтың жалпы теңдеуін жазуға болады, егер осы жазықтыққа жататын нүктенің координаталары, сондай-ақ жазықтықтың нормаль векторының координаталары белгілі болса.

Есептің шарты бойынша α жазықтығы өтетін М 1 нүктесінің x 1, y 1, z 1 координаталары берілген. Егер α жазықтығының нормаль векторының координаталарын анықтасақ, онда қажетті теңдеуді жаза аламыз.

α жазықтығының нормаль векторы, ол нөл емес және α жазықтығына перпендикуляр а түзуінде жатқандықтан, а түзуінің кез келген бағыттаушы векторы болады. Сонымен, α жазықтығының нормаль векторының координаталарын табу есебі a түзуінің бағыттаушы векторының координаталарын анықтау есебіне түрлендіріледі.

а түзуінің бағыттаушы векторының координаталарын анықтау әртүрлі әдістермен жүзеге асырылуы мүмкін: ол бастапқы жағдайларда а түзуін орнату нұсқасына байланысты. Мысалы, есеп шартындағы а сызығы форманың канондық теңдеулерімен берілсе

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z

немесе түрдегі параметрлік теңдеулер:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ

онда түзудің бағыттаушы векторында a x, a y және a z координаталары болады. Егер а түзу екі M 2 (x 2, y 2, z 2) және M 3 (x 3, y 3, z 3) нүктелерімен берілген жағдайда, онда бағыт векторының координаталары мына түрде анықталады: (x3 - x2, y3 - y2 , z3 – z2).

Анықтама 2

Берілген түзуге перпендикуляр берілген нүкте арқылы өтетін жазықтықтың теңдеуін табу алгоритмі:

a түзуінің бағыттаушы векторының координаталарын анықтаңыз: a → = (a x, a y, a z) ;

α жазықтығының нормаль векторының координаталарын а түзуінің бағыттаушы векторының координаталары ретінде анықтаймыз:

n → = (A , B , C) , мұндағы A = a x , B = a y , C = a z;

М 1 (x 1, y 1, z 1) нүктесі арқылы өтетін және нормаль векторы бар жазықтықтың теңдеуін жазамыз. n→=(A, B, C) A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 түрінде. Бұл кеңістіктегі берілген нүкте арқылы өтетін және берілген түзуге перпендикуляр болатын жазықтықтың қажетті теңдеуі болады.

Алынған жазықтықтың жалпы теңдеуі: A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) \u003d 0 кесінділердегі жазықтықтың теңдеуін немесе жазықтықтың қалыпты теңдеуін алуға мүмкіндік береді.

Жоғарыда алынған алгоритмді пайдаланып, бірнеше мысалдарды шешейік.

1-мысал

М 1 (3, - 4, 5) нүктесі берілген, ол арқылы жазықтық өтеді және бұл жазықтық О z координаталық түзуіне перпендикуляр.

Шешім

O z координаталық түзуінің бағыт векторы координаталық вектор болады k ⇀ = (0 , 0 , 1) . Демек, жазықтықтың нормаль векторының координаталары (0 , 0 , 1) болады. Нормаль векторы координаталары (0, 0, 1) болатын берілген M 1 (3, - 4, 5) нүктесі арқылы өтетін жазықтықтың теңдеуін жазайық:

A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 ⇔ ⇔ 0 (x - 3) + 0 (y - (- 4)) + 1 (z - 5) = 0 ⇔ z - 5 = 0

Жауап: z - 5 = 0 .

Бұл мәселені шешудің басқа жолын қарастырыңыз:

2-мысал

O z түзуіне перпендикуляр болатын жазықтық С z + D = 0 , C ≠ 0 түріндегі жазықтықтың толық емес жалпы теңдеуі арқылы беріледі. C және D мәндерін анықтайық: олар үшін жазықтық берілген нүкте арқылы өтеді. C z + D = 0 теңдеуіндегі осы нүктенің координаталарын қойсақ, мынаны аламыз: C · 5 + D = 0 . Анау. сандар, C және D байланысқан - D C = 5 . C \u003d 1 алсақ, біз D \u003d - 5 аламыз.

Бұл мәндерді C z + D = 0 теңдеуіне ауыстырыңыз және O z түзуіне перпендикуляр және M 1 (3, - 4, 5) нүктесі арқылы өтетін жазықтық үшін қажетті теңдеуді алыңыз.

Ол келесідей болады: z - 5 = 0.

Жауап: z - 5 = 0 .

3-мысал

Бас нүктесі арқылы өтетін және х - 3 = у + 1 - 7 = z + 5 2 түзуіне перпендикуляр жазықтықтың теңдеуін жазыңыз.

Шешім

Есептің шарттарына сүйене отырып, берілген түзудің бағыттаушы векторын берілген жазықтықтың n → нормаль векторы ретінде алуға болады деп дәлелдеуге болады. Осылайша: n → = (- 3 , - 7 , 2) . О (0, 0, 0) нүктесі арқылы өтетін және қалыпты векторы n → \u003d (- 3, - 7, 2) болатын жазықтықтың теңдеуін жазайық:

3 (x - 0) - 7 (y - 0) + 2 (z - 0) = 0 ⇔ - 3 x - 7 y + 2 z = 0

Берілген түзуге перпендикуляр басы арқылы өтетін жазықтықтың қажетті теңдеуін алдық.

Жауап:- 3x - 7y + 2z = 0

4-мысал

Үш өлшемді кеңістікте O x y z тікбұрышты координаталар жүйесі берілген болса, оның құрамында екі A (2 , - 1 , - 2) және B (3 , - 2 , 4) нүктелері бар. α жазықтығы АВ түзуіне перпендикуляр А нүктесі арқылы өтеді.Кесінділер бойынша α жазықтығының теңдеуін құру керек.

Шешім

α жазықтығы А В түзуіне перпендикуляр, онда А В → векторы α жазықтығының нормаль векторы болады. Бұл вектордың координаталары В (3, - 2, 4) және А (2, - 1, - 2) нүктелерінің сәйкес координаталарының айырмасы ретінде анықталады:

A B → = (3 - 2 , - 2 - (- 1) , 4 - (- 2)) ⇔ A B → = (1 , - 1 , 6)

Жазықтықтың жалпы теңдеуі келесі түрде жазылады:

1 x - 2 - 1 y - (- 1 + 6 (z - (- 2)) = 0 ⇔ x - y + 6 z + 9 = 0

Енді кесінділердегі жазықтықтың қажетті теңдеуін құрастырамыз:

x - y + 6 z + 9 = 0 ⇔ x - y + 6 z = - 9 ⇔ x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Жауап:x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Берілген нүкте арқылы өтетін және берілген екі жазықтыққа перпендикуляр болатын жазықтықтың теңдеуін жазу талабы болатын есептер бар екенін де айта кеткен жөн. Жалпы алғанда, бұл есептің шешімі берілген түзуге перпендикуляр берілген нүкте арқылы өтетін жазықтықтың теңдеуін жазу болып табылады, өйткені қиылысатын екі жазықтық түзуді анықтайды.

5-мысал

О x y z тікбұрышты координаталар жүйесі берілген, онда М 1 (2, 0, - 5) нүктесі орналасқан. a түзуінің бойымен қиылысатын 3 x + 2 y + 1 = 0 және x + 2 z - 1 = 0 екі жазықтықтың теңдеулері де берілген. М 1 нүктесі арқылы а түзуіне перпендикуляр өтетін жазықтықтың теңдеуін құру керек.

Шешім

a түзуінің бағыттаушы векторының координаталарын анықтайық. Ол n → (1 , 0 , 2) жазықтығының n 1 → (3 , 2 , 0) нормаль векторына да, x + 2 z жазықтығының 3 x + 2 у + 1 = 0 нормаль векторына да перпендикуляр. - 1 = 0.

Сонда бағыттаушы вектор α → а түзу n 1 → және n 2 → векторларының векторлық көбейтіндісін аламыз:

a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 3 2 0 1 0 2 = 4 i → - 6 j → - 2 k → ⇒ a → = (4 , - 6 , - 2 )

Сонымен, n → = (4, - 6, - 2) векторы а түзуіне перпендикуляр жазықтықтың нормаль векторы болады. Жазықтықтың қажетті теңдеуін жазамыз:

4 (x - 2) - 6 (y - 0) - 2 (z - (- 5)) = 0 ⇔ 4 x - 6 y - 2 z - 18 = 0 ⇔ ⇔ 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Жауап: 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Мәтінде қатені байқасаңыз, оны бөлектеп, Ctrl+Enter пернелерін басыңыз