هل تحتوي هذه المجموعات على عناصر مشتركة؟ عناصر نظرية المجموعة. مجموعات الأرقام الأساسية

1.1. المفاهيم والتعاريف الأساسية لنظرية المجموعات

يمكن تعريف أي مفهوم للرياضيات المنفصلة باستخدام مفهوم المجموعة، وهو أحد المفاهيم الأساسية والذي صاغه لأول مرة عالم الرياضيات الألماني ج. كانتور.

تحت كثيريُفهم على أنه أي مجموعة من الأشياء المحددة والمميزة، والتي يتم تصورها ككل واحد.

يمكننا التحدث عن مجموعة من الكراسي في الغرفة، والأشخاص الذين يعيشون في مدينة فورونيج، والطلاب في مجموعة، ومجموعة من الأعداد الطبيعية، والحروف الأبجدية، وحالات النظام، وما إلى ذلك. وفي الوقت نفسه، يمكننا التحدث عن مجموعة فقط عندما تكون عناصر المجموعة قابلة للتمييز فيما بينها. على سبيل المثال، من المستحيل التحدث عن العديد من القطرات في كوب من الماء، لأنه من المستحيل تحديد كل قطرة على حدة بشكل واضح وواضح.

تسمى الكائنات الفردية التي تشكل مجموعة عناصر المجموعة. وبالتالي، فإن الرقم 3 هو عنصر من مجموعة الأعداد الطبيعية، والحرف ب هو عنصر من مجموعة حروف الأبجدية الروسية.

التسمية العامة للمجموعة هي زوج من الأقواس المتعرجة ( )، يتم إدراج عناصر المجموعة بداخلها. يتم استخدام أحرف كبيرة مختلفة للإشارة إلى مجموعات محددة أ, س, X...أو أحرف كبيرة مع اشتراكات أ 1 , أ 2. لتعيين عناصر المجموعة بشكل عام، يتم استخدام أحرف صغيرة مختلفة أ, س, س...أو أحرف صغيرة مع اشتراكات أ 1 , أ 2 ...

للإشارة إلى أن عنصرا أ س، يتم استخدام رمز العضوية المحدد О. سِجِلّ أÎ سيعني أن العنصر أينتمي إلى المجموعة س، والدخول سÏ سيعني أن العنصر Xلا ينتمي إلى المجموعة س. عن طريق التسجيل X 1 , س 2 ,... ...,س نÎ ستستخدم كاختصار للكتابة س 1 د س, س 2 د س,..., س نÎ س.

كقاعدة عامة، يفترض أن جميع عناصر المجموعة مختلفة. تسمى المجموعة التي تحتوي على عناصر متكررة مجموعة متعددة. تلعب المجموعات المتعددة دورًا مهمًا في التوافقيات. في ما يلي سوف ننظر في مجموعات مع عناصر مختلفة.

سوف نستخدم الترميز التالي للمجموعات العددية:

– مجموعة من الأعداد الطبيعية أي

- مجموعة من الأعداد الصحيحة، أي = (0، ±1، ±2، …)؛

- مجموعة الأعداد النسبية، =( / \ , О ; ¹ 0);

- مجموعة من الأعداد الحقيقية؛

– مجموعة من الأعداد المركبة .

يمكن أن تكون المجموعات محدودة وغير محدودة. تسمى المجموعة محدودة إذا كان عدد عناصرها محدودا، أي إذا كان هناك عدد طبيعي ن، وهو عدد عناصر المجموعة. المجموعة تسمى بلا نهايةإذا كان يحتوي على عدد لا نهائي من العناصر. يسمى عدد عناصر المجموعة المنتهية قوةويشار إليه = ن، إذا تم ضبطها Xيتضمن نعناصر.

أحد المفاهيم المهمة في نظرية المجموعات هو مفهوم المجموعة الفارغة. مجموعة فارغةهي مجموعة لا تحتوي على عنصر واحد. يُشار إلى المجموعة الفارغة بالرمز، على سبيل المثال:

{سÎ ر | س 2 -س+1=0}=

يلعب مفهوم المجموعة الفارغة دورًا مهمًا جدًا عند تحديد المجموعات باستخدام الوصف. وهكذا، بدون مفهوم المجموعة الفارغة، لا يمكننا الحديث عن مجموعة العناصر المتميزة للمجموعة أو مجموعة الجذور الحقيقية معادلة من الدرجة الثانيةدون التأكد أولاً مما إذا كان هناك أي طلاب متفوقين في هذه المجموعة على الإطلاق أو ما إذا كانت هذه المعادلة لها جذور حقيقية. يتيح لك إدخال المجموعة الفارغة العمل بهدوء تام مع العديد من الطلاب المتفوقين في المجموعة، دون القلق بشأن ما إذا كان هناك طلاب ممتازون في المجموعة المعنية أم لا. سنقوم بتصنيف المجموعة الفارغة بشكل مشروط على أنها مجموعة محدودة.

تسمى المجموعة التي تحتوي على جميع العناصر قيد النظر عالميأو كونويتم تعيينه ش.

لكي تعمل مع مجموعات محددة، يجب أن تكون قادرًا على تعريفها. هناك طريقتان لتحديد المجموعات: التعداد والوصف. إن تحديد مجموعة بالتعداد يتوافق مع تعداد جميع العناصر التي تشكل المجموعة. وبالتالي، يمكن تحديد مجموعة الطلاب المتفوقين في المجموعة من خلال سرد الطلاب المتفوقين، على سبيل المثال (إيفانوف، بيتروف، سيدوروف). لاختصار الدخول X={X 1 , X 2 , ...,س ن) في بعض الأحيان يتم تقديم العديد من المؤشرات أنا={1, 2,..., ن) واكتب X={× ط}, أناÎ أنا. تعتبر هذه الطريقة مناسبة عند النظر في مجموعات محدودة تحتوي على عدد صغير من العناصر، ولكن في بعض الأحيان يمكن استخدامها أيضًا لتحديد مجموعات لا نهائية، على سبيل المثال (2، 4، 6، 8...). وبطبيعة الحال، يكون هذا التدوين قابلاً للتطبيق إذا كان المقصود بعلامة الحذف واضحًا تمامًا.

الطريقة الوصفية لتحديد المجموعة هي الإشارة إلى خاصية مميزة تمتلكها جميع عناصر المجموعة. يستخدم هذا التدوين

X={س | سلديه العقار س(س)}.

يقرأ التعبير بين قوسين: مجموعة جميع العناصر X، التي تمتلك العقار س(س). حتى إذا م- مجموعة من الطلاب في مجموعة، ثم مجموعة أسيتم كتابة الطلاب المتفوقين في هذه المجموعة في النموذج أ={XÎ م | X- طالب ممتاز في المجموعة)

والذي يقرأ على النحو التالي: مجموعة أيتكون من عناصر Xمجموعات م، وجود الممتلكات التي Xهو طالب ممتاز في المجموعة.

في الحالات التي لا يوجد شك فيها من أي مجموعة تم أخذ العناصر X، إشارة إلى الانتماء Xكثير مليس عليك أن تفعل ذلك. وفي نفس الوقت كثير أسيتم كتابتها في النموذج

أ=( X | X- طالب ممتاز في المجموعة).

فيما يلي بعض الأمثلة على تعريف المجموعات باستخدام طريقة الوصف: ( س | س- حتى) - مجموعة من الأرقام الزوجية؛

{X | X 2 –1=0) – مجموعة (+1، –1).

يترك ز - مجموعة من الأعداد الصحيحة. ثم ( سÎ ز | 0<س 7 جنيهات إسترلينية) هي المجموعة (1، 2، 3، 4، 5، 6، 7).

يمكن تعريف مجموعة الأعداد الفردية بأنها ( س| س=2ك+1 للبعض كÎ ز}.

إن طريقة تحديد مجموعة باستخدام الخصائص محفوفة ببعض المخاطر، لأن الخصائص المحددة "بشكل غير صحيح" يمكن أن تؤدي إلى تناقض. دعونا نقدم واحدة من المفارقات الأكثر شيوعا - مفارقة راسل. خذ بعين الاعتبار مجموعة جميع المجموعات التي ليست عناصر خاصة بها: . دعونا نتساءل الآن ما إذا كانت المجموعة لالعنصر الخاص بك؟ لو لÎ ل، فيجب استيفاء الخاصية التي تحدد المجموعة ل، أي. لÏ لمما يؤدي إلى التناقض. لو لÏ ل، إذن، منذ تحديد الخاصية ل، نتوصل إلى استنتاج مفاده أن لÎ ل، وهذا يناقض الفرضية. وبالتالي، لا تؤدي كل خاصية إلى تعريف ذي معنى للمجموعة.

بالإضافة إلى ذلك، يمكن تحديد المجموعة باستخدام دالة مميزة تشير قيمها إلى ما إذا كان (نعم أو لا) Xعنصر المجموعة X :

لاحظ أنه لأي عناصر = 0؛ = 1.

مثال. دع الكون ش={أ، ب، ج، د، ه) يتم تعريف مجموعة X={أ، ج، د)، ثم

للمجموعات التعسفية Xو ييمكن تعريف نوعين من العلاقات - علاقة المساواة وعلاقة الشمول.

تعتبر المجموعتان متساويتين إذا كانتا تحتويان على نفس العناصر. التعيين المقبول X=ي، لو Xو يمتساوون، و X ي- خلاف ذلك.

فمن السهل أن نرى ذلك لأي مجموعات X, ي, زالعلاقات صالحة

ويترتب على تعريف المساواة بين المجموعات أن ترتيب العناصر في المجموعة غير مهم. على سبيل المثال، المجموعات (3، 4، 5، 6) و (4، 5، 6، 3) تمثل نفس المجموعة.

إذا كان كل عنصر من عناصر المجموعة Xهو عنصر من عناصر المجموعة ي، ثم يقولون ذلك Xمتضمن في يوتدل على:

في هذه الحالة يقولون أن المجموعة Xيكون مجموعة فرعيةمجموعات ي. بخاصة Xو يقد يتزامن، لذلك يطلق عليه أيضًا علاقة إدراج غير صارم.دعونا نلاحظ بعض خصائص المجموعة الفرعية التي تتبع تعريفها:

إذا و، فإنهم يقولون ذلك Xهنالك مجموعة فرعية مناسبة من Yوتدل على أن العلاقة بين المجموعات في هذه الحالة تسمى العلاقة إدراج غير صارم.بالنسبة لعلاقة التضمين الصارمة فهذا صحيح

لا تشمل مجموعة فرعية Xفي التعدد ييُشار إليه بـ X. تسمى هذه المجموعة عائلة كثيرةأو منطقيةمجموعات Xويتم تعيينه ص(X) وبما أنه يتم تضمينه في أي مجموعة، ثم .

مثال. يترك . ثم

صفحة 1

9-10 درجات

وحدة 1: أساسيات نظرية المجموعة

. . .
التمرين 1.

أ) اشرح ما هي العناصر التي تتكون منها المجموعات ن, ز, س, ر.

ب) قم بتسمية عدة أرقام تمثل عناصر لكل مجموعة.

ج) قم بتسمية الأعداد التي هي عناصر لإحدى المجموعات، وليست عناصر للثلاث الأخرى.

د) ارسم مخططًا يوضح العلاقة بين هذه المجموعات.

إجابة.

ج) هذه العناصر موجودة فقط في المجموعة ر. على سبيل المثال،  ر ، لكن  ن,  ز,  س. عناصر أي من المجموعات ن, ز, س بالضرورة المدرجة في كثير ر.

ز

ن – مجموعة من الأعداد الطبيعية
ز – مجموعة من الأعداد الصحيحة
س – تعيين الأرقام المنطقية؛

ر – مجموعة من الأعداد الحقيقية
الى المعلم.عند النظر في المادة، فإننا لا نتجاوز مجموعة الأعداد الحقيقية.
المهمة 2.تعيين المجموعة:

أ) مدرسو الرياضيات في مدرستك؛

ب) الأعداد الفردية؛

ب) جذور المعادلة X 2 + 5 = 0;

د) حلول عدم المساواة X > 4;

إجابة:ب) ( X X = 2ن - 1; ن  ز };

د) (4؛ +).

الى المعلم.إذا لزم الأمر، يمكنك تكرار تسجيل المجموعات العددية من الحلول لعدم المساواة من مختلف الأنواع (تطبيق "الجدول").
مجموعات متساوية.تعتبر المجموعات المكونة من نفس العناصر متساوية.

على سبيل المثال، أ = ( 1, 2, 3 ); ب =( X (X- 1)(X- 2)(X- 3) = 0). أ = ب.

إن علاقة المساواة للمجموعات، مثل علاقة المساواة للأعداد، لها خصائص الانعكاسية والتماثل والعبور.

• 
  أ = أ (الانعكاسية)؛
• 
  إذا كان A = B، فإن B = A (التماثل)؛
• 
  إذا كان A = B وB = C، فإن A = C (العبورية).

قوة المجموعة.بالنسبة لمجموعة ذات عدد محدود من العناصر، فإن العلاقة الأساسية هي عدد عناصرها.

أ = {أ؛ب; ج; د). قوتها:  أ= 4.

إذا كانت مجموعتان لهما نفس العددية، يقال أنهما متساويان في العددية. مجموعة من أقوية بنفس القدر للعديد من المواسم.

ومن المثير للاهتمام، في البداية، تعلم الشخص مقارنة المجموعات بعدد العناصر، وبعد ذلك - لحساب الكائنات. يمكنك مقارنة مجموعتين بعدد العناصر مثل هذا: قم بمطابقة كل عنصر من مجموعة واحدة مع عنصر من المجموعة الثانية. إذا "ترتبت" جميع العناصر في أزواج، فإن المجموعات تكون متساوية في القوة. إذا، أثناء المقارنة، تم ترك بعض عناصر إحدى المجموعات بدون زوج، فهي تحتوي على المزيد من العناصر.

يمكن فرز جميع المجموعات المحدودة عقليًا، وتصنيف جميع المجموعات التي لها نفس عدد العناصر في نفس الفئة. وتخصيص لكل صنف رقم معين كخاصية لهذه المجموعة. إذن العدد الطبيعي 1 هو الخصائص العامةمن بين جميع المجموعات التي تحتوي على عنصر واحد، فإن العدد الطبيعي 5 هو صفة مشتركة لجميع المجموعات التي تحتوي على خمسة عناصر.

يمكن أيضًا إنشاء مراسلات فردية لمجموعات لا نهائية. على سبيل المثال، لنكتب جميع الأعداد الطبيعية في صف واحد، وجميع الأعداد الزوجية في الصف الآخر، عنصرًا تحت عنصر.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 . . .

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 . . .
نرى أن جميع الأعداد في المجموعة الأولى لها زوج محدد بشكل فريد في المجموعة الثانية، والعكس صحيح. أي أن مجموعة الأعداد الطبيعية تحتوي على نفس عدد العناصر الموجودة في مجموعة الأعداد الطبيعية الزوجية. أي أنهم متساوون في القوة.

المجموعات المساوية لمجموعة الأعداد الطبيعية N تسمى قابلة للعد. ومن المثير للاهتمام، على سبيل المثال، أن مجموعة الأعداد النسبية الموجبة قابلة للعد.

تسمى أصل مجموعة جميع الأعداد الحقيقية بأصل الاستمرارية. جميع المجموعات ذات العلاقة الأساسية المتساوية للفاصل الزمني (0،1) لها أيضًا علاقة أساسية متصلة. وبالتالي فإن مجموعة جميع الأعداد الحقيقية تساوي المجال (0،1).
تتمتع علاقة القوة أيضًا بخصائص الانعكاسية والتماثل والعبور.

أي أنه بالنسبة لأي مجموعتين A وB فإن ما يلي صحيح:

• 
  أ = أ
• 
  إذا كان A = B، فإن B = A؛
• 
  إذا كان A = B و B = C، فإن A = C .

المهمة 3. أوجد قوة المجموعات:

أ) T - مجموعة من الأعداد الطبيعية المكونة من ثلاثة أرقام؛

ب) ك – مجموعة من وجوه المكعب؛

ج) P هي مجموعة الأعداد الطبيعية التي هي مضاعفات العدد 7.

د) أعط أمثلة على المجموعات التي تساوي كل عنصر من العناصر أ-ب.

إجابة:أ) T= 900؛ ب) К= 6؛ ج) المجموعة K قابلة للعد.
الى المعلم. تحدث مع الطلاب حول الفرق بين مفهومي المساواة في المجموعات والأصل المتساوي للمجموعات.

المهمة 4.أ – مجموعة حروف كلمة “RING” ، ب – مجموعة حروف كلمة “CASE” ، ج –

حروف كثيرة من كلمة "شارع". تشير إلى مجموعات متساوية ومتساوية.

إجابة: A = (K، O، L، b، C)، B = (C، O، K، L، b)، C = (U، L، I، C، A). العدد الأساسي للمجموعات الثلاث هو 5، مما يعني أنها متساوية في العدد.

تم تطوير المواد من قبل منهجيين في مركز نوفوسيبيرسك للتدريب الإنتاجي

صفحة 1

أنا. المجموعة عبارة عن مجموعة من بعض العناصر أو الأرقام، مكونة وفقًا لبعض الخصائص أو القوانين العامة (العديد من الحروف على الصفحة، والعديد من الكسور المناسبة ذات المقام) 5 ، نجوم كثيرة في السماء، الخ).

لكتابة مجموعة، استخدم الأقواس المتعرجة: «{ "- تفتح المجموعة؛ "}" — الكثير يغلقون. والمجموعة نفسها تسمى بالأحرف اللاتينية الكبيرة: أ، ب، جوما إلى ذلك وهلم جرا.

أمثلة.

1 . مجموعة الكتابة أ، يتكون من جميع حروف العلة في الكلمة "الرياضيات".

حل. أ=(أ، ه، ط). ترى: على الرغم من أن في الكلمة "الرياضيات"هناك ثلاثة أحرف "أ"- لا يسمح بالتكرار المتعدد في التسجيل والحرف "أ"يتم تسجيله مرة واحدة فقط. مجموعة من أيتكون من ثلاثة عناصر.

2. اكتب مجموعة الكسور الصحيحة ذات المقام 5 .

حل.دعونا نتذكر: الكسر الصحيح يسمى الكسر المشترك الذي بسطه هو أقل من القاسم. دعونا نشير بواسطة فيالمجموعة المطلوبة. ثم:

مجموعة من فييتكون من أربعة عناصر.

ثانيا. تتكون المجموعات من عناصر ويمكن أن تكون محدودة أو لا نهائية. المجموعة التي لا تحتوي على عنصر واحد تسمى المجموعة الفارغة ويرمز لها بـ Ø.

ثالثا. مجموعة من فيتسمى مجموعة فرعية من مجموعة أ، إذا كانت جميع عناصر المجموعة فيهي عناصر المجموعة أ.

3. أي من المجموعتين المعطاة فيو مع ل,

لو في={-1; 3; 4}, ج={0; 3; 4; 5), ك={0; 2; 3; 4; 5; 6} ?

حل. جميع عناصر المجموعة معهي أيضًا عناصر من المجموعة للذلك كثير معهي مجموعة فرعية من المجموعة ل.اكتب:

رابعا. تقاطع المجموعات أو فيهي مجموعة تنتمي عناصرها إلى المجموعة أوالعديد في.

4. أظهر تقاطع مجموعتين مو Fباستخدام دوائر أويلر.

حل.

من مجموعة كبيرة ومتنوعة من جميع الأنواع مجموعاتذات أهمية خاصة هي ما يسمى مجموعات الأرقام، أي المجموعات التي تكون عناصرها أرقامًا. ومن الواضح أنه للعمل بشكل مريح معهم يجب أن تكون قادرًا على كتابتهم. سنبدأ هذه المقالة بالتدوين ومبادئ كتابة المجموعات العددية. بعد ذلك، دعونا نلقي نظرة على كيفية رسم المجموعات العددية على خط الإحداثيات.

التنقل في الصفحة.

كتابة المجموعات العددية

لنبدأ بالترميز المقبول. كما تعلمون، يتم استخدام الحروف الكبيرة من الأبجدية اللاتينية للدلالة على مجموعات. يتم أيضًا تحديد المجموعات العددية، كحالة خاصة من المجموعات. على سبيل المثال، يمكننا التحدث عن مجموعات الأرقام A، H، W، وما إلى ذلك. مجموعات الأعداد الطبيعية، والأعداد الصحيحة، والعقلانية، والحقيقية، والمعقدة، وما إلى ذلك لها أهمية خاصة؛ وقد تم اعتماد رموزها الخاصة لها:

• N - مجموعة من جميع الأعداد الطبيعية.
• Z - مجموعة من الأعداد الصحيحة.
• س - مجموعة من الأعداد النسبية؛
• J – مجموعة من الأعداد غير المنطقية؛
• R – مجموعة الأعداد الحقيقية؛
• C هي مجموعة الأعداد المركبة.

من هنا يتضح أنه لا ينبغي الإشارة إلى مجموعة تتكون، على سبيل المثال، من رقمين 5 و −7 كـ Q، فإن هذا التعيين سيكون مضللاً، لأن الحرف Q يشير عادةً إلى مجموعة جميع الأرقام المنطقية. للإشارة إلى المجموعة الرقمية المحددة، من الأفضل استخدام بعض الأحرف "المحايدة" الأخرى، على سبيل المثال، A.

وبما أننا نتحدث عن التدوين، فلنتذكر هنا أيضًا ترميز المجموعة الفارغة، أي المجموعة التي لا تحتوي على عناصر. ويشار إليه بالعلامة ∅.

دعونا نتذكر أيضًا تحديد ما إذا كان العنصر ينتمي إلى المجموعة أم لا. للقيام بذلك، استخدم العلامات ∈ - ينتمي و ∉ - لا ينتمي. على سبيل المثال، الرمز 5∈N يعني أن الرقم 5 ينتمي إلى مجموعة الأعداد الطبيعية، و5,7∉Z - عدد عشري 5،7 لا ينتمي إلى مجموعة الأعداد الصحيحة.

ودعونا نتذكر أيضًا الترميز المعتمد لإضافة مجموعة إلى أخرى. من الواضح أن جميع عناصر المجموعة N متضمنة في المجموعة Z، وبالتالي يتم تضمين مجموعة الأرقام N في Z، ويشار إليها بـ N⊂Z. يمكنك أيضًا استخدام العلامة Z⊃N، مما يعني أن مجموعة الأعداد الصحيحة Z تتضمن المجموعة N. تتم الإشارة إلى العلاقات غير المضمنة وغير المضمنة بواسطة ⊄ و على التوالي. يتم أيضًا استخدام علامات التضمين غير الصارمة من النموذج ⊆ و ⊇، بمعنى متضمن أو يتزامن ويتضمن أو يتزامن، على التوالي.

لقد تحدثنا عن التدوين، فلننتقل إلى وصف المجموعات العددية. في هذه الحالة، سنتطرق فقط إلى الحالات الرئيسية التي يتم استخدامها غالبًا في الممارسة العملية.

لنبدأ بالمجموعات العددية التي تحتوي على عدد محدود وصغير من العناصر. من السهل وصف المجموعات العددية التي تتكون من عدد محدود من العناصر من خلال سرد جميع عناصرها. تتم كتابة كافة العناصر العددية مفصولة بفواصل ومحاطة بـ ، وهو ما يتوافق مع العموم قواعد وصف المجموعات. على سبيل المثال، مجموعة تتكون من ثلاثة أرقام 0، −0.25 و 4/7 يمكن وصفها بأنها (0، −0.25، 4/7).

في بعض الأحيان، عندما يكون عدد عناصر المجموعة العددية كبيرًا جدًا، ولكن العناصر تتبع نمطًا معينًا، يتم استخدام القطع الناقص للوصف. على سبيل المثال، يمكن كتابة مجموعة الأعداد الفردية من 3 إلى 99 بالشكل (3، 5، 7، ...، 99).

لذلك اقتربنا بسلاسة من وصف المجموعات العددية، وعدد عناصرها لا حصر له. في بعض الأحيان يمكن وصفها باستخدام نفس علامات الحذف. على سبيل المثال، دعونا نصف مجموعة جميع الأعداد الطبيعية: N=(1, 2. 3, …) .

كما أنهم يستخدمون وصف المجموعات العددية من خلال الإشارة إلى خصائص عناصرها. في هذه الحالة، يتم استخدام الترميز (خصائص x|). على سبيل المثال، يحدد الترميز (n| 8·n+3, n∈N) مجموعة الأعداد الطبيعية التي عند قسمتها على 8، تترك الباقي 3. ويمكن وصف هذه المجموعة نفسها بأنها (11،19، 27، ...).

وفي حالات خاصة، المجموعات العددية التي تحتوي على عدد لا نهائي من العناصر هي المجموعات المعروفة N، Z، R، إلخ. أو فواصل عددية. في الأساس، يتم تمثيل المجموعات العددية كما اتحادالفواصل العددية الفردية المكونة لها والمجموعات العددية مع عدد محدود من العناصر (التي تحدثنا عنها أعلاه).

دعونا نعرض مثالا. دع مجموعة الأرقام تتكون من الأرقام −10، −9، −8.56، 0، جميع أرقام المقطع [−5، −1,3] وأرقام خط الأعداد المفتوح (7، +∞). نظرًا لتعريف اتحاد المجموعات، يمكن كتابة المجموعة الرقمية المحددة على النحو التالي: {−10, −9, −8,56}∪[−5, −1,3]∪{0}∪(7, +∞) . هذا الترميز يعني في الواقع مجموعة تحتوي على جميع عناصر المجموعات (−10، −9، −8.56، 0)، [−5، −1.3] و (7، +∞).

وبالمثل، من خلال الجمع بين فترات رقمية مختلفة ومجموعات من الأرقام الفردية، يمكن وصف أي مجموعة أرقام (تتكون من أرقام حقيقية). يتضح هنا سبب إدخال أنواع من الفواصل الرقمية مثل الفاصل الزمني ونصف الفاصل والمقطع والشعاع العددي المفتوح والشعاع العددي: جميعها، إلى جانب الرموز الخاصة بمجموعات من الأرقام الفردية، تجعل من الممكن وصف أي مجموعات رقمية من خلال اتحادهم.

يرجى ملاحظة أنه عند كتابة مجموعة أرقام، يتم ترتيب الأرقام المكونة لها والفواصل الرقمية بترتيب تصاعدي. هذا ليس شرطًا ضروريًا ولكنه مرغوب فيه، نظرًا لأنه من الأسهل تخيل مجموعة رقمية مرتبة وتصويرها على خط الإحداثيات. لاحظ أيضًا أن هذه السجلات لا تستخدم فواصل رقمية مع عناصر مشتركة، حيث يمكن استبدال هذه السجلات عن طريق الجمع بين فواصل رقمية بدون عناصر مشتركة. على سبيل المثال، اتحاد المجموعات العددية مع العناصر المشتركة [−10, 0] و (−5, 3) هو نصف الفترة [−10, 3) . الأمر نفسه ينطبق على اتحاد الفواصل الرقمية مع نفس الأرقام الحدودية، على سبيل المثال، الاتحاد (3, 5]∪(5, 7] هو مجموعة (3, 7] ، وسوف نتناول هذا بشكل منفصل عندما نتعلم العثور على تقاطع واتحاد المجموعات العددية

تمثيل مجموعات الأرقام على خط الإحداثيات

في الممارسة العملية، من الملائم استخدام الصور الهندسية للمجموعات الرقمية - صورها. على سبيل المثال، متى حل عدم المساواة، حيث من الضروري أن تأخذ في الاعتبار ODZ، فمن الضروري تصوير المجموعات الرقمية من أجل العثور على تقاطعها و/أو اتحادها. لذلك سيكون من المفيد أن يكون لديك فهم جيد لجميع الفروق الدقيقة في تصوير المجموعات الرقمية على خط الإحداثيات.

ومن المعروف أن هناك تطابقًا واحدًا لواحد بين نقاط خط الإحداثيات والأعداد الحقيقية، مما يعني أن خط الإحداثيات نفسه هو نموذج هندسي لمجموعة جميع الأعداد الحقيقية R. وبالتالي، لتصوير مجموعة جميع الأعداد الحقيقية، تحتاج إلى رسم خط إحداثي مع تظليل على طوله بالكامل:

وغالبًا لا تشير حتى إلى الأصل وقطعة الوحدة:

الآن دعونا نتحدث عن صورة المجموعات العددية، التي تمثل عددًا محدودًا معينًا من الأرقام الفردية. على سبيل المثال، دعونا نصور مجموعة الأرقام (−2, −0.5, 1.2) . الصورة الهندسية لهذه المجموعة المكونة من ثلاثة أرقام −2 و −0.5 و 1.2 ستكون ثلاث نقاط من خط الإحداثيات مع الإحداثيات المقابلة:

لاحظ أنه عادة لأغراض عملية ليست هناك حاجة لتنفيذ الرسم بالضبط. غالبًا ما يكون الرسم التخطيطي كافيًا، مما يعني أنه ليس من الضروري الحفاظ على المقياس؛ في هذه الحالة، من المهم فقط الحفاظ على الموضع النسبي للنقاط بالنسبة لبعضها البعض: أي نقطة ذات إحداثيات أصغر يجب أن تكون في نفس الاتجاه. يسار نقطة ذات إحداثيات أكبر. سيبدو الرسم السابق تخطيطيًا كما يلي:

بشكل منفصل، من جميع أنواع المجموعات العددية، يتم تمييز الفواصل الرقمية (فواصل، نصف فترات، أشعة، إلخ)، والتي تمثل صورها الهندسية، قمنا بفحصها بالتفصيل في القسم. لن نكرر أنفسنا هنا.

ويبقى فقط أن نتوقف عند صورة المجموعات الرقمية، وهي عبارة عن اتحاد بين عدة فواصل رقمية ومجموعات تتكون من أرقام فردية. لا يوجد شيء صعب هنا: وفقا لمعنى الاتحاد في هذه الحالات، على خط الإحداثيات، من الضروري تصوير جميع مكونات مجموعة مجموعة رقمية معينة. على سبيل المثال، دعونا نعرض صورة لمجموعة أرقام (−∞, −15)∪{−10}∪[−3,1)∪ (سجل 2 5, 5)∪(17, +∞) :

ودعونا نركز على الحالات الشائعة إلى حد ما عندما تمثل المجموعة الرقمية المصورة المجموعة الكاملة من الأعداد الحقيقية، باستثناء نقطة واحدة أو عدة نقاط. غالبًا ما يتم تحديد هذه المجموعات بشروط مثل x≠5 أو x≠−1 أو x≠2 أو x≠3.7 وما إلى ذلك. في هذه الحالات، تمثل هندسيًا خط الإحداثيات بأكمله، باستثناء النقاط المقابلة. بمعنى آخر، يجب "انتزاع" هذه النقاط من خط الإحداثيات. تم تصويرها على شكل دوائر ذات مركز فارغ. من أجل الوضوح، دعونا نصور مجموعة رقمية تتوافق مع الشروط (هذه المجموعة موجودة بشكل أساسي):

لخص. من الناحية المثالية، ينبغي أن تشكل المعلومات الواردة في الفقرات السابقة نفس طريقة العرض لتسجيل وتصوير المجموعات الرقمية مثل عرض الفواصل الرقمية الفردية: يجب أن يعطي تسجيل المجموعة الرقمية صورتها على الفور على خط الإحداثيات، ومن الصورة إلى خط الإحداثيات يجب أن نكون مستعدين لوصف المجموعة الرقمية المقابلة بسهولة من خلال اتحاد الفواصل الفردية والمجموعات التي تتكون من أرقام فردية.

فهرس.

• الجبر:كتاب مدرسي للصف الثامن. تعليم عام المؤسسات / [يو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova]؛ حررت بواسطة إس إيه تيلياكوفسكي. - الطبعة السادسة عشرة. - م: التربية، 2008. - 271 ص. : سوف. - ردمك 978-5-09-019243-9.
• موردكوفيتش أ.ج.الجبر. الصف التاسع. في ساعتين الجزء 1. كتاب مدرسي لطلاب مؤسسات التعليم العام / A. G. Mordkovich، P. V. Semenov. - الطبعة 13، محذوفة. - م: منيموسين، 2011. - 222 ص: مريض. ردمك 978-5-346-01752-3.

يعد مفهوم المجموعة أحد المفاهيم الرياضية الأساسية. إنه مفهوم غير محدد ولا يمكن وصفه أو شرحه إلا من خلال الأمثلة. وبالتالي، يمكننا التحدث عن مجموعة الحروف في الأبجدية اللاتينية، ومجموعة جميع الكتب في مكتبة معينة، ومجموعة الطلاب في مجموعة معينة، ومجموعة جميع النقاط على سطر معين. لتحديد مجموعة، ما عليك سوى إدراج العناصر أو تحديدها صفة مميزةخصائص العناصر، أي. خاصية تمتلكها جميع عناصر مجموعة معينة وهم فقط.

التعريف 1.1.تسمى العناصر (الكائنات) التي تشكل مجموعة معينة عناصر.

من المعتاد الإشارة إلى المجموعة بأحرف لاتينية كبيرة، وعناصر المجموعة بأحرف صغيرة. ماذا سهو عنصر من عناصر المجموعة أ، يُكتب هكذا: × أ(سينتمي أ). نوع التسجيل × أ(× أ) يعني أن سلا ينتمي أ، أي. ليس عنصرا من المجموعة أ.

عادةً ما تتم كتابة عناصر المجموعة بين قوسين متعرجين. على سبيل المثال، إذا أ -مجموعة مكونة من الحروف الثلاثة الأولى من الأبجدية اللاتينية، ثم تكتب على النحو التالي: أ={أ، ب، ج} .

يمكن أن تحتوي المجموعة على عدد لا نهائي من العناصر (مجموعة النقاط على خط مستقيم، مجموعة الأعداد الطبيعية)، أو عدد محدود من العناصر (مجموعة أطفال المدارس في الفصل)، أو لا تحتوي على أي عنصر على الإطلاق (المجموعة الطلاب في الفصول الدراسية فارغة).

التعريف 1.2.تسمى المجموعة التي لا تحتوي على عنصر واحد مجموعة فارغة، يُشار إليه بـ Ø.

التعريف 1.3.مجموعة من أمُسَمًّى مجموعة فرعيةمجموعات ب، إذا كان كل عنصر من عناصر المجموعة أينتمي للكثيرين ب. يشار إلى هذا أ ب(أ -مجموعة فرعية ب).

تعتبر المجموعة الفارغة مجموعة فرعية من أي مجموعة. إذا مجموعة أليست مجموعة فرعية من المجموعة ب، ثم يكتبون أ ب.

التعريف 1.4.مجموعتين أو بمُسَمًّى متساوي، إذا كانت مجموعات فرعية من بعضها البعض. يعين أ = ب.وهذا يعني أنه إذا × أ، الذي - التي xBوالعكس صحيح، أي. إذا و ثم .

التعريف 1.5.تداخلمجموعات أو باستدعاء مجموعة م، والتي تكون عناصرها عناصر في كلا المجموعتين في نفس الوقت أو ب.يعين م = أ ب.أولئك. × أ ب، الذي - التي × أو × ب.

اكتب أ ب={س | × أو xB). (بدلا من الاتحاد و -علامات ، &).

التعريف 1.6.لو أ ب=Ø، ثم يقولون أن المجموعات أو ب لا تتقاطع.

وبالمثل، يمكنك تحديد تقاطع 3، 4، وأي عدد محدود من المجموعات.

التعريف 1.7.منظمةمجموعات أو باستدعاء مجموعة موالتي تنتمي عناصرها إلى واحدة على الأقل من هذه المجموعات م = أ ب.الذي - التي. أ ب={س | × أأو xB). (بدلا من الاتحاد أو -يتم وضع علامة).

يتم تعريف المجموعة بالمثل أ 1 أ2 … ن .وتتكون من عناصر ينتمي كل منها إلى مجموعة واحدة على الأقل أ 1,أ2,…,ن(وربما عدة في وقت واحد) .

مثال 1.8. 1) إذا أ=(1;2;3;4;5) و ب=(1؛3؛5؛7؛9)، إذن أ ب=(1؛3؛5) و أ ب={1;2;3;4;5;7;9}.

2) إذا أ=(2؛ 4) و ب=(٣؛ ٧)، إذن أ ب=Ø و أ ب={2;3;4;7}.

3) إذا أ=(أشهر الصيف) و ب=(الأشهر 30 يوما) إذن أ ب=(يونيو) و أ ب=(أبريل؛ يونيو؛ يوليو؛ أغسطس؛ سبتمبر؛ نوفمبر).

التعريف 1.9.طبيعيتسمى الأرقام 1،2،3،4،... وتستخدم لحساب الأشياء.

يتم الإشارة إلى مجموعة الأعداد الطبيعية بواسطة N، N=(1;2;3;4;…;n;…). إنه لا نهائي، وله أصغر عنصر 1 وليس له أكبر عنصر.

مثال 1.10. أ– مجموعة المقسومات الطبيعية للعدد 40. اذكر عناصر هذه المجموعة. هل صحيح أن 5 أ، 10 أ، -8 أ، 4 أ، 0 أ، 0 أ.

أ= (1,2,4,5,8,10,20,40). (الخامس، الخامس، ن، ن، ن، الخامس)

مثال 1.11.قائمة عناصر المجموعات المحددة بواسطة الخصائص المميزة.