معادلة الطائرة. كيف تكتب معادلة الطائرة؟
الترتيب المتبادل للطائرات. مهام

الهندسة المكانية ليست أكثر تعقيدًا من الهندسة "المسطحة"، ورحلاتنا في الفضاء تبدأ بهذا المقال. لإتقان الموضوع، يجب أن يكون لديك فهم جيد له ثلاثة أبعادبالإضافة إلى ذلك، من المستحسن أن تكون على دراية بهندسة الطائرة - سيكون هناك الكثير من أوجه التشابه، والعديد من القياسات، لذلك سيتم هضم المعلومات بشكل أفضل بكثير. في سلسلة دروسي، يبدأ العالم ثنائي الأبعاد بمقالة معادلة الخط المستقيم على المستوى. ولكن الآن غادر باتمان شاشة التلفزيون المسطحة وانطلق من قاعدة بايكونور الفضائية.

لنبدأ بالرسومات والرموز. من الناحية التخطيطية، يمكن رسم المستوى على شكل متوازي أضلاع، مما يخلق انطباعًا بالمساحة:

الطائرة لا حصر لها، ولكن لدينا الفرصة لتصوير قطعة منها فقط. في الممارسة العملية، بالإضافة إلى متوازي الأضلاع، يتم رسم شكل بيضاوي أو حتى سحابة. لأسباب فنية، من الملائم بالنسبة لي أن أصور الطائرة بهذه الطريقة وفي هذا الموضع بالضبط. يمكن تحديد موقع الطائرات الحقيقية، التي سننظر فيها في الأمثلة العملية، بأي شكل من الأشكال - خذ الرسم بين يديك عقليًا وقم بتدويره في الفضاء، مما يمنح الطائرة أي ميل وأي زاوية.

التسميات: يُشار إلى المستويات عادةً بأحرف يونانية صغيرة، وذلك على ما يبدو حتى لا يتم الخلط بينها خط مستقيم على متن الطائرةأو مع خط مستقيم في الفضاء. أنا معتاد على استخدام الرسالة . في الرسم هو حرف "سيجما"، وليس ثقبا على الإطلاق. على الرغم من أن الطائرة هولي هي بالتأكيد مضحكة للغاية.

في بعض الحالات، يكون من المناسب استخدام نفس الحروف اليونانية ذات الحروف السفلية لتعيين المستويات، على سبيل المثال، .

ومن الواضح أن المستوى يتم تعريفه بشكل فريد من خلال ثلاث نقاط مختلفة لا تقع على نفس الخط. لذلك، تحظى تسميات الطائرات المكونة من ثلاثة أحرف بشعبية كبيرة - حسب النقاط التي تنتمي إليها، على سبيل المثال، وما إلى ذلك. في كثير من الأحيان يتم وضع الحروف بين قوسين: حتى لا يتم الخلط بين المستوى وشكل هندسي آخر.

للقراء ذوي الخبرة سأقدم قائمة الوصول السريع:

• كيفية إنشاء معادلة المستوى باستخدام نقطة ومتجهين؟
• كيفية إنشاء معادلة المستوى باستخدام نقطة ومتجه عادي؟

ولن نطيل الانتظار:

معادلة المستوى العام

المعادلة العامة للمستوى لها الشكل حيث المعاملات لا تساوي الصفر في نفس الوقت.

هناك عدد من الحسابات النظرية والمسائل العملية صالحة لكل من الأساس المتعامد المعتاد والأساس المتقارب للمكان (إذا كان الزيت زيتًا، فارجع إلى الدرس الاعتماد الخطي (غير) للمتجهات. أساس المتجهات). من أجل التبسيط، سنفترض أن جميع الأحداث تحدث على أساس متعامد ونظام إحداثيات مستطيل ديكارتي.

والآن دعونا نتدرب على خيالنا المكاني قليلًا. لا بأس إذا كان جهازك سيئًا، الآن سنقوم بتطويره قليلاً. حتى اللعب على الأعصاب يحتاج إلى تدريب.

في الحالة الأكثر عمومية، عندما لا تساوي الأرقام الصفر، يتقاطع المستوى مع محاور الإحداثيات الثلاثة. على سبيل المثال، مثل هذا:

وأكرر مرة أخرى أن الطائرة تستمر إلى أجل غير مسمى في كل الاتجاهات، ولدينا الفرصة لتصوير جزء منها فقط.

دعونا نفكر في أبسط معادلات المستويات:

كيف نفهم هذه المعادلة؟ فكر في الأمر: "Z" يساوي دائمًا الصفر، لأي قيم "X" و"Y". هذه هي معادلة المستوى الإحداثي "الأصلي". في الواقع، يمكن إعادة كتابة المعادلة رسميًا على النحو التالي: ، حيث يمكنك أن ترى بوضوح أننا لا نهتم بالقيمتين "x" و"y"، فمن المهم أن يكون "z" يساوي الصفر.

على نفس المنوال:
- معادلة المستوى الإحداثي؛
- معادلة المستوى الإحداثي.

دعونا نعقد المشكلة قليلاً، ونفكر في المستوى (هنا وفي الفقرة نفترض أن المعاملات العددية لا تساوي الصفر). لنعيد كتابة المعادلة على الصورة: . كيف نفهم ذلك؟ "X" دائمًا، لأي قيم "Y" و"Z"، تساوي رقمًا معينًا. هذا المستوى موازي للمستوى الإحداثي. على سبيل المثال، المستوى يوازي المستوى ويمر عبر نقطة.

على نفس المنوال:
- معادلة المستوى الموازي للمستوى الإحداثي؛
- معادلة المستوى الموازي للمستوى الإحداثي.

دعونا نضيف أعضاء: . يمكن إعادة كتابة المعادلة على النحو التالي: أي أن "zet" يمكن أن يكون أي شيء. ماذا يعني ذلك؟ يرتبط "X" و"Y" بالعلاقة التي ترسم خطًا مستقيمًا معينًا في المستوى (سوف تكتشف ذلك معادلة الخط في الطائرة؟). وبما أن "z" يمكن أن يكون أي شيء، فإن هذا الخط المستقيم "يتكرر" على أي ارتفاع. وبالتالي، تحدد المعادلة مستوى موازيًا لمحور الإحداثيات

على نفس المنوال:
- معادلة المستوى الموازي لمحور الإحداثيات؛
- معادلة المستوى الموازي لمحور الإحداثيات.

إذا كانت الحدود الحرة صفرًا، فستمر المستويات مباشرة عبر المحاور المقابلة. على سبيل المثال، "التناسب المباشر" الكلاسيكي: . ارسم خطًا مستقيمًا في المستوى واضربه ذهنيًا لأعلى ولأسفل (نظرًا لأن "Z" موجود). الخلاصة: المستوى المحدد بالمعادلة يمر عبر محور الإحداثيات.

نكمل المراجعة: معادلة الطائرة يمر عبر الأصل. حسنًا، من الواضح هنا أن هذه النقطة تحقق هذه المعادلة.

وأخيرًا، الحالة الموضحة في الرسم: - المستوى صديق لجميع محاور الإحداثيات، بينما "يقطع" دائمًا مثلثًا يمكن أن يقع في أي من الثماني الثمانية.

عدم المساواة الخطية في الفضاء

لفهم المعلومات تحتاج إلى دراسة جيدة عدم المساواة الخطية في الطائرةلأن أشياء كثيرة ستكون متشابهة. ستكون الفقرة ذات طبيعة عامة موجزة مع عدة أمثلة، حيث أن المادة نادرة جدًا في الممارسة العملية.

إذا كانت المعادلة تحدد المستوى، فإن المتباينات
بسأل أنصاف المساحات. إذا لم تكن المتباينة صارمة (الأخيران في القائمة)، فإن حل المتباينة، بالإضافة إلى نصف المساحة، يشمل أيضًا المستوى نفسه.

مثال 5

أوجد وحدة المتجه الطبيعي للطائرة .

حل: متجه الوحدة هو متجه طوله واحد. دعونا نشير إلى هذا المتجه بواسطة . من الواضح تمامًا أن المتجهات على خط واحد:

أولاً نحذف المتجه العادي من معادلة المستوى: .

كيفية العثور على ناقل الوحدة؟ من أجل العثور على متجه الوحدة، تحتاج كلاقسم إحداثيات المتجه على طول المتجه.

دعونا نعيد كتابة المتجه العادي في النموذج ونجد طوله:

وفقا لما سبق:

إجابة:

التحقق: ما يجب التحقق منه.

ربما لاحظ ذلك القراء الذين درسوا الفقرة الأخيرة من الدرس بعناية إحداثيات متجه الوحدة هي بالضبط جيب التمام لاتجاه المتجه:

لنأخذ استراحة من المشكلة المطروحة: عندما يتم إعطاؤك متجهًا تعسفيًا غير صفري، وحسب الشرط يجب إيجاد جيب تمام الاتجاه (راجع المسائل الأخيرة من الدرس المنتج النقطي للمتجهات)، فإنك في الواقع تجد متجه وحدة على خط مستقيم مع هذا المتجه. في الواقع مهمتان في زجاجة واحدة.

تنشأ الحاجة إلى إيجاد المتجه الطبيعي للوحدة في بعض مشاكل التحليل الرياضي.

لقد اكتشفنا كيفية صيد ناقل عادي، والآن دعونا نجيب على السؤال المعاكس:

كيفية إنشاء معادلة المستوى باستخدام نقطة ومتجه عادي؟

هذا البناء الصارم للمتجه العادي والنقطة معروف جيدًا على لوحة السهام. يرجى مد يدك للأمام واختيار نقطة عشوائية في الفضاء عقليًا، على سبيل المثال، قطة صغيرة في الخزانة الجانبية. من الواضح أنه من خلال هذه النقطة يمكنك رسم مستوى واحد عمودي على يدك.

يتم التعبير عن معادلة المستوى الذي يمر عبر نقطة عمودية على المتجه بالصيغة:

يمكن تحديدها بطرق مختلفة (نقطة واحدة ومتجه، نقطتان ومتجه، ثلاث نقاط، وما إلى ذلك). مع أخذ هذا في الاعتبار يمكن أن تكون معادلة الطائرة أنواع مختلفة. أيضًا، وفقًا لشروط معينة، يمكن أن تكون المستويات متوازية، أو متعامدة، أو متقاطعة، وما إلى ذلك. سنتحدث عن هذا في هذا المقال. وسوف نتعلم كيفية إنشاء معادلة عامة للمستوى والمزيد.

الشكل الطبيعي للمعادلة

لنفترض أن هناك مساحة R 3 تحتوي على نظام إحداثيات XYZ مستطيل. دعونا نحدد المتجه α، الذي سيتم إطلاقه من النقطة الأولية O. ومن خلال نهاية المتجه α، نرسم مستوى P، والذي سيكون متعامدًا عليه.

دعونا نشير إلى نقطة اعتباطية على P كـ Q = (x، y، z). لنوقع على متجه نصف القطر للنقطة Q بالحرف p. في هذه الحالة، طول المتجه α يساوي χ=IαI و Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

هذا هو متجه الوحدة الموجه إلى الجانب، مثل المتجه α. α و β و γ هي الزوايا التي تتشكل بين المتجه Ʋ والاتجاهات الإيجابية لمحاور الفضاء x و y و z على التوالي. إن إسقاط أي نقطة QϵП على المتجه Ʋ هو قيمة ثابتة تساوي p: (p,Ʋ) = p(p≥0).

المعادلة أعلاه منطقية عندما تكون p=0. الشيء الوحيد هو أن المستوى P في هذه الحالة سوف يتقاطع مع النقطة O (α=0) التي هي أصل الإحداثيات، ومتجه الوحدة Ʋ المنطلق من النقطة O سيكون عموديًا على P، على الرغم من اتجاهه، والذي يعني أن المتجه Ʋ يتم تحديده بدقة للإشارة. المعادلة السابقة هي معادلة المستوي P، معبرًا عنها بالشكل المتجه. لكن في الإحداثيات سيبدو هكذا:

P هنا أكبر من أو يساوي 0. لقد وجدنا معادلة المستوى في الفضاء في الصورة العادية.

المعادلة العامة

إذا ضربنا المعادلة في الإحداثيات بأي رقم لا يساوي الصفر، فسنحصل على معادلة مكافئة لهذه المعادلة، تحدد هذا المستوى بالذات. سوف يبدو مثل هذا:

هنا A، B، C هي أرقام تختلف عن الصفر في نفس الوقت. وتسمى هذه المعادلة معادلة المستوى العام.

معادلات الطائرات. حالات خاصة

يمكن تعديل المعادلة بشكلها العام في ظل وجود شروط إضافية. دعونا ننظر إلى بعض منهم.

لنفترض أن المعامل A هو 0. وهذا يعني أن هذا المستوى موازي لمحور الثور المحدد. في هذه الحالة سيتغير شكل المعادلة: Ву+Cz+D=0.

وبالمثل، فإن شكل المعادلة سوف يتغير في ظل الظروف التالية:

• أولاً، إذا كانت B = 0، فستتغير المعادلة إلى Ax + Cz + D = 0، مما يشير إلى التوازي مع محور Oy.
• ثانيًا، إذا كانت C=0، فسيتم تحويل المعادلة إلى Ax+By+D=0، مما يشير إلى التوازي مع محور Oz المحدد.
• ثالثًا، إذا كانت D=0، فستبدو المعادلة Ax+By+Cz=0، مما يعني أن المستوى يتقاطع مع O (نقطة الأصل).
• رابعاً، إذا كانت A=B=0، فستتغير المعادلة إلى Cz+D=0، والتي ستكون موازية لـ Oxy.
• خامساً، إذا كانت B=C=0، تصبح المعادلة Ax+D=0، مما يعني أن المستوى إلى Oyz موازي.
• سادسا، إذا كانت A=C=0، فستأخذ المعادلة الشكل Ву+D=0، أي أنها ستبلغ عن التوازي إلى Oxz.

نوع المعادلة في القطاعات

في حالة اختلاف الأرقام A، B، C، D عن الصفر، يمكن أن يكون شكل المعادلة (0) على النحو التالي:

س/أ + ص/ب + ض/ج = 1،

حيث أ = -D/A، ب = -D/B، ج = -D/C.

نحصل على النتيجة، تجدر الإشارة إلى أن هذا المستوى سيتقاطع مع محور الثور عند نقطة ذات إحداثيات (a,0,0)، Oy - (0,b,0)، وOz - (0,0,c) ).

مع الأخذ في الاعتبار المعادلة x/a + y/b + z/c = 1، ليس من الصعب تخيل موضع المستوى بصريًا بالنسبة لنظام إحداثي معين.

إحداثيات المتجهات العادية

المتجه العادي n للمستوى P له إحداثيات هي معاملات المعادلة العامة لهذا المستوى، أي n (A، B، C).

من أجل تحديد إحداثيات المستوى n الطبيعي، يكفي معرفة المعادلة العامة لمستوى معين.

عند استخدام معادلة مقطعية، والتي لها الشكل x/a + y/b + z/c = 1، وكذلك عند استخدام معادلة عامة، يمكنك كتابة إحداثيات أي متجه عادي لمستوى معين: (1 /أ + 1/ب + 1/ مع).

ومن الجدير بالذكر أن المتجه العادي يساعد في حل مجموعة متنوعة من المشاكل. تشمل المشاكل الأكثر شيوعًا المشكلات التي تتضمن إثبات التعامد أو التوازي للمستويات، ومشاكل إيجاد الزوايا بين المستويات أو الزوايا بين المستويات والخطوط المستقيمة.

نوع المعادلة المستوية حسب إحداثيات النقطة والمتجه العادي

يسمى المتجه غير الصفري n المتعامد على مستوى معين بالطبيعي لمستوى معين.

لنفترض أنه في الفضاء الإحداثي (نظام الإحداثيات المستطيل) يتم إعطاء Oxyz:

• النقطة Mₒ بإحداثيات (xₒ,yₒ,zₒ);
• ناقل صفر n=A*i+B*j+C*k.

من الضروري إنشاء معادلة للمستوى الذي سيمر عبر النقطة Mₒ المتعامدة مع الوضع الطبيعي n.

نختار أي نقطة عشوائية في الفضاء ونشير إليها M (x y، z). دع متجه نصف القطر لأي نقطة M (x,y,z) يكون r=x*i+y*j+z*k، ومتجه نصف القطر للنقطة Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* ط+صₒ *ي+ضₒ*ك. ستنتمي النقطة M إلى مستوى معين إذا كان المتجه MₒM متعامدًا مع المتجه n. دعونا نكتب شرط التعامد باستخدام المنتج العددي:

[MₒM، n] = 0.

بما أن MₒM = r-rₒ، فإن المعادلة المتجهة للمستوى ستبدو كما يلي:

هذه المعادلة يمكن أن يكون لها شكل آخر. للقيام بذلك، يتم استخدام خصائص المنتج العددي، ويتم تحويل الجانب الأيسر من المعادلة. = - . إذا أشرنا إليها بـ c، نحصل على المعادلة التالية: - c = 0 أو = c، والتي تعبر عن ثبات الإسقاطات على المتجه الطبيعي لمتجهات نصف القطر لنقاط معينة تنتمي إلى المستوى.

يمكننا الآن الحصول على الصيغة الإحداثية لكتابة المعادلة المتجهة للمستوى = 0. بما أن r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k، وn = A*i+B *j+С*k، لدينا:

اتضح أن لدينا معادلة لمستوى يمر عبر نقطة عمودية على n العادي:

أ*(x- xₒ)+B*(y- yₒ)C*(z-zₒ)=0.

نوع المعادلة المستوية حسب إحداثيات نقطتين ومتجه على خط مستقيم مع المستوي

دعونا نحدد نقطتين عشوائيتين M′ (x′,y′,z′) وM″ (x″,y″,z″) بالإضافة إلى المتجه a (a′,a″,a‴).

الآن يمكننا إنشاء معادلة لمستوى معين سيمر عبر النقطتين الموجودتين M′ وM″، بالإضافة إلى أي نقطة M ذات إحداثيات (x، y، z) موازية للمتجه المحدد a.

في هذه الحالة، يجب أن يكون المتجهان M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) وM″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) مستويين مع المتجه a=(a′,a″,a‴)، مما يعني أن (M′M, M″M, a)=0.

إذن، ستكون معادلة المستوى في الفضاء كما يلي:

نوع معادلة المستوى الذي يتقاطع مع ثلاث نقاط

لنفترض أن لدينا ثلاث نقاط: (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) والتي لا تنتمي إلى نفس الخط. من الضروري كتابة معادلة المستوى الذي يمر عبر ثلاث نقاط. وتزعم نظرية الهندسة أن هذا النوع من المستويات موجود بالفعل، لكنه الوحيد والفريد من نوعه. وبما أن هذا المستوى يتقاطع مع النقطة (x′,y′,z′) فإن شكل معادلته سيكون كما يلي:

هنا A، B، C تختلف عن الصفر في نفس الوقت. أيضًا، المستوى المعطى يتقاطع مع نقطتين إضافيتين: (x″,y″,z″) و (x‴,y‴,z‴). وفي هذا الصدد يجب استيفاء الشروط التالية:

الآن يمكننا إنشاء نظام متجانس مع المجهول u، v، w:

في حالتنا، x أو y أو z هي نقطة عشوائية تحقق المعادلة (1). بالنظر إلى المعادلة (1) ونظام المعادلات (2) و (3)، فإن نظام المعادلات المشار إليه في الشكل أعلاه يتم استيفاءه بواسطة المتجه N (A,B,C)، وهو غير تافه. ولهذا فإن محدد هذا النظام يساوي صفرًا.

المعادلة (1) التي حصلنا عليها هي معادلة المستوى. فهو يمر عبر 3 نقاط بالضبط، وهذا أمر سهل التحقق. للقيام بذلك، علينا فك المحدد ليشمل العناصر الموجودة في الصف الأول. من الخصائص الحالية للمحدد، يترتب على ذلك أن مستوانا يتقاطع في نفس الوقت مع ثلاث نقاط محددة في البداية (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . أي أننا قمنا بحل المهمة الموكلة إلينا.

زاوية ثنائي السطوح بين الطائرات

الزاوية ثنائية السطوح هي شكل هندسي مكاني يتكون من نصفي مستويين ينبثقان من خط مستقيم واحد. بمعنى آخر، هذا هو الجزء من الفضاء المحدود بهذه المستويات النصفية.

لنفترض أن لدينا طائرتين مع المعادلات التالية:

نحن نعلم أن المتجهين N=(A,B,C) وN¹=(A¹,B¹,C¹) متعامدان وفقًا للمستويات المعطاة. في هذا الصدد، الزاوية φ بين المتجهين N وN¹ تساوي الزاوية (ثنائي السطوح) التي تقع بين هذه المستويات. المنتج النقطي له الشكل:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

على وجه التحديد بسبب

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

يكفي أن نأخذ في الاعتبار أن 0 φ π.

في الواقع، المستويان المتقاطعان يشكلان زاويتين (ثنائية السطوح): φ 1 و φ 2. مجموعهم يساوي π (φ 1 + φ 2 = π). أما جيب التمام بينهما فإن قيمهما المطلقة متساوية، لكنهما تختلفان في الإشارة، أي cos φ 1 = -cos φ 2. إذا استبدلنا في المعادلة (0) A وB وC بالأرقام -A و-B و-C، على التوالي، فإن المعادلة التي نحصل عليها ستحدد نفس المستوى، الوحيد، الزاوية φ في المعادلة cos φ= NN 1 /|ن||ن 1 | سيتم استبداله بـ π-φ.

معادلة المستوى المتعامد

تسمى المستويات التي تكون الزاوية بينها 90 درجة متعامدة. باستخدام المواد المذكورة أعلاه، يمكننا إيجاد معادلة مستوى عمودي على آخر. لنفترض أن لدينا مستويين: Ax+By+Cz+D=0 وA¹x+B¹y+C¹z+D=0. يمكننا القول أنهما سيكونان متعامدين إذا كان cosφ=0. وهذا يعني أن NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.

معادلة الطائرة الموازية

تسمى المستويتان اللتان لا تحتويان على نقاط مشتركة بالتوازي.

الشرط (معادلاتها هي نفسها كما في الفقرة السابقة) هو أن المتجهين N وN¹، المتعامدين عليهما، متعامدان على خط واحد. وهذا يعني استيفاء شروط التناسب التالية:

أ/أ¹=ب/ب¹=ج/ج¹.

إذا تم تمديد شروط التناسب - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹،

وهذا يدل على أن هذه الطائرات متطابقة. هذا يعني أن المعادلتين Ax+By+Cz+D=0 وA¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 تصفان مستوى واحدًا.

المسافة إلى الطائرة من النقطة

لنفترض أن لدينا مستوى P، والذي يُعطى بالمعادلة (0). من الضروري إيجاد المسافة إليه من نقطة بإحداثيات (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. للقيام بذلك، تحتاج إلى إعادة معادلة المستوى P إلى وضعها الطبيعي:

(ρ,v)=ص (ر≥0).

في هذه الحالة، ρ (x,y,z) هو متجه نصف القطر لنقطة Q الموجودة على P، p هو طول العمود P الذي تم تحريره من نقطة الصفر، v هو متجه الوحدة الموجود في الاتجاه أ.

الفرق ρ-ρº متجه نصف القطر لنقطة ما Q = (x، y، z)، التي تنتمي إلى P، وكذلك متجه نصف القطر لنقطة معينة Q 0 = (xₒ، уₒ، zₒ) هو مثل هذا المتجه، القيمة المطلقة للإسقاط على v تساوي المسافة d التي يجب إيجادها من Q 0 = (xₒ,уₒ,zₒ) إلى P:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|، لكن

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =Р-(ρ 0 ,v).

لذلك اتضح

د=|(ρ 0 ,v)-ص|.

وهكذا سنجد القيمة المطلقة للتعبير الناتج، أي d المطلوب.

باستخدام لغة المعلمة، نحصل على ما هو واضح:

d=|Аkhₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(А²+В²+С²).

إذا كانت نقطة معينة Q 0 على الجانب الآخر من المستوى P، مثل أصل الإحداثيات، فبين المتجه ρ-ρ 0 و v يوجد بالتالي:

د=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-Р>0.

في الحالة التي تكون فيها النقطة Q 0، مع أصل الإحداثيات، على نفس الجانب من P، فإن الزاوية التي تم إنشاؤها تكون حادة، أي:

د=(ρ-ρ 0 ,v)=hr - (ρ 0 , v)>0.

ونتيجة لذلك، اتضح أنه في الحالة الأولى (ρ 0 ,v)>ص، في الحالة الثانية (ρ 0 ,v)<р.

مستوى الظل ومعادلته

المستوى المماس للسطح عند نقطة التلامس M هو مستوى يحتوي على جميع المماسات الممكنة للمنحنيات المرسومة عبر هذه النقطة على السطح.

مع هذا النوع من المعادلات السطحية F(x,y,z)=0، فإن معادلة مستوى المماس عند نقطة الظل M°(x°,y°,z°) ستبدو كما يلي:

F x (x°,y°,z°)(x- x°)+ F x (x°, y°, z°)(y- y°)+ F x (x°, y°,z°)(z-z°)=0.

إذا حددت السطح بصيغة صريحة z=f (x,y)، فسيتم وصف مستوى الظل بالمعادلة:

ض-ض = و(سْ، صْ)(س- xْ)+f(سْ، صْ)(ص- صْ).

تقاطع طائرتين

في نظام الإحداثيات (المستطيل) يقع Oxyz، ويتم إعطاء طائرتين П′ و П″، تتقاطعان ولا تتطابقان. نظرًا لأن أي مستوى يقع في نظام إحداثيات مستطيل يتم تحديده بواسطة معادلة عامة، فسوف نفترض أن P′ وP″ يتم الحصول عليهما من خلال المعادلتين A′x+B′y+C′z+D′=0 وA″x +B″y+ С″z+D″=0. في هذه الحالة، لدينا n ′ (A′، B′، C′) الطبيعي للمستوى P′ و n العادي ″ (A″، B″، C″) للمستوى P″. وبما أن المستويين غير متوازيين وغير متطابقين، فإن هذه المتجهات ليست على خط مستقيم. باستخدام لغة الرياضيات، يمكننا كتابة هذا الشرط على النحو التالي: n′≠ n″ ↔ (A′,B′,C′) ≠ (α*A″,×*B″,×*C″), αϵR. دع الخط المستقيم الذي يقع عند تقاطع P′ وP″ يُشار إليه بالحرف a، في هذه الحالة a = P′ ∩ P″.

a هو خط مستقيم يتكون من مجموعة جميع نقاط المستويين (المشتركين) P′ وP″. هذا يعني أن إحداثيات أي نقطة تنتمي إلى الخط a يجب أن تحقق في نفس الوقت المعادلتين A′x+B′y+C′z+D′=0 وA″x+B″y+C″z+D″=0 . وهذا يعني أن إحداثيات النقطة ستكون حلاً جزئيًا لنظام المعادلات التالي:

ونتيجة لذلك، يتبين أن الحل (العام) لهذا النظام من المعادلات سيحدد إحداثيات كل نقطة من نقاط الخط، والتي ستكون بمثابة نقطة تقاطع P′ وP″، وتحديد الخط المستقيم a في نظام الإحداثيات Oxyz (المستطيل) في الفضاء.

خواص الخط المستقيم في الهندسة الإقليدية.

يمكن رسم عدد لا نهائي من الخطوط المستقيمة عبر أي نقطة.

من خلال أي نقطتين غير متطابقتين يمكن رسم خط مستقيم واحد.

خطان متباعدان في المستوى إما يتقاطعان في نقطة واحدة أو يتقاطعان

بالتوازي (يتبع من السابق).

في الفضاء ثلاثي الأبعاد، هناك ثلاثة خيارات للموضع النسبي لخطين:

• تتقاطع الخطوط؛

• الخطوط متوازية.

• تتقاطع الخطوط المستقيمة.

مستقيم خط— منحنى جبري من الدرجة الأولى: خط مستقيم في نظام الإحداثيات الديكارتية

يتم إعطاؤه على المستوى بمعادلة من الدرجة الأولى ( معادلة خط مستقيم).

المعادلة العامة للخط المستقيم.

تعريف. يمكن تحديد أي خط مستقيم على المستوى بمعادلة من الدرجة الأولى

الفأس + وو + C = 0،

وثابت أ، بلا تساوي الصفر في نفس الوقت. تسمى هذه المعادلة من الدرجة الأولى عام

معادلة الخط المستقيم.اعتمادا على قيم الثوابت أ، بو معالحالات الخاصة التالية ممكنة:

. ج = 0، أ ≠0، ب ≠ 0- يمر خط مستقيم بنقطة الأصل

. أ = 0، ب ≠0، ج ≠0 (بواسطة + ج = 0)- خط مستقيم موازي للمحور أوه

. ب = 0، أ ≠0، ج ≠ 0 (الفأس + ج = 0)- خط مستقيم موازي للمحور الوحدة التنظيمية

. ب = ج = 0، أ ≠0- الخط المستقيم يتطابق مع المحور الوحدة التنظيمية

. أ = ج = 0، ب ≠0- الخط المستقيم يتطابق مع المحور أوه

يمكن تقديم معادلة الخط المستقيم بأشكال مختلفة اعتمادًا على أي منها

الشروط الأولية.

معادلة الخط المستقيم من نقطة والمتجه العادي.

تعريف. في نظام الإحداثيات الديكارتي المستطيل المتجهمع المكونات (أ، ب)

عمودي على الخط الذي تعطيه المعادلة

الفأس + وو + C = 0.

مثال. أوجد معادلة الخط الذي يمر بنقطة أ(1، 2)عمودي على المتجه (3, -1).

حل. مع A = 3 وB = -1، دعونا نكتب معادلة الخط المستقيم: 3x - y + C = 0. لإيجاد المعامل C

لنعوض بإحداثيات النقطة A المعطاة في التعبير الناتج، نحصل على: 3 - 2 + C = 0، وبالتالي

ج = -1. المجموع: المعادلة المطلوبة: 3س - ص - 1 = 0.

معادلة الخط الذي يمر بنقطتين.

دعونا نعطي نقطتين في الفضاء م 1 (س 1 ، ص 1 ، ض 1)و م2 (س 2، ص 2، ض 2)،ثم معادلة الخط,

المرور عبر هذه النقاط:

إذا كان أي من المقامات يساوي صفرًا، فيجب أن يكون البسط المقابل مساويًا للصفر. على

المستوى، تم تبسيط معادلة الخط المستقيم المكتوبة أعلاه:

لو × 1 ≠ × 2و س = س 1، لو × 1 = × 2 .

جزء = كمُسَمًّى ميل مستقيم.

مثال. أوجد معادلة الخط المستقيم الذي يمر بالنقطتين A(1, 2) وB(3, 4).

حل. وبتطبيق الصيغة المكتوبة أعلاه نحصل على:

معادلة الخط المستقيم باستخدام النقطة والمنحدر.

إذا كانت المعادلة العامة للخط الفأس + وو + C = 0تؤدي:

وتعيين ، ثم تسمى المعادلة الناتجة

معادلة الخط المستقيم مع الميل ك.

معادلة الخط المستقيم من نقطة ومتجه الاتجاه.

قياسا على النقطة التي تفكر في معادلة خط مستقيم من خلال المتجه العادي، يمكنك إدخال المهمة

خط مستقيم عبر نقطة ومتجه توجيه لخط مستقيم.

تعريف. كل ناقل غير الصفر (α 1 ، α 2)والتي تكون مكوناتها مستوفية للشرط

أألفا 1 + بألفا 2 = 0مُسَمًّى توجيه متجه لخط مستقيم.

الفأس + وو + C = 0.

مثال. أوجد معادلة الخط المستقيم الذي له متجه اتجاه (1، -1) ويمر بالنقطة A(1، 2).

حل. سنبحث عن معادلة الخط المطلوب بالشكل: الفأس + بواسطة + C = 0.وفقا للتعريف ،

يجب أن تستوفي المعاملات الشروط التالية:

1 * أ + (-1) * ب = 0، أي. أ = ب.

ثم معادلة الخط المستقيم لها الشكل: الفأس + آي + ج = 0،أو س + ص + ج / أ = 0.

في س = 1، ص = 2نحن نحصل ج/أ = -3، أي. المعادلة المطلوبة:

س + ص - 3 = 0

معادلة الخط المستقيم في القطاعات.

إذا كان في المعادلة العامة للخط المستقيم Аh + Ву + С = 0 С≠0، فبالقسمة على -С نحصل على:

او اين

المعنى الهندسي للمعاملات هو أن المعامل a هو إحداثي نقطة التقاطع

مستقيم مع المحور أوه،أ ب- إحداثيات نقطة تقاطع الخط مع المحور الوحدة التنظيمية.

مثال. يتم إعطاء المعادلة العامة للخط المستقيم س - ص + 1 = 0.أوجد معادلة هذا الخط مقسمة إلى شرائح.

ج = 1، أ = -1، ب = 1.

المعادلة العادية للخط.

إذا كان طرفا المعادلة الفأس + وو + C = 0القسمة على العدد من اتصل

عامل التطبيع، ثم نحصل

xcosφ + ysinφ - ص = 0 -المعادلة العادية للخط.

يجب اختيار علامة ± لعامل التطبيع بحيث μ*ج< 0.

ر- طول العمود الذي يسقط من نقطة الأصل إلى الخط المستقيم،

أ φ - الزاوية التي يشكلها هذا المتعامد مع الاتجاه الموجب للمحور أوه.

مثال. يتم إعطاء المعادلة العامة للخط 12س - 5ص - 65 = 0. مطلوب لكتابة أنواع مختلفة من المعادلات

هذا الخط المستقيم.

معادلة هذا الخط في القطاعات:

معادلة هذا الخط مع الميل: (القسمة على 5)

معادلة الخط:

كوس φ = 12/13؛ خطيئة φ= -5/13; ع = 5.

وتجدر الإشارة إلى أنه ليس كل خط مستقيم يمكن تمثيله بمعادلة مقطعة، على سبيل المثال الخطوط المستقيمة،

موازية للمحاور أو مارة بنقطة الأصل.

الزاوية المحصورة بين الخطوط المستقيمة على المستوى.

تعريف. إذا تم إعطاء سطرين ص = ك 1 س + ب 1 , ص = ك 2 س + ب 2ثم الزاوية الحادة بين هذين الخطين

سيتم تعريفها على أنها

خطان متوازيان إذا ك 1 = ك 2. خطان متعامدان

لو ك 1 = -1/ ك 2 .

نظرية.

مباشر الفأس + وو + C = 0و أ 1 س + ب 1 ص + ج 1 = 0متوازي عندما تكون المعاملات متناسبة

أ 1 = α، ب 1 = κB. إذا أيضا ص 1 = ك، ثم تتطابق الخطوط. إحداثيات نقطة تقاطع خطين

تم العثور عليها كحل لنظام معادلات هذه الخطوط.

معادلة المستقيم الذي يمر بنقطة معينة وعمودي على مستقيم معين.

تعريف. خط يمر عبر نقطة م 1 (س 1، ص 1)وعمودي على الخط ص = ك س + ب

ممثلة بالمعادلة:

المسافة من نقطة إلى خط.

نظرية. إذا تم إعطاء نقطة م(س 0، ص 0)،ثم المسافة إلى الخط المستقيم الفأس + وو + C = 0معرف ك:

دليل. دع هذه النقطة م 1 (س 1، ص 1)- قاعدة عمودي سقط من نقطة ما ملاجل منحه

مباشر. ثم المسافة بين النقاط مو م 1:

(1)

الإحداثيات × 1و في 1يمكن إيجادها كحل لنظام المعادلات:

المعادلة الثانية للنظام هي معادلة الخط المستقيم الذي يمر بنقطة معينة M 0 بشكل عمودي

نظرا لخط مستقيم. إذا قمنا بتحويل المعادلة الأولى للنظام إلى الشكل:

أ(س - س 0) + ب(ص - ص 0) + الفأس 0 + بواسطة 0 + ج = 0،

ثم بالحل نحصل على:

وبالتعويض بهذه العبارات في المعادلة (1) نجد:

لقد تم إثبات النظرية.

تعطي هذه المقالة فكرة عن كيفية إنشاء معادلة لمستوى يمر عبر نقطة معينة في فضاء ثلاثي الأبعاد عمودي على خط معين. دعونا نحلل الخوارزمية المحددة باستخدام مثال حل المشكلات النموذجية.

إيجاد معادلة مستوى يمر بنقطة معينة في الفضاء عمودي على مستقيم معين

دع فيه مساحة ثلاثية الأبعاد ونظام إحداثيات مستطيل O x y z. يتم أيضًا إعطاء النقطة M 1 (x 1، y 1، z 1) والخط a والمستوى α الذي يمر عبر النقطة M 1 المتعامدة مع الخط a. من الضروري كتابة معادلة المستوى α.

قبل أن نبدأ في حل هذه المشكلة، دعونا نتذكر نظرية الهندسة من المنهج للصفوف 10-11، والتي تقول:

التعريف 1

من خلال نقطة معينة في الفضاء ثلاثي الأبعاد يمر مستوى واحد عمودي على خط مستقيم معين.

الآن دعونا نلقي نظرة على كيفية إيجاد معادلة هذا المستوى الفردي الذي يمر بنقطة البداية ويكون متعامدًا على الخط المعطى.

من الممكن كتابة المعادلة العامة للمستوى إذا كانت إحداثيات نقطة تنتمي إلى هذا المستوى معروفة، وكذلك إحداثيات المتجه العمودي للمستوى.

شروط المشكلة تعطينا إحداثيات x 1، y 1، z 1 للنقطة M 1 التي يمر عبرها المستوى α. إذا حددنا إحداثيات المتجه الطبيعي للمستوى α، فسنكون قادرين على كتابة المعادلة المطلوبة.

المتجه العادي للمستوى α، نظرًا لأنه غير صفر ويقع على الخط a، المتعامد على المستوى α، سيكون أي متجه اتجاه للخط a. وهكذا تتحول مشكلة إيجاد إحداثيات المتجه العادي للمستوى α إلى مشكلة تحديد إحداثيات المتجه الموجه للخط المستقيم أ.

يمكن تحديد إحداثيات متجه الاتجاه للخط المستقيم a بطرق مختلفة: يعتمد ذلك على خيار تحديد الخط المستقيم a في الظروف الأولية. على سبيل المثال، إذا تم إعطاء الخط المستقيم أ في بيان المشكلة بواسطة المعادلات الأساسية للنموذج

س - س 1 أ س = ص - ص 1 أ ص = ض - ض 1 أ ض

أو المعادلات البارامترية من النموذج:

س = س 1 + أ س · ẫ y = y 1 + أ y · л z = z 1 + أ z · α

عندها سيكون لمتجه الاتجاه للخط المستقيم إحداثيات x وy وa. في حالة تمثيل الخط المستقيم a بنقطتين M 2 (x 2, y 2, z 2) و M 3 (x 3, y 3, z 3) ، فسيتم تحديد إحداثيات متجه الاتجاه كـ ( x3 - x2، y3 - y2، z3 - z2).

التعريف 2

خوارزمية لإيجاد معادلة المستوى الذي يمر عبر نقطة معينة عموديًا على خط معين:

نحدد إحداثيات متجه الاتجاه للخط المستقيم a: أ → = (أ س، أ ص، أ ض) ;

نحدد إحداثيات المتجه الطبيعي للمستوى α بإحداثيات المتجه الموجه للخط المستقيم a:

ن → = (أ، ب، ج) حيث أ = أ س، ب = أ ص، ج = أ ض;

نكتب معادلة المستوى الذي يمر بالنقطة M 1 (x 1, y 1, z 1) وله متجه عادي ن → = (أ، ب، ج) بالشكل A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0. ستكون هذه هي المعادلة المطلوبة للمستوى الذي يمر عبر نقطة معينة في الفضاء ويكون عموديًا على خط معين.

المعادلة العامة الناتجة للطائرة هي: A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0 يجعل من الممكن الحصول على معادلة المستوى في المقاطع أو المعادلة العادية للمستوى.

دعونا نحل عدة أمثلة باستخدام الخوارزمية التي تم الحصول عليها أعلاه.

مثال 1

يتم إعطاء النقطة M 1 (3، - 4، 5) التي يمر من خلالها المستوى، وهذا المستوى عمودي على خط الإحداثيات O z.

حل

متجه الاتجاه لخط الإحداثيات O z سيكون متجه الإحداثيات k ⇀ = (0, 0, 1). لذلك، فإن المتجه الطبيعي للمستوى له إحداثيات (0، 0، 1). دعونا نكتب معادلة المستوى الذي يمر عبر نقطة معينة M 1 (3، - 4، 5)، المتجه العادي له إحداثيات (0، 0، 1):

أ (س - س 1) + ب (ص - ص 1) + ج (ض - ض 1) = 0 ⇔ ⇔ 0 (س - 3) + 0 (ص - (- 4)) + 1 (ض - 5) = 0 ⇔ ض - 5 = 0

إجابة:ض – 5 = 0 .

دعونا نفكر في طريقة أخرى لحل هذه المشكلة:

مثال 2

المستوى المتعامد مع الخط O z سيتم الحصول عليه من خلال معادلة مستوية عامة غير مكتملة بالصيغة C z + D = 0, C ≠ 0. دعونا نحدد قيم C و D: تلك التي يمر عندها المستوى عبر نقطة معينة. لنعوض بإحداثيات هذه النقطة في المعادلة C z + D = 0، نحصل على: C · 5 + D = 0. أولئك. الأرقام، C وD مرتبطة بالعلاقة - D C = 5. بأخذ C = 1، نحصل على D = - 5.

لنعوض بهذه القيم في المعادلة C z + D = 0 ونحصل على المعادلة المطلوبة لمستوى عمودي على الخط المستقيم O z ويمر بالنقطة M 1 (3, - 4, 5).

سيبدو كما يلي: ض – 5 = 0.

إجابة:ض – 5 = 0 .

مثال 3

اكتب معادلة للمستوى المار بنقطة الأصل والعمودي على الخط x - 3 = y + 1 - 7 = z + 5 2

حل

بناءً على شروط المشكلة، يمكن القول بأن متجه الاتجاه لخط مستقيم معين يمكن اعتباره المتجه العادي n → لمستوى معين. وبالتالي: n → = (- 3 , - 7 , 2) . دعونا نكتب معادلة المستوى الذي يمر عبر النقطة O (0، 0، 0) وله متجه عادي n → = (- 3، - 7، 2):

3 (س - 0) - 7 (ص - 0) + 2 (ض - 0) = 0 ⇔ - 3 س - 7 ص + 2 ض = 0

لقد حصلنا على المعادلة المطلوبة للمستوى الذي يمر عبر أصل الإحداثيات المتعامدة مع خط معين.

إجابة:- 3 س - 7 ص + 2 ض = 0

مثال 4

يتم إعطاء نظام الإحداثيات المستطيل O x y z في مساحة ثلاثية الأبعاد، حيث يوجد نقطتان A (2، - 1، - 2) و B (3، - 2، 4). يمر المستوى α عبر النقطة A عموديًا على الخط A B. ومن الضروري إنشاء معادلة للمستوى α في المقاطع.

حل

المستوى α عمودي على الخط A B، ثم المتجه A B → سيكون المتجه الطبيعي للمستوى α. يتم تعريف إحداثيات هذا المتجه على أنها الفرق بين الإحداثيات المقابلة للنقاط B (3، - 2، 4) و A (2، - 1، - 2):

أ ب → = (3 - 2 ، - 2 - (- 1) ، 4 - (- 2)) ⇔ أ ب → = (1 ، - 1 ، 6)

سيتم كتابة المعادلة العامة للطائرة على النحو التالي:

1 س - 2 - 1 ص - (- 1 + 6 (ض - (- 2)) = 0 ⇔ س - ص + 6 ض + 9 = 0

الآن لنقم بتكوين المعادلة المطلوبة للمستوى في المقاطع:

س - ص + 6 ض + 9 = 0 ⇔ س - ص + 6 ض = - 9 ⇔ س - 9 + ص 9 + ض - 3 2 = 1

إجابة:س - 9 + ص 9 + ض - 3 2 = 1

تجدر الإشارة أيضًا إلى أن هناك مسائل تتطلب كتابة معادلة لمستوى يمر بنقطة معينة وعمودي على مستويين محددين. بشكل عام، حل هذه المشكلة هو بناء معادلة لمستوى يمر بنقطة معينة عمودي على خط معين، لأن طائرتان متقاطعتان تحددان خطًا مستقيمًا.

مثال 5

يتم إعطاء نظام إحداثيات مستطيل O x y z، حيث توجد نقطة M 1 (2، 0، - 5). كما تم إعطاء معادلات المستويين 3 x + 2 y + 1 = 0 و x + 2 z – 1 = 0، اللذين يتقاطعان على طول الخط المستقيم a. من الضروري إنشاء معادلة لمستوى يمر عبر النقطة M 1 عموديًا على الخط المستقيم a.

حل

لنحدد إحداثيات المتجه الموجه للخط المستقيم أ. وهو عمودي على كل من المتجه العادي n 1 → (3, 2, 0) للمستوى n → (1, 0, 2) والمتجه العادي 3 x + 2 y + 1 = 0 للمستوى x + 2 z - 1 = 0 مستوى.

ثم، باعتباره المتجه الموجه α → الخط a، نأخذ المنتج المتجه للمتجهين n 1 → و n 2 →:

أ → = ن 1 → × ن 2 → = i → j → ك → 3 2 0 1 0 2 = 4 i → - 6 j → - 2 ك → ⇒ أ → = (4 , - 6 , - 2 )

وبالتالي، فإن المتجه n → = (4, - 6, - 2) سيكون المتجه الطبيعي للمستوى المتعامد مع الخط a. دعونا نكتب المعادلة المطلوبة للطائرة:

4 (س - 2) - 6 (ص - 0) - 2 (ض - (- 5)) = 0 ⇔ 4 س - 6 ص - 2 ض - 18 = 0 ⇔ ⇔ 2 س - 3 ص - ض - 9 = 0

إجابة: 2 س - 3 ص - ض - 9 = 0

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter