Vahid dövlət imtahanına hazırlıq. Rasionallaşdırma üsulu ilə loqarifmik və eksponensial bərabərsizliklərin həlli. Manovskaya işi "Vahid Dövlət İmtahanında loqarifmik bərabərsizliklər" Logarifmik bərabərsizliklərin Vahid Dövlət İmtahanı profil həlli

Bölmələr: Riyaziyyat

Çox vaxt qərar verərkən loqarifmik bərabərsizliklər, dəyişən loqarifm bazası ilə bağlı problemlər var. Beləliklə, forma bərabərsizliyi

standart məktəb bərabərsizliyidir. Bir qayda olaraq, onu həll etmək üçün ekvivalent sistemlər dəstinə keçid istifadə olunur:

Bu metodun dezavantajı, iki sistemi və bir populyasiyanı saymadan yeddi bərabərsizliyi həll etmək ehtiyacıdır. Artıq bu kvadratik funksiyalarla populyasiyanın həlli çox vaxt apara bilər.

Bu standart bərabərsizliyi həll etmək üçün alternativ, daha az vaxt aparan üsul təklif etmək olar. Bunun üçün aşağıdakı teoremi nəzərə alırıq.

Teorem 1. X çoxluğunda davamlı artan funksiya olsun. Onda bu çoxluqda funksiyanın artımının işarəsi arqumentin artımının işarəsi ilə üst-üstə düşəcək, yəni. , Harada .

Qeyd: X çoxluğunda davamlı azalan funksiya olarsa, onda .

Gəlin bərabərsizliyə qayıdaq. Gəlin ondalıq loqarifmaya keçək (sabit bazası birdən böyük olan hər hansı birinə keçə bilərsiniz).

İndi siz numeratorda funksiyaların artımına diqqət yetirərək teoremdən istifadə edə bilərsiniz və məxrəcdə. Deməli, doğrudur

Nəticədə, cavaba aparan hesablamaların sayı təxminən iki dəfə azalır ki, bu da nəinki vaxta qənaət edir, həm də potensial olaraq daha az arifmetik və diqqətsiz səhvlər etməyə imkan verir.

Misal 1.

(1) ilə müqayisə edərək tapırıq , , .

(2)-ə keçərək, əldə edəcəyik:

Misal 2.

(1) ilə müqayisə edərək, , , tapırıq.

(2)-ə keçərək, əldə edəcəyik:

Misal 3.

Bərabərsizliyin sol tərəfi və kimi artan funksiya olduğundan , onda cavab çox olacaq.

Mövzu 1-in tətbiq oluna biləcəyi bir çox nümunə Mövzu 2 nəzərə alınmaqla asanlıqla genişləndirilə bilər.

Setə buraxın X, , , funksiyaları müəyyən edilir və bu çoxluqda işarələr üst-üstə düşür, yəni. , o zaman ədalətli olar.

Misal 4.

Misal 5.

Standart yanaşma ilə misal aşağıdakı sxem üzrə həll edilir: amillər müxtəlif işarəli olduqda məhsul sıfırdan azdır. Bunlar. iki bərabərsizliklər sisteminin məcmusuna baxılır ki, burada əvvəldə göstərildiyi kimi hər bir bərabərsizlik daha yeddiyə bölünür.

2-ci teoremi nəzərə alsaq, o zaman (2) nəzərə alınmaqla amillərin hər biri bu O.D.Z nümunəsində eyni işarəyə malik başqa funksiya ilə əvəz edilə bilər.

Teorem 2-ni nəzərə alaraq funksiyanın artımını arqument artımı ilə əvəz etmək üsulu standart C3 Vahid Dövlət İmtahan məsələlərini həll edərkən çox əlverişlidir.

Misal 6.

Misal 7.

. işarə edək. alırıq

. Qeyd edək ki, dəyişdirmə aşağıdakıları nəzərdə tutur: . Tənliyə qayıdaraq, alırıq .

Misal 8.

İstifadə etdiyimiz teoremlərdə funksiyaların sinifləri ilə bağlı heç bir məhdudiyyət yoxdur. Bu məqalədə misal olaraq, teoremlər loqarifmik bərabərsizliklərin həllinə tətbiq edilmişdir. Aşağıdakı bir neçə nümunə digər bərabərsizliklərin həlli metodunun vədini nümayiş etdirəcək.

İSTİFADƏDƏ LOQARİFMİK BƏRABƏRBƏRBƏRBƏRBƏRLƏR

Seçin Mixail Aleksandroviç

Qazaxıstan Respublikası Tələbələri üçün Kiçik Elmlər Akademiyası “İskatel”

MBOU "Sovetskaya 1 nömrəli orta məktəb", 11-ci sinif, şəhər. Sovetski Sovetski rayonu

Gunko Lyudmila Dmitrievna, "Sovetskaya 1 nömrəli tam orta məktəb" Bələdiyyə Büdcə Təhsil Müəssisəsinin müəllimi

Sovetski rayonu

İşin məqsədi: qeyri-standart üsullardan istifadə etməklə C3 loqarifmik bərabərsizliklərin həlli mexanizminin öyrənilməsi, müəyyən edilməsi maraqlı faktlar loqarifm

Tədqiqatın mövzusu:

3) Qeyri-standart üsullardan istifadə edərək xüsusi loqarifmik bərabərsizlikləri C3 həll etməyi öyrənin.

Nəticələr:

Məzmun

Giriş……………………………………………………………………………….4

Fəsil 1. Məsələnin tarixi…………………………………………………5

Fəsil 2. Loqarifmik bərabərsizliklərin toplanması ………………………… 7

2.1. Ekvivalent keçidlər və ümumiləşdirilmiş intervallar üsulu…………… 7

2.2. Rasionallaşdırma metodu…………………………………………………………… 15

2.3. Qeyri-standart əvəzetmə……………………………………… ............ 22

2.4. Tələlərlə tapşırıqlar…………………………………………………27

Nəticə……………………………………………………………………………… 30

Ədəbiyyat………………………………………………………………. 31

Giriş

Mən 11-ci sinifdəyəm və əsas fənninin riyaziyyat olduğu universitetə ​​daxil olmağı planlaşdırıram. Buna görə də mən C hissəsindəki məsələlərlə çox işləyirəm. C3 tapşırığında adətən loqarifmlərlə əlaqəli qeyri-standart bərabərsizliyi və ya bərabərsizliklər sistemini həll etməliyəm. İmtahana hazırlaşarkən C3-də təklif olunan imtahan loqarifmik bərabərsizliklərinin həlli üçün metod və üsulların çatışmazlığı problemi ilə üzləşdim. Bu mövzuda məktəb kurikulumunda öyrənilən metodlar C3 tapşırıqlarının həlli üçün əsas vermir. Riyaziyyat müəllimi mənə onun rəhbərliyi altında müstəqil olaraq C3 tapşırıqları üzərində işləməyi təklif etdi. Bundan əlavə, məni sual maraqlandırdı: həyatımızda loqarifmlərlə qarşılaşırıqmı?

Bunu nəzərə alaraq mövzu seçildi:

"Vahid Dövlət İmtahanda Loqarifmik bərabərsizliklər"

İşin məqsədi: qeyri-standart üsullardan istifadə etməklə C3 məsələlərinin həlli mexanizminin öyrənilməsi, loqarifmə dair maraqlı faktların müəyyənləşdirilməsi.

Tədqiqatın mövzusu:

1) Loqarifmik bərabərsizliklərin həlli üçün qeyri-standart üsullar haqqında lazımi məlumatları tapın.

2) Loqarifmlər haqqında əlavə məlumat tapın.

3) Qeyri-standart metodlardan istifadə etməklə xüsusi C3 problemlərini həll etməyi öyrənin.

Nəticələr:

Praktiki əhəmiyyəti C3 problemlərinin həlli üçün aparatın genişləndirilməsidir. Bu materialdan bəzi dərslərdə, dərnəklərdə və riyaziyyatdan seçmə dərslərdə istifadə etmək olar.

Layihə məhsulu “C3 Loqarifmik Bərabərsizliklər Həllləri” toplusu olacaq.

Fəsil 1. Ümumi məlumat

Bütün 16-cı əsrdə təxmini hesablamaların sayı, ilk növbədə, astronomiyada sürətlə artdı. Alətləri təkmilləşdirmək, planetlərin hərəkətlərini öyrənmək və digər işlər böyük, bəzən çoxillik hesablamalar tələb edirdi. Astronomiya reallaşdırılmamış hesablamalarda boğulmaq təhlükəsi ilə üz-üzə idi. Digər sahələrdə çətinliklər yarandı, məsələn, sığorta işində müxtəlif faiz dərəcələri üçün mürəkkəb faiz cədvəlləri lazım idi. Əsas çətinlik çoxrəqəmli ədədlərin, xüsusən də triqonometrik kəmiyyətlərin vurulması və bölünməsi idi.

Loqarifmlərin kəşfi 16-cı əsrin sonlarında yaxşı məlum olan irəliləmələrin xüsusiyyətlərinə əsaslanırdı. Həndəsi proqresiyanın q, q2, q3, ... həddləri arasındakı əlaqə haqqında və arifmetik irəliləyiş onların göstəriciləri 1, 2, 3,... Arximed özünün “Zəbur”unda danışmışdır. Digər ilkin şərt dərəcə anlayışının mənfi və kəsr göstəricilərinə qədər genişlənməsi idi. Bir çox müəlliflər qeyd etmişlər ki, həndəsi proqresiyada vurma, bölmə, eksponentasiya və kök çıxarma arifmetikada uyğun gəlir - eyni ardıcıllıqla - toplama, çıxma, vurma və bölmə.

Burada loqarifmin eksponent kimi ideyası var idi.

Loqarifmlər doktrinasının inkişaf tarixində bir neçə mərhələ keçmişdir.

Mərhələ 1

Loqarifmlər 1594-cü ildən gec olmayaraq müstəqil olaraq Şotlandiya baronu Napier (1550-1617) və on il sonra İsveçrə mexaniki Bürgi (1552-1632) tərəfindən icad edilmişdir. Hər ikisi bu problemə müxtəlif yollarla yanaşsalar da, arifmetik hesablamalar üçün yeni, rahat vasitə təqdim etmək istəyirdilər. Napier loqarifmik funksiyanı kinematik şəkildə ifadə etdi və bununla da funksiyalar nəzəriyyəsinin yeni sahəsinə daxil oldu. Bürgi diskret irəliləyişləri nəzərə almaq əsasında qaldı. Bununla belə, hər ikisi üçün loqarifmin tərifi müasir birinə bənzəmir. "Loqarifm" (loqarifm) termini Napierə aiddir. O, yunan sözlərinin birləşməsindən yaranmışdır: logos - "əlaqə" və ariqmo - "rəqəm", "münasibətlərin sayı" deməkdir. Əvvəlcə Napier fərqli bir termindən istifadə etdi: numeri artificiales - "süni ədədlər", numeri naturalts - "təbii ədədlər" dən fərqli olaraq.

1615-ci ildə Londondakı Qreş Kollecində riyaziyyat professoru Henri Briqqslə (1561-1631) söhbətində Napier sıfırı birin loqarifmi, 100-ü isə onluğun loqarifmi kimi qəbul etməyi təklif etdi. şey, sadəcə 1. Onluq loqarifmlər və ilk loqarifmik cədvəllər belə çap olundu. Daha sonra Briqqsin cədvəlləri hollandiyalı kitab satıcısı və riyaziyyat həvəskarı Adrian Flaccus (1600-1667) tərəfindən tamamlandı. Napier və Briggs, loqarifmə hamıdan tez gəlsələr də, öz cədvəllərini digərlərindən gec - 1620-ci ildə dərc etdilər. İşarələr jurnalı və Log 1624-cü ildə İ.Kepler tərəfindən təqdim edilmişdir. “Təbii loqarifm” termini 1659-cu ildə Menqoli, 1668-ci ildə isə N. Merkator tərəfindən təqdim edilmiş və London müəllimi Con Şpeidel “Yeni Loqarifmlər” adı altında 1-dən 1000-ə qədər olan ədədlərin natural loqarifmlərinin cədvəllərini nəşr etdirmişdir.

İlk loqarifmik cədvəllər 1703-cü ildə rus dilində nəşr edilmişdir. Lakin bütün loqarifmik cədvəllərdə hesablama xətaları var idi. İlk səhvsiz cədvəllər 1857-ci ildə Berlində Alman riyaziyyatçısı K.Bremiker (1804-1877) tərəfindən işlənmiş nəşr edilmişdir.

Mərhələ 2

Loqarifmlər nəzəriyyəsinin sonrakı inkişafı analitik həndəsə və sonsuz kiçik hesablamaların daha geniş tətbiqi ilə bağlıdır. O vaxta qədər bərabərtərəfli hiperbolanın kvadratı ilə natural loqarifm arasında əlaqə qurulmuşdu. Bu dövrün loqarifmlər nəzəriyyəsi bir sıra riyaziyyatçıların adı ilə bağlıdır.

Alman riyaziyyatçısı, astronomu və mühəndisi Nikolaus Mercator essedə

"Logarithmotechnics" (1668) ln(x+1)-in genişlənməsini verən bir sıra verir.

x-in səlahiyyətləri:

Bu ifadə onun düşüncə qatarına tam uyğun gəlir, baxmayaraq ki, o, əlbəttə ki, d, ... işarələrindən istifadə etmirdi, lakin daha çətin simvolizmdir. Loqarifmik sıraların kəşfi ilə loqarifmlərin hesablanması texnikası dəyişdi: onlar sonsuz sıralardan istifadə etməklə təyin olunmağa başladılar. F. Klein 1907-1908-ci illərdə verdiyi “Yüksək nöqteyi-nəzərdən elementar riyaziyyat” adlı mühazirələrində loqarifmlər nəzəriyyəsinin qurulması üçün başlanğıc nöqtəsi kimi düsturdan istifadə etməyi təklif etdi.

Mərhələ 3

Loqarifmik funksiyanın tərs funksiya kimi tərifi

eksponensial, verilmiş bazanın göstəricisi kimi loqarifm

dərhal tərtib edilməmişdir. Leonhard Euler tərəfindən esse (1707-1783)

"Sonsuz kiçiklərin təhlilinə giriş" (1748)

loqarifmik funksiyalar nəzəriyyəsinin inkişafı. Beləliklə,

Loqarifmlərin ilk tətbiqindən 134 il keçir

(1614-cü ildən hesablanır), riyaziyyatçılar tərifə gəlməzdən əvvəl

indi məktəb kursunun əsasını təşkil edən loqarifm anlayışı.

Fəsil 2. Loqarifmik bərabərsizliklərin toplanması

2.1. Ekvivalent keçidlər və intervalların ümumiləşdirilmiş üsulu.

Ekvivalent keçidlər

, a > 1 olarsa

, əgər 0 < а < 1

Ümumiləşdirilmiş interval metodu

Bu üsul demək olar ki, hər növ bərabərsizliklərin həlli üçün ən universaldır. Həll diaqramı belə görünür:

1. Bərabərsizliyi sol tərəfdəki funksiyanın olduğu formaya gətirin
, və sağda 0.

2. Funksiyanın oblastını tapın
.

3. Funksiyanın sıfırlarını tapın
, yəni tənliyi həll edin
(və tənliyi həll etmək adətən bərabərsizliyi həll etməkdən daha asandır).

4. Ədəd xəttində funksiyanın təyinetmə oblastını və sıfırlarını çəkin.

5. Funksiyanın əlamətlərini təyin edin
əldə edilmiş intervallar üzrə.

6. Funksiyanın tələb olunan dəyərləri qəbul etdiyi intervalları seçin və cavabı yazın.

Misal 1.

Həll:

Interval metodunu tətbiq edək

harada

Bu dəyərlər üçün loqarifmik işarələr altındakı bütün ifadələr müsbətdir.

Cavab:

Misal 2.

Həll:

1-ci yol . ADL bərabərsizliklə müəyyən edilir x> 3. Belələri üçün loqarifmlərin götürülməsi x 10-cu bazada alırıq

Son bərabərsizlik genişlənmə qaydalarını tətbiq etməklə həll edilə bilər, yəni. amilləri sıfırla müqayisə edir. Lakin bu halda funksiyanın sabit işarəsinin intervallarını təyin etmək asandır

buna görə də interval metodu tətbiq oluna bilər.

Funksiya f(x) = 2x(x- 3.5)lgǀ x- 3ǀ davamlıdır x> 3 və nöqtələrdə yox olur x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 = 4. Beləliklə, funksiyanın sabit işarəsinin intervallarını təyin edirik f(x):

Cavab:

2-ci üsul . İlkin bərabərsizliyə interval metodunun ideyalarını birbaşa tətbiq edək.

Bunu etmək üçün ifadələri xatırlayın a b- a c və ( a - 1)(b- 1) bir işarəsi var. Sonra bərabərsizliyimiz x> 3 bərabərsizliyə bərabərdir

və ya

Son bərabərsizlik interval üsulu ilə həll edilir

Cavab:

Misal 3.

Həll:

Interval metodunu tətbiq edək

Cavab:

Misal 4.

Həll:

2 ildən x 2 - 3x Bütün real üçün + 3 > 0 x, Bu

İkinci bərabərsizliyi həll etmək üçün interval metodundan istifadə edirik

Birinci bərabərsizlikdə əvəz edirik

onda biz 2y 2 bərabərsizliyinə gəlirik - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те y, bərabərsizliyini təmin edən -0,5< y < 1.

Haradan, çünki

bərabərsizliyini alırıq

hansı zaman həyata keçirilir x, bunun üçün 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

İndi sistemin ikinci bərabərsizliyinin həllini nəzərə alaraq nəhayət əldə edirik

Cavab:

Misal 5.

Həll:

Bərabərsizlik sistemlər toplusuna bərabərdir

və ya

interval metodundan istifadə edək və ya

Cavab verin:

Misal 6.

Həll:

Bərabərsizlik sistemə bərabərdir

Qoy

Sonra y > 0,

və birinci bərabərsizlik

sistemi forma alır

və ya açılır

kvadrat üçbucaqlı,

Son bərabərsizliyə interval metodunun tətbiqi,

onun həllərinin şərti qane etdiyini görürük y> 0 hamısı olacaq y > 4.

Beləliklə, ilkin bərabərsizlik sistemə ekvivalentdir:

Beləliklə, bərabərsizliyin həlli yolları hamısıdır

2.2. Rasionallaşdırma üsulu.

Əvvəllər bərabərsizlik səmərələşdirmə üsulu ilə həll edilmirdi, məlum deyildi. Bu "yeni müasir" təsirli üsul eksponensial və loqarifmik bərabərsizliklərin həlli” (S.I.Kolesnikovanın kitabından sitat)
Müəllim onu ​​tanısa da, qorxu var idi - Vahid Dövlət İmtahan eksperti onu tanıyırmı və niyə məktəbdə vermirlər? Müəllimin tələbəyə: "Bunu hardan almısan? Otur - 2" deyən vəziyyətlər olub.
İndi bu üsul hər yerdə təbliğ olunur. Mütəxəssislər üçün bu üsulla əlaqəli təlimatlar var və C3 Həllində “Standart Seçimlərin Ən Tam Nəşrləri...”ndə bu üsuldan istifadə olunur.
GÖZƏL ÜSUL!

"Sehrli masa"

Digər mənbələrdə

Əgər a >1 və b >1, sonra log a b >0 və (a -1)(b -1)>0;

Əgər a >1 və 0

əgər 0<a<1 и b >1, sonra a b daxil edin<0 и (a -1)(b -1)<0;

əgər 0<a<1 и 00 və (a -1)(b -1)>0.

Həyata keçirilən əsaslandırma sadədir, lakin loqarifmik bərabərsizliklərin həllini əhəmiyyətli dərəcədə asanlaşdırır.

Misal 4.

log x (x 2 -3)<0

Həll:

Misal 5.

log 2 x (2x 2 -4x +6)≤log 2 x (x 2 +x )

Həll:

Cavab verin. (0; 0,5)U.

Misal 6.

Bu bərabərsizliyi həll etmək üçün məxrəc yerinə (x-1-1)(x-1), pay yerinə isə (x-1)(x-3-9 + x) hasilini yazırıq.

Cavab verin : (3;6)

Misal 7.

Misal 8.

2.3. Qeyri-standart əvəzetmə.

Misal 1.

Misal 2.

Misal 3.

Misal 4.

Misal 5.

Misal 6.

Misal 7.

log 4 (3 x -1)log 0.25

y=3 x -1 əvəzini edək; onda bu bərabərsizlik şəklini alacaq

Log 4 log 0.25
.

Çünki log 0.25 = -log 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , onda sonuncu bərabərsizliyi 2log 4 y -log 4 2 y ≤ şəklində yenidən yazırıq.

t =log 4 y əvəzini edək və həlli intervalları olan t 2 -2t +≥0 bərabərsizliyini alaq. .

Beləliklə, y-nin dəyərlərini tapmaq üçün iki sadə bərabərsizlik çoxluğu var
Bu çoxluğun həlli 0 intervallarıdır<у≤2 и 8≤у<+.

Beləliklə, ilkin bərabərsizlik iki eksponensial bərabərsizlik çoxluğuna bərabərdir,
yəni aqreqatlar

Bu çoxluğun birinci bərabərsizliyinin həlli 0 intervalıdır<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+. Beləliklə, 0 intervalından x-in bütün qiymətləri üçün orijinal bərabərsizlik təmin edilir<х≤1 и 2≤х<+.

Misal 8.

Həll:

Bərabərsizlik sistemə bərabərdir

ODZ-ni təyin edən ikinci bərabərsizliyin həlli onların çoxluğu olacaqdır x,

hansı üçün x > 0.

Birinci bərabərsizliyi həll etmək üçün əvəzetmə aparırıq

Sonra bərabərsizliyi alırıq

və ya

Son bərabərsizliyin həlli çoxluğu üsulla tapılır

intervallar: -1< t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной x, alırıq

və ya

Çoxları x, sonuncu bərabərsizliyi təmin edən

ODZ-yə aiddir ( x> 0), buna görə də sistemin həllidir,

və deməli, ilkin bərabərsizlik.

Cavab:

2.4. Tələlərlə tapşırıqlar.

Misal 1.

.

Həll. Bərabərsizliyin ODZ-i 0 şərtini ödəyən bütün x-dir . Beləliklə, bütün x 0 intervalındandır

Misal 2.

log 2 (2 x +1-x 2)>log 2 (2 x-1 +1-x)+1.. ? Məsələ ondadır ki, ikinci rəqəm açıq-aydın ondan böyükdür

Nəticə

Çoxlu sayda müxtəlif təhsil mənbələrindən C3 problemlərinin həlli üçün xüsusi üsullar tapmaq asan deyildi. Görülən işlərin gedişində mürəkkəb loqarifmik bərabərsizliklərin həllinin qeyri-standart üsullarını öyrənə bildim. Bunlar: ekvivalent keçidlər və ümumiləşdirilmiş intervallar üsulu, rasionallaşdırma üsulu , qeyri-standart əvəzetmə , ODZ-də tələlərlə tapşırıqlar. Bu üsullar məktəb proqramına daxil edilməyib.

Müxtəlif üsullardan istifadə edərək, C hissəsində, yəni C3-də Vahid Dövlət İmtahanında təklif olunan 27 bərabərsizliyi həll etdim. Metodlarla həll edilən bu bərabərsizliklər fəaliyyətimin layihə məhsulu olan “C3 Həlllərlə Loqarifmik Bərabərsizliklər” toplusunun əsasını təşkil etdi. Layihənin əvvəlində irəli sürdüyüm fərziyyə təsdiqləndi: C3 problemləri bu üsulları bilsəniz effektiv şəkildə həll edilə bilər.

Bundan əlavə, loqarifmlər haqqında maraqlı faktlar kəşf etdim. Bunu etmək mənim üçün maraqlı idi. Layihə məhsullarım həm tələbələr, həm də müəllimlər üçün faydalı olacaq.

Nəticələr:

Beləliklə, layihənin məqsədinə nail olunub və problem həll olunub. Və işin bütün mərhələlərində layihə fəaliyyətinin ən dolğun və müxtəlif təcrübəsini aldım. Layihə üzərində işləyərkən əsas inkişaf təsirim zehni kompetensiyaya, məntiqi zehni əməliyyatlarla bağlı fəaliyyətlərə, yaradıcı səriştəliliyin, şəxsi təşəbbüsün, məsuliyyətin, əzmkarlığın, fəallığın inkişafı olmuşdur.

Tədqiqat layihəsi yaratarkən uğurun qarantiyası Mən əldə etdim: əhəmiyyətli məktəb təcrübəsi, müxtəlif mənbələrdən məlumat əldə etmək, etibarlılığını yoxlamaq və əhəmiyyətinə görə sıralamaq bacarığı.

Riyaziyyatdan birbaşa fənn bilikləri ilə yanaşı, informatika sahəsində praktik bacarıqlarımı genişləndirdim, psixologiya sahəsində yeni bilik və təcrübə qazandım, sinif yoldaşları ilə əlaqə qurdum, böyüklərlə əməkdaşlıq etməyi öyrəndim. Layihə fəaliyyətləri zamanı təşkilatçılıq, intellektual və kommunikativ ümumi təhsil bacarıqları inkişaf etdirildi.

Ədəbiyyat

1. Koryanov A. G., Prokofyev A. A. Bir dəyişənli bərabərsizliklər sistemləri (standart tapşırıqlar C3).

2. Malkova A. G. Riyaziyyatdan Vahid Dövlət İmtahanına Hazırlıq.

3. Samarova S. S. Loqarifmik bərabərsizliklərin həlli.

4. Riyaziyyat. Təlim işləri toplusu A.L. Semenov və I.V. Yaşçenko. -M.: MTsNMO, 2009. - 72 s.-

Məqalə 2017-ci il üçün riyaziyyat üzrə Vahid Dövlət İmtahanı profilindən 15-ci tapşırıqların təhlilinə həsr edilmişdir. Bu tapşırıqda məktəblilərdən bərabərsizlikləri, çox vaxt loqarifmik olanları həll etmələri xahiş olunur. Baxmayaraq ki, göstəricilər ola bilər. Bu məqalə loqarifmik bərabərsizliklərin, o cümlədən loqarifmin bazasında dəyişən olanların nümunələrinin təhlilini təqdim edir. Bütün nümunələr riyaziyyat (profil) üzrə Vahid Dövlət İmtahan tapşırıqlarının açıq bankından götürülmüşdür, buna görə də bu cür bərabərsizliklərə imtahanda 15-ci tapşırıq kimi rast gəlmək ehtimalı var. İkinci hissədən 15-ci tapşırığı həll etməyi öyrənmək istəyənlər üçün idealdır. imtahanda daha çox qiymət almaq üçün qısa müddət ərzində riyaziyyatdan profil Vahid Dövlət İmtahanı.

Riyaziyyatdan Vahid Dövlət İmtahanı profilindən 15-ci tapşırıqların təhlili

Misal 1. Bərabərsizliyi həll edin:

Riyaziyyat üzrə Vahid Dövlət İmtahanının 15-ci tapşırıqlarında (profil) tez-tez loqarifmik bərabərsizliklərə rast gəlinir. Loqarifmik bərabərsizliklərin həlli məqbul qiymətlər diapazonunun müəyyən edilməsi ilə başlayır. Bu zaman hər iki loqarifmin bazasında dəyişən yoxdur, yalnız 11 rəqəmi var ki, bu da məsələni xeyli asanlaşdırır. Beləliklə, burada yeganə məhdudiyyətimiz loqarifm işarəsi altındakı hər iki ifadənin müsbət olmasıdır:

Başlıq="QuickLaTeX.com tərəfindən göstərilmişdir">!}

Sistemdəki birinci bərabərsizlik kvadratik bərabərsizlikdir. Bunu həll etmək üçün, həqiqətən, sol tərəfi faktorlara ayırmaq istərdik. Düşünürəm ki, formanın hər hansı kvadrat trinomial olduğunu bilirsiniz aşağıdakı kimi faktorlara bölünür:

harada və tənliyin kökləridir. Bu halda əmsal 1-dir (bu, qarşısındakı ədədi əmsaldır). Əmsal da 1-ə bərabərdir, əmsal isə dummy termindir, -20-yə bərabərdir. Üçbucaqlının kökləri Vyeta teoremindən istifadə etməklə asanlıqla müəyyən edilir. Verdiyimiz tənlik o deməkdir ki, köklərin cəmi əks işarəli əmsala, yəni -1, bu köklərin hasili isə əmsala, yəni -20-yə bərabər olacaqdır. Köklərin -5 və 4 olacağını təxmin etmək asandır.

İndi bərabərsizliyin sol tərəfi faktorlara bölünə bilər: title="QuickLaTeX.com tərəfindən göstərilmişdir)" height="20" width="163" style="vertical-align: -5px;"> Решаем это неравенство. График соответствующей функции — это парабола, ветви которой направлены вверх. Эта парабола пересекает ось !} X-5 və 4 nöqtələrində. Bu o deməkdir ki, bərabərsizliyin tələb olunan həlli intervaldır. Burada yazılanları başa düşməyənlər üçün bu dəqiqədən başlayaraq videoda təfərrüatlara baxa bilərsiniz. Orada sistemin ikinci bərabərsizliyinin necə həll olunduğuna dair ətraflı izahat da tapa bilərsiniz. Həll olunur. Üstəlik, cavab sistemin birinci bərabərsizliyi ilə tamamilə eynidir. Yəni yuxarıda yazılmış çoxluq bərabərsizliyin icazə verilən dəyərlərinin bölgəsidir.

Beləliklə, faktorizasiyanı nəzərə alaraq, orijinal bərabərsizlik formasını alır:

Düsturdan istifadə edərək, birinci loqarifmin işarəsi altındakı ifadənin gücünə 11 əlavə edirik və ikinci loqarifmanı bərabərsizliyin sol tərəfinə köçürür, işarəsini əksinə dəyişirik:

Azaltmadan sonra əldə edirik:

Sonuncu bərabərsizlik, funksiyanın artması ilə əlaqədar olaraq, bərabərsizliyə bərabərdir , kimin həlli intervaldır . Qalan yeganə şey onu bərabərsizliyin məqbul dəyərləri bölgəsi ilə kəsməkdir və bu, bütün tapşırığın cavabı olacaqdır.

Beləliklə, tapşırığa tələb olunan cavab belə görünür:

Bu tapşırığı yerinə yetirdik, indi riyaziyyat üzrə Vahid Dövlət İmtahanının 15-ci tapşırığının növbəti nümunəsinə keçirik (profil).

Misal 2. Bərabərsizliyi həll edin:

Bu bərabərsizliyin məqbul dəyərlərinin diapazonunu təyin etməklə həllə başlayırıq. Hər loqarifmin əsasında 1-ə bərabər olmayan müsbət ədəd olmalıdır. Loqarifmin işarəsi altında olan bütün ifadələr müsbət olmalıdır. Kəsrin məxrəcində sıfır olmamalıdır. Son şərt ona bərabərdir ki, yalnız əks halda məxrəcdəki hər iki loqarifm yox olur. Bütün bu şərtlər aşağıdakı bərabərsizliklər sistemi ilə verilən bu bərabərsizliyin icazə verilən dəyərlərinin diapazonunu müəyyənləşdirir:

Başlıq="QuickLaTeX.com tərəfindən göstərilmişdir">!}

Məqbul dəyərlər diapazonunda bərabərsizliyin sol tərəfini sadələşdirmək üçün loqarifmə çevirmə düsturlarından istifadə edə bilərik. Formuladan istifadə məxrəcdən xilas oluruq:

İndi yalnız bazası olan loqarifmlərimiz var. Bu artıq daha rahatdır. Sonra, şöhrətə layiq ifadəni aşağıdakı formaya gətirmək üçün düsturdan və həmçinin düsturdan istifadə edirik:

Hesablamalarda məqbul dəyərlər aralığında olanlardan istifadə etdik. Əvəzetmədən istifadə edərək ifadəyə gəlirik:

Daha bir əvəz istifadə edək: . Nəticədə aşağıdakı nəticəyə gəlirik:

Beləliklə, biz tədricən orijinal dəyişənlərə qayıdırıq. Əvvəlcə dəyişənə: