Priprema za Jedinstveni državni ispit. Rješavanje logaritamskih i eksponencijalnih nejednačina metodom racionalizacije. Manovskaya rad "logaritamske nejednakosti na Jedinstvenom državnom ispitu" Jedinstveni državni ispitni profil rješenje logaritamskih nejednakosti

Odjeljci: Matematika

Često, prilikom odlučivanja logaritamske nejednakosti, postoje problemi s promjenljivom bazom logaritma. Dakle, nejednakost oblika

je standardna školska nejednakost. U pravilu, da bi se to riješilo, koristi se prijelaz na ekvivalentni skup sistema:

Nedostatak ove metode je potreba da se riješi sedam nejednakosti, ne računajući dva sistema i jednu populaciju. Već s ovim kvadratnim funkcijama, rješavanje populacije može potrajati dosta vremena.

Moguće je predložiti alternativni, manje dugotrajan način rješavanja ove standardne nejednakosti. Da bismo to učinili, uzimamo u obzir sljedeću teoremu.

Teorema 1. Neka postoji kontinuirana rastuća funkcija na skupu X. Tada će se na tom skupu znak prirasta funkcije poklapati sa predznakom prirasta argumenta, tj. , Gdje .

Napomena: ako je kontinuirana opadajuća funkcija na skupu X, onda .

Vratimo se nejednakosti. Prijeđimo na decimalni logaritam (možete prijeći na bilo koji s konstantnom bazom većom od jedan).

Sada možete koristiti teoremu, primjećujući povećanje funkcija u brojniku i u nazivniku. Dakle, istina je

Kao rezultat toga, broj proračuna koji dovode do odgovora se smanjuje za otprilike polovicu, što štedi ne samo vrijeme, već vam omogućava i potencijalno manje aritmetičkih i nemarnih grešaka.

Primjer 1.

Upoređujući sa (1) nalazimo , , .

Prelazeći na (2) imaćemo:

Primjer 2.

Uspoređujući sa (1) nalazimo , , .

Prelazeći na (2) imaćemo:

Primjer 3.

Budući da je lijeva strana nejednakosti rastuća funkcija kao i , onda će odgovor biti mnogo.

Mnogi primjeri u kojima se može primijeniti Tema 1 mogu se lako proširiti uzimanjem u obzir Teme 2.

Pustite na set X definirane su funkcije , , , i na ovom skupu se predznaci i poklapaju, tj. , onda će biti pošteno.

Primjer 4.

Primjer 5.

Standardnim pristupom, primjer se rješava prema sljedećoj shemi: proizvod je manji od nule kada su faktori različitih predznaka. One. razmatra se skup od dva sistema nejednakosti, u kojima se, kao što je naznačeno na početku, svaka nejednakost raspada na još sedam.

Ako uzmemo u obzir teoremu 2, onda se svaki od faktora, uzimajući u obzir (2), može zamijeniti drugom funkcijom koja ima isti predznak u ovom primjeru O.D.Z.

Metoda zamjene prirasta funkcije inkrementom argumenta, uzimajući u obzir teoremu 2, pokazuje se vrlo zgodnom kada se rješavaju standardni C3 problemi objedinjenog državnog ispita.

Primjer 6.

Primjer 7.

. Označimo . Dobijamo

. Imajte na umu da zamjena podrazumijeva: . Vraćajući se na jednačinu, dobijamo .

Primjer 8.

U teoremama koje koristimo nema ograničenja na klase funkcija. U ovom članku, kao primjer, teoreme su primijenjene na rješavanje logaritamskih nejednačina. Sljedećih nekoliko primjera će pokazati obećanje metode za rješavanje drugih vrsta nejednakosti.

LOGARITAMSKE NEJEDNAKOSTI U UPOTREBI

Sečin Mihail Aleksandrovič

Mala akademija nauka za studente Republike Kazahstan “Iskatel”

MBOU "Sovetskaya Srednja škola br. 1", 11. razred, grad. Sovetsky Sovetsky okrug

Gunko Ljudmila Dmitrijevna, učiteljica opštinske budžetske obrazovne ustanove „Sovetskaya srednja škola br. 1“

Sovetsky okrug

Cilj rada: proučavanje mehanizma za rješavanje logaritamskih nejednačina C3 nestandardnim metodama, identifikacija zanimljivosti logaritam

Predmet studija:

3) Naučiti rješavati specifične logaritamske nejednačine C3 koristeći nestandardne metode.

Rezultati:

Sadržaj

Uvod………………………………………………………………………………………………….4

Poglavlje 1. Istorijat izdanja…………………………………………………………5

Poglavlje 2. Zbirka logaritamskih nejednačina ………………………… 7

2.1. Ekvivalentni prijelazi i generalizirana metoda intervala…………… 7

2.2. Metoda racionalizacije………………………………………………………………………… 15

2.3. Nestandardna zamjena ................................................................ ............ ..... 22

2.4. Zadaci sa zamkama……………………………………………………27

Zaključak…………………………………………………………………………………………… 30

Književnost…………………………………………………………………………………. 31

Uvod

Ja sam 11. razred i planiram da upišem fakultet gdje je osnovni predmet matematika. Zbog toga mnogo radim sa problemima u dijelu C. U zadatku C3 trebam riješiti nestandardnu ​​nejednakost ili sistem nejednakosti, koji se obično odnosi na logaritme. Pripremajući se za ispit, susreo sam se s problemom nedostatka metoda i tehnika za rješavanje ispitnih logaritamskih nejednakosti ponuđenih u C3. Metode koje se izučavaju u školskom programu na ovu temu ne daju osnovu za rješavanje C3 zadataka. Nastavnica matematike mi je predložila da samostalno radim C3 zadatke pod njenim vodstvom. Osim toga, zanimalo me je pitanje: da li se u životu susrećemo s logaritmima?

Imajući to na umu, odabrana je tema:

“Logaritmske nejednakosti na Jedinstvenom državnom ispitu”

Cilj rada: proučavanje mehanizma za rješavanje C3 problema korištenjem nestandardnih metoda, identifikujući zanimljive činjenice o logaritmu.

Predmet studija:

1) Pronađite potrebne informacije o nestandardnim metodama za rješavanje logaritamskih nejednačina.

2) Pronađite dodatne informacije o logaritmima.

3) Naučite rješavati specifične C3 probleme koristeći nestandardne metode.

Rezultati:

Praktični značaj leži u proširenju aparata za rješavanje C3 problema. Ovaj materijal se može koristiti na nekim časovima, za klupske i izborne časove matematike.

Proizvod projekta će biti zbirka „C3 Logaritamske nejednakosti sa rješenjima“.

Poglavlje 1. Pozadina

Tokom 16. vijeka, broj približnih proračuna se brzo povećavao, prvenstveno u astronomiji. Poboljšanje instrumenata, proučavanje kretanja planeta i drugi poslovi zahtijevali su kolosalne, ponekad višegodišnje, proračune. Astronomija je bila u stvarnoj opasnosti da se utopi u neispunjenim proračunima. Poteškoće su se pojavile u drugim oblastima, na primjer, u poslovima osiguranja, bile su potrebne tabele složenih kamata za različite kamatne stope. Glavna poteškoća bilo je množenje i dijeljenje višecifrenih brojeva, posebno trigonometrijskih veličina.

Otkriće logaritama zasnivalo se na svojstvima progresija koje su bile dobro poznate do kraja 16. veka. O vezi između članova geometrijske progresije q, q2, q3, ... i aritmetička progresija njihovi pokazatelji su 1, 2, 3,... Arhimed je govorio u svom “Psalmitisu”. Drugi preduvjet je bio proširenje koncepta stepena na negativne i razlomke. Mnogi autori su istakli da množenje, dijeljenje, eksponencijacija i vađenje korijena u geometrijskoj progresiji odgovaraju u aritmetici - istim redoslijedom - sabiranju, oduzimanju, množenju i dijeljenju.

Ovdje je bila ideja o logaritmu kao eksponentu.

U istoriji razvoja doktrine logaritma prošlo je nekoliko faza.

Faza 1

Logaritme su izumili najkasnije 1594. nezavisno škotski baron Napier (1550-1617), a deset godina kasnije švajcarski mehaničar Bürgi (1552-1632). Obojica su željeli da pruže novo, pogodno sredstvo za aritmetička izračunavanja, iako su ovom problemu pristupili na različite načine. Napier je kinematički izrazio logaritamsku funkciju i time ušao u novo polje teorije funkcija. Bürgi je ostao na bazi razmatranja diskretnih progresija. Međutim, definicija logaritma za oba nije slična modernoj. Izraz "logaritam" (logaritam) pripada Napieru. Nastao je iz kombinacije grčkih riječi: logos - "odnos" i ariqmo - "broj", što je značilo "broj odnosa". U početku je Napier koristio drugačiji termin: numeri artificiales - "umjetni brojevi", za razliku od numeri naturalts - "prirodni brojevi".

Godine 1615., u razgovoru s Henryjem Briggsom (1561-1631), profesorom matematike na Gresh koledžu u Londonu, Napier je predložio da se nula uzme kao logaritam od jedan, a 100 kao logaritam od deset, ili, što znači isto stvar, samo 1. Ovako su štampani decimalni logaritmi i prve logaritamske tablice. Kasnije je Briggsove tabele dopunio holandski knjižar i zaljubljenik u matematiku Adrian Flaccus (1600-1667). Napier i Briggs, iako su došli do logaritma ranije od svih ostalih, objavili su svoje tabele kasnije od ostalih - 1620. godine. Znakove log i log uveo je 1624. I. Kepler. Termin “prirodni logaritam” uveo je Mengoli 1659. godine, a zatim N. Mercator 1668. godine, a londonski učitelj John Speidel objavio je tabele prirodnih logaritama brojeva od 1 do 1000 pod nazivom “Novi logaritmi”.

Prve logaritamske tablice objavljene su na ruskom jeziku 1703. godine. Ali u svim logaritamskim tablicama bilo je grešaka u proračunu. Prve tabele bez grešaka objavljene su 1857. u Berlinu, obradio ih je njemački matematičar K. Bremiker (1804-1877).

Faza 2

Dalji razvoj teorije logaritama povezan je sa širom primjenom analitičke geometrije i infinitezimalnog računa. Do tada je uspostavljena veza između kvadrature jednakostranične hiperbole i prirodnog logaritma. Teorija logaritama ovog perioda povezana je sa imenima brojnih matematičara.

Njemački matematičar, astronom i inženjer Nikolaus Mercator u eseju

"Logarithmotechnics" (1668) daje niz koji daje ekspanziju ln(x+1) u

moći x:

Ovaj izraz tačno odgovara njegovom toku misli, iako, naravno, nije koristio znakove d, ..., već glomazniji simbolizam. Sa otkrićem logaritamskih nizova, tehnika izračunavanja logaritama se promijenila: počeli su se određivati ​​pomoću beskonačnih nizova. U svojim predavanjima „Elementarna matematika sa višeg stanovišta“, održanim 1907-1908, F. Klajn je predložio korišćenje formule kao polazne tačke za konstruisanje teorije logaritama.

Faza 3

Definicija logaritamske funkcije kao inverzne funkcije

eksponencijalni, logaritam kao eksponent date baze

nije formulisano odmah. Esej Leonharda Ojlera (1707-1783)

"Uvod u analizu infinitezimima" (1748) poslužio je daljem

razvoj teorije logaritamskih funkcija. dakle,

Prošle su 134 godine od kada su prvi put uvedeni logaritmi

(računajući od 1614. godine), prije nego što su matematičari došli do definicije

koncept logaritma, koji je sada osnova školskog predmeta.

Poglavlje 2. Zbirka logaritamskih nejednakosti

2.1. Ekvivalentni prijelazi i generalizirana metoda intervala.

Ekvivalentni prelazi

, ako je a > 1

, ako je 0 < а < 1

Metoda generaliziranog intervala

Ova metoda je najuniverzalnija za rješavanje nejednakosti gotovo bilo kojeg tipa. Dijagram rješenja izgleda ovako:

1. Dovedite nejednakost u oblik gdje je funkcija na lijevoj strani
, a na desnoj strani 0.

2. Pronađite domenu funkcije
.

3. Pronađite nule funkcije
, odnosno riješiti jednačinu
(a rješavanje jednadžbe je obično lakše nego rješavanje nejednačine).

4. Nacrtajte domen definicije i nule funkcije na brojevnoj pravoj.

5. Odredite znakove funkcije
na dobijenim intervalima.

6. Odaberite intervale u kojima funkcija uzima tražene vrijednosti i zapišite odgovor.

Primjer 1.

Rješenje:

Primijenimo metodu intervala

gdje

Za ove vrijednosti, svi izrazi pod logaritamskim predznacima su pozitivni.

odgovor:

Primjer 2.

Rješenje:

1st način . ADL je određen nejednakošću x> 3. Uzimanje logaritma za takve x u bazi 10, dobijamo

Posljednja nejednakost bi se mogla riješiti primjenom pravila ekspanzije, tj. poređenje faktora sa nulom. Međutim, u ovom slučaju je lako odrediti intervale konstantnog predznaka funkcije

stoga se može primijeniti intervalna metoda.

Funkcija f(x) = 2x(x- 3.5)lgǀ x- 3ǀ je kontinuirano na x> 3 i nestaje u tačkama x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 = 4. Dakle, određujemo intervale konstantnog predznaka funkcije f(x):

odgovor:

2. metoda . Hajde da direktno primenimo ideje intervalne metode na originalnu nejednakost.

Da biste to učinili, podsjetite da su izrazi a b- a c i ( a - 1)(b- 1) imaju jedan znak. Zatim naša nejednakost u x> 3 je ekvivalentno nejednakosti

ili

Posljednja nejednakost rješava se metodom intervala

odgovor:

Primjer 3.

Rješenje:

Primijenimo metodu intervala

odgovor:

Primjer 4.

Rješenje:

Od 2 x 2 - 3x+ 3 > 0 za sve realne x, To

Za rješavanje druge nejednakosti koristimo metodu intervala

U prvoj nejednakosti vršimo zamjenu

onda dolazimo do nejednakosti 2y 2 - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те y, koji zadovoljavaju nejednakost -0,5< y < 1.

Odakle, jer

dobijamo nejednakost

koji se sprovodi kada x, za koje 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

Sada, uzimajući u obzir rješenje druge nejednakosti sistema, konačno dobijamo

odgovor:

Primjer 5.

Rješenje:

Nejednakost je ekvivalentna skupu sistema

ili

Koristimo metodu intervala ili

Odgovori:

Primjer 6.

Rješenje:

Sistem nejednakosti jednakosti

Neka

Onda y > 0,

i prva nejednakost

sistem poprima oblik

ili, odvijanje

kvadratni trinom faktorisan,

Primjenom intervalne metode na posljednju nejednakost,

vidimo da njegova rješenja zadovoljavaju uslov y> 0 će biti sve y > 4.

Dakle, originalna nejednakost je ekvivalentna sistemu:

Dakle, rješenja za nejednakost su sva

2.2. Metoda racionalizacije.

Ranije se nejednakost nije rješavala metodom racionalizacije, nije bila poznata. Ovo je "nova moderna" efikasan metod rješenja eksponencijalnih i logaritamskih nejednakosti" (citat iz knjige S.I. Kolesnikove)
A čak i da ga je učiteljica poznavala, postojao je strah - poznaje li ga stručnjak za Jedinstveni državni ispit i zašto ga ne daju u školi? Bilo je situacija kada je nastavnik rekao učeniku: "Odakle ti to? Sedi - 2."
Sada se metoda svuda promoviše. A za stručnjake postoje smjernice povezane s ovom metodom, a u “Najpotpunijim izdanjima standardnih opcija...” u Rješenju C3 koristi se ova metoda.
DIVNA METODA!

"Čarobni sto"

U drugim izvorima

Ako a >1 i b >1, zatim log a b >0 i (a -1)(b -1)>0;

Ako a >1 i 0

ako je 0<a<1 и b >1, zatim log a b<0 и (a -1)(b -1)<0;

ako je 0<a<1 и 00 i (a -1)(b -1)>0.

Provedeno rezonovanje je jednostavno, ali značajno pojednostavljuje rješenje logaritamskih nejednačina.

Primjer 4.

log x (x 2 -3)<0

Rješenje:

Primjer 5.

log 2 x (2x 2 -4x +6)≤log 2 x (x 2 +x )

Rješenje:

Odgovori. (0; 0,5)U.

Primjer 6.

Za rješavanje ove nejednakosti umjesto nazivnika pišemo (x-1-1)(x-1), a umjesto brojnika pišemo proizvod (x-1)(x-3-9 + x).

Odgovori : (3;6)

Primjer 7.

Primjer 8.

2.3. Nestandardna zamjena.

Primjer 1.

Primjer 2.

Primjer 3.

Primjer 4.

Primjer 5.

Primjer 6.

Primjer 7.

log 4 (3 x -1)log 0,25

Napravimo zamjenu y=3 x -1; tada će ova nejednakost dobiti oblik

Log 4 log 0,25
.

Jer log 0,25 = -log 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , tada ćemo posljednju nejednakost prepisati kao 2log 4 y -log 4 2 y ≤.

Napravimo zamjenu t =log 4 y i dobijemo nejednakost t 2 -2t +≥0, čije su rješenje intervali - .

Dakle, da bismo pronašli vrijednosti y imamo skup od dvije jednostavne nejednakosti
Rješenje ovog skupa su intervali 0<у≤2 и 8≤у<+.

Prema tome, originalna nejednakost je ekvivalentna skupu dvije eksponencijalne nejednakosti,
odnosno agregati

Rješenje prve nejednakosti ovog skupa je interval 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+. Dakle, originalna nejednakost je zadovoljena za sve vrijednosti x iz intervala 0<х≤1 и 2≤х<+.

Primjer 8.

Rješenje:

Sistem nejednakosti jednakosti

Rješenje druge nejednakosti koja definira ODZ bit će skup njih x,

za koji x > 0.

Za rješavanje prve nejednakosti vršimo zamjenu

Tada dobijamo nejednakost

ili

Skup rješenja posljednje nejednačine nalazi se metodom

intervali: -1< t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной x, dobijamo

ili

Mnogo toga x, koji zadovoljavaju posljednju nejednakost

pripada ODZ-u ( x> 0), dakle, predstavlja rješenje sistema,

a time i originalna nejednakost.

odgovor:

2.4. Zadaci sa zamkama.

Primjer 1.

.

Rješenje. ODZ nejednakosti je sve x koji zadovoljava uslov 0 . Dakle, svi x su iz intervala 0

Primjer 2.

log 2 (2 x +1-x 2)>log 2 (2 x-1 +1-x)+1.. ? Poenta je da je drugi broj očigledno veći od

Zaključak

Nije bilo lako pronaći specifične metode za rješavanje C3 problema iz velikog broja različitih obrazovnih izvora. U toku obavljenog rada bio sam u mogućnosti da proučavam nestandardne metode za rješavanje složenih logaritamskih nejednačina. To su: ekvivalentni prelazi i generalizovana metoda intervala, metoda racionalizacije , nestandardna zamjena , zadaci sa zamkama na ODZ. Ove metode nisu uključene u školski program.

Različitim metodama riješio sam 27 nejednakosti predloženih na Jedinstvenom državnom ispitu u dijelu C, odnosno C3. Ove nejednakosti sa rješenjima po metodama činile su osnovu zbirke „C3 Logaritamske nejednakosti s rješenjima“, koja je postala projektni proizvod moje aktivnosti. Potvrđena je hipoteza koju sam postavio na početku projekta: C3 problemi se mogu efikasno riješiti ako poznajete ove metode.

Osim toga, otkrio sam zanimljive činjenice o logaritmima. Bilo mi je zanimljivo ovo raditi. Moji projektni proizvodi će biti korisni i studentima i nastavnicima.

Zaključci:

Time je cilj projekta postignut i problem riješen. I dobio sam najpotpunije i najraznovrsnije iskustvo projektnih aktivnosti u svim fazama rada. Tokom rada na projektu, moj glavni razvojni uticaj bio je na mentalnu kompetenciju, aktivnosti vezane za logičke mentalne operacije, razvoj kreativne kompetencije, lične inicijative, odgovornosti, istrajnosti i aktivnosti.

Garancija uspjeha pri izradi istraživačkog projekta za Stekao sam: značajno školsko iskustvo, sposobnost da dobijem informacije iz različitih izvora, provjerim njihovu pouzdanost i rangiram ih po važnosti.

Pored neposrednih predmetnih znanja iz matematike, proširio sam svoje praktične veštine u oblasti informatike, stekao nova znanja i iskustva iz oblasti psihologije, uspostavio kontakte sa kolegama iz razreda i naučio da sarađujem sa odraslima. Tokom projektnih aktivnosti razvijene su organizacione, intelektualne i komunikativne općeobrazovne vještine.

Književnost

1. Korjanov A. G., Prokofjev A. A. Sistemi nejednakosti sa jednom promenljivom (standardni zadaci C3).

2. Malkova A. G. Priprema za Jedinstveni državni ispit iz matematike.

3. Samarova S. S. Rješavanje logaritamskih nejednačina.

4. Matematika. Zbornik radova za obuku priredio A.L. Semenov i I.V. Yashchenko. -M.: MTsNMO, 2009. - 72 str.-

Članak je posvećen analizi zadataka 15 sa profila Jedinstveni državni ispit iz matematike za 2017. godinu. U ovom zadatku od školaraca se traži da riješe nejednačine, najčešće logaritamske. Iako možda ima indikativnih. Ovaj članak daje analizu primjera logaritamskih nejednakosti, uključujući one koje sadrže varijablu u bazi logaritma. Svi primjeri su preuzeti iz otvorene banke Jedinstvenih državnih ispitnih zadataka iz matematike (profil), tako da će se takve nejednakosti vjerovatno pojaviti na ispitu kao zadatak 15. Idealno za one koji žele naučiti rješavati zadatak 15 iz drugog dijela profila Jedinstveni državni ispit u kratkom roku iz matematike da dobijete više ocjena na ispitu.

Analiza zadataka 15 sa profila Jedinstveni državni ispit iz matematike

Primjer 1. Riješite nejednačinu:

U zadacima 15 Jedinstvenog državnog ispita iz matematike (profil) često se susreću logaritamske nejednakosti. Rješavanje logaritamskih nejednačina počinje određivanjem raspona prihvatljivih vrijednosti. U ovom slučaju nema varijable u osnovi oba logaritma, postoji samo broj 11, što uvelike pojednostavljuje problem. Dakle, jedino ograničenje koje imamo ovdje je da su oba izraza pod predznakom logaritma pozitivna:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Prva nejednakost u sistemu je kvadratna nejednakost. Da bismo to riješili, zaista bismo željeli faktorizirati lijevu stranu. Mislim da znate da je svaki kvadratni trinom oblika faktorizira se na sljedeći način:

gdje su i korijeni jednadžbe. U ovom slučaju, koeficijent je 1 (ovo je numerički koeficijent ispred ). Koeficijent je također jednak 1, a koeficijent je lažni pojam, jednak je -20. Korijene trinoma najlakše je odrediti pomoću Vietine teoreme. Jednačina koju smo dali znači da će zbir korijena biti jednak koeficijentu suprotnog predznaka, odnosno -1, a proizvod ovih korijena će biti jednak koeficijentu, odnosno -20. Lako je pretpostaviti da će korijeni biti -5 i 4.

Sada se lijeva strana nejednakosti može faktorizirati: title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="163" style="vertical-align: -5px;"> Решаем это неравенство. График соответствующей функции — это парабола, ветви которой направлены вверх. Эта парабола пересекает ось !} X u tačkama -5 i 4. To znači da je traženo rješenje nejednakosti interval . Za one koji ne razumiju šta je ovdje napisano, detalje možete pogledati u videu, počevši od ovog trenutka. Tamo ćete naći i detaljno objašnjenje kako se rješava druga nejednakost sistema. To se rješava. Štaviše, odgovor je potpuno isti kao i za prvu nejednakost sistema. Odnosno, gore napisani skup je područje dozvoljenih vrijednosti nejednakosti.

Dakle, uzimajući u obzir faktorizaciju, originalna nejednakost ima oblik:

Koristeći formulu, dodajemo 11 na stepen izraza pod znakom prvog logaritma, a drugi logaritam pomjeramo na lijevu stranu nejednakosti, mijenjajući njegov predznak u suprotan:

Nakon smanjenja dobijamo:

Posljednja nejednakost, zbog povećanja funkcije, je ekvivalentna nejednakosti , čije je rješenje interval . Ostaje samo da ga presječemo s područjem prihvatljivih vrijednosti nejednakosti, a to će biti odgovor na cijeli zadatak.

Dakle, traženi odgovor na zadatak izgleda ovako:

Bavili smo se ovim zadatkom, sada prelazimo na sljedeći primjer zadatka 15 Jedinstvenog državnog ispita iz matematike (profil).

Primjer 2. Riješite nejednačinu:

Rješenje započinjemo određivanjem raspona prihvatljivih vrijednosti ove nejednakosti. U osnovi svakog logaritma mora biti pozitivan broj koji nije jednak 1. Svi izrazi pod znakom logaritma moraju biti pozitivni. Imenilac razlomka ne smije sadržavati nulu. Posljednji uvjet je ekvivalentan činjenici da , jer samo inače oba logaritma u nazivniku nestaju. Svi ovi uslovi određuju raspon dozvoljenih vrijednosti ove nejednakosti, dat sljedećim sistemom nejednakosti:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

U rasponu prihvatljivih vrijednosti, možemo koristiti formule za konverziju logaritma da bismo pojednostavili lijevu stranu nejednakosti. Korištenje formule oslobađamo se imenioca:

Sada imamo samo logaritme sa bazom. Ovo je već zgodnije. Zatim koristimo formulu, a također i formulu kako bismo izraz vrijedan slave doveli u sljedeći oblik:

U proračunima smo koristili ono što je bilo u granicama prihvatljivih vrijednosti. Koristeći zamjenu dolazimo do izraza:

Upotrijebimo još jednu zamjenu: . Kao rezultat, dolazimo do sljedećeg rezultata:

Dakle, postepeno se vraćamo na originalne varijable. Prvo na varijablu: