آیا این مجموعه ها عناصر مشترکی دارند؟ عناصر نظریه مجموعه ها مجموعه اعداد پایه

1.1. مفاهیم و تعاریف اساسی نظریه مجموعه ها

هر مفهومی از ریاضیات گسسته را می توان با استفاده از مفهوم مجموعه تعریف کرد که یکی از مفاهیم اساسی است و اولین بار توسط ریاضیدان آلمانی G. Cantor فرموله شد.

زیر زیادبه عنوان هر مجموعه ای از اشیاء تعریف شده و قابل تمایز درک می شود که به عنوان یک کل واحد تصور می شود.

ما می توانیم در مورد مجموعه صندلی در یک اتاق، افراد ساکن در ورونژ، دانش آموزان در یک گروه، مجموعه اعداد طبیعی، حروف الفبا، حالت های سیستم و غیره صحبت کنیم. در عین حال، ما می توانیم فقط در مورد یک مجموعه صحبت کنیم. زمانی که عناصر مجموعه بین خودشان قابل تشخیص باشند. به عنوان مثال، شما نمی توانید در مورد تعداد زیادی قطره در یک لیوان آب صحبت کنید، زیرا غیرممکن است که به وضوح و واضح هر قطره را مشخص کنید.

اشیاء مجزا که یک مجموعه را تشکیل می دهند، عناصر مجموعه نامیده می شوند. بنابراین، عدد 3 عنصری از مجموعه اعداد طبیعی است و حرف b عنصری از مجموعه حروف الفبای روسی است.

نام کلی یک مجموعه یک جفت بریس فرفری ( ) است که در داخل آن عناصر مجموعه ذکر شده است. از حروف بزرگ مختلف برای نشان دادن مجموعه های خاص استفاده می شود آ, اس, ایکس... یا حروف بزرگ با زیرنویس آ 1 , آ 2. برای تعیین عناصر یک مجموعه به طور کلی از حروف کوچک مختلف استفاده می شود آ, س, ایکس... یا حروف کوچک با زیرنویس آ 1 , آ 2 ...

برای نشان دادن آن عنصر آ اس، از نماد عضویت مجموعه О استفاده می شود. رکورد آÎ اسبه این معنی است که عنصر آمتعلق به مجموعه است اس، و ورودی ایکسÏ اسبه این معنی است که عنصر ایکسمتعلق به مجموعه نیست اس. با ضبط ایکس 1 , ایکس 2 ,... ...,x nÎ اسبه عنوان مخفف برای نوشتن استفاده می شود ایکس 1 Î اس, ایکس 2 Î اس,..., x nÎ اس.

به عنوان یک قاعده، همه عناصر یک مجموعه متمایز فرض می شوند. مجموعه ای با عناصر تکرار شونده را چند مجموعه می گویند. چند مجموعه ها نقش مهمی در ترکیبات دارند. در ادامه مجموعه هایی با عناصر مختلف را در نظر خواهیم گرفت.

برای مجموعه های عددی از نماد زیر استفاده می کنیم:

- مجموعه ای از اعداد طبیعی، به عنوان مثال.

- مجموعه ای از اعداد صحیح، یعنی. = (0، ± 1، ± 2، ...)؛

– مجموعه ای از اعداد گویا، =( / \ , О ; ¹ 0);

- مجموعه ای از اعداد واقعی؛

- مجموعه ای از اعداد مختلط

مجموعه ها می توانند متناهی و بی نهایت باشند. به مجموعه ای محدود گفته می شود که تعداد عناصر آن متناهی باشد، یعنی اگر عدد طبیعی وجود داشته باشد n، که تعداد عناصر مجموعه است. مجموعه نامیده می شود بی پایان، اگر شامل بی نهایت عنصر باشد. تعداد عناصر یک مجموعه محدود نامیده می شود قدرتو = نشان داده می شود n، در صورت تنظیم ایکسشامل nعناصر.

یک مفهوم مهم در نظریه مجموعه ها، مفهوم مجموعه خالی است. یک مجموعه خالیمجموعه ای است که شامل یک عنصر واحد نیست. یک مجموعه خالی با نماد نشان داده می شود به عنوان مثال:

{ایکسÎ آر | ایکس 2 -ایکس+1=0}=

مفهوم مجموعه خالی نقش بسیار مهمی در تعریف مجموعه ها با استفاده از توضیحات دارد. بنابراین، بدون مفهوم مجموعه خالی، نمی‌توانیم درباره مجموعه عناصر متمایز یک گروه یا مجموعه ریشه‌های واقعی صحبت کنیم. معادله درجه دومبدون اینکه ابتدا مطمئن شوید که آیا اصلاً دانش آموزان ممتازی در این گروه وجود دارد یا اینکه آیا این معادله ریشه واقعی دارد یا خیر. معرفی یک مجموعه خالی به شما این امکان را می دهد که با آرامش کامل با دانش آموزان ممتاز در یک گروه بدون نگرانی در مورد اینکه آیا دانش آموزان ممتاز در گروه مورد نظر وجود دارد یا خیر، کار کنید. ما یک مجموعه خالی را به صورت مشروط به عنوان یک مجموعه محدود طبقه بندی می کنیم.

مجموعه ای که شامل تمام عناصر مورد نظر است نامیده می شود جهانییا کائناتو تعیین شده است U.

به منظور کار با مجموعه های خاص، باید بتوانید آنها را تعریف کنید. دو راه برای تعریف مجموعه ها وجود دارد: شمارش و توصیف. تعیین یک مجموعه با شمارش با برشمردن تمام عناصر تشکیل دهنده مجموعه مطابقت دارد. بنابراین، مجموعه دانش‌آموزان ممتاز در یک گروه را می‌توان با فهرست کردن دانش‌آموزان ممتاز، به عنوان مثال (ایوانف، پتروف، سیدوروف) مشخص کرد. برای کوتاه کردن ورودی ایکس={ایکس 1 , ایکس 2 , ...,x n) گاهی اوقات شاخص های زیادی معرفی می شود من={1, 2,..., n) و بنویس ایکس={x i}, منÎ من. این روش هنگام در نظر گرفتن مجموعه های محدود حاوی تعداد کمی از عناصر راحت است، اما گاهی اوقات می توان از آن برای تعیین مجموعه های بی نهایت نیز استفاده کرد، به عنوان مثال (2، 4، 6، 8...). طبیعتاً چنین نمادی در صورتی قابل اجرا است که کاملاً واضح باشد که منظور از بیضی چیست.

روش توصیفی برای تعیین یک مجموعه، نشان دادن یک ویژگی مشخصه است که همه عناصر مجموعه دارای آن هستند. این از علامت گذاری استفاده می کند

ایکس={ایکس | ایکسدارایی است س(ایکس)}.

عبارت داخل پرانتز می گوید: مجموعه همه عناصر ایکس، که دارای ملک هستند س(ایکس). بنابراین، اگر م- مجموعه ای از دانش آموزان در یک گروه، سپس یک مجموعه آدانش آموزان ممتاز این گروه در فرم نوشته خواهند شد آ={ایکسÎ م | ایکس- دانش آموز ممتاز گروه)،

که به شرح زیر است: مجموعه آاز عناصر تشکیل شده است ایکسمجموعه ها م، داشتن این خاصیت که ایکسشاگرد ممتاز گروه است.

در مواردی که هیچ شکی وجود ندارد که عناصر از کدام مجموعه گرفته شده است ایکس، نشانه وابستگی ایکسزیاد مشما مجبور نیستید آن را انجام دهید. در عین حال بسیاری آدر فرم نوشته خواهد شد

الف=( ایکس | ایکس- دانش آموز ممتاز گروه).

در اینجا چند نمونه از تعریف مجموعه ها با استفاده از روش توصیف آورده شده است: ( ایکس | ایکس- زوج) - مجموعه ای از اعداد زوج؛

{ایکس | ایکس 2 –1=0) – مجموعه (+1، –1).

اجازه دهید ز - مجموعه ای از اعداد صحیح سپس ( ایکسÎ ز | 0<ایکس 7 پوند) مجموعه (1، 2، 3، 4، 5، 6، 7) است.

مجموعه اعداد فرد را می توان به صورت ( ایکس| ایکس=2ک+1 برای برخی کÎ ز}.

روش تعریف یک مجموعه با استفاده از ویژگی ها مملو از خطرات است، زیرا ویژگی های مشخص شده "نادرست" می تواند منجر به تناقض شود. بیایید یکی از معمول ترین پارادوکس ها را ارائه کنیم - پارادوکس راسل. مجموعه همه مجموعه هایی را که عناصر خودشان نیستند در نظر بگیرید: . اجازه دهید اکنون بپرسیم که آیا مجموعه بهعنصر شما؟ اگر بهÎ به، سپس ویژگی تعیین کننده مجموعه باید برآورده شود به، یعنی بهÏ به، که منجر به تناقض می شود. اگر بهÏ به، سپس، از آنجایی که ویژگی تعریف می کند به، به این نتیجه می رسیم که بهÎ به، و این با این فرض در تضاد است. بنابراین، هر ویژگی به یک تعریف معنادار از یک مجموعه منجر نمی شود.

علاوه بر این، مجموعه را می توان با استفاده از یک تابع مشخصه مشخص کرد که مقادیر آن نشان می دهد که آیا (بله یا خیر) ایکسعنصر مجموعه ایکس :

توجه داشته باشید که برای هر عنصر = 0; = 1.

مثال. اجازه دهید در جهان U={a,b,c,d,e) مجموعه ای تعریف شده است ایکس={a,c,d)، سپس

برای مجموعه های دلخواه ایکسو Yدو نوع رابطه قابل تعریف است - رابطه برابری و رابطه شمول.

دو مجموعه اگر عناصر یکسانی داشته باشند برابر در نظر گرفته می شوند. عنوان پذیرفته شده ایکس=Y، اگر ایکسو Yبرابر هستند و ایکس Y- در غیر این صورت.

دیدن آن برای هر مجموعه ای آسان است ایکس, Y, زروابط معتبر است

از تعریف برابری مجموعه ها چنین بر می آید که ترتیب عناصر در یک مجموعه بی اهمیت است. بنابراین، برای مثال، مجموعه های (3، 4، 5، 6) و (4، 5، 6، 3) یک مجموعه را نشان می دهند.

اگر هر عنصر از مجموعه ایکسیک عنصر از مجموعه است Y، سپس آنها می گویند ایکسگنجانده شده است Yو نشان می دهد:

در این مورد می گویند که مجموعه ایکساست زیرمجموعهمجموعه ها Y. به خصوص ایکسو Yممکن است منطبق باشد، بنابراین به آن رابطه نیز می گویند گنجاندن غیر دقیقاجازه دهید به برخی از ویژگی های زیر مجموعه که از تعریف آن برمی آید توجه کنیم:

اگر و، پس آنها می گویند ایکسوجود دارد زیر مجموعه مناسب Yو نشان می دهد، رابطه بین مجموعه ها در این حالت رابطه نامیده می شود گنجاندن غیر دقیقبرای رابطه شمول دقیق درست است

شامل یک زیر مجموعه نیست ایکسبه انبوه Yبا X نشان داده شده است. چنین مجموعه ای نامیده می شود خانواده چند نفرهیا بولیمجموعه ها ایکسو تعیین شده است پ(ایکس) از آنجایی که در هر مجموعه ای گنجانده شده است، پس .

مثال. اجازه دهید . سپس

صفحه 1

پایه های 9-10

واحد 1: مبانی نظریه مجموعه ها

. . .
تمرین 1.

الف) توضیح دهید که مجموعه ها از چه عناصری ساخته شده اند ن, ز, س, آر.

ب) چند عدد را که عناصر هر مجموعه هستند نام ببرید.

ج) اعدادی را نام ببرید که عناصر یکی از مجموعه ها هستند و از سه مجموعه دیگر نیستند.

د) نموداری رسم کنید که رابطه بین این مجموعه ها را نشان می دهد.

پاسخ.

ج) چنین عناصری فقط در مجموعه وجود دارند آر. به عنوان مثال،  آر ، ولی  ن,  ز,  س. عناصر هر یک از مجموعه ها ن, ز, س لزوما در بسیاری گنجانده شده است آر.

جی

ن – مجموعه اعداد طبیعی؛
ز – مجموعه اعداد صحیح؛
س – مجموعه اعداد گویا؛

آر – مجموعه ای از اعداد واقعی
برای معلم.هنگام در نظر گرفتن مواد، از مجموعه اعداد واقعی فراتر نمی رویم.
وظیفه 2.مجموعه را تنظیم کنید:

الف) معلمان ریاضی در مدرسه شما؛

ب) اعداد فرد؛

ب) ریشه های معادله ایکس 2 + 5 = 0;

د) راه حل های نابرابری ها ایکس > 4;

پاسخ:ب) ( ایکس ایکس = 2n - 1; n  ز };

د) (4؛ +).

برای معلم.در صورت لزوم، می توانید ضبط مجموعه های عددی راه حل های نابرابری های انواع مختلف را تکرار کنید (برنامه "جدول").
مجموعه های مساویمجموعه های متشکل از عناصر یکسان برابر در نظر گرفته می شوند.

به عنوان مثال، A = ( 1, 2, 3 ) ب =( ایکس (ایکس- 1)(ایکس- 2)(ایکس- 3) = 0). A = B.

رابطه تساوی برای مجموعه ها، مانند رابطه تساوی برای اعداد، دارای خواص بازتابی، تقارن و گذر است.

• 
  A = A (انعکاس پذیری)؛
• 
  اگر A = B، آنگاه B = A (تقارن)؛
• 
  اگر A = B و B = C، آنگاه A = C (گذرا).

قدرت مجموعه.برای مجموعه ای با تعداد عناصر محدود، کاردینالیته تعداد عناصر آن است.

آ = {آ؛ب; ج; د). قدرت آن:  آ= 4.

اگر دو مجموعه دارای کاردینالیته یکسان باشند، گفته می شود که کاردینالیته یکسانی دارند. یک دسته از آدر بسیاری از فصول به همان اندازه قدرتمند است.

جالب است که در ابتدا فرد یاد گرفت مجموعه ها را با تعداد عناصر مقایسه کند و بعداً - شمردن اشیاء. می توانید دو مجموعه را با تعداد عناصر مقایسه کنید: هر عنصر از یک مجموعه را با عنصر دوم مطابقت دهید. اگر همه عناصر به صورت جفت "آرایش" داشته باشند، مجموعه ها دارای قدرت برابر هستند. اگر در طول مقایسه، برخی از عناصر یکی از مجموعه ها بدون جفت باقی بماند، آنگاه عناصر بیشتری را شامل می شود.

همه مجموعه های محدود را می توان به صورت ذهنی مرتب کرد و همه مجموعه ها را با تعداد عناصر یکسان به یک کلاس اختصاص داد. و به هر کلاس یک عدد مشخص به عنوان مشخصه این مجموعه اختصاص دهید. بنابراین عدد طبیعی 1 است ویژگی های عمومیاز همه مجموعه هایی که یک عنصر دارند، عدد طبیعی 5 مشخصه مشترک همه مجموعه هایی است که دارای پنج عنصر هستند.

مکاتبات یک به یک را نیز می توان برای مجموعه های بی نهایت برقرار کرد. به عنوان مثال، بیایید همه اعداد طبیعی را در یک سطر، و همه اعداد زوج را در عنصر دیگر، زیر عنصر بنویسیم.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 . . .

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 . . .
می بینیم که همه اعداد در مجموعه اول دارای یک جفت منحصر به فرد در مجموعه دوم هستند و بالعکس. یعنی مجموعه اعداد طبیعی به اندازه مجموعه اعداد طبیعی زوج است. یعنی به همان اندازه قدرتمند هستند.

مجموعه های برابر با مجموعه اعداد طبیعی N قابل شمارش نامیده می شوند. جالب است که مثلا مجموعه اعداد گویا مثبت قابل شمارش است.

کاردینالیته مجموعه همه اعداد حقیقی را کاردینالیته پیوستار می گویند. تمام مجموعه‌های کاردینالیته مساوی به بازه (0،1) نیز دارای کاردینالیته پیوسته هستند. بنابراین، مجموعه تمام اعداد حقیقی برابر با بازه (0،1) است.
رابطه هم‌توانی نیز دارای ویژگی‌های بازتابی، تقارن و گذر است.

یعنی برای هر مجموعه A و B موارد زیر صادق است:

• 
  A = A
• 
  اگر A = B، B = A.
• 
  اگر A = B و B = C، آنگاه A = C .

وظیفه 3. قدرت مجموعه ها را پیدا کنید:

الف) T - مجموعه ای از اعداد طبیعی سه رقمی.

ب) K – مجموعه ای از وجوه مکعبی.

ج) P مجموعه اعداد طبیعی است که مضرب 7 هستند.

د) از مجموعه هایی که برابر با هر یک از آیتم های الف-ب هستند مثال هایی بیاورید.

پاسخ:الف) T= 900; ب) K= 6; ج) مجموعه K قابل شمارش است.
برای معلم. با دانش آموزان در مورد تفاوت بین مفاهیم برابری مجموعه ها و کاردینالیته برابر مجموعه ها صحبت کنید.

وظیفه 4. A - مجموعه ای از حروف کلمه "RING" ، B - مجموعه ای از حروف کلمه "CASE" ، C -

بسیاری از حروف کلمه "STREET". مجموعه های مساوی و مساوی را مشخص کنید.

پاسخ: A = (K، O، L، b، C)، B = (C، O، K، L، b)، C = (U، L، I، C، A). کاردینالیته هر سه مجموعه 5 است، یعنی کاردینالیته یکسانی دارند.

این مواد توسط روش شناسان مرکز آموزش مولد نووسیبیرسک تهیه شده است

صفحه 1

من. مجموعه مجموعه ای از برخی اشیاء یا اعداد است که بر اساس برخی ویژگی ها یا قوانین کلی (حروف زیاد در یک صفحه، بسیاری از کسرهای مناسب با مخرج) تشکیل شده است. 5 ، ستاره های زیادی در آسمان و غیره).

برای نوشتن یک مجموعه، از بریس های فرفری استفاده کنید: «{ "- مجموعه باز می شود؛ "}" — بسیاری در حال بسته شدن هستند و خود مجموعه با حروف بزرگ لاتین نامیده می شود: الف، ب، جو غیره

مثال ها.

1 . مجموعه بنویس آ، که از تمام حروف صدادار در کلمه تشکیل شده است "ریاضیات".

راه حل. A = (a، e، i). می بینید: با وجود اینکه در کلمه "ریاضیات"سه حرف وجود دارد "آ"- تکرارهای متعدد در ضبط و نامه مجاز نیست "آ"فقط یک بار ثبت می شود یک دسته از آاز سه عنصر تشکیل شده است.

2. مجموعه تمام کسرهای مناسب را با مخرج بنویسید 5 .

راه حل.به یاد داشته باشیم: کسری مناسب به کسری معمولی گفته می شود که صورت آن باشد کمتر از مخرج. اجازه دهید با نشان دادن که درمجموعه مورد نظر سپس:

یک دسته از که دراز چهار عنصر تشکیل شده است.

II. مجموعه ها از عناصر تشکیل شده اند و می توانند متناهی یا نامتناهی باشند. مجموعه ای که شامل یک عنصر واحد نباشد مجموعه خالی نامیده می شود و با نشان داده می شود Ø.

III. یک دسته از که درزیر مجموعه ای از یک مجموعه نامیده می شود آ، اگر تمام عناصر مجموعه که درعناصر مجموعه هستند آ.

3. کدام یک از دو مجموعه داده شده که درو با به,

اگر که در={-1; 3; 4}, سی={0; 3; 4; 5), ک={0; 2; 3; 4; 5; 6} ?

راه حل. تمام عناصر مجموعه بانیز از عناصر مجموعه هستند بهبنابراین، بسیاری از بازیر مجموعه ای از مجموعه است به.بنویس:

IV. تقاطع مجموعه ها آو که درمجموعه ای است که عناصر آن متعلق به مجموعه است آو بسیاری از که در.

4. تقاطع دو مجموعه را نشان دهید مو افبا استفاده از حلقه های اویلر

راه حل.

از انواع بسیار متنوع مجموعه هااز علاقه خاص به اصطلاح هستند مجموعه های اعداد، یعنی مجموعه هایی که عناصر آنها اعداد هستند. واضح است که برای کار راحت با آنها باید بتوانید آنها را یادداشت کنید. این مقاله را با نشانه گذاری و اصول نوشتن مجموعه های عددی آغاز خواهیم کرد. در مرحله بعد، بیایید ببینیم که چگونه مجموعه های عددی روی یک خط مختصات نشان داده می شوند.

پیمایش صفحه.

نوشتن مجموعه های عددی

بیایید با نماد پذیرفته شده شروع کنیم. همانطور که می دانید برای نشان دادن مجموعه ها از حروف بزرگ الفبای لاتین استفاده می شود. مجموعه های عددی نیز به عنوان یک مورد خاص از مجموعه ها تعیین می شوند. به عنوان مثال، می توان در مورد مجموعه اعداد A، H، W و غیره صحبت کرد. مجموعه اعداد طبیعی، صحیح، گویا، واقعی، مختلط و غیره از اهمیت ویژه ای برخوردارند؛ نمادهای خود را برای آنها به کار گرفته شده است:

• N - مجموعه ای از تمام اعداد طبیعی؛
• Z - مجموعه ای از اعداد صحیح؛
• Q - مجموعه ای از اعداد گویا.
• J - مجموعه ای از اعداد غیر منطقی.
• R - مجموعه ای از اعداد واقعی.
• C مجموعه اعداد مختلط است.

از اینجا واضح است که شما نباید مجموعه ای را که مثلاً از دو عدد 5 و 7 تشکیل شده است به عنوان Q نشان دهید، این نام گمراه کننده خواهد بود، زیرا حرف Q معمولاً مجموعه ای از همه اعداد گویا را نشان می دهد. برای نشان دادن مجموعه عددی مشخص شده، بهتر است از یک حرف "خنثی" دیگر مانند A استفاده کنید.

از آنجایی که ما در مورد علامت گذاری صحبت می کنیم، اجازه دهید در اینجا نماد یک مجموعه خالی، یعنی مجموعه ای که حاوی عناصر نیست را نیز به یاد بیاوریم. با علامت ∅ نشان داده می شود.

اجازه دهید تعیین اینکه آیا یک عنصر به یک مجموعه تعلق دارد یا نه را به یاد بیاوریم. برای این کار از علائم ∈ - متعلق و ∉ - تعلق ندارد استفاده کنید. برای مثال، علامت 5∈N به این معنی است که عدد 5 متعلق به مجموعه اعداد طبیعی است و 5،7∉Z – اعشاری 5،7 به مجموعه اعداد صحیح تعلق ندارد.

و همچنین اجازه دهید نمادی را که برای گنجاندن یک مجموعه در مجموعه دیگر اتخاذ شده است، به یاد بیاوریم. واضح است که تمام عناصر مجموعه N در مجموعه Z گنجانده شده است، بنابراین مجموعه عددی N در Z گنجانده شده است، این به عنوان N⊂Z نشان داده می شود. همچنین می توانید از علامت Z⊃N استفاده کنید، به این معنی که مجموعه تمام اعداد صحیح Z شامل مجموعه N می شود. روابط شامل نشده و شامل نشده به ترتیب با ⊄ و نشان داده می شوند. از علائم شمول غیر دقیق به صورت ⊆ و ⊇ نیز استفاده می شود که به ترتیب به معنای شامل یا منطبق و شامل یا منطبق است.

ما در مورد علامت گذاری صحبت کردیم، اجازه دهید به توضیح مجموعه های عددی برویم. در این مورد، ما فقط به موارد اصلی که بیشتر در عمل استفاده می شوند، می پردازیم.

بیایید با مجموعه های عددی حاوی تعداد محدود و کم عنصر شروع کنیم. توصیف مجموعه های عددی متشکل از تعداد محدودی از عناصر با فهرست کردن همه عناصر آنها راحت است. تمام عناصر اعداد با کاما از هم جدا شده و در ضمیمه شده اند که با کلی همخوانی دارد قوانینی برای توصیف مجموعه ها. برای مثال، مجموعه ای متشکل از سه عدد 0، 0.25- و 4/7 را می توان به صورت (0، 0.25-، 4/7) توصیف کرد.

گاهی اوقات، زمانی که تعداد عناصر یک مجموعه عددی بسیار زیاد است، اما عناصر از الگوی خاصی تبعیت می کنند، از یک بیضی برای توصیف استفاده می شود. به عنوان مثال، مجموعه تمام اعداد فرد از 3 تا 99 را می توان به صورت (3، 5، 7، ...، 99) نوشت.

بنابراین ما به آرامی به توصیف مجموعه های عددی نزدیک شدیم که تعداد عناصر آنها بی نهایت است. گاهی اوقات می توان آنها را با استفاده از تمام بیضی های یکسان توصیف کرد. به عنوان مثال، بیایید مجموعه تمام اعداد طبیعی را توصیف کنیم: N=(1, 2. 3,…) .

آنها همچنین از توصیف مجموعه های عددی با نشان دادن ویژگی های عناصر آن استفاده می کنند. در این مورد از علامت (x| خواص) استفاده می شود. به عنوان مثال، نماد (n| 8·n+3، n∈N) مجموعه اعداد طبیعی را مشخص می کند که با تقسیم بر 8، باقیمانده 3 باقی می ماند. همین مجموعه را می توان به صورت (11،19، 27، ...) توصیف کرد.

در موارد خاص، مجموعه های عددی با تعداد نامتناهی عنصر، مجموعه های شناخته شده N، Z، R و غیره هستند. یا فواصل عددی اساساً مجموعه های عددی به صورت نمایش داده می شوند اتحاد. اتصالبازه های عددی منفرد و مجموعه های عددی تشکیل دهنده آنها با تعداد محدودی از عناصر (که در بالا در مورد آنها صحبت کردیم).

بیایید یک مثال نشان دهیم. اجازه دهید مجموعه اعداد شامل اعداد -10، -9، -8.56، 0، همه اعداد بخش [-5، -1،3] و اعداد خط اعداد باز (7، +∞) باشد. با توجه به تعریف اتحاد مجموعه ها، مجموعه عددی مشخص شده را می توان به صورت نوشتاری کرد {−10, −9, −8,56}∪[−5, −1,3]∪{0}∪(7, +∞) . این نماد در واقع به معنای مجموعه ای است که شامل تمام عناصر مجموعه ها (-10، -9، -8.56، 0)، [-5، -1.3] و (7، +∞) است.

به همین ترتیب، با ترکیب فواصل اعداد مختلف و مجموعه اعداد جداگانه، هر مجموعه عددی (شامل اعداد واقعی) را می توان توصیف کرد. در اینجا مشخص می شود که چرا انواع بازه های عددی مانند بازه، نیمه بازه، قطعه، پرتو عددی باز و پرتو عددی معرفی شده اند: همه آنها، همراه با نمادهای مجموعه ای از اعداد مجزا، توصیف هر مجموعه عددی را از طریق امکان پذیر می کنند. اتحادیه آنها

لطفا توجه داشته باشید که هنگام نوشتن یک مجموعه اعداد، اعداد تشکیل دهنده و فواصل عددی آن به ترتیب صعودی مرتب می شوند. این یک شرط ضروری نیست، اما مطلوب است، زیرا یک مجموعه عددی مرتب شده آسان‌تر قابل تصور و ترسیم در یک خط مختصات است. همچنین توجه داشته باشید که چنین رکوردهایی از فواصل عددی با عناصر مشترک استفاده نمی کنند، زیرا چنین رکوردهایی را می توان با ترکیب فواصل عددی بدون عناصر مشترک جایگزین کرد. به عنوان مثال، اتحاد مجموعه های عددی با عناصر مشترک [-10, 0] و (-5, 3) نیمه بازه [-10, 3) است. همین امر در مورد اتحاد بازه‌های عددی با اعداد مرزی یکسان نیز صدق می‌کند، برای مثال، اتحادیه (3, 5]∪(5, 7] یک مجموعه است (3, 7]، زمانی که یاد گرفتیم به طور جداگانه به این موضوع خواهیم پرداخت. محل تلاقی و اتحاد مجموعه های عددی را پیدا کنید

نمایش مجموعه اعداد در یک خط مختصات

در عمل، استفاده از تصاویر هندسی مجموعه های عددی - تصاویر آنها روشن است. مثلاً وقتی حل نابرابری ها، که در آن لازم است ODZ را در نظر بگیریم، لازم است مجموعه های عددی را به تصویر بکشیم تا تقاطع و/یا اتحاد آنها را پیدا کنیم. بنابراین درک خوبی از تمام تفاوت های ظریف نمایش مجموعه های عددی در یک خط مختصات مفید خواهد بود.

مشخص است که بین نقاط خط مختصات و اعداد حقیقی مطابقت یک به یک وجود دارد، به این معنی که خط مختصات خود یک مدل هندسی از مجموعه تمام اعداد حقیقی R است. بنابراین، برای به تصویر کشیدن مجموعه تمام اعداد واقعی، باید یک خط مختصات با سایه در تمام طول آن رسم کنید:

و اغلب آنها حتی مبدا و بخش واحد را نشان نمی دهند:

حالا بیایید در مورد تصویر مجموعه های عددی صحبت کنیم که تعداد محدودی از اعداد منفرد را نشان می دهند. به عنوان مثال، بیایید مجموعه اعداد (-2، -0.5، 1.2) را به تصویر بکشیم. تصویر هندسی این مجموعه، متشکل از سه عدد -2، -0.5 و 1.2، سه نقطه از خط مختصات با مختصات مربوطه خواهد بود:

توجه داشته باشید که معمولاً برای اهداف عملی نیازی به انجام دقیق ترسیم نیست. اغلب یک نقشه شماتیک کافی است، که به این معنی است که نیازی به حفظ مقیاس نیست؛ در این مورد، فقط حفظ موقعیت نسبی نقاط نسبت به یکدیگر مهم است: هر نقطه با مختصات کوچکتر باید نسبت به یکدیگر باشد. سمت چپ نقطه ای با مختصات بزرگتر نقشه قبلی به صورت شماتیک به این صورت خواهد بود:

به طور جداگانه از انواع مجموعه های عددی، فواصل عددی (فاصله ها، نیم بازه ها، پرتوها و ...) متمایز می شوند که نمایانگر تصاویر هندسی آنهاست؛ در قسمت به تفصیل آنها را بررسی کردیم. ما اینجا خودمان را تکرار نمی کنیم.

و فقط باید روی تصویر مجموعه های عددی که اتحادیه ای از چندین بازه عددی و مجموعه ای متشکل از اعداد جداگانه هستند، بمانیم. در اینجا هیچ چیز پیچیده ای وجود ندارد: با توجه به معنای اتحاد در این موارد، در خط مختصات لازم است تمام اجزای مجموعه یک مجموعه عددی معین را به تصویر بکشیم. به عنوان مثال، اجازه دهید تصویری از مجموعه اعداد را نشان دهیم (−∞, −15)∪{−10}∪[−3,1)∪ (log 2 5, 5)∪(17, +∞) :

و اجازه دهید در موارد نسبتاً معمولی صحبت کنیم که مجموعه عددی نشان داده شده کل مجموعه اعداد واقعی را به استثنای یک یا چند نقطه نشان می دهد. چنین مجموعه‌هایی اغلب با شرایطی مانند x≠5 یا x≠−1، x≠2، x≠3.7 و غیره مشخص می‌شوند. در این موارد، از نظر هندسی، کل خط مختصات را به استثنای نقاط مربوطه نشان می دهند. به عبارت دیگر، این نقاط باید از خط مختصات "بیرون" شوند. آنها به صورت دایره هایی با مرکز خالی به تصویر کشیده شده اند. برای وضوح، اجازه دهید یک مجموعه عددی مربوط به شرایط را به تصویر بکشیم (این مجموعه اساسا وجود دارد):

خلاصه کنید. در حالت ایده‌آل، اطلاعات پاراگراف‌های قبلی باید همان نمای ضبط و تصویر مجموعه‌های عددی را با نمای فواصل عددی منفرد تشکیل دهند: ضبط یک مجموعه عددی باید بلافاصله تصویر خود را در خط مختصات نشان دهد، و از تصویر در ادامه خط مختصات ما باید آماده باشیم تا مجموعه عددی مربوطه را از طریق اتحاد بازه‌ها و مجموعه‌های متشکل از اعداد مجزا به راحتی توصیف کنیم.

کتابشناسی - فهرست کتب.

• جبر:کتاب درسی برای کلاس هشتم آموزش عمومی مؤسسات / [یو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova]؛ ویرایش شده توسط S. A. Telyakovsky. - چاپ شانزدهم - م.: آموزش و پرورش، 2008. - 271 ص. : مریض - شابک 978-5-09-019243-9.
• موردکوویچ A.G.جبر. کلاس نهم. در 2 قسمت. قسمت 1. کتاب درسی برای دانش آموزان موسسات آموزش عمومی / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - چاپ سیزدهم، پاک شد. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 p.: ill. شابک 978-5-346-01752-3.

مفهوم مجموعه یکی از مفاهیم اساسی ریاضی است. این یک مفهوم تعریف نشده است و فقط از طریق مثال می توان آن را توصیف یا توضیح داد. بنابراین، می‌توان در مورد مجموعه حروف الفبای لاتین، مجموعه تمام کتاب‌های یک کتابخانه معین، مجموعه دانش‌آموزان در یک گروه معین، مجموعه تمام نقاط روی یک خط معین صحبت کرد. برای تعریف یک مجموعه، فقط عناصر را فهرست کرده یا مشخص کنید مشخصهخواص عناصر، به عنوان مثال خاصیتی که همه عناصر یک مجموعه معین و فقط آنها در اختیار دارند.

تعریف 1.1.اقلام (اشیاء) که مجموعه خاصی را تشکیل می دهند، آن نامیده می شود عناصر.

مرسوم است که یک مجموعه را با حروف لاتین بزرگ و عناصر مجموعه را با حروف کوچک نشان دهید. چی ایکسیک عنصر از مجموعه است آ، به این صورت نوشته شده است: x A(ایکسمتعلق است آ). نوع ضبط x A(x A) یعنی که ایکسمتعلق نبودن به آ، یعنی عنصری از مجموعه نیست آ.

عناصر یک مجموعه معمولاً با بریس های مجعد نوشته می شوند. به عنوان مثال، اگر آ -مجموعه ای متشکل از سه حرف اول الفبای لاتین است، سپس به صورت زیر نوشته می شود: A={الف، ب، ج} .

یک مجموعه می تواند شامل تعداد نامتناهی عنصر (مجموعه نقاط روی یک خط، مجموعه اعداد طبیعی)، تعداد محدودی از عناصر (مجموعه دانش آموزان یک کلاس) باشد یا اصلاً حاوی هیچ عنصری نباشد (مجموعه). دانش آموزان در یک کلاس خالی).

تعریف 1.2.مجموعه ای که شامل یک عنصر واحد نباشد نامیده می شود مجموعه تهی، با Ø نشان داده می شود.

تعریف 1.3.یک دسته از آتماس گرفت زیرمجموعهمجموعه ها ب، اگر هر عنصر از مجموعه آمتعلق به خیلی هاست ب. این نشان داده شده است A B(آ -زیرمجموعه ب).

مجموعه خالی زیرمجموعه هر مجموعه در نظر گرفته می شود. اگر مجموعه آزیرمجموعه ای از مجموعه نیست ب، سپس می نویسند A B.

تعریف 1.4.دو دست آو بتماس گرفت برابر، اگر زیر مجموعه های یکدیگر باشند. تعیین کنید A = B.این بدان معناست که اگر x A، آن xBو بالعکس، یعنی. اگر و پس .

تعریف 1.5.تقاطعمجموعه ها آو بیک مجموعه تماس بگیرید م، که عناصر آن به طور همزمان عناصر هر دو مجموعه هستند آو ب.تعیین کنید M=A ب.آن ها x A ب، آن x Aو x B.

بنویس آ B={x | x Aو xB). (به جای اتحادیه و -علائم، &).

تعریف 1.6.اگر آ B=Ø، سپس می گویند که مجموعه ها آو B قطع نمی شود.

به طور مشابه، می توانید تقاطع 3، 4، و هر تعداد محدودی از مجموعه ها را تعریف کنید.

تعریف 1.7.اتحادیهمجموعه ها آو بیک مجموعه تماس بگیرید م، که عناصر آن حداقل به یکی از این مجموعه ها تعلق دارند M=A ب.که آ B={x | x Aیا xB). (به جای اتحادیه یا -علامت گذاشته می شود).

مجموعه به طور مشابه تعریف شده است الف 1 الف 2 … A n .از عناصری تشکیل شده است که هر کدام حداقل به یکی از مجموعه ها تعلق دارند الف 1,الف 2,…,A n(و شاید چندین در یک زمان) .

مثال 1.8. 1) اگر A=(1;2;3;4;5) و B=(1;3;5;7;9)، سپس آ B=(1;3;5) و آ B={1;2;3;4;5;7;9}.

2) اگر A=(2;4) و B=(3; 7)، سپس آ B=Ø و آ B={2;3;4;7}.

3) اگر A=(ماه های تابستان) و B=(ماه با 30 روز)، سپس آ B=(خرداد) و آ B=(آوریل؛ ژوئن؛ جولای؛ آگوست؛ سپتامبر؛ نوامبر).

تعریف 1.9.طبیعیاعداد 1،2،3،4،... نامیده می شوند که برای شمارش اجسام استفاده می شوند.

مجموعه اعداد طبیعی با N، N=(1;2;3;4;…;n;…) نشان داده می شود. بی نهایت است، کوچکترین عنصر 1 را دارد و بزرگترین عنصر را ندارد.

مثال 1.10. آ– مجموعه مقسوم علیه های طبیعی عدد 40. عناصر این مجموعه را فهرست کنید. آیا درست است که 5 A، 10 A، -8 A، 4 A، 0 A، 0 A.

آ= (1،2،4،5،8،10،20،40). (V، V، N، N، N، V)

مثال 1.11.عناصر مجموعه ها را که با ویژگی های مشخصه تعریف شده اند فهرست کنید.