لحظه اینرسی هنگام حرکت محورها. ممان اینرسی در حین انتقال موازی محورها. تغییر ممان اینرسی هنگام چرخش محورها

محورهایی که از مرکز ثقل یک شکل صفحه عبور می کنند، محورهای مرکزی نامیده می شوند.
ممان اینرسی حول محور مرکزی را ممان اینرسی مرکزی می گویند.

قضیه

ممان اینرسی در مورد هر محوری برابر است با مجموع گشتاور اینرسی در مورد محور مرکزی به موازات محور داده شده و حاصل ضرب مساحت شکل و مربع فاصله بین محورها.

برای اثبات این قضیه، یک شکل صفحه دلخواه را در نظر بگیرید که مساحت آن برابر است آ ، مرکز ثقل در نقطه قرار دارد با ، و گشتاور مرکزی اینرسی حول محور ایکس اراده IX .
بیایید ممان اینرسی شکل را نسبت به یک محور مشخص محاسبه کنیم x 1 ، موازی با محور مرکزی و با فاصله از آن فاصله دارد آ (برنج).

I x1 = Σ y 1 2 dA + Σ (y + a) 2 dA =
= Σ y 2 dA + 2a Σ y dA + a 2 Σ dA.

با تجزیه و تحلیل فرمول به دست آمده، متذکر می شویم که عبارت اول، گشتاور محوری اینرسی نسبت به محور مرکزی است، جمله دوم، گشتاور ساکن مساحت این شکل نسبت به محور مرکزی است (از این رو، برابر است با صفر)، و جمله سوم پس از ادغام را می توان به عنوان یک محصول نشان داد a 2 A ، یعنی در نتیجه فرمول را دریافت می کنیم:

I x1 = I x + a 2 A- قضیه ثابت شده است.

بر اساس قضیه می توان نتیجه گرفت که از یک سری از محورهای موازی، گشتاور محوری اینرسی یک شکل صاف نسبت به محور مرکزی کوچکترین خواهد بود. .

محورهای اصلی و گشتاورهای اصلی اینرسی

اجازه دهید شکل مسطحی را تصور کنیم که گشتاورهای اینرسی آن نسبت به محورهای مختصات IX و من y ، و گشتاور قطبی اینرسی نسبت به مبدا برابر است با من ρ . همانطور که قبلا مشخص شد،

I x + I y = I ρ.

اگر محورهای مختصات در صفحه خود حول مبدا مختصات بچرخند، گشتاور قطبی اینرسی بدون تغییر باقی می‌ماند و گشتاورهای محوری تغییر می‌کنند، در حالی که مجموع آنها ثابت می‌ماند. از آنجایی که مجموع متغیرها ثابت است، یکی از آنها کاهش و دیگری افزایش می یابد و بالعکس.
در نتیجه، در یک موقعیت مشخص از محورها، یکی از گشتاورهای محوری به حداکثر مقدار و دیگری به حداقل می رسد.

محورهایی که گشتاورهای اینرسی در مورد آنها دارای مقادیر حداقل و حداکثر هستند، محورهای اصلی اینرسی نامیده می شوند.
ممان اینرسی حول محور اصلی را ممان اینرسی اصلی می گویند.

اگر محور اصلی از مرکز ثقل یک شکل عبور کند، آن را محور مرکزی اصلی و ممان اینرسی حول چنین محوری را گشتاور مرکزی اصلی اینرسی می نامند.
می‌توان نتیجه گرفت که اگر شکلی با هر محوری متقارن باشد، این محور همیشه یکی از محورهای مرکزی اصلی اینرسی این شکل خواهد بود.

ممان اینرسی گریز از مرکز

ممان گریز از مرکز اینرسی یک شکل مسطح مجموع حاصل از نواحی ابتدایی گرفته شده در کل منطقه و فاصله تا دو محور متقابل عمود بر یکدیگر است:

I xy = Σ xy dA,

جایی که ایکس , y - فواصل از سایت dA به محورها ایکس و y .
ممان گریز از مرکز اینرسی می تواند مثبت، منفی یا صفر باشد.

ممان گریز از مرکز اینرسی در فرمول های تعیین موقعیت محورهای اصلی مقاطع نامتقارن گنجانده شده است.
جداول پروفایل استاندارد حاوی یک مشخصه به نام شعاع چرخش بخش ، با فرمول های زیر محاسبه می شود:

i x = √ (I x / A),i y = √ (I y / A) , (از این پس علامت"√"- علامت ریشه)

جایی که من x، من y - گشتاورهای محوری اینرسی بخش نسبت به محورهای مرکزی. آ - سطح مقطع
این مشخصه هندسی در مطالعه کشش یا فشار خارج از مرکز و همچنین خمش طولی استفاده می شود.

تغییر شکل پیچشی

مفاهیم اولیه در مورد پیچش پیچ خوردگی تیر گرد.

پیچ خوردگی نوعی تغییر شکل است که در آن تنها یک گشتاور در هر مقطع تیر اتفاق می افتد، یعنی ضریب نیرویی که باعث حرکت دایره ای مقطع نسبت به محور عمود بر این مقطع می شود یا از چنین حرکتی جلوگیری می کند. به عبارت دیگر، اگر یک جفت نیرو به یک تیر مستقیم در صفحات عمود بر محور آن وارد شود، تغییر شکل های پیچشی رخ می دهد.
ممان های این جفت نیروها را چرخش یا چرخش می گویند. گشتاور با نشان داده می شود تی .
این تعریف به طور معمول عوامل نیروی تغییر شکل پیچشی را به عوامل خارجی (پیچشی، گشتاور) تقسیم می کند. تی ) و داخلی (گشتاور M cr ).

در ماشین‌ها و مکانیزم‌ها، محورهای گرد یا لوله‌ای اغلب در معرض پیچش قرار می‌گیرند، بنابراین محاسبات استحکام و استحکام اغلب برای چنین واحدها و قطعاتی انجام می‌شود.

پیچش یک محور استوانه ای مدور را در نظر بگیرید.
شافت استوانه ای لاستیکی را تصور کنید که در آن یکی از انتهای آن به طور محکم ثابت شده است و روی سطح آن شبکه ای از خطوط طولی و دایره های عرضی وجود دارد. چند نیرو به انتهای آزاد شفت، عمود بر محور این شفت وارد می کنیم، یعنی آن را در امتداد محور می پیچیم. اگر خطوط شبکه روی سطح شفت را به دقت بررسی کنید، متوجه خواهید شد که:
- محور شفت که محور پیچشی نامیده می شود مستقیم باقی می ماند.
- قطر دایره ها ثابت می ماند و فاصله بین دایره های مجاور تغییر نمی کند.
- خطوط طولی روی شفت به خطوط مارپیچ تبدیل می شوند.

از اینجا می توان نتیجه گرفت که وقتی یک تیر استوانه ای گرد (شفت) پیچ خورده است، فرضیه مقاطع مسطح معتبر است و همچنین می توان فرض کرد که شعاع دایره ها در هنگام تغییر شکل مستقیم می مانند (از آنجایی که قطر آنها تغییر نکرده است). و از آنجایی که نیروهای طولی در مقاطع شفت وجود ندارد، فاصله بین آنها حفظ می شود.

در نتیجه، تغییر شکل پیچشی یک شفت گرد شامل چرخش مقاطع عرضی نسبت به یکدیگر حول محور پیچشی است و زوایای چرخش آنها مستقیماً با فواصل از بخش ثابت متناسب است - هر مقطعی از انتهای ثابت دورتر باشد. از شفت، زاویه بیشتر نسبت به محور شافتی که می‌پیچد.
برای هر بخش از شفت، زاویه چرخش برابر است با زاویه پیچش قسمتی از شفت محصور بین این بخش و مهر و موم (انتهای ثابت).

گوشه ( برنج. 1) چرخش انتهای آزاد محور (بخش انتهایی) را زاویه کامل پیچش تیر استوانه ای (شفت) می گویند.
زاویه پیچ نسبی φ 0 نسبت زاویه پیچش نامیده می شود φ 1 به فاصله l 1 از یک بخش داده شده به جاسازی (بخش ثابت).
اگر تیر استوانه ای (شفت) بلند باشد ل دارای مقطع ثابت است و با یک گشتاور پیچشی در انتهای آزاد بارگذاری می شود (یعنی از یک مقطع هندسی همگن تشکیل شده است)، سپس عبارت زیر درست است:
φ 0 = φ 1 / l 1 = φ / l = ثابت - مقدار ثابت است.

اگر یک لایه نازک روی سطح میله استوانه ای لاستیکی بالا در نظر بگیریم ( برنج. 1، توسط یک سلول شبکه محدود شده است cdef ، سپس توجه می کنیم که این سلول در هنگام تغییر شکل تاب می یابد و طرف آن که از قسمت ثابت فاصله دارد، به سمت پیچش پرتو تغییر می کند و موقعیت را اشغال می کند. cde 1 f 1 .

لازم به ذکر است که تصویر مشابهی در هنگام تغییر شکل برشی مشاهده می شود، فقط در این حالت سطح به دلیل حرکت انتقالی مقاطع نسبت به یکدیگر تغییر شکل می دهد و نه به دلیل حرکت چرخشی مانند تغییر شکل پیچشی. بر این اساس می‌توان نتیجه گرفت که در حین پیچش در مقاطع عرضی، تنها نیروهای داخلی مماسی (تنش‌ها) بوجود می‌آیند که گشتاور را تشکیل می‌دهند.

بنابراین، گشتاور، گشتاور حاصل نسبت به محور پرتو نیروهای مماسی داخلی است که در مقطع عمل می‌کنند.

اجازه دهید رابطه بین گشتاورهای مختلف اینرسی مقطع را نسبت به دو محور موازی تعیین کنیم (شکل 6.7)، که توسط وابستگی ها به هم متصل شده اند.

1. برای گشتاورهای استاتیک اینرسی

سرانجام،

2. برای گشتاورهای محوری اینرسی

از این رو،

اگر محور zسپس از مرکز ثقل بخش عبور می کند

از بین تمام گشتاورهای اینرسی در مورد محورهای موازی، گشتاور محوری اینرسی کمترین مقدار را در مورد محوری که از مرکز ثقل مقطع عبور می کند دارد.

برای محور هم همینطور

زمانی که محور yاز مرکز ثقل بخش عبور می کند

3. برای گشتاورهای گریز از مرکز اینرسی به دست می آوریم

بالاخره میتونیم بنویسیم

در حالتی که مبدأ سیستم مختصات yzدر مرکز ثقل بخش است، دریافت می کنیم

در موردی که یک یا هر دو محور، محورهای تقارن باشند،

6.7. تغییر ممان اینرسی هنگام چرخش محورها

اجازه دهید ممان اینرسی مقطع نسبت به محورهای مختصات داده شود zy.

تعیین گشتاورهای اینرسی همان بخش نسبت به محورهایی که در یک زاویه معین نسبت به سیستم مختصات می چرخند لازم است. zy(شکل 6.8).

اگر سیستم مختصات قدیمی برای حرکت به سیستم جدید (برای یک سیستم مختصات مستطیلی دکارتی راست دست) در خلاف جهت عقربه‌های ساعت بچرخد، زاویه مثبت در نظر گرفته می‌شود. جدید و قدیمی zyسیستم‌های مختصات توسط وابستگی‌هایی که از شکل زیر آمده است به هم متصل می‌شوند. 6.8:

1. اجازه دهید عباراتی را برای گشتاورهای اینرسی محوری نسبت به محورهای سیستم مختصات جدید تعریف کنیم:

به همین ترتیب در مورد محور

اگر مقادیر گشتاورهای اینرسی را در مورد محورها و محورها جمع کنیم، به دست می آید

یعنی وقتی محورها می چرخند، مجموع گشتاورهای محوری اینرسی یک مقدار ثابت است.

2. اجازه دهید فرمول هایی را برای گشتاورهای گریز از مرکز اینرسی استخراج کنیم.

6.8. لحظات اصلی اینرسی محورهای اصلی اینرسی

مقادیر شدید گشتاورهای اینرسی محوری مقطع را ممان اینرسی اصلی می گویند.

دو محور متقابل عمود بر هم که گشتاورهای محوری اینرسی دارای مقادیر بسیار زیاد هستند، محورهای اصلی اینرسی نامیده می شوند.

برای یافتن ممان‌های اصلی اینرسی و موقعیت محورهای اصلی اینرسی، اولین مشتق را با توجه به زاویه ممان اینرسی تعیین می‌کنیم که با فرمول (6.27) تعیین می‌شود.

بیایید این نتیجه را با صفر برابر کنیم:

زاویه ای که محورهای مختصات باید بر اساس آن بچرخند کجاست yو zبه طوری که با محورهای اصلی منطبق شوند.

با مقایسه عبارات (6.30) و (6.31)، می توانیم آن را مشخص کنیم

در نتیجه، نسبت به محورهای اصلی اینرسی، ممان گریز از مرکز اینرسی صفر است.

محورهای متقابل عمود بر هم، که یکی یا هر دوی آنها با محورهای تقارن مقطع منطبق است، همیشه محورهای اصلی اینرسی هستند.

بیایید معادله (6.31) را برای زاویه حل کنیم:

اگر > 0 باشد، برای تعیین موقعیت یکی از محورهای اصلی اینرسی برای سیستم مختصات مستطیلی دکارتی راست (چپ)، به یک محور نیاز است. zبر خلاف جهت چرخش (در جهت چرخش) در جهت عقربه های ساعت بچرخید. اگر<0, то для определения положения одной из главных осей инерции для правой (левой) декартовой прямоугольной системы координат необходимо осьzدر جهت چرخش (در خلاف جهت عقربه های ساعت) در جهت عقربه های ساعت بچرخید.

محور ماکزیمم همیشه زاویه کمتری با محورها ایجاد می کند ( yیا zنسبت به آن، گشتاور محوری اینرسی مقدار بیشتری دارد (شکل 6.9).

محور حداکثر با زاویه ای نسبت به محور()، if() هدایت می شود و در ربع زوج (فرد) محورها، if() قرار دارد.

اجازه دهید لحظات اصلی اینرسی و را تعیین کنیم. با استفاده از فرمول های مثلثاتی که توابع،،، را با توابع،، از فرمول (6.27) به هم متصل می کند، به دست می آوریم.

شکل 7.

جایی که من x، من y - گشتاورهای محوری اینرسی نسبت به محورهای مرجع.

من xy- گشتاور گریز از مرکز اینرسی نسبت به محورهای مرجع.

من xc، من yc- گشتاورهای اینرسی محوری نسبت به محورهای مرکزی؛

من xcyc- گشتاور گریز از مرکز اینرسی نسبت به محورهای مرکزی.

الف، ب- فاصله بین محورها

تعیین گشتاورهای اینرسی یک مقطع هنگام چرخش محورها

تمام مشخصات هندسی مقطع نسبت به محورهای مرکزی مشخص است x C,در سی(شکل 8). اجازه دهید گشتاورهای اینرسی را در مورد محورها تعیین کنیم x 1,در 1، نسبت به مرکزی با یک زاویه خاص چرخیده است آ.

شکل 8

جایی که من x 1، من y 1 - گشتاورهای اینرسی محوری در مورد محورها x 1,در 1 ;

من x 1 و 1- گشتاور گریز از مرکز اینرسی نسبت به محورها x 1,در 1 .

تعیین موقعیت محورهای مرکزی اصلی اینرسی

موقعیت محورهای مرکزی اصلی اینرسی با فرمول تعیین می شود:

جایی که یک 0 - زاویه بین محورهای مرکزی و اصلی اینرسی.

تعیین ممان های اصلی اینرسی

ممان های اصلی اینرسی بخش با فرمول تعیین می شود:

ترتیب محاسبه یک بخش پیچیده

1) یک بخش پیچیده را به اشکال هندسی ساده بشکنید [S 1, S 2,…;x 1, y 1; x 2, y 2, …]

2) محورهای دلخواه را انتخاب کنید XOY .

3) موقعیت مرکز ثقل مقطع را تعیین کنید [x c، y c].

4) محورهای مرکزی را رسم کنید X c OY ج.

5) گشتاورهای اینرسی را محاسبه کنید IX ج, من ج ، با استفاده از قضیه ترجمه موازی محورها.

6) ممان گریز از مرکز اینرسی را محاسبه کنید Ix c y c.

7) موقعیت محورهای اصلی اینرسی را تعیین کنید tg2a 0.

8) ممان های اصلی اینرسی را محاسبه کنید ایمکس, من هستم.

مثال 2

برای شکل نشان داده شده در شکل 13، نکات اصلی را تعیین کنید

اینرسی و موقعیت محورهای اصلی اینرسی.

1) بخش پیچیده را به اشکال هندسی ساده تقسیم می کنیم

S 1 = 2000 میلی متر 2، S 2 = 1200 میلی متر 2، S= 3200 میلی متر 2.

2) محورهای دلخواه XOY را انتخاب کنید.

3) موقعیت مرکز ثقل مقطع را تعیین کنید

x c = 25 میلی متر، y c= 35 میلی متر.

4) ترسیم محورهای مرکزی X c OY ج

5) گشتاورهای اینرسی را محاسبه کنید Ix c، Iy c

6) ممان گریز از مرکز اینرسی را محاسبه کنید Ix c y c

7) موقعیت محورهای اصلی اینرسی را تعیین کنید

اگر من x > من y و a 0 > 0 ، سپس زاویه یک 0 منحرف شده از محور X s پادساعتگرد.

8) ممان های اصلی اینرسی را محاسبه کنید ایمکس, من هستم

مثال 3

برای شکل نشان داده شده در شکل. 8 موقعیت محورهای اصلی را تعیین کنید

شکل 8.

اینرسی و گشتاورهای اصلی اینرسی.

1) داده های اولیه اولیه را برای هر شکل یادداشت می کنیم

کانال

S 1 = 10.9 سانتی متر 2

من x = 20.4 سانتی متر 4

من y = 174 سانتی متر 4

y 0= 1.44 سانتی متر

ساعت= 10 سانتی متر

گوشه نابرابر

S 3 = 6.36 سانتی متر 2

من x = 41.6 سانتی متر 4

من y = 12.7 سانتی متر 4

من دقیقه = 7.58 سانتی متر 4

tga= 0,387

x 0= 1.13 سانتی متر

y 0= 2.6 سانتی متر

مستطیل

S 2 = 40 سانتی متر 2

سانتی متر 4

2) بخش را به مقیاس بکشید

3) محورهای مختصات دلخواه را رسم کنید

4) مختصات مرکز ثقل مقطع را تعیین کنید

5) محورهای مرکزی را رسم کنید

6) گشتاورهای محوری اینرسی را نسبت به محورهای مرکزی تعیین کنید

7) ممان گریز از مرکز اینرسی را نسبت به محورهای مرکزی تعیین کنید

ممان اینرسی گریز از مرکز برای فولاد نورد زاویه ای نسبت به مرکز ثقل آن با یکی از فرمول های زیر تعیین می شود:

-4

علامت گشتاور گریز از مرکز اینرسی برای فولاد نورد زاویه ای مطابق شکل 1 تعیین می شود. 9، بنابراین من xy 3= -13.17 سانتی متر 4.

8) موقعیت محورهای اصلی اینرسی را تعیین کنید

a 0 = 21.84 درجه

9) ممان های اصلی اینرسی را تعیین کنید

وظیفه 4

برای طرح های داده شده (جدول 6) لازم است:

1) یک مقطع را به یک مقیاس دقیق بکشید.

2) موقعیت مرکز ثقل را تعیین کنید.

3) مقادیر گشتاورهای اینرسی محوری را نسبت به محورهای مرکزی بیابید.

4) مقدار گشتاور گریز از مرکز اینرسی را نسبت به محورهای مرکزی بیابید.

5) موقعیت محورهای اصلی اینرسی را تعیین کنید.

6) گشتاورهای اصلی اینرسی را بیابید.

داده های عددی را از جدول بگیرید. 6.

طرح های محاسبه برای مسئله شماره 4

جدول 6

داده های اولیه برای کار شماره 4

№	زاویه یکسان	گوشه نابرابر	من پرتو	کانال	مستطیل	طرح شماره
	30'5	50´32´4			100'30
	40'6	56'36'4			100'40
	50'4	63'40'8			100'20
	56'4	70´45´5			80'40
	63'6	80'50'6		14a	80'60
	70'8	90'56'6			80'100
	80'8	100´63´6	ساعت 20	16a	80'20
	90'9	90´56´8			60'40
	75'9	140´90´10	22a	18 a	60'60
	100'10	160´100´12			60'40
	د	آ	ب	V	جی	د

راهنمایی برای مسئله 5

خم شدن نوعی تغییر شکل است که در آن V.S.F در سطح مقطع میله ظاهر می شود. - لحظه خم شدن

برای محاسبه تیر برای خمش باید مقدار حداکثر ممان خمشی را دانست مو موقعیت بخشی که در آن رخ می دهد. به همین ترتیب، شما باید حداکثر نیروی برشی را بدانید س. برای این منظور نمودار لنگرهای خمشی و نیروهای برشی ساخته می شود. از روی نمودارها به راحتی می توان قضاوت کرد که حداکثر مقدار لحظه یا نیروی برشی کجا خواهد بود. برای تعیین مقادیر مو ساز روش بخش استفاده کنید مدار نشان داده شده در شکل را در نظر بگیرید. 9. مجموع نیروهای روی محور را جمع آوری می کنیم Y، بر روی قسمت قطع شده تیرچه عمل می کند.

شکل 9.

نیروی برشی است جمع جبریتمام نیروهایی که در یک طرف مقطع وارد می شوند.

اجازه دهید مجموع لنگرهای وارد بر قسمت بریده تیر نسبت به مقطع را جمع آوری کنیم.

لنگر خمشی برابر است با مجموع جبری تمام گشتاورهایی که بر روی قسمت بریده تیر نسبت به مرکز ثقل مقطع اثر می کنند.

برای اینکه بتوان از هر انتهای تیر محاسبات انجام داد، لازم است قانون علامت برای عوامل نیروی داخلی اتخاذ شود.

برای نیروی برشی س.

شکل 10.

اگر یک نیروی خارجی قسمت بریده شده تیر را در جهت عقربه های ساعت بچرخاند، نیرو مثبت است و اگر نیروی خارجی قسمت بریده شده تیر را در خلاف جهت عقربه های ساعت بچرخاند، نیرو منفی است.

برای لحظه خم شدن م.

شکل 11.

اگر تحت تأثیر یک نیروی خارجی، محور منحنی تیر به شکل یک کاسه مقعر درآید، به طوری که بارانی که از بالا می آید آن را پر از آب کند، در این صورت ممان خمشی مثبت است (شکل 11a). اگر تحت تأثیر یک نیروی خارجی، محور منحنی تیر به شکل یک کاسه محدب درآید، به طوری که بارانی که از بالا می آید آن را با آب پر نمی کند، در این صورت ممان خمشی منفی است (شکل 11b).

بین شدت بار توزیع شده q، نیروی برشی سو لحظه خم شدن م، در یک بخش خاص، وابستگی های دیفرانسیل زیر وجود دارد:

وابستگی های دیفرانسیل نشان داده شده در طول خمش امکان ایجاد برخی از ویژگی های نمودارهای نیروهای عرضی و گشتاورهای خمشی را فراهم می کند.

1) در مناطقی که بار توزیعی وجود ندارد، نمودار س توسط خطوط مستقیم موازی با محور نمودار، و نمودار محدود شده است م در حالت کلی، با خطوط مستقیم مایل (شکل 19).

2) در مناطقی که یک بار توزیع یکنواخت به تیر وارد می شود، نمودار س توسط خطوط مستقیم مایل و نمودار محدود شده است م - سهمی های درجه دوم (شکل 20). هنگام ساختن نمودار م بر روی الیاف فشرده، تحدب سهمی در جهت مخالف عمل بار توزیع شده قرار دارد (شکل 21 a, b).

شکل 12.

شکل 13.

3) در آن بخش هایی که س= 0، مماس بر نمودار مموازی با محور نمودار (شکل 12، 13). گشتاور خمشی در چنین بخشهایی از تیر از نظر بزرگی بسیار زیاد است ( حداکثر M,Mmin).

4) در مناطقی که س> 0, مافزایش می دهد، یعنی از چپ به راست مختصات مثبت نمودار مافزایش، منفی کاهش می یابد (شکل 12، 13). در آن مناطقی که س < 0, مکاهش می یابد (شکل 12، 13).

5) در بخشهایی که نیروهای متمرکز بر تیر اعمال می شود:

الف) روی نمودار سجهش هایی با بزرگی و در جهت نیروهای اعمال شده وجود خواهد داشت (شکل 12 و 13).

ب) روی نمودار مشکستگی وجود خواهد داشت (شکل 12، 13)، نوک شکستگی در مقابل عمل نیرو است.

6) در قسمت هایی که لنگرهای متمرکز بر روی تیر اعمال می شود، روی نمودار مجهش هایی در بزرگی این لحظات روی نمودار وجود خواهد داشت سهیچ تغییری وجود نخواهد داشت (شکل 14).

شکل 14.

شکل 15.

7) اگر متمرکز

لحظه، پس در این بخش لنگر خمشی برابر با ممان خارجی است (بخش سیو بدر شکل 15).

8) نمودار سنموداری از مشتق طرح را نشان می دهد م. پس دستورات سمتناسب با مماس زاویه میل مماس بر نمودار م(شکل 14).

ترتیب نقشه کشی سو م:

1) نمودار طراحی تیر (به شکل یک محور) که بارهای وارد بر آن را نشان می دهد.

2) تأثیر تکیه گاه ها روی تیر با واکنش های مربوطه جایگزین می شود. تعیین واکنش ها و جهت پذیرفته شده آنها نشان داده شده است.

3) معادلات تعادل برای تیر جمع آوری شده است که راه حل آن مقادیر واکنش های پشتیبانی را تعیین می کند.

4) تیر به مقاطعی تقسیم می شود که مرزهای آن نقاط اعمال نیروها و گشتاورهای متمرکز خارجی و همچنین نقاط شروع و پایان عمل یا تغییر ماهیت بارهای توزیع شده است.

5) عباراتی برای ممان های خمشی گردآوری شده است مو نیروهای برشی سبرای هر بخش از تیر نمودار محاسبه شروع و جهت اندازه گیری فاصله را برای هر بخش نشان می دهد.

6) با استفاده از عبارات به دست آمده، مختصات نمودارها برای تعدادی از مقاطع تیر به مقدار کافی برای نمایش این نمودارها محاسبه می شود.

7) مقاطعی تعیین می شوند که در آنها نیروهای عرضی برابر با صفر است و بنابراین در آنها لنگرها عمل می کنند. حداکثریا Mminبرای یک بخش معین از پرتو؛ مقادیر این لحظات محاسبه می شود.

8) نمودارها با استفاده از مقادیر ارتین به دست آمده ساخته می شوند.

9) نمودارهای ساخته شده با مقایسه آنها با یکدیگر بررسی می شوند.

نمودار عوامل نیروی داخلی در حین خمش به منظور تعیین مقطع خطرناک ساخته شده است. پس از یافتن بخش خطرناک، تیر برای استحکام محاسبه می شود. در حالت کلی خمش عرضی، زمانی که یک لنگر خمشی و نیروی عرضی در مقاطع یک میله اعمال می شود، تنش های نرمال و برشی در مقطع تیر ایجاد می شود. بنابراین، منطقی است که دو شرط قدرت را در نظر بگیریم:

الف) با توجه به ولتاژهای معمولی

ب) توسط تنش های مماسی

از آنجایی که عامل مخرب اصلی تیرها تنش های معمولی است، ابعاد مقطع تیر با شکل پذیرفته شده از شرایط مقاومت برای تنش های معمولی تعیین می شود:

سپس بررسی می شود که آیا مقطع تیر انتخاب شده شرایط مقاومت تنش برشی را برآورده می کند یا خیر.

با این حال، این رویکرد برای محاسبه تیرها هنوز مقاومت تیر را مشخص نمی کند. در بسیاری از موارد، نقاطی در مقاطع تیر وجود دارد که تنش های نرمال و برشی بزرگ به طور همزمان در آنها اعمال می شود. در چنین مواردی، بررسی مقاومت تیر با استفاده از تنش های اصلی ضروری می شود. تئوری های سوم و چهارم استحکام بیشتر برای چنین آزمایش هایی کاربرد دارند:

, .

مثال 1

نمودارهای نیروی برشی بسازید سو لحظه خم شدن مبرای تیر نشان داده شده در شکل. 16 اگر: F 1= 3 کیلو نیوتن، F 2= 1.5 کیلونیوتن، م = 5.1 kN∙m، q = = 2 کیلو نیوتن بر متر، آ = 2 متر، ب = 1 متر، با = 3 متر

شکل 16.

1) واکنش های حمایتی را تعیین کنید.

;

معاینه:

واکنش ها به درستی پیدا شده است

2) تیر را به چند قسمت تقسیم می کنیم سی.ای.,آگهی,DE,E.K.,K.B..

3) مقادیر را تعیین کنید سو مدر هر سایت

, ; , .

آگهی

, ;

, .

, ;

, .

, , .

بیایید حداکثر لحظه خمشی در ناحیه را پیدا کنیم K.B..

بیایید معادله را برابر کنیم سدر این قسمت صفر شده و مختصات را بیان کنید z حداکثر ، با کدامیک س= 0، و لحظه دارای حداکثر مقدار است. بعد جایگزین می کنیم z حداکثر معادله لحظه ای را در این بخش وارد کنید و پیدا کنید حداکثر.

, .

4) ما نمودارها را می سازیم (شکل 16)

مثال 2

برای تیر نشان داده شده در شکل. 16 تعیین ابعاد یک گرد مستطیل شکل ( h/b = 2) و بخش I. استحکام تیر I را با تنش های اصلی بررسی کنید، اگر [s]= 150 مگاپاسکال، [t]= 150 مگاپاسکال

1) لحظه مقاومت مورد نیاز را از شرایط مقاومت تعیین می کنیم

2) ابعاد مقطع دایره ای را تعیین کنید

3) ابعاد مقطع مستطیلی را تعیین کنید

4) ما I-beam شماره 10 را با توجه به مجموعه انتخاب می کنیم (GOST 8239-89)

W X= 39.7 سانتی متر 3، S X * = 23 سانتی متر 3، من X = 198 سانتی متر 4، ساعت = 100 میلی متر، ب = 55 میلی متر، د = 4.5 میلی متر، تی = 7.2 میلی متر

برای بررسی مقاومت تیر بر اساس تنش های اصلی، لازم است نمودارهایی از تنش های معمولی و مماسی در یک مقطع خطرناک ساخته شود. از آنجایی که بزرگی تنش های اصلی به تنش های معمولی و مماسی بستگی دارد، آزمایش مقاومت باید در مقطعی از تیر انجام شود که مو سبه اندازه کافی بزرگ. روی یک ساپورت که در(شکل 16) نیروی برشی سدارای حداکثر مقدار است، اما در اینجا م= 0. بنابراین قسمت پشتیبانی را خطرناک می دانیم آ، که در آن ممان خمشی حداکثر و نیروی برشی نسبتاً زیاد است.

تنش های معمولی که در طول ارتفاع مقطع تغییر می کنند، از قانون خطی پیروی می کنند:

جایی که y- مختصات نقطه مقطع (شکل 24).

در در= 0، s = 0;

در ymax ,

قانون تغییرات تنش های برشی با قانون تغییرات لنگر استاتیکی ناحیه تعیین می شود که به نوبه خود در امتداد ارتفاع مقطع طبق قانون سهمی تغییر می کند. پس از محاسبه مقدار نقاط مشخصه مقطع، نمودار تنش های مماسی را می سازیم. هنگام محاسبه مقادیر t، از عناوین ابعاد مقطع اتخاذ شده در شکل استفاده می کنیم. 17.

شرط استحکام برای لایه 3-3 برآورده شده است.

وظیفه 5

برای طرح های تیر داده شده (جدول 12)، نمودارهای نیروی عرضی بسازید سو لحظه خم شدن م. سطح مقطع را برای نمودار a) دور انتخاب کنید [s]= 10 مگاپاسکال؛ ب) I-beam [s]= 150 مگاپاسکال

داده های عددی را از جدول بگیرید. 7.

جدول 7

داده های اولیه برای مشکل شماره 6

№

صبح

q 1 = q 3، kN/m

q 2، kN/m

F 1، kN

F 2، kN

F 3، kN

M 1، kN∙m

M 2، kN∙m

M 3، kN∙m

طرح شماره

0,8

1,2

ادامه جدول 12

2. گشتاورهای ساکن سطح مقطع نسبت به محورها اوزو اوه(cm 3, m 3):

4. گشتاور گریز از مرکز اینرسی مقطع نسبت به محورها اوزو اوه(cm 4, m 4):

از آن به بعد

محوری J zو جیو قطبی جیممان اینرسی p همیشه مثبت است، زیرا مختصات به توان دوم زیر علامت انتگرال است. لحظات ایستا S zو S yو همچنین ممان گریز از مرکز اینرسی جی زیمی تواند هم مثبت و هم منفی باشد.

محدوده نورد فولاد برای زاویه ها مقادیر مدول گشتاورهای گریز از مرکز را می دهد. مقادیر آنها باید با در نظر گرفتن علامت در محاسبه وارد شود.

برای تعیین علامت گشتاور گریز از مرکز گوشه (شکل 3.2) آن را به صورت ذهنی مجموع سه انتگرال تصور می کنیم که برای قسمت هایی از مقطع واقع در ربع های سیستم مختصات به طور جداگانه محاسبه می شود. بدیهی است که برای قطعات واقع در سه ماهه اول و سوم ارزش مثبت این انتگرال را خواهیم داشت، زیرا محصول zydAمثبت خواهد بود و انتگرال های محاسبه شده برای قطعات واقع در سه ماهه II و IV منفی خواهد بود (محصول zydAمنفی خواهد بود). بنابراین، برای گوشه در شکل. 3.2، و مقدار گشتاور گریز از مرکز اینرسی منفی خواهد بود.

با استدلال به روشی مشابه برای مقطعی که حداقل یک محور تقارن دارد (شکل 3.2، ب)، می توانیم به این نتیجه برسیم که گشتاور گریز از مرکز اینرسی J zy برابر با صفر است اگر یکی از محورها (Oz یا Oy) محور تقارن مقطع باشد.در واقع، برای بخش هایی از مثلث که در ربع 1 و 2 قرار دارند، گشتاورهای گریز از مرکز اینرسی فقط از نظر علامت متفاوت خواهند بود. در مورد قطعاتی که در ربع III و IV هستند نیز همین را می توان گفت.

لحظات ایستا تعیین مرکز ثقل

بیایید گشتاورهای ساکن محورها را محاسبه کنیم اوزو اوهمستطیل نشان داده شده در شکل 3.3.

شکل 3.3. به سمت محاسبه گشتاورهای ایستا

اینجا: آ- سطح مقطع، yCو z C- مختصات مرکز ثقل آن. مرکز ثقل مستطیل در محل تلاقی قطرها قرار دارد.

بدیهی است که اگر محورهایی که گشتاورهای ایستا در مورد آنها محاسبه می شود از مرکز ثقل شکل عبور کنند، مختصات آن برابر با صفر است ( z C = 0, yC= 0)، و مطابق با فرمول (3.6)، ممان های ساکن نیز برابر با صفر خواهند بود. بدین ترتیب، مرکز ثقل یک مقطع نقطه ای است که دارای خاصیت زیر است: گشتاور ساکن در مورد هر محوری که از آن عبور می کند.,برابر با صفر.

فرمول های (3.6) به ما امکان می دهند مختصات مرکز ثقل را پیدا کنیم z Cو yCبخش هایی با شکل پیچیده اگر بتوان بخش را در فرم نشان داد nقسمت هایی که مساحت و موقعیت مراکز ثقل برای آنها مشخص است، سپس محاسبه مختصات مرکز ثقل کل بخش را می توان به شکل زیر نوشت:

(3.7)

تغییر گشتاورهای اینرسی در حین انتقال موازی محورها

لحظه های اینرسی معلوم شود J z, جیو جی زینسبت به محورها اویز. تعیین ممان اینرسی ضروری است JZ, جی یو JZYنسبت به محورها O 1 YZ، موازی با محورها اویز(شکل 3.4) و با فاصله از آنها جدا شد آ(به صورت افقی) و ب(عمودی)

شکل 3.4. تغییر گشتاورهای اینرسی در حین انتقال موازی محورها

مختصات سایت ابتدایی dAبا برابری های زیر با یکدیگر مرتبط هستند: ز = z + آ; Y = y + ب.

بیایید ممان اینرسی را محاسبه کنیم JZ, جی یو JZY.

(3.8)

(3.9)

(3.10)

اگر نکته Oتقاطع های محور اویزمنطبق با نقطه با– مرکز ثقل مقطع (شکل 3.5) گشتاورهای ساکن S zو S yبرابر صفر می شود و فرمول ها Y i و ساده می شوند Z iباید با در نظر گرفتن علائم. علائم مختصات بر ممان اینرسی محوری تأثیر نمی گذارد (مختصات به توان دوم افزایش می یابد)، اما علامت مختصات تأثیر قابل توجهی بر ممان اینرسی گریز از مرکز (محصول) خواهد داشت. Z i Y i A iممکن است منفی باشد).

اجازه دهید Ix، Iy، Ixy نیز شناخته شود. بیایید یک محور جدید x 1، y 1 به موازات محورهای xy رسم کنیم.

و لحظه اینرسی همان مقطع را نسبت به محورهای جدید تعیین می کنیم.

X 1 = x-a; y 1 = y-b

من x 1 = ∫ y 1 dA = ∫ (y-b) 2 dA =

Ix – 2b Sx + b 2 A.

اگر محور x از مرکز ثقل مقطع عبور کند، گشتاور ایستا Sx=0 است.

I x 1 = Ix + b 2 A

مشابه محور y 1 جدید، فرمول I y 1 = Iy + a 2 A را خواهیم داشت.

گشتاور گریز از مرکز اینرسی در مورد محورهای جدید

Ix 1 y 1 = Ixy – b Sx –a Sy + abA.

اگر محورهای xy از مرکز ثقل مقطع عبور کنند، Ix 1 y 1 = Ixy + abA

اگر مقطع متقارن باشد، حداقل یکی از محورهای مرکزی با محور تقارن منطبق است، سپس Ixy = 0، که به معنای Ix 1 y 1 = abA است.

تغییر ممان اینرسی هنگام چرخش محورها.

اجازه دهید گشتاورهای محوری اینرسی در مورد محورهای xy مشخص شود.

اگر چرخش در خلاف جهت عقربه های ساعت باشد، با چرخش سیستم قدیمی با زاویه (a > 0)، یک سیستم مختصات xy جدید به دست می آوریم.

بیایید بین مختصات قدیمی و جدید سایت ارتباط برقرار کنیم

y 1 =ab = ac – bc = ab-de

از مثلث acd:

ac/ad =cos α ac= ad*cos α

از مثلث oed:

de/od =sin α dc = od*sin α

بیایید این مقادیر را در عبارت y جایگزین کنیم

y 1 = ad cos α - od sin α = y cos α - x sin α.

به همین ترتیب

x 1 = x cos α + y sin α.

بیایید گشتاور محوری اینرسی را نسبت به محور جدید x 1 محاسبه کنیم

Ix 1 = ∫y 1 2 dA = ∫ (y cos α - x sin α) 2 dA= ∫ (y 2 cos 2 α - 2xy sin α cos α + x 2 sin 2 α)dA= =cos 2 α ∫ y 2 dA – sin2 α ∫xy dA + sin 2 α ∫x 2 dA = Ix cos 2 α - Ixy sin2 α + Iy sin 2 α .

به طور مشابه، Iy 1 = Ix sin 2 α - Ixy sin2 α + Iy cos 2 α.

بیایید سمت چپ و راست عبارات حاصل را اضافه کنیم:

Ix 1 + Iy 1 = Ix (sin 2 α + cos 2 α) + Iy (sin 2 α + cos 2 α) + Ixy (sin2 α - cos2 α).

Ix 1 + Iy 1 = Ix + Iy

مجموع گشتاورهای محوری اینرسی در طول چرخش تغییر نمی کند.

اجازه دهید گشتاور گریز از مرکز اینرسی را نسبت به محورهای جدید تعیین کنیم. بیایید مقادیر x 1 , y 1 را تصور کنیم.

Ix 1 y 1 = ∫x 1 y 1 dA = (Ix – Iy)/2*sin 2 α + Ixy cos 2 α .

گشتاورهای اصلی و محورهای اصلی اینرسی.

لحظات اصلی اینرسیبه آنها مقادیر افراطی می گویند.

محورهایی که مقادیر افراطی در مورد آنها به دست آمده است، محورهای اصلی اینرسی نامیده می شوند. آنها همیشه بر هم عمود هستند.

ممان گریز از مرکز نسبت به محورهای اصلی همیشه برابر با 0 است. از آنجایی که مشخص است که یک محور تقارن در مقطع وجود دارد، ممان گریز از مرکز برابر با 0 است، به این معنی که محور تقارن، محور اصلی است. اگر اولین مشتق عبارت I x 1 را بگیریم، سپس آن را با "0" برابر کنیم، مقدار زاویه = مربوط به موقعیت محورهای اصلی اینرسی را بدست می آوریم.

tan2 α 0 = -

اگر α 0 > 0 باشد، برای یک موقعیت خاص از محورهای اصلی، محور قدیمی باید در خلاف جهت عقربه‌های ساعت چرخانده شود. یکی از محورهای اصلی حداکثر و دیگری حداقل است. در این حالت، محور حداکثر همیشه با یک زاویه کوچکتر با محور تصادفی که دارای گشتاور محوری اینرسی بزرگتر است مطابقت دارد. مقادیر شدید گشتاور محوری اینرسی با فرمول تعیین می شود:

فصل 2. مفاهیم اساسی مقاومت مواد. اهداف و روش ها.

هنگام طراحی سازه های مختلف، لازم است مسائل مختلفی از جمله استحکام، صلبیت و پایداری حل شود.

استحکام - قدرت- توانایی یک جسم معین برای تحمل بارهای مختلف بدون تخریب.

سختی– توانایی یک سازه در جذب بارها بدون تغییر شکل (تغییر مکان) زیاد. مقادیر اولیه تغییر شکل مجاز توسط قوانین و مقررات ساختمانی (SNIP) تنظیم می شود.

پایداری

فشرده سازی یک میله انعطاف پذیر را در نظر بگیرید

اگر بار به تدریج افزایش یابد، میله ابتدا کوتاه می شود. هنگامی که نیروی F به یک مقدار بحرانی خاص می رسد، میله کمانش می کند. - کوتاه شدن مطلق

در این مورد، میله فرو نمی ریزد، اما به شدت شکل خود را تغییر می دهد. این پدیده از دست دادن ثبات نامیده می شود و منجر به تخریب می شود.

سوپرومات- اینها مبانی علوم استحکام، صلبیت و پایداری سازه های مهندسی هستند. مواد مقاومتی از روش های مکانیک نظری، فیزیک و ریاضیات استفاده می کنند. بر خلاف مکانیک نظری، مقاومت مقاومت تغییرات در اندازه و شکل اجسام را تحت تأثیر بار و دما در نظر می گیرد.