معادله یک هواپیما. چگونه معادله یک هواپیما را بنویسیم؟
چیدمان متقابل هواپیماها. وظایف

هندسه فضایی بسیار پیچیده تر از هندسه "مسطح" نیست و پروازهای ما در فضا با این مقاله آغاز می شود. برای تسلط بر موضوع، باید درک خوبی از آن داشته باشید بردارها، علاوه بر این، توصیه می شود با هندسه هواپیما آشنا باشید - شباهت های زیادی وجود خواهد داشت، تشابهات زیادی وجود خواهد داشت، بنابراین اطلاعات بسیار بهتر هضم می شود. در یک سری از درس های من، دنیای دوبعدی با یک مقاله باز می شود معادله یک خط مستقیم در یک صفحه. اما اکنون بتمن صفحه تخت تلویزیون را ترک کرده و از کیهان بایکونور پرتاب می شود.

بیایید با نقاشی ها و نمادها شروع کنیم. از نظر شماتیک، صفحه را می توان به شکل متوازی الاضلاع ترسیم کرد که تصوری از فضا ایجاد می کند:

هواپیما بی نهایت است، اما ما این فرصت را داریم که فقط یک تکه از آن را به تصویر بکشیم. در عمل علاوه بر متوازی الاضلاع، یک بیضی یا حتی یک ابر نیز ترسیم می شود. به دلایل فنی، برای من راحت تر است که هواپیما را دقیقاً به این شکل و دقیقاً در این موقعیت به تصویر بکشم. هواپیماهای واقعی، که در نمونه های عملی در نظر خواهیم گرفت، می توانند به هر نحوی قرار بگیرند - به طور ذهنی نقاشی را در دستان خود بگیرید و آن را در فضا بچرخانید، و به هواپیما هر شیب، هر زاویه ای بدهید.

تعیین ها: هواپیماها را معمولاً با حروف کوچک یونانی نشان می دهند، ظاهراً برای اینکه آنها را با خط مستقیم در هواپیمایا با خط مستقیم در فضا. من به استفاده از حرف عادت دارم. در نقاشی حرف "سیگما" است و اصلاً سوراخ نیست. اگرچه، هواپیمای سوراخ مطمئناً بسیار خنده دار است.

در برخی موارد، استفاده از همان حروف یونانی با زیرنویس های پایین تر برای تعیین هواپیما راحت است، به عنوان مثال، .

واضح است که هواپیما به طور منحصر به فردی توسط سه نقطه مختلف که روی یک خط قرار ندارند تعریف می شود. بنابراین، تعیین سه حرفی هواپیماها بسیار محبوب است - به عنوان مثال، با توجه به نقاط متعلق به آنها و غیره. اغلب حروف در پرانتز قرار می گیرند: ، تا هواپیما را با یک شکل هندسی دیگر اشتباه نگیرید.

برای خوانندگان با تجربه خواهم داد منوی دسترسی سریع:

• چگونه با استفاده از یک نقطه و دو بردار معادله یک هواپیما ایجاد کنیم؟
• چگونه با استفاده از یک نقطه و یک بردار معمولی معادله یک هواپیما ایجاد کنیم؟

و ما در انتظارهای طولانی سست نخواهیم شد:

معادله صفحه عمومی

معادله کلی هواپیما به شکلی است که در آن ضرایب در آن واحد برابر با صفر نیستند.

تعدادی از محاسبات نظری و مسائل عملی هم برای مبنای متعارف معمولی و هم برای پایه فضایی معتبر هستند (اگر روغن روغن است، به درس برگردید. وابستگی خطی (غیر) بردارها. اساس بردارها). برای سادگی، فرض می کنیم که همه رویدادها بر اساس یک سیستم متعامد و یک سیستم مختصات مستطیلی دکارتی رخ می دهند.

حالا بیایید کمی تخیل فضایی خود را تمرین کنیم. اگر مال شما بد باشد اشکالی ندارد، اکنون آن را کمی توسعه می دهیم. حتی بازی روی اعصاب هم نیاز به تمرین دارد.

در کلی ترین حالت، زمانی که اعداد برابر با صفر نیستند، صفحه هر سه محور مختصات را قطع می کند. به عنوان مثال، مانند این:

یک بار دیگر تکرار می کنم که هواپیما به طور نامحدود در همه جهات ادامه دارد و ما این فرصت را داریم که تنها بخشی از آن را به تصویر بکشیم.

بیایید ساده ترین معادلات هواپیماها را در نظر بگیریم:

چگونه این معادله را بفهمیم؟ در مورد آن فکر کنید: "Z" برای هر مقدار "X" و "Y" همیشه برابر با صفر است. این معادله صفحه مختصات "بومی" است. در واقع، به طور رسمی معادله را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد: ، از جایی که به وضوح می توانید ببینید که ما اهمیتی نمی دهیم که "x" و "y" چه مقادیری می گیرند، مهم است که "z" برابر با صفر باشد.

به همین ترتیب:
- معادله صفحه مختصات؛
- معادله صفحه مختصات.

بیایید مشکل را کمی پیچیده کنیم، یک صفحه در نظر بگیریم (در اینجا و در ادامه پاراگراف فرض می کنیم که ضرایب عددی برابر با صفر نیستند). بیایید معادله را به شکل بازنویسی کنیم: . چگونه آن را درک کنیم؟ "X" همیشه برای هر مقدار "Y" و "Z" برابر با یک عدد مشخص است. این صفحه موازی با صفحه مختصات است. مثلاً صفحه ای موازی با صفحه است و از نقطه ای می گذرد.

به همین ترتیب:
- معادله صفحه ای که با صفحه مختصات موازی است.
- معادله صفحه ای که با صفحه مختصات موازی است.

بیایید اعضا را اضافه کنیم: . معادله را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد: یعنی "zet" می تواند هر چیزی باشد. چه مفهومی داره؟ "X" و "Y" توسط رابطه ای به هم متصل می شوند که یک خط مستقیم مشخص را در صفحه ترسیم می کند (شما متوجه خواهید شد معادله یک خط در یک صفحه؟). از آنجایی که "z" می تواند هر چیزی باشد، این خط مستقیم در هر ارتفاعی "تکثیر" می شود. بنابراین، معادله یک صفحه موازی با محور مختصات را تعریف می کند

به همین ترتیب:
- معادله صفحه ای که با محور مختصات موازی است.
- معادله صفحه ای که با محور مختصات موازی است.

اگر عبارات آزاد صفر باشند، هواپیماها مستقیماً از محورهای مربوطه عبور می کنند. به عنوان مثال، کلاسیک "نسبت مستقیم": . یک خط مستقیم در صفحه بکشید و به صورت ذهنی آن را به بالا و پایین ضرب کنید (زیرا Z هر کدام است). نتیجه: صفحه تعریف شده توسط معادله از محور مختصات عبور می کند.

ما بررسی را کامل می کنیم: معادله هواپیما از مبدأ عبور می کند. خوب، در اینجا کاملاً واضح است که نقطه این معادله را برآورده می کند.

و در نهایت، مورد نشان داده شده در نقاشی: - هواپیما با تمام محورهای مختصات دوستانه است، در حالی که همیشه یک مثلث را که می تواند در هر یک از هشت اکتان قرار گیرد، "قطع" می کند.

نابرابری های خطی در فضا

برای درک اطلاعات باید خوب مطالعه کنید نابرابری های خطی در صفحه، زیرا بسیاری از چیزها مشابه خواهند بود. این پاراگراف ماهیت مختصری با چندین مثال دارد، زیرا مطالب در عمل بسیار نادر است.

اگر معادله یک صفحه را تعریف می کند، نابرابری ها
پرسیدن نیم فاصله ها. اگر نابرابری دقیق نباشد (دو مورد آخر در لیست)، راه حل نابرابری، علاوه بر نیم فاصله، شامل خود صفحه نیز می شود.

مثال 5

بردار نرمال واحد هواپیما را پیدا کنید .

راه حل: بردار واحد برداری است که طول آن یک باشد. اجازه دهید این بردار را با علامت گذاری کنیم. کاملاً واضح است که بردارها هم خط هستند:

ابتدا بردار نرمال را از معادله صفحه حذف می کنیم: .

چگونه بردار واحد را پیدا کنیم؟ برای پیدا کردن بردار واحد، شما نیاز دارید هرمختصات بردار را بر طول بردار تقسیم کنید.

بیایید بردار معمولی را به شکل بازنویسی کنیم و طول آن را پیدا کنیم:

با توجه به مطالب فوق:

پاسخ:

تأیید: آنچه لازم بود تأیید شود.

خوانندگانی که پاراگراف آخر درس را با دقت مطالعه کردند احتمالاً متوجه این موضوع شده اند مختصات بردار واحد دقیقاً کسینوس های جهت بردار هستند:

بیایید کمی از مشکل موجود فاصله بگیریم: وقتی یک بردار غیر صفر دلخواه به شما داده می شودو با توجه به شرط باید کسینوس های جهت آن را پیدا کرد (به آخرین مسائل درس مراجعه کنید حاصل ضرب نقطه ای بردارها، در واقع یک بردار واحد هم خط با این بردار پیدا می کنید. در واقع دو کار در یک بطری.

نیاز به یافتن بردار نرمال واحد در برخی مسائل تحلیل ریاضی مطرح می شود.

ما فهمیدیم که چگونه یک بردار معمولی را ماهیگیری کنیم، اکنون اجازه دهید به سوال مخالف پاسخ دهیم:

چگونه با استفاده از یک نقطه و یک بردار معمولی معادله یک هواپیما ایجاد کنیم؟

این ساختار سفت و سخت از یک بردار معمولی و یک نقطه به خوبی برای تخته دارت شناخته شده است. لطفاً دست خود را به جلو دراز کنید و به طور ذهنی یک نقطه دلخواه در فضا را انتخاب کنید، به عنوان مثال، یک گربه کوچک در بوفه. بدیهی است که از طریق این نقطه می توانید یک صفحه عمود بر دست خود بکشید.

معادله صفحه ای که از نقطه ای عمود بر بردار عبور می کند با فرمول بیان می شود:

می توان به روش های مختلف (یک نقطه و یک بردار، دو نقطه و یک بردار، سه نقطه و غیره) مشخص کرد. با در نظر گرفتن این است که معادله هواپیما می تواند داشته باشد انواع مختلف. همچنین با توجه به شرایط خاصی، صفحات می توانند موازی، عمود بر هم، متقاطع و غیره باشند. در این مقاله در مورد این موضوع صحبت خواهیم کرد. ما یاد خواهیم گرفت که چگونه یک معادله کلی یک هواپیما و موارد دیگر ایجاد کنیم.

شکل عادی معادله

فرض کنید یک فضای R 3 وجود دارد که دارای یک سیستم مختصات مستطیلی XYZ است. اجازه دهید بردار α را تعریف کنیم که از نقطه اولیه O آزاد می شود. از انتهای بردار α، صفحه ای را رسم می کنیم که عمود بر آن خواهد بود.

اجازه دهید یک نقطه دلخواه در P را به صورت Q = (x, y, z) نشان دهیم. بردار شعاع نقطه Q را با حرف p امضا می کنیم. در این حالت طول بردار α برابر است با р=IαI و Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

این یک بردار واحد است که مانند بردار α به سمت کناره هدایت می شود. α، β و γ زوایایی هستند که به ترتیب بین بردار Ʋ و جهات مثبت محورهای فضایی x، y، z تشکیل می شوند. طرح ریزی هر نقطه QϵП بر روی بردار Ʋ یک مقدار ثابت است که برابر است با p: (p,Ʋ) = p(p≥0).

معادله فوق زمانی معنا می یابد که p=0 باشد. تنها نکته این است که صفحه P در این حالت نقطه O را قطع می کند (0=α) که مبدأ مختصات است و بردار واحد Ʋ آزاد شده از نقطه O با وجود جهت آن عمود بر P خواهد بود. به این معنی است که بردار Ʋ با دقت به علامت تعیین می شود. معادله قبلی معادله صفحه ما P است که به صورت برداری بیان شده است. اما در مختصات به این صورت خواهد بود:

P در اینجا بزرگتر یا مساوی 0 است. ما معادله هواپیما در فضا را به شکل عادی پیدا کرده ایم.

معادله کلی

اگر معادله را در مختصات در هر عددی ضرب کنیم که برابر با صفر نباشد، معادله ای معادل آن به دست می آید که همان صفحه را تعریف می کند. شبیه این خواهد شد:

در اینجا A، B، C اعدادی هستند که به طور همزمان با صفر متفاوت هستند. این معادله را معادله صفحه عمومی می نامند.

معادلات هواپیماها موارد خاص

معادله به صورت کلی در صورت وجود شرایط اضافی قابل تغییر است. بیایید به برخی از آنها نگاه کنیم.

فرض کنید ضریب A 0 باشد. این بدان معناست که این صفحه با محور Ox داده شده موازی است. در این صورت شکل معادله تغییر می کند: Ву+Cz+D=0.

به طور مشابه، شکل معادله در شرایط زیر تغییر می کند:

• اولاً اگر B = 0 باشد، معادله به Ax + Cz + D = 0 تغییر می کند که نشان دهنده موازی بودن با محور Oy است.
• ثانیاً اگر C=0 باشد، معادله به Ax+By+D=0 تبدیل می‌شود که نشان‌دهنده موازی بودن با محور اوز است.
• ثالثاً، اگر D=0 باشد، معادله شبیه Ax+By+Cz=0 خواهد شد که به این معنی است که صفحه O (مبدا) را قطع می کند.
• چهارم، اگر A=B=0، معادله به Cz+D=0 تغییر می کند که موازی با Oxy است.
• خامساً اگر B=C=0 معادله Ax+D=0 می شود، یعنی صفحه اویز موازی است.
• ششم، اگر A=C=0، معادله به شکل Ву+D=0 می شود، یعنی موازی بودن را به Oxz گزارش می دهد.

نوع معادله در بخش ها

در صورتی که اعداد A، B، C، D با صفر متفاوت باشند، شکل معادله (0) می تواند به صورت زیر باشد:

x/a + y/b + z/c = 1،

که در آن a = -D/A، b = -D/B، c = -D/C.

شایان ذکر است که این صفحه محور Ox را در نقطه ای با مختصات (a,0,0) Oy - (0,b,0) و Oz - (0,0,c) قطع می کند. ).

با در نظر گرفتن معادله x/a + y/b + z/c = 1، تصور بصری قرارگیری هواپیما نسبت به یک سیستم مختصات معین دشوار نیست.

مختصات بردار معمولی

بردار نرمال n نسبت به صفحه P مختصاتی دارد که ضرایب معادله کلی این صفحه یعنی n (A, B, C) هستند.

برای تعیین مختصات n نرمال کافی است معادله کلی یک صفحه معین را بدانیم.

هنگام استفاده از یک معادله در قطعات، که به شکل x/a + y/b + z/c = 1 است، و همچنین هنگام استفاده از یک معادله کلی، می توانید مختصات هر بردار نرمال یک صفحه معین را بنویسید: (1 /a + 1/b + 1/ با).

شایان ذکر است که بردار معمولی به حل مسائل مختلف کمک می کند. رایج ترین آنها شامل مسائلی است که شامل اثبات عمود یا موازی صفحات، مشکلات یافتن زاویه بین صفحات یا زاویه بین صفحات و خطوط مستقیم است.

نوع معادله صفحه با توجه به مختصات نقطه و بردار نرمال

بردار غیر صفر n عمود بر یک صفحه معین را برای یک صفحه معین نرمال می نامند.

فرض کنید در فضای مختصات (سیستم مختصات مستطیلی) Oxyz داده می شود:

• نقطه Mₒ با مختصات (xₒ,yₒ,zₒ)؛
• بردار صفر n=A*i+B*j+C*k.

لازم است برای صفحه ای که از نقطه Mₒ عمود بر n نرمال عبور کند معادله ای ایجاد شود.

هر نقطه دلخواه در فضا را انتخاب می کنیم و آن را M (x y, z) نشان می دهیم. بگذارید بردار شعاع هر نقطه M (x,y,z) r=x*i+y*j+z*k باشد و بردار شعاع نقطه Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. اگر بردار MₒM بر بردار n عمود باشد، نقطه M متعلق به یک صفحه معین خواهد بود. اجازه دهید شرط متعامد را با استفاده از حاصل ضرب اسکالر بنویسیم:

[MₒM، n] = 0.

از آنجایی که MₒM = r-rₒ، معادله برداری صفحه به صورت زیر خواهد بود:

این معادله می تواند شکل دیگری داشته باشد. برای این کار از خواص حاصل ضرب اسکالر استفاده می شود و سمت چپ معادله تبدیل می شود. = - . اگر آن را با c نشان دهیم، معادله زیر به دست می آید: - c = 0 یا = c، که ثابت بودن برآمدگی ها را بر بردار عادی بردارهای شعاع نقاط داده شده که به صفحه تعلق دارند، بیان می کند.

اکنون می توانیم مختصات نوشتن معادله برداری صفحه خود را بدست آوریم = 0. از آنجایی که r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k، و n = A*i+B *j+С*k، داریم:

معلوم می شود که برای صفحه ای که از نقطه ای عمود بر n معمولی می گذرد معادله ای داریم:

A*(x-xₒ)+B*(y-yₒ)C*(z-z2)=0.

نوع معادله صفحه با توجه به مختصات دو نقطه و بردار هم خط به صفحه

اجازه دهید دو نقطه دلخواه M′ (x′,y′,z′) و M″ (x″,y″,z″) و همچنین یک بردار a (a′,a″,a‴) تعریف کنیم.

اکنون می‌توانیم برای یک صفحه معین معادله‌ای بسازیم که از نقاط موجود M′ و M″ و همچنین هر نقطه M با مختصات (x، y، z) موازی با بردار معین a عبور کند.

در این حالت، بردارهای M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) و M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) باید با بردار همسطح باشند. a=(a′,a″,a‴)، به این معنی که (M′M, M″M, a)=0.

بنابراین، معادله هواپیمای ما در فضا به شکل زیر خواهد بود:

نوع معادله صفحه ای که سه نقطه را قطع می کند

فرض کنید سه نقطه داریم: (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) که به یک خط تعلق ندارند. لازم است معادله صفحه ای که از سه نقطه داده شده عبور می کند بنویسیم. نظریه هندسه ادعا می کند که این نوع صفحه واقعا وجود دارد، اما تنها و منحصر به فرد است. از آنجایی که این صفحه نقطه (x',y',z') را قطع می کند، شکل معادله آن به صورت زیر خواهد بود:

در اینجا A، B، C همزمان با صفر متفاوت هستند. همچنین، صفحه داده شده دو نقطه دیگر را قطع می کند: (x″,y″,z″) و (x‴,y‴,z‴). در این رابطه شرایط زیر باید رعایت شود:

اکنون می توانیم یک سیستم همگن با مجهولات u، v، w ایجاد کنیم:

در مورد ما، x، y یا z یک نقطه دلخواه است که معادله (1) را برآورده می کند. با توجه به معادله (1) و سیستم معادلات (2) و (3)، سیستم معادلات نشان داده شده در شکل بالا با بردار N (A,B,C) که غیر پیش پا افتاده است ارضا می شود. به همین دلیل است که تعیین کننده این سیستم برابر با صفر است.

معادله (1) که به دست آوردیم معادله صفحه است. دقیقاً از 3 نقطه عبور می کند و بررسی آن آسان است. برای انجام این کار، باید دترمینانت خود را به عناصر ردیف اول گسترش دهیم. از خصوصیات موجود تعیین کننده، این نتیجه می شود که صفحه ما به طور همزمان سه نقطه در ابتدا داده شده (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) را قطع می کند. . یعنی تکلیف محول شده را حل کرده ایم.

زاویه دو وجهی بین صفحات

زاویه دو وجهی یک شکل هندسی فضایی است که توسط دو نیم صفحه که از یک خط مستقیم بیرون می آیند تشکیل شده است. به عبارت دیگر، این بخشی از فضا است که توسط این نیم صفحه ها محدود می شود.

فرض کنید دو صفحه با معادلات زیر داریم:

می دانیم که بردارهای N=(A,B,C) و N1=(A1,B1,C1) با توجه به صفحات داده شده عمود هستند. در این راستا، زاویه φ بین بردارهای N و N1 برابر با زاویه (دو وجهی) است که بین این صفحات قرار دارد. محصول نقطه به شکل زیر است:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

دقیقا به این دلیل

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

کافی است در نظر بگیریم که 0≤φ≤π.

در واقع دو صفحه که قطع می کنند دو زاویه (دو وجهی) تشکیل می دهند: φ 1 و φ 2. مجموع آنها برابر است با π (φ 1 + φ 2 = π). در مورد کسینوس آنها، مقادیر مطلق آنها برابر است، اما آنها در علامت متفاوت هستند، یعنی cos φ 1 = -cos φ 2. اگر در رابطه (0) A، B و C را به ترتیب با اعداد -A، -B و -C جایگزین کنیم، آنگاه معادله ای که به دست می آوریم همان صفحه، تنها یک، زاویه φ را در معادله cos تعیین می کند. φ= NN 1 /| N||N 1 | با π-φ جایگزین خواهد شد.

معادله یک صفحه عمود بر هم

صفحاتی که زاویه بین آنها 90 درجه است، عمود نامیده می شوند. با استفاده از مطالب ارائه شده در بالا، می توانیم معادله یک صفحه عمود بر دیگری را پیدا کنیم. فرض کنید دو صفحه داریم: Ax+By+Cz+D=0 و A¹x+B1y+C¹z+D=0. می توان گفت که اگر cosφ=0 آنها عمود خواهند بود. این بدان معنی است که NN1=AA1+BB1+CC1=0.

معادله صفحه موازی

دو صفحه که دارای نقاط مشترک نیستند موازی نامیده می شوند.

شرط (معادلات آنها مانند پاراگراف قبل است) این است که بردارهای N و N1 که بر آنها عمود هستند، هم خط باشند. این بدان معنی است که شرایط تناسب زیر رعایت می شود:

A/A¹=B/B1=C/C¹.

اگر شرایط تناسب گسترش یابد - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD1،

این نشان می دهد که این هواپیماها منطبق هستند. این بدان معنی است که معادلات Ax+By+Cz+D=0 و A¹x+B1y+C1z+D1=0 یک صفحه را توصیف می کنند.

فاصله تا هواپیما از نقطه

فرض کنید صفحه P داریم که با معادله (0) به دست می آید. باید فاصله آن را از نقطه ای با مختصات (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ پیدا کرد. برای انجام این کار، باید معادله صفحه P را به شکل عادی در آورید:

(ρ,v)=р (р≥0).

در این حالت ρ (x,y,z) بردار شعاع نقطه ما Q واقع در P است، p طول عمود P است که از نقطه صفر رها شده است، v بردار واحد است که در جهت الف.

تفاوت ρ-ρº بردار شعاع نقطه ای Q = (x, y, z) متعلق به P و همچنین بردار شعاع یک نقطه داده شده Q 0 = (xₒ, уₒ, zₒ) چنین بردار است. مقدار مطلق طرح ریزی که بر روی v برابر است با فاصله d که باید از Q 0 = (xₒ,уₒ,zₒ) تا P پیدا شود:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|، اما

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =ρ-(ρ 0 ,v).

پس معلوم می شود

d=|(ρ 0 ,v)-р|.

بنابراین، قدر مطلق عبارت حاصل، یعنی d مورد نظر را خواهیم یافت.

با استفاده از زبان پارامتر، واضح است:

d=|Ахₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(А²+В²+С²).

اگر نقطه داده شده Q 0 در طرف دیگر صفحه P باشد، مانند مبدا مختصات، بنابراین بین بردار ρ-ρ 0 و v وجود دارد:

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-р>0.

در صورتی که نقطه Q 0 به همراه مبدأ مختصات در همان سمت P قرار گیرد، زاویه ایجاد شده حاد است، یعنی:

d=(ρ-ρ 0 ,v)=р - (ρ 0 , v)> 0.

در نتیجه، معلوم می شود که در حالت اول (ρ 0 ,v)>р، در مورد دوم (ρ 0 ,v)<р.

صفحه مماس و معادله آن

صفحه مماس به سطح در نقطه تماس Mº صفحه ای است که شامل تمام مماس های ممکن بر منحنی های کشیده شده از این نقطه روی سطح است.

با این نوع معادله سطح F(x,y,z)=0، معادله صفحه مماس در نقطه مماس Mº(xº,yº,zº) به شکل زیر خواهد بود:

F x (xº، yº، zº) (x- xº) + F x (xº، yº، zº) (y- yº) + F x (xº، yº، zº) (z-zº) = 0.

اگر سطح را به صورت صریح z=f (x,y) مشخص کنید، صفحه مماس با معادله توصیف می شود:

z-zº =f(xº، yº)(x- xº)+f(xº، yº) (y- yº).

تقاطع دو صفحه

در سیستم مختصات (مستطیل شکل) Oxyz قرار دارد، دو صفحه П′ و П″ داده می شود که همدیگر را قطع می کنند و منطبق نمی شوند. از آنجایی که هر صفحه ای که در یک سیستم مختصات مستطیلی قرار دارد با یک معادله کلی تعیین می شود، فرض می کنیم که P' و P' با معادلات A'x+B'y+C'z+D'=0 و A″x به دست می آیند. +B″y+ С″z+D″=0. در این حالت، n نرمال (A',B',C') صفحه P' و n″ نرمال (A″,B″,C″) صفحه P″ را داریم. از آنجایی که صفحات ما موازی نیستند و بر هم منطبق نیستند، این بردارها هم خطی نیستند. با استفاده از زبان ریاضیات می توانیم این شرط را به صورت زیر بنویسیم: n′≠ n″ ↔ (A′,B′,C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. بگذارید خط مستقیمی که در محل تقاطع P' و P' قرار دارد با حرف a نشان داده شود، در این مورد a = P' ∩ P″.

a خط مستقیمی است که از مجموعه تمام نقاط صفحات (مشترک) P' و P' تشکیل شده است. این بدان معناست که مختصات هر نقطه متعلق به خط a باید همزمان معادلات A′x+B′y+C′z+D′=0 و A″x+B″y+C″z+D″=0 را برآورده کند. . این بدان معنی است که مختصات نقطه حل جزئی سیستم معادلات زیر خواهد بود:

در نتیجه، معلوم می شود که راه حل (کلی) این سیستم معادلات، مختصات هر یک از نقاط خط را که به عنوان نقطه تلاقی P و P عمل می کند، تعیین می کند و خط مستقیم را تعیین می کند. a در سیستم مختصات Oxyz (مستطیل شکل) در فضا.

ویژگی های خط مستقیم در هندسه اقلیدسی

تعداد نامحدودی از خطوط مستقیم را می توان در هر نقطه ترسیم کرد.

از طریق هر دو نقطه غیر متقارن می توان یک خط مستقیم را رسم کرد.

دو خط واگرا در یک صفحه یا در یک نقطه قطع می شوند یا هستند

موازی (پیروی از قبلی).

در فضای سه بعدی، سه گزینه برای موقعیت نسبی دو خط وجود دارد:

• خطوط متقاطع؛

• خطوط موازی هستند.

• خطوط مستقیم همدیگر را قطع می کنند

سر راست خط- منحنی جبری مرتبه اول: یک خط مستقیم در دستگاه مختصات دکارتی

در هواپیما توسط یک معادله درجه یک داده می شود ( معادله خطی).

معادله کلی یک خط مستقیم

تعریف. هر خط مستقیم روی هواپیما را می توان با یک معادله مرتبه اول مشخص کرد

تبر + وو + سی = 0،

و ثابت الف، بدر یک زمان برابر با صفر نیستند. این معادله مرتبه اول نامیده می شود عمومی

معادله یک خط مستقیمبسته به مقادیر ثابت ها الف، بو باموارد خاص زیر ممکن است:

. C = 0، A ≠0، B ≠ 0- یک خط مستقیم از مبدأ عبور می کند

. A = 0، B ≠0، C ≠0 (با + C = 0)- خط مستقیم موازی با محور اوه

. B = 0، A ≠0، C ≠ 0 (Ax + C = 0)- خط مستقیم موازی با محور OU

. B = C = 0، A ≠0- خط مستقیم با محور منطبق است OU

. A = C = 0، B ≠0- خط مستقیم با محور منطبق است اوه

معادله یک خط مستقیم را می توان به اشکال مختلف بسته به هر داده ارائه کرد

شرایط اولیه.

معادله یک خط مستقیم از یک نقطه و یک بردار نرمال.

تعریف. در یک سیستم مختصات مستطیلی دکارتی برداربا اجزای (A, B)

عمود بر خط داده شده توسط معادله

تبر + وو + سی = 0.

مثال. معادله خطی که از یک نقطه می گذرد را بیابید A (1، 2)عمود بر بردار (3, -1).

راه حل. با A = 3 و B = -1، بیایید معادله خط مستقیم را بسازیم: 3x - y + C = 0. برای پیدا کردن ضریب C

اجازه دهید مختصات نقطه داده شده A را در عبارت حاصل جایگزین کنیم.

C = -1. مجموع: معادله مورد نیاز: 3x - y - 1 = 0.

معادله خطی که از دو نقطه می گذرد.

بگذارید دو نقطه در فضا داده شود M 1 (x 1 , y 1 , z 1)و M2 (x 2، y 2، z 2)،سپس معادله یک خط,

عبور از این نقاط:

اگر هر یک از مخرج ها صفر باشد، صورت مربوطه باید برابر با صفر باشد. بر

در صفحه، معادله خط مستقیم که در بالا نوشته شده است ساده شده است:

اگر x 1 ≠ x 2و x = x 1، اگر x 1 = x 2 .

کسر = kتماس گرفت شیب سر راست.

مثال. معادله خطی که از نقاط A(1,2) و B(3,4) می گذرد را بیابید.

راه حل. با استفاده از فرمول نوشته شده در بالا، دریافت می کنیم:

معادله یک خط مستقیم با استفاده از یک نقطه و شیب.

اگر معادله کلی خط تبر + وو + سی = 0منجر شدن:

و تعیین کنید ، سپس معادله حاصل فراخوانی می شود

معادله یک خط مستقیم با شیب k.

معادله یک خط مستقیم از یک نقطه و یک بردار جهت.

با قیاس با نقطه با در نظر گرفتن معادله یک خط مستقیم از بردار عادی، می توانید کار را وارد کنید.

یک خط مستقیم از طریق یک نقطه و یک بردار جهت دهنده یک خط مستقیم.

تعریف. هر بردار غیر صفر (α 1، α 2)، که اجزای آن شرایط را برآورده می کند

Aα 1 + Bα 2 = 0تماس گرفت بردار جهت دهنده یک خط مستقیم

تبر + وو + سی = 0.

مثال. معادله یک خط مستقیم با بردار جهت (1، -1) و عبور از نقطه A (1، 2) را بیابید.

راه حل. معادله خط مورد نظر را به شکل زیر جستجو می کنیم: Ax + By + C = 0.طبق تعریف،

ضرایب باید شرایط زیر را داشته باشند:

1 * A + (-1) * B = 0، یعنی. A = B.

سپس معادله خط مستقیم به شکل زیر است: Ax + Ay + C = 0،یا x + y + C / A = 0.

در x = 1، y = 2ما گرفتیم C/A = -3، یعنی معادله مورد نیاز:

x + y - 3 = 0

معادله یک خط مستقیم در پاره ها.

اگر در معادله کلی خط مستقیم Ах + Ву + С = 0 С≠0، با تقسیم بر -С، به دست می آید:

یا کجا

معنای هندسی ضرایب این است که ضریب a مختصات نقطه تقاطع است.

مستقیم با محور اوه،آ ب- مختصات نقطه تقاطع خط با محور OU.

مثال. معادله کلی یک خط مستقیم داده شده است x - y + 1 = 0.معادله این خط را به صورت پاره پاره پیدا کنید.

C = 1، a = -1، b = 1.

معادله عادی یک خط

اگر هر دو طرف معادله تبر + وو + سی = 0تقسیم بر عدد که نامیده می شود

عامل عادی سازی، سپس دریافت می کنیم

xcosφ + ysinφ - p = 0 -معادله عادی یک خط.

علامت ± فاکتور نرمال کننده باید طوری انتخاب شود که μ*C< 0.

آر- طول عمود کاهش یافته از مبدا به خط مستقیم،

آ φ - زاویه تشکیل شده توسط این عمود بر جهت مثبت محور اوه

مثال. معادله کلی خط داده شده است 12x - 5y - 65 = 0. برای نوشتن انواع مختلف معادلات لازم است

این خط مستقیم

معادله این خط در بخش ها:

معادله این خط با شیب: (تقسیم بر 5)

معادله یک خط:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

لازم به ذکر است که هر خط مستقیم را نمی توان با یک معادله در پاره ها نشان داد، به عنوان مثال، خطوط مستقیم،

به موازات محورها یا عبور از مبدا.

زاویه بین خطوط مستقیم در یک صفحه.

تعریف. اگر دو خط داده شود y = k 1 x + b 1، y = k 2 x + b 2، سپس زاویه حاد بین این خطوط

به عنوان تعریف خواهد شد

دو خط موازی هستند اگر k 1 = k 2. دو خط عمود بر هم هستند

اگر k 1 = -1 / k 2 .

قضیه.

مستقیم تبر + وو + سی = 0و A 1 x + B 1 y + C 1 = 0موازی زمانی که ضرایب متناسب هستند

A 1 = λA، B 1 = λB. اگر همچنین С 1 = λС، سپس خطوط منطبق می شوند. مختصات نقطه تقاطع دو خط

به عنوان راه حلی برای سیستم معادلات این خطوط یافت می شوند.

معادله خطی که از نقطه ای عمود بر یک خط معین می گذرد.

تعریف. خطی که از یک نقطه می گذرد M 1 (x 1، y 1)و عمود بر خط y = kx + b

با معادله نشان داده می شود:

فاصله از یک نقطه تا یک خط.

قضیه. اگر امتیاز داده شود M(x 0، y 0)،سپس فاصله تا خط مستقیم تبر + وو + سی = 0که تعریف میشود:

اثبات. بگذارید نکته M 1 (x 1، y 1)- قاعده یک عمود از یک نقطه افتاده است مبرای یک معین

مستقیم. سپس فاصله بین نقاط مو M 1:

(1)

مختصات x 1و در 1می توان به عنوان یک راه حل برای سیستم معادلات یافت:

معادله دوم سیستم معادله یک خط مستقیم است که از نقطه معینی M 0 به طور عمود عبور می کند.

خط مستقیم داده شده است. اگر معادله اول سیستم را به شکل زیر تبدیل کنیم:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0،

سپس با حل کردن، دریافت می کنیم:

با جایگزینی این عبارات به معادله (1)، متوجه می شویم:

قضیه ثابت شده است.

این مقاله ایده ای در مورد چگونگی ایجاد یک معادله برای صفحه ای که از یک نقطه معین در فضای سه بعدی عمود بر یک خط معین عبور می کند، ارائه می دهد. اجازه دهید الگوریتم داده شده را با استفاده از مثال حل مسائل معمولی تجزیه و تحلیل کنیم.

پیدا کردن معادله صفحه ای که از نقطه معینی در فضای عمود بر یک خط معین عبور می کند

بگذارید یک فضای سه بعدی و یک سیستم مختصات مستطیلی O x y z در آن داده شود. نقطه M 1 (x 1، y 1، z 1)، خط a و صفحه α که از نقطه M 1 عمود بر خط a عبور می کند نیز آورده شده است. باید معادله صفحه α را یادداشت کرد.

قبل از شروع حل این مسئله، اجازه دهید قضیه هندسه را از برنامه درسی کلاس های 10-11 به یاد بیاوریم که می گوید:

تعریف 1

از یک نقطه معین در فضای سه بعدی یک صفحه منفرد عمود بر یک خط مستقیم معین عبور می کند.

حال بیایید ببینیم چگونه معادله این صفحه منفرد را که از نقطه شروع و عمود بر خط داده شده عبور می کند، پیدا کنیم.

می توان معادله کلی یک صفحه را در صورتی یادداشت کرد که مختصات یک نقطه متعلق به این صفحه و همچنین مختصات بردار نرمال صفحه مشخص باشد.

شرایط مسئله مختصات x 1, y 1, z 1 نقطه M 1 را که صفحه α از آن عبور می کند به ما می دهد. اگر مختصات بردار نرمال صفحه α را تعیین کنیم، می توانیم معادله مورد نیاز را یادداشت کنیم.

بردار نرمال صفحه α، از آنجایی که غیر صفر است و بر روی خط a، عمود بر صفحه α قرار دارد، بردار هر جهتی از خط a خواهد بود. بنابراین، مسئله یافتن مختصات بردار نرمال صفحه α به مسئله تعیین مختصات بردار جهت دهنده خط مستقیم a تبدیل می شود.

تعیین مختصات بردار جهت خط مستقیم a را می توان با روش های مختلفی انجام داد: این بستگی به گزینه تعیین خط مستقیم a در شرایط اولیه دارد. به عنوان مثال، اگر خط مستقیم a در بیان مسئله با معادلات متعارف شکل داده شود

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z

یا معادلات پارامتری فرم:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ

سپس بردار جهت خط مستقیم دارای مختصات x، y و z خواهد بود. در صورتی که خط مستقیم a با دو نقطه M 2 (x 2, y 2, z 2) و M 3 (x 3, y 3, z 3) نشان داده شود، مختصات بردار جهت به صورت ( x3 – x2، y3 – y2، z3 – z2).

تعریف 2

الگوریتم یافتن معادله صفحه ای که از نقطه ای عمود بر یک خط معین عبور می کند:

مختصات بردار جهت خط مستقیم a را تعیین می کنیم: a → = (a x، a y، a z) ;

مختصات بردار نرمال صفحه α را به صورت مختصات بردار جهت دهنده خط مستقیم a تعریف می کنیم:

n → = (A، B، C)، که در آن A = a x، B = a y، C = a z;

معادله صفحه ای را می نویسیم که از نقطه M 1 می گذرد (x 1, y 1, z 1) و دارای بردار نرمال است. n → = (A، B، C) به شکل A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0. این معادله مورد نیاز صفحه ای خواهد بود که از نقطه معینی در فضا می گذرد و بر یک خط معین عمود است.

معادله کلی هواپیما به صورت زیر است: A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0 به دست آوردن معادله صفحه در پاره ها یا معادله نرمال صفحه را ممکن می سازد.

بیایید چندین مثال را با استفاده از الگوریتم به دست آمده در بالا حل کنیم.

مثال 1

نقطه M 1 (3, - 4, 5) داده می شود که صفحه از آن عبور می کند و این صفحه عمود بر خط مختصات O z است.

راه حل

بردار جهت خط مختصات O z بردار مختصات k ⇀ = (0, 0, 1) خواهد بود. بنابراین، بردار نرمال هواپیما دارای مختصات (0، 0، 1) است. اجازه دهید معادله صفحه ای را بنویسیم که از یک نقطه معین M 1 می گذرد (3، - 4، 5)، که بردار نرمال آن دارای مختصات (0، 0، 1) است:

A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 ⇔ ⇔ 0 (x - 3) + 0 (y - (- 4)) + 1 (z - 5) = 0 ⇔ z - 5 = 0

پاسخ: z – 5 = 0 .

بیایید راه دیگری برای حل این مشکل در نظر بگیریم:

مثال 2

صفحه ای که بر خط O z عمود است با یک معادله صفحه کلی ناقص به شکل C z + D = 0، C ≠ 0 به دست می آید. اجازه دهید مقادیر C و D را تعیین کنیم: آنهایی که هواپیما از یک نقطه معین عبور می کند. مختصات این نقطه را با معادله C z + D = 0 جایگزین می کنیم، به دست می آید: C · 5 + D = 0. آن ها اعداد، C و D با رابطه - D C = 5 مرتبط هستند. با گرفتن C = 1، D = - 5 را دریافت می کنیم.

بیایید این مقادیر را در معادله C z + D = 0 جایگزین کنیم و معادله مورد نیاز یک صفحه عمود بر خط مستقیم O z و عبور از نقطه M 1 را بدست آوریم (3، - 4، 5).

به نظر می رسد: z – 5 = 0.

پاسخ: z – 5 = 0 .

مثال 3

معادله ای را برای صفحه ای بنویسید که از مبدأ و عمود بر خط x - 3 = y + 1 - 7 = z + 5 2 می گذرد.

راه حل

بر اساس شرایط مسئله، می توان استدلال کرد که بردار جهت یک خط مستقیم داده شده را می توان به عنوان بردار نرمال n → یک صفحه معین در نظر گرفت. بنابراین: n → = (- 3 , - 7 , 2) . اجازه دهید معادله صفحه ای را بنویسیم که از نقطه O (0, 0, 0) می گذرد و دارای بردار نرمال n → = (- 3, - 7, 2) است:

3 (x - 0) - 7 (y - 0) + 2 (z - 0) = 0 ⇔ - 3 x - 7 y + 2 z = 0

ما معادله مورد نیاز صفحه ای را که از مبدا مختصات عمود بر یک خط معین عبور می کند، به دست آورده ایم.

پاسخ:- 3 x - 7 y + 2 z = 0

مثال 4

یک سیستم مختصات مستطیلی O x y z در فضای سه بعدی داده شده است، در آن دو نقطه A (2، - 1، - 2) و B (3، - 2، 4) وجود دارد. صفحه α از نقطه A عمود بر خط A B می گذرد. ​​لازم است معادله ای برای صفحه α در پاره ها ایجاد شود.

راه حل

صفحه α عمود بر خط A B است، سپس بردار A B → بردار نرمال صفحه α خواهد بود. مختصات این بردار به عنوان تفاوت بین مختصات متناظر نقاط B (3، - 2، 4) و A (2، - 1، - 2) تعریف می شود:

A B → = (3 - 2، - 2 - (- 1)، 4 - (- 2)) ⇔ A B → = (1، - 1، 6)

معادله کلی هواپیما به صورت زیر نوشته می شود:

1 x - 2 - 1 y - (- 1 + 6 (z - (- 2)) = 0 ⇔ x - y + 6 z + 9 = 0

حال بیایید معادله مورد نیاز هواپیما را به صورت قطعه بسازیم:

x - y + 6 z + 9 = 0 ⇔ x - y + 6 z = - 9 ⇔ x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

پاسخ:x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

همچنین باید توجه داشت که مسائلی وجود دارد که لازمه آنها نوشتن معادله صفحه ای است که از یک نقطه معین و عمود بر دو صفحه معین می گذرد. به طور کلی، راه حل این مسئله، ساختن معادله برای صفحه ای است که از نقطه ای عمود بر یک خط معین می گذرد، زیرا دو صفحه متقاطع یک خط مستقیم را مشخص می کنند.

مثال 5

یک سیستم مختصات مستطیلی O x y z داده شده است، در آن یک نقطه M 1 (2، 0، - 5) وجود دارد. معادلات دو صفحه 3 x + 2 y + 1 = 0 و x + 2 z – 1 = 0 که در امتداد خط مستقیم a قطع می شوند نیز آورده شده است. لازم است برای صفحه ای که از نقطه M 1 عمود بر خط مستقیم a عبور می کند معادله ای ایجاد شود.

راه حل

بیایید مختصات بردار جهت دهنده خط مستقیم a را تعیین کنیم. هم بر بردار نرمال n 1 → (3، 2، 0) از صفحه n → (1، 0، 2) و بردار نرمال 3 x + 2 y + 1 = 0 از x + 2 z - عمود است - 1 = 0 هواپیما.

سپس، به عنوان بردار هدایت α → خط a، حاصل ضرب برداری بردارهای n 1 → و n 2 → را می گیریم:

a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 3 2 0 1 0 2 = 4 i → - 6 j → - 2 k → ⇒ a → = (4 , - 6 , - 2 )

بنابراین، بردار n → = (4، - 6، - 2) بردار نرمال صفحه عمود بر خط a خواهد بود. اجازه دهید معادله مورد نیاز هواپیما را بنویسیم:

4 (x - 2) - 6 (y - 0) - 2 (z - (- 5)) = 0 ⇔ 4 x - 6 y - 2 z - 18 = 0 ⇔ ⇔ 2 x - 3 y - z - 9 = 0

پاسخ: 2 x - 3 y - z - 9 = 0

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید