Studi tentang fungsi periodisitas. Cara menentukan periodisitas suatu fungsi Suatu fungsi disebut periodik jika ada

Mempelajari fenomena alam dan memecahkan masalah teknis, kita menemukan proses periodik yang dapat dijelaskan oleh fungsi tipe khusus.

Suatu fungsi y = f(x) dengan domain D disebut periodik jika paling sedikit terdapat satu bilangan T > 0 sehingga memenuhi dua kondisi berikut:

1) poin x + T, x − T termasuk dalam domain definisi D untuk setiap x ∈ D;

2) untuk setiap x dari D relasi berikut berlaku:

f(x) = f(x + T) = f(x − T).

Bilangan T disebut periode fungsi f(x). Dengan kata lain, fungsi periodik adalah fungsi yang nilainya berulang setelah selang waktu tertentu. Misalnya fungsi y = sin x bersifat periodik (Gbr. 1) dengan periode 2π.

Perhatikan bahwa jika bilangan T adalah periode dari fungsi f(x), maka bilangan 2T juga merupakan periodenya, begitu juga dengan 3T, dan 4T, dst., yaitu suatu fungsi periodik mempunyai banyak periode berbeda yang tak terhingga. Jika di antara mereka ada yang terkecil (tidak sama dengan nol), maka semua periode fungsi lainnya adalah kelipatan dari bilangan tersebut. Perhatikan bahwa tidak setiap fungsi periodik memiliki periode positif terkecil; misalnya, fungsi f(x)=1 tidak memiliki periode seperti itu. Penting juga untuk diingat bahwa, misalnya, jumlah dua fungsi periodik yang mempunyai periode positif terkecil yang sama T 0 belum tentu mempunyai periode positif yang sama. Jadi, jumlah fungsi f(x) = sin x dan g(x) = −sin x tidak mempunyai periode positif terkecil sama sekali, dan jumlah fungsi f(x) = sin x + sin 2x dan g(x) = −sin x, yang periode terkecilnya sama dengan 2π, mempunyai periode positif terkecil sama dengan π.

Jika perbandingan periode dua fungsi f(x) dan g(x) merupakan bilangan rasional, maka jumlah dan hasil kali fungsi-fungsi tersebut juga merupakan fungsi periodik. Jika perbandingan periode dari fungsi f dan g yang terdefinisi dan kontinu di mana-mana adalah bilangan irasional, maka fungsi f + g dan fg sudah menjadi fungsi non-periodik. Jadi, misalnya fungsi cos x sin √2 x dan cosj √2 x + sin x bersifat non-periodik, meskipun fungsi sin x dan cos x bersifat periodik dengan periode 2π, namun fungsi sin √2 x dan cos √2 x bersifat periodik dengan periode √2 π .

Perhatikan bahwa jika f(x) adalah fungsi periodik dengan periode T, maka fungsi kompleks (jika, tentu saja, masuk akal) F(f(x)) juga merupakan fungsi periodik, dan bilangan T akan berfungsi sebagai fungsi periodiknya. periode. Misalnya fungsi y = sin 2 x, y = √(cos x) (Gbr. 2.3) adalah fungsi periodik (di sini: F 1 (z) = z 2 dan F 2 (z) = √z). Namun, jangan berpikir bahwa jika fungsi f(x) mempunyai periode positif terkecil T 0, maka fungsi F(f(x)) juga akan mempunyai periode positif terkecil yang sama; misalnya fungsi y = sin 2 x memiliki periode positif terkecil, 2 kali lebih kecil dari fungsi f(x) = sin x (Gbr. 2).

Mudah untuk menunjukkan bahwa jika suatu fungsi f periodik dengan periode T, terdefinisi dan terdiferensiasi pada setiap titik garis real, maka fungsi f"(x) (turunan) juga merupakan fungsi periodik dengan periode T, tetapi antiturunannya fungsi F(x) (lihat Kalkulus Integral) untuk f(x) akan menjadi fungsi periodik hanya jika

F(T) − F(0) = T o ∫ f(x) dx = 0.

Tujuan: merangkum dan mensistematisasikan pengetahuan siswa tentang topik “Periodisitas Fungsi”; mengembangkan keterampilan dalam menerapkan sifat-sifat fungsi periodik, mencari periode positif terkecil suatu fungsi, membuat grafik fungsi periodik; mempromosikan minat belajar matematika; menumbuhkan observasi dan ketelitian.

Perlengkapan: komputer, proyektor multimedia, kartu tugas, slide, jam, meja hiasan, unsur kerajinan rakyat

“Matematika adalah apa yang digunakan manusia untuk mengendalikan alam dan diri mereka sendiri.”
SEBUAH. Kolmogorov

Selama kelas

I. Tahap organisasi.

Memeriksa kesiapan siswa untuk pelajaran. Laporkan topik dan tujuan pelajaran.

II. Memeriksa pekerjaan rumah.

Kami memeriksa pekerjaan rumah menggunakan sampel dan mendiskusikan poin tersulit.

AKU AKU AKU. Generalisasi dan sistematisasi pengetahuan.

1. Pekerjaan lisan dan depan.

Masalah teori.

1) Membentuk definisi periode fungsi
2) Sebutkan periode positif terkecil dari fungsi y=sin(x), y=cos(x)
3). Berapa periode positif terkecil dari fungsi y=tg(x), y=ctg(x)
4) Dengan menggunakan lingkaran, buktikan kebenaran relasinya:

y=dosa(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)

tg(x+π n)=tgx, n € Z
ctg(x+π n)=ctgx, n € Z

dosa(x+2π n)=sinx, n € Z
cos(x+2π n)=cosx, n € Z

5) Bagaimana cara memplot fungsi periodik?

Latihan lisan.

1) Buktikan hubungan berikut

A) dosa(740º) = dosa(20º)
B) cos(54º) = cos(-1026º)
C) dosa(-1000º) = dosa(80º)

2. Buktikan bahwa sudut 540º merupakan salah satu periode dari fungsi y= cos(2x)

3. Buktikan bahwa sudut 360º merupakan salah satu periode dari fungsi y=tg(x)

4. Ubah persamaan-persamaan ini sehingga sudut-sudut yang termasuk di dalamnya tidak melebihi nilai mutlak 90º.

A) tg375º
B) ctg530º
C) dosa1268º
D) karena(-7363º)

5. Di mana Anda menemukan kata PERIOD, PERIODICITY?

Jawaban siswa: Periode dalam musik adalah suatu struktur di mana pemikiran musik yang kurang lebih lengkap disajikan. Periode geologis adalah bagian dari suatu era dan dibagi menjadi beberapa zaman dengan jangka waktu 35 hingga 90 juta tahun.

Waktu paruh suatu zat radioaktif. Pecahan periodik. Majalah berkala adalah publikasi cetak yang terbit dalam tenggat waktu yang ditentukan secara ketat. Sistem periodik Mendeleev.

6. Gambar-gambar tersebut menunjukkan bagian-bagian grafik fungsi periodik. Tentukan periode fungsi tersebut. Tentukan periode fungsi tersebut.

Menjawab: T=2; T=2; T=4; T=8.

7. Di manakah dalam hidup Anda Anda menemukan konstruksi elemen yang berulang?

Jawaban siswa: Unsur ornamen, kesenian rakyat.

IV. Pemecahan masalah secara kolektif.

(Memecahkan masalah pada slide.)

Mari kita pertimbangkan salah satu cara mempelajari fungsi periodisitas.

Metode ini menghindari kesulitan yang terkait dengan pembuktian bahwa periode tertentu adalah yang terkecil, dan juga menghilangkan kebutuhan untuk menyentuh pertanyaan tentang operasi aritmatika pada fungsi periodik dan periodisitas. fungsi yang kompleks. Alasannya hanya didasarkan pada definisi fungsi periodik dan fakta berikut: jika T adalah periode fungsi tersebut, maka nT(n?0) adalah periodenya.

Soal 1. Tentukan periode positif terkecil dari fungsi f(x)=1+3(x+q>5)

Solusi: Asumsikan periode T dari fungsi ini. Maka f(x+T)=f(x) untuk semua x € D(f), yaitu

1+3(x+T+0,25)=1+3(x+0,25)
(x+T+0,25)=(x+0,25)

Misalkan x=-0,25 dan kita peroleh

(T)=0<=>T=n, n€Z

Kita telah memperoleh bahwa semua periode dari fungsi yang dimaksud (jika ada) adalah bilangan bulat. Mari kita pilih bilangan positif terkecil di antara bilangan-bilangan ini. Ini 1 . Mari kita periksa apakah ini benar-benar suatu periode 1 .

f(x+1) =3(x+1+0,25)+1

Karena (T+1)=(T) untuk sembarang T, maka f(x+1)=3((x+0.25)+1)+1=3(x+0.25)+1=f(x ), yaitu 1 – periode f. Karena 1 adalah bilangan bulat terkecil angka positif, maka T=1.

Soal 2. Tunjukkan bahwa fungsi f(x)=cos 2 (x) bersifat periodik dan tentukan periode utamanya.

Soal 3. Temukan periode utama dari fungsi tersebut

f(x)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)

Mari kita asumsikan periode T dari fungsi tersebut, lalu untuk sembarang X rasio tersebut valid

sin1,5(x+T)+5cos0,75(x+T)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)

Jika x=0, maka

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=sin0+5cos0

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5

Jika x=-T, maka

sin0+5cos0=sin(-1,5T)+5cos0,75(-T)

5= – sin(1,5T)+5cos(0,75T)

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5

– sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5

Menambahkannya, kita mendapatkan:

10kos(0,75T)=10

2π n, n€Z

Mari kita pilih bilangan positif terkecil dari semua bilangan “mencurigakan” untuk periode tersebut dan periksa apakah itu merupakan periode untuk f. Nomor ini

f(x+)=sin(1,5x+4π )+5cos(0,75x+2π )= sin(1,5x)+5cos(0,75x)=f(x)

Artinya ini adalah periode utama dari fungsi f.

Soal 4. Mari kita periksa apakah fungsi f(x)=sin(x) periodik

Misalkan T adalah periode dari fungsi f. Lalu untuk sembarang x

dosa|x+Т|=dosa|x|

Jika x=0, maka sin|Т|=sin0, sin|Т|=0 Т=π n, n € Z.

Mari kita asumsikan. Bahwa untuk beberapa n bilangan π n adalah periodenya

fungsi yang sedang dipertimbangkan π n>0. Maka sin|π n+x|=sin|x|

Artinya n harus berupa bilangan genap dan ganjil, namun hal ini tidak mungkin. Oleh karena itu, fungsi ini tidak bersifat periodik.

Tugas 5. Periksa apakah fungsinya periodik

f(x)=

Misalkan T adalah periode f

, maka sinT=0, Т=π n, n € Z. Mari kita asumsikan bahwa untuk beberapa n bilangan π n memang merupakan periode dari fungsi ini. Maka bilangan 2π n adalah periodenya

Karena pembilangnya sama, maka penyebutnya juga sama

Artinya fungsi f tidak periodik.

Bekerja dalam kelompok.

Tugas untuk kelompok 1.

Tugas untuk kelompok 2.

Periksa apakah fungsi f periodik dan temukan periode fundamentalnya (jika ada).

f(x)=cos(2x)+2sin(2x)

Tugas untuk kelompok 3.

Di akhir pekerjaan mereka, kelompok mempresentasikan solusi mereka.

VI. Menyimpulkan pelajaran.

Cerminan.

Guru memberikan kepada siswa kartu berisi gambar dan meminta mereka mewarnai bagian gambar pertama sesuai dengan sejauh mana mereka merasa telah menguasai metode mempelajari suatu fungsi periodisitas, dan pada bagian gambar kedua - sesuai dengan mereka. kontribusi terhadap pekerjaan dalam pelajaran.

VII. Pekerjaan rumah

1). Periksa apakah fungsi f periodik dan temukan periode fundamentalnya (jika ada)

B). f(x)=x 2 -2x+4

C). f(x)=2tg(3x+5)

2). Fungsi y=f(x) mempunyai periode T=2 dan f(x)=x 2 +2x untuk x € [-2; 0]. Temukan nilai ekspresi -2f(-3)-4f(3.5)

Literatur/

Mordkovich A.G. Aljabar dan permulaan analisis dengan kajian mendalam.
Matematika. Persiapan Ujian Negara Bersatu. Ed. Lysenko F.F., Kulabukhova S.Yu.
Sheremetyeva T.G. , Tarasova E.A. Aljabar dan analisis permulaan untuk kelas 10-11.

Fitur membangun grafik fungsi periodik

Grafik fungsi periodik biasanya diplot terlebih dahulu pada interval [ X 0 ; X 0 + T). Menjalankan transfer paralel titik-titik grafik di seluruh area definisi.

Contoh fungsi periodik dan grafiknya.

Contoh fungsi periodik adalah fungsi trigonometri. Mari kita lihat yang utama.

Fungsi F(x) =sin(x)

a) Domain definisi: D (sin x) = R .

b) Himpunan nilai: E (sin x) = [– 1 , 1] .
c) Genap, ganjil: fungsinya ganjil.

d) Periodisitas: fungsi periodik dengan periode utama.

e) Nol fungsi: sin x = 0 untuk , n Z.

f) Interval tanda konstan fungsi:

g) Interval monotonisitas: fungsinya meningkat seiring dengan ;

fungsinya menurun seiring dengan ,

h) Ekstrema fungsi:
; .

Grafik fungsi y= sin x ditunjukkan pada gambar.

Fungsi F(x) = cos(x)

a) Ruang lingkup definisi.

b) Kelipatan nilai: E (cos X) = [ – 1 , 1 ] .

c) Genap, ganjil: fungsinya genap.

G ) Periodisitas: fungsinya periodik dengan periode utama.

d) Nol fungsi: di .

e) Interval keteguhan tanda:

g) Interval monoton:

fungsinya meningkat seiring dengan ;

fungsinya berkurang sebagai

h) Ekstrem:

Grafik suatu fungsi kamu= karena X ditunjukkan pada gambar.

Fungsi F(x) = tan(x)

a) Ruang lingkup definisi:

b) Kumpulan nilai: E()

c) Genap, ganjil. Fungsinya ganjil.

d) Frekuensi. Fungsi periodik dengan periode utama

e) Nol fungsi: tan x = 0 untuk x = n, n Z.

f) Interval keteguhan tanda:

g) Interval monotonisitas: fungsi bertambah pada setiap interval yang seluruhnya termasuk dalam domain definisinya.

h) Ekstrem: tidak.

Grafik suatu fungsi kamu= tg X ditunjukkan pada gambar.

Fungsi F(x) = cot(x)

a) Domain definisi: D (ctg x) = R\ ( n(n Z) ).

b) Nilai ganda: E (ctg x) = R .
c) Genap, ganjil merupakan fungsi ganjil.

d) Periodisitas: fungsi periodik dengan periode utama T = .

e) Nol fungsi: cot x = 0 di x = /2 + n, n Z.

f) Interval keteguhan tanda;

g) Interval monotonisitas: fungsi menurun pada setiap interval yang seluruhnya termasuk dalam domain definisinya.

h) Ekstrem: tidak.

Grafik fungsi y = ctg x ditunjukkan pada gambar.

Grafik menarik diperoleh dengan menggunakan superposisi - pembentukan fungsi kompleks berdasarkan fungsi periodik trigonometri.

Grafik fungsi periodik

II. Penerapan fungsi periodik. Fluktuasi berkala.

Osilasi.

Osilasi adalah proses yang berbeda dalam berbagai tingkat pengulangan. Osilasi adalah proses yang berulang secara berkala (namun, tidak semua proses yang berulang adalah osilasi). Tergantung pada sifat fisik dari proses berulang, getaran dibedakan antara mekanik, elektromagnetik, elektromekanis, dll. Selama getaran mekanis, posisi dan koordinat benda berubah secara berkala. Untuk listrik - tegangan dan arus. Tergantung pada sifat dampaknya pada sistem osilasi, osilasi bebas, osilasi paksa, osilasi mandiri, dan osilasi parametrik dibedakan.

Berulang-ulang proses yang terus menerus terjadi di dalam setiap organisme hidup, misalnya: kontraksi jantung, fungsi paru-paru; kita menggigil saat kedinginan; kita mendengar dan berbicara berkat getaran gendang telinga dan pita suara; Saat kita berjalan, kaki kita melakukan gerakan berosilasi. Atom-atom yang membentuk kita bergetar. Dunia tempat kita tinggal rentan terhadap fluktuasi.

Fluktuasi berkala.

Berkala disebut osilasi yang semua ciri geraknya berulang setelah jangka waktu tertentu.

Untuk osilasi periodik, karakteristik berikut digunakan:

periode osilasi T, sama dengan waktu terjadinya satu osilasi penuh;

frekuensi osilasiν, sama dengan jumlah osilasi yang dilakukan dalam satu detik (ν = 1/T);

Osilasi parametrik dilakukan ketika parameter sistem osilasi diubah secara berkala (seseorang yang mengayunkan ayunan secara berkala menaikkan dan menurunkan pusat gravitasinya, sehingga mengubah parameter sistem). Dalam kondisi tertentu, sistem menjadi tidak stabil - penyimpangan yang tidak disengaja dari posisi kesetimbangan menyebabkan munculnya dan peningkatan osilasi. Fenomena ini disebut eksitasi parametrik dari osilasi (yaitu, osilasi tereksitasi dengan mengubah parameter sistem), dan osilasi itu sendiri disebut parametrik. Meskipun sifat fisiknya berbeda, getaran dicirikan oleh pola yang sama, yang dipelajari dengan metode umum. Karakteristik kinematik yang penting adalah bentuk getarannya. Hal ini ditentukan oleh jenis fungsi waktu yang menggambarkan perubahan besaran fisika tertentu selama osilasi. Yang paling penting adalah osilasi di mana besaran yang berfluktuasi berubah seiring waktu menurut hukum sinus atau kosinus. Mereka disebut harmonis. Jenis osilasi ini sangat penting karena alasan berikut. Pertama, getaran di alam dan teknologi seringkali bersifat sangat mendekati harmonik. Kedua, proses periodik dalam bentuk yang berbeda (dengan ketergantungan waktu yang berbeda) dapat direpresentasikan sebagai pengenaan, atau superposisi, osilasi harmonik.

UDC 517.17+517.51

PERIODE JUMLAH DUA FUNGSI PERIODIK

A/O. Evnin

Pekerjaan ini sepenuhnya memecahkan pertanyaan tentang apa periode utama dari suatu fungsi periodik, yang merupakan jumlah dari dua fungsi periodik dengan periode utama yang diketahui. Kasus tidak adanya periode utama untuk jumlah periodik fungsi periodik juga dipelajari.

Kami mempertimbangkan fungsi bernilai riil dari variabel nyata. Dalam edisi ensiklopedis, dalam artikel “Fungsi Periodik”, Anda dapat membaca: “Jumlah fungsi periodik yang mempunyai periode berbeda adalah periodik hanya jika periodenya sepadan.” Pernyataan ini berlaku untuk fungsi kontinu1, namun tidak berlaku dalam kasus umum. Contoh tandingan dari bentuk yang sangat umum dibuat pada . Pada artikel ini kita akan mengetahui berapa periode utama suatu fungsi periodik, yang merupakan penjumlahan dari dua fungsi periodik yang periode utamanya diketahui.

Informasi awal

Ingatlah bahwa suatu fungsi / dikatakan periodik jika untuk suatu bilangan tertentu T F O untuk sembarang x dari daerah definisi D(f), bilangan x + T dan x - T termasuk dalam D(f) dan persamaan f(x + T) = f( x) =f(x ~ T). Dalam hal ini, bilangan Г disebut periode fungsi tersebut.

Periode positif terkecil dari fungsi tersebut (jika, tentu saja, ada) akan kita sebut sebagai periode utama. Fakta berikut diketahui.

Teorema 1. Jika suatu fungsi mempunyai periode utama Ke, maka setiap periode fungsi tersebut berbentuk nTo, dimana n Ф 0 adalah bilangan bulat.

Bilangan T\ dan T2 dikatakan sepadan jika ada bilangan T0 yang cocok dengan T\ dan T2 beberapa kali bilangan bulat: T\ = T2 = n2T0, n2e Z. Jika tidak, maka bilangan T\ dan T2 adalah disebut tidak dapat dibandingkan. Oleh karena itu, kesepadanan (incommensurability) suatu periode berarti bahwa rasionya adalah bilangan rasional (irasional).

Dari Teorema 1 dapat disimpulkan bahwa untuk suatu fungsi yang mempunyai periode fundamental, dua periode mana pun adalah sepadan.

Contoh klasik suatu fungsi yang tidak mempunyai periode terkecil adalah fungsi Dirichlet, yang sama dengan 1 pada titik rasional dan nol pada titik irasional. Bilangan rasional apa pun selain nol adalah periode fungsi Dirichlet, dan bilangan irasional apa pun bukanlah periodenya. Seperti yang bisa kita lihat, di sini juga ada dua periode yang bisa dibandingkan.

Mari kita beri contoh fungsi periodik tidak konstan yang memiliki periode tidak dapat dibandingkan.

Misalkan fungsi /(x) sama dengan 1 pada titik-titik berbentuk /u + la/2, m, n e Z, dan sama dengan

nol. Di antara periode fungsi ini ada 1 dan l

Periode penjumlahan fungsi dengan periode yang sepadan

Teorema 2. Misalkan fug adalah fungsi periodik dengan periode utama mT0 dan “Itu, dimana tipenya

Saling bilangan prima. Maka periode utama jumlah mereka (jika ada) sama dengan -

dimana k adalah bilangan asli yang koprima dengan bilangan mn.

Bukti. Misalkan h = / + g. Jelasnya, bilangan mnT0 adalah periode h. Berdasarkan atas

dari Teorema 1, periode utama h berbentuk dimana k adalah suatu bilangan asli. Agaknya

Misalkan k tidak relatif prima dengan bilangan m, yaitu k - dku m = dm\, dimana d> 1 adalah bilangan terbanyak

1 Bukti indah bahwa jumlah sejumlah fungsi kontinu berhingga dengan periode berpasangan yang tidak dapat dibandingkan adalah non-periodik terdapat dalam artikel Lihat juga.

pembagi persekutuan yang lebih besar dari bilangan m dan k, maka periode fungsi k sama dengan

dan fungsinya f=h-g

mempunyai periode mxnTo yang bukan merupakan kelipatan mTQ periode utamanya. Didapatkan kontradiksi dengan Teorema 1, artinya k koprima dengan m, begitu pula bilangan k dan n koprima, maka A: koprima dengan m. □

Teorema 3. Misalkan m, n dan k adalah bilangan koprima berpasangan, dan T0 adalah bilangan positif. Lalu terdapat fungsi periodik fug sehingga periode utama f, g dan (f + g) adalah

kita masing-masing tT$, nTQ dan -

Bukti. Bukti teorema ini akan konstruktif: kita cukup membuat contoh yang sesuai. Mari kita rumuskan dulu hasil berikut ini. Penyataan. Misalkan m adalah bilangan yang relatif prima. Lalu fungsinya

fx - cos- + cos--- dan f2= cos- m n m

cos- mempunyai periode fundamental 2ktp. P

Bukti pernyataan tersebut. Jelasnya, angka 2ptn merupakan periode dari kedua fungsi tersebut. Anda dapat dengan mudah memeriksa apakah periode ini adalah periode utama untuk fungsi tersebut. Mari kita cari titik maksimumnya.

x = 2lM, te Z.

Kita punya = n!. Dari kesederhanaan timbal balik dari tipe tersebut maka 5 adalah kelipatan dari /r, yaitu. saya = saya e b. Artinya /x(x) = 2 o x = 2mstp1,1 e 2, dan jarak antara titik-titik tetangga maksimum fungsi /\ sama dengan 2ktp, dan periode positif /1 tidak mungkin kurang dari angka 2 hal.

Untuk fungsinya, kami menerapkan jenis penalaran yang berbeda (yang juga cocok untuk fungsi tersebut tetapi

kurang dasar). Seperti yang ditunjukkan Teorema 1, periode utama Г dari fungsi/2 berbentuk -,

di mana k adalah bilangan asli koprima yang akan diketik. Angka G juga merupakan periode fungsi tersebut

(2^2 xn gt t /2 + /2 = - -1 cos

semua periodenya berbentuk 2pp1. Jadi,

2nnl, yaitu t = kl. Karena t dan k saling menguntungkan

sty, maka k = 1.

Sekarang, untuk membuktikan Teorema 3, kita dapat membuat contoh yang diperlukan. Contoh. Misalkan m, n dan k adalah bilangan prima yang relatif berpasangan dan paling sedikit salah satu bilangan n atau k berbeda dari 1. Maka pf k dan berdasarkan pernyataan fungsi yang terbukti

/ (x) = cos--- + biaya- t ke

Dan g(x) = cos-cos - p ke

mempunyai periode utama masing-masing 2 ltk dan 2 tk serta jumlahnya

k(x) = f(x) + = cos- + cos-

periode utama adalah 2 ttp.

Jika n = k = 1, maka sepasang fungsi dapat digunakan

f(x)-2 cos- + COS X dan g(x) - COS X. m

Periode utamanya, serta periode fungsi k(x) - 2, masing-masing sama dengan 2lm, 2/gi 2tipe.

betapa mudahnya memeriksanya.

Matematika

Mari kita nyatakan T = 2lx. Untuk bilangan koprima berpasangan sembarang mn, n dan k, fungsi f dan £ ditunjukkan sedemikian rupa sehingga periode utama dari fungsi f, g dan f + g sama dengan mT, nT dan

Kondisi teorema dipenuhi oleh fungsi / - n;

Periode suatu penjumlahan fungsi yang periodenya tidak dapat dibandingkan

Pernyataan selanjutnya hampir jelas.

Teorema 4. Misalkan fug adalah fungsi periodik dengan periode utama yang tidak dapat dibandingkan T) dan T2, dan jumlah dari fungsi-fungsi tersebut h = f + g adalah periodik dan mempunyai periode utama T. Maka bilangan T tidak dapat dibandingkan dengan T] maupun T2.

Bukti. Sebaliknya, jika bilangan TnT) sepadan, maka fungsi g = h-f mempunyai periode yang sepadan dengan Г]. Sebaliknya, berdasarkan Teorema 1, setiap periode dari fungsi g adalah kelipatan bilangan T2. Kita memperoleh kontradiksi dengan bilangan T\ dan T2 yang tidak dapat dibandingkan. Hal serupa dibuktikan dengan ketidakterbandingan bilangan T dan T2, d

Fakta yang luar biasa, dan bahkan agak mengejutkan, adalah bahwa kebalikan dari Teorema 4 juga benar. Terdapat kesalahpahaman yang tersebar luas bahwa jumlah dua fungsi periodik yang periodenya tidak dapat dibandingkan tidak dapat menjadi fungsi periodik. Faktanya, tidak demikian. Selain itu, periode penjumlahan dapat berupa bilangan positif apa pun yang memenuhi pernyataan Teorema 4.

Teorema 5. Misalkan T\, T2 dan T~ adalah bilangan positif berpasangan yang tidak dapat dibandingkan. Lalu terdapat fungsi periodik fug sehingga jumlah h =/+ g periodik, dan periode utama dari fungsi f guh masing-masing sama dengan Th T2 dan T.

Bukti. Buktinya sekali lagi akan bersifat konstruktif. Konstruksi kita akan sangat bergantung pada apakah bilangan T dapat direpresentasikan atau tidak dalam bentuk kombinasi rasional T = aT\ + pT2 (a dan P adalah bilangan rasional) dari periode T\ dan T2.

I. T bukanlah kombinasi rasional dari Tg dan J2-

Misalkan A = (mT\ + nT2 + kT\m,n, k ∈ Z) adalah himpunan kombinasi linier bilangan bulat dari bilangan T1 T2 dan T. Kita segera perhatikan bahwa jika suatu bilangan dapat direpresentasikan dalam bentuk mT\ + nT2 + kT, maka representasi tersebut unik. Memang benar, jika mxT\ + n\Tg + k\T- m2Tx + n2T2 + k2T9 maka

(k) - k2)T - (ot2 - m\)T] + (n2 - π)Тъ dan untuk k\ * k2 kita peroleh bahwa T dinyatakan secara rasional melalui T] dan T2. Artinya k\ = k2. Sekarang, dari ketidakterbandingan bilangan T\ dan T2, segera diperoleh persamaan m\ = m2 dan u = n2.

Fakta penting adalah bahwa himpunan A dan komplemennya A ditutup dengan penjumlahan bilangan dari A: jika x e A dan y e A, maka x + y e A; jika x e A dan y e A, maka x + y e A.

Misalkan di semua titik himpunan A fungsi / dan g sama dengan nol, dan pada himpunan A kita mendefinisikan fungsi-fungsi ini sebagai berikut:

f(mTi + nT2 + kT) = nT2 + kT g(mT1 + nT2 + kT) - gnT\ - kT.

Karena, seperti telah ditunjukkan, dari bilangan x e A koefisien m, puncak kombinasi linier periode T1 T2 dan T dipulihkan secara unik, penetapan fungsi / dan g yang ditunjukkan adalah benar.

Fungsi h =/ + g pada himpunan A sama dengan nol, dan pada titik-titik himpunan A sama dengan

h(mT\ + nT2 + kT) - mT\ + nT2.

Dengan substitusi langsung mudah untuk memverifikasi bahwa bilangan T\ adalah periode fungsi f, bilangan T2 adalah periode g, dan T~ adalah periode h. Mari kita tunjukkan bahwa periode-periode ini adalah periode yang utama.

Pertama, kita perhatikan bahwa setiap periode dari fungsi / termasuk dalam himpunan A. Memang,

jika 0 fx di A,y e A, maka ox + y e A dan f(x + y) = 0 *f(x). Artinya y e A bukan periode fungsi /

Sekarang misalkan x2 adalah bilangan yang tidak sama dan f(x 1) ~f(x2). Dari definisi fungsi /, kita peroleh dari sini bahwa x\ - x2 = 1ТБ dimana I adalah suatu bilangan bulat bukan nol. Oleh karena itu, setiap periode dari fungsi tersebut adalah kelipatan T\. Jadi, Tx sebenarnya adalah periode utama/

Pernyataan mengenai T2 dan T diperiksa dengan cara yang sama.

Komentar. Dalam buku di hal. 172-173 konstruksi umum lainnya untuk kasus I diberikan.

II. T adalah kombinasi rasional dari T\ dan T2.

Mari kita nyatakan kombinasi rasional periode T\ dan T2 dalam bentuk = - (кхТх + к2Т2), di mana кх dan

k2 ™ bilangan bulat koprima, k(Γ\ + k2T2 > 0, a/? dan d adalah bilangan asli. Mari kita perkenalkan leZ>.

reni set B----

Mari kita asumsikan bahwa di semua titik himpunan B fungsi f dan g sama dengan nol, dan pada himpunan B kita mendefinisikan fungsi-fungsi ini sebagai berikut:

^ mT\ + nT2 L I

^ mTx + nT2 L

Di sini, seperti biasa, [x] dan (x) masing-masing mewakili bagian bilangan bulat dan pecahan. Fungsi k =/+ d pada himpunan B sama dengan nol, dan di titik-titik himpunan B sama dengan

fmTx +pT: aku H

Dengan substitusi langsung mudah untuk membuktikan bahwa bilangan Tx adalah periode dari fungsi /, bilangan T2 adalah periode g, dan T adalah periode h. Mari kita tunjukkan bahwa periode-periode ini adalah periode yang utama.

Setiap periode dari fungsi / termasuk dalam himpunan B. Faktanya, jika 0 * x e B, y e B, maka f(x) Ф 0, j(x + y) = 0 */(*)■ Oleh karena itu, y e B _ Bukan periode fungsi/

Jadi, setiap periode fungsi / berbentuk y =

Dimana 5i dan 52 adalah bilangan bulat. Membiarkan

x = -7] 4- -Г2, x e 5. Jika i = 0, maka f(i) adalah bilangan rasional. Sekarang dari rasionalitas bilangan /(x + 7)) berikut persamaan -I - I - 0. Artinya kita mempunyai persamaan 52 = Xp, dimana X adalah suatu bilangan bulat

nomor. Relasi /(x + 7)) = /(x) berbentuk

^P + Saya + Saya w +

Kesetaraan ini harus berlaku untuk semua tipe integer. Pada t-n~ 0, ruas kanan (1) sama dengan

ke nol. Karena bagian pecahannya non-negatif, kita peroleh bahwa -<0, а при

m = n = d - ] jumlah bagian pecahan di ruas kanan persamaan (1) tidak kurang dari jumlah bagian pecahan h-X

mereka di sebelah kiri. Ini berarti - >0. Jadi X = 0 dan 52 = 0. Jadi periode fungsi / berbentuk

dan persamaan (1) menjadi

n\ | dan 52 adalah bilangan bulat. Dari relasi

th(0) = 0 = th(GA) =

kita menemukan bahwa angka 51 dan ^ harus merupakan kelipatan p, yaitu. untuk beberapa bilangan bulat Ax dan A2 kita mempunyai 51 = A\p, E2 = A2p. Kemudian relasi (3) dapat ditulis ulang menjadi

Dari persamaan A2kx = k2A\ dan bilangan prima bersama k\ dan k2, maka A2 habis dibagi k2. Dari sini

untuk beberapa bilangan bulat t persamaan A2 = k2t dan Ax ~ kxt valid, yaitu Itu ~-(kxTx + k2T2).

Terlihat bahwa setiap periode fungsi h merupakan kelipatan periode T = - (k(Gx + k2T2)9 sehingga

zom, adalah yang utama. □

Tidak ada periode utama

Teorema 6. Misalkan Tx dan T2~ adalah bilangan positif sembarang. Lalu terdapat fungsi periodik fug yang periode utamanya masing-masing sama dengan T\ dan T2, dan jumlah h=f+g periodik, tetapi tidak mempunyai periode utama.

Bukti. Mari kita pertimbangkan dua kemungkinan kasus.

I. Periode Tx dan T2 tidak dapat dibandingkan.

Misalkan A = + nT2 +kT\ . Seperti di atas, mudah untuk menunjukkan bahwa bilangan tersebut

dapat direpresentasikan dalam bentuk mTx + nT2 + kT, maka representasi tersebut bersifat unik.

Misalkan di semua titik himpunan A fungsi / dan g sama dengan nol, dan pada himpunan A kita mendefinisikan fungsi-fungsi ini sebagai berikut:

/dari; + nT2 + kT) = nT2 + kT, g(mTx + nT2 + kT) = mTx - kT.

Mudah untuk memverifikasi bahwa bilangan Tx adalah periode utama dari fungsi /, bilangan T2 adalah periode utama g, dan untuk sembarang k rasional, bilangan kT adalah periode dari fungsi h - f + g, yang mana, oleh karena itu, tidak mempunyai periode terkecil.

II. Periode Tx dan T2 sebanding.

Misalkan Tx = mT0, T2 = nT0, dimana T0 > O, m dan n adalah bilangan asli. Mari kita perkenalkan himpunan I = + ke dalam pertimbangan.

Mari kita asumsikan bahwa di semua titik himpunan B fungsi fug sama dengan nol, dan pada himpunan B kita mendefinisikan fungsi-fungsi ini sebagai berikut:

/((/ + ShT0) = Shch + Jit, g((/ + 4lk)T0) - Shch - 42k.

Fungsi h ~ / + g pada himpunan B sama dengan nol, dan pada titik-titik himpunan B sama dengan

Mudah untuk memeriksa bahwa bilangan 7j = mTQ adalah periode utama dari fungsi /, bilangan T2 ~ nT0 adalah periode utama dari g, sedangkan di antara periode dari fungsi h~ f + g terdapat semua bilangan dari bentuk l/2kT0, dengan k adalah bilangan rasional sembarang. □

Konstruksi yang membuktikan Teorema 6 didasarkan pada ketidakterbandingan periode fungsi h~ / + g dengan periode fungsi / dan g. Sebagai kesimpulan, mari kita berikan contoh fungsi fug sedemikian rupa sehingga semua periode dari fungsi /, g dan / + g sepadan satu sama lain, tetapi / dan g mempunyai periode dasar, sedangkan f + g tidak.

Misal m adalah bilangan asli tetap, M himpunan pecahan bukan bilangan bulat tak tereduksi yang pembilangnya merupakan kelipatan m. Ayo taruh

1 jika heM; 1

jika dia mZ;

EcnuxeZXmZ; 2

HAI dalam kasus lain; 1 jika xeMU

~, jika dia2 2

[Oh sebaliknya.

Sangat mudah untuk melihat bahwa periode utama dari fungsi fug masing-masing sama dengan m dan 1, sedangkan jumlah / + g memiliki periode bilangan apa pun dalam bentuk m/n, di mana n adalah bilangan asli sembarang yang koprima dengan M.

literatur

1. Kamus ensiklopedis matematika/Bab. ed. Yu.V. Prokhorov - M.: Sov. ensiklopedia, 1988.

2. Mikaelyan L.V., Sedrakyan N.M. Tentang periodisitas penjumlahan fungsi periodik//Pendidikan matematika. - 2000. - No.2(13). - hal.29-33.

3. Gerenshtein A.B., Evnin A.Yu. Tentang penjumlahan fungsi periodik // Matematika di sekolah. -2002. - No.1. - Hal.68-72.

4.Ivlev B.M. dan lain-lain Kumpulan soal aljabar dan prinsip analisis untuk kelas 9 dan 10. - M.: Pencerahan, 1978.

Perlengkapan: komputer, proyektor multimedia, kartu tugas, slide, jam, meja hiasan, unsur kerajinan rakyat

“Matematika adalah apa yang digunakan manusia untuk mengendalikan alam dan diri mereka sendiri.”
SEBUAH. Kolmogorov

Selama kelas

I. Tahap organisasi.

Memeriksa kesiapan siswa untuk pelajaran. Laporkan topik dan tujuan pelajaran.

II. Memeriksa pekerjaan rumah.

Kami memeriksa pekerjaan rumah menggunakan sampel dan mendiskusikan poin tersulit.

AKU AKU AKU. Generalisasi dan sistematisasi pengetahuan.

1. Pekerjaan lisan dan depan.

Masalah teori.

y=dosa(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)

tg(x+π n)=tgx, n € Z
ctg(x+π n)=ctgx, n € Z

dosa(x+2π n)=sinx, n € Z
cos(x+2π n)=cosx, n € Z

5) Bagaimana cara memplot fungsi periodik?

Latihan lisan.

1) Buktikan hubungan berikut

A) dosa(740º) = dosa(20º)
B) cos(54º) = cos(-1026º)
C) dosa(-1000º) = dosa(80º)

2. Buktikan bahwa sudut 540º merupakan salah satu periode dari fungsi y= cos(2x)

3. Buktikan bahwa sudut 360º merupakan salah satu periode dari fungsi y=tg(x)

4. Ubah persamaan-persamaan ini sehingga sudut-sudut yang termasuk di dalamnya tidak melebihi nilai mutlak 90º.

A) tg375º
B) ctg530º
C) dosa1268º
D) karena(-7363º)

5. Di mana Anda menemukan kata PERIOD, PERIODICITY?

Waktu paruh suatu zat radioaktif. Pecahan periodik. Majalah berkala adalah publikasi cetak yang terbit dalam tenggat waktu yang ditentukan secara ketat. Sistem periodik Mendeleev.

6. Gambar-gambar tersebut menunjukkan bagian-bagian grafik fungsi periodik. Tentukan periode fungsi tersebut. Tentukan periode fungsi tersebut.

Menjawab: T=2; T=2; T=4; T=8.

7. Di manakah dalam hidup Anda Anda menemukan konstruksi elemen yang berulang?

Jawaban siswa: Unsur ornamen, kesenian rakyat.

IV. Pemecahan masalah secara kolektif.

(Memecahkan masalah pada slide.)

Mari kita pertimbangkan salah satu cara mempelajari fungsi periodisitas.

Metode ini menghindari kesulitan yang terkait dengan pembuktian bahwa periode tertentu adalah periode terkecil, dan juga menghilangkan kebutuhan untuk menyentuh pertanyaan tentang operasi aritmatika pada fungsi periodik dan periodisitas fungsi kompleks. Alasannya hanya didasarkan pada definisi fungsi periodik dan fakta berikut: jika T adalah periode fungsi tersebut, maka nT(n?0) adalah periodenya.

Soal 1. Tentukan periode positif terkecil dari fungsi f(x)=1+3(x+q>5)

Solusi: Asumsikan periode T dari fungsi ini. Maka f(x+T)=f(x) untuk semua x € D(f), yaitu

1+3(x+T+0,25)=1+3(x+0,25)
(x+T+0,25)=(x+0,25)

Misalkan x=-0,25 dan kita peroleh

(T)=0<=>T=n, n€Z

f(x+1) =3(x+1+0,25)+1

Karena (T+1)=(T) untuk sembarang T, maka f(x+1)=3((x+0.25)+1)+1=3(x+0.25)+1=f(x ), yaitu 1 – periode f. Karena 1 adalah bilangan bulat positif terkecil, maka T=1.

Soal 2. Tunjukkan bahwa fungsi f(x)=cos 2 (x) bersifat periodik dan tentukan periode utamanya.

Soal 3. Temukan periode utama dari fungsi tersebut

f(x)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)

Mari kita asumsikan periode T dari fungsi tersebut, lalu untuk sembarang X rasio tersebut valid

sin1,5(x+T)+5cos0,75(x+T)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)

Jika x=0, maka

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=sin0+5cos0

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5

Jika x=-T, maka

sin0+5cos0=sin(-1,5T)+5cos0,75(-T)

5= – sin(1,5T)+5cos(0,75T)

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5

– sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5

Menambahkannya, kita mendapatkan:

10kos(0,75T)=10

2π n, n€Z

Mari kita pilih bilangan positif terkecil dari semua bilangan “mencurigakan” untuk periode tersebut dan periksa apakah itu merupakan periode untuk f. Nomor ini

f(x+)=sin(1,5x+4π )+5cos(0,75x+2π )= sin(1,5x)+5cos(0,75x)=f(x)

Artinya ini adalah periode utama dari fungsi f.

Soal 4. Mari kita periksa apakah fungsi f(x)=sin(x) periodik

Misalkan T adalah periode dari fungsi f. Lalu untuk sembarang x

dosa|x+Т|=dosa|x|

Jika x=0, maka sin|Т|=sin0, sin|Т|=0 Т=π n, n € Z.

Mari kita asumsikan. Bahwa untuk beberapa n bilangan π n adalah periodenya

fungsi yang sedang dipertimbangkan π n>0. Maka sin|π n+x|=sin|x|

Artinya n harus berupa bilangan genap dan ganjil, namun hal ini tidak mungkin. Oleh karena itu, fungsi ini tidak bersifat periodik.

Tugas 5. Periksa apakah fungsinya periodik

f(x)=

Misalkan T adalah periode f

, maka sinT=0, Т=π n, n € Z. Mari kita asumsikan bahwa untuk beberapa n bilangan π n memang merupakan periode dari fungsi ini. Maka bilangan 2π n adalah periodenya

Karena pembilangnya sama, maka penyebutnya juga sama

Artinya fungsi f tidak periodik.

Bekerja dalam kelompok.

Tugas untuk kelompok 1.

Tugas untuk kelompok 2.

Periksa apakah fungsi f periodik dan temukan periode fundamentalnya (jika ada).

f(x)=cos(2x)+2sin(2x)

Tugas untuk kelompok 3.

Di akhir pekerjaan mereka, kelompok mempresentasikan solusi mereka.

VI. Menyimpulkan pelajaran.

Cerminan.

VII. Pekerjaan rumah

1). Periksa apakah fungsi f periodik dan temukan periode fundamentalnya (jika ada)

B). f(x)=x 2 -2x+4

C). f(x)=2tg(3x+5)

2). Fungsi y=f(x) mempunyai periode T=2 dan f(x)=x 2 +2x untuk x € [-2; 0]. Temukan nilai ekspresi -2f(-3)-4f(3.5)

Literatur/

Mordkovich A.G. Aljabar dan permulaan analisis dengan kajian mendalam.
Matematika. Persiapan Ujian Negara Bersatu. Ed. Lysenko F.F., Kulabukhova S.Yu.
Sheremetyeva T.G. , Tarasova E.A. Aljabar dan analisis permulaan untuk kelas 10-11.