Mencari kelipatan persekutuan terkecil: cara, contoh mencari KPK. Nod dan nok dari tiga angka atau lebih Cara menemukan kelipatan persekutuan terkecil dari angka-angka

Pertimbangkan tiga cara untuk mencari kelipatan persekutuan terkecil.

Mencari dengan Memfaktorkan

Cara pertama adalah mencari kelipatan persekutuan terkecil dengan memfaktorkan bilangan-bilangan yang diberikan menjadi faktor prima.

Misalkan kita perlu menemukan KPK dari angka-angka: 99, 30 dan 28. Untuk melakukannya, kita uraikan setiap angka ini menjadi faktor prima:

Agar bilangan yang diinginkan habis dibagi 99, 30 dan 28, perlu dan cukup bahwa itu mencakup semua faktor prima dari pembagi ini. Untuk melakukan ini, kita perlu mengambil semua faktor prima dari angka-angka ini ke pangkat tertinggi dan mengalikannya bersama-sama:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

Jadi KPK (99, 30, 28) = 13.860. Tidak ada bilangan lain yang kurang dari 13.860 yang habis dibagi 99, 30, atau 28.

Untuk mencari kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan-bilangan tertentu, Anda perlu memfaktorkannya menjadi faktor prima, lalu mengambil setiap faktor prima dengan eksponen terbesar yang muncul, dan mengalikan faktor-faktor ini bersama-sama.

Karena bilangan koprime tidak memiliki faktor prima persekutuan, kelipatan persekutuan terkecilnya sama dengan hasil kali bilangan-bilangan ini. Misalnya, tiga angka: 20, 49 dan 33 adalah koprime. Itu sebabnya

KPK (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32.340.

Hal yang sama harus dilakukan saat mencari kelipatan persekutuan terkecil dari berbagai bilangan prima. Misalnya KPK (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Menemukan dengan seleksi

Cara kedua adalah menemukan kelipatan persekutuan terkecil dengan mencocokkan.

Contoh 1. Bila bilangan terbesar yang diberikan habis dibagi habis oleh bilangan lain yang diberikan, maka KPK dari bilangan-bilangan tersebut sama dengan bilangan yang lebih besar. Misalnya, diberikan empat angka: 60, 30, 10 dan 6. Masing-masing habis dibagi 60, oleh karena itu:

NOC(60, 30, 10, 6) = 60

Dalam kasus lain, untuk menemukan kelipatan persekutuan terkecil, prosedur berikut digunakan:

1. Tentukan bilangan terbesar dari bilangan-bilangan yang diberikan.
2. Selanjutnya, kami menemukan angka yang merupakan kelipatan dari angka terbesar, mengalikannya dengan bilangan asli dalam urutan menaik dan memeriksa apakah sisa angka yang diberikan dapat dibagi dengan produk yang dihasilkan.

Contoh 2 Diberikan tiga angka 24, 3 dan 18. Tentukan yang terbesar dari mereka - ini adalah angka 24. Selanjutnya, temukan kelipatan dari 24, periksa apakah masing-masing dapat dibagi dengan 18 dan 3:

24 1 = 24 habis dibagi 3 tetapi tidak habis dibagi 18.

24 2 = 48 - habis dibagi 3 tetapi tidak habis dibagi 18.

24 3 \u003d 72 - habis dibagi 3 dan 18.

Jadi KPK(24, 3, 18) = 72.

Mencari dengan Sequential Finding LCM

Cara ketiga adalah mencari kelipatan persekutuan terkecil dengan mencari KPK secara berturut-turut.

KPK dari dua bilangan tertentu sama dengan hasil kali bilangan-bilangan ini dibagi dengan pembagi persekutuan terbesarnya.

Contoh 1. Temukan KPK dari dua bilangan yang diberikan: 12 dan 8. Tentukan pembagi persekutuan terbesarnya: PBT (12, 8) = 4. Kalikan bilangan berikut:

Kami membagi produk menjadi GCD mereka:

Jadi KPK(12, 8) = 24.

Untuk mencari KPK dari tiga bilangan atau lebih, prosedur berikut digunakan:

1. Pertama, KPK dari dua angka yang diberikan ditemukan.
2. Kemudian, KPK dari kelipatan persekutuan terkecil yang ditemukan dan angka ketiga yang diberikan.
3. Kemudian, KPK dari kelipatan persekutuan terkecil yang dihasilkan dan angka keempat, dan seterusnya.
4. Dengan demikian pencarian LCM terus berlanjut selama ada angka.

Contoh 2. Cari KPK dari tiga bilangan yang diberikan: 12, 8 dan 9. Kita telah menemukan KPK dari bilangan 12 dan 8 pada contoh sebelumnya (ini adalah bilangan 24). Tetap mencari kelipatan persekutuan terkecil dari 24 dan angka ketiga yang diberikan - 9. Tentukan pembagi persekutuan terbesarnya: gcd (24, 9) = 3. Kalikan KPK dengan angka 9:

Kami membagi produk menjadi GCD mereka:

Jadi KPK(12, 8, 9) = 72.

Materi yang disajikan di bawah ini merupakan kelanjutan logis dari teori dari artikel dengan judul KPK - kelipatan persekutuan terkecil, definisi, contoh, hubungan antara KPK dan FPB. Di sini kita akan berbicara tentang mencari kelipatan persekutuan terkecil (KPK), dan memberikan perhatian khusus untuk memecahkan contoh. Pertama-tama mari kita tunjukkan bagaimana KPK dari dua angka dihitung dalam kaitannya dengan GCD dari angka-angka ini. Selanjutnya, pertimbangkan untuk mencari kelipatan persekutuan terkecil dengan memfaktorkan bilangan menjadi faktor prima. Setelah itu kita akan fokus mencari KPK dari tiga bilangan atau lebih, dan juga memperhatikan perhitungan KPK dari bilangan negatif.

navigasi halaman.

Perhitungan kelipatan persekutuan terkecil (KPK) melalui gcd

Salah satu cara mencari kelipatan persekutuan terkecil didasarkan pada hubungan antara KPK dan GCD. Hubungan yang ada antara LCM dan GCD memungkinkan Anda menghitung kelipatan persekutuan terkecil dari dua bilangan bulat positif melalui pembagi persekutuan terbesar yang diketahui. Rumus yang sesuai memiliki bentuk KPK(a, b)=a b: KPK(a, b) . Pertimbangkan contoh menemukan KPK menurut rumus di atas.

Contoh.

Carilah kelipatan persekutuan terkecil dari dua bilangan 126 dan 70.

Larutan.

Dalam contoh ini a=126 , b=70 . Mari kita gunakan hubungan antara LCM dan GCD yang dinyatakan dengan rumus KPK(a, b)=a b: KPK(a, b). Artinya, pertama-tama kita harus mencari pembagi persekutuan terbesar dari bilangan 70 dan 126, setelah itu kita dapat menghitung KPK dari bilangan-bilangan tersebut sesuai dengan rumus tertulis.

Temukan gcd(126, 70) menggunakan algoritma Euclid: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , maka gcd(126, 70)=14 .

Sekarang kami menemukan kelipatan persekutuan terkecil yang diperlukan: KPK(126, 70)=126 70: KPK(126, 70)= 126 70:14=630 .

Menjawab:

KPK(126, 70)=630 .

Contoh.

Apa itu KPK(68, 34) ?

Larutan.

Karena 68 habis dibagi 34 , lalu gcd(68, 34)=34 . Sekarang kita menghitung kelipatan persekutuan terkecil: KPK(68, 34)=68 34: KPK(68, 34)= 68 34:34=68 .

Menjawab:

KPK(68, 34)=68 .

Perhatikan bahwa contoh sebelumnya cocok dengan aturan berikut untuk mencari KPK untuk bilangan bulat positif a dan b : jika angka a habis dibagi b , maka kelipatan persekutuan terkecil dari angka-angka ini adalah a .

Mencari KPK dengan Memfaktorkan Bilangan menjadi Faktor Prima

Cara lain untuk mencari kelipatan persekutuan terkecil adalah dengan memfaktorkan bilangan menjadi faktor prima. Jika kita membuat produk dari semua faktor prima dari angka-angka ini, setelah itu kita mengecualikan dari produk ini semua faktor prima persekutuan yang ada dalam perluasan angka-angka ini, maka produk yang dihasilkan akan sama dengan kelipatan persekutuan terkecil dari angka-angka ini.

Aturan yang diumumkan untuk menemukan LCM mengikuti persamaan KPK(a, b)=a b: KPK(a, b). Memang, perkalian bilangan a dan b sama dengan perkalian semua faktor yang terlibat dalam perkalian bilangan a dan b. Pada gilirannya, gcd(a, b) sama dengan hasil kali semua faktor prima yang ada secara bersamaan dalam perluasan bilangan a dan b (yang dijelaskan di bagian mencari gcd menggunakan dekomposisi bilangan menjadi faktor prima ).

Mari kita ambil contoh. Beri tahu kami bahwa 75=3 5 5 dan 210=2 3 5 7 . Susun hasil kali semua faktor dari perluasan ini: 2 3 3 5 5 5 7 . Sekarang kita mengecualikan dari perkalian ini semua faktor yang ada baik dalam perkalian bilangan 75 maupun dalam perluasan bilangan 210 (faktor-faktor tersebut adalah 3 dan 5), maka perkalian tersebut akan berbentuk 2 3 5 5 7 . Nilai hasil kali ini sama dengan kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan 75 dan 210, yaitu, KPK(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050.

Contoh.

Setelah memfaktorkan bilangan 441 dan 700 menjadi faktor prima, carilah kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan-bilangan tersebut.

Larutan.

Mari kita uraikan angka 441 dan 700 menjadi faktor prima:

Kita mendapatkan 441=3 3 7 7 dan 700=2 2 5 5 7 .

Sekarang, mari kita kalikan semua faktor yang terlibat dalam perkalian bilangan-bilangan ini: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Mari kita keluarkan dari perkalian ini semua faktor yang hadir secara bersamaan di kedua perluasan (hanya ada satu faktor seperti itu - ini adalah angka 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Dengan demikian, KPK(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.

Menjawab:

KPK(441, 700)= 44 100 .

Aturan untuk mencari KPK dengan dekomposisi bilangan menjadi faktor prima dapat dirumuskan sedikit berbeda. Jika kita menjumlahkan faktor-faktor yang hilang dari perkalian bilangan b ke faktor-faktor dari perluasan bilangan a, maka nilai hasil kali yang dihasilkan akan sama dengan kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan a dan b.

Sebagai contoh, ambil semua bilangan yang sama 75 dan 210, pemuaiannya menjadi faktor prima adalah sebagai berikut: 75=3 5 5 dan 210=2 3 5 7 . Ke faktor 3, 5 dan 5 dari penguraian bilangan 75, kita tambahkan faktor yang hilang 2 dan 7 dari penguraian bilangan 210, kita dapatkan hasil kali 2 3 5 5 7 , yang nilainya adalah KPK(75 , 210) .

Contoh.

Temukan kelipatan persekutuan terkecil dari 84 dan 648.

Larutan.

Pertama-tama kita dapatkan penguraian bilangan 84 dan 648 menjadi faktor prima. Mereka terlihat seperti 84=2 2 3 7 dan 648=2 2 2 3 3 3 3 . Untuk faktor 2 , 2 , 3 dan 7 dari penguraian bilangan 84 kita tambahkan faktor yang hilang 2 , 3 , 3 dan 3 dari penguraian bilangan 648 , kita dapatkan perkalian 2 2 2 3 3 3 3 7 , yang sama dengan 4 536 . Jadi, kelipatan persekutuan terkecil yang diinginkan dari bilangan 84 dan 648 adalah 4536.

Menjawab:

KPK(84, 648)=4 536 .

Mencari KPK dari tiga bilangan atau lebih

Kelipatan persekutuan terkecil dari tiga bilangan atau lebih dapat dicari dengan mencari KPK dari dua bilangan secara berurutan. Ingat teorema yang sesuai, yang memberikan cara untuk mencari KPK dari tiga bilangan atau lebih.

Dalil.

Biarkan bilangan bulat positif a 1 , a 2 , …, a k diberikan, kelipatan persekutuan terkecil m k dari angka-angka ini ditemukan dalam perhitungan berurutan m 2 = KPK (a 1 , a 2) , m 3 = KPK (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .

Pertimbangkan penerapan teorema ini pada contoh menemukan kelipatan persekutuan terkecil dari empat bilangan.

Contoh.

Cari KPK dari empat bilangan 140 , 9 , 54 dan 250 .

Larutan.

Dalam contoh ini a 1 =140 , a 2 =9 , a 3 =54 , a 4 =250 .

Pertama kita temukan m 2 \u003d KPK (a 1, a 2) \u003d KPK (140, 9). Untuk melakukan ini, dengan menggunakan algoritme Euclidean, kami menentukan gcd(140, 9) , kami memiliki 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , oleh karena itu, gcd( 140, 9)=1 , dari mana KPK(140, 9)=140 9: KPK(140, 9)= 140 9:1=1 260 . Artinya, m 2 = 1 260 .

Sekarang kita temukan m 3 \u003d KPK (m 2, a 3) \u003d KPK (1 260, 54). Mari kita hitung melalui gcd(1 260, 54) , yang juga ditentukan oleh algoritma Euclid: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Kemudian gcd(1 260, 54)=18 , di mana LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Artinya, m 3 \u003d 3 780.

Kiri untuk menemukan m 4 \u003d KPK (m 3, a 4) \u003d KPK (3 780, 250). Untuk melakukan ini, kami menemukan GCD(3 780, 250) menggunakan algoritma Euclid: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Oleh karena itu, gcd(3 780, 250)=10 , dari mana gcd(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . Artinya, m 4 \u003d 94 500.

Jadi kelipatan persekutuan terkecil dari empat bilangan awal adalah 94.500.

Menjawab:

KPK(140, 9, 54, 250)=94.500.

Dalam banyak kasus, kelipatan persekutuan terkecil dari tiga bilangan atau lebih mudah ditemukan dengan menggunakan faktorisasi prima dari bilangan-bilangan yang diberikan. Dalam hal ini, aturan berikut harus diikuti. Kelipatan persekutuan terkecil dari beberapa bilangan sama dengan hasil kali, yang disusun sebagai berikut: faktor-faktor yang hilang dari perluasan bilangan kedua ditambahkan ke semua faktor dari perluasan bilangan pertama, faktor-faktor yang hilang dari perluasan bilangan angka ketiga ditambahkan ke faktor yang diperoleh, dan seterusnya.

Perhatikan contoh menemukan kelipatan persekutuan terkecil menggunakan penguraian bilangan menjadi faktor prima.

Contoh.

Temukan kelipatan persekutuan terkecil dari lima bilangan 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Larutan.

Pertama, kita memperoleh perluasan dari bilangan-bilangan ini menjadi faktor prima: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 faktor prima) dan 143=11 13 .

Untuk mencari KPK dari angka-angka ini, ke faktor dari angka pertama 84 (yaitu 2 , 2 , 3 dan 7 ) Anda perlu menjumlahkan faktor yang hilang dari hasil perkalian angka kedua 6 . Perluasan bilangan 6 tidak mengandung faktor yang hilang, karena 2 dan 3 sudah ada dalam perluasan bilangan pertama 84 . Selanjutnya ke faktor 2 , 2 , 3 dan 7 kita menjumlahkan faktor yang hilang 2 dan 2 dari penguraian bilangan ketiga 48 , kita mendapatkan sekumpulan faktor 2 , 2 , 2 , 2 , 3 dan 7 . Tidak perlu menambahkan faktor ke set ini pada langkah berikutnya, karena 7 sudah terkandung di dalamnya. Terakhir, pada faktor 2 , 2 , 2 , 2 , 3 dan 7 kita tambahkan faktor yang hilang 11 dan 13 dari hasil perkalian 143 . Kita mendapatkan hasil kali 2 2 2 2 3 7 11 13 , yang sama dengan 48 048 .

KPK adalah kelipatan persekutuan terkecil. Angka dimana semua angka yang diberikan akan habis dibagi tanpa sisa.

Misalnya, jika bilangan yang diberikan adalah 2, 3, 5, maka KPK=2*3*5=30

Dan jika bilangan yang diberikan adalah 2,4,8, maka KPK \u003d 8

apa itu NOD?

FPB adalah pembagi persekutuan terbesar. Bilangan yang dapat digunakan untuk membagi setiap bilangan yang diberikan tanpa sisa.

Adalah logis bahwa jika bilangan yang diberikan adalah bilangan prima, maka FPB sama dengan satu.

Dan jika diberikan angka 2, 4, 8, maka FPB adalah 2.

Kami tidak akan mengecatnya dalam bentuk umum, tetapi cukup menunjukkan solusinya dengan sebuah contoh.

Diberikan dua angka 126 dan 44. Temukan GCD.

Kemudian jika kita diberi dua nomor formulir

Kemudian GCD dihitung sebagai

di mana min adalah nilai minimum dari semua nilai pangkat pn

dan NOC sebagai

di mana maks adalah nilai maksimum dari semua nilai pangkat angka pn

Melihat rumus di atas, orang dapat dengan mudah membuktikan bahwa GCD dari dua bilangan atau lebih akan sama dengan satu, bila di antara setidaknya satu pasang nilai yang diberikan, akan ada bilangan prima.

Oleh karena itu, mudah untuk menjawab pertanyaan tentang apa itu FPB dari angka 3, 25412, 3251, 7841, 25654, 7 tanpa menghitung apa pun.

angka 3 dan 7 adalah koprime, dan karenanya gcd=1

Pertimbangkan sebuah contoh.

Diberikan tiga bilangan 24654, 25473 dan 954

Setiap angka diuraikan menjadi faktor-faktor berikut

Atau, jika kita menulis dalam bentuk alternatif

Artinya, GCD dari ketiga angka ini sama dengan tiga

Yah, kita bisa menghitung LCM dengan cara yang sama, yaitu sama dengan

Bot kami akan membantu Anda menghitung GCD dan LCM bilangan bulat apa pun, dua, tiga, atau sepuluh.

Mari kita lanjutkan pembahasan tentang kelipatan persekutuan terkecil yang kita mulai di bagian KPK - Kelipatan Persekutuan Terkecil, Definisi, Contoh. Dalam topik ini, kita akan melihat cara mencari KPK dari tiga bilangan atau lebih, kita akan menganalisis soal bagaimana mencari KPK dari bilangan negatif.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Perhitungan kelipatan persekutuan terkecil (KPK) melalui gcd

Kita telah menetapkan hubungan antara kelipatan persekutuan terkecil dan pembagi persekutuan terbesar. Sekarang mari belajar bagaimana mendefinisikan LCM melalui GCD. Pertama, mari kita cari tahu bagaimana melakukan ini untuk bilangan positif.

Definisi 1

Anda dapat menemukan kelipatan persekutuan terkecil melalui pembagi persekutuan terbesar menggunakan rumus LCM (a, b) \u003d a b: GCD (a, b) .

Contoh 1

Anda harus mencari KPK dari angka 126 dan 70.

Larutan

Ambil a = 126 , b = 70 . Gantikan nilai-nilai dalam rumus untuk menghitung kelipatan persekutuan terkecil melalui pembagi persekutuan terbesar KPK (a, b) = a · b: PBT (a, b) .

Menemukan GCD dari angka 70 dan 126. Untuk ini kita membutuhkan algoritma Euclid: 126 = 70 1 + 56 , 70 = 56 1 + 14 , 56 = 14 4 , maka gcd (126 , 70) = 14 .

Mari kita hitung LCM: KPK (126, 70) = 126 70: FPB (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

Menjawab: KPK (126, 70) = 630.

Contoh 2

Temukan nok dari angka 68 dan 34.

Larutan

GCD dalam hal ini mudah ditemukan, karena 68 habis dibagi 34. Hitung kelipatan persekutuan terkecil menggunakan rumus: KPK (68, 34) = 68 34: PBT (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Menjawab: KPK(68, 34) = 68.

Dalam contoh ini, kami menggunakan aturan untuk mencari kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan bulat positif a dan b: jika bilangan pertama habis dibagi dengan bilangan kedua, KPK dari bilangan-bilangan ini akan sama dengan bilangan pertama.

Mencari KPK dengan Memfaktorkan Bilangan menjadi Faktor Prima

Sekarang mari kita lihat cara mencari KPK, yang didasarkan pada dekomposisi bilangan menjadi faktor prima.

Definisi 2

Untuk menemukan kelipatan persekutuan terkecil, kita perlu melakukan beberapa langkah sederhana:

• kita membuat produk dari semua faktor prima dari angka-angka yang perlu kita cari KPKnya;
• kami mengecualikan semua faktor prima dari produk yang diperolehnya;
• hasil kali yang diperoleh setelah menghilangkan faktor prima persekutuan akan sama dengan KPK dari bilangan-bilangan yang diberikan.

Cara mencari kelipatan persekutuan terkecil ini didasarkan pada persamaan LCM (a , b) = a b: GCD (a , b) . Jika Anda melihat rumusnya, akan menjadi jelas: perkalian bilangan a dan b sama dengan perkalian semua faktor yang terlibat dalam perkalian kedua bilangan tersebut. Dalam hal ini, GCD dari dua bilangan sama dengan perkalian semua faktor prima yang ada secara bersamaan dalam faktorisasi kedua bilangan tersebut.

Contoh 3

Kami memiliki dua angka 75 dan 210 . Kita dapat memfaktorkannya seperti ini: 75 = 3 5 5 Dan 210 = 2 3 5 7. Jika Anda mengalikan semua faktor dari dua bilangan asli, Anda mendapatkan: 2 3 3 5 5 5 7.

Jika kita mengecualikan faktor persekutuan dari angka 3 dan 5, kita mendapatkan produk dengan bentuk berikut: 2 3 5 5 7 = 1050. Produk ini akan menjadi LCM kami untuk angka 75 dan 210.

Contoh 4

Temukan KPK dari angka 441 Dan 700 , menguraikan kedua bilangan menjadi faktor prima.

Larutan

Mari kita temukan semua faktor prima dari angka-angka yang diberikan dalam kondisi:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Kami mendapatkan dua rangkaian angka: 441 = 3 3 7 7 dan 700 = 2 2 5 5 7 .

Produk dari semua faktor yang berpartisipasi dalam perluasan angka-angka ini akan terlihat seperti: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Mari kita cari faktor persekutuannya. Angka ini adalah 7 . Kami mengecualikannya dari produk umum: 2 2 3 3 5 5 7 7. Ternyata NOC itu (441 , 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Menjawab: KPK (441 , 700) = 44 100 .

Mari kita berikan satu lagi formulasi metode untuk mencari KPK dengan menguraikan bilangan menjadi faktor prima.

Definisi 3

Sebelumnya, kami mengecualikan dari jumlah total faktor yang sama untuk kedua angka. Sekarang kita akan melakukannya secara berbeda:

• Mari kita uraikan kedua bilangan tersebut menjadi faktor prima:
• tambahkan ke produk faktor prima dari angka pertama faktor yang hilang dari angka kedua;
• kami mendapatkan produk, yang akan menjadi KPK yang diinginkan dari dua angka.

Contoh 5

Mari kita kembali ke angka 75 dan 210 , yang kita sudah mencari LCM di salah satu contoh sebelumnya. Mari kita pecahkan menjadi faktor-faktor sederhana: 75 = 3 5 5 Dan 210 = 2 3 5 7. Untuk produk dari faktor 3 , 5 dan 5 nomor 75 tambahkan faktor yang hilang 2 Dan 7 angka 210 . Kita mendapatkan: 2 3 5 5 7 . Ini adalah KPK dari angka 75 dan 210.

Contoh 6

Penting untuk menghitung KPK dari angka 84 dan 648.

Larutan

Mari uraikan bilangan dari kondisi menjadi faktor prima: 84 = 2 2 3 7 Dan 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Jumlahkan dengan perkalian faktor 2 , 2 , 3 dan 7 angka 84 hilang faktor 2 , 3 , 3 dan
3 angka 648 . Kami mendapatkan produknya 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536 . Ini adalah kelipatan persekutuan terkecil dari 84 dan 648.

Menjawab: KPK (84, 648) = 4536.

Mencari KPK dari tiga bilangan atau lebih

Terlepas dari berapa banyak angka yang kita hadapi, algoritme tindakan kita akan selalu sama: kita akan secara konsisten menemukan KPK dari dua angka. Ada teorema untuk kasus ini.

Teorema 1

Misalkan kita memiliki bilangan bulat a 1 , a 2 , … , a k. NOC m k dari angka-angka ini ditemukan dalam perhitungan berurutan m 2 = KPK (a 1 , a 2) , m 3 = KPK (m 2 , a 3) , … , m k = KPK (m k − 1 , a k) .

Sekarang mari kita lihat bagaimana teorema dapat diterapkan pada masalah tertentu.

Contoh 7

Anda perlu menghitung kelipatan persekutuan terkecil dari empat angka 140 , 9 , 54 dan 250 .

Larutan

Mari kita perkenalkan notasinya: a 1 \u003d 140, a 2 \u003d 9, a 3 \u003d 54, a 4 \u003d 250.

Mari kita mulai dengan menghitung m 2 = KPK (a 1 , a 2) = KPK (140 , 9) . Mari gunakan algoritme Euclidean untuk menghitung PBT dari bilangan 140 dan 9: 140 = 9 15 + 5 , 9 = 5 1 + 4 , 5 = 4 1 + 1 , 4 = 1 4 . Kita mendapatkan: FPB(140, 9) = 1, KPK(140, 9) = 140 9: FPB(140, 9) = 140 9: 1 = 1260. Oleh karena itu, m 2 = 1 260 .

Sekarang mari kita hitung menurut algoritma yang sama m 3 = KPK (m 2 , a 3) = KPK (1 260 , 54) . Selama perhitungan, kita mendapatkan m 3 = 3 780.

Tinggal menghitung m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250) . Kami bertindak sesuai dengan algoritma yang sama. Kami mendapatkan m 4 \u003d 94 500.

KPK dari empat angka dari kondisi contoh adalah 94500 .

Menjawab: KPK (140, 9, 54, 250) = 94.500.

Seperti yang Anda lihat, perhitungannya sederhana, tetapi cukup melelahkan. Untuk menghemat waktu, Anda bisa pergi ke arah lain.

Definisi 4

Kami menawarkan kepada Anda algoritme tindakan berikut:

• menguraikan semua angka menjadi faktor prima;
• ke perkalian faktor bilangan pertama, tambahkan faktor yang hilang dari perkalian bilangan kedua;
• tambahkan faktor yang hilang dari angka ketiga ke produk yang diperoleh pada tahap sebelumnya, dll.;
• produk yang dihasilkan akan menjadi kelipatan persekutuan terkecil dari semua bilangan dari kondisi tersebut.

Contoh 8

Perlu mencari KPK dari lima bilangan 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Larutan

Mari uraikan kelima bilangan menjadi faktor prima: 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13 . Bilangan prima, yaitu angka 7, tidak dapat difaktorkan menjadi faktor prima. Angka-angka tersebut bertepatan dengan dekomposisi mereka menjadi faktor prima.

Sekarang mari kita ambil produk dari faktor prima 2, 2, 3 dan 7 dari angka 84 dan tambahkan faktor yang hilang dari angka kedua. Kami telah menguraikan angka 6 menjadi 2 dan 3. Faktor-faktor ini sudah ada dalam produk bilangan pertama. Oleh karena itu, kami menghilangkannya.

Kami terus menambahkan pengganda yang hilang. Kita beralih ke angka 48, dari perkalian faktor prima yang kita ambil 2 dan 2. Kemudian kita tambahkan faktor sederhana 7 dari bilangan keempat dan faktor 11 dan 13 dari bilangan kelima. Kita mendapatkan: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48.048. Ini adalah kelipatan persekutuan terkecil dari lima bilangan awal.

Menjawab: KPK (84, 6, 48, 7, 143) = 48.048.

Mencari Kelipatan Persekutuan Terkecil dari Bilangan Negatif

Untuk menemukan kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan negatif, bilangan ini pertama-tama harus diganti dengan bilangan dengan tanda yang berlawanan, dan kemudian perhitungan harus dilakukan sesuai dengan algoritme di atas.

Contoh 9

KPK(54, −34) = KPK(54, 34) dan KPK(−622,−46, −54,−888) = KPK(622, 46, 54, 888) .

Tindakan seperti itu diperbolehkan karena fakta bahwa jika diterima itu A Dan − a- lawan angka
maka himpunan kelipatannya A bertepatan dengan himpunan kelipatan suatu bilangan − a.

Contoh 10

Penting untuk menghitung KPK dari bilangan negatif − 145 Dan − 45 .

Larutan

Mari kita ganti angkanya − 145 Dan − 45 ke bilangan lawannya 145 Dan 45 . Sekarang, dengan menggunakan algoritma, kami menghitung LCM (145, 45) = 145 45: GCD (145, 45) = 145 45: 5 = 1 305, setelah menentukan GCD menggunakan algoritma Euclid.

Kami mendapatkan KPK dari angka − 145 dan − 45 sama 1 305 .

Menjawab: KPK (− 145 , − 45) = 1 305 .

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, sorot dan tekan Ctrl+Enter

Untuk memahami cara menghitung KPK, pertama-tama Anda harus menentukan arti dari istilah "kelipatan".

Kelipatan A adalah bilangan asli yang habis dibagi A tanpa sisa, jadi 15, 20, 25, dan seterusnya dapat dianggap kelipatan 5.

Mungkin ada jumlah pembagi yang terbatas dari bilangan tertentu, tetapi ada kelipatan yang jumlahnya tak terhingga.

Kelipatan persekutuan dari bilangan asli adalah bilangan yang habis dibagi oleh mereka tanpa sisa.

Cara mencari kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan-bilangan

Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari bilangan (dua, tiga atau lebih) adalah bilangan asli terkecil yang habis dibagi oleh semua bilangan tersebut.

Untuk menemukan NOC, Anda dapat menggunakan beberapa metode.

Untuk angka kecil, akan lebih mudah untuk menuliskan semua kelipatan dari angka-angka ini dalam satu baris sampai yang umum ditemukan di antara mereka. Kelipatan dilambangkan dalam catatan dengan huruf kapital K.

Misalnya, kelipatan 4 dapat ditulis seperti ini:

K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K(6) = (12, 18, 24, ...)

Jadi, Anda dapat melihat bahwa kelipatan persekutuan terkecil dari angka 4 dan 6 adalah angka 24. Entri ini dilakukan sebagai berikut:

KPK(4, 6) = 24

Sekarang tuliskan faktor persekutuan dari kedua bilangan tersebut. Dalam versi kami, ini adalah dua dan lima. Namun, dalam kasus lain, angka ini bisa satu, dua atau tiga digit atau bahkan lebih. Selanjutnya, Anda perlu bekerja dengan gelar. Pilih kekuatan terkecil untuk masing-masing faktor. Dalam contoh, ini adalah dua pangkat dua dan lima pangkat pertama.

Pada akhirnya, Anda hanya perlu mengalikan angka yang dihasilkan. Dalam kasus kami, semuanya sangat sederhana: dua kuadrat dikalikan lima sama dengan 20. Jadi, angka 20 bisa disebut faktor persekutuan terbesar untuk 60 dan 80.

Video Terkait

catatan

Ingatlah bahwa faktor prima adalah angka yang hanya memiliki 2 pembagi: satu dan angka itu sendiri.

Saran yang bermanfaat

Selain metode ini, Anda juga dapat menggunakan algoritma Euclidean. Deskripsi lengkapnya, yang disajikan dalam bentuk geometris, dapat ditemukan di buku Euclid "Awal".

Artikel terkait

Penjumlahan dan pengurangan pecahan asli hanya mungkin jika penyebutnya sama. Agar tidak mempersulit perhitungan saat membawanya ke penyebut yang sama, temukan pembagi persekutuan terkecil dari penyebut dan hitung.

Anda akan perlu

• - kemampuan menguraikan bilangan menjadi faktor prima;
• - Kemampuan untuk bekerja dengan pecahan.

Petunjuk

Tuliskan penjumlahan pecahan. Kemudian, temukan kelipatan persekutuan terkecilnya. Untuk melakukannya, lakukan urutan tindakan berikut: 1. Sajikan masing-masing penyebut dalam bilangan prima (bilangan prima, bilangan yang hanya habis dibagi 1 dan dirinya sendiri tanpa sisa, misalnya 2, 3, 5, 7, dll).2. Kelompokkan semua yang sederhana yang ditulis dengan menunjukkan derajatnya. 3. Pilih pangkat terbesar dari masing-masing faktor prima yang terjadi pada bilangan-bilangan ini. 4. Kalikan derajat tertulis.

Misalnya, penyebut yang sama untuk pecahan dengan penyebut 15, 24 dan 36 adalah angka yang Anda hitung dengan cara ini: 15=3 5; 24=2^3 3;36=2^3 3^2. Masukkan pangkat terbesar dari semua pembagi prima dari angka-angka ini: 2^3 3^2 5=360.

Bagilah penyebut yang sama dengan masing-masing dan penyebut pecahan yang ditambahkan. Kalikan pembilangnya dengan angka yang dihasilkan. Di bawah garis persekutuan pecahan, tulislah pembagi persekutuan terkecil yang juga merupakan penyebut persekutuan terkecil. Di pembilang, tambahkan angka yang dihasilkan dari perkalian setiap pembilang dengan hasil bagi dari pembagi persekutuan terkecil dengan penyebut pecahan. Jumlah semua pembilang dan dibagi dengan penyebut umum terkecil akan menjadi angka yang diinginkan.

Misalnya, pada 15/4, 24/7, dan 36/11 lakukan ini. Temukan penyebut persekutuan terkecil yaitu 360. Kemudian bagi dengan 360/15=24, 360/24=15, 360/36=10. Kalikan angka 4, yang merupakan pembilang pecahan pertama, dengan 24 (4 24=96), angka 7 dengan 15 (7 15=105), angka 11 dengan 10 (11 10=110). Kemudian jumlahkan angka-angka ini (96+105+110=301). Kami mendapatkan hasil 4/15+7/24+11/36=301/360.

Sumber:

• cara mencari bilangan terkecil

Bilangan bulat adalah sekumpulan bilangan matematika yang sangat berguna dalam kehidupan sehari-hari. Bilangan bulat non-negatif digunakan saat menunjukkan jumlah objek apa pun, angka negatif - dalam pesan ramalan cuaca, dll. GCD dan LCM adalah karakteristik alami bilangan bulat yang terkait dengan operasi pembagian.

Petunjuk

GCD mudah dihitung menggunakan algoritma Euclid atau metode biner. Menurut algoritma Euclidean untuk menentukan GCD angka a dan b, salah satunya bukan nol, ada urutan angka r_1 > r_2 > r_3 > ... > r_n, di mana r_1 sama dengan sisa dari membagi bilangan pertama dengan bilangan kedua. Dan anggota deret lainnya sama dengan sisa pembagian anggota sebelumnya dengan anggota sebelumnya, dan elemen kedua dari belakang dapat dibagi oleh anggota terakhir tanpa sisa.

Secara matematis, urutan dapat direpresentasikan sebagai:
a = b*k_0 + r_1
b = r_1*k_1 + r_2
r_1 = r_2*k_2 + r_3
…
r_(n - 1) = r_n*k_n,
di mana k_i adalah pengali bilangan bulat.
gcd (a, b) = r_n.

Contoh.
Temukan GCD (36, 120). Menurut algoritme Euclid, kurangi kelipatan 36 dari 120, dalam hal ini adalah 120 - 36 * 3 = 12. Sekarang kurangi kelipatan 12 dari 120, Anda mendapatkan 120 - 12 * 10 = 0. Oleh karena itu, gcd ( 36, 120) = 12.

Algoritma biner untuk menemukan GCD didasarkan pada teori pergeseran. Menurut metode ini, GCD dari dua bilangan memiliki sifat-sifat sebagai berikut:
gcd(a, b) = 2*gcd(a/2, b/2) untuk a dan b genap
gcd(a, b) = gcd(a/2, b) untuk a genap dan b ganjil (sebaliknya, gcd(a, b) = gcd(a, b/2))
gcd(a, b) = gcd((a - b)/2, b) untuk ganjil a > b
gcd(a, b) = gcd((b - a)/2, a) untuk ganjil b > a
Jadi, gcd (36, 120) = 2*gcd (18, 60) = 4*gcd (9, 30) = 4*gcd (9, 15) = 4*gcd ((15 - 9)/2=3 , 9) = 4*3 = 12.

Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari dua bilangan bulat adalah bilangan bulat terkecil yang habis dibagi oleh kedua bilangan asalnya tanpa sisa.
KPK dapat dihitung menggunakan GCD: LCM(a, b) = |a*b|/GCM(a, b).

Cara kedua untuk menghitung KPK adalah dekomposisi bilangan kanonis menjadi faktor prima:
a = r_1^k_1*…*r_n^k_n
b = r_1^m_1*…*r_n^m_n,
di mana r_i adalah bilangan prima dan k_i dan m_i adalah bilangan bulat ≥ 0.
KPK direpresentasikan sebagai faktor prima yang sama, di mana maksimum dua angka diambil sebagai pangkat.

Contoh.
Temukan NOC (16, 20):
16 = 2^4*3^0*5^0
20 = 2^2*3^0*5^1
KPK (16, 20) = 2^4*3^0*5^1 = 16*5 = 80.