Štúdium funkcie pre periodicitu. Ako určiť periodicitu funkcie Funkcia sa nazýva periodická, ak existuje

Pri štúdiu prírodných javov a riešení technických problémov sa stretávame s periodickými procesmi, ktoré možno opísať funkciami špeciálneho typu.

Funkcia y = f(x) s doménou D sa nazýva periodická, ak existuje aspoň jedno číslo T > 0 také, že sú splnené tieto dve podmienky:

1) body x + T, x − T patria do oblasti definície D pre ľubovoľné x ∈ D;

2) pre každé x z D platí nasledujúci vzťah:

f(x) = f(x + T) = f(x − T).

Číslo T sa nazýva perióda funkcie f(x). Inými slovami, periodická funkcia je funkcia, ktorej hodnoty sa po určitom intervale opakujú. Napríklad funkcia y = sin x je periodická (obr. 1) s periódou 2π.

Všimnite si, že ak je číslo T periódou funkcie f(x), potom číslo 2T bude tiež jej periódou, rovnako ako 3T a 4T atď., t.j. periodická funkcia má nekonečne veľa rôznych periód. Ak je medzi nimi najmenšia (nerovná sa nule), potom všetky ostatné periódy funkcie sú násobkami tohto čísla. Všimnite si, že nie každá periodická funkcia má takú najmenšiu kladnú periódu; napríklad funkcia f(x)=1 takúto bodku nemá. Je tiež dôležité mať na pamäti, že napríklad súčet dvoch periodických funkcií, ktoré majú rovnakú najmenšiu kladnú periódu T 0, nemusí mať nevyhnutne rovnakú kladnú periódu. Súčet funkcií f(x) = sin x a g(x) = −sin x teda vôbec nemá najmenšiu kladnú periódu a súčet funkcií f(x) = sin x + sin 2x a g(x) = −sin x, ktorého najmenšie periódy sa rovnajú 2π, má najmenšiu kladnú periódu rovnajúcu sa π.

Ak je pomer periód dvoch funkcií f(x) a g(x) racionálne číslo, potom súčet a súčin týchto funkcií budú tiež periodickými funkciami. Ak je pomer periód všade definovaných a spojitých funkcií f a g iracionálne číslo, potom funkcie f + g a fg už budú neperiodickými funkciami. Takže napríklad funkcie cos x sin √2 x a cosj √2 x + sin x sú neperiodické, hoci funkcie sin x a cos x sú periodické s periódou 2π, funkcie sin √2 x a cos √2 x sú periodické s periódou √2 π .

Všimnite si, že ak f(x) je periodická funkcia s periódou T, potom komplexná funkcia (ak to samozrejme dáva zmysel) F(f(x)) je tiež periodická funkcia a číslo T bude slúžiť ako jej obdobie. Napríklad funkcie y = sin 2 x, y = √(cos x) (obr. 2.3) sú periodické funkcie (tu: F 1 (z) = z 2 a F 2 (z) = √z). Nemali by sme si však myslieť, že ak má funkcia f(x) najmenšiu kladnú periódu T 0, tak rovnakú najmenšiu kladnú periódu bude mať aj funkcia F(f(x)); napríklad funkcia y = sin 2 x má najmenšiu kladnú periódu, 2 krát menšiu ako funkcia f(x) = sin x (obr. 2).

Je ľahké ukázať, že ak je funkcia f periodická s periódou T, definovaná a diferencovateľná v každom bode reálnej čiary, potom funkcia f"(x) (derivát) je tiež periodická funkcia s periódou T, ale primitívna funkcia F(x) (pozri Integrálny počet) pre f(x) bude periodickou funkciou iba vtedy, ak

F(T) − F(0) = To ∫ f(x) dx = 0.

Cieľ: zhrnúť a systematizovať vedomosti študentov na tému „Periodika funkcií“; rozvíjať zručnosti pri uplatňovaní vlastností periodickej funkcie, hľadaní najmenšej kladnej periódy funkcie, zostrojovaní grafov periodických funkcií; podporovať záujem o štúdium matematiky; kultivovať pozorovanie a presnosť.

Vybavenie: počítač, multimediálny projektor, karty úloh, diapozitívy, hodiny, tabuľky ozdôb, prvky ľudových remesiel

"Matematika je to, čo ľudia používajú na ovládanie prírody a seba."
A.N. Kolmogorov

Počas vyučovania

I. Organizačná etapa.

Kontrola pripravenosti žiakov na vyučovaciu hodinu. Oznámte tému a ciele lekcie.

II. Kontrola domácich úloh.

Kontrolujeme domáce úlohy pomocou vzoriek a diskutujeme o najťažších bodoch.

III. Zovšeobecňovanie a systematizácia poznatkov.

1. Ústna frontálna práca.

Problémy teórie.

1) Vytvorte definíciu periódy funkcie
2) Pomenujte najmenšiu kladnú periódu funkcií y=sin(x), y=cos(x)
3). Aká je najmenšia kladná perióda funkcií y=tg(x), y=ctg(x)
4) Pomocou kruhu dokážte správnosť vzťahov:

y=sin(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)

tg(x+π n)=tgx, n € Z
ctg(x+π n)=ctgx, n € Z

sin(x+2π n)=sinx, n € Z
cos(x+2π n)=cosx, n € Z

5) Ako vykresliť periodickú funkciu?

Ústne cvičenia.

1) Dokážte nasledujúce vzťahy

a) sin(740º) = sin(20º)
b) cos(54º) = cos(-1026º)
c) sin(-1000º) = sin(80º)

2. Dokážte, že uhol 540º je jednou z periód funkcie y= cos(2x)

3. Dokážte, že uhol 360º je jednou z periód funkcie y=tg(x)

4. Transformujte tieto výrazy tak, aby uhly v nich obsiahnuté nepresiahli 90º v absolútnej hodnote.

a) tg375º
b) ctg530º
c) sin1268º
d) cos(-7363º)

5. Kde ste sa stretli so slovami OBDOBIE, PERIODICITA?

Študent odpovedá: Obdobie v hudbe je štruktúra, v ktorej je prezentovaná viac-menej úplná hudobná myšlienka. Geologické obdobie je súčasťou éry a delí sa na epochy s obdobím od 35 do 90 miliónov rokov.

Polčas rozpadu rádioaktívnej látky. Periodický zlomok. Periodiká sú tlačené publikácie, ktoré vychádzajú v presne stanovených termínoch. Mendelejevov periodický systém.

6. Obrázky znázorňujú časti grafov periodických funkcií. Určte periódu funkcie. Určte periódu funkcie.

Odpoveď T = 2; T = 2; T = 4; T = 8.

7. Kde ste sa v živote stretli s konštrukciou opakujúcich sa prvkov?

Odpoveď žiaka: Prvky ornamentov, ľudové umenie.

IV. Kolektívne riešenie problémov.

(Riešenie problémov na snímkach.)

Uvažujme o jednom zo spôsobov, ako študovať funkciu pre periodicitu.

Táto metóda sa vyhýba ťažkostiam spojeným s dokazovaním, že konkrétne obdobie je najmenšie, a tiež eliminuje potrebu dotýkať sa otázok o aritmetických operáciách s periodickými funkciami a periodicitou. komplexná funkcia. Úvaha je založená len na definícii periodickej funkcie a na nasledujúcej skutočnosti: ak T je perióda funkcie, potom nT(n?0) je jej perióda.

Úloha 1. Nájdite najmenšiu kladnú periódu funkcie f(x)=1+3(x+q>5)

Riešenie: Predpokladajme, že T-perióda tejto funkcie. Potom f(x+T)=f(x) pre všetky x € D(f), t.j.

1+3(x+T+0,25)=1+3(x+0,25)
(x+T+0,25)=(x+0,25)

Dostaneme x=-0,25

(T) = 0<=>T=n, n € Z

Zistili sme, že všetky periódy príslušnej funkcie (ak existujú) patria medzi celé čísla. Z týchto čísel vyberme najmenšie kladné číslo. Toto 1 . Overme si, či to bude vlastne obdobie 1 .

f(x+1) = 3(x+1+0,25)+1

Keďže (T+1)=(T) pre ľubovoľné T, potom f(x+1)=3((x+0,25)+1)+1=3(x+0,25)+1=f(x), t.j. 1 – obdobie f. Pretože 1 je najmenšie zo všetkých celých čísel kladné čísla, potom T=1.

Úloha 2. Ukážte, že funkcia f(x)=cos 2 (x) je periodická a nájdite jej hlavnú periódu.

Úloha 3. Nájdite hlavnú periódu funkcie

f(x)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)

Predpokladajme T-periódu funkcie, potom pre ľubovoľnú X pomer platí

sin1,5(x+T)+5cos0,75(x+T)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)

Ak x = 0, potom

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=sin0+5cos0

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5

Ak x=-T, potom

sin0+5cos0=sin(-1,5T)+5cos0,75(-T)

5= – sin(1,5T)+5cos(0,75T)

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5

– sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5

Keď to spočítame, dostaneme:

10 cos (0,75 T) = 10

2π n, n € Z

Vyberme najmenšie kladné číslo zo všetkých „podozrivých“ čísel pre periódu a skontrolujeme, či ide o bodku pre f. Toto číslo

f(x+)=sin(1,5x+4π)+5cos(0,75x+2π)= sin(1,5x)+5cos(0,75x)=f(x)

To znamená, že ide o hlavné obdobie funkcie f.

Úloha 4. Skontrolujeme, či je funkcia f(x)=sin(x) periodická

Nech T je perióda funkcie f. Potom pre ľubovoľné x

sin|x+Т|=sin|x|

Ak x=0, potom sin|Т|=sin0, sin|Т|=0 Т=π n, n € Z.

Predpokladajme. Že pre niektoré n je číslo π n periódou

uvažovaná funkcia π n>0. Potom sin|π n+x|=sin|x|

To znamená, že n musí byť párne aj nepárne číslo, ale to nie je možné. Preto táto funkcia nie je periodická.

Úloha 5. Skontrolujte, či je funkcia periodická

f(x)=

Nech T je obdobie f

, teda sinT=0, Т=π n, n € Z. Predpokladajme, že pre nejaké n je číslo π n skutočne periódou tejto funkcie. Potom číslo 2π n bude bodka

Keďže čitatelia sú si rovní, ich menovatelia sú si rovní

To znamená, že funkcia f nie je periodická.

Pracovať v skupinách.

Úlohy pre skupinu 1.

Úlohy pre skupinu 2.

Skontrolujte, či je funkcia f periodická a nájdite jej základnú periódu (ak existuje).

f(x)=cos(2x)+2sin(2x)

Úlohy pre skupinu 3.

Na konci svojej práce skupiny prezentujú svoje riešenia.

VI. Zhrnutie lekcie.

Reflexia.

Učiteľ rozdá študentom kartičky s kresbami a požiada ich, aby vyfarbili časť prvej kresby v súlade s tým, do akej miery si myslia, že zvládli metódy štúdia funkcie pre periodicitu, a časť druhej kresby - v súlade s ich príspevok k práci na vyučovacej hodine.

VII. Domáca úloha

1). Skontrolujte, či je funkcia f periodická a nájdite jej základnú periódu (ak existuje)

b). f(x)=x2-2x+4

c). f(x)=2tg(3x+5)

2). Funkcia y=f(x) má periódu T=2 a f(x)=x 2 +2x pre x € [-2; 0]. Nájdite hodnotu výrazu -2f(-3)-4f(3,5)

Literatúra/

Mordkovich A.G. Algebra a začiatky analýzy s hĺbkovým štúdiom.
Matematika. Príprava na jednotnú štátnu skúšku. Ed. Lysenko F.F., Kulabukhova S.Yu.
Šeremetěva T.G. , Tarasová E.A. Algebra a počiatočná analýza pre ročníky 10-11.

Vlastnosti konštrukcie grafu periodických funkcií

Graf periodickej funkcie sa zvyčajne najskôr vykreslí na intervale [ X 0 ; X 0 + T). Vykonať paralelný prenos body grafu cez celú oblasť definície.

Príklady periodických funkcií a ich grafy.

Príkladmi periodických funkcií sú goniometrické funkcie. Pozrime sa na tie hlavné.

Funkcia F(x) = sin(x)

a) Definičná oblasť: D (sin x) = R .

b) Množina hodnôt: E (sin x) = [– 1 , 1] .
c) Párne, nepárne: funkcia je nepárna.

d) Periodicita: periodická funkcia s hlavnou periódou.

e) Nuly funkcie: sin x = 0 pre , n Z.

f) Intervaly konštantného znamienka funkcie:

g) Intervaly monotónnosti: funkcia sa zvyšuje ako ;

funkcia klesá,

h) Extrémy funkcie:
; .

Graf funkcie y= sin x je znázornený na obrázku.

Funkcia F(x) = cos(x)

a) Rozsah definície.

b) Viacnásobné hodnoty: E (cos X) = [ – 1 , 1 ] .

c) Párne, nepárne: funkcia je párna.

G ) Periodicita: funkcia je periodická s hlavnou periódou.

d) Nuly funkcie: pri .

e) Intervaly stálosti znamienka:

g) Intervaly monotónnosti:

funkcia sa zvyšuje ako ;

funkcia klesá ako

h) extrémy:

Graf funkcie r=cos X znázornené na obrázku.

Funkcia F(x) = tan(x)

a) Rozsah definície:

b) Množina hodnôt: E()

c) Párne, nepárne. Funkcia je nepárna.

d) Frekvencia. Periodická funkcia s hlavnou periódou

e) Nuly funkcie: tan x = 0 pre x = n, n Z.

f) Intervaly stálosti znamienka:

g) Intervaly monotónnosti: funkcia sa zvyšuje na každom intervale, ktorý úplne patrí do jej definície.

h) Extrémy: nie.

Graf funkcie r= tg X znázornené na obrázku.

Funkcia F(x) = detská postieľka(x)

a) Definičná oblasť: D (ctg x) = R\ ( n(n Z)).

b) Viacnásobné hodnoty: E (ctg x) = R .
c) Párne, nepárne je nepárna funkcia.

d) Periodicita: periodická funkcia s hlavnou periódou T = .

e) Nuly funkcie: cot x = 0 pri x = /2 + n, n Z.

f) intervaly stálosti znakov;

g) Intervaly monotónnosti: funkcia klesá na každom intervale, ktorý úplne patrí do jej definičnej oblasti.

h) Extrémy: nie.

Graf funkcie y = ctg x je znázornený na obrázku.

Zaujímavé grafy sa získavajú pomocou superpozície – tvorby komplexných funkcií na základe goniometrických periodických funkcií.

Graf periodickej funkcie

II. Aplikácie periodických funkcií. Periodické výkyvy.

Oscilácie.

Oscilácie sú procesy, ktoré sa líšia rôznymi stupňami opakovateľnosti. Oscilácie sú procesy, ktoré sa opakujú v pravidelných intervaloch (nie všetky opakujúce sa procesy sú však oscilácie). V závislosti od fyzikálnej povahy opakujúceho sa procesu sa vibrácie rozlišujú na mechanické, elektromagnetické, elektromechanické atď. Počas mechanických vibrácií sa polohy a súradnice telies periodicky menia. Pre elektrické - napätie a prúd. Podľa charakteru dopadu na kmitajúci systém sa rozlišujú voľné kmity, vynútené kmity, vlastné kmity a parametrické kmity.

Opakujúce sa procesy sa neustále vyskytujú vo vnútri akéhokoľvek živého organizmu, napríklad: srdcové kontrakcie, funkcia pľúc; trasieme sa, keď je nám zima; počujeme a hovoríme vďaka vibráciám ušných bubienkov a hlasiviek; Keď kráčame, naše nohy robia oscilačné pohyby. Atómy, z ktorých sme stvorení, vibrujú. Svet, v ktorom žijeme, je náchylný na výkyvy.

Periodické výkyvy.

Pravidelné sa nazývajú také kmity, pri ktorých sa po určitom čase opakujú všetky charakteristiky pohybu.

Pre periodické oscilácie sa používajú tieto charakteristiky:

perióda oscilácie T, rovná času, počas ktorého dôjde k jednej úplnej oscilácii;

frekvencia osciláciíν sa rovná počtu kmitov vykonaných za jednu sekundu (ν = 1/T);

Parametrické oscilácie sa vykonávajú, keď sa pravidelne menia parametre oscilačného systému (osoba, ktorá sa hojdá na hojdačke, pravidelne zdvíha a znižuje svoje ťažisko, čím sa menia parametre systému). Za určitých podmienok sa systém stáva nestabilným - náhodná odchýlka od rovnovážnej polohy vedie k vzniku a zvýšeniu kmitov. Tento jav sa nazýva parametrické budenie kmitov (t.j. kmity sú vybudené zmenou parametrov systému) a samotné kmity sa nazývajú parametrické. Napriek svojej odlišnej fyzikálnej povahe sú vibrácie charakterizované rovnakými vzormi, ktoré sú študované všeobecnými metódami. Dôležitou kinematickou charakteristikou je tvar vibrácií. Je určená typom časovej funkcie, ktorá popisuje zmenu tej či onej fyzikálnej veličiny počas kmitov. Najdôležitejšie sú tie oscilácie, pri ktorých sa kolísavá veličina v čase mení podľa zákona sínusu alebo kosínusu. Nazývajú sa harmonické. Tento typ kmitania je obzvlášť dôležitý z nasledujúcich dôvodov. Po prvé, vibrácie v prírode a technike majú často charakter veľmi blízky harmonickému. Po druhé, periodické procesy rôznej formy (s inou časovou závislosťou) môžu byť reprezentované ako uloženie alebo superpozícia harmonických kmitov.

UDC 517,17 + 517,51

OBDOBIE SÚČTU DVOCH PERIODICKÝCH FUNKCIÍ

A/O. Evnin

Práca úplne rieši otázku, čo môže byť hlavnou periódou periodickej funkcie, ktorá je súčtom dvoch periodických funkcií so známymi hlavnými periódami. Študuje sa aj prípad absencie hlavnej periódy pre periodický súčet periodických funkcií.

Uvažujeme funkcie skutočnej hodnoty reálnej premennej. V encyklopedickom vydaní v článku „Periodické funkcie“ si môžete prečítať: „Súčet periodických funkcií s rôznymi periódami je periodický iba vtedy, ak sú ich periódy úmerné.“ Toto tvrdenie platí pre spojité funkcie1, ale neplatí vo všeobecnom prípade. Protipríklad veľmi všeobecnej formy bol skonštruovaný v r. V tomto článku zistíme, čo môže byť hlavná perióda periodickej funkcie, ktorá je súčtom dvoch periodických funkcií so známymi hlavnými periódami.

Predbežná informácia

Pripomeňme, že funkcia / sa považuje za periodickú, ak pre určité číslo T F O pre ľubovoľné x z oblasti definície D(f) patria čísla x + T a x - T do D(f) a rovnosti f(x + T) = f(x) =f(x ~ T). V tomto prípade sa číslo Г nazýva perióda funkcie.

Najmenšiu kladnú periódu funkcie (ak samozrejme existuje) nazveme hlavnou periódou. Nasledujúca skutočnosť je známa.

Veta 1. Ak má funkcia hlavnú periódu To, potom ľubovoľná perióda funkcie má tvar nTo, kde n Ф 0 je celé číslo.

Čísla T\ a T2 sa považujú za porovnateľné, ak existuje číslo T0, ktoré sa zmestí do T\ a T2 ako celé číslo: T\ = T2 = n2T0, n2e Z. V opačnom prípade sú čísla T\ a T2 nazývané nekombinovateľné. Súmerateľnosť (nesúmerateľnosť) období teda znamená, že ich pomer je racionálne (iracionálne) číslo.

Z vety 1 vyplýva, že pre funkciu, ktorá má základnú periódu, sú ľubovoľné dve periódy porovnateľné.

Klasickým príkladom funkcie, ktorá nemá najmenšiu periódu, je Dirichletova funkcia, ktorá sa rovná 1 v racionálnych bodoch a nule v iracionálnych bodoch. Každé racionálne číslo iné ako nula je periódou Dirichletovej funkcie a každé iracionálne číslo nie je jej periódou. Ako vidíme, aj tu sú akékoľvek dve obdobia porovnateľné.

Uveďme príklad nekonštantnej periodickej funkcie, ktorá má neporovnateľné periódy.

Nech sa funkcia /(x) rovná 1 v bodoch tvaru /u + la/2, m, n e Z a rovná sa

nula. Medzi obdobiami tejto funkcie sú 1 a l

Obdobie súčtu funkcií s príslušnými periódami

Veta 2. Nech fug sú periodické funkcie s hlavnými periódami mT0 a „To, kde typ

Vzájomne prvočísla. Potom sa hlavné obdobie ich súčtu (ak existuje) rovná -

kde k je prirodzené číslo rovnaké ako číslo mn.

Dôkaz. Nech h = / + g. Je zrejmé, že číslo mnT0 je perióda h. Na základe čoho

z vety 1 má hlavná perióda h tvar, kde k je nejaké prirodzené číslo. Pravdepodobne

Predpokladajme, že k nie je relatívne prvočíslo s číslom m, teda k - dku m = dm\, kde d> 1 je najviac

1 Krásny dôkaz, že súčet ľubovoľného konečného počtu spojitých funkcií s párovo nesúmerateľnými periódami je neperiodický, je obsiahnutý v článku Pozri tiež.

väčší spoločný deliteľ čísel m a k. Potom sa perióda funkcie k rovná

a funkcia f=h-g

má obdobie mxnTo, ktoré nie je násobkom jeho hlavného obdobia mTQ. Dosiahne sa rozpor s vetou 1. To znamená, že k je spojené s m. Podobne aj čísla k a n sú spojené s prvočíslom, teda A: je spojené s m. □

Veta 3. Nech m, n a k sú párové prvočísla a T0 je kladné číslo. Potom existujú periodické funkcie fug také, že hlavné periódy f, g a (f + g) sú

sme tT$, nTQ a -

Dôkaz. Dôkaz vety bude konštruktívny: jednoducho zostrojíme zodpovedajúci príklad. Najprv sformulujme nasledujúci výsledok. Vyhlásenie. Nech m sú relatívne prvočísla. Potom funkcie

fx - cos- + cos--- a f2= cos- m n m

cos- maju zasadnu periódu 2ktp. P

Dôkaz o vyhlásení. Je zrejmé, že číslo 2ptn je perióda oboch funkcií. To, že toto obdobie je pre funkciu hlavné, si môžete jednoducho overiť, nájdime jeho maximálny počet bodov.

x = 21M, te Z.

Máme = n!. Zo vzájomnej jednoduchosti typu vyplýva, že 5 je násobok /r, t.j. i = I e b. To znamená, že /x(x) = 2 o x = 2mstp1,1 e 2 a vzdialenosť medzi susednými bodmi maxima funkcie /\ je rovná 2ktp a kladná perióda /1 nemôže byť menšie číslo 2 spp.

Pre funkciu aplikujeme uvažovanie iného druhu (ktoré je tiež vhodné pre funkciu, ale

menej elementárne). Ako ukazuje Veta 1, hlavná perióda Г funkcie/2 má tvar -,

kde k je nejaké prirodzené číslo spojené s typom. Číslo G bude zároveň periódou funkcie

(2^2 xn gtt/2 + /2 = - -1 cos

ktorých všetky periódy majú tvar 2pp1. takže,

2nnl, t.j. t = kl. Keďže t a k sú navzájom

sty, z toho vyplýva, že k = 1.

Teraz, aby sme dokázali vetu 3, môžeme zostaviť požadovaný príklad. Príklad. Nech m, n a k sú párovo relatívne prvočísla a aspoň jedno z čísel n alebo k je odlišné od 1. Potom pf k a na základe dokázaného tvrdenia funkcie

/ (x) = náklady--- + náklady- t

A g(x) = cos-cos - p až

majú hlavné obdobia 2 ltk a 2 tk a ich súčet

k(x) = f(x) + = cos- + cos-

hlavná perióda je 2 ttp.

Ak n = k = 1, potom bude stačiť pár funkcií

f(x)-2 cos- + COS X a g(x) - COS X. m

Ich hlavné periódy, ako aj perióda funkcie k(x) - 2 sa rovnajú 2lm, resp. 2/gi 2typu.

aké ľahké je skontrolovať.

Matematika

Označme T = 2lx. Pre ľubovoľné párové prvočísla mn, n a k sú funkcie f a £ označené tak, že hlavné periódy funkcií f, g a f + g sa rovnajú mT, nT a

Podmienky vety spĺňajú funkcie / - n;

Obdobie súčtu funkcií s nekombinovateľnými periódami

Ďalšie vyhlásenie je takmer zrejmé.

Veta 4. Nech fug sú periodické funkcie s nesúmerateľnými hlavnými periódami T) a T2 a súčet týchto funkcií h = f + g je periodický a má hlavnú periódu T. Potom číslo T nie je súmerné ani s T], ani s T2.

Dôkaz. Na jednej strane, ak sú čísla TnT) súmerné, potom funkcia g = h-f má periódu úmernú Г. Na druhej strane, na základe vety 1 je ľubovoľná perióda funkcie g násobkom čísla T2. Získame rozpor s nesúmerateľnosťou čísel T\ a T2. Podobným spôsobom sa dokazuje nesúmerateľnosť čísel T a T2, d

Pozoruhodným a dokonca trochu prekvapivým faktom je, že platí aj opak vety 4. Existuje rozšírená mylná predstava, že súčet dvoch periodických funkcií s neporovnateľnými periódami nemôže byť periodickou funkciou. V skutočnosti to tak nie je. Okrem toho perióda súčtu môže byť akékoľvek kladné číslo, ktoré spĺňa tvrdenie 4. vety.

Veta 5. Nech T\, T2 a T~ sú párovo nesúmerateľné kladné čísla. Potom existujú periodické funkcie fug také, že ich súčet h =/+ g je periodický a hlavné periódy funkcie f guh sa rovnajú Th T2 a T.

Dôkaz. Dôkaz bude opäť konštruktívny. Naše konštrukcie budú výrazne závisieť od toho, či je číslo T reprezentovateľné alebo nie vo forme racionálnej kombinácie T = aT\ + pT2 (a a P sú racionálne čísla) periód T\ a T2.

I. T nie je racionálna kombinácia Tg a J2-

Nech A = (mT\ + nT2 + kT\m,n, k ∈ Z) je množina celočíselných lineárnych kombinácií čísel T1 T2 a T. Hneď si všimneme, že ak je číslo reprezentovateľné v tvare mT\ + nT2 + kT, potom je takéto zobrazenie jedinečné. Skutočne, ak mxT\ + n\Tg + k\T- m2Tx + n2T2 + k2T9 potom

(k) - k2)T - (ot2 - m\)T] + (n2 - π)Tъ a pre k\ * k2 dostaneme, že T je racionálne vyjadrené prostredníctvom T] a T2. To znamená k\ = k2. Teraz z nesúmerateľnosti čísel T\ a T2 sa okamžite získajú rovnosti m\ = m2 a u = n2.

Dôležitým faktom je, že množiny A a ich doplnok A sú uzavreté sčítaním čísel z A: ak x e A a y e A, potom x + y e A; ak x e A a y e A, potom x + y e A.

Predpokladajme, že vo všetkých bodoch množiny A sú funkcie / a g rovné nule a na množine A definujeme tieto funkcie takto:

f(mTi + nT2 + kT) = nT2 + kT g(mT1 + nT2 + kT) - gnT\ - kT.

Pretože, ako bolo ukázané, z čísla x e A sú koeficienty m, vrchol lineárnej kombinácie periód T1 T2 a T jednoznačne obnovené, uvedené priradenia funkcií / a g sú správne.

Funkcia h =/ + g na množine A sa rovná nule av bodoch množiny A sa rovná

h(mT\ + nT2 + kT) - mT\ + nT2.

Priamou substitúciou je ľahké overiť, že číslo T\ je perióda funkcie f, číslo T2 je perióda g a T~ je perióda h. Ukážme, že tieto obdobia sú hlavné.

Najprv si všimneme, že každá perióda funkcie / patrí do množiny A. V skutočnosti

ak 0 fx v A,y e A, potom ox + y e A a f(x + y) = 0 *f(x). To znamená, že y e A nie je perióda funkcie /

Teraz nech x2 sú nerovnaké čísla a f(x 1) ~f(x2). Z definície funkcie / dostaneme, že x\ - x2 = 1ТБ kde I je nejaké nenulové celé číslo. Preto je ľubovoľná perióda funkcie násobkom T\. Tx je teda skutočne hlavné obdobie/

Vyhlásenia týkajúce sa T2 a T sa kontrolujú rovnakým spôsobom.

Komentujte. V knihe na str. 172-173 je uvedená iná všeobecná konštrukcia pre prípad I.

II. T je racionálna kombinácia T\ a T2.

Uveďme racionálnu kombináciu periód T\ a T2 v tvare Г = - (кхТх + к2Т2), kde кх a

k2 ™ celé čísla s prvočíslom, k(Γ\ + k2T2 > 0, a/? a d sú prirodzené čísla. Uveďme leZ>.

reni set B----

Predpokladajme, že vo všetkých bodoch množiny B sú funkcie f a g rovné nule a na množine B definujeme tieto funkcie takto:

^ mT\ + nT2 L I

^ mTx + nT2 L

Tu, ako obvykle, [x] a (x) označujú celé číslo a zlomkové časti čísel. Funkcia k =/+ d na množine B sa rovná nule av bodoch množiny B sa rovná

fmTx + pT: l H

Priamou substitúciou sa dá ľahko overiť, že číslo Tx je perióda funkcie /, číslo T2 je perióda g a T je perióda h. Ukážme, že tieto obdobia sú hlavné.

Akákoľvek perióda funkcie / patrí do množiny B. Skutočne, ak 0 * x e B, y e B, potom f(x) Ф 0, j(x + y) = 0 */(*)■ Preto y e B _ Nefunkčné obdobie/

Každá perióda funkcie / má teda tvar Тy =

Kde 5i a 52 sú celé čísla. Nechaj

x = -7] 4- -Г2, x e 5. Ak i = 0, potom f(i) je racionálne číslo. Teraz z racionality čísla /(x + 7)) vyplýva rovnosť -I - I - 0. To znamená, že máme rovnosť 52 = Xp, kde X je nejaké celé číslo

číslo. Vzťah /(x + 7)) = /(x) nadobúda tvar

^P + I + I w +

Táto rovnosť musí platiť pre všetky celočíselné typy. Pri t-n~ 0 sa pravá strana (1) rovná

na nulu. Keďže zlomkové časti sú nezáporné, dostaneme z toho, že -<0, а при

m = n = d - ] súčet zlomkových častí na pravej strane rovnosti (1) nie je menší ako súčet zlomkových častí h-X

tey vľavo. To znamená - >0. Teda X = 0 a 52 = 0. Preto má perióda funkcie / tvar

a rovnosť (1) sa stáva

n\ | a 52 sú celé čísla. Zo vzťahov

th(0) = 0 = th(GA) =

zistíme, že čísla 51 a ^ musia byť násobkami p, t.j. pre niektoré celé čísla Ax a A2 máme 51 = A\p, E2 = A2p. Potom je možné vzťah (3) prepísať ako

Z rovnosti A2kx = k2A\ a vzájomnej prvočíslia čísel k\ a k2 vyplýva, že A2 je deliteľné k2. Odtiaľ

pre nejaké celé číslo t platia rovnosti A2 = k2t a Ax ~ kxt, t.j. Th ~-(kxTx + k2T2).

Ukazuje sa, že ľubovoľná perióda funkcie h je násobkom periódy T = - (k(Gx + k2T2)9, ktorá teda

zom, je hlavný. □

Žiadne hlavné obdobie

Veta 6. Nech Tx a T2~ sú ľubovoľné kladné čísla. Potom existujú periodické funkcie fug tak, že ich hlavné periódy sú rovné T\ a T2, v tomto poradí, a ich súčet h=f+g je periodický, ale nemá žiadnu hlavnú periódu.

Dôkaz. Uvažujme o dvoch možných prípadoch.

I. Obdobia Tx a T2 sú neporovnateľné.

Nech A = + nT2 + kT\ . Ako je uvedené vyššie, je ľahké ukázať, že ak číslo

môže byť reprezentované v tvare mTx + nT2 + kT, potom je takéto zobrazenie jedinečné.

Predpokladajme, že vo všetkých bodoch množiny A sú funkcie / a g rovné nule a na množine A definujeme tieto funkcie takto:

/od; + nT2 + kT) = nT2 + kT, g(mTx + nT2 + kT) = mTx - kT.

Je ľahké overiť, že číslo Tx je hlavnou periódou funkcie /, číslo T2 je hlavnou periódou g a pre každé racionálne k je číslo kT periódou funkcie h - f + g, ktorá, preto nemá najmenšiu periódu.

II. Obdobia Tx a T2 sú porovnateľné.

Nech Tx = mT0, T2 = nT0, kde T0 > O, m a n sú prirodzené čísla. Zoberme do úvahy množinu I = +.

Predpokladajme, že vo všetkých bodoch množiny B sú funkcie fug rovné nule a na množine B definujeme tieto funkcie takto:

/((/ + ShT0) = Shch + Jit, g((/ + 4lk)T0) - Shch - 42k.

Funkcia h ~ / + g na množine B sa rovná nule av bodoch množiny B sa rovná

Je ľahké skontrolovať, že číslo 7j = mTQ je hlavná perióda funkcie /, číslo T2 ~ nT0 je hlavná perióda g, pričom medzi periódami funkcie h~ f + g sú všetky čísla tvar l/2kT0, kde k je ľubovoľné racionálne číslo. □

Konštrukcie dokazujúce vetu 6 sú založené na nesúmerateľnosti periód funkcie h~ / + g s periódami funkcií / a g. Na záver uveďme príklad funkcií fug tak, že všetky periódy funkcií /, g a / + g sú si navzájom úmerné, ale / a g majú základné periódy, kým f + g nie.

Nech m je nejaké pevné prirodzené číslo, M množina ireducibilných neceločíselných zlomkov, ktorých čitatelia sú násobky m. Položme

1 ak heM; 1

ifhe mZ;

EcnuxeZXmZ; 2

O v iných prípadoch; 1 ak xeMU

~,ifhe2 2

[Och inak.

Je ľahké vidieť, že hlavné periódy funkcií fug sa rovnajú m a 1, zatiaľ čo súčet / + g má periódu ľubovoľného čísla v tvare m/n, kde n je ľubovoľné prirodzené číslo rovnaké ako m.

Literatúra

1. Matematický encyklopedický slovník/Ch. vyd. Yu.V. Prochorov - M.: Sov. encyklopédia, 1988.

2. Mikaelyan L.V., Sedrakyan N.M. O periodicite súčtu periodických funkcií//Matematické vzdelávanie. - 2000. - č. 2(13). - s. 29-33.

3. Gerenshtein A.B., Evnin A.Yu. O súčte periodických funkcií // Matematika v škole. -2002. - Číslo 1. - S. 68-72.

4. Ivlev B.M. a iné Zbierka úloh z algebry a princípov analýzy pre 9. a 10. ročník. - M.: Vzdelávanie, 1978.

Vybavenie: počítač, multimediálny projektor, karty úloh, diapozitívy, hodiny, tabuľky ozdôb, prvky ľudových remesiel

"Matematika je to, čo ľudia používajú na ovládanie prírody a seba."
A.N. Kolmogorov

Počas vyučovania

I. Organizačná etapa.

Kontrola pripravenosti žiakov na vyučovaciu hodinu. Oznámte tému a ciele lekcie.

II. Kontrola domácich úloh.

Kontrolujeme domáce úlohy pomocou vzoriek a diskutujeme o najťažších bodoch.

III. Zovšeobecňovanie a systematizácia poznatkov.

1. Ústna frontálna práca.

Problémy teórie.

y=sin(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)

tg(x+π n)=tgx, n € Z
ctg(x+π n)=ctgx, n € Z

sin(x+2π n)=sinx, n € Z
cos(x+2π n)=cosx, n € Z

5) Ako vykresliť periodickú funkciu?

Ústne cvičenia.

1) Dokážte nasledujúce vzťahy

a) sin(740º) = sin(20º)
b) cos(54º) = cos(-1026º)
c) sin(-1000º) = sin(80º)

2. Dokážte, že uhol 540º je jednou z periód funkcie y= cos(2x)

3. Dokážte, že uhol 360º je jednou z periód funkcie y=tg(x)

4. Transformujte tieto výrazy tak, aby uhly v nich obsiahnuté nepresiahli 90º v absolútnej hodnote.

a) tg375º
b) ctg530º
c) sin1268º
d) cos(-7363º)

5. Kde ste sa stretli so slovami OBDOBIE, PERIODICITA?

Polčas rozpadu rádioaktívnej látky. Periodický zlomok. Periodiká sú tlačené publikácie, ktoré vychádzajú v presne stanovených termínoch. Mendelejevov periodický systém.

6. Obrázky znázorňujú časti grafov periodických funkcií. Určte periódu funkcie. Určte periódu funkcie.

Odpoveď T = 2; T = 2; T = 4; T = 8.

7. Kde ste sa v živote stretli s konštrukciou opakujúcich sa prvkov?

Odpoveď žiaka: Prvky ornamentov, ľudové umenie.

IV. Kolektívne riešenie problémov.

(Riešenie problémov na snímkach.)

Uvažujme o jednom zo spôsobov, ako študovať funkciu pre periodicitu.

Táto metóda sa vyhýba ťažkostiam spojeným s dokazovaním, že určitá perióda je najmenšia, a tiež eliminuje potrebu dotýkať sa otázok o aritmetických operáciách s periodickými funkciami a periodicitou komplexnej funkcie. Úvaha je založená len na definícii periodickej funkcie a na nasledujúcej skutočnosti: ak T je perióda funkcie, potom nT(n?0) je jej perióda.

Úloha 1. Nájdite najmenšiu kladnú periódu funkcie f(x)=1+3(x+q>5)

Riešenie: Predpokladajme, že T-perióda tejto funkcie. Potom f(x+T)=f(x) pre všetky x € D(f), t.j.

1+3(x+T+0,25)=1+3(x+0,25)
(x+T+0,25)=(x+0,25)

Dostaneme x=-0,25

(T) = 0<=>T=n, n € Z

f(x+1) = 3(x+1+0,25)+1

Keďže (T+1)=(T) pre ľubovoľné T, potom f(x+1)=3((x+0,25)+1)+1=3(x+0,25)+1=f(x), t.j. 1 – obdobie f. Keďže 1 je najmenšie zo všetkých kladných celých čísel, potom T=1.

Úloha 2. Ukážte, že funkcia f(x)=cos 2 (x) je periodická a nájdite jej hlavnú periódu.

Úloha 3. Nájdite hlavnú periódu funkcie

f(x)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)

Predpokladajme T-periódu funkcie, potom pre ľubovoľnú X pomer platí

sin1,5(x+T)+5cos0,75(x+T)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)

Ak x = 0, potom

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=sin0+5cos0

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5

Ak x=-T, potom

sin0+5cos0=sin(-1,5T)+5cos0,75(-T)

5= – sin(1,5T)+5cos(0,75T)

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5

– sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5

Keď to spočítame, dostaneme:

10 cos (0,75 T) = 10

2π n, n € Z

Vyberme najmenšie kladné číslo zo všetkých „podozrivých“ čísel pre periódu a skontrolujeme, či ide o bodku pre f. Toto číslo

f(x+)=sin(1,5x+4π)+5cos(0,75x+2π)= sin(1,5x)+5cos(0,75x)=f(x)

To znamená, že ide o hlavné obdobie funkcie f.

Úloha 4. Skontrolujeme, či je funkcia f(x)=sin(x) periodická

Nech T je perióda funkcie f. Potom pre ľubovoľné x

sin|x+Т|=sin|x|

Ak x=0, potom sin|Т|=sin0, sin|Т|=0 Т=π n, n € Z.

Predpokladajme. Že pre niektoré n je číslo π n periódou

uvažovaná funkcia π n>0. Potom sin|π n+x|=sin|x|

To znamená, že n musí byť párne aj nepárne číslo, ale to nie je možné. Preto táto funkcia nie je periodická.

Úloha 5. Skontrolujte, či je funkcia periodická

f(x)=

Nech T je obdobie f

, teda sinT=0, Т=π n, n € Z. Predpokladajme, že pre nejaké n je číslo π n skutočne periódou tejto funkcie. Potom číslo 2π n bude bodka

Keďže čitatelia sú si rovní, ich menovatelia sú si rovní

To znamená, že funkcia f nie je periodická.

Pracovať v skupinách.

Úlohy pre skupinu 1.

Úlohy pre skupinu 2.

Skontrolujte, či je funkcia f periodická a nájdite jej základnú periódu (ak existuje).

f(x)=cos(2x)+2sin(2x)

Úlohy pre skupinu 3.

Na konci svojej práce skupiny prezentujú svoje riešenia.

VI. Zhrnutie lekcie.

Reflexia.

VII. Domáca úloha

1). Skontrolujte, či je funkcia f periodická a nájdite jej základnú periódu (ak existuje)

b). f(x)=x2-2x+4

c). f(x)=2tg(3x+5)

2). Funkcia y=f(x) má periódu T=2 a f(x)=x 2 +2x pre x € [-2; 0]. Nájdite hodnotu výrazu -2f(-3)-4f(3,5)

Literatúra/

Mordkovich A.G. Algebra a začiatky analýzy s hĺbkovým štúdiom.
Matematika. Príprava na jednotnú štátnu skúšku. Ed. Lysenko F.F., Kulabukhova S.Yu.
Šeremetěva T.G. , Tarasová E.A. Algebra a počiatočná analýza pre ročníky 10-11.