Sčítanie a odčítanie modulov s rôznymi znamienkami. Sčítanie a odčítanie kladných a záporných čísel. V. Konsolidácia študovaného materiálu

Táto lekcia zahŕňa sčítanie a odčítanie racionálnych čísel. Téma je klasifikovaná ako komplexná. Tu je potrebné využiť celý arzenál predtým nadobudnutých vedomostí.

Pravidlá pre sčítanie a odčítanie celých čísel platia aj pre racionálne čísla. Pripomeňme, že racionálne čísla sú čísla, ktoré možno znázorniť ako zlomok, kde a – toto je čitateľ zlomku, b je menovateľ zlomku. pričom b by nemala byť nula.

V tejto lekcii budeme stále častejšie nazývať zlomky a zmiešané čísla jednou bežnou frázou - racionálne čísla.

Navigácia v lekcii:

Príklad 1 Nájdite význam výrazu:

Uzatvorme každé racionálne číslo do zátvoriek spolu s jeho znamienkami. Berieme do úvahy, že plus uvedené vo výraze je znamienkom operácie a neplatí pre zlomok. Tento zlomok má svoje vlastné znamienko plus, ktoré je neviditeľné, pretože nie je zapísané. Ale pre prehľadnosť si to napíšeme:

Ide o sčítanie racionálnych čísel s rôznymi znamienkami. Ak chcete pridať racionálne čísla s rôznymi znamienkami, musíte odčítať menší modul od väčšieho modulu a pred výslednú odpoveď vložiť znamienko racionálneho čísla, ktorého modul je väčší. A aby ste pochopili, ktorý modul je väčší a ktorý menší, musíte byť schopní porovnať moduly týchto zlomkov pred ich výpočtom:

Modul racionálneho čísla je väčší ako modul racionálneho čísla. Preto sme odpočítali od . Dostali sme odpoveď. Potom, znížením tohto zlomku o 2, sme dostali konečnú odpoveď.

Niektoré primitívne akcie, ako je vkladanie čísel do zátvoriek a pridávanie modulov, je možné preskočiť. Tento príklad možno napísať stručne:

Príklad 2 Nájdite význam výrazu:

Uzatvorme každé racionálne číslo do zátvoriek spolu s jeho znamienkami. Berieme do úvahy, že mínus medzi racionálnymi číslami je znakom operácie a neplatí pre zlomok. Tento zlomok má svoje vlastné znamienko plus, ktoré je neviditeľné, pretože nie je zapísané. Ale pre prehľadnosť si to napíšeme:

Odčítanie nahradíme sčítaním. Pripomeňme vám, že na to musíte pridať k minuendu číslo opačné k subtrahendu:

Získali sme sčítanie záporných racionálnych čísel. Ak chcete pridať záporné racionálne čísla, musíte pridať ich moduly a dať mínus pred výslednú odpoveď:

Poznámka. Nie je potrebné uzatvárať každé racionálne číslo do zátvoriek. Toto sa robí pre pohodlie, aby bolo jasné, aké znamienka majú racionálne čísla.

Príklad 3 Nájdite význam výrazu:

V tomto výraze majú zlomky rôznych menovateľov. Aby sme to uľahčili, zredukujme tieto zlomky na spoločný menovateľ. Nebudeme sa podrobne zaoberať tým, ako to urobiť. Ak máte ťažkosti, lekciu zopakujte.

Po zredukovaní zlomkov na spoločného menovateľa bude mať výraz nasledujúcu formu:

Ide o sčítanie racionálnych čísel s rôznymi znamienkami. Menší modul odčítame od väčšieho modulu a pred výslednú odpoveď vložíme znamienko racionálneho čísla, ktorého modul je väčší:

Stručne si zapíšme riešenie tohto príkladu:

Príklad 4. Nájdite hodnotu výrazu

Vypočítajme tento výraz takto: sčítajte racionálne čísla a potom od výsledného výsledku odčítajte racionálne číslo.

Prvá akcia:

Druhá akcia:

Príklad 5. Nájdite význam výrazu:

Predstavme si celé číslo −1 ako zlomok a skonvertujme zmiešané číslo na nesprávny zlomok:

Uzatvorme každé racionálne číslo do zátvoriek spolu s jeho znamienkami:

Získali sme sčítanie racionálnych čísel s rôznymi znamienkami. Menší modul odčítame od väčšieho modulu a pred výslednú odpoveď vložíme znamienko racionálneho čísla, ktorého modul je väčší:

Dostali sme odpoveď.

Existuje aj druhé riešenie. Pozostáva zo skladania celých častí samostatne.

Vráťme sa teda k pôvodnému výrazu:

Každé číslo uzavrieme do zátvoriek. Na tento účel je zmiešané číslo dočasné:

Vypočítajme časti celého čísla:

(−1) + (+2) = 1

V hlavnom výraze namiesto (−1) + (+2) napíšeme výslednú jednotku:

Výsledný výraz je . Za týmto účelom napíšte jednotku a zlomok spolu:

Napíšme riešenie takto kratšie:

Príklad 6. Nájdite hodnotu výrazu

Preveďme zmiešané číslo na nesprávny zlomok. Zvyšok prepíšeme bez zmeny:

Uzatvorme každé racionálne číslo do zátvoriek spolu s jeho znamienkami:

Nahraďte odčítanie sčítaním:

Stručne si zapíšme riešenie tohto príkladu:

Príklad 7. Nájdite hodnotu výrazu

Predstavme si celé číslo −5 ako zlomok a preveďte zmiešané číslo na nesprávny zlomok:

Priveďme tieto zlomky k spoločnému menovateľovi. Po ich zredukovaní na spoločného menovateľa budú mať nasledujúcu podobu:

Uzatvorme každé racionálne číslo do zátvoriek spolu s jeho znamienkami:

Nahraďte odčítanie sčítaním:

Získali sme sčítanie záporných racionálnych čísel. Pridajme moduly týchto čísel a pred výslednú odpoveď dáme mínus:

Hodnota výrazu je teda .

Vyriešme tento príklad druhým spôsobom. Vráťme sa k pôvodnému výrazu:

Napíšme zmiešané číslo v rozšírenom tvare. Zvyšok prepíšeme bez zmien:

Každé racionálne číslo uzatvárame do zátvoriek spolu s jeho znamienkami:

Vypočítajme časti celého čísla:

V hlavnom výraze namiesto písania výsledného čísla −7

Výraz je rozšírená forma zápisu zmiešaného čísla. Číslo −7 a zlomok napíšeme spolu, aby sme vytvorili konečnú odpoveď:

Stručne napíšme toto riešenie:

Príklad 8. Nájdite hodnotu výrazu

Každé racionálne číslo uzatvárame do zátvoriek spolu s jeho znamienkami:

Nahraďte odčítanie sčítaním:

Získali sme sčítanie záporných racionálnych čísel. Pridajme moduly týchto čísel a pred výslednú odpoveď dáme mínus:

Takže hodnota výrazu je

Tento príklad možno vyriešiť druhým spôsobom. Pozostáva z pridávania celých a zlomkových častí oddelene. Vráťme sa k pôvodnému výrazu:

Uzatvorme každé racionálne číslo do zátvoriek spolu s jeho znamienkami:

Nahraďte odčítanie sčítaním:

Získali sme sčítanie záporných racionálnych čísel. Sčítajme moduly týchto čísel a pred výslednú odpoveď dáme mínus. Tentokrát však pridáme celé časti (−1 a −2), zlomkové aj

Stručne napíšme toto riešenie:

Príklad 9. Nájdite výrazy

Poďme previesť zmiešané čísla na nesprávne zlomky:

Racionálne číslo uzavrieme do zátvoriek spolu s jeho znamienkom. Nie je potrebné uvádzať racionálne číslo do zátvoriek, pretože je už v zátvorkách:

Získali sme sčítanie záporných racionálnych čísel. Pridajme moduly týchto čísel a pred výslednú odpoveď dáme mínus:

Takže hodnota výrazu je

Teraz skúsme vyriešiť ten istý príklad druhým spôsobom, a to pridaním celých a zlomkových častí oddelene.

Tentoraz, aby sme získali krátke riešenie, skúsme preskočiť niektoré kroky, ako je písanie zmiešaného čísla v rozšírenej forme a nahradenie odčítania sčítaním:

Upozorňujeme, že zlomkové časti boli zredukované na spoločného menovateľa.

Príklad 10. Nájdite hodnotu výrazu

Nahraďte odčítanie sčítaním:

Vo výslednom výraze nie je záporné čísla, ktoré sú hlavným dôvodom robenia chýb. A keďže neexistujú žiadne záporné čísla, môžeme odstrániť plus pred subtrahend a tiež odstrániť zátvorky:

Výsledkom je jednoduchý výraz, ktorý sa dá ľahko vypočítať. Vypočítajme to akýmkoľvek spôsobom, ktorý nám vyhovuje:

Príklad 11. Nájdite hodnotu výrazu

Ide o sčítanie racionálnych čísel s rôznymi znamienkami. Odčítajme menší modul od väčšieho modulu a pred výslednú odpoveď dáme znamienko racionálneho čísla, ktorého modul je väčší:

Príklad 12. Nájdite hodnotu výrazu

Výraz sa skladá z niekoľkých racionálnych čísel. Podľa toho musíte najskôr vykonať kroky v zátvorkách.

Najprv vypočítame výraz, potom sčítame získané výsledky.

Prvá akcia:

Druhá akcia:

Tretia akcia:

odpoveď: hodnota výrazu rovná sa

Príklad 13. Nájdite hodnotu výrazu

Poďme previesť zmiešané čísla na nesprávne zlomky:

Racionálne číslo dáme do zátvoriek spolu s jeho znamienkom. Nie je potrebné uvádzať racionálne číslo do zátvoriek, pretože je už v zátvorkách:

Priveďme tieto zlomky k spoločnému menovateľovi. Po ich zredukovaní na spoločného menovateľa budú mať nasledujúcu podobu:

Nahraďte odčítanie sčítaním:

Získali sme sčítanie racionálnych čísel s rôznymi znamienkami. Odčítajme menší modul od väčšieho modulu a pred výslednú odpoveď dáme znamienko racionálneho čísla, ktorého modul je väčší:

Teda význam výrazu rovná sa

Pozrime sa na sčítanie a odčítanie desatinných miest, ktoré sú tiež racionálnymi číslami a môžu byť kladné alebo záporné.

Príklad 14. Nájdite hodnotu výrazu −3,2 + 4,3

Uzatvorme každé racionálne číslo do zátvoriek spolu s jeho znamienkami. Berieme do úvahy, že plus uvedené vo výraze je znakom operácie a neplatí pre desiatkový 4.3. Tento desatinný zlomok má svoje vlastné znamienko plus, ktoré je neviditeľné, pretože nie je zapísané. Ale pre prehľadnosť si to napíšeme:

(−3,2) + (+4,3)

Ide o sčítanie racionálnych čísel s rôznymi znamienkami. Ak chcete pridať racionálne čísla s rôznymi znamienkami, musíte odčítať menší modul od väčšieho modulu a pred výslednú odpoveď vložiť znamienko racionálneho čísla, ktorého modul je väčší. A aby ste pochopili, ktorý modul je väčší a ktorý menší, musíte byť schopní porovnať moduly týchto desatinných zlomkov pred ich výpočtom:

(−3,2) + (+4,3) = |+4,3| − |−3,2| = 1,1

Modul čísla 4,3 je väčší ako modul čísla −3,2, preto sme od 4,3 odpočítali 3,2. Odpoveď sme dostali 1.1. Odpoveď je kladná, pretože pred odpoveďou musí byť znamienko racionálneho čísla, ktorého modul je väčší. A modul čísla 4,3 je väčší ako modul čísla −3,2

Hodnota výrazu −3,2 + (+4,3) je teda 1,1

−3,2 + (+4,3) = 1,1

Príklad 15. Nájdite hodnotu výrazu 3,5 + (-8,3)

Ide o sčítanie racionálnych čísel s rôznymi znamienkami. Rovnako ako v predchádzajúcom príklade odčítame menší od väčšieho modulu a pred odpoveď dáme znamienko racionálneho čísla, ktorého modul je väčší:

3,5 + (−8,3) = −(|−8,3| − |3,5|) = −(8,3 − 3,5) = −(4,8) = −4,8

Hodnota výrazu 3,5 + (−8,3) je teda −4,8

Tento príklad možno napísať stručne:

3,5 + (−8,3) = −4,8

Príklad 16. Nájdite hodnotu výrazu −7,2 + (−3,11)

Ide o sčítanie záporných racionálnych čísel. Ak chcete pridať záporné racionálne čísla, musíte pridať ich moduly a dať mínus pred výslednú odpoveď.

Záznam s modulmi môžete preskočiť, aby ste výraz nepreplnili:

−7,2 + (−3,11) = −7,20 + (−3,11) = −(7,20 + 3,11) = −(10,31) = −10,31

Hodnota výrazu −7,2 + (−3,11) je teda −10,31

Tento príklad možno napísať stručne:

−7,2 + (−3,11) = −10,31

Príklad 17. Nájdite hodnotu výrazu −0,48 + (−2,7)

Ide o sčítanie záporných racionálnych čísel. Pridajme ich moduly a pred výslednú odpoveď dáme mínus. Záznam s modulmi môžete preskočiť, aby ste výraz nepreplnili:

−0,48 + (−2,7) = (−0,48) + (−2,70) = −(0,48 + 2,70) = −(3,18) = −3,18

Príklad 18. Nájdite hodnotu výrazu −4,9 − 5,9

Uzatvorme každé racionálne číslo do zátvoriek spolu s jeho znamienkami. Berieme do úvahy, že mínus, ktoré sa nachádza medzi racionálnymi číslami −4,9 a 5,9, je znak operácie a nepatrí číslu 5,9. Toto racionálne číslo má svoje vlastné znamienko plus, ktoré je neviditeľné kvôli tomu, že nie je zapísané. Ale pre prehľadnosť si to napíšeme:

(−4,9) − (+5,9)

Nahraďte odčítanie sčítaním:

(−4,9) + (−5,9)

Získali sme sčítanie záporných racionálnych čísel. Pridajme ich moduly a pred výslednú odpoveď dáme mínus:

(−4,9) + (−5,9) = −(4,9 + 5,9) = −(10,8) = −10,8

Hodnota výrazu −4,9 − 5,9 je teda −10,8

−4,9 − 5,9 = −10,8

Príklad 19. Nájdite hodnotu výrazu 7 − 9.3

Uveďme každé číslo do zátvoriek spolu s jeho znamienkami.

(+7) − (+9,3)

Odčítanie nahradíme sčítaním

(+7) + (−9,3)

(+7) + (−9,3) = −(9,3 − 7) = −(2,3) = −2,3

Hodnota výrazu 7 − 9,3 je teda −2,3

Stručne si zapíšme riešenie tohto príkladu:

7 − 9,3 = −2,3

Príklad 20. Nájdite hodnotu výrazu −0,25 − (−1,2)

Nahraďte odčítanie sčítaním:

−0,25 + (+1,2)

Získali sme sčítanie racionálnych čísel s rôznymi znamienkami. Odčítajme menší modul od väčšieho modulu a pred odpoveď dáme znamienko čísla, ktorého modul je väčší:

−0,25 + (+1,2) = 1,2 − 0,25 = 0,95

Stručne si zapíšme riešenie tohto príkladu:

−0,25 − (−1,2) = 0,95

Príklad 21. Nájdite hodnotu výrazu −3,5 + (4,1 − 7,1)

Vykonajte akcie v zátvorkách a výslednú odpoveď pridajte číslom −3,5

Prvá akcia:

4,1 − 7,1 = (+4,1) − (+7,1) = (+4,1) + (−7,1) = −(7,1 − 4,1) = −(3,0) = −3,0

Druhá akcia:

−3,5 + (−3,0) = −(3,5 + 3,0) = −(6,5) = −6,5

odpoveď: hodnota výrazu −3,5 + (4,1 − 7,1) je −6,5.

Príklad 22. Nájdite hodnotu výrazu (3,5 − 2,9) − (3,7 − 9,1)

Urobme kroky v zátvorkách. Potom od čísla, ktoré bolo získané ako výsledok vykonania prvých zátvoriek, odčítajte číslo, ktoré bolo získané ako výsledok vykonania druhých zátvoriek:

Prvá akcia:

3,5 − 2,9 = (+3,5) − (+2,9) = (+3,5) + (−2,9) = 3,5 − 2,9 = 0,6

Druhá akcia:

3,7 − 9,1 = (+3,7) − (+9,1) = (+3,7) + (−9,1) = −(9,1 − 3,7) = −(5,4) = −5,4

Tretie dejstvo

0,6 − (−5,4) = (+0,6) + (+5,4) = 0,6 + 5,4 = 6,0 = 6

odpoveď: hodnota výrazu (3,5 − 2,9) − (3,7 − 9,1) je 6.

Príklad 23. Nájdite hodnotu výrazu −3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15

Každé racionálne číslo uzatvorme do zátvoriek spolu s jeho znamienkami

(−3,8) + (+17,15) − (+6,2) − (+6,15)

Kde je to možné, nahraďme odčítanie sčítaním:

(−3,8) + (+17,15) + (−6,2) + (−6,15)

Výraz sa skladá z niekoľkých pojmov. Podľa kombinačného zákona sčítania, ak výraz pozostáva z niekoľkých výrazov, potom súčet nebude závisieť od poradia akcií. To znamená, že výrazy môžu byť pridané v akomkoľvek poradí.

Neobjavujme koleso, ale pridajte všetky výrazy zľava doprava v poradí, v akom sa zobrazujú:

Prvá akcia:

(−3,8) + (+17,15) = 17,15 − 3,80 = 13,35

Druhá akcia:

13,35 + (−6,2) = 13,35 − −6,20 = 7,15

Tretia akcia:

7,15 + (−6,15) = 7,15 − 6,15 = 1,00 = 1

odpoveď: hodnota výrazu −3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15 je 1.

Príklad 24. Nájdite hodnotu výrazu

Preveďme desatinný zlomok −1,8 na zmiešané číslo. Zvyšok prepíšeme bez zmeny:

Ak bola teplota vzduchu 9°C a potom sa zmenila na -6°C (t.j. klesla o 6°C), potom sa rovnala 9 + (-6) stupňom (obr. 83).

Ryža. 83

Ak chcete sčítať čísla 9 a -6 pomocou súradnicovej čiary, musíte posunúť bod A(9) doľava o 6 jednotkových segmentov (obr. 84). Dostaneme bod B(3).

Ryža. 84

To znamená 9 + (-6) = 3. Číslo 3 má rovnaké znamienko ako člen 9 a jeho modul sa rovná rozdielu medzi modulmi členov 9 a -6.

Naozaj, |3| = 3 a |9| - |-6| = 9 - 6 = 3.

Ak sa tá istá teplota vzduchu 9°C zmenila o -12°C (t.j. klesla o 12°C), potom sa rovnala 9 + (-12) stupňom (obr. 85).

Ryža. 85

Sčítaním čísel 9 a -12 pomocou súradnicovej čiary (obr. 86) dostaneme 9 + (-12) = -3. Číslo -3 má rovnaké znamienko ako člen -12 a jeho modul sa rovná rozdielu medzi modulmi členov -12 a 9.

Ryža. 86

Naozaj, |-3| = 3 a |-12| - |-9| = 12 - 9 = 3.

Zvyčajne sa najprv určí a zapíše znamienko súčtu a potom sa zistí rozdiel v moduloch.

Napríklad:

Na sčítanie kladných a záporných čísel môžete použiť kalkulačku. Ak chcete do mikrokalkulačky zadať záporné číslo, musíte zadať modul tohto čísla a potom stlačiť kláves „zmeniť znamienko“. Napríklad, ak chcete zadať číslo -56,81, musíte postupne stlačiť tlačidlá: . Operácie s číslami ľubovoľného znamienka sa vykonávajú na mikrokalkulačke rovnakým spôsobom ako s kladnými číslami. Napríklad pomocou programu sa vypočíta suma -6,1 + 3,8

Stručne povedané, tento program je napísaný takto: .

Samotestovacie otázky

• Čísla a a b majú rôzne znamienka. Aké znamienko bude mať súčet týchto čísel, ak je väčší modul záporný? ak je menší modul záporný? ak je väčší modul kladné číslo? ak je menší modul kladné číslo?
• Formulujte pravidlo na sčítanie čísel s rôznymi znamienkami.
• Ako zadať záporné číslo do mikrokalkulačky?

Vykonajte cvičenia

1061. Číslo 6 sa zmenilo na -10. Na ktorej strane počiatku sa nachádza výsledné číslo? V akej vzdialenosti od pôvodu sa nachádza? Aký je súčet 6 a -10?

1062. Číslo 10 sa zmenilo na -6. Na ktorej strane počiatku sa nachádza výsledné číslo? V akej vzdialenosti od pôvodu sa nachádza? Aký je súčet 10 a -6?

1063. Číslo -10 sa zmenilo na 3. Na ktorej strane počiatku sa nachádza výsledné číslo? V akej vzdialenosti od pôvodu sa nachádza? Aký je súčet -10 a 3?

1064. Číslo -10 sa zmenilo na 15. Na ktorej strane počiatku sa nachádza výsledné číslo? V akej vzdialenosti od pôvodu sa nachádza? Aký je súčet -10 a 15?

1065. V prvej polovici dňa sa teplota zmenila o -4°C a v druhej o +12°C. O koľko stupňov sa zmenila teplota počas dňa?

1066. Vykonajte sčítanie:

• a) 26 + (-6);
• b) -70 + 50;
• c) -17 + 30;
• d) 80 + (-120);
• e) -6,3 + 7,8;
• e) -9 + 10,2;
• g) 1+ (-0,39);
• h) 0,3 + (-1,2);

1067. Pridať:

• a) do súčtu -6 a -12 číslo 20;
• b) k číslu 2,6 je súčet -1,8 a 5,2;
• c) k súčtu -10 a -1,3 súčet 5 a 8,7;
• d) k súčtu 11 a -6,5 súčet -3,2 a -6.

1068. Ktoré číslo je 8? 7,1; -7,1; -7; Je -0,5 koreňom rovnice -6 + x = -13,1?

1069. Uhádnite koreň rovnice a skontrolujte:

• a) x + (-3) = -11;
• b) -5 + y = 15;
• c) t+ (-12) = 2;
• d) 3 + n = -10.

1070. Nájdite význam výrazu:

1071. Pomocou mikrokalkulačky postupujte podľa týchto krokov:

• a) -3,2579 + (-12,308);
• b) 7,8547 + (-9,239);
• c) -0,00154 + 0,0837;
• d) -3,8564 + (-0,8397) + 7,84;
• e) -0,083 + (-6,378) + 3,9834;
• e) -0,0085 + 0,00354 + (-0,00921).

1072. Nájdite hodnotu súčtu:

1073. Nájdite význam výrazu:

1074. Koľko celých čísel sa nachádza medzi číslami:

• a) 0 a 24;
• b) -12 a -3;
• c) -20 a 7?

1075. Predstavte si číslo -10 ako súčet dvoch záporných členov, takže:

• a) oba členy boli celé čísla;
• b) oba výrazy boli desatinné zlomky;
• c) jeden z výrazov bol riadny obyčajný zlomok.

1076. Aká je vzdialenosť (v jednotkových segmentoch) medzi bodmi na súradnicovej čiare so súradnicami:

• a) 0 a a;
• b) -a a a;
• c) -a a 0;
• d) a a -Za?

1077. Polomery geografických rovnobežiek zemského povrchu, na ktorých sa nachádzajú mestá Atény a Moskva, sa rovnajú 5040 km a 3580 km (obr. 87). O koľko kratšia je moskovská rovnobežka ako aténska rovnobežka?

Ryža. 87

1078. Napíšte rovnicu na vyriešenie úlohy: „Pole s rozlohou 2,4 hektára bolo rozdelené na dve časti. Nájdite plochu každého pozemku, ak je známe, že jeden z pozemkov:

1079. Vyrieš ten problém:

1. Prvý deň cestári prešli 240 km, druhý deň 140 km, tretí deň 3x viac ako druhý deň a štvrtý deň oddychovali. Koľko kilometrov prešli piaty deň, ak za 5 dní najazdili priemerne 230 km za deň?
2. Farmár s dvoma synmi umiestnil nazbierané jablká do 4 nádob, v priemere po 135 kg. Farmár nazbieral 280 kg jabĺk, najmladší syn nazbieral 4-krát menej. Koľko kilogramov jabĺk nazbieral najstarší syn?

1080. Nasleduj tieto kroky:

1. (2,35 + 4,65) 5,3: (40 - 2,9);
2. (7,63 - 5,13) 0,4: (3,17 + 6,83).

1081. Vykonajte sčítanie:

1082. Predstavte si každé z čísel ako súčet dvoch rovnakých členov: 10; -8; -6,8; .

1083. Nájdite hodnotu a + b, ak:

1084. Na jednom poschodí bytového domu bolo 8 bytov. Boli tam 2 byty s obytnou plochou 22,8 m2, 3 byty s 16,2 m2 a 2 byty s 34 m2. Akú obytnú plochu mal ôsmy byt, ak na tomto poschodí mal každý byt v priemere 24,7 m2 obytnej plochy?

1085. Nákladný vlak pozostával zo 42 vozňov. Krytých áut bolo 1,2-krát viac ako plošín a počet tankov sa rovnal počtu plošín. Koľko áut každého typu bolo vo vlaku?

1086. Nájdite význam výrazu

„Pridávanie čísel s rôznymi znakmi“ - učebnica matematiky, ročník 6 (Vilenkin)

Stručný opis:

V tejto časti sa naučíte pravidlá sčítania čísel s rôznymi znamienkami: to znamená, že sa naučíte sčítať záporné a kladné čísla.
Už viete, ako ich pridať na súradnicovú čiaru, ale v každom príklade nebudete kresliť rovnú čiaru a počítať pomocou nej? Preto sa musíte naučiť skladať bez neho.
Skúsme s vami pridať záporné číslo ku kladnému číslu, napríklad osem sčítajte mínus šesť: 8+(-6). Už viete, že pridanie záporného čísla zníži pôvodné číslo o zápornú hodnotu. To znamená, že osem musí byť znížené o šesť, to znamená, že šesť sa musí odpočítať od ôsmich: 8-6 = 2, čo dáva dva. V tomto príklade sa zdá byť všetko jasné, od ôsmich odpočítame šesť.
A ak vezmeme tento príklad: pridajte kladné číslo k zápornému číslu. Napríklad mínus osem pridajte šesť: -8+6. Podstata zostáva rovnaká: kladné číslo redukujeme o hodnotu záporného čísla, dostaneme šesť, odčítame osem je mínus dva: -8+6=-2.
Ako ste si všimli, v prvom aj druhom príklade s číslami sa vykonáva odčítanie. prečo? Pretože majú rôzne znamienka (plus a mínus). Aby ste sa vyhli chybám pri pridávaní čísel s rôznymi znakmi, mali by ste vykonať nasledujúci algoritmus:
1. nájdite moduly čísel;
2. odčítajte menší modul od väčšieho modulu;
3. Pred získaný výsledok vložte znamienko čísla s veľkou absolútnou hodnotou (zvyčajne sa vkladá iba znamienko mínus a znamienko plus sa nevkladá).
Ak pridáte čísla s rôznymi znakmi podľa tohto algoritmu, budete mať oveľa menšiu šancu urobiť chybu.

V aritmetickom kurze sa zistilo, že odčítanie je inverzná operácia sčítania, pomocou ktorej sa z daného súčtu a jedného člena nájde ďalší člen.

Pomocou tejto definície musíme pochopiť, ako odčítať relatívne čísla.

Nech je potrebné odpočítať (–3) od (+8), t.j. nech je to potrebné

Prvé dané číslo vyjadruje daný súčet, druhé – daný člen a vyššie nájdite iný člen (za znamienkom rovnosti je preň ponechaný priestor), t. j. musíme vyriešiť otázku: s akým číslom treba pripočítať (–3 ), takže celkový súčet je ( +8)? Napíšme túto otázku v tomto tvare:

(?) + (–3) = +8.

Je ale ťažké túto otázku vyriešiť hneď, a preto najprv vyriešime jednoduchšiu, pomocnú otázku: aké číslo treba pridať k (–3), aby bola celková nula?, t.j.

(?) + (–3) = 0.

Odpoveď na túto otázku je jasná: za neznámy člen musíme vziať číslo, ktoré má rovnakú absolútnu hodnotu ako daný člen, ale opačné znamienko – v tomto prípade musíme za neznámy člen vziať číslo +3. Teraz prejdime k riešeniu hlavnej otázky: vzali sme číslo + 3 pre neznámy výraz a súčet bol nula, ale potrebujeme získať číslo +8 v súčte, takže potrebujeme, aby bolo zahrnuté rovnaké číslo +8 v inom termíne. Neznámy člen teda musí pozostávať z: 1) +3, aby súčet bol nula a 2) +8, aby sa tento súčet „nula“ dostal na požadované +8. Preto namiesto neznámeho výrazu píšeme + 3 + 8:

(+ 8) – (– 3) = + 3 + 8 = + 11.

Posledná (= + 11) je napísaná na základe toho, že čísla + 3 a + 8 je potrebné spojiť do jednej alebo ich sčítať.

Tu sú ďalšie príklady:

(– 7) – (+ 5) = – 5 – 7 = – 12.

Požadovaný člen musí pozostávať z: 1) od –5, aby súčet bol nula a 2) od –7, aby sa táto nula pripočítala k požadovanému súčtu, po –7. Sčítaním čísel –5 a –7 dostaneme –12.

(– 3) – (– 8) = + 8 – 3 = + 5.

Požadovaný člen musí pozostávať z: 1) +8 na pridanie nuly a 2) –3 na pričítanie tejto nuly k požadovanému množstvu, na –3. Sčítaním čísel +8 a –3 dostaneme +5.

(+7) – (+9) = –9 + 7 = –2.

Požadovaný výraz musí pozostávať z: 1) –9, takže súčet je nula, a 2) +7, aby sa táto nula pripočítala k požadovanej sume, k +7; sčítaním čísel –9 a +7 dostaneme –2.

Z týchto príkladov vidíme, že odčítanie v algebre pozostáva iba zo schopnosti otvárať zátvorky: musíte napísať druhé číslo (daný sčítanec alebo odpočet) s opačným znamienkom a prvé číslo (daný súčet alebo to, ktoré sa redukuje ) musí byť napísané rovnakým znakom. Potom, čo sa to urobí, t. j. keď sa otvoria zátvorky, dôjde k sčítaniu, pretože čísla sú napísané vedľa ich znakov, napríklad v poslednom príklade: – 9 + 7.

Keďže súčet sa po preskupení výrazov nemení, čísla získané v príkladoch vyššie môžete po otvorení zátvoriek preusporiadať tak, aby poradie súhlasilo s poradím týchto čísel:

(+ 8) – (– 3) = + 8 + 3; (– 7) – (+ 5) = – 7 – 5;
– 3 – (– 8) = – 3 + 8; (+ 7) – (+ 9) = + 7 – 9.

Ak chcete otvoriť zátvorky pri odčítaní, musíte napísať prvé číslo (mennú koncovku) bez zmeny a pridať k nej druhé číslo (podstranu) s opačným znamienkom.

Všimnime si tiež, že pri označovaní odčítania sa prvé číslo často píše bez zátvoriek a ak je kladné, potom, ako je už známe, znamienko + sa nemusí písať dopredu.

Napríklad,

– 3 – (– 5) = – 3 + 5 = + 2; 1 – (– 6) = 1 + 6 = 7;
3 – (+ 3) = 3 – 3 = 0.

14. Príklady na sčítanie a odčítanie. Predpokladajme, že musíme vypočítať:

1 – {3 + }.

Budeme sa riadiť nasledujúcim postupom: ak v žiadnej dvojici zátvoriek nie sú žiadne ďalšie zátvorky a žiadna akcia, potom je možné tieto zátvorky otvoriť; ak sa v týchto zátvorkách nachádza akcia (doplnenie), musíte ju najskôr vykonať. V našom príklade je poradie nasledovné: najprv pridáme čísla napísané v malých zátvorkách, potom musíme tieto zátvorky otvoriť, vykonať sčítanie vo vnútri hranatých zátvoriek, otvoriť hranaté zátvorky, vykonať sčítanie vo vnútri skrútených zátvoriek, otvorte tieto zátvorky a nakoniec pridajte výsledné čísla:

1 – {3 + } = 1 – {3 + } = 1 – {3 + } =
= 1 – {3 + [+13]} = 1 – {3 + 13} = 1 – {+ 16} = 1 – 16 = – 15.

Samozrejme, so zručnosťou môžete vykonať niekoľko akcií naraz, a tým skrátiť výpočet.
Ďalší príklad:

Predpokladajme, že musíme vyhodnotiť aj výraz:

a – ((b – c) – ) s a = – 3; b = 1; c = 4; d = -5; e = -7; f = 2.

Vykonajte výpočty na základe akcií:

1) b – c = + 1 – (+ 4) = 1 – 4 = – 3;

2) e + f = (– 7) + (+ 2) = – 7 + 2 = – 5;

3) d + (– 5) = – 5 + (– 5) = – 5 – 5 = – 10;

4) (– 3) – (– 10) = – 3 + 10 = + 7;

5) – 3 – (+ 7) = – 3 – 7 = – 10.

Príklady cvičení:

Ak vezmeme číslo nula a pridáme k nemu +1, dostaneme sériu postupne rastúcich celých čísel:

0, +1, +2, +3, +4, +5, …..

Tento rad sa zhoduje (pozri koniec odseku 10) s prirodzeným radom čísel, t.j.

0, 1, 2, 3, 4, 5 …..

Ak vezmeme číslo nula, odčítame od neho (+1), potom znova odčítame (+1) atď., potom v súlade s tým, ako sme to pochopili v aritmetike vo vzťahu k prirodzenému radu čísel, teraz pripustite, že aj tu začneme získavať neustále klesajúce celé čísla:

1) 0 – (+ 1) = – 1; 2) (– 1) – (+ 1) = – 1 – 1 = – 2;
3) (– 2) – (+ 1) = – 3 atď.

Od nuly doľava dostaneme sériu klesajúcich relatívnych čísel:

….., – 5, – 4, – 3, – 2, – 1, 0.

Kombináciou tejto série s predchádzajúcou dostaneme kompletnú sériu relatívnych čísel:

….., – 6, – 5, – 4, – 3, – 2, – 1, 0, +1, +2, +3, +4, +5, +6 …..

Tento rad pokračuje nekonečne doprava a doľava.

Každé číslo v tomto rade je väčšie ako ktorékoľvek iné naľavo a menšie ako ktorékoľvek napravo od neho. Takže +1 > –3; 0 > -6; -5< 0; –3 < +2 и т. д.

Do medzier medzi celé čísla tohto radu môžete vložiť nekonečný počet zlomkových čísel.

V tomto materiáli vám povieme, ako správne pridať záporné a kladné číslo. Najprv uvedieme základné pravidlo pre takéto sčítanie a potom si ukážeme, ako sa aplikuje pri riešení úloh.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Základné pravidlo pre sčítanie kladných a záporných čísel

Už sme povedali, že kladné číslo možno považovať za príjem a záporné za stratu. Ak chcete zistiť výšku príjmov a výdavkov, musíte sa pozrieť na moduly týchto čísel. Ak sa nakoniec ukáže, že naše výdavky prevyšujú naše príjmy, tak po ich vzájomnom zaúčtovaní zostaneme v dlhoch, a ak naopak, tak zostaneme v pluse. Ak sa výdavky rovnajú príjmom, potom budeme mať nulový zostatok.

Pomocou vyššie uvedenej úvahy môžeme odvodiť základné pravidlo pre sčítanie čísel s rôznymi znamienkami.

Definícia 1

Ak chcete pridať kladné číslo so záporným číslom, musíte nájsť ich moduly a vykonať porovnanie. Ak sú hodnoty rovnaké, potom máme dva pojmy, ktoré sú opačnými číslami a ich súčet bude nula. Ak sa nerovnajú, potom musíme brať do úvahy, že výsledok bude mať rovnaké znamienko ako väčšie číslo.

Sčítanie teda v tomto prípade spočíva v odčítaní menšieho čísla od väčšieho čísla. Výsledok tejto akcie môže byť rôzny: môžeme získať kladné alebo záporné číslo. Je možný aj nulový výsledok.

Toto pravidlo platí pre celé čísla, racionálne a reálne čísla.

Problémy zahŕňajúce sčítanie kladného čísla k zápornému číslu

Pozrime sa, ako aplikovať vyššie načrtnuté pravidlo v praxi. Najprv si uveďme jednoduchý príklad.

Príklad 1

Vypočítajte súčet 2 + (- 5) .

Riešenie

Nasledujme kroky, ktoré sme sa doteraz naučili. Najprv nájdime moduly pôvodných čísel, ktoré sa budú rovnať 2 a 5. Väčší modul je 5, takže si pamätáme mínus. Potom odčítame menší od väčšieho modulu a dostaneme: 5 − 2 = 3.

odpoveď: (− 5) + 2 = − 3 .

Ak problémové podmienky obsahujú racionálne čísla s rôznymi znakmi, ktoré nie sú celými číslami, potom ich pre pohodlie výpočtov musíte prezentovať vo forme desatinných miest alebo obyčajných zlomkov. Zoberme si tento problém a vyriešme ho.

Príklad 2

Vypočítajte, koľko je 2 1 8 + (- 1 , 25).

Riešenie

Najprv prevedieme zmiešané číslo na spoločný zlomok. Ak si nepamätáte, ako to urobiť, znova si prečítajte príslušný článok.

Desatinný zlomok uvedieme aj ako obyčajný zlomok: - 1, 25 = - 125 100 = - 5 4.

Potom môžete pristúpiť k výpočtu modulov a výpočtu výsledku. Poďme nájsť moduly: budú sa rovnať 17 8 a 5 4. Výsledné zlomky privedieme do spoločného menovateľa a dostaneme 17 8 a 10 8.

Ďalším krokom je porovnanie zlomkov. Keďže čitateľ prvého zlomku je väčší, potom 17 8 > 10 8. Ak máme väčší výraz so znamienkom plus, musíme si uvedomiť, že výsledok bude pozitívny.

17 8 - 10 8 = 17 - 10 8 = 7 8

Už sme si všimli, že náš výsledok bude mať znamienko plus: + 7 8 . Keďže plus nie je potrebné písať, pri písaní odpovede sa bez neho zaobídeme.

Zapíšme si celé riešenie:

2 1 8 + - 1 , 25 = 17 8 + - 5 4 = 17 8 + - 10 8 = 17 8 - 10 8 = 7 8

odpoveď: 2 1 8 + - 1 , 25 = 7 8 .

Príklad 3

Zistite, čomu sa rovná súčet 14 a - 14.

Riešenie

Máme dva rovnaké pojmy s rôznymi znakmi. To znamená, že tieto čísla sú navzájom opačné, preto sa ich súčet bude rovnať 0.

odpoveď: 14 + - 14 = 0

Na záver článku dodáme, že výsledok sčítania reálnych záporných čísel s kladnými sa často lepšie zapíše ako číselný výraz s odmocninami, mocninami alebo logaritmami, než ako nekonečný desatinný zlomok. Ak teda spočítame čísla n a - 3, odpoveď bude n - 3. Nie vždy je potrebné vypočítať konečný výsledok a vystačíte si s približnými výpočtami. Podrobnejšie o tom napíšeme v článku o základných operáciách s reálnymi číslami.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter