Rovnica roviny. Ako napísať rovnicu roviny?
Vzájomné usporiadanie rovín. Úlohy

Priestorová geometria nie je oveľa komplikovanejšia ako „plochá“ geometria a naše lety vo vesmíre začínajú týmto článkom. Na zvládnutie témy je potrebné, aby ste jej dobre rozumeli vektory Okrem toho je vhodné poznať geometriu roviny - bude tam veľa podobností, mnoho analógií, takže informácie budú oveľa lepšie strávené. V sérii mojich lekcií sa 2D svet otvára článkom Rovnica priamky na rovine. Teraz však Batman opustil plochú televíznu obrazovku a štartuje z kozmodrómu Bajkonur.

Začnime s kresbami a symbolmi. Schematicky môže byť rovina nakreslená vo forme rovnobežníka, ktorý vytvára dojem priestoru:

Rovina je nekonečná, no my máme možnosť znázorniť len jej kúsok. V praxi sa okrem rovnobežníka kreslí aj ovál či dokonca oblak. Z technických dôvodov je pre mňa pohodlnejšie znázorniť lietadlo presne takto a presne v tejto polohe. Skutočné lietadlá, ktoré budeme zvažovať v praktických príkladoch, môžu byť umiestnené akýmkoľvek spôsobom - mentálne vezmite kresbu do rúk a otočte ju v priestore, čím dáte rovine akýkoľvek sklon, akýkoľvek uhol.

Označenia: lietadlá sa zvyčajne označujú malými gréckymi písmenami, zrejme preto, aby si ich nepomýlili priamka na rovine alebo s priamka v priestore. Som zvyknutý používať písmeno . Na výkrese je to písmeno „sigma“ a vôbec nie diera. Aj keď, dierované lietadlo je určite celkom vtipné.

V niektorých prípadoch je vhodné použiť rovnaké grécke písmená s nižšími indexmi na označenie rovín, napríklad .

Je zrejmé, že rovina je jednoznačne definovaná tromi rôznymi bodmi, ktoré neležia na tej istej priamke. Preto sú pomerne populárne trojpísmenové označenia lietadiel - napríklad bodmi, ktoré k nim patria atď. Písmená sú často uzavreté v zátvorkách: , aby nedošlo k zámene roviny s iným geometrickým útvarom.

Pre skúsených čitateľov dám menu rýchleho prístupu:

• Ako vytvoriť rovnicu roviny pomocou bodu a dvoch vektorov?
• Ako vytvoriť rovnicu roviny pomocou bodu a normálového vektora?

a nebudeme chradnúť v dlhom čakaní:

Všeobecná rovinná rovnica

Všeobecná rovnica roviny má tvar , kde koeficienty sa zároveň nerovnajú nule.

Množstvo teoretických výpočtov a praktických problémov platí ako pre bežnú ortonormálnu bázu, tak aj pre afinnú bázu priestoru (ak je olej olej, vráťte sa k lekcii Lineárna (ne)závislosť vektorov. Základy vektorov). Pre jednoduchosť budeme predpokladať, že všetky udalosti sa vyskytujú na ortonormálnom základe a karteziánskom pravouhlom súradnicovom systéme.

Teraz si trochu precvičíme priestorovú predstavivosť. Je v poriadku, ak je ten váš zlý, teraz ho trochu rozvinieme. Aj hranie na nervy si vyžaduje tréning.

V najvšeobecnejšom prípade, keď sa čísla nerovnajú nule, rovina pretína všetky tri súradnicové osi. Napríklad takto:

Ešte raz opakujem, že rovina pokračuje donekonečna všetkými smermi a my máme možnosť znázorniť len jej časť.

Zoberme si najjednoduchšie rovnice rovín:

Ako rozumieť tejto rovnici? Premýšľajte o tom: „Z“ sa VŽDY rovná nule pre akékoľvek hodnoty „X“ a „Y“. Toto je rovnica "natívnej" súradnicovej roviny. Formálne možno rovnicu prepísať takto: , odkiaľ jasne vidíte, že je nám jedno, aké hodnoty „x“ a „y“ majú, je dôležité, aby sa „z“ rovnalo nule.

Podobne:
– rovnica súradnicovej roviny;
– rovnica súradnicovej roviny.

Skúsme si problém trochu skomplikovať, uvažujme rovinu (tu a ďalej v odseku predpokladáme, že číselné koeficienty sa nerovnajú nule). Prepíšme rovnicu v tvare: . Ako tomu rozumieť? „X“ sa VŽDY pre akékoľvek hodnoty „Y“ a „Z“ rovná určitému číslu. Táto rovina je rovnobežná s rovinou súradníc. Napríklad rovina je rovnobežná s rovinou a prechádza bodom.

Podobne:
– rovnica roviny, ktorá je rovnobežná s rovinou súradníc;
– rovnica roviny, ktorá je rovnobežná s rovinou súradníc.

Pridajme členov: . Rovnicu možno prepísať takto: , to znamená, že „zet“ môže byť čokoľvek. Čo to znamená? „X“ a „Y“ sú spojené vzťahom, ktorý kreslí určitú priamku v rovine (zistíte rovnica priamky v rovine?). Keďže „z“ môže byť čokoľvek, táto priamka sa „replikuje“ v akejkoľvek výške. Rovnica teda definuje rovinu rovnobežnú so súradnicovou osou

Podobne:
– rovnica roviny, ktorá je rovnobežná so súradnicovou osou;
– rovnica roviny, ktorá je rovnobežná so súradnicovou osou.

Ak sú voľné členy nula, potom budú roviny priamo prechádzať cez príslušné osi. Napríklad klasická „priama úmernosť“: . Nakreslite rovnú čiaru v rovine a mentálne ju vynásobte hore a dole (keďže „Z“ je ľubovoľné). Záver: rovina definovaná rovnicou prechádza súradnicovou osou.

Dokončujeme prehľad: rovnica roviny prechádza cez pôvod. Tu je celkom zrejmé, že bod spĺňa túto rovnicu.

A nakoniec prípad znázornený na výkrese: – rovina je priateľská so všetkými súradnicovými osami, pričom vždy „odreže“ trojuholník, ktorý sa môže nachádzať v ktoromkoľvek z ôsmich oktantov.

Lineárne nerovnosti v priestore

Aby ste porozumeli informáciám, musíte sa dobre naštudovať lineárne nerovnosti v rovine, pretože veľa vecí bude podobných. Tento odsek bude mať stručný prehľad s niekoľkými príkladmi, keďže tento materiál je v praxi pomerne zriedkavý.

Ak rovnica definuje rovinu, potom nerovnosti
opýtať sa polovičné medzery. Ak nerovnosť nie je striktná (posledné dve v zozname), tak riešenie nerovnosti okrem polpriestoru zahŕňa aj samotnú rovinu.

Príklad 5

Nájdite jednotkový normálový vektor roviny .

Riešenie: Jednotkový vektor je vektor, ktorého dĺžka je jedna. Označme tento vektor . Je úplne jasné, že vektory sú kolineárne:

Najprv odstránime normálový vektor z rovnice roviny: .

Ako nájsť jednotkový vektor? Aby ste našli jednotkový vektor, potrebujete každý vydeľte súradnicu vektora dĺžkou vektora.

Prepíšeme normálny vektor do formulára a zistíme jeho dĺžku:

Podľa vyššie uvedeného:

Odpoveď:

Overenie: čo bolo potrebné overiť.

Čitatelia, ktorí si pozorne preštudovali posledný odsek lekcie, si to pravdepodobne všimli súradnice jednotkového vektora sú presne smerové kosínusy vektora:

Poďme si oddýchnuť od daného problému: keď dostanete ľubovoľný nenulový vektor, a podľa podmienky je potrebné nájsť jej smerové kosínusy (pozri posledné úlohy lekcie Bodový súčin vektorov), potom v skutočnosti nájdete jednotkový vektor kolineárny s týmto. Vlastne dve úlohy v jednej fľaši.

Potreba nájsť jednotkový normálový vektor vzniká v niektorých problémoch matematickej analýzy.

Prišli sme na to, ako vyloviť normálny vektor, teraz odpovedzme na opačnú otázku:

Ako vytvoriť rovnicu roviny pomocou bodu a normálového vektora?

Táto tuhá konštrukcia normálneho vektora a bodu je terčom dobre známa. Natiahnite ruku dopredu a v duchu vyberte ľubovoľný bod v priestore, napríklad malú mačku v príborníku. Je zrejmé, že cez tento bod môžete nakresliť jednu rovinu kolmú na vašu ruku.

Rovnica roviny prechádzajúcej bodom kolmým na vektor je vyjadrená vzorcom:

Dá sa špecifikovať rôznymi spôsobmi (jeden bod a vektor, dva body a vektor, tri body atď.). To je s ohľadom na to, že rovnica roviny môže mať rôzne druhy. Taktiež za určitých podmienok môžu byť roviny rovnobežné, kolmé, pretínajúce sa atď. Budeme o tom hovoriť v tomto článku. Naučíme sa, ako vytvoriť všeobecnú rovnicu roviny a ďalšie.

Normálny tvar rovnice

Povedzme, že existuje priestor R 3, ktorý má pravouhlý súradnicový systém XYZ. Definujme vektor α, ktorý sa uvoľní z počiatočného bodu O. Cez koniec vektora α nakreslíme rovinu P, ktorá bude naň kolmá.

Označme ľubovoľný bod na P ako Q = (x, y, z). Označme polomerový vektor bodu Q písmenom p. V tomto prípade je dĺžka vektora α rovná р=IαI a Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

Toto je jednotkový vektor, ktorý je nasmerovaný na stranu, podobne ako vektor α. α, β a γ sú uhly, ktoré sú vytvorené medzi vektorom Ʋ a kladnými smermi priestorových osí x, y, z. Priemet ľubovoľného bodu QϵП na vektor Ʋ je konštantná hodnota, ktorá sa rovná p: (p,Ʋ) = p(p≥0).

Vyššie uvedená rovnica dáva zmysel, keď p=0. Jedine, že rovina P bude v tomto prípade pretínať bod O (α=0), ktorý je počiatkom súradníc, a jednotkový vektor Ʋ uvoľnený z bodu O bude kolmý na P, napriek jeho smeru, ktorý znamená, že vektor Ʋ je určený presne na znamienko. Predchádzajúca rovnica je rovnica našej roviny P, vyjadrená vo vektorovej forme. Ale v súradniciach to bude vyzerať takto:

P je tu väčšie alebo rovné 0. Našli sme rovnicu roviny v priestore v normálnom tvare.

Všeobecná rovnica

Ak rovnicu v súradniciach vynásobíme ľubovoľným číslom, ktoré sa nerovná nule, dostaneme rovnicu ekvivalentnú tejto rovnici, ktorá definuje práve túto rovinu. Bude to vyzerať takto:

Tu A, B, C sú čísla, ktoré sa súčasne líšia od nuly. Táto rovnica sa nazýva všeobecná rovinná rovnica.

Rovnice rovín. Špeciálne prípady

Rovnica vo všeobecnej forme môže byť modifikovaná za prítomnosti ďalších podmienok. Pozrime sa na niektoré z nich.

Predpokladajme, že koeficient A je 0. To znamená, že táto rovina je rovnobežná s danou osou Ox. V tomto prípade sa tvar rovnice zmení: Ву+Cz+D=0.

Podobne sa tvar rovnice zmení za nasledujúcich podmienok:

• Po prvé, ak B = 0, potom sa rovnica zmení na Ax + Cz + D = 0, čo bude indikovať rovnobežnosť s osou Oy.
• Po druhé, ak C=0, potom sa rovnica pretransformuje na Ax+By+D=0, čo bude indikovať rovnobežnosť s danou osou Oz.
• Po tretie, ak D=0, rovnica bude vyzerať ako Ax+By+Cz=0, čo znamená, že rovina pretína O (počiatok).
• Po štvrté, ak A=B=0, potom sa rovnica zmení na Cz+D=0, čo bude paralelné s Oxy.
• Po piate, ak B=C=0, potom rovnica bude Ax+D=0, čo znamená, že rovina k Oyz je rovnobežná.
• Po šieste, ak A=C=0, potom rovnica bude mať tvar Ву+D=0, to znamená, že bude hlásiť rovnobežnosť s Oxz.

Typ rovnice v segmentoch

V prípade, že sa čísla A, B, C, D líšia od nuly, tvar rovnice (0) môže byť nasledovný:

x/a + y/b + z/c = 1,

kde a = -D/A, b = -D/B, c = -D/C.

Dostaneme výsledok. Stojí za zmienku, že táto rovina bude pretínať os Ox v bode so súradnicami (a,0,0), Oy - (0,b,0) a Oz - (0,0,c ).

Ak vezmeme do úvahy rovnicu x/a + y/b + z/c = 1, nie je ťažké si vizuálne predstaviť umiestnenie roviny vzhľadom na daný súradnicový systém.

Normálne vektorové súradnice

Normálny vektor n k rovine P má súradnice, ktoré sú koeficientmi všeobecnej rovnice tejto roviny, teda n (A, B, C).

Na určenie súradníc normály n stačí poznať všeobecnú rovnicu danej roviny.

Pri použití rovnice v segmentoch, ktorá má tvar x/a + y/b + z/c = 1, ako aj pri použití všeobecnej rovnice, môžete zapísať súradnice ľubovoľného normálového vektora danej roviny: (1 /a + 1/b + 1/ s).

Stojí za zmienku, že normálny vektor pomáha riešiť rôzne problémy. Medzi najbežnejšie patria problémy, ktoré zahŕňajú dokazovanie kolmosti alebo rovnobežnosti rovín, problémy hľadania uhlov medzi rovinami alebo uhlov medzi rovinami a priamkami.

Typ rovinnej rovnice podľa súradníc bodového a normálového vektora

Nenulový vektor n kolmý na danú rovinu sa nazýva normálny pre danú rovinu.

Predpokladajme, že v súradnicovom priestore (obdĺžnikový súradnicový systém) sú Oxyz dané:

• bod Mₒ so súradnicami (xₒ,yₒ,zₒ);
• nulový vektor n=A*i+B*j+C*k.

Je potrebné vytvoriť rovnicu pre rovinu, ktorá bude prechádzať bodom Mₒ kolmým na normálu n.

Zvolíme si ľubovoľný bod v priestore a označíme ho M (x y, z). Nech je vektor polomeru ľubovoľného bodu M (x,y,z) r=x*i+y*j+z*k a vektor polomeru bodu Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. Bod M bude patriť do danej roviny, ak je vektor MₒM kolmý na vektor n. Napíšme podmienku ortogonality pomocou skalárneho súčinu:

[M2M, n] = 0.

Pretože MₒM = r-rₒ, vektorová rovnica roviny bude vyzerať takto:

Táto rovnica môže mať inú formu. Na tento účel sa používajú vlastnosti skalárneho súčinu a transformuje sa ľavá strana rovnice. = - . Ak ho označíme c, dostaneme rovnicu: - c = 0 alebo = c, ktorá vyjadruje stálosť priemetov na normálový vektor polomerových vektorov daných bodov patriacich do roviny.

Teraz môžeme získať súradnicový tvar zápisu vektorovej rovnice našej roviny = 0. Pretože r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, a n = A*i+B *j+С*k, máme:

Ukazuje sa, že máme rovnicu pre rovinu prechádzajúcu bodom kolmým na normálu n:

A*(x-xₒ)+B*(y-yₒ)C*(z-zₒ)=0.

Typ rovinnej rovnice podľa súradníc dvoch bodov a vektora kolineárneho s rovinou

Definujme dva ľubovoľné body M′ (x′,y′,z′) a M″ (x″,y″,z″), ako aj vektor a (a′,a″,a‴).

Teraz môžeme vytvoriť rovnicu pre danú rovinu, ktorá bude prechádzať existujúcimi bodmi M′ a M″, ako aj ľubovoľným bodom M so súradnicami (x, y, z) rovnobežnými s daným vektorom a.

V tomto prípade musia byť vektory M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) a M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) v jednej rovine s vektorom a=(a′,a″,a‴), čo znamená, že (M′M, M″M, a)=0.

Takže naša rovinná rovnica vo vesmíre bude vyzerať takto:

Typ rovnice roviny pretínajúcej tri body

Povedzme, že máme tri body: (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), ktoré nepatria do tej istej priamky. Je potrebné napísať rovnicu roviny prechádzajúcej danými tromi bodmi. Teória geometrie tvrdí, že tento druh roviny skutočne existuje, ale je jediný a jedinečný. Keďže táto rovina pretína bod (x′,y′,z′), tvar jej rovnice bude takýto:

Tu sú A, B, C odlišné od nuly súčasne. Daná rovina tiež pretína dva ďalšie body: (x″,y″,z″) a (x‴,y‴,z‴). V tejto súvislosti musia byť splnené tieto podmienky:

Teraz môžeme vytvoriť homogénny systém s neznámymi u, v, w:

V našom prípade je x, y alebo z ľubovoľný bod, ktorý spĺňa rovnicu (1). Vzhľadom na rovnicu (1) a sústavu rovníc (2) a (3), sústavu rovníc naznačenú na obrázku vyššie spĺňa vektor N (A,B,C), ktorý je netriviálny. Preto je determinant tohto systému rovný nule.

Rovnica (1), ktorú sme získali, je rovnica roviny. Prechádza presne cez 3 body a to sa dá ľahko skontrolovať. Aby sme to dosiahli, musíme rozšíriť náš determinant na prvky v prvom riadku. Z existujúcich vlastností determinantu vyplýva, že naša rovina súčasne pretína tri pôvodne dané body (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . To znamená, že sme vyriešili zadanú úlohu.

Dihedrálny uhol medzi rovinami

Dihedrálny uhol je priestorový geometrický útvar tvorený dvoma polrovinami, ktoré vychádzajú z jednej priamky. Inými slovami, toto je časť priestoru, ktorá je obmedzená týmito polrovinami.

Povedzme, že máme dve roviny s nasledujúcimi rovnicami:

Vieme, že vektory N=(A,B,C) a N¹=(A¹,B¹,C¹) sú kolmé podľa daných rovín. V tomto ohľade je uhol φ medzi vektormi N a N¹ rovný uhlu (dihedrálnemu), ktorý sa nachádza medzi týmito rovinami. Bodkový produkt má tvar:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

práve preto

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

Stačí vziať do úvahy, že 0≤φ≤π.

V skutočnosti dve roviny, ktoré sa pretínajú, zvierajú dva uhly (dihedrálne): φ 1 a φ 2. Ich súčet sa rovná π (φ 1 + φ 2 = π). Pokiaľ ide o ich kosínusy, ich absolútne hodnoty sú rovnaké, ale líšia sa znamienkom, to znamená cos φ 1 = -cos φ 2. Ak v rovnici (0) nahradíme A, B a C číslami -A, -B a -C, potom rovnica, ktorú dostaneme, určí rovnakú rovinu, jedinú, uhol φ v rovnici cos φ= NN 1 /| N||N 1 | sa nahradí π-φ.

Rovnica kolmej roviny

Roviny, medzi ktorými je uhol 90 stupňov, sa nazývajú kolmé. Pomocou vyššie uvedeného materiálu môžeme nájsť rovnicu roviny kolmej na druhú. Povedzme, že máme dve roviny: Ax+By+Cz+D=0 a A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Môžeme povedať, že budú kolmé, ak cosφ=0. To znamená, že NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.

Rovnica rovnobežnej roviny

Dve roviny, ktoré neobsahujú spoločné body, sa nazývajú rovnobežné.

Podmienkou (ich rovnice sú rovnaké ako v predchádzajúcom odseku) je, že vektory N a N¹, ktoré sú na ne kolmé, sú kolineárne. To znamená, že sú splnené tieto podmienky proporcionality:

A/A1=B/B1=C/C1.

Ak sa rozšíria podmienky proporcionality – A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

to naznačuje, že tieto roviny sa zhodujú. To znamená, že rovnice Ax+By+Cz+D=0 a A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 opisujú jednu rovinu.

Vzdialenosť k rovine od bodu

Povedzme, že máme rovinu P, ktorá je daná rovnicou (0). Je potrebné nájsť vzdialenosť k nemu z bodu so súradnicami (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. Aby ste to dosiahli, musíte uviesť rovnicu roviny P do normálneho tvaru:

(ρ,v)=R (R≥0).

V tomto prípade je ρ (x,y,z) vektor polomeru nášho bodu Q umiestneného na P, p je dĺžka kolmice P, ktorá sa uvoľnila z nulového bodu, v je jednotkový vektor, ktorý sa nachádza v smer a.

Rozdiel ρ-ρº vektora polomeru niektorého bodu Q = (x, y, z), prislúchajúceho P, ako aj vektora polomeru daného bodu Q 0 = (xₒ, уₒ, zₒ) je taký vektor, absolútna hodnota, ktorej priemet na v sa rovná vzdialenosti d, ktorú treba nájsť od Q 0 = (xₒ,уₒ,zₒ) do P:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, ale

(ρ-ρo,v)= (ρ,v)-(ρo,v) =R-(ρo,v).

Tak sa ukazuje

d=|(ρ 0,v)-R|.

Nájdeme teda absolútnu hodnotu výsledného výrazu, teda želané d.

Použitím jazyka parametrov dostaneme zrejmé:

d=|Ахₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(А²+В²+С²).

Ak je daný bod Q 0 na druhej strane roviny P, ako počiatok súradníc, potom medzi vektorom ρ-ρ 0 a v je preto:

d=-(ρ-ρo,v)=(ρo,v)-R>0.

V prípade, že sa bod Q 0 spolu s počiatkom súradníc nachádza na tej istej strane P, potom je vytvorený uhol ostrý, to znamená:

d=(ρ-ρo,v)=R - (ρo, v)>0.

V dôsledku toho sa ukazuje, že v prvom prípade (ρ 0 ,v)>р, v druhom (ρ 0 ,v)<р.

Dotyková rovina a jej rovnica

Dotyková rovina k povrchu v bode dotyku Mº je rovina obsahujúca všetky možné dotyčnice ku krivkám nakresleným cez tento bod na povrchu.

Pri tomto type povrchovej rovnice F(x,y,z)=0 bude rovnica dotykovej roviny v dotykovom bode Mº(xº,yº,zº) vyzerať takto:

Fx(xº,yº,zº)(x-xº)+ Fx(xº, yº, zº)(y- yº)+ Fx(xº, yº,zº)(z-zº)=0.

Ak zadáte povrch v explicitnom tvare z=f (x,y), dotyková rovina bude opísaná rovnicou:

z-z=f(xº, yº)(x-xº)+f(xº, yº)(y-yº).

Priesečník dvoch rovín

V súradnicovom systéme (obdĺžnikovom) sa nachádza Oxyz, sú dané dve roviny П′ a П″, ktoré sa pretínajú a nezhodujú sa. Keďže každá rovina umiestnená v pravouhlom súradnicovom systéme je určená všeobecnou rovnicou, budeme predpokladať, že P′ a P″ sú dané rovnicami A′x+B′y+C′z+D′=0 a A″x +B″y+ С″z+D″=0. V tomto prípade máme normálu n′ (A′,B′,C′) roviny P′ a normálu n″ (A″,B″,C″) roviny P″. Keďže naše roviny nie sú rovnobežné a nezhodujú sa, tieto vektory nie sú kolineárne. Pomocou jazyka matematiky môžeme túto podmienku zapísať takto: n′≠ n″ ↔ (A′,B′,C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. Nech priamka, ktorá leží v priesečníku P′ a P″, je označená písmenom a, v tomto prípade a = P′ ∩ P″.

a je priamka pozostávajúca z množiny všetkých bodov (spoločných) rovín P′ a P″. To znamená, že súradnice ktoréhokoľvek bodu patriaceho k priamke a musia súčasne spĺňať rovnice A′x+B′y+C′z+D′=0 a A″x+B″y+C″z+D″=0 . To znamená, že súradnice bodu budú čiastočným riešením nasledujúceho systému rovníc:

V dôsledku toho sa ukazuje, že (všeobecné) riešenie tohto systému rovníc určí súradnice každého z bodov priamky, ktoré budú pôsobiť ako priesečník P′ a P″, a určí priamku. a v Oxyz (obdĺžnikovom) súradnicovom systéme v priestore.

Vlastnosti priamky v euklidovskej geometrii.

Cez ktorýkoľvek bod možno nakresliť nekonečné množstvo priamych čiar.

Cez akékoľvek dva nezhodné body možno nakresliť jednu priamku.

Dve rôznobežné čiary v rovine sa buď pretínajú v jednom bode, alebo sú

paralelný (vyplýva z predchádzajúceho).

V trojrozmernom priestore existujú tri možnosti pre relatívnu polohu dvoch čiar:

• čiary sa pretínajú;

• čiary sú rovnobežné;

• priamky sa pretínajú.

Rovno riadok— algebraická krivka prvého rádu: priamka v karteziánskom súradnicovom systéme

je daný v rovine rovnicou prvého stupňa ( lineárna rovnica).

Všeobecná rovnica priamky.

Definícia. Akákoľvek priamka v rovine môže byť špecifikovaná rovnicou prvého poriadku

Ax + Wu + C = 0,

a konštantný A, B sa zároveň nerovnajú nule. Táto rovnica prvého rádu sa nazýva všeobecný

rovnica priamky. V závislosti od hodnôt konštánt A, B A S Možné sú tieto špeciálne prípady:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- počiatkom prechádza priamka

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (by + C = 0)- priamka rovnobežná s osou Oh

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- priamka rovnobežná s osou OU

. B = C = 0, A ≠0- priamka sa zhoduje s osou OU

. A = C = 0, B = 0- priamka sa zhoduje s osou Oh

Rovnica priamky môže byť prezentovaná v rôznych formách v závislosti od danej veličiny

počiatočné podmienky.

Rovnica priamky z bodu a normálového vektora.

Definícia. V kartézskom pravouhlom súradnicovom systéme vektor so zložkami (A, B)

kolmá na priamku danú rovnicou

Ax + Wu + C = 0.

Príklad. Nájdite rovnicu priamky prechádzajúcej bodom A(1; 2) kolmo na vektor (3, -1).

Riešenie. S A = 3 a B = -1 zostavme rovnicu priamky: 3x - y + C = 0. Ak chcete nájsť koeficient C

Do výsledného výrazu dosadíme súradnice daného bodu A. Dostaneme: 3 - 2 + C = 0, teda

C = -1. Spolu: požadovaná rovnica: 3x - y - 1 = 0.

Rovnica priamky prechádzajúcej dvoma bodmi.

Nech sú uvedené dva body v priestore M 1 (x 1 , y 1 , z 1) A M2 (x 2, y 2, z 2), Potom rovnica priamky,

prechádza cez tieto body:

Ak je niektorý z menovateľov nula, zodpovedajúci čitateľ by mal byť nastavený na nulu. Zapnuté

rovine, rovnica priamky napísaná vyššie je zjednodušená:

Ak x 1 ≠ x 2 A x = x 1, Ak x 1 = x 2 .

Zlomok = k volal sklon rovno.

Príklad. Nájdite rovnicu priamky prechádzajúcej bodmi A(1, 2) a B(3, 4).

Riešenie. Použitím vyššie uvedeného vzorca dostaneme:

Rovnica priamky pomocou bodu a sklonu.

Ak je všeobecná rovnica priamky Ax + Wu + C = 0 viesť k:

a určiť , potom sa výsledná rovnica nazýva

rovnica priamky so sklonom k.

Rovnica priamky z bodu a smerového vektora.

Analogicky s bodom, ktorý berie do úvahy rovnicu priamky cez normálový vektor, môžete zadať úlohu

priamka cez bod a smerový vektor priamky.

Definícia. Každý nenulový vektor (α 1, α 2), ktorého komponenty spĺňajú podmienku

Aai + Ba2 = 0 volal smerový vektor priamky.

Ax + Wu + C = 0.

Príklad. Nájdite rovnicu priamky so smerovým vektorom (1, -1) a prechádzajúcej bodom A(1, 2).

Riešenie. Budeme hľadať rovnicu požadovaného riadku v tvare: Ax + By + C = 0. Podľa definície

koeficienty musia spĺňať tieto podmienky:

1 * A + (-1) * B = 0, t.j. A = B.

Potom má rovnica priamky tvar: Ax + Ay + C = 0, alebo x + y + C / A = 0.

pri x = 1, y = 2 dostaneme C/A = -3, t.j. požadovaná rovnica:

x + y - 3 = 0

Rovnica priamky v segmentoch.

Ak vo všeobecnej rovnici priamky Ах + Ву + С = 0 С≠0, potom po delení -С dostaneme:

alebo kde

Geometrický význam koeficientov je, že koeficient a je súradnicou priesečníka

rovný s osou oh, A b- súradnica priesečníka priamky s osou OU.

Príklad. Je uvedená všeobecná rovnica priamky x - y + 1 = 0. Nájdite rovnicu tejto priamky v segmentoch.

C = 1, a = -1, b = 1.

Normálna rovnica priamky.

Ak obe strany rovnice Ax + Wu + C = 0 deliť číslom ktorá sa volá

normalizačný faktor, potom dostaneme

xcosφ + ysinφ - p = 0 -normálna rovnica priamky.

Znamienko ± normalizačného faktora musí byť zvolené tak, aby μ*C< 0.

R- dĺžka kolmice spustenej od začiatku k priamke,

A φ - uhol, ktorý zviera táto kolmica s kladným smerom osi Oh.

Príklad. Je uvedená všeobecná rovnica priamky 12x - 5r - 65 = 0. Vyžaduje sa na písanie rôznych typov rovníc

túto priamku.

Rovnica tejto priamky v segmentoch:

Rovnica tejto priamky so sklonom: (vydeliť 5)

Rovnica priamky:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

Treba poznamenať, že nie každá priamka môže byť reprezentovaná rovnicou v segmentoch, napríklad priamky,

rovnobežné s osami alebo prechádzajúce počiatkom.

Uhol medzi priamkami v rovine.

Definícia. Ak sú uvedené dva riadky y = k1x + b1, y = k2x + b2, potom ostrý uhol medzi týmito čiarami

bude definovaný ako

Dve čiary sú rovnobežné, ak k1 = k2. Dve čiary sú kolmé

Ak k1 = -1/k2 .

Veta.

Priamy Ax + Wu + C = 0 A Aix + B1y + C1 = 0 paralelné, keď sú koeficienty proporcionálne

Ai = λA, B1 = λB. Ak tiež С 1 = λС, potom sa čiary zhodujú. Súradnice priesečníka dvoch priamok

sa nachádzajú ako riešenie sústavy rovníc týchto priamok.

Rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom kolmo na danú priamku.

Definícia. Čiara prechádzajúca bodom M 1 (x 1, y 1) a kolmo na čiaru y = kx + b

reprezentovaný rovnicou:

Vzdialenosť od bodu k čiare.

Veta. Ak je daný bod M(x 0, y 0), potom vzdialenosť k priamke Ax + Wu + C = 0 definovaný ako:

Dôkaz. Nechajte bod M 1 (x 1, y 1)- základňa kolmice spadnutá z bodu M za danú

priamy. Potom vzdialenosť medzi bodmi M A M 1:

(1)

Súradnice x 1 A o 1 možno nájsť ako riešenie systému rovníc:

Druhá rovnica sústavy je rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom M 0 kolmo

daná priama čiara. Ak transformujeme prvú rovnicu systému do tvaru:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

potom pri riešení dostaneme:

Dosadením týchto výrazov do rovnice (1) zistíme:

Veta bola dokázaná.

Tento článok poskytuje predstavu o tom, ako vytvoriť rovnicu pre rovinu prechádzajúcu daným bodom v trojrozmernom priestore kolmom na danú čiaru. Analyzujme daný algoritmus na príklade riešenia typických problémov.

Nájdenie rovnice roviny prechádzajúcej daným bodom v priestore kolmo na danú priamku

Nech je v ňom daný trojrozmerný priestor a pravouhlý súradnicový systém O x y z. Daný je aj bod M 1 (x 1, y 1, z 1), priamka a a rovina α prechádzajúca bodom M 1 kolmá na priamku a. Je potrebné zapísať rovnicu roviny α.

Skôr ako začneme riešiť tento problém, spomeňme si na geometrickú vetu z učebných osnov pre ročníky 10-11, ktorá hovorí:

Definícia 1

Cez daný bod v trojrozmernom priestore prechádza jedna rovina kolmá na danú priamku.

Teraz sa pozrime na to, ako nájsť rovnicu tejto jedinej roviny prechádzajúcej počiatočným bodom a kolmej na danú priamku.

Všeobecnú rovnicu roviny je možné zapísať, ak sú známe súradnice bodu patriaceho do tejto roviny, ako aj súradnice normálového vektora roviny.

Podmienky úlohy nám dávajú súradnice x 1, y 1, z 1 bodu M 1, ktorým prechádza rovina α. Ak určíme súradnice normálového vektora roviny α, potom budeme vedieť zapísať požadovanú rovnicu.

Normálový vektor roviny α, keďže je nenulový a leží na priamke a, kolmej na rovinu α, bude ľubovoľný smerový vektor priamky a. Problém hľadania súradníc normálového vektora roviny α sa teda transformuje na problém určenia súradníc smerového vektora priamky a.

Určenie súradníc smerového vektora priamky a je možné vykonať rôznymi spôsobmi: závisí to od možnosti zadať priamku a v počiatočných podmienkach. Napríklad, ak je priamka a v probléme daná kanonickými rovnicami formulára

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z

alebo parametrické rovnice v tvare:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ

potom smerový vektor priamky bude mať súradnice a x, a y a a z. V prípade, že priamku a predstavujú dva body M 2 (x 2, y 2, z 2) a M 3 (x 3, y 3, z 3), súradnice smerového vektora budú určené ako ( x3 – x2, y3 – y2, z3 – z2).

Definícia 2

Algoritmus na nájdenie rovnice roviny prechádzajúcej daným bodom kolmým na danú priamku:

Určíme súradnice smerového vektora priamky a: a → = (a x, a y, a z) ;

Súradnice normálového vektora roviny α definujeme ako súradnice smerového vektora priamky a:

n → = (A, B, C), kde A = ax, B = ay, C = az;

Napíšeme rovnicu roviny prechádzajúcej bodom M 1 (x 1, y 1, z 1) a majúcej normálový vektor n → = (A, B, C) v tvare A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0. Toto bude požadovaná rovnica roviny, ktorá prechádza daným bodom v priestore a je kolmá na danú priamku.

Výsledná všeobecná rovnica roviny je: A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0 umožňuje získať rovnicu roviny v segmentoch alebo normálnu rovnicu roviny.

Poďme vyriešiť niekoľko príkladov pomocou algoritmu získaného vyššie.

Príklad 1

Je daný bod M 1 (3, - 4, 5), ktorým rovina prechádza a táto rovina je kolmá na súradnicu O z.

Riešenie

smerový vektor súradnicovej priamky O z bude súradnicový vektor k ⇀ = (0, 0, 1). Preto má normálový vektor roviny súradnice (0, 0, 1). Napíšme rovnicu roviny prechádzajúcej daným bodom M 1 (3, - 4, 5), ktorej normálový vektor má súradnice (0, 0, 1):

A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 ⇔ ⇔ 0 (x - 3) + 0 (y - (- 4)) + 1 (z - 5) = 0 ⇔ z - 5 = 0

odpoveď: z – 5 = 0 .

Uvažujme o inom spôsobe riešenia tohto problému:

Príklad 2

Rovina, ktorá je kolmá na priamku O z, bude daná neúplnou všeobecnou rovinnou rovnicou v tvare C z + D = 0, C ≠ 0. Určme hodnoty C a D: tie, pri ktorých rovina prechádza daným bodom. Dosadíme súradnice tohto bodu do rovnice C z + D = 0, dostaneme: C · 5 + D = 0. Tie. čísla, C a D súvisia vzťahom - D C = 5. Ak vezmeme C = 1, dostaneme D = - 5.

Dosadme tieto hodnoty do rovnice C z + D = 0 a získame požadovanú rovnicu roviny kolmej na priamku O z a prechádzajúcej bodom M 1 (3, - 4, 5).

Bude to vyzerať takto: z – 5 = 0.

odpoveď: z – 5 = 0 .

Príklad 3

Napíšte rovnicu pre rovinu prechádzajúcu počiatkom a kolmú na priamku x - 3 = y + 1 - 7 = z + 5 2

Riešenie

Na základe podmienok úlohy možno tvrdiť, že smerový vektor danej priamky možno brať ako normálový vektor n → danej roviny. Teda: n → = (- 3 , - 7 , 2) . Napíšme rovnicu roviny prechádzajúcej bodom O (0, 0, 0) s normálovým vektorom n → = (- 3, - 7, 2):

3 (x - 0) - 7 (y - 0) + 2 (z - 0) = 0 ⇔ - 3 x - 7 y + 2 z = 0

Získali sme požadovanú rovnicu roviny prechádzajúcej počiatkom súradníc kolmých na danú priamku.

odpoveď:- 3 x - 7 y + 2 z = 0

Príklad 4

V trojrozmernom priestore je daný pravouhlý súradnicový systém O x y z, v ktorom sú dva body A (2, - 1, - 2) a B (3, - 2, 4). Rovina α prechádza bodom A kolmým na priamku A B. Pre rovinu α je potrebné vytvoriť rovnicu v segmentoch.

Riešenie

Rovina α je kolmá na priamku A B, potom vektor A B → bude normálovým vektorom roviny α. Súradnice tohto vektora sú definované ako rozdiel medzi zodpovedajúcimi súradnicami bodov B (3, - 2, 4) a A (2, - 1, - 2):

A B → = (3 - 2 , - 2 - (- 1) , 4 - (- 2)) ⇔ A B → = (1 , - 1 , 6)

Všeobecná rovnica roviny bude napísaná takto:

1 x - 2 - 1 y - (- 1 + 6 (z - (- 2)) = 0 ⇔ x - y + 6 z + 9 = 0

Teraz zostavme požadovanú rovnicu roviny v segmentoch:

x - y + 6 z + 9 = 0 ⇔ x - y + 6 z = - 9 ⇔ x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

odpoveď:x - 9 + y9 + z - 32 = 1

Treba si tiež uvedomiť, že existujú úlohy, ktorých požiadavkou je napísať rovnicu roviny prechádzajúcej daným bodom a kolmej na dve dané roviny. Vo všeobecnosti je riešením tohto problému zostrojiť rovnicu pre rovinu prechádzajúcu daným bodom kolmým na danú priamku, pretože dve pretínajúce sa roviny vymedzujú priamku.

Príklad 5

Je daný pravouhlý súradnicový systém O x y z, v ňom je bod M 1 (2, 0, - 5). Sú uvedené aj rovnice dvoch rovín 3 x + 2 y + 1 = 0 a x + 2 z – 1 = 0, ktoré sa pretínajú pozdĺž priamky a. Je potrebné vytvoriť rovnicu pre rovinu prechádzajúcu bodom M 1 kolmou na priamku a.

Riešenie

Určme súradnice smerového vektora priamky a. Je kolmý na normálový vektor n 1 → (3, 2, 0) roviny n → (1, 0, 2) aj na normálový vektor 3 x + 2 y + 1 = 0 z x + 2 z - 1 = 0 rovina.

Potom ako smerový vektor α → priamka a vezmeme vektorový súčin vektorov n 1 → a n 2 →:

a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 3 2 0 1 0 2 = 4 i → - 6 j → - 2 k → ⇒ a → = (4 , - 6 , - 2 )

Vektor n → = (4, - 6, - 2) bude teda normálovým vektorom roviny kolmej na priamku a. Zapíšme si požadovanú rovnicu roviny:

4 (x - 2) - 6 (y - 0) - 2 (z - (- 5)) = 0 ⇔ 4 x - 6 y - 2 z - 18 = 0 ⇔ ⇔ 2 x - 3 y - z - 9 = 0

odpoveď: 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter