Примери с параметри и методи за решаването им. Линейни уравнения с параметър Параметър като равна променлива

ДА СЕ задачи с параметърТова може да включва, например, търсене на решения на линейни и квадратни уравнения в обща форма, изследване на уравнението за броя на наличните корени в зависимост от стойността на параметъра.

Без да давате подробни определения, разгледайте следните уравнения като примери:

y = kx, където x, y са променливи, k е параметър;

y = kx + b, където x, y са променливи, k и b са параметри;

ax 2 + bx + c = 0, където x са променливи, a, b и c са параметър.

Решаването на уравнение (неравенство, система) с параметър означава, като правило, решаване на безкраен набор от уравнения (неравенства, системи).

Задачите с параметър могат да бъдат разделени на два типа:

а)условието казва: решете уравнението (неравенство, система) - това означава, че за всички стойности на параметъра, намерете всички решения. Ако поне един случай остане неразследван, такова решение не може да се счита за задоволително.

б)изисква се да се посочат възможните стойности на параметъра, при които уравнението (неравенство, система) има определени свойства. Например има едно решение, няма решения, има решения, принадлежащи на интервала и т.н. В такива задачи е необходимо ясно да се посочи при каква стойност на параметъра е изпълнено изискваното условие.

Параметърът, като неизвестно фиксирано число, има някаква специална двойственост. На първо място, трябва да се има предвид, че предполагаемата известност показва, че параметърът трябва да се възприема като число. Второ, свободата за манипулиране на параметъра е ограничена от неговата неизвестност. Например операциите за деление на израз, който съдържа параметър или извличане на корен от четна степен от такъв израз, изискват предварително проучване. Следователно е необходимо внимание при работа с параметъра.

Например, за да сравните две числа -6a и 3a, трябва да разгледате три случая:

1) -6a ще бъде по-голямо от 3a, ако a е отрицателно число;

2) -6a = 3a в случай, когато a = 0;

3) -6a ще бъде по-малко от 3a, ако a е положително число 0.

Решението ще бъде отговорът.

Нека е дадено уравнението kx = b. Това уравнение е кратка форма за безкраен брой уравнения с една променлива.

При решаването на такива уравнения може да има случаи:

1. Нека k е всяко реално число, което не е равно на нула и b е произволно число от R, тогава x = b/k.

2. Нека k = 0 и b ≠ 0, първоначалното уравнение ще приеме формата 0 x = b. Очевидно това уравнение няма решения.

3. Нека k и b са числа, равни на нула, тогава имаме равенството 0 x = 0. Решението му е всяко реално число.

Алгоритъм за решаване на този тип уравнение:

1. Определете „контролните“ стойности на параметъра.

2. Решете първоначалното уравнение за x за стойностите на параметрите, които са определени в първия параграф.

3. Решете първоначалното уравнение за x за стойности на параметри, различни от тези, избрани в първия параграф.

4. Можете да напишете отговора в следната форма:

1) за ... (стойности на параметри), уравнението има корени ...;

2) за ... (стойности на параметър), в уравнението няма корени.

Пример 1.

Решете уравнението с параметъра |6 – x| = а.

Решение.

Лесно се вижда, че a ≥ 0 тук.

Съгласно правилото на модул 6 – x = ±a, изразяваме x:

Отговор: x = 6 ± a, където a ≥ 0.

Пример 2.

Решете уравнението a(x – 1) + 2(x – 1) = 0 по отношение на променливата x.

Решение.

Нека отворим скобите: aх – а + 2х – 2 = 0

Нека напишем уравнението в стандартна форма: x(a + 2) = a + 2.

Ако изразът a + 2 не е нула, т.е. ако a ≠ -2, имаме решението x = (a + 2) / (a ​​​​+ 2), т.е. х = 1.

Ако a + 2 е равно на нула, т.е. a = -2, тогава имаме правилното равенство 0 x = 0, така че x е всяко реално число.

Отговор: x = 1 за a ≠ -2 и x € R за a = -2.

Пример 3.

Решете уравнението x/a + 1 = a + x по отношение на променливата x.

Решение.

Ако a = 0, тогава преобразуваме уравнението във формата a + x = a 2 + ax или (a – 1)x = -a(a – 1). Последното уравнение за a = 1 има формата 0 x = 0, следователно x е произволно число.

Ако a ≠ 1, тогава последното уравнение ще приеме формата x = -a.

Това решение може да се илюстрира на координатната права (Фиг. 1)

Отговор: няма решения за a = 0; x – всяко число с a = 1; x = -a за a ≠ 0 и a ≠ 1.

Графичен метод

Нека разгледаме друг начин за решаване на уравнения с параметър - графично. Този метод се използва доста често.

Пример 4.

В зависимост от параметъра a колко корена има уравнението ||x| – 2| = а?

Решение.

За да решим с помощта на графичния метод, изграждаме графики на функциите y = ||x| – 2| и y = a (фиг. 2).

Чертежът ясно показва възможните случаи на местоположението на правата линия y = a и броя на корените във всяка от тях.

Отговор: уравнението няма да има корени, ако a< 0; два корня будет в случае, если a >2 и а = 0; уравнението ще има три корена в случай на a = 2; четири корена - при 0< a < 2.

Пример 5.

При какво е уравнението 2|x| + |x – 1| = a има един корен?

Решение.

Нека изобразим графиките на функциите y = 2|x| + |x – 1| и y = a. За y = 2|x| + |x – 1|, разширявайки модулите по интервалния метод, получаваме:

(-3x + 1, при x< 0,

y = (x + 1, за 0 ≤ x ≤ 1,

(3x – 1, за x > 1.

На Фигура 3ясно се вижда, че уравнението ще има един корен само когато a = 1.

Отговор: a = 1.

Пример 6.

Определете броя на решенията на уравнението |x + 1| + |x + 2| = a в зависимост от параметъра a?

Решение.

Графика на функцията y = |x + 1| + |x + 2| ще бъде прекъсната линия. Неговите върхове ще бъдат разположени в точки (-2; 1) и (-1; 1) (Фигура 4).

Отговор: ако параметър a е по-малък от единица, тогава уравнението няма да има корени; ако a = 1, тогава решението на уравнението е безкраен набор от числа от сегмента [-2; -1]; ако стойностите на параметър a са по-големи от едно, тогава уравнението ще има два корена.

Все още имате въпроси? Не знаете как да решавате уравнения с параметър?
За да получите помощ от преподавател, регистрирайте се.
Първият урок е безплатен!

уебсайт, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към източника.

За какви стойности на параметъра $a$ неравенството $()-x^2 + (a + 2)x - 8a - 1 > 0$ има поне едно решение?

Решение

Нека намалим това неравенство до положителен коефициент за $x^2$:

$()-x^2 + (a + 2)x - 8a - 1 > 0 \quad \Leftrightarrow \quad x^2 - (a + 2)x + 8a + 1< 0 .$

Нека изчислим дискриминанта: $D = (a + 2)^2 - 4(8a + 1) = a^2 + 4a + 4 - 32a - 4 = a^2 - 28a$. За да има решение това неравенство, е необходимо поне една точка от параболата да лежи под оста $x$. Тъй като клоните на параболата са насочени нагоре, това изисква квадратният тричлен от лявата страна на неравенството да има два корена, тоест неговият дискриминант да е положителен. Стигаме до необходимостта от решаване на квадратното неравенство $a^2 - 28a > 0$. Квадратният тричлен $a^2 - 28a$ има два корена: $a_1 = 0$, $a_2 = 28$. Следователно неравенството $a^2 - 28a > 0$ е изпълнено от интервалите $a \in (-\infty; 0) \cup (28; + \infty)$.

Отговор.$a \in (-\infty; 0) \cup (28; + \infty)$.

За какви стойности на параметъра $a$ уравнението $(a-2)x^2-2ax+a+3=0$ има поне един корен и всички корени са положителни?

Решение

Нека $a=2$. Тогава уравнението приема формата $() - 4x +5 = 0$, от което получаваме, че $x=\dfrac(5)(4)$ е положителен корен.

Нека сега $a\ne 2$. Това води до квадратно уравнение. Нека първо определим при какви стойности на параметъра $a$ това уравнение има корени. Неговият дискриминант трябва да е неотрицателен. Това е:

$ D = 4a^2 - 4(a-2)(a+3) =() -4a+24\geqslant 0\Leftrightarrow a\leqslant 6.$

Корените по условие трябва да са положителни, следователно от теоремата на Vieta получаваме системата:

$ \begin(cases)x_1 + x_2 = \dfrac(2a)(a - 2)>0,\\ x_1x_2 = \dfrac(a + 3)(a - 2)> 0,\\a\leqslant 6\end (cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases)a\in(- \infty;0)\cup(2; +\infty), \\ a\in(- \infty;-3)\cup( 2; +\infty), \\ a\in(-\infty;6] \end(cases)\quad\Leftrightarrow \quad\in(-\infty;-3)\cup(2;6]. $

Комбинираме отговорите и получаваме необходимия набор: $a\in(-\infty;-3)\cup$.

Отговор.$a\in(-\infty;-3)\cup$.

За какви стойности на параметъра $a$ неравенството $ax^2 + 4ax + 5 \leqslant 0$ няма решения?

Решение

1. Ако $a = 0$, тогава това неравенство се изражда в неравенството $5 \leqslant 0$ , което няма решения. Следователно стойността $a = 0$ удовлетворява условията на задачата.
2. Ако $a > 0$, тогава графиката на квадратния трином от лявата страна на неравенството е парабола с клонове, сочещи нагоре. Нека изчислим $\dfrac(D)(4) = 4a^2 - 5a$. Неравенството няма решения, ако параболата е разположена над оста x, т.е. когато квадратният трином няма корени ($D< 0$). Решим неравенство $4a^2 - 5a < 0$. Корнями квадратного трёхчлена $4a^2 - 5a$ являются числа $a_1 = 0$ и $a_2 = \dfrac{5}{4}$, поэтому $D < 0$ при $0 < a < \dfrac{5}{4}$. Значит, из положительных значений $a$ подходят числа $a \in \left(0; \dfrac{5}{4}\right)$.
3. Ако $a< 0$, то график квадратного трехчлена в левой части неравенства - парабола с ветвями, направленными вниз. Значит, обязательно найдутся значения $х$, для которых трёхчлен отрицателен. Следовательно, все значения $a < 0$ не подходят.

Отговор.$a \in \left$ се намира между корените, така че трябва да има два корена (което означава $a\ne 0$). Ако клоновете на параболата $y = ax^2 + (a + 3)x - 3a$ са насочени нагоре, тогава $y(-1)< 0$ и $y(1) < 0$; если же они направлены вниз, то $y(-1) >0$ и $y(1) > 0$.

Случай I.Нека $a > 0$. Тогава

$\left\( \begin(array)(l) y(-1)=a-(a+3)-3a=-3a-3<0 \\ y(1)=a+(a+3)-3a=-a+3<0 \\ a>0 \end(масив) \right. \quad \Leftrightarrow \quad \left\( \begin(array)(l) a>-1 \\ a>3 \\ a>0 \end(array) \right.\quad \Leftrightarrow \quad a>3. $

Тоест в този случай се оказва, че всички $a > 3$ са подходящи.

Случай II.Нека $a< 0$. Тогда

$\left\( \begin(array)(l) y(-1)=a-(a+3)-3a=-3a-3>0 \\ y(1)=a+(a+3)-3a =-a+3>0 \\ a<0 \end{array} \right.\quad \Leftrightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l} a<-1 \\ a<3 \\ a<0 \end{array} \right.\quad \Leftrightarrow \quad a<-1.$

Тоест в този случай се оказва, че всички $a са подходящи< -1$.

Отговор.$a\in (-\infty ;-1)\чаша (3;+\infty)$

Намерете всички стойности на параметъра $a$, за всяка от които системата от уравнения

$ \begin(cases) x^2+y^2 = 2a, \\ 2xy=2a-1 \end(cases) $

има точно две решения.

Решение

Извадете второто от първото: $(x-y)^2 = 1$. Тогава

$ \left[\begin(array)(l) x-y = 1, \\ x-y = -1 \end(array)\right. \quad \Leftrightarrow \quad \left[\begin(array)(l) x = y+1, \\ x = y-1. \край (масив)\надясно. $

Замествайки получените изрази във второто уравнение на системата, получаваме две квадратни уравнения: $2y^2 + 2y - 2a + 1 = 0$ и $2y^2 - 2y - 2a + 1 =0$. Дискриминантът на всеки от тях е $D = 16a-4$.

Обърнете внимание, че не може да се случи двойката корени на първото квадратно уравнение да съвпада с двойката корени на второто квадратно уравнение, тъй като сборът от корените на първото е $-1$, а сборът на второто е 1 .

Това означава, че всяко от тези уравнения трябва да има един корен, тогава оригиналната система ще има две решения. Тоест, $D = 16a - 4 = 0$.

Отговор.$a=\dfrac(1)(4)$

Намерете всички стойности на параметъра $a$, за всяка от които уравнението $4x-|3x-|x+a||=9|x-3|$ има два корена.

Решение

Нека пренапишем уравнението като:

$ 9|x-3|-4x+|3x-|x+a|| = 0,$

Да разгледаме функцията $f(x) = 9|x-3|-4x+|3x-|x+a||$.

Когато $x\geqslant 3$, първият модул се разширява със знак плюс и функцията приема формата: $f(x) = 5x-27+|3x-|x+a||$. Очевидно е, че при всяко разширяване на модулите, резултатът ще бъде линейна функция с коефициент $k\geqslant 5-3-1=1>0$, тоест тази функция нараства неограничено за даден интервал.

Нека сега разгледаме интервала $x<3$. В этом случае первый модуль раскрывается с минусом, и функция принимает следующий вид: $f(x) = - 13x+27+|3x-|x+a||$. При любом раскрытии модулей в итоге будет получаться линейная функция с коэффициентом $k\leqslant - 13+3+1 = - 9<0$, то есть на этом промежутке функция убывает.

И така, получихме, че $x=3$ е минималната точка на тази функция. Това означава, че за да може първоначалното уравнение да има две решения, стойността на функцията в минималната точка трябва да е по-малка от нула. Тоест важи следното неравенство: $f(3)<0$.

$ 12-|9-|3+a||>0 \quad \Leftrightarrow \quad |9-|3+a||< 12 \quad \Leftrightarrow \quad -12 < 9-|3+a| < 12 \quad \Leftrightarrow \quad$

$\Leftrightarrow\quad |3+a|< 21 \quad \Leftrightarrow \quad - 21 < 3+a < 21 \quad \Leftrightarrow \quad -24

Отговор.$a \in (-24; 18)$

За какви стойности на параметъра $a$ уравнението $5^(2x)-3\cdot 5^x+a-1=0$ има уникален корен?

Решение

Нека направим замяна: $t = 5^x > 0$. Тогава първоначалното уравнение приема формата на квадратно уравнение: $t^2-3t+a-1 =0$. Първоначалното уравнение ще има един корен, ако това уравнение има един положителен корен или два корена, единият от които е положителен, а другият отрицателен.

Дискриминантът на уравнението е: $D = 13-4a$. Това уравнение ще има един корен, ако полученият дискриминант се окаже равен на нула, тоест за $a = \dfrac(13)(4)$. В този случай коренът $t=\dfrac(3)(2) > 0$, така че тази стойност на $a$ е подходяща.

Ако има два корена, единият от които е положителен, а другият е неположителен, тогава $D = 13-4a > 0$, $x_1+x_2 = 3 > 0$ и $x_1x_2 = a - 1 \leqslant 0$ .

Тоест, $a\in(-\infty;1]$

Отговор.$a\in(-\infty;1]\cup\left\(\dfrac(13)(4)\right\)$

Намерете всички стойности на параметъра $a$, за които системата

$ \begin(cases)\log_a y = (x^2-2x)^2, \\ x^2+y=2x\end(cases) $

има точно две решения.

Решение

Нека трансформираме системата до следния вид:

$ \begin(cases) \log_a y = (2x-x^2)^2, \\ y = 2x-x^2. \край (случаи)$

Тъй като параметърът $a$ е в основата на логаритъма, върху него са наложени следните ограничения: $a>0$, $a \ne 1$. Тъй като променливата $y$ е аргументът на логаритъма, тогава $y > 0$.

След като комбинираме двете уравнения на системата, преминаваме към уравнението: $\log_a y = y^2$. В зависимост от това какви стойности приема параметърът $a$, са възможни два случая:

1. Нека $0< a < 1$. В этом случае функция $f(y) = \log_a y$ убывает на области определения, а функция $g(y)=y^2$ возрастает в той же области $y >$0. От поведението на графиките е очевидно, че коренът на уравнението е един и е по-малък от 1. Следователно второто уравнение на системата и цялата система като цяло имат две решения, поради факта, че дискриминантът на уравнението $ x^2-2x+y = 0$ при $0
2. Нека сега $a > 1$. В този случай функцията $f(y)=\log_a y \leqslant 0$ за $y< 1$, а функция $g(y) = y^2 >0$ за същото $y$. Това означава, че ако има решения, то само за $y > 1$, но второто уравнение на системата няма да има решения, тъй като дискриминантът на уравнението $x^2 - 2x + y = 0$ за $y > 1$ е отрицателен.

Отговор.$a\in(0;1)$

Нека разгледаме случая, когато $a > 1$. Тъй като при големи абсолютни стойности на $t$ графиката на функцията $f(t) = a^t$ лежи над правата $g(t) = t$, тогава единствената обща точка може да бъде само точка на докосване.

Нека $t_0$ е точката на допиране. В този момент производната на $f(t) = a^t$ е равна на единица (тангенс на допирателния ъгъл), освен това стойностите на двете функции съвпадат, т.е. системата се извършва:

$ \begin(cases) a^(t_0)\ln a = 1, \\ a^(t_0) = t_0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) a^(t_0) = \dfrac (1)(\ln a), \\ a^(\tau) = \tau \end(cases) $

Откъдето $t_0 = \dfrac(1)(\ln a)$.

$ a^(\frac(1)(\ln a))\ln a = 1 \quad \Leftrightarrow \quad a^(\log_a e) =\frac(1)(\ln a) \quad \Leftrightarrow \quad a = e^(\frac(1)(e)). $

В същото време пряката и експоненциалната функции очевидно нямат други допирни точки.

Отговор.$a \in (0;1] \cup \left\(e^(e^(-1))\right\)$

През последните години при приемни изпити и окончателно тестване под формата на Единен държавен изпит се предлагат задачи с параметри. Тези задачи позволяват да се диагностицира нивото на математическото и, най-важното, логическото мислене на кандидатите, способността за извършване на изследователска дейност, както и просто познаването на основните раздели на училищния курс по математика.

Гледката на параметър като равна променлива се отразява в графичните методи. Всъщност, тъй като параметърът е „равен по права“ на променливата, тогава, естествено, той може да бъде „разпределен“ към собствената си координатна ос. Така възниква координатна равнина. Отказът от традиционния избор на букви за обозначаване на осите определя един от най-ефективните методи за решаване на проблеми с параметри - „метод на площта“. Наред с други методи, използвани при решаване на проблеми с параметри, запознавам учениците си с графични техники, като обръщам внимание на това как да разпознават „тези“ проблеми и как изглежда процесът на решаване на задача.

Най-честите признаци, които ще ви помогнат да разпознаете задачи, които са подходящи за разглеждания метод:

Проблем 1. „За какви стойности на параметъра неравенството е валидно за всички?“

Решение. 1). Нека разширим модулите, като вземем предвид знака на подмодулния израз:

2). Нека запишем всички системи от получени неравенства:

а)

б) V)

G)

3). Нека покажем множеството точки, удовлетворяващи всяка система от неравенства (фиг. 1а).

4). Комбинирайки всички области, показани на фигурата, със засенчване, можете да видите, че неравенството не е удовлетворено от точките, разположени вътре в параболите.

Фигурата показва, че за всяка стойност на параметъра е възможно да се намери област, където има точки, чиито координати удовлетворяват първоначалното неравенство. Неравенството е валидно за всички, ако . Отговор: при.

Разглежданият пример е „отворен проблем“ - можете да разгледате решението на цял клас проблеми, без да променяте израза, разглеждан в примера , в който вече са преодолени техническите трудности при начертаването на графики.

Задача. За какви стойности на параметъра уравнението няма решения? Отговор: при.

Задача. За какви стойности на параметъра уравнението има две решения? Запишете и двете намерени решения.

Отговор: тогава , ;

Тогава ; , Тогава , .

Задача. За какви стойности на параметъра уравнението има един корен? Намерете този корен. Отговор: кога кога.

Задача. Решете неравенството.

(„Точките, разположени вътре в параболите, работят“).

, ; , няма решения;

Задача 2. Намерете всички стойности на параметъра А, за всяко от които системата от неравенства образува отсечка с дължина 1 на числовата ос.

Решение. Нека пренапишем оригиналната система в тази форма

Всички решения на тази система (двойки от формата ) образуват определена област, ограничена от параболи И (Фигура 1).

Очевидно решението на системата от неравенства ще бъде сегмент с дължина 1 при и при . Отговор: ; .

Задача 3. Намерете всички стойности на параметъра, за които наборът от решения на неравенството съдържа числото , а също така съдържа две отсечки с дължина, които нямат общи точки.

Решение. Според значението на неравенството; Нека пренапишем неравенството, като умножим двете страни по (), получаваме неравенството:

, ,

(1)

Неравенство (1) е еквивалентно на комбинацията от две системи:

(фиг. 2).

Очевидно интервалът не може да съдържа сегмент с дължина . Това означава, че в интервала се съдържат две непресичащи се отсечки с дължина. Това е възможно за , т.е. при . Отговор: .

Задача 4. Намерете всички стойности на параметъра, за всяка от които има много решения на неравенството съдържа сегмент с дължина 4 и се съдържа в някакъв сегмент с дължина 7.

Решение. Нека извършим еквивалентни трансформации, като вземем предвид, че и .

, ,

; последното неравенство е еквивалентно на комбинацията от две системи:

Нека покажем областите, които съответстват на тези системи (фиг. 3).

1) Когато набор от решения е интервал с дължина по-малка от 4. Когато набор от решения е обединение на два интервала. Само интервал може да съдържа сегмент с дължина 4. Но тогава , и съюзът вече не се съдържа в нито един сегмент с дължина 7. Това означава, че те не отговарят на условието.

2) множеството от решения е интервал. Той съдържа отсечка с дължина 4 само ако дължината му е по-голяма от 4, т.е. при . Той се съдържа в сегмент с дължина 7 само ако дължината му не е по-голяма от 7, т.е. за , тогава . Отговор: .

Задача 5. Намерете всички стойности на параметъра, за които наборът от решения на неравенството съдържа числото 4 и също така съдържа две несвързани отсечки с дължина 4 всяка.

Решение. Според условията. Нека умножим двете страни на неравенството по (). Получаваме еквивалентно неравенство, в което групираме всички членове от лявата страна и го трансформираме в произведение:

, ,

, .

От последното неравенство следва:

1) 2)

Нека покажем областите, които съответстват на тези системи (фиг. 4).

а) При получаваме интервал, който не съдържа числото 4. При получаваме интервал, който също не съдържа числото 4.

б) При получаваме обединението на два интервала. Непресичащите се сегменти с дължина 4 могат да бъдат разположени само в интервала . Това е възможно само ако дължината на интервала е по-голяма от 8, т.е. С тях е изпълнено и друго условие: . Отговор: .

Задача 6. Намерете всички стойности на параметъра, за които наборът от решения на неравенството съдържа някакъв сегмент с дължина 2, но не съдържа няма сегмент с дължина 3.

Решение. Според смисъла на задачата умножаваме двете страни на неравенството по, групираме всички членове от лявата страна на неравенството и го трансформираме в произведение:

, . От последното неравенство следва:

1) 2)

Нека покажем областта, която съответства на първата система (фиг. 5).

Очевидно условието на задачата е изпълнено, ако . Отговор: .

Задача 7. Намерете всички стойности на параметъра, за които множеството от решения на неравенството 1+ се съдържа в някакъв сегмент с дължина 1 и в същото време съдържа някакъв сегмент с дължина 0,5.

Решение. 1). Нека посочим ODZ на променливата и параметъра:

2). Нека пренапишем неравенството във формата

, ,

(1). Неравенство (1) е еквивалентно на комбинацията от две системи:

1)

2)

Като се вземе предвид ODZ, системните решения изглеждат така:

а) б)

(фиг. 6).

а) б)

Нека покажем региона, съответстващ на система a) (фиг. 7).Отговор: .

Задача 8. Шест числа образуват нарастваща аритметична прогресия. Първият, вторият и четвъртият член на тази прогресия са решения на неравенството , и останалото

не са решения на това неравенство. Намерете множеството от всички възможни стойности на първия член на такива прогресии.

Решение. I. Нека намерим всички решения на неравенството

А). ODZ:
, т.е.

(взехме предвид в решението, че функцията нараства с ).

б). Неравнопоставеност в здравето на децата равносилно на неравенство , т.е. , Какво дава:

1).

2).

Очевидно решението на неравенството обслужва много значения .

II. Нека илюстрираме втората част от задачата за условията на нарастваща аритметична прогресия с фигурата ( ориз. 8 , където е първият член, е вторият и т.н.). Забележи това:

Или имаме система от линейни неравенства:

Нека го решим графично. Изграждаме прави линии и , както и прави линии

Тогава, .. Първият, вторият и шестият член на тази прогресия са решения на неравенството , а останалите не са решения на това неравенство. Намерете множеството от всички възможни стойности на разликата на тази прогресия.

Уравнение на формата f(х; а) = 0 се извиква уравнение с променлива хи параметър А.

Решете уравнение с параметър А– това означава за всяка стойност Анамери ценности х, удовлетворяващи това уравнение.

Пример 1. о= 0

Пример 2. о = А

Пример 3.

х + 2 = ах
x – ah = -2
x(1 – a) = -2

Ако 1 – А= 0, т.е. А= 1, тогава х 0 = -2 без корени

Ако 1 – А 0, т.е. А 1, тогава х =

Пример 4.

(А 2 – 1) х = 2А 2 + А – 3
(А – 1)(А + 1)х = 2(А – 1)(А – 1,5)
(А – 1)(А + 1)х = (1А – 3)(А – 1)

Ако А= 1, след това 0 х = 0
х– всяко реално число

Ако А= -1, след това 0 х = -2
без корени

Ако А 1, А-1 тогава х= (единственото решение).

Това означава, че за всяка валидна стойност Асъответства на една единствена стойност х.

Например:

Ако А= 5, тогава х = = ;

Ако А= 0, тогава х= 3 и т.н.

Дидактически материал

1. о = х + 3

2. 4 + о = 3х – 1

3. А = +

при А= 1 без корени.

при А= 3 без корени.

при А = 1 х– всяко реално число освен х = 1

при А = -1, А= 0 няма решения.

при А = 0, А= 2 няма решения.

при А = -3, А = 0, 5, А= -2 няма решения

при А = -с, с= 0 няма решения.

Квадратни уравнения с параметър

Пример 1.Решете уравнението

(А – 1)х 2 = 2(2А + 1)х + 4А + 3 = 0

При А = 1 6х + 7 = 0

Кога А 1, ние подчертаваме тези стойности на параметрите, при които дотива на нула.

D = (2(2 А + 1)) 2 – 4(А – 1)(4А + 30 = 16А 2 + 16А + 4 – 4(4А 2 + 3А – 4А – 3) = 16А 2 + 16А + 4 – 16А 2 + 4А + 12 = 20А + 16

20А + 16 = 0

20А = -16

Ако А < -4/5, то д < 0, уравнение имеет действительный корень.

Ако А> -4/5 и А 1, тогава д > 0,

х =

Ако А= 4/5, тогава д = 0,

Пример 2.При какви стойности на параметъра a прави уравнението

x 2 + 2( А + 1)х + 9А– 5 = 0 има 2 различни отрицателни корена?

D = 4( А + 1) 2 – 4(9А – 5) = 4А 2 – 28А + 24 = 4(А – 1)(А – 6)

4(А – 1)(А – 6) > 0

чрез t. Vieta: х 1 + х 2 = -2(А + 1)
х 1 х 2 = 9А – 5

По условие х 1 < 0, х 2 < 0 то –2(А + 1) < 0 и 9А – 5 > 0

В крайна сметка

4(А – 1)(А – 6) > 0 - 2(А + 1) < 0 9А – 5 > 0

А < 1: а > 6 А > - 1 А > 5/9

(Ориз. 1) < а < 1, либо а > 6

Пример 3.Намерете стойностите А, за което това уравнение има решение.

x 2 – 2( А – 1)х + 2А + 1 = 0

D = 4( А – 1) 2 – 4(2А + 10 = 4А 2 – 8А + 4 – 8А – 4 = 4А 2 – 16А

4А 2 – 16 0

4А(А – 4) 0

A( А – 4)) 0

A( А – 4) = 0

а = 0 или А – 4 = 0
А = 4

(Ориз. 2)

Отговор: А 0 и А 4

Дидактически материал

1. На каква стойност Ауравнението о 2 – (А + 1) х + 2А– 1 = 0 има един корен?

2. На каква стойност Ауравнението ( А + 2) х 2 + 2(А + 2)х+ 2 = 0 има един корен?

3. За какви стойности на a е уравнението ( А 2 – 6А + 8) х 2 + (А 2 – 4) х + (10 – 3А – А 2) = 0 има повече от два корена?

4. За какви стойности на a, уравнение 2 х 2 + х – А= 0 има поне един общ корен с уравнение 2 х 2 – 7х + 6 = 0?

5. За какви стойности на уравнението х 2 +о+ 1 = 0 и х 2 + х + А= 0 имат поне един общ корен?

1. Кога А = - 1/7, А = 0, А = 1

2. Кога А = 0

3. Кога А = 2

4. Кога А = 10

5. Кога А = - 2

Експоненциални уравнения с параметър

Пример 1.Намерете всички стойности А, за което уравнението

9 x – ( А+ 2)*3 x-1/x +2 А*3 -2/x = 0 (1) има точно два корена.

Решение. Умножавайки двете страни на уравнение (1) по 3 2/x, получаваме еквивалентното уравнение

3 2(x+1/x) – ( А+ 2)*3 x+1/x + 2 А = 0 (2)

Нека 3 x+1/x = при, тогава уравнение (2) ще приеме формата при 2 – (А + 2)при + 2А= 0, или

(при – 2)(при – А) = 0, откъдето при 1 =2, при 2 = А.

Ако при= 2, т.е. 3 x+1/x = 2 тогава х + 1/х= log 3 2 , или х 2 – х log 3 2 + 1 = 0.

Това уравнение няма реални корени, тъй като д= log 2 3 2 – 4< 0.

Ако при = А, т.е. 3 x+1/x = АЧе х + 1/х= дневник 3 А, или х 2 –х log 3 a + 1 = 0. (3)

Уравнение (3) има точно два корена тогава и само ако

D = log 2 3 2 – 4 > 0, или |log 3 a| > 2.

Ако log 3 a > 2, тогава А> 9 и ако log 3 a< -2, то 0 < А < 1/9.

Отговор: 0< А < 1/9, А > 9.

Пример 2. При какви стойности на a е уравнението 2 2х – ( А - 3) 2 х – 3 А= 0 има решения?

За да дадено уравнениеима решения, е необходимо и достатъчно уравнението T 2 – (а – 3) T – 3а= 0 имаше поне един положителен корен. Нека намерим корените с помощта на теоремата на Vieta: х 1 = -3, х 2 = А = >

а е положително число.

Отговор: кога А > 0

Дидактически материал

1. Намерете всички стойности на a, за които уравнението

25 x – (2 А+ 5)*5 x-1/x + 10 А* 5 -2/x = 0 има точно 2 решения.

2. За какви стойности на a е уравнението

2 (a-1)x?+2(a+3)x+a = 1/4 има един корен?

3. За какви стойности на параметър а прави уравнението

4 x - (5 А-3) 2 х +4 А 2 – 3А= 0 има уникално решение?

Логаритмични уравнения с параметър

Пример 1.Намерете всички стойности А, за което уравнението

лог 4x (1 + о) = 1/2 (1)

има уникално решение.

Решение. Уравнение (1) е еквивалентно на уравнение

1 + о = 2хпри х > 0, х 1/4 (3)

х = при

ай 2 – при + 1 = 0 (4)

Условие (2) от (3) не е изпълнено.

Позволявам А 0, тогава AU 2 – 2при+ 1 = 0 има реални корени тогава и само тогава д = 4 – 4А 0, т.е. при А 1. За да решим неравенство (3), нека начертаем функциите Галицки М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И.Задълбочено изучаване на курса по алгебра и математически анализ. – М.: Образование, 1990

Крамор В.С.. Повтаряме и систематизираме училищния курс по алгебра и началото на анализа. – М.: Образование, 1990.

Galitsky M.L., Goldman A.M., Zvavich L.I.. Сборник задачи по алгебра. – М.: Образование, 1994.

Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya.Алгебра и началото на анализа. Решаване на изпитни задачи. – М.: Дропла, 1998.

Макаричев Ю.Н.и др. Дидактически материали по алгебра 7, 8, 9 клас. – М.: Образование, 2001.

Sahakyan S.I., Goldman A.M., Денисов D.V.Задачи по алгебра и основен анализ за 10–11 клас. – М.: Образование, 1990.

Списания „Математиката в училище”.

Л.С. Lappoи други. Урок. – М.: Изпит, 2001–2008.