ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার জন্য প্রস্তুতি। যুক্তিযুক্তকরণ পদ্ধতি ব্যবহার করে লগারিদমিক এবং সূচকীয় অসমতা সমাধান করা। Manovskaya কাজ "ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষায় লগারিদমিক অসমতা" লগারিদমিক অসমতার ইউনিফাইড স্টেট এক্সামিনেশন প্রোফাইল সমাধান

বিভাগ: অংক

প্রায়ই, যখন সিদ্ধান্ত লগারিদমিক অসমতা, একটি পরিবর্তনশীল লগারিদম বেসের সাথে সমস্যা আছে। সুতরাং, ফর্ম একটি অসমতা

একটি আদর্শ বিদ্যালয়ের অসমতা। একটি নিয়ম হিসাবে, এটি সমাধান করতে, সিস্টেমের একটি সমতুল্য সেটে একটি রূপান্তর ব্যবহার করা হয়:

এই পদ্ধতির অসুবিধা হল দুটি সিস্টেম এবং একটি জনসংখ্যা গণনা না করে সাতটি অসমতার সমাধান করার প্রয়োজন। ইতিমধ্যে এই চতুর্মুখী ফাংশনগুলির সাথে, জনসংখ্যার সমাধান করতে অনেক সময় লাগতে পারে।

এই মানক অসমতা সমাধানের জন্য একটি বিকল্প, কম সময়সাপেক্ষ উপায় প্রস্তাব করা সম্ভব। এটি করার জন্য, আমরা নিম্নলিখিত উপপাদ্যটি বিবেচনা করি।

উপপাদ্য 1. একটি সেট X-এ ক্রমাগত ক্রমবর্ধমান ফাংশন থাকতে দিন। তারপর এই সেটে ফাংশনের বৃদ্ধির চিহ্নটি যুক্তির বৃদ্ধির চিহ্নের সাথে মিলে যাবে, যেমন , কোথায় .

দ্রষ্টব্য: যদি একটি সেট X-এ একটি ক্রমাগত হ্রাস ফাংশন, তারপর।

আসুন বৈষম্যের দিকে ফিরে যাই। আসুন দশমিক লগারিদমে এগিয়ে যাই (আপনি একের বেশি ধ্রুবক বেস সহ যে কোনওটিতে যেতে পারেন)।

এখন আপনি উপপাদ্যটি ব্যবহার করতে পারেন, লবটিতে ফাংশনের বৃদ্ধি লক্ষ্য করে এবং হর মধ্যে. তাই এটা সত্য

ফলস্বরূপ, উত্তরের দিকে পরিচালিত গণনার সংখ্যা প্রায় অর্ধেক হ্রাস পেয়েছে, যা কেবল সময়ই সাশ্রয় করে না, তবে আপনাকে সম্ভাব্যভাবে কম গাণিতিক এবং অসতর্ক ত্রুটিগুলি করতে দেয়।

উদাহরণ 1.

(1) সঙ্গে তুলনা আমরা খুঁজে , , .

(2) এ চলমান আমাদের থাকবে:

উদাহরণ 2।

(1) এর সাথে তুলনা করে আমরা , , .

(2) এ চলমান আমাদের থাকবে:

উদাহরণ 3.

যেহেতু অসমতার বাম দিকটি এবং হিসাবে একটি ক্রমবর্ধমান ফাংশন , তাহলে উত্তর হবে অনেক।

থিম 1 প্রয়োগ করা যেতে পারে এমন অনেক উদাহরণ থিম 2 বিবেচনা করে সহজেই প্রসারিত করা যেতে পারে।

সেটে যাক এক্সফাংশন , , , সংজ্ঞায়িত করা হয়, এবং এই সেটে চিহ্ন এবং মিলিত হয়, যেমন , তাহলে এটা ন্যায্য হবে.

উদাহরণ 4.

উদাহরণ 5।

স্ট্যান্ডার্ড পদ্ধতির সাথে, উদাহরণটি নিম্নলিখিত স্কিম অনুসারে সমাধান করা হয়: যখন কারণগুলি বিভিন্ন লক্ষণের হয় তখন পণ্যটি শূন্যের কম হয়। সেগুলো. অসাম্যের দুটি সিস্টেমের একটি সেট বিবেচনা করা হয়, যেখানে শুরুতে নির্দেশিত হিসাবে, প্রতিটি অসমতা আরও সাতটিতে ভেঙে যায়।

আমরা যদি উপপাদ্য 2 কে বিবেচনা করি, তাহলে প্রতিটি ফ্যাক্টর, (2) বিবেচনায় রেখে অন্য একটি ফাংশন দ্বারা প্রতিস্থাপিত হতে পারে যার এই উদাহরণে একই চিহ্ন রয়েছে O.D.Z.

একটি ফাংশনের বৃদ্ধিকে যুক্তির বৃদ্ধির সাথে প্রতিস্থাপন করার পদ্ধতি, উপপাদ্য 2কে বিবেচনায় নিয়ে, সাধারণ C3 ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার সমস্যাগুলি সমাধান করার সময় খুব সুবিধাজনক হতে দেখা যায়।

উদাহরণ 6.

উদাহরণ 7।

. আসুন বোঝাই। আমরা পেতে

. মনে রাখবেন যে প্রতিস্থাপন বোঝায়: . সমীকরণ ফিরে, আমরা পেতে .

উদাহরণ 8।

আমরা যে উপপাদ্যগুলি ব্যবহার করি তাতে ফাংশনের শ্রেণিতে কোনও সীমাবদ্ধতা নেই। এই নিবন্ধে, উদাহরণ হিসাবে, লগারিদমিক অসমতা সমাধানের জন্য উপপাদ্যগুলি প্রয়োগ করা হয়েছিল। নিম্নলিখিত কয়েকটি উদাহরণ অন্যান্য ধরনের বৈষম্য সমাধানের পদ্ধতির প্রতিশ্রুতি প্রদর্শন করবে।

ব্যবহারে লগারিদমিক অসমতা

সেচিন মিখাইল আলেকজান্দ্রোভিচ

কাজাখস্তান প্রজাতন্ত্রের ছাত্রদের জন্য ছোট একাডেমি অফ সায়েন্সেস "ইসকাটেল"

MBOU "সোভেটস্কায়া মাধ্যমিক বিদ্যালয় নং 1", 11 ম শ্রেণী, শহর। সোভেটস্কি সোভেটস্কি জেলা

গুঙ্কো লিউডমিলা দিমিত্রিভনা, পৌর বাজেট শিক্ষা প্রতিষ্ঠানের শিক্ষক "সোভেটস্কায়া মাধ্যমিক বিদ্যালয় নং 1"

সোভেটস্কি জেলা

কাজের লক্ষ্য:অ-মানক পদ্ধতি ব্যবহার করে লগারিদমিক অসমতা C3 সমাধানের পদ্ধতির অধ্যয়ন, সনাক্তকরণ মজার ঘটনালগারিদম

পাঠ্য বিষয়:

3) অ-মানক পদ্ধতি ব্যবহার করে নির্দিষ্ট লগারিদমিক অসমতা C3 সমাধান করতে শিখুন।

ফলাফল:

বিষয়বস্তু

ভূমিকা ……………………………………………………………………………………….৪

অধ্যায় 1. সমস্যাটির ইতিহাস ……………………………………………………….৫

অধ্যায় 2. লগারিদমিক অসমতার সংগ্রহ ……………………… 7

2.1। সমতুল্য রূপান্তর এবং ব্যবধানের সাধারণীকৃত পদ্ধতি…………… 7

2.2। যৌক্তিককরণ পদ্ধতি……………………………………………………………… 15

2.3। অ-মানক প্রতিস্থাপন ……………………………………………… ............ ..... 22

2.4। ফাঁদ সহ কাজগুলি………………………………………………………27

উপসংহার……………………………………………………………………………… 30

সাহিত্য………………………………………………………………. 31

ভূমিকা

আমি 11 তম শ্রেণীতে আছি এবং একটি বিশ্ববিদ্যালয়ে ভর্তির পরিকল্পনা করছি যেখানে মূল বিষয় গণিত। এই কারণেই আমি অংশ সি-তে সমস্যা নিয়ে অনেক কাজ করি। টাস্ক C3-তে, আমাকে একটি অ-মানক অসমতা বা অসমতার সিস্টেমের সমাধান করতে হবে, সাধারণত লগারিদমের সাথে সম্পর্কিত। পরীক্ষার জন্য প্রস্তুতি নেওয়ার সময়, আমি C3-তে দেওয়া পরীক্ষার লগারিদমিক অসমতা সমাধানের জন্য পদ্ধতি এবং কৌশলগুলির অভাবের সমস্যার সম্মুখীন হয়েছিলাম। এই বিষয়ে স্কুল পাঠ্যক্রমে যে পদ্ধতিগুলি অধ্যয়ন করা হয় সেগুলি C3 কার্যগুলি সমাধানের জন্য একটি ভিত্তি প্রদান করে না। গণিত শিক্ষক পরামর্শ দিয়েছেন যে আমি তার নির্দেশনায় স্বাধীনভাবে C3 অ্যাসাইনমেন্টে কাজ করি। উপরন্তু, আমি প্রশ্নে আগ্রহী ছিলাম: আমরা কি আমাদের জীবনে লগারিদমের সম্মুখীন হই?

এটি মাথায় রেখে, বিষয়টি বেছে নেওয়া হয়েছিল:

"ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষায় লগারিদমিক অসমতা"

কাজের লক্ষ্য:লগারিদম সম্পর্কে আকর্ষণীয় তথ্য সনাক্ত করে অ-মানক পদ্ধতি ব্যবহার করে C3 সমস্যা সমাধানের প্রক্রিয়ার অধ্যয়ন।

পাঠ্য বিষয়:

1) লগারিদমিক অসমতা সমাধানের জন্য অ-মানক পদ্ধতি সম্পর্কে প্রয়োজনীয় তথ্য খুঁজুন।

2) লগারিদম সম্পর্কে অতিরিক্ত তথ্য খুঁজুন।

3) অ-মানক পদ্ধতি ব্যবহার করে নির্দিষ্ট C3 সমস্যা সমাধান করতে শিখুন।

ফলাফল:

ব্যবহারিক তাত্পর্য C3 সমস্যা সমাধানের জন্য যন্ত্রপাতি সম্প্রসারণের মধ্যে নিহিত। এই উপাদানটি কিছু পাঠে, ক্লাবের জন্য এবং গণিতের নির্বাচনী ক্লাসে ব্যবহার করা যেতে পারে।

প্রকল্পের পণ্যটি হবে "সমাধানের সাথে C3 লগারিদমিক অসমতা।"

অধ্যায় 1। পটভূমি

16 শতক জুড়ে, প্রাথমিকভাবে জ্যোতির্বিদ্যায় আনুমানিক গণনার সংখ্যা দ্রুত বৃদ্ধি পায়। যন্ত্রপাতি উন্নত করা, গ্রহের গতিবিধি অধ্যয়ন করা এবং অন্যান্য কাজের জন্য প্রচুর, কখনও কখনও বহু বছরের গণনা প্রয়োজন। জ্যোতির্বিদ্যা অসম্পূর্ণ গণনায় ডুবে যাওয়ার সত্যিকারের বিপদে ছিল। অন্যান্য ক্ষেত্রে অসুবিধা দেখা দেয়, উদাহরণস্বরূপ, বীমা ব্যবসায়, বিভিন্ন সুদের হারের জন্য চক্রবৃদ্ধি সুদের টেবিলের প্রয়োজন ছিল। প্রধান অসুবিধা ছিল বহু-সংখ্যার সংখ্যার গুণন এবং ভাগ, বিশেষ করে ত্রিকোণমিতিক পরিমাণ।

লগারিদমের আবিষ্কারটি অগ্রগতির বৈশিষ্ট্যগুলির উপর ভিত্তি করে ছিল যা 16 শতকের শেষের দিকে সুপরিচিত ছিল। জ্যামিতিক অগ্রগতি q, q2, q3, ... এবং শর্তগুলির মধ্যে সংযোগের উপর গাণিতিক অগ্রগতিতাদের সূচকগুলি হল 1, 2, 3,... আর্কিমিডিস তার "সালমাইটিস" এ কথা বলেছেন। আর একটি পূর্বশর্ত ছিল ডিগ্রীর ধারণাকে ঋণাত্মক এবং ভগ্নাংশের সূচকে প্রসারিত করা। অনেক লেখক উল্লেখ করেছেন যে জ্যামিতিক অগ্রগতিতে গুণ, ভাগ, সূচক এবং মূল নিষ্কাশন পাটিগণিতের সাথে মিলে যায় - একই ক্রমে - যোগ, বিয়োগ, গুণ এবং ভাগ।

এখানে একটি সূচক হিসাবে লগারিদমের ধারণা ছিল।

লগারিদমের মতবাদের বিকাশের ইতিহাসে, বেশ কয়েকটি পর্যায় অতিক্রম করেছে।

ধাপ 1

লগারিদম 1594 সালের পরে স্বাধীনভাবে স্কটিশ ব্যারন নেপিয়ার (1550-1617) দ্বারা এবং দশ বছর পরে সুইস মেকানিক বুর্গি (1552-1632) দ্বারা আবিষ্কৃত হয়েছিল। উভয়ই পাটিগণিত গণনার একটি নতুন, সুবিধাজনক উপায় প্রদান করতে চেয়েছিল, যদিও তারা বিভিন্ন উপায়ে এই সমস্যাটির সাথে যোগাযোগ করেছিল। নেপিয়ার গতিশীলভাবে লগারিদমিক ফাংশন প্রকাশ করেছিলেন এবং এর ফলে ফাংশন তত্ত্বের একটি নতুন ক্ষেত্রে প্রবেশ করেছিলেন। Bürgi বিচ্ছিন্ন অগ্রগতি বিবেচনার ভিত্তিতে রয়ে গেছে. যাইহোক, উভয়ের জন্য লগারিদমের সংজ্ঞা আধুনিক একের মত নয়। "লগারিদম" (লগারিদমাস) শব্দটি নেপিয়ারের অন্তর্গত। এটি গ্রীক শব্দের সংমিশ্রণ থেকে উদ্ভূত হয়েছে: লোগো - "সম্পর্ক" এবং আরিকমো - "সংখ্যা", যার অর্থ "সম্পর্কের সংখ্যা"। প্রাথমিকভাবে, নেপিয়ার একটি ভিন্ন শব্দ ব্যবহার করতেন: সংখ্যার কৃত্রিম - "কৃত্রিম সংখ্যা", সংখ্যাগত প্রাকৃতিকতার বিপরীতে - "প্রাকৃতিক সংখ্যা"।

1615 সালে, লন্ডনের গ্রেশ কলেজের গণিতের অধ্যাপক হেনরি ব্রিগস (1561-1631) এর সাথে একটি কথোপকথনে, নেপিয়ার শূন্যকে একটির লগারিদম হিসাবে এবং 100কে দশের লগারিদম হিসাবে নেওয়ার পরামর্শ দিয়েছিলেন, বা, কী পরিমাণ সমান? জিনিস, শুধু 1. এইভাবে দশমিক লগারিদম এবং প্রথম লগারিদমিক টেবিল মুদ্রিত হয়েছিল। পরবর্তীতে, ব্রিগসের টেবিলগুলি ডাচ বই বিক্রেতা এবং গণিত উত্সাহী অ্যাড্রিয়ান ফ্লাকাস (1600-1667) দ্বারা পরিপূরক হয়েছিল। নেপিয়ার এবং ব্রিগস, যদিও তারা লগারিদমে সবার চেয়ে আগে এসেছিলেন, তাদের টেবিল অন্যদের চেয়ে পরে প্রকাশ করেছিলেন - 1620 সালে। 1624 সালে আই. কেপলার দ্বারা চিহ্ন লগ এবং লগ প্রবর্তন করা হয়। "প্রাকৃতিক লগারিদম" শব্দটি 1659 সালে মেঙ্গোলি এবং 1668 সালে এন. মার্কেটর দ্বারা প্রবর্তিত হয়েছিল এবং লন্ডনের শিক্ষক জন স্পিডেল "নতুন লগারিদম" নামে 1 থেকে 1000 পর্যন্ত সংখ্যার প্রাকৃতিক লগারিদমের সারণী প্রকাশ করেছিলেন।

প্রথম লগারিদমিক টেবিল 1703 সালে রাশিয়ান ভাষায় প্রকাশিত হয়েছিল। কিন্তু সমস্ত লগারিদমিক টেবিলে গণনার ত্রুটি ছিল। জার্মান গণিতবিদ কে. ব্রেমিকার (1804-1877) দ্বারা প্রক্রিয়াকৃত প্রথম ত্রুটি-মুক্ত টেবিলগুলি 1857 সালে বার্লিনে প্রকাশিত হয়েছিল।

ধাপ ২

লগারিদম তত্ত্বের আরও উন্নয়ন বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতি এবং অসীম ক্যালকুলাসের ব্যাপক প্রয়োগের সাথে যুক্ত। ততক্ষণে, একটি সমবাহু হাইপারবোলার চতুর্ভুজ এবং প্রাকৃতিক লগারিদমের মধ্যে সংযোগ স্থাপন করা হয়েছে। এই সময়ের লগারিদমের তত্ত্বটি বেশ কয়েকটি গণিতবিদদের নামের সাথে জড়িত।

একটি প্রবন্ধে জার্মান গণিতবিদ, জ্যোতির্বিদ এবং প্রকৌশলী নিকোলাস মার্কেটর

"লগারিথমোটেকনিক্স" (1668) একটি সিরিজ দেয় যা ln(x+1) এর সম্প্রসারণ করে

x এর ক্ষমতা:

এই অভিব্যক্তিটি তার চিন্তার ট্রেনের সাথে হুবহু মিলে যায়, যদিও, অবশ্যই, তিনি d, ... চিহ্নগুলি ব্যবহার করেননি, তবে আরও কষ্টকর প্রতীকবাদ। লগারিদম সিরিজ আবিষ্কারের সাথে সাথে লগারিদম গণনা করার কৌশল পরিবর্তিত হয়: তারা অসীম সিরিজ ব্যবহার করে নির্ধারণ করা শুরু করে। 1907-1908 সালে প্রদত্ত "উচ্চতর দৃষ্টিকোণ থেকে প্রাথমিক গণিত" বক্তৃতাগুলিতে, এফ. ক্লেইন লগারিদম তত্ত্ব নির্মাণের জন্য সূত্রটিকে সূচনা বিন্দু হিসাবে ব্যবহার করার প্রস্তাব করেছিলেন।

পর্যায় 3

একটি বিপরীত ফাংশন হিসাবে লগারিদমিক ফাংশনের সংজ্ঞা

সূচকীয়, প্রদত্ত বেসের সূচক হিসাবে লগারিদম

তাৎক্ষণিকভাবে প্রণয়ন করা হয়নি। লিওনহার্ড অয়লারের প্রবন্ধ (1707-1783)

"অনন্ত অসীম বিশ্লেষণের ভূমিকা" (1748) আরও কাজ করেছে

লগারিদমিক ফাংশন তত্ত্বের বিকাশ। এইভাবে,

লগারিদম প্রথম চালু হওয়ার পর 134 বছর কেটে গেছে

(1614 থেকে গণনা), গণিতবিদরা সংজ্ঞায় আসার আগে

লগারিদমের ধারণা, যা এখন স্কুল কোর্সের ভিত্তি।

অধ্যায় 2. লগারিদমিক অসমতার সংগ্রহ

2.1। সমতুল্য রূপান্তর এবং ব্যবধানের সাধারণীকৃত পদ্ধতি।

সমতুল্য রূপান্তর

, যদি a > 1

, যদি 0 < а < 1

সাধারণ ব্যবধান পদ্ধতি

এই পদ্ধতিটি প্রায় যেকোনো ধরনের বৈষম্য সমাধানের জন্য সবচেয়ে সর্বজনীন। সমাধান ডায়াগ্রাম এই মত দেখায়:

1. ফর্মে অসমতা আনুন যেখানে বাম পাশের ফাংশনটি রয়েছে
, এবং ডানদিকে 0।

2. ফাংশনের ডোমেইন খুঁজুন
.

3. ফাংশনের শূন্য খুঁজুন
, অর্থাৎ সমীকরণটি সমাধান করুন
(এবং একটি সমীকরণ সমাধান করা সাধারণত অসমতা সমাধানের চেয়ে সহজ)।

4. সংখ্যা রেখায় ফাংশনের সংজ্ঞা এবং শূন্যের ডোমেন আঁকুন।

5. ফাংশনের লক্ষণ নির্ণয় কর
প্রাপ্ত বিরতির উপর।

6. ব্যবধান নির্বাচন করুন যেখানে ফাংশনটি প্রয়োজনীয় মান নেয় এবং উত্তরটি লিখুন।

উদাহরণ 1.

সমাধান:

ব্যবধান পদ্ধতি প্রয়োগ করা যাক

কোথায়

এই মানের জন্য, লগারিদমিক চিহ্নের অধীনে সমস্ত অভিব্যক্তি ইতিবাচক।

উত্তর:

উদাহরণ 2।

সমাধান:

১ম উপায় . ADL অসমতা দ্বারা নির্ধারিত হয় এক্স> 3. এই ধরনের জন্য লগারিদম গ্রহণ এক্সবেস 10 এ, আমরা পাই

শেষ অসমতা সম্প্রসারণ নিয়ম প্রয়োগ করে সমাধান করা যেতে পারে, যেমন শূন্যের সাথে ফ্যাক্টর তুলনা করা। যাইহোক, এই ক্ষেত্রে ফাংশনের ধ্রুবক চিহ্নের ব্যবধান নির্ধারণ করা সহজ

অতএব, ব্যবধান পদ্ধতি প্রয়োগ করা যেতে পারে।

ফাংশন চ(এক্স) = 2এক্স(এক্স- 3.5)lgǀ এক্স- 3ǀ এ অবিচ্ছিন্ন এক্স> 3 এবং পয়েন্টে অদৃশ্য হয়ে যায় এক্স 1 = 0, এক্স 2 = 3,5, এক্স 3 = 2, এক্স 4 = 4. এইভাবে, আমরা ফাংশনের ধ্রুবক চিহ্নের ব্যবধান নির্ধারণ করি চ(এক্স):

উত্তর:

২য় পদ্ধতি . আসুন মূল অসমতার জন্য ব্যবধান পদ্ধতির ধারণাগুলি সরাসরি প্রয়োগ করি।

এটি করার জন্য, যে অভিব্যক্তি প্রত্যাহার কখ- কগ এবং ( ক - 1)(খ- 1) একটি চিহ্ন আছে. তখন আমাদের অসমতা এ এক্স> 3 অসমতার সমতুল্য

বা

শেষ অসমতা ব্যবধান পদ্ধতি ব্যবহার করে সমাধান করা হয়

উত্তর:

উদাহরণ 3.

সমাধান:

ব্যবধান পদ্ধতি প্রয়োগ করা যাক

উত্তর:

উদাহরণ 4.

সমাধান:

2 সাল থেকে এক্স 2 - 3এক্সসব বাস্তবের জন্য + 3 > 0 এক্স, যে

দ্বিতীয় অসমতা সমাধান করতে আমরা ব্যবধান পদ্ধতি ব্যবহার করি

প্রথম অসমতা আমরা প্রতিস্থাপন করা

তাহলে আমরা অসমতার দিকে আসি 2y 2 - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те y, যা অসমতা পূরণ করে -0.5< y < 1.

কোথা থেকে, কারণ

আমরা অসমতা পেতে

যা বাহিত হয় যখন এক্স, যার জন্য 2 এক্স 2 - 3এক্স - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

এখন, সিস্টেমের দ্বিতীয় অসমতার সমাধান বিবেচনা করে, আমরা অবশেষে প্রাপ্ত করি

উত্তর:

উদাহরণ 5।

সমাধান:

অসমতা সিস্টেমের একটি সংগ্রহের সমতুল্য

বা

চলুন ইন্টারভাল পদ্ধতি বা ব্যবহার করি

উত্তর:

উদাহরণ 6.

সমাধান:

বৈষম্য সমান ব্যবস্থা

দিন

তারপর y > 0,

এবং প্রথম অসমতা

সিস্টেম রূপ নেয়

অথবা, উদ্ঘাটন

চতুর্মুখী ত্রিনামিক গুণিতক,

শেষ অসমতার জন্য ব্যবধান পদ্ধতি প্রয়োগ করা,

আমরা দেখছি যে এর সমাধানগুলি শর্তকে সন্তুষ্ট করছে y> 0 সব হবে y > 4.

এইভাবে, মূল অসমতা সিস্টেমের সমতুল্য:

তাই, বৈষম্যের সমাধান সবই

2.2। যৌক্তিককরণ পদ্ধতি।

পূর্বে, যৌক্তিককরণ পদ্ধতি ব্যবহার করে অসমতা সমাধান করা হয়নি; এটি জানা ছিল না। এটি "নতুন আধুনিক" কার্যকর পদ্ধতিসূচকীয় এবং লগারিদমিক অসমতার সমাধান" (S.I. Kolesnikova এর বই থেকে উদ্ধৃতি)
এবং এমনকি যদি শিক্ষক তাকে চিনতেন, একটি ভয় ছিল - ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার বিশেষজ্ঞ কি তাকে চেনেন এবং কেন তারা তাকে স্কুলে দেয় না? এমন পরিস্থিতি ছিল যখন শিক্ষক ছাত্রকে বলেছিলেন: "আপনি এটি কোথায় পেয়েছেন? বসুন - 2।"
এখন পদ্ধতিটি সর্বত্র প্রচার করা হচ্ছে। এবং বিশেষজ্ঞদের জন্য এই পদ্ধতির সাথে সম্পর্কিত নির্দেশিকা রয়েছে, এবং সমাধান C3-এর "মস্ট কমপ্লিট এডিশন অফ স্ট্যান্ডার্ড অপশন..."-এ এই পদ্ধতিটি ব্যবহার করা হয়েছে।
বিস্ময়কর পদ্ধতি!

"ম্যাজিক টেবিল"

অন্যান্য সূত্রে

যদি a>1 এবং b>1, তারপর a b>0 এবং (a -1)(b -1)>0 লগ করুন;

যদি a>1 এবং 0

যদি 0<ক<1 и b >1, তারপর লগ a b<0 и (a -1)(b -1)<0;

যদি 0<ক<1 и 00 এবং (a -1)(b -1)>0।

সঞ্চালিত যুক্তি সহজ, কিন্তু উল্লেখযোগ্যভাবে লগারিদমিক অসমতার সমাধানকে সরল করে।

উদাহরণ 4.

লগ x (x 2 -3)<0

সমাধান:

উদাহরণ 5।

লগ 2 x (2x 2 -4x +6)≤লগ 2 x (x 2 +x )

সমাধান:

উত্তর. (0; 0.5)উ.

উদাহরণ 6.

এই অসমতা সমাধানের জন্য, হর এর পরিবর্তে, আমরা লিখি (x-1-1)(x-1), এবং লবের পরিবর্তে, আমরা গুণফল লিখি (x-1)(x-3-9 + x)।

উত্তর : (3;6)

উদাহরণ 7।

উদাহরণ 8।

2.3। অ-মানক প্রতিস্থাপন।

উদাহরণ 1.

উদাহরণ 2।

উদাহরণ 3.

উদাহরণ 4.

উদাহরণ 5।

উদাহরণ 6.

উদাহরণ 7।

লগ 4 (3 x -1) লগ 0.25

y=3 x -1 প্রতিস্থাপন করা যাক; তাহলে এই অসমতা রূপ নেবে

লগ 4 লগ 0.25
.

কারণ লগ 0.25 = -লগ 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , তারপর আমরা শেষ অসমতাটিকে 2log 4 y -log 4 2 y ≤ হিসাবে পুনরায় লিখি।

আসুন আমরা প্রতিস্থাপন করি t =log 4 y এবং অসমতা পাই t 2 -2t +≥0, যার সমাধান হল বিরতিগুলি - .

সুতরাং, y-এর মান খুঁজে পেতে আমাদের কাছে দুটি সাধারণ অসমতার একটি সেট রয়েছে
এই সেটের সমাধান হল ব্যবধান 0<у≤2 и 8≤у<+.

অতএব, মূল অসমতা দুটি সূচকীয় অসমতার সমতুল্য,
অর্থাৎ, সমষ্টি

এই সেটের প্রথম অসমতার সমাধান হল ব্যবধান 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+. এইভাবে, মূল অসমতা 0 থেকে x এর সমস্ত মানের জন্য সন্তুষ্ট হয়<х≤1 и 2≤х<+.

উদাহরণ 8।

সমাধান:

বৈষম্য সমান ব্যবস্থা

ODZ সংজ্ঞায়িত দ্বিতীয় অসমতার সমাধান হবে সেগুলির সেট এক্স,

কিসের জন্য এক্স > 0.

প্রথম অসমতা সমাধানের জন্য আমরা প্রতিস্থাপন করি

তারপর আমরা অসমতা পেতে

বা

পদ্ধতি দ্বারা শেষ অসমতার সমাধানের সেট পাওয়া যায়

বিরতি: -1< t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной এক্স, আমরা পেতে

বা

যারা প্রচুর এক্স, যা শেষ অসমতা সন্তুষ্ট

ODZ এর অন্তর্গত ( এক্স> 0), অতএব, সিস্টেমের একটি সমাধান,

এবং তাই মূল অসমতা।

উত্তর:

2.4। ফাঁদ সঙ্গে কাজ.

উদাহরণ 1.

.

সমাধান।অসমতার ODZ হল সমস্ত x শর্ত 0 সন্তুষ্ট . অতএব, সমস্ত x ব্যবধান 0 থেকে

উদাহরণ 2।

লগ 2 (2 x +1-x 2)>লগ 2 (2 x-1 +1-x)+1।. ? বিন্দু হল যে দ্বিতীয় সংখ্যাটি স্পষ্টতই এর চেয়ে বেশি

উপসংহার

বিভিন্ন শিক্ষাগত উত্সের বিশাল প্রাচুর্য থেকে C3 সমস্যা সমাধানের জন্য নির্দিষ্ট পদ্ধতি খুঁজে পাওয়া সহজ ছিল না। কাজ চলাকালীন, আমি জটিল লগারিদমিক অসমতা সমাধানের জন্য অ-মানক পদ্ধতিগুলি অধ্যয়ন করতে সক্ষম হয়েছি। এগুলি হল: সমতুল্য রূপান্তর এবং ব্যবধানের সাধারণীকৃত পদ্ধতি, যৌক্তিককরণের পদ্ধতি , অ-মানক প্রতিস্থাপন , ODZ এ ফাঁদ সহ কাজ। এই পদ্ধতিগুলি স্কুল পাঠ্যক্রমের অন্তর্ভুক্ত নয়।

বিভিন্ন পদ্ধতি ব্যবহার করে, আমি পার্ট C-তে ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষায় প্রস্তাবিত 27টি অসমতার সমাধান করেছি, যথা C3। পদ্ধতি দ্বারা সমাধানের সাথে এই অসমতাগুলি "সমাধানের সাথে C3 লগারিদমিক অসমতা" সংগ্রহের ভিত্তি তৈরি করেছিল, যা আমার কার্যকলাপের একটি প্রকল্প পণ্য হয়ে উঠেছে। প্রজেক্টের শুরুতে আমি যে হাইপোথিসিসটি দিয়েছিলাম তা নিশ্চিত হয়েছে: আপনি যদি এই পদ্ধতিগুলি জানেন তবে C3 সমস্যাগুলি কার্যকরভাবে সমাধান করা যেতে পারে।

উপরন্তু, আমি লগারিদম সম্পর্কে আকর্ষণীয় তথ্য আবিষ্কার করেছি। এটা করা আমার জন্য আকর্ষণীয় ছিল. আমার প্রকল্প পণ্য ছাত্র এবং শিক্ষক উভয় জন্য দরকারী হবে.

উপসংহার:

এইভাবে, প্রকল্পের লক্ষ্য অর্জন করা হয়েছে এবং সমস্যার সমাধান করা হয়েছে। এবং আমি কাজের সব পর্যায়ে প্রকল্প কার্যক্রমের সবচেয়ে সম্পূর্ণ এবং বৈচিত্রপূর্ণ অভিজ্ঞতা পেয়েছি। প্রকল্পে কাজ করার সময়, আমার প্রধান উন্নয়নমূলক প্রভাব ছিল মানসিক দক্ষতা, যৌক্তিক মানসিক ক্রিয়াকলাপ সম্পর্কিত কার্যকলাপ, সৃজনশীল দক্ষতার বিকাশ, ব্যক্তিগত উদ্যোগ, দায়িত্ব, অধ্যবসায় এবং কার্যকলাপের উপর।

একটি গবেষণা প্রকল্প তৈরি করার সময় সাফল্যের একটি গ্যারান্টি আমি অর্জন করেছি: গুরুত্বপূর্ণ স্কুল অভিজ্ঞতা, বিভিন্ন উত্স থেকে তথ্য প্রাপ্ত করার ক্ষমতা, এর নির্ভরযোগ্যতা পরীক্ষা করা এবং গুরুত্ব অনুসারে এটিকে স্থান দেওয়া।

গণিতে সরাসরি বিষয় জ্ঞানের পাশাপাশি, আমি কম্পিউটার বিজ্ঞানের ক্ষেত্রে আমার ব্যবহারিক দক্ষতা প্রসারিত করেছি, মনোবিজ্ঞানের ক্ষেত্রে নতুন জ্ঞান এবং অভিজ্ঞতা অর্জন করেছি, সহপাঠীদের সাথে যোগাযোগ স্থাপন করেছি এবং প্রাপ্তবয়স্কদের সাথে সহযোগিতা করতে শিখেছি। প্রকল্পের কার্যক্রম চলাকালীন, সাংগঠনিক, বুদ্ধিবৃত্তিক এবং যোগাযোগমূলক সাধারণ শিক্ষাগত দক্ষতা বিকাশ করা হয়েছিল।

সাহিত্য

1. কোরিয়ানভ এ. জি., প্রোকোফিভ এ. এ. একটি পরিবর্তনশীলের সাথে অসমতার সিস্টেম (স্ট্যান্ডার্ড টাস্ক C3)।

2. মালকোভা এ.জি. গণিতে ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার জন্য প্রস্তুতি।

3. সামারোভা এস.এস. লগারিদমিক অসমতা সমাধান করা।

4. গণিত। A.L. দ্বারা সম্পাদিত প্রশিক্ষণ কাজের সংগ্রহ। সেমেনভ এবং আই.ভি. ইয়াশচেঙ্কো। -এম.: MTsNMO, 2009. - 72 p.-

নিবন্ধটি 2017-এর জন্য গণিতে ইউনিফাইড স্টেট এক্সামিনেশন প্রোফাইল থেকে টাস্ক 15-এর বিশ্লেষণের জন্য উত্সর্গীকৃত। এই টাস্কে, স্কুলছাত্রীদের অসমতা সমাধান করতে বলা হয়, বেশিরভাগ ক্ষেত্রে লগারিদমিক। যদিও ইঙ্গিতপূর্ণ থাকতে পারে। এই নিবন্ধটি লগারিদমের বেসে একটি পরিবর্তনশীল সহ লগারিদম অসমতার উদাহরণগুলির একটি বিশ্লেষণ প্রদান করে। সমস্ত উদাহরণ গণিতের (প্রোফাইল) ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার টাস্কগুলির উন্মুক্ত ব্যাঙ্ক থেকে নেওয়া হয়েছে, তাই এই ধরনের অসমতা টাস্ক 15 হিসাবে পরীক্ষায় আসতে পারে। যারা দ্বিতীয় অংশ থেকে টাস্ক 15 কীভাবে সমাধান করতে হয় তা শিখতে চান তাদের জন্য আদর্শ। প্রোফাইলের ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষায় অল্প সময়ের মধ্যে গণিতে পরীক্ষায় বেশি নম্বর পেতে।

গণিতের প্রোফাইল ইউনিফাইড স্টেট এক্সামিনেশন থেকে কার্য 15 এর বিশ্লেষণ

উদাহরণ 1. অসমতা সমাধান করুন:

গণিতের (প্রোফাইল) ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার 15 টাস্কে, লগারিদমিক অসমতা প্রায়ই সম্মুখীন হয়। লগারিদমিক অসমতা সমাধান করা শুরু হয় গ্রহণযোগ্য মানের পরিসীমা নির্ধারণের মাধ্যমে। এই ক্ষেত্রে, উভয় লগারিদমের বেসে কোন পরিবর্তনশীল নেই, শুধুমাত্র 11 নম্বর আছে, যা সমস্যাটিকে ব্যাপকভাবে সরল করে। সুতরাং আমাদের এখানে একমাত্র সীমাবদ্ধতা হল যে লগারিদম চিহ্নের অধীনে উভয় অভিব্যক্তিই ইতিবাচক:

শিরোনাম="QuickLaTeX.com দ্বারা রেন্ডার করা হয়েছে৷">!}

সিস্টেমের প্রথম অসমতা হল দ্বিঘাত অসমতা। এটি সমাধান করার জন্য, আমরা সত্যিই বাম দিকে ফ্যাক্টরাইজ করতে চাই। আমি মনে করি আপনি জানেন যে ফর্মের যে কোন দ্বিঘাত ত্রিনামিক নিম্নলিখিত হিসাবে ফ্যাক্টরাইজ করা হয়:

কোথায় এবং সমীকরণের শিকড়। এই ক্ষেত্রে, সহগ হল 1 (এটি 1 এর সামনে সংখ্যাসূচক সহগ)। সহগটিও 1 এর সমান, এবং সহগটি ডামি শব্দ, এটি -20 এর সমান। ভিয়েটার উপপাদ্য ব্যবহার করে একটি ত্রিনয়কের শিকড় সবচেয়ে সহজে নির্ধারণ করা হয়। আমরা যে সমীকরণটি দিয়েছি তার মানে মূলের যোগফল বিপরীত চিহ্ন সহ সহগের সমান হবে, অর্থাৎ -1, এবং এই মূলগুলির গুণফল সহগের সমান হবে, অর্থাৎ -20। এটা অনুমান করা সহজ যে শিকড় -5 এবং 4 হবে।

এখন অসমতার বাম দিকে ফ্যাক্টরাইজ করা যেতে পারে: title="QuickLaTeX.com দ্বারা রেন্ডার করা হয়েছে" height="20" width="163" style="vertical-align: -5px;"> Решаем это неравенство. График соответствующей функции — это парабола, ветви которой направлены вверх. Эта парабола пересекает ось !} এক্সপয়েন্ট -5 এবং 4 এ। এর মানে হল যে অসমতার প্রয়োজনীয় সমাধান হল ব্যবধান। যারা এখানে কি লেখা আছে তা বুঝতে পারছেন না, আপনি এই মুহূর্ত থেকে শুরু করে ভিডিওতে বিস্তারিত দেখতে পারেন। সেখানে আপনি সিস্টেমের দ্বিতীয় অসমতা কীভাবে সমাধান করা হয় তার একটি বিশদ ব্যাখ্যাও পাবেন। এর সমাধান করা হচ্ছে। তদুপরি, উত্তরটি সিস্টেমের প্রথম অসমতার মতো হুবহু একই। অর্থাৎ, উপরে লিখিত সেটটি অসমতার অনুমতিযোগ্য মানগুলির অঞ্চল।

সুতরাং, ফ্যাক্টরাইজেশন বিবেচনায় নিয়ে, আসল অসমতা রূপ নেয়:

সূত্রটি ব্যবহার করে, আমরা প্রথম লগারিদমের চিহ্নের অধীনে অভিব্যক্তির শক্তিতে 11 যোগ করি এবং দ্বিতীয় লগারিদমটিকে অসমতার বাম দিকে নিয়ে যাই, এর চিহ্নটি বিপরীতে পরিবর্তন করি:

হ্রাস করার পরে আমরা পাই:

শেষ অসমতা, ফাংশন বৃদ্ধির কারণে, অসমতার সমতুল্য , যার সমাধান হল ব্যবধান . যা অবশিষ্ট থাকে তা হল এটিকে অসমতার গ্রহণযোগ্য মূল্যবোধের অঞ্চলের সাথে ছেদ করা এবং এটিই হবে সমগ্র কাজের উত্তর।

সুতরাং, টাস্কের প্রয়োজনীয় উত্তরটি এরকম দেখাচ্ছে:

আমরা এই কাজটি মোকাবেলা করেছি, এখন আমরা গণিতের (প্রোফাইল) ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার টাস্ক 15 এর পরবর্তী উদাহরণে চলে যাই।

উদাহরণ 2. অসমতা সমাধান করুন:

আমরা এই অসমতার গ্রহণযোগ্য মানগুলির পরিসর নির্ধারণ করে সমাধান শুরু করি। প্রতিটি লগারিদমের বেসে একটি ধনাত্মক সংখ্যা থাকতে হবে যা 1 এর সমান নয়। লগারিদমের চিহ্নের অধীনে থাকা সমস্ত রাশি অবশ্যই ধনাত্মক হতে হবে। ভগ্নাংশের হর অবশ্যই শূন্য থাকবে না। শেষ শর্তটি এই সত্যের সমতুল্য যে, শুধুমাত্র অন্যথায় হর-এর উভয় লগারিদমই অদৃশ্য হয়ে যায়। এই সমস্ত শর্তগুলি নিম্নোক্ত অসমতার সিস্টেম দ্বারা প্রদত্ত এই অসমতার অনুমোদিত মানগুলির পরিসর নির্ধারণ করে:

শিরোনাম="QuickLaTeX.com দ্বারা রেন্ডার করা হয়েছে৷">!}

গ্রহণযোগ্য মানগুলির পরিসরে, আমরা অসমতার বাম দিকে সরল করার জন্য লগারিদম রূপান্তর সূত্র ব্যবহার করতে পারি। সূত্র ব্যবহার করে আমরা হর থেকে পরিত্রাণ পেতে পারি:

এখন আমাদের কাছে শুধুমাত্র একটি বেস সহ লগারিদম আছে। এটি ইতিমধ্যে আরও সুবিধাজনক। এর পরে, আমরা সূত্র ব্যবহার করি, এবং সূত্রটিও ব্যবহার করি যাতে নিম্নলিখিত ফর্মে গৌরব মূল্যের অভিব্যক্তি আনা যায়:

গণনায়, আমরা গ্রহণযোগ্য মানগুলির পরিসরে যা ছিল তা ব্যবহার করেছি। প্রতিস্থাপন ব্যবহার করে আমরা অভিব্যক্তিতে পৌঁছাই:

আসুন আরও একটি প্রতিস্থাপন ব্যবহার করি: . ফলস্বরূপ, আমরা নিম্নলিখিত ফলাফলে পৌঁছেছি:

সুতরাং, আমরা ধীরে ধীরে মূল ভেরিয়েবলে ফিরে আসি। প্রথমে ভেরিয়েবলে যান: