یافتن کمترین مضرب مشترک: راه ها، نمونه هایی از پیدا کردن LCM. نود و نوک سه یا چند عدد چگونه کوچکترین مضرب مشترک اعداد را پیدا کنیم

سه راه برای یافتن کمترین مضرب مشترک در نظر بگیرید.

یافتن با فاکتورینگ

راه اول یافتن کمترین مضرب مشترک با فاکتورگیری اعداد داده شده در ضرایب اول است.

فرض کنید باید LCM اعداد: 99، 30 و 28 را پیدا کنیم. برای این کار، هر یک از این اعداد را به عوامل اول تجزیه می کنیم:

برای اینکه عدد مورد نظر بر 99، 30 و 28 بخش پذیر باشد، لازم و کافی است که شامل تمام ضرایب اول این مقسوم علیه ها باشد. برای انجام این کار، باید همه ضرایب اول این اعداد را به بالاترین توان وقوع برسانیم و آنها را با هم ضرب کنیم:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

بنابراین LCM (99، 30، 28) = 13860. هیچ عدد دیگری کمتر از 13860 به طور مساوی بر 99، 30 یا 28 بخش پذیر نیست.

برای یافتن کمترین مضرب مشترک اعداد داده شده، باید آنها را به ضرایب اول تجزیه کنید، سپس هر عامل اول را با بزرگترین توانی که با آن رخ می دهد، بگیرید و این عوامل را با هم ضرب کنید.

از آنجایی که اعداد همزمان اول هیچ عامل اول مشترکی ندارند، حداقل مضرب مشترک آنها برابر با حاصلضرب این اعداد است. به عنوان مثال، سه عدد: 20، 49 و 33 هم اول هستند. از همین رو

LCM (20، 49، 33) = 20 49 33 = 32،340.

هنگام جستجوی کمترین مضرب مشترک اعداد اول مختلف نیز باید همین کار را کرد. به عنوان مثال، LCM (3، 7، 11) = 3 7 11 = 231.

یافتن با انتخاب

راه دوم یافتن کمترین مضرب مشترک با برازش است.

مثال 1. وقتی بزرگترین اعداد داده شده به طور مساوی بر اعداد داده شده دیگر بخش پذیر باشد، LCM این اعداد برابر است با بزرگتر آنها. به عنوان مثال، چهار عدد 60، 30، 10 و 6 داده می شود. هر یک از آنها بر 60 بخش پذیر است، بنابراین:

NOC(60، 30، 10، 6) = 60

در موارد دیگر، برای یافتن کمترین مضرب مشترک، از روش زیر استفاده می شود:

1. بزرگترین عدد را از اعداد داده شده تعیین کنید.
2. در مرحله بعد، اعدادی را پیدا می کنیم که مضرب بزرگترین عدد هستند، آن را در اعداد طبیعی به ترتیب صعودی ضرب می کنیم و بررسی می کنیم که آیا اعداد داده شده باقیمانده بر حاصلضرب تقسیم می شوند یا خیر.

مثال 2. با توجه به سه عدد 24، 3 و 18. بزرگترین آنها را تعیین کنید - این عدد 24 است. سپس، مضرب های 24 را پیدا کنید و بررسی کنید که آیا هر یک از آنها بر 18 و بر 3 بخش پذیر است یا خیر:

24 1 = 24 بر 3 بخش پذیر است اما بر 18 بخش پذیر نیست.

24 2 = 48 - قابل تقسیم بر 3 اما بر 18 بخش پذیر نیست.

24 3 \u003d 72 - قابل تقسیم بر 3 و 18.

بنابراین LCM(24، 3، 18) = 72.

یافتن با یافتن متوالی LCM

راه سوم یافتن کمترین مضرب مشترک با یافتن متوالی LCM است.

LCM دو عدد داده شده برابر است با حاصلضرب این اعداد تقسیم بر بزرگترین مقسوم علیه مشترکشان.

مثال 1. LCM دو عدد داده شده را بیابید: 12 و 8. بزرگترین مقسوم علیه مشترک آنها را تعیین کنید: GCD (12، 8) = 4. این اعداد را ضرب کنید:

ما محصول را به GCD آنها تقسیم می کنیم:

بنابراین LCM(12، 8) = 24.

برای یافتن LCM سه یا چند عدد از روش زیر استفاده می شود:

1. ابتدا LCM هر دو عدد از داده ها پیدا می شود.
2. سپس، LCM حداقل مضرب مشترک پیدا شده و سومین عدد داده شده.
3. سپس، LCM حاصل از حداقل مضرب مشترک و عدد چهارم، و غیره.
4. بنابراین جستجوی LCM تا زمانی که اعداد وجود دارد ادامه می یابد.

مثال 2. بیایید LCM سه عدد داده شده را پیدا کنیم: 12، 8 و 9. قبلاً LCM اعداد 12 و 8 را در مثال قبلی پیدا کرده ایم (این عدد 24 است). باقی مانده است که کوچکترین مضرب مشترک 24 و سومین عدد داده شده - 9 را پیدا کنیم. بزرگترین مقسوم علیه مشترک آنها را تعیین کنید: gcd (24, 9) = 3. LCM را با عدد 9 ضرب کنید:

ما محصول را به GCD آنها تقسیم می کنیم:

بنابراین LCM(12، 8، 9) = 72.

مطالب ارائه شده در زیر ادامه منطقی نظریه از مقاله تحت عنوان LCM - کمترین مضرب مشترک، تعریف، مثال ها، رابطه بین LCM و GCD است. در اینجا ما در مورد صحبت خواهیم کرد یافتن کمترین مضرب مشترک (LCM)، و به حل مثال ها توجه ویژه ای داشته باشید. اجازه دهید ابتدا نشان دهیم که چگونه LCM دو عدد بر حسب GCD این اعداد محاسبه می شود. در مرحله بعد، یافتن کمترین مضرب مشترک را با فاکتورگیری اعداد در ضرایب اول در نظر بگیرید. پس از آن بر روی یافتن LCM سه یا چند عدد تمرکز می کنیم و همچنین به محاسبه LCM اعداد منفی نیز توجه می کنیم.

پیمایش صفحه.

محاسبه کمترین مضرب مشترک (LCM) از طریق gcd

یکی از راه های یافتن کمترین مضرب مشترک بر اساس رابطه بین LCM و GCD است. رابطه موجود بین LCM و GCD به شما امکان می دهد حداقل مضرب مشترک دو عدد صحیح مثبت را از طریق بزرگترین مقسوم علیه مشترک شناخته شده محاسبه کنید. فرمول مربوطه دارای فرم است LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . نمونه هایی از یافتن LCM را طبق فرمول بالا در نظر بگیرید.

مثال.

کوچکترین مضرب مشترک دو عدد 126 و 70 را پیدا کنید.

راه حل.

در این مثال a=126، b=70. اجازه دهید از رابطه بین LCM و GCD که با فرمول بیان شده است استفاده کنیم LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). یعنی ابتدا باید بزرگترین مقسوم علیه اعداد 70 و 126 را پیدا کنیم و بعد از آن می توانیم LCM این اعداد را طبق فرمول نوشته شده محاسبه کنیم.

gcd(126, 70) را با استفاده از الگوریتم اقلیدس پیدا کنید: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , از این رو gcd(126, 70)=14 .

اکنون حداقل مضرب مشترک مورد نیاز را پیدا می کنیم: LCM(126، 70)=126 70: GCM(126، 70)= 126 70:14=630 .

پاسخ:

LCM(126، 70)=630.

مثال.

LCM(68, 34) چیست؟

راه حل.

زیرا 68 به طور مساوی بر 34 بخش پذیر است، سپس gcd(68, 34)=34. اکنون کمترین مضرب مشترک را محاسبه می کنیم: LCM(68، 34)=68 34: LCM(68، 34)= 68 34:34=68 .

پاسخ:

LCM(68, 34)=68.

توجه داشته باشید که مثال قبلی با قانون زیر برای یافتن LCM برای اعداد صحیح مثبت a و b مطابقت دارد: اگر عدد a بر b بخش پذیر باشد، کمترین مضرب مشترک این اعداد a است.

یافتن LCM با فاکتورگیری اعداد به فاکتورهای اولیه

راه دیگر برای یافتن کمترین مضرب مشترک بر اساس فاکتورسازی اعداد به ضرایب اول است. اگر از تمام ضرایب اول این اعداد حاصل ضربی بسازیم و پس از آن همه ضرایب اول مشترکی را که در بسط این اعداد وجود دارند از این حاصلضرب حذف کنیم، حاصل ضرب حاصل برابر با کمترین مضرب مشترک این اعداد خواهد بود.

قانون اعلام شده برای یافتن LCM از برابری ناشی می شود LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). در واقع، حاصل ضرب اعداد a و b برابر است با حاصلضرب تمام عوامل دخیل در بسط اعداد a و b. به نوبه خود، gcd(a, b) برابر است با حاصلضرب همه عوامل اولی که به طور همزمان در بسط اعداد a و b وجود دارند (که در بخش یافتن gcd با استفاده از تجزیه اعداد به عوامل اول توضیح داده شده است. ).

بیایید یک مثال بزنیم. بگذارید بدانیم که 75=3 5 5 و 210=2 3 5 7 . حاصل ضرب تمام عوامل این بسط ها را بنویسید: 2 3 3 5 5 5 7 . حال تمام عواملی را که هم در بسط عدد 75 و هم در بسط عدد 210 وجود دارد را از این محصول مستثنی می کنیم (این عوامل عبارتند از 3 و 5)، سپس محصول به شکل 2 3 5 5 7 خواهد بود. مقدار این حاصلضرب برابر است با کمترین مضرب مشترک اعداد 75 و 210 یعنی LCM(75، 210)= 2 3 5 5 7 = 1 050.

مثال.

بعد از اینکه اعداد 441 و 700 را در ضرایب اول قرار دادید، کمترین مضرب مشترک این اعداد را پیدا کنید.

راه حل.

بیایید اعداد 441 و 700 را به ضرایب اول تجزیه کنیم:

441=3 3 7 7 و 700 = 2 2 5 5 7 بدست می آوریم.

حال بیایید از همه عوامل دخیل در بسط این اعداد حاصل ضرب کنیم: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . اجازه دهید همه عواملی را که به طور همزمان در هر دو بسط وجود دارند از این محصول حذف کنیم (فقط یک عامل وجود دارد - این عدد 7 است): 2 2 3 3 5 5 7 7 . بدین ترتیب، LCM(441، 700)=2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

پاسخ:

LCM(441، 700)= 44 100 .

قانون یافتن LCM با استفاده از تجزیه اعداد به عوامل اول را می توان کمی متفاوت فرموله کرد. اگر عوامل مفقود شده از بسط عدد b را به عوامل حاصل از بسط عدد a اضافه کنیم، مقدار حاصلضرب برابر با کمترین مضرب مشترک اعداد a و b خواهد بود..

برای مثال، بیایید همه اعداد یکسان 75 و 210 را در نظر بگیریم، بسط آنها به ضرایب اول به صورت زیر است: 75=3 5 5 و 210=2 3 5 7 . به فاکتورهای 3، 5 و 5 از تجزیه عدد 75، فاکتورهای گمشده 2 و 7 را از تجزیه عدد 210 اضافه می کنیم، حاصل ضرب 2 3 5 5 7 را به دست می آوریم که مقدار آن LCM (75) است. ، 210).

مثال.

کوچکترین مضرب مشترک 84 و 648 را پیدا کنید.

راه حل.

ابتدا تجزیه اعداد 84 و 648 را به ضرایب اول بدست می آوریم. آنها شبیه 84=2 2 3 7 و 648=2 2 2 3 3 3 3 هستند. به فاکتورهای 2، 2، 3 و 7 از تجزیه عدد 84، فاکتورهای گمشده 2، 3، 3 و 3 را از تجزیه عدد 648 اضافه می کنیم، حاصل ضرب 2 2 2 3 3 3 3 7 را به دست می آوریم. که برابر با 4 536 است. بنابراین، حداقل مضرب مشترک مورد نظر اعداد 84 و 648، 4536 است.

پاسخ:

LCM(84، 648)=4 536.

یافتن LCM سه یا چند عدد

کمترین مضرب مشترک سه یا چند عدد را می توان با یافتن متوالی LCM دو عدد پیدا کرد. قضیه مربوطه را به یاد بیاورید که راهی برای یافتن LCM سه یا چند عدد می دهد.

قضیه.

بگذارید اعداد صحیح مثبت a 1 , a 2 , …, a k داده شوند، کمترین مضرب مشترک m k این اعداد در محاسبه ترتیبی یافت می شود m 2 = LCM (a 1 , a 2 ), m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .

کاربرد این قضیه را در مثال یافتن مضرب مشترک چهار عدد در نظر بگیرید.

مثال.

LCM چهار عدد 140، 9، 54 و 250 را بیابید.

راه حل.

در این مثال 1 =140، a 2 =9، a 3 =54، a 4 =250.

ابتدا پیدا می کنیم m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). برای انجام این کار، با استفاده از الگوریتم اقلیدسی، gcd(140, 9) را تعیین می کنیم، 140=9 15+5، 9=5 1+4، 5=4 1+1، 4=1 4 داریم، بنابراین، gcd( 140، 9) = 1، از آنجا LCM(140، 9)=140 9: LCM(140، 9)= 140 9:1 = 1 260 . یعنی m 2 = 1 260 .

حالا پیدا می کنیم m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). بیایید آن را از طریق gcd(1 260, 54) محاسبه کنیم که توسط الگوریتم اقلیدس نیز تعیین می شود: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . سپس gcd(1 260, 54)=18، از آنجا LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . یعنی m 3 \u003d 3 780.

چپ برای پیدا کردن m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). برای انجام این کار، GCD(3 780, 250) را با استفاده از الگوریتم اقلیدس پیدا می کنیم: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . بنابراین، gcd(3 780، 250) = 10، از آنجا gcd (3 780، 250) = 3 780 250:gcd(3 780، 250)= 3 780 250:10=94 500 . یعنی m 4 \u003d 94 500.

بنابراین کمترین مضرب مشترک چهار عدد اصلی 94500 است.

پاسخ:

LCM(140, 9, 54, 250)=94,500.

در بسیاری از موارد، کمترین مضرب مشترک سه یا چند اعداد به راحتی با استفاده از فاکتورسازی اول اعداد داده شده یافت می شود. در این صورت باید از قانون زیر پیروی کرد. کمترین مضرب مشترک چند عدد برابر با حاصل ضرب است که به صورت زیر تشکیل می شود: عوامل گمشده از بسط عدد دوم به همه عوامل از بسط عدد اول اضافه می شوند، عوامل مفقود از بسط عدد اول. عدد سوم به فاکتورهای بدست آمده اضافه می شود و غیره.

مثالی از یافتن کمترین مضرب مشترک با استفاده از تجزیه اعداد به عوامل اول را در نظر بگیرید.

مثال.

کوچکترین مضرب مشترک پنج عدد 84، 6، 48، 7، 143 را بیابید.

راه حل.

ابتدا بسط این اعداد را به ضرایب اول به دست می آوریم: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 عامل اول) و 143=11 13 .

برای یافتن LCM این اعداد، به فاکتورهای عدد اول 84 (آنها 2، 2، 3 و 7 هستند) باید فاکتورهای گمشده از بسط عدد دوم 6 را اضافه کنید. بسط عدد 6 شامل فاکتورهای گمشده نیست، زیرا هر دو و 2 در حال حاضر در بسط اولین عدد 84 وجود دارند. علاوه بر فاکتورهای 2، 2، 3 و 7، فاکتورهای گمشده 2 و 2 را از بسط عدد سوم 48 اضافه می کنیم، مجموعه ای از عوامل 2، 2، 2، 2، 3 و 7 را به دست می آوریم. نیازی به افزودن فاکتورها به این مجموعه در مرحله بعد نیست، زیرا 7 قبلاً در آن موجود است. در نهایت به فاکتورهای 2، 2، 2، 2، 3 و 7 فاکتورهای گمشده 11 و 13 را از بسط عدد 143 اضافه می کنیم. حاصلضرب 2 2 2 2 3 7 11 13 را بدست می آوریم که برابر با 48 048 است.

LCM کمترین مضرب مشترک است. عددی که تمام اعداد داده شده بدون باقیمانده بر آن بخش پذیر خواهند بود.

به عنوان مثال، اگر اعداد داده شده 2، 3، 5 باشند، LCM=2*3*5=30

و اگر اعداد داده شده 2،4،8 باشد، LCM \u003d 8

NOD چیست؟

GCD بزرگترین مقسوم علیه مشترک است. عددی که می توان از آن برای تقسیم هر یک از اعداد داده شده بدون باقی مانده استفاده کرد.

منطقی است که اگر اعداد داده شده اول باشند، GCD برابر با یک است.

و اگر اعداد 2، 4، 8 داده شوند، GCD 2 است.

ما آن را به شکل کلی رنگ نمی کنیم، بلکه به سادگی راه حل را با یک مثال نشان می دهیم.

دو عدد 126 و 44 داده شده است. GCD را پیدا کنید.

سپس اگر دو عدد از فرم به ما داده شود

سپس GCD به صورت محاسبه می شود

که در آن min حداقل مقدار تمام مقادیر توان های pn است

و NOC به عنوان

که در آن max حداکثر مقدار تمام مقادیر توان های عدد pn است

با نگاهی به فرمول های بالا، می توان به راحتی ثابت کرد که GCD دو یا چند عدد برابر با یک خواهد بود، در صورتی که در بین حداقل یک جفت از مقادیر داده شده، اعداد همزمان اول وجود داشته باشد.

بنابراین، به راحتی می توان به این سوال پاسخ داد که GCD چنین اعداد 3، 25412، 3251، 7841، 25654، 7 بدون محاسبه چیزی چقدر است.

اعداد 3 و 7 هم اول هستند و بنابراین gcd=1

یک مثال را در نظر بگیرید.

سه عدد 24654، 25473 و 954 داده شده است

هر عدد به عوامل زیر تجزیه می شود

یا اگر به شکل جایگزین بنویسیم

یعنی GCD این سه عدد برابر با سه است

خوب، ما می توانیم LCM را به روشی مشابه محاسبه کنیم و برابر است با

ربات ما به شما کمک می کند GCD و LCM هر عدد صحیح، دو، سه یا ده را محاسبه کنید.

بیایید بحث را در مورد کمترین مضرب مشترک که در بخش LCM - کمترین مضرب مشترک، تعریف، مثال شروع کردیم، ادامه دهیم. در این مبحث به روش هایی برای یافتن LCM برای سه عدد یا بیشتر می پردازیم، این سوال را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد که چگونه LCM یک عدد منفی را پیدا کنیم.

Yandex.RTB R-A-339285-1

محاسبه کمترین مضرب مشترک (LCM) از طریق gcd

ما قبلاً رابطه بین کمترین مضرب مشترک و بزرگترین مقسوم علیه مشترک را ایجاد کرده ایم. حالا بیایید یاد بگیریم که چگونه LCM را از طریق GCD تعریف کنیم. ابتدا بیایید بفهمیم که چگونه این کار را برای اعداد مثبت انجام دهیم.

تعریف 1

با استفاده از فرمول LCM (a, b) \u003d a b: GCD (a, b) می توانید کمترین مضرب مشترک را از طریق بزرگترین مقسوم علیه مشترک پیدا کنید.

مثال 1

باید LCM اعداد 126 و 70 را پیدا کرد.

راه حل

بیایید a = 126، b = 70 را در نظر بگیریم. مقادیر موجود در فرمول را برای محاسبه کمترین مضرب مشترک از طریق بزرگترین مقسوم علیه مشترک LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) جایگزین کنید.

GCD اعداد 70 و 126 را پیدا می کند. برای این ما به الگوریتم اقلیدس نیاز داریم: 126 = 70 1 + 56 , 70 = 56 1 + 14 , 56 = 14 4 , از این رو gcd (126 , 70) = 14 .

بیایید LCM را محاسبه کنیم: LCM (126، 70) = 126 70: GCD (126، 70) = 126 70: 14 = 630.

پاسخ: LCM (126، 70) = 630.

مثال 2

نوک اعداد 68 و 34 را پیدا کنید.

راه حل

یافتن GCD در این مورد آسان است، زیرا 68 بر 34 بخش پذیر است. حداقل مضرب مشترک را با استفاده از فرمول محاسبه کنید: LCM (68، 34) = 68 34: GCD (68، 34) = 68 34: 34 = 68.

پاسخ: LCM(68، 34) = 68.

در این مثال از قانون برای یافتن کمترین مضرب مشترک اعداد صحیح مثبت a و b استفاده کردیم: اگر عدد اول بر عدد دوم بخش پذیر باشد، LCM این اعداد برابر با عدد اول خواهد بود.

یافتن LCM با فاکتورگیری اعداد به فاکتورهای اولیه

حال بیایید به راهی برای یافتن LCM نگاه کنیم که بر اساس تجزیه اعداد به عوامل اول است.

تعریف 2

برای یافتن کمترین مضرب مشترک، باید چند مرحله ساده را انجام دهیم:

• ما حاصل ضرب همه ضرایب اول اعدادی را که برای آنها باید LCM را پیدا کنیم، تشکیل می دهیم.
• ما همه عوامل اصلی را از محصولات به دست آمده آنها حذف می کنیم.
• حاصلضرب پس از حذف ضرایب اول مشترک برابر با LCM اعداد داده شده خواهد بود.

این روش برای یافتن کمترین مضرب مشترک بر اساس برابری LCM (a , b) = a b: GCD (a , b) است. اگر به فرمول نگاه کنید، مشخص می شود: حاصل ضرب اعداد a و b برابر است با حاصلضرب همه عواملی که در گسترش این دو عدد نقش دارند. در این حالت، GCD دو عدد برابر است با حاصلضرب تمام عوامل اولی که همزمان در فاکتورگیری این دو عدد وجود دارند.

مثال 3

ما دو عدد 75 و 210 داریم. ما می توانیم آنها را به صورت زیر در نظر بگیریم: 75 = 3 5 5و 210 = 2 3 5 7. اگر حاصل ضرب همه ضرایب دو عدد اصلی را بسازید، به دست می آورید: 2 3 3 5 5 5 7.

اگر عوامل مشترک هر دو عدد 3 و 5 را حذف کنیم، حاصلضرب شکل زیر به دست می آید: 2 3 5 5 7 = 1050. این محصول LCM ما برای اعداد 75 و 210 خواهد بود.

مثال 4

LCM اعداد را پیدا کنید 441 و 700 ، هر دو عدد را به عوامل اول تجزیه می کند.

راه حل

بیایید همه عوامل اول اعداد داده شده در شرط را پیدا کنیم:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

دو زنجیره اعداد بدست می آوریم: 441 = 3 3 7 7 و 700 = 2 2 5 5 7 .

حاصلضرب تمام عواملی که در گسترش این اعداد مشارکت داشته اند به صورت زیر خواهد بود: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. بیایید عوامل مشترک را پیدا کنیم. این عدد 7 است. ما آن را از محصول کلی حذف می کنیم: 2 2 3 3 5 5 7 7. معلوم می شود که NOC (441، 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

پاسخ: LCM (441، 700) = 44 100.

اجازه دهید یک فرمول دیگر از روش برای یافتن LCM با تجزیه اعداد به عوامل اول ارائه دهیم.

تعریف 3

قبلاً، ما از تعداد کل عوامل مشترک برای هر دو عدد حذف شدیم. حالا ما این کار را متفاوت انجام خواهیم داد:

• بیایید هر دو عدد را به عوامل اول تجزیه کنیم:
• به حاصل ضرب ضرایب اول عدد اول عوامل گمشده عدد دوم را اضافه کنید.
• حاصلضرب را بدست می آوریم که LCM مورد نظر دو عددی خواهد بود.

مثال 5

بیایید به اعداد 75 و 210 برگردیم که قبلاً در یکی از نمونه‌های قبلی به دنبال LCM بودیم. بیایید آنها را به عوامل ساده تقسیم کنیم: 75 = 3 5 5و 210 = 2 3 5 7. به حاصل ضرب عوامل 3، 5 و 5 شماره 75 فاکتورهای گمشده را اضافه کنید 2 و 7 اعداد 210 . ما گرفتیم: 2 3 5 5 7 .این LCM اعداد 75 و 210 است.

مثال 6

محاسبه LCM اعداد 84 و 648 ضروری است.

راه حل

بیایید اعداد را از شرط به عوامل اول تجزیه کنیم: 84 = 2 2 3 7و 648 = 2 2 2 3 3 3 3. به حاصل ضرب عوامل 2، 2، 3 و 7 اعداد 84 عوامل گمشده 2، 3، 3 و
3 شماره های 648 . ما محصول را دریافت می کنیم 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536 .این کمترین مضرب مشترک 84 و 648 است.

پاسخ: LCM (84، 648) = 4536.

یافتن LCM سه یا چند عدد

صرف نظر از اینکه با چند عدد سروکار داریم، الگوریتم اقدامات ما همیشه یکسان خواهد بود: ما به طور مداوم LCM دو عدد را پیدا خواهیم کرد. یک قضیه برای این مورد وجود دارد.

قضیه 1

فرض کنید اعداد صحیح داریم a 1 , a 2 , … , a k. NOC m kاز این اعداد در محاسبات متوالی m 2 = LCM (a 1 , a 2 ) , m 3 = LCM (m 2 , a 3 ) , … , m k = LCM (m k − 1 , a k) یافت می شود.

حال بیایید ببینیم که چگونه می توان این قضیه را برای مسائل خاص اعمال کرد.

مثال 7

شما باید حداقل مضرب مشترک چهار عدد 140، 9، 54 و را محاسبه کنید 250 .

راه حل

بیایید نماد را معرفی کنیم: a 1 \u003d 140 ، a 2 \u003d 9 ، a 3 \u003d 54 ، a 4 \u003d 250.

بیایید با محاسبه m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140 , 9) شروع کنیم. بیایید از الگوریتم اقلیدسی برای محاسبه GCD اعداد 140 و 9 استفاده کنیم: 140 = 9 15 + 5 , 9 = 5 1 + 4 , 5 = 4 1 + 1 , 4 = 1 4 . دریافت می کنیم: GCD(140، 9) = 1، LCM(140، 9) = 140 9: GCD(140، 9) = 140 9: 1 = 1260. بنابراین، m 2 = 1 260 .

حالا بیایید طبق همان الگوریتم محاسبه کنیم m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260 , 54). در طول محاسبات، m 3 = 3 780 بدست می آوریم.

باقی مانده است که m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250) محاسبه کنیم. ما طبق همان الگوریتم عمل می کنیم. m 4 \u003d 94 500 دریافت می کنیم.

LCM چهار عدد از شرط مثال 94500 است.

پاسخ: LCM (140، 9، 54، 250) = 94500.

همانطور که می بینید، محاسبات ساده، اما بسیار پر زحمت هستند. برای صرفه جویی در زمان، می توانید از راه دیگری بروید.

تعریف 4

ما الگوریتم اقدامات زیر را به شما پیشنهاد می کنیم:

• همه اعداد را به عوامل اول تجزیه کنید.
• به حاصل ضرب ضرایب عدد اول، عوامل گمشده را از حاصل ضرب عدد دوم اضافه کنید.
• فاکتورهای گمشده عدد سوم را به محصول به دست آمده در مرحله قبل و غیره اضافه کنید.
• حاصلضرب حاصل حداقل مضرب مشترک همه اعداد شرط خواهد بود.

مثال 8

لازم است LCM پنج عدد 84، 6، 48، 7، 143 را پیدا کنید.

راه حل

بیایید هر پنج عدد را به عوامل اول تجزیه کنیم: 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13 . اعداد اول که عدد 7 است را نمی توان در فاکتورهای اول قرار داد. چنین اعدادی با تجزیه آنها به عوامل اول همزمان است.

حالا حاصل ضرب ضرایب اول 2، 2، 3 و 7 عدد 84 را گرفته و ضرایب گمشده عدد دوم را به آنها اضافه می کنیم. عدد 6 را به 2 و 3 تبدیل کرده ایم. این عوامل قبلاً در حاصل ضرب عدد اول هستند. بنابراین، آنها را حذف می کنیم.

ما به اضافه کردن ضریب های گمشده ادامه می دهیم. به عدد 48 می رویم که از حاصل ضرب ضرایب اول آن 2 و 2 را می گیریم. سپس ضریب ساده 7 را از عدد چهارم و ضریب های 11 و 13 عدد پنجم را اضافه می کنیم. دریافت می کنیم: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48,048. این کمترین مضرب مشترک از پنج عدد اصلی است.

پاسخ: LCM (84، 6، 48، 7، 143) = 48،048.

یافتن کمترین مضرب مشترک اعداد منفی

برای یافتن کمترین مضرب مشترک اعداد منفی، ابتدا باید این اعداد با اعدادی با علامت مخالف جایگزین شوند و سپس محاسبات طبق الگوریتم های فوق انجام شود.

مثال 9

LCM(54، -34) = LCM(54، 34) و LCM(-622، -46، -54، -888) = LCM(622، 46، 54، 888).

این گونه اعمال از این جهت جایز است که اگر پذیرفته شود آو - الف- اعداد مخالف
سپس مجموعه مضرب ها آبا مجموعه مضرب یک عدد منطبق است - الف.

مثال 10

محاسبه LCM اعداد منفی ضروری است − 145 و − 45 .

راه حل

بیایید اعداد را تغییر دهیم − 145 و − 45 به اعداد مخالف خود 145 و 45 . اکنون با استفاده از الگوریتم، LCM (145، 45) = 145 45 را محاسبه می کنیم: GCD (145، 45) = 145 45: 5 = 1 305، که قبلاً GCD را با استفاده از الگوریتم اقلیدس تعیین کرده ایم.

دریافت می کنیم که LCM اعداد - 145 و − 45 برابر است 1 305 .

پاسخ: LCM (- 145، 45-) = 1 305.

اگر متوجه اشتباهی در متن شدید، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

برای درک نحوه محاسبه LCM، ابتدا باید معنای اصطلاح "چندین" را تعیین کنید.

مضرب A یک عدد طبیعی است که بدون باقیمانده بر A بخش پذیر است بنابراین می توان 15، 20، 25 و ... را مضرب 5 در نظر گرفت.

می تواند تعداد محدودی از مقسوم علیه های یک عدد خاص وجود داشته باشد، اما تعداد بی نهایت مضرب وجود دارد.

مضرب مشترک اعداد طبیعی عددی است که بدون باقیمانده بر آنها بخش پذیر باشد.

چگونه کوچکترین مضرب مشترک اعداد را پیدا کنیم

کمترین مضرب مشترک (LCM) اعداد (دو، سه یا بیشتر) کوچکترین عدد طبیعی است که به طور مساوی بر همه این اعداد بخش پذیر است.

برای یافتن NOC می توانید از چندین روش استفاده کنید.

برای اعداد کوچک، نوشتن تمام مضرب این اعداد در یک خط راحت است تا زمانی که یک مشترک در بین آنها پیدا شود. ضریب ها در رکورد با حرف بزرگ K نشان داده می شوند.

به عنوان مثال، مضرب 4 را می توان به صورت زیر نوشت:

K(4) = (8،12، 16، 20، 24، ...)

K(6) = (12، 18، 24، ...)

بنابراین، می بینید که کمترین مضرب مشترک اعداد 4 و 6 عدد 24 است. این ورودی به صورت زیر انجام می شود:

LCM(4، 6) = 24

حالا فاکتورهای مشترک هر دو عدد را بنویسید. در نسخه ما، این دو و پنج هستند. اما در موارد دیگر، این عدد می تواند یک، دو یا سه رقمی یا حتی بیشتر باشد. بعد، شما باید با مدرک کار کنید. برای هر یک از عوامل کوچکترین توان را انتخاب کنید. در مثال، این دو به توان دوم و پنج به توان اول است.

در پایان فقط باید اعداد حاصل را ضرب کنید. در مورد ما، همه چیز بسیار ساده است: دو در مجذور پنج برابر است با 20. بنابراین، عدد 20 را می توان بزرگترین عامل مشترک برای 60 و 80 نامید.

ویدیو های مرتبط

توجه داشته باشید

به یاد داشته باشید که عامل اول عددی است که فقط 2 مقسوم علیه دارد: یک و خود عدد.

مشاوره مفید

علاوه بر این روش می توانید از الگوریتم اقلیدسی نیز استفاده کنید. شرح کامل آن که به شکل هندسی ارائه شده است را می توان در کتاب «آغاز» اقلیدس یافت.

مقاله مرتبط

جمع و تفریق کسرهای طبیعی تنها در صورتی امکان پذیر است که مخرج یکسانی داشته باشند. برای اینکه هنگام آوردن آنها به مخرج مشترک، محاسبات پیچیده نشود، کوچکترین مقسوم علیه مخرج ها را پیدا کنید و محاسبه کنید.

شما نیاز خواهید داشت

• - توانایی تجزیه عدد به عوامل اول؛
• - توانایی کار با کسری.

دستورالعمل

جمع کسرها را بنویسید. سپس، کمترین مضرب مشترک آنها را پیدا کنید. برای انجام این کار، دنباله اقدامات زیر را انجام دهید: 1. هر یک از مخرج ها را در اعداد اول نشان دهید (عددی اول، عددی که بدون باقیمانده فقط بر 1 و خودش بخش پذیر است، برای مثال 2، 3، 5، 7، و غیره).2. تمام موارد ساده ای که نوشته شده اند را با نشان دادن درجه آنها گروه بندی کنید. 3. بزرگترین قدرت های هر یک از این عوامل اول را که در این اعداد رخ می دهد انتخاب کنید. 4. درجات نوشته شده را ضرب کنید.

به عنوان مثال، مخرج مشترک کسری با مخرج 15، 24 و 36 عددی خواهد بود که به این صورت محاسبه می کنید: 15=3 5; 24=2^3 3;36=2^3 3^2. بزرگترین قدرت های همه مقسوم علیه های اول این اعداد را وارد کنید: 2^3 3^2 5=360.

تقسیم کنید مخرج مشترکبرای هر کدام و مخرج کسرهای اضافه شده. اعداد آنها را در عدد حاصل ضرب کنید. زیر ویژگی مشترکبرای کسرها، کمترین سود مشترک را بنویسید که کمترین مخرج مشترک نیز باشد. در صورت حساب، اعدادی را که از ضرب هر عدد در ضریب کمترین تقسیم مشترک در مخرج کسر حاصل می شود، جمع کنید. مجموع همه اعداد و تقسیم بر کمترین مخرج مشترک عدد مورد نظر خواهد بود.

به عنوان مثال، تا 4/15، 7/24 و 11/36 این کار را انجام دهید. کمترین مخرج مشترک را پیدا کنید که 360 است. سپس تقسیم بر 360/15=24، 360/24=15، 360/36=10. عدد 4 را که مصداق کسر اول است در 24 (96=4 24)، عدد 7 را در 15 (7 15=105)، عدد 11 را در 10 ضرب کنید (11=10=110). سپس این اعداد را جمع کنید (96+105+110=301). نتیجه 4/15+7/24+11/36=301/360 را بدست می آوریم.

منابع:

• چگونه کوچکترین عدد را پیدا کنیم

اعداد صحیح مجموعه ای از اعداد ریاضی هستند که دارای برنامه عالیدر زندگی روزمره. اعداد صحیح غیر منفی هنگام تعیین تعداد هر شیء مورد استفاده قرار می گیرند. اعداد منفی- در پیام های پیش بینی آب و هوا و غیره. GCD و LCM ویژگی های طبیعی اعداد صحیح مرتبط با عملیات تقسیم هستند.

دستورالعمل

محاسبه GCD با استفاده از الگوریتم اقلیدس یا روش باینری آسان است. با توجه به الگوریتم اقلیدسی برای تعیین GCD اعداد a و b که یکی از آنها صفر نیست، دنباله ای از اعداد r_1 > r_2 > r_3 > ... > r_n وجود دارد که در آن r_1 برابر با باقی مانده است. تقسیم عدد اول بر عدد دوم و سایر اعضای دنباله برابر با باقیمانده تقسیم عضو قبلی بر قبلی هستند و عنصر ماقبل آخر بر آخرین بدون باقیمانده بخش پذیر است.

از نظر ریاضی، دنباله را می توان به صورت زیر نشان داد:
a = b*k_0 + r_1
b = r_1*k_1 + r_2
r_1 = r_2*k_2 + r_3
…
r_(n - 1) = r_n*k_n،
که در آن k_i یک ضرب عدد صحیح است.
gcd (a, b) = r_n.

مثال.
GCD (36، 120) را پیدا کنید. طبق الگوریتم اقلیدس، مضربی از 36 را از 120 کم کنید، در این حالت 120 - 36 * 3 = 12 است. اکنون مضربی از 12 را از 120 کم کنید، 120 - 12 * 10 = 0 به دست می آورید. بنابراین، gcd ( 36، 120) = 12.

الگوریتم باینری برای یافتن GCD بر اساس تئوری شیفت است. طبق این روش، GCD دو عدد دارای ویژگی های زیر است:
gcd(a, b) = 2*gcd(a/2, b/2) برای زوج a و b
gcd(a, b) = gcd(a/2, b) برای زوج a و فرد b (برعکس gcd(a, b) = gcd(a, b/2))
gcd(a, b) = gcd((a - b)/2, b) برای فرد a > b
gcd(a, b) = gcd((b - a)/2, a) برای فرد b > a
بنابراین، gcd (36، 120) = 2*gcd (18، 60) = 4*gcd (9، 30) = 4*gcd (9، 15) = 4*gcd ((15 - 9)/2=3، 9) = 4*3 = 12.

کمترین مضرب مشترک (LCM) دو عدد صحیح کوچکترین عدد صحیحی است که بر هر دو عدد اصلی بدون باقیمانده بخش پذیر است.
LCM را می توان با استفاده از GCD محاسبه کرد: LCM(a, b) = |a*b|/GCM(a, b).

روش دوم برای محاسبه LCM، تجزیه متعارف اعداد به عوامل اول است:
a = r_1^k_1*…*r_n^k_n
b = r_1^m_1*…*r_n^m_n،
که r_i اعداد اول و k_i و m_i اعداد صحیح ≥ 0 هستند.
LCM به عنوان همان فاکتورهای اول نشان داده می شود که حداکثر دو عدد به عنوان توان در نظر گرفته می شود.

مثال.
یافتن NOC (16، 20):
16 = 2^4*3^0*5^0
20 = 2^2*3^0*5^1
LCM (16، 20) = 2^4*3^0*5^1 = 16*5 = 80.