Քննության նախապատրաստում. Լոգարիթմական և էքսպոնենցիալ անհավասարությունների լուծում ռացիոնալացման մեթոդով։ Մանովի «Լոգարիթմական անհավասարությունները քննության մեջ» աշխատությունը լոգարիթմական անհավասարությունների քննական պրոֆիլի լուծում.

Բաժիններ: Մաթեմատիկա

Հաճախ լոգարիթմական անհավասարությունները լուծելիս խնդիրներ են առաջանում լոգարիթմի փոփոխական հիմքի հետ։ Այսպիսով, ձևի անհավասարություն

ստանդարտ դպրոցական անհավասարություն է: Որպես կանոն, այն լուծելու համար օգտագործվում է անցում դեպի համարժեք համակարգերի շարք.

Այս մեթոդի թերությունը յոթ անհավասարություններ լուծելու անհրաժեշտությունն է՝ չհաշված երկու համակարգ և մեկ բազմություն։ Նույնիսկ տրված քառակուսի ֆունկցիաների դեպքում պոպուլյացիայի լուծումը կարող է շատ ժամանակ պահանջել:

Այս ստանդարտ անհավասարությունը լուծելու այլընտրանքային, ավելի քիչ ժամանակատար եղանակ կարող է առաջարկվել: Դա անելու համար մենք հաշվի ենք առնում հետևյալ թեորեմը.

Թեորեմ 1. X բազմության վրա թողնենք շարունակական աճող ֆունկցիա։ Այնուհետև այս բազմության վրա ֆունկցիայի աճի նշանը կհամընկնի փաստարկի աճի նշանի հետ, այսինքն. , Որտեղ .

Նշում․ եթե X բազմության վրա շարունակական նվազող ֆունկցիա է, ապա .

Վերադառնանք անհավասարությանը։ Եկեք անցնենք տասնորդական լոգարիթմին (կարող եք գնալ ցանկացածի, որի հաստատուն հիմքը մեկից մեծ է):

Այժմ մենք կարող ենք օգտագործել թեորեմը՝ համարիչում նկատելով ֆունկցիաների աճը իսկ հայտարարի մեջ։ Այնպես որ, դա ճիշտ է

Արդյունքում, պատասխանին տանող հաշվարկների թիվը կրճատվում է մոտ կիսով չափ, ինչը խնայում է ոչ միայն ժամանակ, այլև թույլ է տալիս պոտենցիալ ավելի քիչ թվաբանական և անզգույշ սխալներ թույլ տալ:

Օրինակ 1

Համեմատելով (1)-ի հետ՝ գտնում ենք , , .

Անցնելով (2)-ին կունենանք.

Օրինակ 2

Համեմատելով (1)-ի հետ մենք գտնում ենք, , .

Անցնելով (2)-ին կունենանք.

Օրինակ 3

Քանի որ անհավասարության ձախ կողմը և-ի համար աճող ֆունկցիա է , ապա պատասխանը դրված է .

Օրինակների շարքը, որոնցում կարող է կիրառվել Terme 1-ը, կարող է հեշտությամբ ընդլայնվել, եթե հաշվի առնվի Terme 2-ը:

Թող նկարահանման հրապարակում Xֆունկցիաները, , , սահմանվում են, և այս բազմության վրա նշանները և համընկնում են, այսինքն. ապա դա կլինի արդար:

Օրինակ 4

Օրինակ 5

Ստանդարտ մոտեցմամբ օրինակը լուծվում է ըստ սխեմայի՝ արտադրյալը զրոյից փոքր է, երբ գործոնները տարբեր նշանների են։ Նրանք. Մենք դիտարկում ենք անհավասարությունների երկու համակարգերի մի շարք, որոնցում, ինչպես նշվեց սկզբում, յուրաքանչյուր անհավասարություն բաժանվում է ևս յոթի:

Եթե ​​հաշվի առնենք թեորեմ 2-ը, ապա գործոններից յուրաքանչյուրը, հաշվի առնելով (2-ը), կարող է փոխարինվել մեկ այլ ֆունկցիայով, որն ունի նույն նշանը O.D.Z-ի այս օրինակում։

Ֆունկցիայի աճը փաստարկի աճով փոխարինելու մեթոդը՝ հաշվի առնելով 2-րդ թեորեմը, շատ հարմար է ստացվում C3 USE-ի տիպիկ խնդիրներ լուծելիս։

Օրինակ 6

Օրինակ 7

. Նշենք. Ստացեք

. Նշենք, որ փոխարինումը ենթադրում է. Վերադառնալով հավասարմանը, մենք ստանում ենք .

Օրինակ 8

Մեր օգտագործած թեորեմներում ֆունկցիաների դասերի սահմանափակում չկա։ Այս հոդվածում, որպես օրինակ, թեորեմները կիրառվել են լոգարիթմական անհավասարությունների լուծման համար։ Հետևյալ մի քանի օրինակները ցույց կտան այլ տեսակի անհավասարությունների լուծման մեթոդի խոստումը:

ԼՈԳԱՐԻԹՄԱԿԱՆ ԱՆՀԱՎԱՍԱՐՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ ՕԳՏԱԳՈՐԾՄԱՆ ՄԵՋ

Սեչին Միխայիլ Ալեքսանդրովիչ

Գիտությունների փոքր ակադեմիա Ղազախստանի Հանրապետության ուսանողների համար «Փնտրող»

ՄԲՈՒ «Սովետական ​​թիվ 1 միջնակարգ դպրոց», 11 դասարան, ք. Սովետսկի սովետական ​​շրջան

Գունկո Լյուդմիլա Դմիտրիևնա, MBOU «Սովետական ​​թիվ 1 միջնակարգ դպրոց» ուսուցիչ.

Սովետսկի շրջան

Աշխատանքի նպատակը.ոչ ստանդարտ մեթոդների կիրառմամբ լոգարիթմական C3 անհավասարությունների լուծման մեխանիզմի ուսումնասիրություն, բացահայտում հետաքրքիր փաստերլոգարիթմ.

Ուսումնասիրության առարկա.

3) Սովորեք լուծել կոնկրետ լոգարիթմական C3 անհավասարություններ՝ օգտագործելով ոչ ստանդարտ մեթոդներ:

Արդյունքները:

Բովանդակություն

Ներածություն …………………………………………………………………………………….4

Գլուխ 1. Նախապատմություն…………………………………………………………………………………

Գլուխ 2. Լոգարիթմական անհավասարությունների հավաքում ………………………………… 7

2.1. Համարժեք անցումներ և ընդհանրացված ինտերվալների մեթոդ…………… 7

2.2. Ռացիոնալացման մեթոդ ……………………………………………………………………………………………………

2.3. Ոչ ստանդարտ փոխարինում…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

2.4. Առաջադրանքներ թակարդներով……………………………………………………………………………………………

Եզրակացություն ……………………………………………………………………… 30

Գրականություն…………………………………………………………………………… 31

Ներածություն

Ես սովորում եմ 11-րդ դասարանում և նախատեսում եմ ընդունվել համալսարան, որտեղ մաթեմատիկան հիմնական առարկան է: Եվ դրա համար ես շատ եմ աշխատում C մասի առաջադրանքների հետ: C3 առաջադրանքում դուք պետք է լուծեք ոչ ստանդարտ անհավասարություն կամ անհավասարությունների համակարգ, որը սովորաբար կապված է լոգարիթմների հետ: Քննությանը նախապատրաստվելիս հանդիպեցի C3-ում առաջարկվող քննական լոգարիթմական անհավասարությունների լուծման մեթոդների և տեխնիկայի բացակայության խնդրին։ Մեթոդները, որոնք ուսումնասիրվում են այս թեմայով դպրոցական ծրագրում, հիմք չեն տալիս Գ3 առաջադրանքները լուծելու համար: Մաթեմատիկայի ուսուցչուհին առաջարկեց, որ ես ինքնուրույն աշխատեմ C3 առաջադրանքների հետ՝ իր ղեկավարությամբ: Բացի այդ, ինձ հետաքրքրում էր հարցը՝ կա՞ն լոգարիթմներ մեր կյանքում։

Այս նկատառումով ընտրվել է թեման.

«Լոգարիթմական անհավասարությունները քննության մեջ»

Աշխատանքի նպատակը.ոչ ստանդարտ մեթոդներով C3 խնդիրների լուծման մեխանիզմի ուսումնասիրություն՝ լոգարիթմի վերաբերյալ հետաքրքիր փաստերի բացահայտում։

Ուսումնասիրության առարկա.

1) Գտեք անհրաժեշտ տեղեկատվությունը լոգարիթմական անհավասարությունների լուծման ոչ ստանդարտ մեթոդների մասին:

2) Գտեք լրացուցիչ տեղեկություններ լոգարիթմների մասին:

3) Սովորեք լուծել կոնկրետ C3 խնդիրներ՝ օգտագործելով ոչ ստանդարտ մեթոդներ:

Արդյունքները:

Գործնական նշանակությունը կայանում է C3 խնդիրների լուծման ապարատի ընդլայնման մեջ։ Այս նյութը կարող է օգտագործվել որոշ դասերի, շրջաններ անցկացնելու, մաթեմատիկայի ընտրովի պարապմունքների համար:

Ծրագրի արդյունքը կլինի «Լոգարիթմական C3 անհավասարություններ լուծումներով» ժողովածուն։

Գլուխ 1. Նախապատմություն

16-րդ դարում մոտավոր հաշվարկների թիվը արագորեն աճեց՝ հիմնականում աստղագիտության մեջ։ Գործիքների կատարելագործումը, մոլորակների շարժումների ուսումնասիրությունը և այլ աշխատանքները պահանջում էին հսկայական, երբեմն երկար տարիների հաշվարկներ։ Աստղագիտությունը չկատարված հաշվարկների մեջ խեղդվելու իրական վտանգի տակ էր։ Դժվարություններ առաջացան նաև այլ ոլորտներում, օրինակ՝ ապահովագրական բիզնեսում, տարբեր տոկոսային արժեքների համար անհրաժեշտ էին բարդ տոկոսադրույքների աղյուսակներ։ Հիմնական դժվարությունը բազմապատկումն էր, բազմանիշ թվերի բաժանումը, հատկապես եռանկյունաչափական մեծությունները։

Լոգարիթմների հայտնաբերումը հիմնված էր 16-րդ դարի վերջին առաջընթացների հայտնի հատկությունների վրա։ Երկրաչափական պրոգրեսիայի տերմինների կապի մասին q, q2, q3, ... և թվաբանական առաջընթացդրանց ցուցանիշներն են 1, 2, 3, ... Արքիմեդը խոսեց «Սաղմոսում». Մեկ այլ նախապայման էր աստիճանի հայեցակարգի ընդլայնումը դեպի բացասական և կոտորակային ցուցիչներ։ Բազմաթիվ հեղինակներ նշել են, որ բազմապատկումը, բաժանումը, աստիճանի բարձրացումը և արմատ հանելը էքսպոնենցիալ կերպով համապատասխանում են թվաբանությանը` նույն կարգով` գումարում, հանում, բազմապատկում և բաժանում:

Ահա լոգարիթմի գաղափարը որպես ցուցիչ:

Լոգարիթմների վարդապետության զարգացման պատմության մեջ մի քանի փուլ է անցել.

Փուլ 1

Լոգարիթմները հորինվել են ոչ ուշ, քան 1594 թվականը անկախ շոտլանդացի բարոն Նապիերի (1550-1617) կողմից, իսկ տասը տարի անց շվեյցարացի մեխանիկ Բուրգին (1552-1632): Երկուսն էլ ցանկանում էին թվաբանական հաշվարկների նոր հարմար միջոց տրամադրել, թեպետ այս խնդրին տարբեր կերպ էին մոտենում։ Նապիերը կինեմատիկորեն արտահայտեց լոգարիթմական ֆունկցիան և այդպիսով մտավ ֆունկցիայի տեսության նոր դաշտ։ Բուրգին մնաց դիսկրետ առաջընթացների դիտարկման հիման վրա։ Այնուամենայնիվ, երկուսի համար էլ լոգարիթմի սահմանումը նման չէ ժամանակակիցին: «Լոգարիթմ» (logarithmus) տերմինը պատկանում է Նապիերին։ Այն առաջացել է հունարեն բառերի համակցությունից՝ logos՝ «հարաբերություն» և ariqmo՝ «համար», որը նշանակում էր «հարաբերությունների քանակ»։ Սկզբում Նապիեն օգտագործում էր այլ տերմին՝ numeri artificiales՝ «արհեստական ​​թվեր», ի տարբերություն numeri naturalts՝ «բնական թվեր»։

1615 թվականին Լոնդոնի Գրեշ քոլեջի մաթեմատիկայի պրոֆեսոր Հենրի Բրիգսի (1561-1631) հետ զրույցում Նապիերն առաջարկեց զրո վերցնել մեկի լոգարիթմի համար, իսկ 100-ը՝ տասի լոգարիթմի համար, կամ ինչն է նույնը։ , ընդամենը 1. Ահա թե ինչպես են տպագրվել տասնորդական լոգարիթմները և Առաջին լոգարիթմական աղյուսակները։ Հետագայում Բրիգսի աղյուսակները լրացրեց հոլանդացի գրավաճառ և մաթեմատիկոս Անդրիան Ֆլակը (1600-1667): Նապիերը և Բրիգսը, չնայած նրանք եկան լոգարիթմներին բոլորից առաջ, իրենց աղյուսակները հրապարակեցին ավելի ուշ, քան մյուսները՝ 1620 թ. Նշանների լոգը և լոգը ներկայացվել են 1624 թվականին Ի. Կեպլերի կողմից: «Բնական լոգարիթմ» տերմինը ներմուծել է Մենգոլին 1659 թվականին, որին հաջորդել է Ն. Մերկատորը 1668 թվականին, իսկ լոնդոնյան ուսուցիչ Ջոն Սփադելը «Նոր լոգարիթմներ» անվան տակ հրապարակել է 1-ից 1000 թվերի բնական լոգարիթմների աղյուսակներ։

Ռուսերենում առաջին լոգարիթմական աղյուսակները հրապարակվել են 1703 թվականին։ Բայց բոլոր լոգարիթմական աղյուսակներում սխալներ են թույլ տրվել հաշվարկում։ Առաջին անսխալ աղյուսակները հրապարակվել են 1857 թվականին Բեռլինում՝ գերմանացի մաթեմատիկոս Կ. Բրեմիկերի (1804-1877) մշակման ժամանակ։

Փուլ 2

Լոգարիթմների տեսության հետագա զարգացումը կապված է անալիտիկ երկրաչափության և անսահման փոքր հաշվարկի ավելի լայն կիրառման հետ: Այդ ժամանակ հաստատվեց կապը հավասարակողմ հիպերբոլայի քառակուսի և բնական լոգարիթմի միջև։ Այս ժամանակաշրջանի լոգարիթմների տեսությունը կապված է մի շարք մաթեմատիկոսների անունների հետ։

Գերմանացի մաթեմատիկոս, աստղագետ և ինժեներ Նիկոլաուս Մերկատորն իր էսսեում

«Լոգարիթմոտեխնիկա» (1668) տալիս է մի շարք, որը տալիս է ln(x + 1) ընդլայնումը ըստ

ուժեր x:

Այս արտահայտությունը ճշգրտորեն համապատասխանում է նրա մտքի ընթացքին, թեպետ, իհարկե, նա օգտագործել է ոչ թե դ, ..., այլ ավելի ծանր խորհրդանիշներ։ Լոգարիթմական շարքի հայտնաբերմամբ փոխվեց լոգարիթմների հաշվարկման տեխնիկան. դրանք սկսեցին որոշվել անվերջ շարքերի միջոցով։ Իր «Տարրական մաթեմատիկան ավելի բարձր տեսանկյունից» դասախոսություններում, որը կարդացվել է 1907-1908 թվականներին, Ֆ. Քլայնն առաջարկել է բանաձևը օգտագործել որպես լոգարիթմների տեսության կառուցման ելակետ։

Փուլ 3

Լոգարիթմական ֆունկցիայի սահմանումը որպես հակադարձի ֆունկցիա

էքսպոնենցիալ, լոգարիթմը՝ որպես տվյալ հիմքի ցուցիչ

անմիջապես չձևակերպվեց. Լեոնհարդ Էյլերի աշխատանքը (1707-1783)

«Անվերջ փոքրերի վերլուծության ներածություն» (1748) ծառայել է որպես հետագա

լոգարիթմական ֆունկցիայի տեսության մշակում։ Այսպիսով,

Լոգարիթմների առաջին ներդրումից անցել է 134 տարի

(հաշվում ենք 1614 թվականից) մինչ մաթեմատիկոսները հանդես եկան սահմանումով

լոգարիթմի հայեցակարգը, որն այժմ դպրոցական դասընթացի հիմքն է։

Գլուխ 2. Լոգարիթմական անհավասարությունների հավաքածու

2.1. Համարժեք անցումներ և ընդհանրացված ինտերվալների մեթոդ:

Համարժեք անցումներ

եթե a > 1

եթե 0 < а < 1

Ընդհանրացված միջակայքի մեթոդ

Այս մեթոդը ամենահամընդհանուրն է գրեթե ցանկացած տեսակի անհավասարությունների լուծման համար: Լուծման սխեման ունի հետևյալ տեսքը.

1. Անհավասարությունը բերեք այնպիսի ձևի, որտեղ ֆունկցիան գտնվում է ձախ կողմում
, իսկ աջ կողմում՝ 0:

2. Գտեք ֆունկցիայի շրջանակը
.

3. Գտի՛ր ֆունկցիայի զրոները
, այսինքն՝ լուծիր հավասարումը
(և հավասարումը լուծելը սովորաբար ավելի հեշտ է, քան անհավասարությունը):

4. Իրական գծի վրա գծի՛ր ֆունկցիայի սահմանման տիրույթը և զրոները։

5. Որոշի՛ր ֆունկցիայի նշանները
ստացված ընդմիջումներով:

6. Ընտրեք այն միջակայքերը, որտեղ ֆունկցիան ընդունում է անհրաժեշտ արժեքները, և գրեք պատասխանը:

Օրինակ 1

Լուծում:

Կիրառեք միջակայքի մեթոդը

որտեղ

Այս արժեքների համար լոգարիթմների նշանների տակ գտնվող բոլոր արտահայտությունները դրական են:

Պատասխան.

Օրինակ 2

Լուծում:

1-ին ճանապարհ . ODZ-ը որոշվում է անհավասարությամբ x> 3. Նմանների համար լոգարիթմներ վերցնելը x 10-րդ բազայում մենք ստանում ենք

Վերջին անհավասարությունը կարելի էր լուծել՝ կիրառելով տարրալուծման կանոնները, այսինքն. համեմատելով գործոնները զրոյի հետ. Սակայն այս դեպքում հեշտ է որոշել ֆունկցիայի կայունության միջակայքերը

այնպես որ կարող է կիրառվել միջակայքի մեթոդը:

Գործառույթ զ(x) = 2x(x- 3.5)lgǀ x- 3ǀ շարունակական է x> 3 և անհետանում է կետերում x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 = 4. Այսպիսով, մենք որոշում ենք ֆունկցիայի կայունության միջակայքերը զ(x):

Պատասխան.

2-րդ ճանապարհ . Եկեք կիրառենք ինտերվալների մեթոդի գաղափարները ուղղակիորեն սկզբնական անհավասարության վրա:

Սրա համար հիշեցնում ենք, որ արտահայտությունները աբ- ագ և ( ա - 1)(բ- 1) ունեն մեկ նշան. Ապա մեր անհավասարությունը համար x> 3-ը համարժեք է անհավասարությանը

կամ

Վերջին անհավասարությունը լուծվում է ինտերվալ մեթոդով

Պատասխան.

Օրինակ 3

Լուծում:

Կիրառեք միջակայքի մեթոդը

Պատասխան.

Օրինակ 4

Լուծում:

2-ից սկսած x 2 - 3x+ 3 > 0 բոլոր իրականների համար x, Դա

Երկրորդ անհավասարությունը լուծելու համար օգտագործում ենք ինտերվալ մեթոդը

Առաջին անհավասարության մեջ մենք կատարում ենք փոփոխությունը

ապա մենք հասնում ենք անհավասարությանը 2y 2 - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те y, որոնք բավարարում են -0,5 անհավասարությունը< y < 1.

որտեղից, որովհետև

մենք ստանում ենք անհավասարություն

որն իրականացվում է x, որի համար 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

Այժմ, հաշվի առնելով համակարգի երկրորդ անհավասարության լուծումը, վերջապես ստանում ենք

Պատասխան.

Օրինակ 5

Լուծում:

Անհավասարությունը համարժեք է մի շարք համակարգերի

կամ

Կիրառել միջակայքի մեթոդը կամ

Պատասխանել:

Օրինակ 6

Լուծում:

Անհավասարությունը հավասարազոր է համակարգի

Թող

Հետո y > 0,

և առաջին անհավասարությունը

համակարգը ձև է ընդունում

կամ, ընդլայնելով

քառակուսի եռանկյուն գործակիցների նկատմամբ,

Կիրառելով միջակայքի մեթոդը վերջին անհավասարությանը,

մենք տեսնում ենք, որ դրա լուծումները բավարարում են պայմանը y> 0-ը կլինի բոլորը y > 4.

Այսպիսով, սկզբնական անհավասարությունը համարժեք է համակարգին.

Այսպիսով, անհավասարության լուծումները բոլորն են

2.2. ռացիոնալացման մեթոդ.

Նախկինում անհավասարության ռացիոնալացման մեթոդը լուծված չէր, հայտնի չէր։ Սա նոր ժամանակակիցն է արդյունավետ մեթոդէքսպոնենցիալ և լոգարիթմական անհավասարությունների լուծումներ» (մեջբերում Կոլեսնիկովա Ս.Ի. գրքից)
Եվ նույնիսկ եթե ուսուցիչը ճանաչում էր նրան, վախ կար, բայց արդյո՞ք USE-ի փորձագետը ճանաչում է նրան, և ինչու նրան դպրոցում չեն տալիս: Եղել են իրավիճակներ, երբ ուսուցիչը աշակերտին ասել է՝ որտեղի՞ց ես վերցրել, նստիր՝ 2։
Հիմա մեթոդն ամենուր քարոզվում է։ Իսկ փորձագետների համար կան ուղեցույցներ, որոնք կապված են այս մեթոդի հետ, և «Ստանդարտ տարբերակների ամենաամբողջական հրատարակություններում ...» C3 լուծույթում օգտագործվում է այս մեթոդը:
ՄԵԹՈԴԸ ՀՐԱՇԱԼ Է!

«Կախարդական սեղան»

Այլ աղբյուրներում

Եթե a >1 և b >1, ապա գրանցել a b >0 և (a -1)(b -1)>0;

Եթե a > 1 և 0

եթե 0<ա<1 и b >1, ապա մուտքագրեք a b<0 и (a -1)(b -1)<0;

եթե 0<ա<1 и 00 և (a -1) (b -1)>0:

Վերոնշյալ պատճառաբանությունը պարզ է, բայց նկատելիորեն պարզեցնում է լոգարիթմական անհավասարությունների լուծումը։

Օրինակ 4

log x (x 2 -3)<0

Լուծում:

Օրինակ 5

log 2 x (2x 2 -4x +6)≤log 2 x (x 2 +x)

Լուծում:

Պատասխանել. (0; 0.5) U.

Օրինակ 6

Այս անհավասարությունը լուծելու համար հայտարարի փոխարեն գրում ենք (x-1-1) (x-1), իսկ համարիչի փոխարեն արտադրյալը (x-1) (x-3-9 + x):

Պատասխանել : (3;6)

Օրինակ 7

Օրինակ 8

2.3. Ոչ ստանդարտ փոխարինում.

Օրինակ 1

Օրինակ 2

Օրինակ 3

Օրինակ 4

Օրինակ 5

Օրինակ 6

Օրինակ 7

log 4 (3 x -1) log 0,25

Կատարենք y=3 x -1 փոխարինումը; ապա այս անհավասարությունը ձև է ստանում

log 4 log 0,25
.

Որովհետեւ մատյան 0,25 = -log 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y, այնուհետև մենք վերագրում ենք վերջին անհավասարությունը որպես 2log 4 y -log 4 2 y ≤:

Կատարենք t =log 4 y փոխարինում և ստացենք t 2 -2t +≥0 անհավասարությունը, որի լուծումը միջակայքներն են - .

Այսպիսով, y-ի արժեքները գտնելու համար մենք ունենք երկու պարզագույն անհավասարությունների մի շարք
Այս հավաքածուի լուծումը 0 ինտերվալներն են<у≤2 и 8≤у<+.

Հետևաբար, սկզբնական անհավասարությունը համարժեք է երկու էքսպոնենցիալ անհավասարությունների բազմությանը,
այն է՝ ագրեգատներ

Այս բազմության առաջին անհավասարության լուծումը 0 միջակայքն է<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+. Այսպիսով, սկզբնական անհավասարությունը պահպանվում է x-ի բոլոր արժեքների համար 0 միջակայքներից<х≤1 и 2≤х<+.

Օրինակ 8

Լուծում:

Անհավասարությունը հավասարազոր է համակարգի

Երկրորդ անհավասարության լուծումը, որը որոշում է ODZ-ը, կլինի դրանց բազմությունը x,

ինչի համար x > 0.

Առաջին անհավասարությունը լուծելու համար մենք կատարում ենք փոփոխությունը

Այնուհետև մենք ստանում ենք անհավասարություն

կամ

Վերջին անհավասարության լուծումների բազմությունը գտնում ենք մեթոդով

ընդմիջումներով՝ -1< տ < 2. Откуда, возвращаясь к переменной x, ստանում ենք

կամ

Դրանցից շատերը x, որոնք բավարարում են վերջին անհավասարությունը

պատկանում է ՕՁ-ին ( x> 0), հետևաբար, համակարգի լուծումն է,

և, հետևաբար, սկզբնական անհավասարությունը:

Պատասխան.

2.4. Առաջադրանքներ թակարդներով.

Օրինակ 1

.

Լուծում.Անհավասարության ODZ-ը բոլոր x-ն է, որը բավարարում է 0 պայմանը . Հետևաբար, բոլոր x-ը 0 միջակայքից

Օրինակ 2

log 2 (2x +1-x 2)>log 2 (2x-1 +1-x)+1.. ? Բանն այն է, որ երկրորդ թիվն ակնհայտորեն ավելի մեծ է, քան

Եզրակացություն

Հեշտ չէր C3 խնդիրների լուծման հատուկ մեթոդներ գտնել տարբեր կրթական աղբյուրներից: Կատարված աշխատանքի ընթացքում ես կարողացա ուսումնասիրել բարդ լոգարիթմական անհավասարությունների լուծման ոչ ստանդարտ մեթոդներ։ Դրանք են՝ համարժեք անցումները և ընդհանրացված միջակայքերի մեթոդը, ռացիոնալացման մեթոդը , ոչ ստանդարտ փոխարինում , առաջադրանքներ թակարդներով ODZ-ի վրա: Այս մեթոդները բացակայում են դպրոցական ծրագրում։

Օգտագործելով տարբեր մեթոդներ՝ ես լուծեցի USE-ում առաջարկված 27 անհավասարություններ C մասում, այն է՝ C3: Մեթոդներով լուծումներով այս անհավասարությունները հիմք են հանդիսացել «Լոգարիթմական C3 անհավասարություններ լուծումներով» ժողովածուի համար, որը դարձել է իմ գործունեության նախագծային արդյունքը։ Հաստատվեց այն վարկածը, որ առաջ քաշեցի նախագծի սկզբում. C3 խնդիրները կարող են արդյունավետորեն լուծվել, եթե հայտնի լինեն այդ մեթոդները:

Բացի այդ, ես հայտնաբերեցի հետաքրքիր փաստեր լոգարիթմների մասին: Ինձ համար հետաքրքիր էր դա անել։ Իմ նախագծի արտադրանքը օգտակար կլինի և՛ ուսանողների, և՛ ուսուցիչների համար:

Եզրակացություններ.

Այսպիսով, նախագծի նպատակը ձեռք է բերվում, խնդիրը լուծվում է։ Եվ ես ստացել եմ նախագծային գործունեության առավել ամբողջական և բազմակողմանի փորձը աշխատանքի բոլոր փուլերում: Նախագծի վրա աշխատելու ընթացքում իմ զարգացման հիմնական ազդեցությունը եղել է մտավոր ունակությունների, տրամաբանական մտավոր գործողությունների հետ կապված գործունեության, ստեղծագործական կարողությունների զարգացման, անձնական նախաձեռնության, պատասխանատվության, հաստատակամության և ակտիվության վրա:

Հետազոտական ​​նախագիծ ստեղծելիս հաջողության երաշխիք Ես դարձել եմ՝ դպրոցական նշանակալի փորձ, տարբեր աղբյուրներից տեղեկատվություն քաղելու, հավաստիությունը ստուգելու, ըստ նշանակության դասակարգելու կարողություն։

Բացի մաթեմատիկայի անմիջական առարկայական գիտելիքներից, նա ընդլայնեց իր գործնական հմտությունները համակարգչային գիտության ոլորտում, ձեռք բերեց նոր գիտելիքներ և փորձ հոգեբանության ոլորտում, կապ հաստատեց դասընկերների հետ և սովորեց համագործակցել մեծահասակների հետ: Ծրագրի գործունեության ընթացքում ձևավորվել են կազմակերպչական, ինտելեկտուալ և հաղորդակցական ընդհանուր կրթական հմտություններ և կարողություններ։

գրականություն

1. Koryanov A. G., Prokofiev A. A. Անհավասարությունների համակարգեր մեկ փոփոխականով (տիպիկ առաջադրանքներ C3):

2. Malkova A. G. Պատրաստվում է մաթեմատիկայի միասնական պետական ​​քննությանը:

3. S. S. Սամարովա, Լոգարիթմական անհավասարությունների լուծում.

4. Մաթեմատիկա. Վերապատրաստման աշխատանքների ժողովածու՝ խմբագրված Ա.Լ. Սեմյոնովը և Ի.Վ. Յաշչենկո. -M.: MTsNMO, 2009. - 72 p.-

Հոդվածը նվիրված է 2017 թվականի մաթեմատիկայի պրոֆիլի քննությունից 15-րդ առաջադրանքների վերլուծությանը: Այս առաջադրանքում ուսանողներին առաջարկվում է լուծել անհավասարություններ, առավել հաճախ՝ լոգարիթմական: Չնայած դրանք կարող են ցուցիչ լինել։ Այս հոդվածը ներկայացնում է լոգարիթմական անհավասարությունների օրինակների վերլուծություն, ներառյալ լոգարիթմի հիմքում փոփոխական պարունակող օրինակները: Բոլոր օրինակները վերցված են մաթեմատիկայի USE առաջադրանքների բաց բանկից (պրոֆիլ), այնպես որ նման անհավասարությունները շատ հավանական է, որ հանդիպեն որպես առաջադրանք 15 քննության ժամանակ: Իդեալական է նրանց համար, ովքեր ցանկանում են սովորել, թե ինչպես լուծել առաջադրանքը 15-ի երկրորդ մասից: պրոֆիլն ՕԳՏԱԳՈՐԾԵԼ կարճ ժամանակահատվածում մաթեմատիկայի մեջ՝ քննությունից բարձր միավորներ ստանալու համար:

Մաթեմատիկայի պրոֆիլի քննությունից 15-րդ առաջադրանքների վերլուծություն

Օրինակ 1. Լուծե՛ք անհավասարությունը.

Մաթեմատիկայի միասնական պետական ​​քննության 15-րդ առաջադրանքներում (պրոֆիլ) հաճախ հանդիպում են լոգարիթմական անհավասարություններ: Լոգարիթմական անհավասարությունների լուծումը սկսվում է ընդունելի արժեքների միջակայքի սահմանմամբ։ Այս դեպքում երկու լոգարիթմների հիմքում փոփոխական չկա, կա միայն 11 թիվը, որը մեծապես հեշտացնում է առաջադրանքը։ Հետևաբար, միակ սահմանափակումը, որ ունենք այստեղ այն է, որ երկու արտահայտություններն էլ լոգարիթմի նշանի տակ դրական են.

Title="Մատուցված է QuickLaTeX.com-ի կողմից">!}

Համակարգում առաջին անհավասարությունը քառակուսի անհավասարությունն է։ Այն լուծելու համար մենք իսկապես լավ կանենք, որ ձախ կողմը ֆակտորիզացնենք: Կարծում եմ գիտեք, որ ձևի ցանկացած քառակուսի եռանկյուն Այն ֆակտորացվում է հետևյալ կերպ.

որտեղ և են հավասարման արմատները: Այս դեպքում գործակիցը 1 է (սա թվային գործակիցն է ի դիմաց): Գործակիցը նույնպես հավասար է 1-ի, իսկ գործակիցն ազատ անդամ է՝ հավասար է -20-ի։ Եռանդամի արմատները ամենահեշտ է որոշվում Վիետայի թեորեմի միջոցով: Մեր հավասարումը փոքրացված է, ինչը նշանակում է արմատների գումար և հավասար կլինի հակառակ նշանով գործակցին, այսինքն՝ -1, իսկ այս արմատների արտադրյալը հավասար կլինի գործակցին, այսինքն՝ -20։ Հեշտ է կռահել, որ արմատները կլինեն -5 և 4:

Այժմ անհավասարության ձախ կողմը կարող է գործոնավորվել՝ title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="163" style="vertical-align: -5px;"> Решаем это неравенство. График соответствующей функции — это парабола, ветви которой направлены вверх. Эта парабола пересекает ось !} X-5 և 4 կետերում: Այսպիսով, անհավասարության ցանկալի լուծումը միջակայքն է: Նրանց համար, ովքեր չեն հասկանում, թե ինչ է գրված այստեղ, մանրամասները կարող եք տեսնել տեսանյութում՝ սկսած այս պահից։ Այնտեղ կգտնեք նաև մանրամասն բացատրություն, թե ինչպես է լուծվում համակարգի երկրորդ անհավասարությունը։ Այն լուծվում է։ Ընդ որում, պատասխանը ճիշտ նույնն է, ինչ համակարգի առաջին անհավասարության դեպքում։ Այսինքն՝ վերը գրված բազմությունը անհավասարության թույլատրելի արժեքների տարածքն է։

Այսպիսով, հաշվի առնելով գործոնացումը, սկզբնական անհավասարությունը ստանում է ձև.

Օգտագործելով բանաձևը, եկեք առաջին լոգարիթմի նշանի տակ արտահայտության ուժին ավելացնենք 11, իսկ երկրորդ լոգարիթմը տեղափոխենք անհավասարության ձախ կողմը, մինչդեռ դրա նշանը փոխենք հակառակի վրա.

Կրճատումից հետո մենք ստանում ենք.

Վերջին անհավասարությունը, որը պայմանավորված է ֆունկցիայի աճով, համարժեք է անհավասարությանը , որի լուծումը միջակայքն է . Մնում է այն հատել անհավասարության թույլատրելի արժեքների տարածքի հետ, և սա կլինի ամբողջ առաջադրանքի պատասխանը։

Այսպիսով, առաջադրանքի ցանկալի պատասխանն ունի ձև.

Մենք պարզեցինք այս առաջադրանքը, այժմ մենք անցնում ենք մաթեմատիկայի միասնական պետական ​​քննության 15-րդ առաջադրանքի հաջորդ օրինակին (պրոֆիլ):

Օրինակ 2. Լուծե՛ք անհավասարությունը.

Մենք լուծումը սկսում ենք՝ որոշելով այս անհավասարության թույլատրելի արժեքների միջակայքը: Յուրաքանչյուր լոգարիթմի հիմքը պետք է լինի դրական թիվ, որը հավասար չէ 1-ի: Լոգարիթմի նշանի տակ գտնվող բոլոր արտահայտությունները պետք է դրական լինեն: Կոտորակի հայտարարը չպետք է զրո լինի: Վերջին պայմանը համարժեք է, քանի որ հակառակ դեպքում հայտարարի երկու լոգարիթմներն էլ անհետանում են: Այս բոլոր պայմանները որոշում են այս անհավասարության թույլատրելի արժեքների շրջանակը, որը տրվում է անհավասարությունների հետևյալ համակարգով.

Title="Մատուցված է QuickLaTeX.com-ի կողմից">!}

Ընդունելի արժեքների միջակայքում մենք կարող ենք օգտագործել լոգարիթմի փոխակերպման բանաձևեր անհավասարության ձախ կողմը պարզեցնելու համար։ Օգտագործելով բանաձևը ազատվել հայտարարից.

Այժմ մենք ունենք միայն բազային լոգարիթմներ: Դա արդեն ավելի հարմար է։ Այնուհետև մենք օգտագործում ենք բանաձևը, ինչպես նաև բանաձևը, որպեսզի փառքի արժանի արտահայտությունը հասցնենք հետևյալ ձևին.

Հաշվարկներում մենք օգտագործել ենք այն, ինչ գտնվում է ընդունելի արժեքների միջակայքում։ Օգտագործելով փոխարինումը, մենք հասնում ենք արտահայտությանը.

Եկեք օգտագործենք ևս մեկ փոխարինում. Արդյունքում մենք հասնում ենք հետևյալ արդյունքին.

Այսպիսով, աստիճանաբար վերադառնանք սկզբնական փոփոխականներին: Նախ փոփոխականին.