Մատրիցային բազմապատկում. օրինակներ, գործողությունների ալգորիթմ, արտադրանքի հատկություններ: Գործողություններ մատրիցներով Գումարում և հանում

Մատրիցը սահմանվում է որպես ուղղանկյուն սեղան , երկրաչափական առումով, ուղղանկյուն է՝ չափերով և . Երկու մատրիցա - երկու ուղղանկյուն. չափերով Եվ , չափերով Եվ . Մատրիցների ավելացման գործողությունը դիտարկելիս հայտնաբերվեց ուղղանկյունների չափերը համակարգելու պահանջ. =, =. Այս պահանջը ապահովում է մատրիցների փոխազդեցությունը վեկտորային համակարգերում.

=
-
- …-
- գծերի շղթա,

=
-
- …-
- սյուների շղթա,

Ընդ որում, եթե մատրիցը ներկայացված դիագրամում , ապա մատրիցը պետք է ներկայացվի նույն գծապատկերում: Բայց գլխավորը՝ մատրիցները փոխազդում են տարրերի խմբերի՝ վեկտորների հետ։

Եթե ​​մատրիցային բազմապատկման գործողությունը սահմանենք հետևյալ կերպ. · =, ապա հարց է առաջանում՝ քանի՞ տող և սյունակ ունի մատրիցը։ ? Սա որոշեց միայն երկու հնարավոր սխեմաներ մատրիցների փոխազդեցության համար դրանք բազմապատկելիս.

1* ձախ մատրիցայի տող ↔ աջ մատրիցայի սյունակ,

2* ձախ մատրիցային սյունակ ↔ աջ մատրիցային տող:

Շրջանակի համար 1* : մատրիցով . Շրջանակի համար 2* : մատրիցով կան այնքան տողեր, որքան մատրիցը , կան այնքան սյունակներ, որքան մատրիցը .

Գործնականում հաստատվել է սխեմայի կիրառումը 1* , որը կրճատվում է որպես կանոն. տող սյունակ .

Սահմանում:

Մատրիցների արտադրանք Եվ մատրիցն է ,որի տարրերը որոշվում են կապով: , բոլորի համար , , այսինքն՝ կանոնը գործում էտող սյունակ .

ՄեկնաբանությունՄատրիցների արտադրյալի սահմանումից հետևում է՝ տարր հավասար է տողի սկալյար արտադրյալին - մատրիցներ մեկ սյունակում- մատրիցներ .

Մատրիցա-մատրիցային բազմապատկման գործողության հատկությունները :

1* .
≠
– ոչ կոմուտատիվ (ոչ կոմուտատիվ);

2* .
=
=
– կոմբինացիոն (ասոցիատիվ):

3* .
=
+
– բաշխիչ (բաշխիչ):

Մեկնաբանություննկատի ունեցեք՝ սեփականության մեջ 1* ընդհանուր առմամբ, դա կարող է լինել, որ մատրիցը
գոյություն ունի, և մատրիցը
գոյություն չունի!

Մատրիցային արտադրանքի գործողության ներդրման հետ կապված հարց է առաջանում՝ ինչպես կատարել մատրիցային արտադրյալը. Եվ մատրիցի նկատմամբ փոխադրված մատրիցա ստանալու համար . Եթե ​​փոխակերպված մատրիցները նշանակենք հետևյալ կերպ.
,
Եվ
, ապա ճշմարիտ է հետևյալ թեորեմը.

1) Պատկերացրեք մատրիցների արտադրյալը.
տարրի հաշվարկման դիագրամի տեսքով մատրիցներ :

Գ

ես

2). Հաշվի առնելով մատրիցային փոխադրման սահմանումը, մենք պատկերում ենք նաև հավասարությունը
=
նմանատիպ դիագրամի տեսքով.

Գ ′

ես

Մենք տեսնում ենք՝ տարր մատրիցներ
տարրին հավասար մատրիցներ C.◄

ՄեկնաբանությունՄատրիցային փոխակերպման սահմանումը և մատրիցների արտադրյալի փոխադրման ապացուցված թեորեմը բազմիցս կօգտագործվեն վեկտորային տարածություններում գծային փոխակերպումների որոշիչները և մատրիցները դիտարկելիս:

Օրինակ 4–05 Հաշվարկել մատրիցների արտադրյալը. Գ =Ա Բ =

.

Լուծում:

Ա Եվ Բ :

Գ Բ ;

Գ Բ ;

Աղյուսակի տեսքով տեխնոլոգիական ձևանմուշի օգտագործումը թույլ կտա մշակել մատրիցների արտադրյալի հաշվարկման ալգորիթմը և պաշտպանվել հաշվարկների սխալներից: Եկեք հետևենք մատրիցայի սյունակ-1-ի հաշվարկին Գ: =
, =
.

Պատասխան. Գ=
.

Օրինակ 4–06 Հաշվարկել մատրիցների արտադրյալը. Գ =Ա Բ =

.

Լուծում:

Աղյուսակում ներկայացված է մատրիցների արտադրյալի հաշվարկման սխեման Ա Եվ Բ :

▫ հաշվարկել մատրիցայի սյունակ-1 Գ Մատրիցի վերևում մենք տեղադրում ենք մատրիցայի սյունակ-1 Բ ;

▫ հաշվարկել սյունակ-2 մատրիցը Գ Մատրիցի վերևում մենք տեղադրում ենք մատրիցի 2-րդ սյունակը Բ ;

Գ Բ ;

Սյունակ

Սյունակ

Սյունակ

Սյունակ

Սյունակ

Սյունակ

Գ:

=, =, =.

Պատասխան. =
.

Օրինակ 4–07 Գ=ԱԲ=

.

Լուծում:

Աղյուսակում ներկայացված է մատրիցների արտադրյալի հաշվարկման սխեման Ա Եվ Բ :

▫ հաշվարկել մատրիցայի սյունակ-1 Գ Մատրիցի վերևում մենք տեղադրում ենք մատրիցայի սյունակ-1 Բ ;

▫ հաշվարկել սյունակ-2 մատրիցը Գ Մատրիցի վերևում մենք տեղադրում ենք մատրիցի 2-րդ սյունակը Բ ;

▫ հաշվարկել սյունակ-3 մատրիցը Գ Մատրիցի վերևում մենք տեղադրում ենք մատրիցայի սյունակ-3 Բ ;

▫ հաշվարկել սյունակ-4 մատրիցը Գ Մատրիցի վերևում մենք տեղադրում ենք մատրիցի 4-րդ սյունակը Բ .

Սյունակ					Սյունակ	Սյունակ					Սյունակ

(Աղյուսակի շարունակություն):

Սյունակ					Սյունակ	Սյունակ					Սյունակ

Աղյուսակից տեսնում ենք պատասխանը. Եկեք հետևենք մատրիցայի սյունակ-1-ի հաշվարկին Գ:

=, =,

=, =.

Պատասխան. Գ=
.

Օրինակ 4–08 :Հաշվիր. Գ=
, Եթե Ա =
.

Լուծում:

1) Գրեք մատրիցի տողերի վեկտորների շղթա Ա:

(,0,0,...,0,...,0), (0,,0,...,0,...,0), ... , (0,0,0,...,),

և բազմապատկեք այն (սկլյար) սյունակով - մատրիցներ Ա: (0,0, 0, ... , , ..., 0): Հեշտ է տեսնել, թե ինչ կա մատրիցայում Գ=
=
սյունակ- կընդունի ձևը (0,0, 0, ... , , ..., 0): Սա նշանակում է, որ մատրիցի տողերի վեկտորների շղթան Գ =
կընդունի ձևը՝

(,0,0,...,0,...,0), (0, , ...,0), ... , (0,0, 0, ... ,0, ..., ).

2) Եթե հիմա հաշվարկենք Գ=
=
, ապա մատրիցի տողերի վեկտորների շղթան Գ =
կընդունի ձևը՝

(,0,0,...,0,...,0), (0, ,0,...,0,...,0), ... , (0,0,0,..., , ...,0), ... , (0,0, 0, ... ,0, ..., ).

3) մաթեմատիկական ինդուկցիայի մեթոդի կիրառում, մատրիցայի համար Գ =
մենք կարող ենք գրել.

(,0,0,...,0,...,0), (0, ,0,...,0,...,0), ... , (0,0,0,..., , ...,0), ... , (0,0, 0, ... ,0, ..., ).

Պատասխան. Գ=
.

Օրինակ 4–09 Ապացուցեք, որ եթե մատրիցներ ԱԵվ Բ– քառակուսի, և
≠
, ապա հետևյալ պնդումները միշտ ճշմարիտ են. a);

Լուծում:

1) Հաշվի առնելով մատրիցային բազմապատկման բաշխման հատկությունը.
=
+
, գրենք.

.

2) Հաշվի առնելով մատրիցային բազմապատկման բաշխման հատկությունը.
=
+
, գրենք.

.

Պատասխան՝ ապացուցված։

Օրինակ 4–10 Գտեք բոլոր մատրիցները, որոնք փոխակերպվում են մատրիցով. =.

Լուծում:

1) Եկեք ունենանք մատրիցա. , այնպիսին է, որ
=
. Հաշվի առնելով մատրիցային բազմապատկման կանոնը, հեշտ է տեսնել, որ այս մատրիցների բազմապատկումը հնարավոր է միայն այն դեպքում, եթե մատրիցը - քառակուսի, և նույն չափի, ինչ մատրիցը .

2) Եկեք ընդունենք. =
, և գրիր արտահայտությունը
=
:

Գ=ԱԲ.

Սյունակ

ա

դ

է

Սյունակ

Սյունակ

բ

ե

հ

Սյունակ

Սյունակ

գ

զ

կ

Սյունակ

3 ա + դ

3 բ + ե

3 գ + զ

3 դ + է

3 ե + հ

3 զ + կ

3 է

3 հ

3 կ

Աղյուսակից տեսնում ենք պատասխանը.

3) Այժմ գրենք արտահայտությունը
=
:

Աղյուսակում ներկայացված է մատրիցների արտադրյալի հաշվարկման սխեման Դ=ԲԱ.

Սյունակ

Սյունակ

Սյունակ

Սյունակ

Սյունակ

Սյունակ

ա

բ

գ

3 ա

ա

բ

գ

ա + 3 բ

ա

բ

գ

բ + 3 գ

դ

ե

զ

3 դ

դ

ե

զ

d+ 3e

դ

ե

զ

e+ 3f

է

հ

կ

3 է

է

հ

կ

g+ 3ժ

է

հ

կ

h+ 3k

Աղյուսակից տեսնում ենք պատասխանը.

4) Եկեք օգտագործենք հավասարությունը.
→ ստանում ենք հավասարումներ մատրիցը հաշվելու համար :

3 ա + դ =3 ա → դ =0; 3 դ + է =3 դ → է =0; 3 բ + ե =a+ 3b → ե =ա ; 3 ե + հ =d+ 3e → հ =0;

3 հ =g+ 3ժ → հ =հ ; 3 գ + զ =b+ 3c → զ =բ ; 3 զ + կ =e+ 3f → կ =ե ; 3 կ =h+ 3k → հ =0.

5) Օգտագործելով ստացված հավասարումները՝ կարող ենք գրել. =
.

Պատասխան. =
.

Օրինակ 4–11 :Ապացույց, որ մատրիցը. =
բավարարում է հավասարումը. –(ա+դ) x+Հայտարարություն–
=0.

Լուծում:

ՄեկնաբանությունՔննարկվող օրինակը հետաքրքիր է նրանով, որ ցույց է տալիս մասնակցությունը մատրիցային արտահայտությանը սկալյար մատրիցներ:
=
.

1) Հաշվենք.
=

=
;
=
.

2) Մատրիցը փոխարինեք հավասարման մեջ : , կամ:

–
+
=
.

Պատասխան՝ ապացուցված։

Օրինակ 4–12 :Հաշվե՛ք մատրիցների արտադրյալը. Ա= (4 0 -2 3 1) և Բ=: ա) ԱԲ; բ) Բ.Ա..

ՄեկնաբանությունՔննարկվող օրինակը հետաքրքիր է նրանով, որ այն չափազանց է ակնհայտորեն ցույց է տալիս անհավասարությունը :
.

Լուծում:

Ա)
= (4·3 + 0·1 + (-2)·(-1) + 3·5 + 1·2) = (31) – մատրիցա մեկ տարրով;

բ)
=
=
.

Պատասխան՝ մատրիցներ տեքստում:

Այս ձեռնարկը կօգնի ձեզ սովորել, թե ինչպես կատարել գործողություններ մատրիցներովմատրիցների գումարում (հանում), մատրիցի փոխադրում, մատրիցների բազմապատկում, հակադարձ մատրիցայի հայտնաբերում։ Ամբողջ նյութը ներկայացված է պարզ և մատչելի ձևով, տրված են համապատասխան օրինակներ, այնպես որ նույնիսկ անպատրաստ մարդը կարող է սովորել, թե ինչպես կատարել գործողություններ մատրիցներով: Ինքնադիտարկման և ինքնաթեստավորման համար կարող եք անվճար ներբեռնել մատրիցային հաշվիչը >>>:

Կփորձեմ նվազագույնի հասցնել տեսական հաշվարկները, տեղ-տեղ հնարավոր են «մատների վրա» բացատրություններ և ոչ գիտական ​​տերմինների օգտագործում։ Կուռ տեսության սիրահարներ, խնդրում եմ քննադատությամբ չզբաղվեք, մեր խնդիրն է սովորել մատրիցներով գործողություններ կատարել.

ՍՈՒՊԵՐ ԱՐԱԳ պատրաստվելու համար թեմայի (ով է «կրակի վրա») գործում է ինտենսիվ pdf դասընթաց Մատրիցա, որոշիչ և թեստ:

Մատրիցը որոշ ուղղանկյուն աղյուսակ է տարրեր. Ինչպես տարրերմենք կդիտարկենք թվերը, այսինքն՝ թվային մատրիցները։ ՏԱՐՐտերմին է. Ցանկալի է տերմինը հիշել, այն հաճախ կհայտնվի, պատահական չէ, որ այն ընդգծելու համար օգտագործել եմ թավ տառատեսակ։

Նշանակում:մատրիցները սովորաբար նշվում են մեծ լատինատառ տառերով

Օրինակ:Դիտարկենք երկու-երեք մատրիցա.

Այս մատրիցը բաղկացած է վեցից տարրեր:

Մատրիցայի ներսում բոլոր թվերը (տարրերը) գոյություն ունեն ինքնուրույն, այսինքն, որևէ հանման մասին խոսք չկա.

Դա պարզապես թվերի աղյուսակ (հավաքածու) է:

Մենք նույնպես կհամաձայնվենք մի վերադասավորիրթվեր, եթե այլ բան նշված չէ բացատրություններում: Յուրաքանչյուր թիվ ունի իր գտնվելու վայրը և չի կարող խառնվել:

Քննարկվող մատրիցն ունի երկու տող.

և երեք սյունակ.

ՍՏԱՆԴԱՐՏերբ խոսում ենք մատրիցային չափերի մասին, ապա սկզբումնշեք տողերի քանակը, և միայն դրանից հետո սյունակների քանակը: Մենք հենց նոր բաժանեցինք երկու-երեք մատրիցան:

Եթե ​​մատրիցայի տողերի և սյունակների թիվը նույնն է, ապա մատրիցը կոչվում է. քառակուսի, Օրինակ: - երեք-երեք մատրիցա:

Եթե ​​մատրիցն ունի մեկ սյունակ կամ մեկ տող, ապա այդպիսի մատրիցներ նույնպես կոչվում են վեկտորներ.

Փաստորեն, մատրիցա հասկացությունը մեզ հայտնի է դեռ դպրոցական տարիներից, օրինակ՝ «x» և «y» կոորդինատներով կետ. Ըստ էության, կետի կոորդինատները գրվում են մեկ առ երկու մատրիցով: Ի դեպ, ահա մի օրինակ, թե ինչու է կարևոր թվերի հերթականությունը. և դրանք հարթության վրա երկու բոլորովին տարբեր կետեր են:

Հիմա անցնենք ուսումնասիրությանը գործողություններ մատրիցներով:

1) Գործել առաջին. Մատրիցից մինուսի հեռացում (մատրիցի մեջ մինուսի ներմուծում).

Եկեք վերադառնանք մեր մատրիցային . Ինչպես հավանաբար նկատել եք, այս մատրիցայում չափազանց շատ բացասական թվեր կան: Սա շատ անհարմար է մատրիցով տարբեր գործողություններ կատարելու տեսակետից, անհարմար է այդքան մինուսներ գրելը, իսկ դիզայնով ուղղակի տգեղ է թվում։

Եկեք տեղափոխենք մինուսը մատրիցից դուրս՝ փոխելով մատրիցի յուրաքանչյուր տարրի նշանը:

Զրոյին, ինչպես հասկանում եք, նշանը չի փոխվում, զրոն նույնպես զրո է Աֆրիկայում:

Հակադարձ օրինակ. . Այն տգեղ տեսք ունի:

Եկեք մատրիցում ներմուծենք մինուս՝ փոխելով մատրիցի յուրաքանչյուր տարրի նշանը:

Դե, շատ ավելի գեղեցիկ է ստացվել։ Եվ, որ ամենակարեւորն է, ԱՎԵԼԻ ՀԵՇՏ կլինի մատրիցով ցանկացած գործողություն կատարելը։ Քանի որ կա այսպիսի մաթեմատիկական ժողովրդական նշան. որքան շատ մինուսներ, այնքան ավելի շատ շփոթություն և սխալներ.

2) Գործողություն երկրորդ. Մատրիցը թվով բազմապատկելը.

Օրինակ:

Դա պարզ է, մատրիցը թվով բազմապատկելու համար անհրաժեշտ է ամենմատրիցային տարրը բազմապատկված է տրված թվով: Այս դեպքում `երեք:

Մեկ այլ օգտակար օրինակ.

- մատրիցը կոտորակով բազմապատկելը

Նախ եկեք նայենք, թե ինչ անել ԿԱՐԻՔ ՉԿԱ:

Մատրիցում կոտորակ մուտքագրելու ՊԱՐՏԻՔ ՉԷ, նախ՝ դա միայն բարդացնում է մատրիցով հետագա գործողությունները, և երկրորդ՝ դժվարացնում է ուսուցչի համար լուծումը ստուգելը (հատկապես եթե. - առաջադրանքի վերջնական պատասխանը):

Եվ հատկապես, ԿԱՐԻՔ ՉԿԱմատրիցայի յուրաքանչյուր տարր բաժանեք մինուս յոթի.

Հոդվածից Մաթեմատիկա կեղծիքների համար կամ որտեղից սկսել, մենք դա հիշում ենք տասնորդականներբարձրագույն մաթեմատիկայից ամեն կերպ փորձում են խուսափել դրանցից։

Միակ բանն այն է գերադասելի էԻնչ անել այս օրինակում, մատրիցին մինուս ավելացնելն է.

Բայց եթե միայն ԲՈԼՈՐմատրիցայի տարրերը բաժանվել են 7-ի առանց հետքի, ապա հնարավոր կլիներ (և անհրաժեշտ!) բաժանել։

Օրինակ:

Այս դեպքում դուք կարող եք ՊԵՏՔ Էբազմապատկել մատրիցայի բոլոր տարրերը , քանի որ բոլոր մատրիցային թվերը բաժանվում են 2-ի առանց հետքի.

Նշում. բարձրագույն դպրոցի մաթեմատիկայի տեսության մեջ «բաժանում» հասկացություն չկա: «Սա բաժանված է դրա վրա» ասելու փոխարեն միշտ կարող եք ասել «սա բազմապատկված է կոտորակի վրա»: Այսինքն՝ բաժանումը բազմապատկման հատուկ դեպք է։

3) Գործ երեք. Matrix Transpose.

Մատրիցը փոխադրելու համար հարկավոր է դրա տողերը գրել փոխադրված մատրիցայի սյունակներում:

Օրինակ:

Տրանսպոզիցիոն մատրիցա

Այստեղ կա միայն մեկ տող և, ըստ կանոնի, անհրաժեշտ է սյունակում գրել.

- փոխադրված մատրիցա:

Փոխադրված մատրիցը սովորաբար նշվում է վերևի աջ մասում վերևի տառով կամ պարզով:

Քայլ առ քայլ օրինակ.

Տրանսպոզիցիոն մատրիցա

Սկզբում մենք առաջին տողը վերագրում ենք առաջին սյունակում.

Այնուհետև մենք վերագրում ենք երկրորդ տողը երկրորդ սյունակում.

Եվ վերջապես, մենք երրորդ տողը վերագրում ենք երրորդ սյունակում.

Պատրաստ. Կոպիտ ասած, տրանսպոզիցիա նշանակում է մատրիցը շրջել իր կողմը։

4) Չորրորդ ակտ. Մատրիցների գումարը (տարբերությունը):.

Մատրիցների գումարը պարզ գործողություն է:
ՈՉ ԲՈԼՈՐ ՄԱՏՐԻՍՆԵՐԸ ԿԱՐԵԼԻ Է ԾԱՔԵԼ: Մատրիցների գումարում (հանում) կատարելու համար անհրաժեշտ է, որ դրանք լինեն ՆՈՒՅՆ ՉԱՓԻ։

Օրինակ, եթե տրված է երկու-երկու մատրիցա, ապա այն կարող է ավելացվել միայն երկու-երկու մատրիցով և ոչ մի այլ:

Օրինակ:

Ավելացնել մատրիցներ Եվ

Մատրիցներ ավելացնելու համար անհրաժեշտ է ավելացնել դրանց համապատասխան տարրերը:

Մատրիցների տարբերության համար կանոնը նման է. անհրաժեշտ է գտնել համապատասխան տարրերի տարբերությունը.

Օրինակ:

Գտեք մատրիցային տարբերությունը ,

Ինչպե՞ս կարող եք ավելի հեշտ լուծել այս օրինակը, որպեսզի չշփոթվեք։ Ցանկալի է ազատվել ավելորդ մինուսներից, դա անելու համար մատրիցին ավելացրեք մինուս.

Նշում. բարձրագույն դպրոցի մաթեմատիկայի տեսության մեջ «հանում» հասկացություն չկա: «Սրանից հանիր» ասելու փոխարեն միշտ կարող ես ասել «ավելացրու սա սրան»: բացասական թիվ« Այսինքն՝ հանումը գումարման հատուկ դեպք է։

5) Գործ հինգ. Մատրիցային բազմապատկում.

Ի՞նչ մատրիցներ կարելի է բազմապատկել:

Որպեսզի մատրիցը բազմապատկվի մատրիցով, անհրաժեշտ է այնպես, որ մատրիցային սյունակների թիվը հավասար լինի մատրիցային տողերի թվին.

Օրինակ:
Հնարավո՞ր է մատրիցը բազմապատկել մատրիցով:

Սա նշանակում է, որ մատրիցային տվյալները կարող են բազմապատկվել:

Բայց եթե մատրիցները վերադասավորվեն, ապա այս դեպքում բազմապատկումն այլևս հնարավոր չէ:

Հետևաբար, բազմապատկումը հնարավոր չէ.

Այնքան էլ հազվադեպ չեն հանդիպում հնարքներով առաջադրանքների, երբ աշակերտին խնդրում են բազմապատկել մատրիցներ, որոնց բազմապատկումն ակնհայտորեն անհնար է։

Հարկ է նշել, որ որոշ դեպքերում հնարավոր է բազմապատկել մատրիցները երկու եղանակով։
Օրինակ, մատրիցների համար և՛ բազմապատկելը, և՛ բազմապատկումը հնարավոր են

Սահմանում 1

Մատրիցային արտադրյալը (C = AB) գործողություն է միայն A և B համընկնող մատրիցների համար, որոնցում A մատրիցի սյունակների թիվը հավասար է B մատրիցի տողերի թվին.

C ⏟ m × n = A ⏟ m × p × B ⏟ p × n

Օրինակ 1

Տրված մատրիցներ.

• A = a (i j) չափերի m × n;
• B = b (i j) չափերի p × n

C մատրիցը, որի c i j տարրերը հաշվարկվում են հետևյալ բանաձևով.

c i j = a i 1 × b 1 j + a i 2 × b 2 j +. . . + a i p × b p j, i = 1,. . . m, j = 1, . . . մ

Օրինակ 2

Եկեք հաշվարկենք AB=BA արտադրյալները.

A = 1 2 1 0 1 2, B = 1 0 0 1 1 1

Լուծում՝ օգտագործելով մատրիցային բազմապատկման կանոնը.

A ⏟ 2 × 3 × B ⏟ 3 × 2 = 1 2 1 0 1 2 × 1 0 0 1 1 1 = 1 × 1 + 2 × 0 + 1 × 1 1 × 0 + 2 × 1 + 1 × 1 0 × 1 + 1 × 0 + 2 × 1 0 × 0 + 1 × 1 + 2 × 1 = = 2 3 2 3 ⏟ 2 × 2

B ⏟ 3 × 2 × A ⏟ 2 × 3 = 1 0 0 1 1 1 × 1 2 1 0 1 2 = 1 × 1 + 0 × 0 1 × 2 + 0 × 1 1 × 1 + 0 × 2 0 × 1 + 1 × 0 0 × 2 + 1 × 1 0 × 1 + 1 × 2 1 × 1 + 1 × 0 1 × 2 + 1 × 1 1 × 1 + 1 × 2 = 1 2 1 0 1 2 1 3 3 ⏟ 3×3

Գտնվում են A B և BA A արտադրյալները, բայց դրանք տարբեր չափերի մատրիցներ են. A B-ն հավասար չէ BA A-ին:

Մատրիցային բազմապատկման հատկությունները

Մատրիցային բազմապատկման հատկությունները.

• (A B) C = A (B C) - մատրիցային բազմապատկման ասոցիատիվություն;
• A (B + C) = A B + A C - բազմապատկման բաշխվածություն;
• (A + B) C = A C + B C - բազմապատկման բաշխվածություն;
• λ (A B) = (λ A) B

Օրինակ 1

Ստուգենք թիվ 1 հատկությունը՝ (A B) C = A (B C) :

(A × B) × A = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 × 1 0 0 2 = 19 22 43 50 × 1 0 0 2 = 19 44 43 100,

A (B × C) = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 1 0 0 2 = 1 2 3 4 × 5 12 7 16 = 19 44 43 100:

Օրինակ 2

Ստուգենք թիվ 2 հատկությունը՝ A (B + C) = A B + A C:

A × (B + C) = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 + 1 0 0 2 = 1 2 3 4 × 6 6 7 10 = 20 26 46 58,

A B + A C = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 + 1 2 3 4 × 1 0 0 2 = 19 22 43 50 + 1 4 3 8 = 20 26 46 58:

Երեք մատրիցների արտադրանք

A B C երեք մատրիցների արտադրյալը հաշվարկվում է 2 եղանակով.

• Գտեք A B և բազմապատկեք C-ով. (A B) C;
• կամ նախ գտեք B C-ն, այնուհետև բազմապատկեք A (B C):

Օրինակ 3

Մատրիցները բազմապատկել 2 եղանակով.

4 3 7 5 × - 28 93 38 - 126 × 7 3 2 1

Գործողությունների ալգորիթմ.

• գտնել 2 մատրիցների արտադրյալը;
• ապա նորից գտեք 2 մատրիցների արտադրյալը:

1). A B = 4 3 7 5 × - 28 93 38 - 126 = 4 (- 28) + 3 × 38 4 × 93 + 3 (- 126) 7 (- 28) + 5 × 38 7 × 93 + 5 (- 126) = 2 - 6 - 6 21

2). A B C = (A B) C = 2 - 6 - 6 21 7 3 2 1 = 2 × 7 - 6 × 2 2 × 3 - 6 × 1 - 6 × 7 + 21 × 2 - 6 × 3 + 21 × 1 = 2 0 0 3 .

Մենք օգտագործում ենք A B C = (A B) C բանաձևը.

1). B C = - 28 93 38 - 126 7 3 2 1 = - 28 × 7 + 93 × 2 - 28 × 3 + 93 × 1 38 × 7 - 126 × 2 38 × 3 - 126 × 1 = 2 - 14 - 1

2). A B C = (A B) C = 7 3 2 1 - 10 9 14 - 12 = 4 (- 10) + 3 × 14 4 × 9 + 3 (- 12) 7 (- 10) + 5 × 14 7 × 9 + 5 (- 12) = 2 0 0 3

Պատասխան՝ 4 3 7 5 - 28 93 38 - 126 7 3 2 1 = 2 0 0 3

Մատրիցը թվով բազմապատկելը

Սահմանում 2

A մատրիցի արտադրյալը k թվով B = A k նույն չափի մատրիցն է, որը ստացվում է սկզբնականից՝ նրա բոլոր տարրերը բազմապատկելով տրված թվով.

b i, j = k × a i, j

Մատրիցը թվով բազմապատկելու հատկությունները.

• 1 × Ա = Ա
• 0 × A = զրոյական մատրիցա
• k (A + B) = k A + k B
• (k + n) A = k A + n Ա
• (k × n) × A = k (n × A)

Օրինակ 4

Գտնենք A = 4 2 9 0 մատրիցի արտադրյալը 5-ով:

5 A = 5 4 2 9 0 5 × 4 5 × 2 5 × 9 5 × 0 = 20 10 45 0

Մատրիցը վեկտորով բազմապատկելը

Սահմանում 3

Մատրիցի և վեկտորի արտադրյալը գտնելու համար անհրաժեշտ է բազմապատկել՝ օգտագործելով «տող առ սյունակ» կանոնը.

• եթե մատրիցը բազմապատկեք սյունակի վեկտորով, մատրիցայի սյունակների թիվը պետք է համապատասխանի սյունակի վեկտորի տողերի թվին.
• Սյունակի վեկտորի բազմապատկման արդյունքը պարզապես սյունակի վեկտոր է.

A B = a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a m 1 a m 2 ⋯ a m n b 1 b 2 ⋯ b 1 n = a 11 × 1 b 1 + a 1 n × b n a 21 × b 1 + a 22 × b 2 + ⋯ + a 2 n × b n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a m 1 × b 1 + a m 2 × b 2 + ⋯ + a m n × b n = c 1 մ

• եթե մատրիցը բազմապատկեք տողի վեկտորով, ապա բազմապատկվող մատրիցը պետք է լինի բացառապես սյունակային վեկտոր, և սյունակների թիվը պետք է համապատասխանի տողերի վեկտորի սյունակների թվին.

A B = a a ⋯ a b b ⋯ b = a 1 × b 1 a 1 × b 2 ⋯ a 1 × b n a 2 × b 1 a 2 × b 2 ⋯ a 2 × b n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a n × b a n × b n = c 11 c 12 ⋯ c 1 n c 21 c 22 ⋯ c 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ c n 1 c n 2 ⋯ c n n

Օրինակ 5

Գտնենք A մատրիցի և B սյունակի վեկտորի արտադրյալը.

A B = 2 4 0 - 2 1 3 - 1 0 1 1 2 - 1 = 2 × 1 + 4 × 2 + 0 × (- 1) - 2 × 1 + 1 × 2 + 3 × (- 1) - 1 × 1 + 0 × 2 + 1 × (- 1) = 2 + 8 + 0 - 2 + 2 - 3 - 1 + 0 - 1 = 10 - 3 - 2

Օրինակ 6

Գտնենք A մատրիցի և B տողի վեկտորի արտադրյալը.

A = 3 2 0 - 1, B = - 1 1 0 2

A B = 3 2 0 1 × - 1 1 0 2 = 3 × (- 1) 3 × 1 3 × 0 3 × 2 2 × (- 1) 2 × 1 2 × 0 2 × 2 0 × (- 1) 0 × 1 0 × 0 0 × 2 1 × (- 1) 1 × 1 1 × 0 1 × 2 = - 3 3 0 6 - 2 2 0 4 0 0 0 0 - 1 1 0 2

Պատասխան՝ A B = - 3 3 0 6 - 2 2 0 4 0 0 0 0 - 1 1 0 2

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

Նախ, Ի՞ՆՉ պետք է լինի երեք մատրիցների բազմապատկման արդյունքը: Կատուն մուկ չի ծնի. Եթե ​​մատրիցային բազմապատկումը հնարավոր է, ապա արդյունքը նույնպես կլինի մատրիցա: Հմմ, լավ, իմ հանրահաշվի ուսուցիչը չի տեսնում, թե ինչպես եմ ես բացատրում հանրահաշվի կառուցվածքի փակ լինելը դրա տարրերի համեմատ =)

Երեք մատրիցների արտադրյալը կարող է հաշվարկվել երկու եղանակով.

1) գտեք և այնուհետև բազմապատկեք «ce» մատրիցով.

2) կամ սկզբում գտնել, ապա բազմապատկել:

Արդյունքներն անպայման կհամընկնեն, այն էլ տեսականորեն այս հատկությունը կոչվում է մատրիցային բազմապատկման ասոցիատիվություն:

Օրինակ 6

Մատրիցները բազմապատկեք երկու եղանակով

Ալգորիթմ լուծումներերկքայլ. մենք գտնում ենք երկու մատրիցների արտադրյալը, հետո նորից գտնում ենք երկու մատրիցների արտադրյալը:

1) Օգտագործեք բանաձևը

Գործողություն առաջին.

Գործողություն երկրորդ.

2) Օգտագործեք բանաձևը

Գործողություն առաջին.

Գործողություն երկրորդ.

Պատասխանել:

Առաջին լուծումը, իհարկե, ավելի ծանոթ և ստանդարտ է, որտեղ «ամեն ինչ կարծես թե կարգին է»։ Ի դեպ, կարգի վերաբերյալ. Քննարկվող առաջադրանքում հաճախ պատրանք է առաջանում, որ խոսքը մատրիցների ինչ-որ փոխակերպումների մասին է։ Նրանք այստեղ չեն։ Կրկին հիշեցնում եմ, որ Ընդհանրապես, ՄԱՏՐԻՍՆԵՐԸ ՉԵՆ ԿԱՐՈՂ ԼԻՆԵԼ Մշտական ​​Մշտական. Այսպիսով, երկրորդ պարբերությունում, երկրորդ քայլում, մենք կատարում ենք բազմապատկում, բայց ոչ մի դեպքում չենք անում: Սովորական թվերի դեպքում նման թիվը կաշխատի, իսկ մատրիցներով՝ ոչ։

Ասոցիատիվ բազմապատկման հատկությունը ճշմարիտ է ոչ միայն քառակուսի, այլև կամայական մատրիցների համար, քանի դեռ դրանք բազմապատկվում են.

Օրինակ 7

Գտե՛ք երեք մատրիցների արտադրյալը

Սա ձեզ համար օրինակ է ինքնուրույն լուծելու համար։ Նմուշի լուծույթում հաշվարկներն իրականացվում են երկու եղանակով՝ վերլուծել, թե որ ճանապարհն է ավելի շահավետ և կարճ:

Մատրիցային բազմապատկման ասոցիատիվ հատկությունը կիրառվում է նաև ավելի մեծ թվով գործոնների վրա։

Հիմա ժամանակն է վերադառնալու մատրիցների հզորություններին: Մատրիցայի հրապարակը դիտարկվում է հենց սկզբում և օրակարգում է։