Perkalian matriks: contoh, algoritma tindakan, properti produk. Operasi dengan matriks Penjumlahan dan pengurangan

Matriks didefinisikan sebagai meja persegi panjang , secara geometris, adalah persegi panjang dengan dimensi dan . Dua matriks – dua persegi panjang: dengan dimensi Dan , dengan dimensi Dan . Saat mempertimbangkan operasi penjumlahan matriks, ditemukan persyaratan untuk mengoordinasikan ukuran persegi panjang: =, =. Persyaratan ini memastikan interaksi matriks dalam sistem vektor:

=
-
- …-
– rangkaian garis,

=
-
- …-
– rantai kolom,

Apalagi jika matriksnya disajikan dalam diagram , lalu matriksnya harus disajikan dalam diagram yang sama. Tapi, yang utama: matriks berinteraksi dengan kelompok elemen - vektor!

Jika kita mendefinisikan operasi perkalian matriks sebagai: · =, kemudian timbul pertanyaan: berapa banyak baris dan kolom yang dimiliki matriks tersebut? ? Ini hanya menentukan dua kemungkinan skema interaksi matriks ketika mengalikannya:

1* : baris matriks kiri ↔ kolom matriks kanan,

2* : kolom matriks kiri ↔ baris matriks kanan.

Untuk sirkuit 1* : dalam matriks . Untuk sirkuit 2* : dalam matriks baris sebanyak matriks , jumlah kolomnya sama banyaknya dengan matriks .

Penggunaan skema ini telah menjadi kenyataan dalam praktiknya 1* , yang disingkat aturan: kolom baris .

Definisi:

Produk matriks Dan adalah matriksnya ,yang unsur-unsurnya ditentukan oleh relasinya:
, untuk semua
,
, artinya, aturan tersebut berlakukolom baris .

Komentar: Dari pengertian hasil kali matriks sebagai berikut: elemen sama dengan hasil kali skalar string - matriks per kolom- matriks .

Sifat-sifat operasi perkalian matriks-matriks :

1* .
≠
– tidak komutatif (tidak komutatif);

2* .
=
=
– kombinasional (asosiatif).

3* .
=
+
– distributif (distributif).

Komentar: perlu diingat: di properti 1* secara umum mungkin itu matriks
ada, dan matriks
tidak ada!

Sehubungan dengan pengenalan operasi perkalian matriks, timbul pertanyaan: bagaimana cara melakukan perkalian matriks Dan untuk mendapatkan matriks yang ditransposisikan terhadap matriks tersebut . Jika kita menyatakan matriks yang ditransposisikan sebagai:
,
Dan
, maka teorema berikut ini benar.

1) Bayangkan hasil kali matriks:
dalam bentuk diagram perhitungan elemen matriks :

Saya

2). Dengan mempertimbangkan definisi transposisi matriks, kami juga menggambarkan persamaannya
=
dalam bentuk diagram serupa:

C ′

Saya

Kita melihat: elemen matriks
sama dengan elemen matriks C.◄

Komentar: Definisi transposisi matriks dan teorema transposisi suatu produk matriks yang telah terbukti akan digunakan berulang kali ketika mempertimbangkan determinan dan matriks transformasi linier dalam ruang vektor.

Contoh 4–05 : Menghitung hasil kali matriks: C =A B =

.

Larutan:

A Dan B :

C B ;

Menggunakan templat teknologi dalam bentuk tabel akan memungkinkan Anda menyusun algoritma untuk menghitung produk matriks dan melindungi dari kesalahan dalam perhitungan. Mari kita telusuri perhitungan kolom-1 matriks tersebut C: =
, =
.

Menjawab: C=
.

Contoh 4–06 : Menghitung hasil kali matriks: C =A B =

.

Larutan:

Tabel menunjukkan skema penghitungan produk matriks A Dan B :

▫ untuk menghitung kolom-1 suatu matriks C di atas matriks kita tempatkan kolom-1 matriks B ;

▫ untuk menghitung matriks kolom-2 C di atas matriks kita tempatkan kolom ke-2 matriks B ;

C B ;

Kolom

=, =, =.

Menjawab: =
.

Contoh 4–07 C=AB=

.

Larutan:

Tabel menunjukkan skema penghitungan produk matriks A Dan B :

▫ untuk menghitung kolom-1 suatu matriks C di atas matriks kita tempatkan kolom-1 matriks B ;

▫ untuk menghitung matriks kolom-2 C di atas matriks kita tempatkan kolom ke-2 matriks B ;

▫ untuk menghitung matriks kolom-3 C di atas matriks kita tempatkan kolom ke-3 matriks B ;

▫ untuk menghitung matriks kolom-4 C di atas matriks kita tempatkan kolom ke-4 matriks B .

Kolom	Kolom	Kolom	Kolom

(Tabel lanjutan).

Kolom	Kolom	Kolom	Kolom

Dari tabel kita melihat jawabannya. Mari kita telusuri perhitungan kolom-1 matriks tersebut C:

=, =,

=, =.

Menjawab: C=
.

Contoh 4–08 :Menghitung: C=
, Jika A =
.

Larutan:

1) Tuliskan rantai vektor baris matriks A:

(,0,0,...,0,...,0), (0,,0,...,0,...,0), ... , (0,0,0,...,),

dan kalikan (secara skalar) dengan kolom - matriks A: (0,0, 0, ... , , ...,0). Sangat mudah untuk melihat apa yang ada di matriks C=
=
kolom- akan berbentuk (0,0, 0, ... , , ...,0). Artinya rantai vektor baris matriks C =
akan berbentuk:

(,0,0,...,0,...,0), (0, , ...,0), ... , (0,0, 0, ... ,0, ..., ).

2) Jika sekarang kita menghitung C=
=
, maka rantai vektor baris matriks C =
akan berbentuk:

(,0,0,...,0,...,0), (0, ,0,...,0,...,0), ... , (0,0,0,..., , ...,0), ... , (0,0, 0, ... ,0, ..., ).

3) Menggunakan metode induksi matematika, untuk matriks C =
kita dapat menulis:

(,0,0,...,0,...,0), (0, ,0,...,0,...,0), ... , (0,0,0,..., , ...,0), ... , (0,0, 0, ... ,0, ..., ).

Menjawab: C=
.

Contoh 4–09 : Buktikan jika matriks A Dan B– persegi, dan
≠
, maka pernyataan berikut ini selalu benar: a);

Larutan:

1) Memperhatikan sifat distribusi perkalian matriks:
=
+
, Mari menulis:

2) Memperhatikan sifat distribusi perkalian matriks:
=
+
, Mari menulis:

Jawaban: terbukti.

Contoh 4–10 : Temukan semua matriks yang berpindah-pindah dengan matriks tersebut: =.

Larutan:

1) Mari kita punya matriks: , seperti yang
=
. Dengan memperhatikan aturan perkalian matriks, mudah untuk melihat bahwa perkalian matriks-matriks ini hanya mungkin jika matriksnya - persegi, dan berdimensi sama dengan matriks .

2) Mari kita terima: =
, dan tuliskan ekspresinya
=
:

C=AB.

Kolom

3 A + D

3 B + e

3 C + F

3 D + G

3 e + H

3 F + k

3 G

3 H

3 k

Dari tabel kita melihat jawabannya.

3) Sekarang mari kita tuliskan ekspresi tersebut
=
:

Tabel menunjukkan skema penghitungan produk matriks D=BA.

Kolom

3 A

A + 3 B

B + 3 C

3 D

hari+ 3e

e+ 3f

3 G

g+ 3 jam

jam+ 3k

Dari tabel kita melihat jawabannya.

4) Mari kita gunakan persamaan:
→ kita memperoleh persamaan untuk menghitung matriks :

3 A + D =3 A → D =0; 3 D + G =3 D → G =0; 3 B + e =a+ 3b → e =A ; 3 e + H =hari+ 3e → H =0;

3 H =g+ 3 jam → H =H ; 3 C + F =b+ 3c → F =B ; 3 F + k =e+ 3f → k =e ; 3 k =jam+ 3k → H =0.

5) Dengan menggunakan persamaan yang dihasilkan, kita dapat menulis: =
.

Menjawab: =
.

Contoh 4–11 :Buktikan bahwa matriksnya: =
memenuhi persamaan: –(A+D) X+iklan–
=0.

Larutan:

Komentar: contoh yang dimaksud menarik karena menunjukkan partisipasi dalam ekspresi matriks skalar matriks:
=
.

1) Mari kita hitung:
=

=
;
=
.

2) Substitusikan matriks tersebut ke dalam persamaan : , atau:

–
+
=
.

Jawaban: terbukti.

Contoh 4–12 :Hitung hasil kali matriks: A= (4 0 -2 3 1) dan B=: a) AB; B) B.A..

Komentar: contoh yang dipertimbangkan menarik karena sangat luar biasa jelas menunjukkan ketimpangan :
.

Larutan:

A)
= (4·3 + 0·1 + (-2)·(-1) + 3·5 + 1·2) = (31) – matriks dengan satu elemen;

B)
=
=
.

Jawaban: matriks dalam teks.

Panduan ini akan membantu Anda mempelajari cara melakukannya operasi dengan matriks: penjumlahan (pengurangan) matriks, transposisi suatu matriks, perkalian matriks, mencari invers matriks. Semua materi disajikan dalam bentuk yang sederhana dan mudah diakses, contoh-contoh yang relevan diberikan, sehingga orang yang tidak siap pun dapat mempelajari cara melakukan tindakan dengan matriks. Untuk self-monitoring dan self-testing, Anda dapat mendownload kalkulator matriks secara gratis >>>.

Saya akan mencoba meminimalkan perhitungan teoritis; di beberapa tempat penjelasan “dengan jari” dan penggunaan istilah-istilah non-ilmiah dimungkinkan. Pecinta teori yang solid, mohon jangan terlibat dalam kritik, tugas kami adalah belajar melakukan operasi dengan matriks.

Untuk persiapan SUPER CEPAT tentang topik (siapa yang “on fire”) ada kursus pdf intensif Matriks, determinan dan tes!

Matriks adalah tabel persegi panjang dari beberapa tabel elemen. Sebagai elemen kita akan mempertimbangkan angka, yaitu matriks numerik. ELEMEN adalah sebuah istilah. Disarankan untuk mengingat istilah tersebut, akan sering muncul, bukan kebetulan saya menggunakan font tebal untuk menyorotnya.

Penamaan: matriks biasanya dilambangkan dengan huruf latin kapital

Contoh: Pertimbangkan matriks dua-kali-tiga:

Matriks ini terdiri dari enam elemen:

Semua bilangan (elemen) di dalam matriks ada dengan sendirinya, yaitu tidak ada pembicaraan tentang pengurangan apa pun:

Itu hanya tabel (kumpulan) angka!

Kami juga akan setuju jangan mengatur ulang nomor, kecuali dinyatakan lain dalam penjelasan. Setiap nomor memiliki lokasinya sendiri dan tidak dapat diacak!

Matriks yang dimaksud memiliki dua baris:

dan tiga kolom:

STANDAR: ketika berbicara tentang ukuran matriks, maka pertama menunjukkan jumlah baris, dan baru kemudian jumlah kolom. Kami baru saja memecah matriks dua per tiga.

Jika jumlah baris dan kolom suatu matriks sama, maka matriks tersebut disebut persegi, Misalnya: – matriks tiga kali tiga.

Jika suatu matriks mempunyai satu kolom atau satu baris, maka matriks tersebut disebut juga vektor.

Sebenarnya kita sudah mengenal konsep matriks sejak di sekolah, perhatikan misalnya suatu titik dengan koordinat “x” dan “y”: . Intinya, koordinat suatu titik dituliskan ke dalam matriks satu-dua. Omong-omong, berikut adalah contoh mengapa urutan angka penting: dan merupakan dua titik yang sangat berbeda pada bidang.

Sekarang mari kita beralih ke belajar operasi dengan matriks:

1) Babak pertama. Menghapus minus dari matriks (memasukkan minus ke dalam matriks).

Mari kita kembali ke matriks kita . Seperti yang mungkin Anda perhatikan, ada terlalu banyak bilangan negatif dalam matriks ini. Ini sangat merepotkan dalam hal melakukan berbagai tindakan dengan matriks, tidak nyaman untuk menulis begitu banyak kekurangan, dan desainnya terlihat jelek.

Mari kita pindahkan tanda minus ke luar matriks, dengan mengubah tanda SETIAP elemen matriks:

Pada angka nol, seperti yang Anda pahami, tandanya tidak berubah; nol juga berarti nol di Afrika.

Contoh sebaliknya: . Kelihatannya jelek.

Mari kita masukkan tanda minus ke dalam matriks dengan mengubah tanda SETIAP elemen matriks:

Ternyata jauh lebih bagus. Dan, yang paling penting, akan LEBIH MUDAH untuk melakukan tindakan apa pun dengan matriks tersebut. Karena ada tanda rakyat matematika: semakin banyak minusnya, semakin banyak kebingungan dan kesalahan.

2) Babak kedua. Mengalikan matriks dengan angka.

Contoh:

Sederhana saja, untuk mengalikan matriks dengan angka, Anda memerlukannya setiap elemen matriks dikalikan dengan bilangan tertentu. Dalam hal ini - tiga.

Contoh berguna lainnya:

– mengalikan matriks dengan pecahan

Pertama mari kita lihat apa yang harus dilakukan TIDAK DIBUTUHKAN:

TIDAK PERLU memasukkan pecahan ke dalam matriks, pertama, hanya mempersulit tindakan selanjutnya dengan matriks, dan kedua, menyulitkan guru untuk memeriksa penyelesaiannya (apalagi jika – jawaban akhir tugas).

Dan khususnya, TIDAK DIBUTUHKAN bagilah setiap elemen matriks dengan dikurangi tujuh:

Dari artikel tersebut Matematika untuk boneka atau harus mulai dari mana, kami ingat itu desimal dalam matematika tingkat tinggi mereka berusaha menghindarinya dengan segala cara yang mungkin.

Satu-satunya hal adalah lebih disukai Apa yang harus dilakukan dalam contoh ini adalah menambahkan tanda minus pada matriks:

Tapi jika saja SEMUA elemen matriks dibagi 7 tanpa jejak, maka akan mungkin (dan perlu!) untuk membagi.

Contoh:

Dalam hal ini, Anda bisa PERLU kalikan semua elemen matriks dengan , karena semua bilangan matriks habis dibagi 2 tanpa jejak.

Catatan: dalam teori matematika SMA tidak ada konsep “pembagian”. Daripada mengatakan “ini dibagi itu”, Anda selalu bisa mengatakan “ini dikalikan dengan pecahan”. Artinya, pembagian adalah kasus khusus perkalian.

3) Babak ketiga. Transpos Matriks.

Untuk melakukan transposisi matriks, Anda perlu menuliskan baris-barisnya ke dalam kolom-kolom matriks yang ditransposisikan.

Contoh:

Ubah urutan matriks

Hanya ada satu baris di sini dan menurut aturan, perlu ditulis dalam kolom:

– matriks yang ditransposisikan.

Matriks yang ditransposisi biasanya ditandai dengan superskrip atau bilangan prima di kanan atas.

Contoh langkah demi langkah:

Ubah urutan matriks

Pertama kita tulis ulang baris pertama menjadi kolom pertama:

Kemudian kita tulis ulang baris kedua ke kolom kedua:

Dan terakhir, kita tulis ulang baris ketiga menjadi kolom ketiga:

Siap. Secara kasar, transpose berarti memutar matriks pada sisinya.

4) Babak keempat. Jumlah (selisih) matriks.

Penjumlahan matriks adalah operasi sederhana.
TIDAK SEMUA MATRIK DAPAT DILIPAT. Untuk melakukan penjumlahan (pengurangan) matriks, ukurannya harus SAMA.

Misalnya, jika diberikan matriks dua-dua, maka matriks tersebut hanya dapat dijumlahkan dengan matriks dua-dua dan tidak ada yang lain!

Contoh:

Tambahkan matriks Dan

Untuk menjumlahkan matriks, Anda perlu menjumlahkan elemen-elemen yang bersesuaian:

Untuk selisih matriks aturannya serupa, perlu untuk menemukan perbedaan dari elemen-elemen yang bersesuaian.

Contoh:

Temukan perbedaan matriks ,

Bagaimana cara menyelesaikan contoh ini dengan lebih mudah agar tidak bingung? Dianjurkan untuk menghilangkan minus yang tidak perlu; untuk melakukan ini, tambahkan minus ke matriks:

Catatan: dalam teori matematika SMA tidak ada konsep “pengurangan”. Daripada mengatakan “kurangi ini dari ini”, Anda selalu dapat mengatakan “tambahkan ini ke ini”. angka negatif" Artinya, pengurangan adalah kasus khusus penjumlahan.

5) Babak lima. Perkalian matriks.

Matriks apa saja yang dapat dikalikan?

Agar suatu matriks dapat dikalikan dengan suatu matriks, maka perlu sehingga jumlah kolom matriks sama dengan jumlah baris matriks.

Contoh:
Apakah suatu matriks dapat dikalikan dengan matriks?

Artinya data matriks dapat dikalikan.

Tetapi jika matriks-matriksnya disusun ulang, maka dalam hal ini perkalian tidak mungkin lagi!

Oleh karena itu, perkalian tidak dapat dilakukan:

Tidak jarang kita menjumpai tugas-tugas yang mengandung trik, ketika siswa diminta mengalikan matriks yang jelas-jelas tidak mungkin untuk dikalikan.

Perlu dicatat bahwa dalam beberapa kasus, matriks dapat dikalikan dengan kedua cara.
Misalnya, untuk matriks, perkalian dan perkalian dimungkinkan

Definisi 1

Hasil kali matriks (C = AB) adalah operasi hanya untuk matriks A dan B yang bersesuaian, dimana jumlah kolom matriks A sama dengan jumlah baris matriks B:

C ⏟ m × n = A ⏟ m × p × B ⏟ p × n

Contoh 1

Matriks yang diberikan:

A = a (i j) berdimensi m × n;
B = b (i j) ukuran p × n

Matriks C yang unsur c i j dihitung dengan rumus sebagai berikut:

c saya j = a saya 1 × b 1 j + a saya 2 × b 2 j + . . . + a saya p × b p j , saya = 1 , . . . m, j = 1, . . . M

Contoh 2

Mari kita hitung hasil kali AB=BA:

SEBUAH = 1 2 1 0 1 2 , B = 1 0 0 1 1 1

Penyelesaian menggunakan aturan perkalian matriks:

A ⏟ 2 × 3 × B ⏟ 3 × 2 = 1 2 1 0 1 2 × 1 0 0 1 1 1 = 1 × 1 + 2 × 0 + 1 × 1 1 × 0 + 2 × 1 + 1 × 1 0 × 1 + 1 × 0 + 2 × 1 0 × 0 + 1 × 1 + 2 × 1 = = 2 3 2 3 ⏟ 2 × 2

B ⏟ 3 × 2 × A ⏟ 2 × 3 = 1 0 0 1 1 1 × 1 2 1 0 1 2 = 1 × 1 + 0 × 0 1 × 2 + 0 × 1 1 × 1 + 0 × 2 0 × 1 + 1 × 0 0 × 2 + 1 × 1 0 × 1 + 1 × 2 1 × 1 + 1 × 0 1 × 2 + 1 × 1 1 × 1 + 1 × 2 = 1 2 1 0 1 2 1 3 3 ⏟ 3×3

Hasil kali A B dan BA A ditemukan, tetapi keduanya merupakan matriks dengan ukuran berbeda: A B tidak sama dengan BA A.

Sifat-sifat perkalian matriks

Sifat-sifat perkalian matriks:

(A B) C = A (BC) - asosiatif perkalian matriks;
A (B + C) = A B + A C - distributivitas perkalian;
(A + B) C = A C + B C - distributivitas perkalian;
λ (A B) = (λ A) B

Contoh 1

Mari kita periksa properti No. 1: (A B) C = A (BC) :

(A × B) × A = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 × 1 0 0 2 = 19 22 43 50 × 1 0 0 2 = 19 44 43 100,

A (B × C) = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 1 0 0 2 = 1 2 3 4 × 5 12 7 16 = 19 44 43 100.

Contoh 2

Mari kita periksa sifat No. 2: A (B + C) = A B + A C:

A × (B + C) = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 + 1 0 0 2 = 1 2 3 4 × 6 6 7 10 = 20 26 46 58,

A B + AC = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 + 1 2 3 4 × 1 0 0 2 = 19 22 43 50 + 1 4 3 8 = 20 26 46 58.

Produk dari tiga matriks

Hasil kali tiga matriks A B C dihitung dengan 2 cara:

cari A B dan kalikan dengan C: (A B) C;
atau cari dulu B C, lalu kalikan A (BC).

Contoh 3

Kalikan matriks dengan 2 cara:

4 3 7 5 × - 28 93 38 - 126 × 7 3 2 1

Algoritma tindakan:

temukan produk dari 2 matriks;
kemudian cari lagi hasil kali 2 matriks.

1). A B = 4 3 7 5 × - 28 93 38 - 126 = 4 (- 28) + 3 × 38 4 × 93 + 3 (- 126) 7 (- 28) + 5 × 38 7 × 93 + 5 (- 126 ) = 2 - 6 - 6 21

2). A B C = (A B) C = 2 - 6 - 6 21 7 3 2 1 = 2 × 7 - 6 × 2 2 × 3 - 6 × 1 - 6 × 7 + 21 × 2 - 6 × 3 + 21 × 1 = 2 0 0 3 .

Kita menggunakan rumus A B C = (A B) C:

1). B C = - 28 93 38 - 126 7 3 2 1 = - 28 × 7 + 93 × 2 - 28 × 3 + 93 × 1 38 × 7 - 126 × 2 38 × 3 - 126 × 1 = - 10 9 14 - 12

2). A B C = (A B) C = 7 3 2 1 - 10 9 14 - 12 = 4 (- 10) + 3 × 14 4 × 9 + 3 (- 12) 7 (- 10) + 5 × 14 7 × 9 + 5 (- 12) = 2 0 0 3

Jawaban: 4 3 7 5 - 28 93 38 - 126 7 3 2 1 = 2 0 0 3

Mengalikan matriks dengan angka

Definisi 2

Hasil kali matriks A dengan bilangan k adalah matriks B = A k yang berukuran sama, yang diperoleh dari matriks asal dengan mengalikan semua elemennya dengan bilangan tertentu:

b saya, j = k × a saya, j

Sifat-sifat perkalian matriks dengan bilangan:

1 × SEBUAH = SEBUAH
0 × A = matriks nol
k (A + B) = k A + k B
(k + n) SEBUAH = k SEBUAH + n SEBUAH
(k × n) × A = k (n × A)

Contoh 4

Tentukan hasil kali matriks A = 4 2 9 0 dengan 5.

5 A = 5 4 2 9 0 5 × 4 5 × 2 5 × 9 5 × 0 = 20 10 45 0

Mengalikan matriks dengan vektor

Definisi 3

Untuk mencari hasil kali matriks dan vektor, Anda perlu mengalikannya menggunakan aturan “baris demi kolom”:

jika suatu matriks dikalikan dengan vektor kolom, jumlah kolom dalam matriks harus sama dengan jumlah baris dalam vektor kolom;
Hasil perkalian vektor kolom hanyalah vektor kolom:

A B = a 11 a 12 ⋯ a 1 na 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ am 1 pagi 2 ⋯ am n b 1 b 2 ⋯ b 1 n = a 11 × b 1 + a 12 × b 2 + ⋯ + a 1 n × bn a 21 × b 1 + a 22 × b 2 + ⋯ + a 2 n × b n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ am 1 × b 1 + am 2 × b 2 + ⋯ + am n × b n = c 1 s 2 ⋯ s 1 m

jika suatu matriks dikalikan dengan vektor baris, maka matriks yang dikalikan harus berupa vektor kolom saja, dan jumlah kolomnya harus sesuai dengan jumlah kolom pada vektor baris:

A B = a a ⋯ a b b ⋯ b = a 1 × b 1 a 1 × b 2 ⋯ a 1 × bn a 2 × b 1 a 2 × b 2 ⋯ a 2 × b n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ an × b 1 an × b 2 ⋯ a n × b n = c 11 c 12 ⋯ c 1 n c 21 c 22 ⋯ c 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ c n 1 c n 2 ⋯ c n n

Contoh 5

Mari kita cari hasil kali matriks A dan vektor kolom B:

A B = 2 4 0 - 2 1 3 - 1 0 1 1 2 - 1 = 2 × 1 + 4 × 2 + 0 × (- 1) - 2 × 1 + 1 × 2 + 3 × (- 1) - 1 × 1 + 0 × 2 + 1 × (- 1) = 2 + 8 + 0 - 2 + 2 - 3 - 1 + 0 - 1 = 10 - 3 - 2

Contoh 6

Mari kita cari hasil kali matriks A dan vektor baris B:

SEBUAH = 3 2 0 - 1 , B = - 1 1 0 2

A B = 3 2 0 1 × - 1 1 0 2 = 3 × (- 1) 3 × 1 3 × 0 3 × 2 2 × (- 1) 2 × 1 2 × 0 2 × 2 0 × (- 1) 0 × 1 0 × 0 0 × 2 1 × (- 1) 1 × 1 1 × 0 1 × 2 = - 3 3 0 6 - 2 2 0 4 0 0 0 0 - 1 1 0 2

Jawab : A B = - 3 3 0 6 - 2 2 0 4 0 0 0 0 - 1 1 0 2

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter

Pertama-tama, APA hasil perkalian tiga matriks? Seekor kucing tidak akan melahirkan tikus. Jika perkalian matriks dapat dilakukan, maka hasilnya juga berupa matriks. Hmm, guru aljabar saya tidak mengerti bagaimana saya menjelaskan ketertutupan struktur aljabar relatif terhadap unsur-unsurnya =)

Hasil kali tiga matriks dapat dihitung dengan dua cara:

1) cari lalu kalikan dengan matriks “tse”: ;

2) cari dulu, lalu kalikan.

Hasilnya pasti akan sama, dan secara teori sifat ini disebut asosiatif perkalian matriks:

Contoh 6

Kalikan matriks dengan dua cara

Algoritma solusi dua langkah: kita mencari hasil kali dua matriks, lalu kita mencari lagi hasil kali dua matriks.

1) Gunakan rumusnya

Tindakan satu:

Babak kedua:

2) Gunakan rumusnya

Tindakan satu:

Babak kedua:

Menjawab:

Solusi pertama, tentu saja, lebih familiar dan standar, di mana “segala sesuatunya tampak beres.” Ngomong-ngomong, mengenai pesanan. Dalam tugas yang sedang dipertimbangkan, sering kali muncul ilusi bahwa kita sedang membicarakan semacam permutasi matriks. Mereka tidak disini. Saya ingatkan lagi hal itu Secara umum MATRIKS TIDAK BISA PERMANEN PERMANEN. Jadi, di paragraf kedua, pada langkah kedua, kita melakukan perkalian, tetapi tidak melakukan apa pun. Dengan bilangan biasa, bilangan seperti itu bisa digunakan, tetapi dengan matriks tidak.

Sifat perkalian asosiatif berlaku tidak hanya untuk persegi, tetapi juga untuk matriks sembarang - selama matriks tersebut dikalikan:

Contoh 7

Temukan produk dari tiga matriks

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri. Pada solusi sampel, perhitungan dilakukan dengan dua cara; menganalisis jalur mana yang lebih menguntungkan dan lebih pendek.

Sifat asosiatif perkalian matriks juga berlaku untuk sejumlah besar faktor.

Sekaranglah waktunya untuk kembali ke pangkat matriks. Kuadrat matriks dipertimbangkan di awal dan ada dalam agenda.