Pasirengimas vieningam valstybiniam egzaminui. Logaritminių ir eksponentinių nelygybių sprendimas racionalizacijos metodu. Manovskajos darbo "Logaritminės nelygybės vieningame valstybiniame egzamine" Vieningo valstybinio egzamino profilio logaritminių nelygybių sprendimas

Skyriai: Matematika

Dažnai sprendžiant logaritmines nelygybes, yra problemų su kintamo logaritmo baze. Taigi formos nelygybė

yra standartinė mokyklos nelygybė. Paprastai jai išspręsti naudojamas perėjimas prie lygiaverčio sistemų rinkinio:

Šio metodo trūkumas yra būtinybė išspręsti septynias nelygybes, neskaičiuojant dviejų sistemų ir vienos populiacijos. Jau naudojant šias kvadratines funkcijas, populiacijos sprendimas gali užtrukti daug laiko.

Galima pasiūlyti alternatyvų, mažiau laiko reikalaujantį būdą šiai standartinei nelygybei išspręsti. Norėdami tai padaryti, atsižvelgiame į šią teoremą.

Teorema 1. Tegul aibėje X yra nuolat didėjanti funkcija. Tada šioje aibėje funkcijos prieaugio ženklas sutaps su argumento prieaugio ženklu, t.y. , Kur .

Pastaba: jei rinkinyje X nuolat mažėja funkcija, tada .

Grįžkime prie nelygybės. Pereikime prie dešimtainio logaritmo (galite pereiti prie bet kurio, kurio pastovi bazė yra didesnė už vieną).

Dabar galite naudoti teoremą, pastebėdami funkcijų padidėjimą skaitiklyje ir vardiklyje. Taigi tai tiesa

Dėl to apytiksliai perpus sumažėja skaičiavimų, kurių metu gaunamas atsakymas, skaičius, o tai ne tik sutaupo laiko, bet ir leidžia potencialiai padaryti mažiau aritmetinių ir neatsargių klaidų.

1 pavyzdys.

Palyginus su (1) randame , , .

Pereinant prie (2), turėsime:

2 pavyzdys.

Lyginant su (1) randame , , .

Pereinant prie (2), turėsime:

3 pavyzdys.

Kadangi kairioji nelygybės pusė yra didėjanti funkcija kaip ir , tada atsakymų bus daug.

Daugelį pavyzdžių, kuriuose galima pritaikyti 1 temą, galima lengvai išplėsti, atsižvelgiant į 2 temą.

Leisk į filmavimo aikštelę X funkcijos , , , yra apibrėžtos, o šioje aibėje ženklai ir sutampa, t.y. , tada bus sąžininga.

4 pavyzdys.

5 pavyzdys.

Taikant standartinį metodą, pavyzdys sprendžiamas pagal tokią schemą: sandauga yra mažesnė už nulį, kai faktoriai yra skirtingų ženklų. Tie. nagrinėjama dviejų nelygybių sistemų aibė, kurioje, kaip nurodyta pradžioje, kiekviena nelygybė skyla į dar septynias.

Jei atsižvelgsime į 2 teoremą, tada kiekvienas veiksnys, atsižvelgiant į (2), gali būti pakeistas kita funkcija, kuri turi tą patį ženklą šiame pavyzdyje O.D.Z.

Funkcijos prieaugio pakeitimo argumento prieaugiu metodas, atsižvelgiant į 2 teoremą, pasirodo labai patogus sprendžiant tipines C3 vieningo valstybinio egzamino problemas.

6 pavyzdys.

7 pavyzdys.

. Pažymėkime. Mes gauname

. Atminkite, kad pakeitimas reiškia: . Grįžę prie lygties, gauname .

8 pavyzdys.

Mūsų naudojamose teoremose nėra jokių apribojimų funkcijų klasėms. Šiame straipsnyje, kaip pavyzdys, teoremos buvo pritaikytos sprendžiant logaritmines nelygybes. Toliau pateikti keli pavyzdžiai parodys kitų tipų nelygybių sprendimo metodo perspektyvas.

NAUDOJIMO LOGARITMINIAI NELYGYDŽIAI

Sečinas Michailas Aleksandrovičius

Mažoji mokslų akademija Kazachstano Respublikos studentams „Iskatel“

MBOU "Sovetskaya vidurinė mokykla Nr. 1", 11 klasė, miestas. Sovetsky Sovetsky rajonas

Gunko Liudmila Dmitrievna, savivaldybės biudžetinės švietimo įstaigos „Sovetskajos 1-oji vidurinė mokykla“ mokytoja

Sovetskio rajonas

Darbo tikslas: logaritminių nelygybių C3 sprendimo mechanizmo tyrimas naudojant nestandartinius metodus, identifikuojant Įdomūs faktai logaritmas

Studijų dalykas:

3) Išmokti spręsti specifines logaritmines nelygybes C3 nestandartiniais metodais.

Rezultatai:

Turinys

Įvadas…………………………………………………………………………………….4

1 skyrius. Problemos istorija…………………………………………………………5

2 skyrius. Logaritminių nelygybių rinkinys …………………………… 7

2.1. Lygiaverčiai perėjimai ir apibendrintas intervalų metodas…………… 7

2.2. Racionalizavimo metodas………………………………………………………………… 15

2.3. Nestandartinis pakeitimas………………................................................ .............. 22

2.4. Užduotys su spąstais………………………………………………………27

Išvada………………………………………………………………………………… 30

Literatūra……………………………………………………………………. 31

Įvadas

Esu 11 klasėje ir planuoju stoti į universitetą, kuriame pagrindinis dalykas yra matematika. Štai kodėl daug dirbu su užduotimis C dalyje. C3 užduotyje man reikia išspręsti nestandartinę nelygybę arba nelygybių sistemą, dažniausiai susijusią su logaritmais. Ruošdamasis egzaminui susidūriau su C3 siūlomų egzamino logaritminių nelygybių sprendimo metodų ir technikų trūkumo problema. Metodai, kurie nagrinėjami mokyklos programoje šia tema, nesuteikia pagrindo spręsti C3 uždavinius. Matematikos mokytoja man pasiūlė savarankiškai atlikti C3 užduotis, jai vadovaujant. Be to, mane domino klausimas: ar gyvenime susiduriame su logaritmais?

Atsižvelgiant į tai, buvo pasirinkta tema:

„Logaritminės nelygybės vieningame valstybiniame egzamine“

Darbo tikslas: C3 uždavinių sprendimo mechanizmo tyrimas naudojant nestandartinius metodus, identifikuojant įdomius faktus apie logaritmą.

Studijų dalykas:

1) Raskite reikiamą informaciją apie nestandartinius logaritminių nelygybių sprendimo būdus.

2) Raskite papildomos informacijos apie logaritmus.

3) Išmokti spręsti specifines C3 problemas nestandartiniais metodais.

Rezultatai:

Praktinė reikšmė yra C3 uždavinių sprendimo aparato išplėtimas. Ši medžiaga gali būti naudojama kai kuriose pamokose, būreliuose ir pasirenkamuose matematikos užsiėmimuose.

Projekto produktas bus kolekcija „C3 logaritminės nelygybės su sprendimais“.

1 skyrius. Fonas

Visą XVI amžių apytikslių skaičiavimų skaičius sparčiai didėjo, visų pirma astronomijoje. Instrumentų tobulinimas, planetų judėjimo tyrinėjimas ir kiti darbai reikalavo kolosalinių, kartais ir daugiamečių skaičiavimų. Astronomijai iškilo realus pavojus paskęsti neįgyvendintuose skaičiavimuose. Sunkumų kilo ir kitose srityse, pavyzdžiui, draudimo versle prireikė sudėtinių palūkanų lentelių įvairioms palūkanoms. Pagrindinis sunkumas buvo daugiaženklių skaičių, ypač trigonometrinių dydžių, daugyba ir dalyba.

Logaritmų atradimas buvo pagrįstas progresijų savybėmis, kurios buvo gerai žinomos iki XVI amžiaus pabaigos. Apie ryšį tarp geometrinės progresijos q, q2, q3, ... ir aritmetinė progresija jų rodikliai yra 1, 2, 3,... Archimedas kalbėjo savo „Psalmityje“. Kita būtina sąlyga buvo laipsnio sąvokos išplėtimas į neigiamus ir trupmeninius rodiklius. Daugelis autorių pažymėjo, kad daugyba, dalyba, eksponencija ir šaknų ištraukimas geometrine progresija atitinka aritmetiką – ta pačia tvarka – sudėti, atimti, dauginti ir dalyti.

Čia kilo logaritmo kaip eksponento idėja.

Logaritmų doktrinos raidos istorijoje praėjo keli etapai.

1 etapas

Logaritmus ne vėliau kaip 1594 m. savarankiškai išrado škotų baronas Napier (1550–1617), o po dešimties metų – šveicarų mechanikas Bürgi (1552–1632). Abu norėjo pateikti naują, patogią aritmetinio skaičiavimo priemonę, nors šią problemą sprendė skirtingai. Napier kinematiškai išreiškė logaritminę funkciją ir taip pateko į naują funkcijų teorijos sritį. Bürgi toliau rėmėsi atskirų progresų svarstymu. Tačiau abiejų logaritmo apibrėžimas nėra panašus į šiuolaikinį. Terminas „logaritmas“ (logaritmas) priklauso Napier. Jis atsirado sujungus graikiškus žodžius: logos - „ryšys“ ir ariqmo - „skaičius“, o tai reiškė „santykių skaičių“. Iš pradžių Napier vartojo kitą terminą: numeri mākslīgi – „dirbtiniai skaičiai“, o ne numeri naturalts – „natūralūs skaičiai“.

1615 m., kalbėdamasis su Henry Briggsu (1561–1631), matematikos profesoriumi Gresh koledže Londone, Napier pasiūlė nulį laikyti vieneto logaritmu, o 100 – dešimties logaritmu, arba, kas yra tas pats. dalykas, tik 1. Taip buvo atspausdinti dešimtainiai logaritmai ir Pirmosios logaritminės lentelės. Vėliau Briggso lenteles papildė olandų knygnešys ir matematikos entuziastas Adrianas Flaccusas (1600–1667). Napier ir Briggs, nors prie logaritmų priėjo anksčiau nei visi kiti, savo lenteles paskelbė vėliau nei kitos – 1620 m. Ženklus log ir Log 1624 metais pristatė I. Kepleris. Sąvoką „natūralus logaritmas“ 1659 m. įvedė Mengoli, o 1668 m. pasekė N. Mercator, o Londono mokytojas Johnas Speidelis paskelbė skaičių natūraliųjų logaritmų lenteles nuo 1 iki 1000 pavadinimu „Naujieji logaritmai“.

Pirmosios logaritminės lentelės rusų kalba buvo išleistos 1703 m. Tačiau visose logaritminėse lentelėse buvo skaičiavimo klaidų. Pirmosios be klaidų lentelės buvo paskelbtos 1857 metais Berlyne, jas apdorojo vokiečių matematikas K. Bremikeris (1804-1877).

2 etapas

Tolesnė logaritmų teorijos plėtra siejama su platesniu analitinės geometrijos ir begalinio mažumo skaičiavimo taikymu. Iki to laiko buvo nustatytas ryšys tarp lygiakraštės hiperbolės kvadratūros ir natūralaus logaritmo. Šio laikotarpio logaritmų teorija siejama su daugelio matematikų vardais.

Vokiečių matematikas, astronomas ir inžinierius Nikolaus Mercator savo esė

„Logaritmotechnika“ (1668) pateikia seriją, kurioje ln(x+1) išplėtimas

x laipsniai:

Šis posakis tiksliai atitinka jo minčių eigą, nors, žinoma, jis vartojo ne d, ... ženklus, o gremėzdiškesnę simboliką. Atradus logaritmines eilutes, pasikeitė logaritmų skaičiavimo technika: jie pradėti nustatyti naudojant begalines eilutes. Savo paskaitose „Elementarioji matematika aukštesniu požiūriu“, skaitytose 1907–1908 m., F. Kleinas pasiūlė formulę naudoti kaip logaritmų teorijos konstravimo atskaitos tašką.

3 etapas

Logaritminės funkcijos kaip atvirkštinės funkcijos apibrėžimas

eksponentinis, logaritmas kaip duotosios bazės eksponentas

buvo suformuluotas ne iš karto. Leonhardo Eulerio (1707–1783) esė

„Įvadas į begalinių mažų dydžių analizę“ (1748 m.) pasitarnavo toliau.

logaritminių funkcijų teorijos kūrimas. Taigi,

Praėjo 134 metai nuo tada, kai pirmą kartą buvo įvesti logaritmai

(skaičiuojama nuo 1614 m.), kol matematikai priėjo prie apibrėžimo

logaritmo samprata, kuri dabar yra mokyklos kurso pagrindas.

2 skyrius. Logaritminių nelygybių rinkinys

2.1. Ekvivalentiniai perėjimai ir apibendrintas intervalų metodas.

Lygiaverčiai perėjimai

, jei a > 1

, jei 0 < а < 1

Apibendrintas intervalo metodas

Šis metodas yra universaliausias sprendžiant beveik bet kokio tipo nelygybes. Sprendimo schema atrodo taip:

1. Įveskite nelygybę į formą, kurioje yra funkcija kairėje pusėje
, o dešinėje 0.

2. Raskite funkcijos sritį
.

3. Raskite funkcijos nulius
, tai yra, išspręskite lygtį
(ir išspręsti lygtį paprastai yra lengviau nei išspręsti nelygybę).

4. Skaičių eilutėje nubrėžkite funkcijos apibrėžimo sritį ir nulius.

5. Nustatykite funkcijos požymius
gautais intervalais.

6. Pasirinkite intervalus, kuriuose funkcija paima reikiamas reikšmes ir užrašykite atsakymą.

1 pavyzdys.

Sprendimas:

Taikykime intervalų metodą

kur

Šioms reikšmėms visos išraiškos po logaritminiais ženklais yra teigiamos.

Atsakymas:

2 pavyzdys.

Sprendimas:

1-oji būdu . ADL lemia nelygybė x> 3. Logaritmų ėmimas tokiems x 10 bazėje gauname

Paskutinę nelygybę būtų galima išspręsti taikant išplėtimo taisykles, t.y. koeficientus lyginant su nuliu. Tačiau šiuo atveju nesunku nustatyti funkcijos pastovaus ženklo intervalus

todėl galima taikyti intervalų metodą.

Funkcija f(x) = 2x(x- 3,5) lgǀ x- 3ǀ yra ištisinis ties x> 3 ir išnyksta taškuose x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 = 4. Taigi nustatome funkcijos pastovaus ženklo intervalus f(x):

Atsakymas:

2-as metodas . Pradinei nelygybei tiesiogiai pritaikykime intervalo metodo idėjas.

Norėdami tai padaryti, prisiminkite, kad išraiškos a b- a c ir ( a - 1)(b- 1) turėti vieną ženklą. Tada mūsų nelygybė ties x> 3 yra tolygus nelygybei

arba

Paskutinė nelygybė išspręsta naudojant intervalų metodą

Atsakymas:

3 pavyzdys.

Sprendimas:

Taikykime intervalų metodą

Atsakymas:

4 pavyzdys.

Sprendimas:

Nuo 2 x 2 - 3x+ 3 > 0 visiems realiems x, Tai

Norėdami išspręsti antrąją nelygybę, naudojame intervalų metodą

Pirmoje nelygybėje atliekame pakeitimą

tada pasiekiame nelygybę 2y 2 - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те y, kurios tenkina nelygybę -0,5< y < 1.

Iš kur, nes

gauname nelygybę

kuris atliekamas, kai x, kuriam 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

Dabar, atsižvelgdami į antrosios sistemos nelygybės sprendimą, pagaliau gauname

Atsakymas:

5 pavyzdys.

Sprendimas:

Nelygybė prilygsta sistemų rinkiniui

arba

Naudokime intervalo metodą arba

Atsakymas:

6 pavyzdys.

Sprendimas:

Nelygybė lygi sistemai

Leisti

Tada y > 0,

ir pirmoji nelygybė

sistema įgauna formą

arba, atsiskleidžiant

kvadratinis trinaris koeficientas,

Pritaikius intervalo metodą paskutinei nelygybei,

matome, kad jos sprendimai tenkina sąlygą y> 0 bus viskas y > 4.

Taigi pradinė nelygybė yra lygiavertė sistemai:

Taigi, nelygybės sprendimai yra visi

2.2. Racionalizavimo metodas.

Anksčiau nelygybė nebuvo sprendžiama racionalizacijos metodu, ji nebuvo žinoma. Tai yra „naujas modernus“ efektyvus metodas eksponentinių ir logaritminių nelygybių sprendimai“ (citata iš S.I. Kolesnikovos knygos)
Ir net jei mokytojas jį pažinojo, buvo baimė - ar vieningo valstybinio egzamino ekspertas jį pažįsta, o kodėl jo neduoda mokykloje? Būdavo situacijų, kai mokytojas mokiniui sakydavo: „Kur gavai? Sėskis – 2“.
Dabar metodas propaguojamas visur. O ekspertams yra su šiuo metodu susijusios gairės, o C3 sprendimo „Patys pilniausi standartinių parinkčių leidimai...“ šis metodas naudojamas.
NUOSTABUS METODAS!

„Stebuklingas stalas“

Kituose šaltiniuose

Jeigu a >1 ir b >1, tada log a b >0 ir (a -1)(b -1)>0;

Jeigu a >1 ir 0

jei 0<a<1 и b >1, tada įrašykite a b<0 и (a -1)(b -1)<0;

jei 0<a<1 и 00 ir (a -1) (b -1)>0.

Atliktas samprotavimas yra paprastas, tačiau žymiai supaprastina logaritminių nelygybių sprendimą.

4 pavyzdys.

log x (x 2–3)<0

Sprendimas:

5 pavyzdys.

log 2 x (2x 2 -4x +6)≤log 2 x (x 2 +x )

Sprendimas:

Atsakymas. (0; 0,5) U.

6 pavyzdys.

Norėdami išspręsti šią nelygybę, vietoj vardiklio rašome (x-1-1)(x-1), o vietoj skaitiklio rašome sandaugą (x-1)(x-3-9 + x).

Atsakymas : (3;6)

7 pavyzdys.

8 pavyzdys.

2.3. Nestandartinis pakeitimas.

1 pavyzdys.

2 pavyzdys.

3 pavyzdys.

4 pavyzdys.

5 pavyzdys.

6 pavyzdys.

7 pavyzdys.

log 4 (3 x -1)log 0,25

Padarykim pakaitalą y=3 x -1; tada ši nelygybė įgaus formą

Log 4 log 0,25
.

Nes log 0,25 = -log 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , tada paskutinę nelygybę perrašome į 2log 4 y -log 4 2 y ≤.

Padarykime pakeitimą t =log 4 y ir gausime nelygybę t 2 -2t +≥0, kurios sprendimas yra intervalai - .

Taigi, norėdami rasti y reikšmes, turime dviejų paprastų nelygybių rinkinį
Šios aibės sprendimas yra intervalai 0<у≤2 и 8≤у<+.

Todėl pradinė nelygybė yra lygi dviejų eksponentinių nelygybių rinkiniui,
tai yra agregatai

Šios aibės pirmosios nelygybės sprendimas yra intervalas 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+. Taigi pradinė nelygybė tenkinama visoms x reikšmėms iš intervalų 0<х≤1 и 2≤х<+.

8 pavyzdys.

Sprendimas:

Nelygybė lygi sistemai

Antrosios nelygybės, apibrėžiančios ODZ, sprendimas bus tų rinkinys x,

kuriam x > 0.

Norėdami išspręsti pirmąją nelygybę, atliekame pakeitimą

Tada gauname nelygybę

arba

Metodu randama paskutinės nelygybės sprendinių aibė

intervalai: -1< t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной x, mes gauname

arba

Daug tų x, kurios tenkina paskutinę nelygybę

priklauso ODZ ( x> 0), todėl yra sistemos sprendimas,

taigi ir pirminė nelygybė.

Atsakymas:

2.4. Užduotys su spąstais.

1 pavyzdys.

.

Sprendimas. Nelygybės ODZ visi x atitinka sąlygą 0 . Todėl visi x yra iš intervalo 0

2 pavyzdys.

log 2 (2 x +1-x 2)>log 2 (2 x-1 +1-x)+1.. ? Esmė ta, kad antrasis skaičius yra akivaizdžiai didesnis nei

Išvada

Iš daugybės įvairių mokymo šaltinių nebuvo lengva rasti konkrečius metodus C3 uždaviniams spręsti. Atliekant darbą galėjau išstudijuoti nestandartinius kompleksinių logaritminių nelygybių sprendimo metodus. Tai: ekvivalentiniai perėjimai ir apibendrintas intervalų metodas, racionalizacijos metodas , nestandartinis pakeitimas , užduotys su spąstais ODZ. Šie metodai neįtraukti į mokyklos mokymo programą.

Naudodamas skirtingus metodus išsprendžiau 27 vieningo valstybinio egzamino C dalyje pasiūlytas nelygybes, būtent C3. Šios nelygybės su sprendiniais metodais sudarė pagrindą rinkiniui „C3 Logaritminės nelygybės su sprendimais“, kuris tapo mano veiklos projektiniu produktu. Hipotezė, kurią iškėliau projekto pradžioje, pasitvirtino: C3 problemas galima efektyviai išspręsti, žinant šiuos metodus.

Be to, atradau įdomių faktų apie logaritmus. Man buvo įdomu tai padaryti. Mano projekto produktai bus naudingi tiek mokiniams, tiek mokytojams.

Išvados:

Taigi projekto tikslas pasiektas ir problema išspręsta. Ir gavau pačią pilniausią ir įvairiausią projektinės veiklos patirtį visuose darbo etapuose. Vykdant projektą, mano pagrindinis lavinimo poveikis buvo protinė kompetencija, veikla, susijusi su loginėmis protinėmis operacijomis, kūrybinės kompetencijos, asmeninės iniciatyvos, atsakomybės, atkaklumo, aktyvumo ugdymas.

Sėkmės garantas kuriant tyrimo projektą Įgijau: didelę mokyklinę patirtį, gebėjimą gauti informaciją iš įvairių šaltinių, patikrinti jos patikimumą, reitinguoti pagal svarbą.

Be tiesioginių dalykinių matematikos žinių, praplėčiau savo praktinius įgūdžius informatikos srityje, įgijau naujų žinių ir patirties psichologijos srityje, užmezgiau ryšius su bendramoksliais, išmokau bendradarbiauti su suaugusiaisiais. Projekto veiklų metu buvo ugdomi organizaciniai, intelektualiniai ir komunikaciniai bendrieji ugdymosi įgūdžiai.

Literatūra

1. Korjanovas A. G., Prokofjevas A. A. Nelygybių su vienu kintamuoju sistemos (standartinės užduotys C3).

2. Malkova A. G. Pasirengimas vieningam valstybiniam matematikos egzaminui.

3. Samarova S. S. Logaritminių nelygybių sprendimas.

4. Matematika. Mokomųjų darbų rinkinys redagavo A.L. Semenovas ir I. V. Jaščenka. -M.: MTsNMO, 2009. - 72 p.-

Straipsnis skirtas 15 užduočių analizei iš profilio Vieningas valstybinis matematikos egzaminas 2017 m. Šioje užduotyje moksleivių prašoma išspręsti nelygybes, dažniausiai logaritmines. Nors gali būti ir orientacinių. Šiame straipsnyje pateikiama logaritminių nelygybių pavyzdžių analizė, įskaitant tuos, kurių logaritmo bazėje yra kintamasis. Visi pavyzdžiai paimti iš atviro vieningo valstybinio egzamino matematikos užduočių banko (profilis), todėl tokia nelygybė egzamine greičiausiai susidurs su 15 užduotimi. Idealiai tinka tiems, kurie nori išmokti spręsti 15 užduotį iš antrosios dalies. profilio Vieningas valstybinis matematikos egzaminas per trumpą laiką, kad egzaminas gautų daugiau balų.

15 užduočių analizė iš profilio Vieningas valstybinis matematikos egzaminas

1 pavyzdys. Išspręskite nelygybę:

Vieningo valstybinio matematikos egzamino 15 užduotyse (profilis) dažnai susiduriama su logaritminėmis nelygybėmis. Logaritminių nelygybių sprendimas prasideda nuo priimtinų reikšmių diapazono nustatymo. Šiuo atveju abiejų logaritmų bazėje kintamojo nėra, yra tik skaičius 11, o tai labai supaprastina uždavinį. Taigi vienintelis apribojimas, kurį turime čia, yra tai, kad abi išraiškos po logaritmo ženklu yra teigiamos:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Pirmoji sistemos nelygybė yra kvadratinė nelygybė. Norėdami tai išspręsti, mes tikrai norėtume kairę pusę suskaidyti. Manau, jūs žinote, kad bet koks kvadratinis formos trinomas yra faktorizuojamas taip:

kur ir yra lygties šaknys. Šiuo atveju koeficientas yra 1 (tai yra skaitinis koeficientas prieš ). Koeficientas taip pat lygus 1, o koeficientas yra fiktyvus narys, jis lygus -20. Trinario šaknis lengviausia nustatyti naudojant Vietos teoremą. Mūsų pateikta lygtis reiškia, kad šaknų suma bus lygi koeficientui su priešingu ženklu, tai yra -1, o šių šaknų sandauga bus lygi koeficientui, tai yra -20. Nesunku atspėti, kad šaknys bus -5 ir 4.

Dabar kairę nelygybės pusę galima koeficientuoti: title="Rended by QuickLaTeX.com" height="20" width="163" style="vertical-align: -5px;"> Решаем это неравенство. График соответствующей функции — это парабола, ветви которой направлены вверх. Эта парабола пересекает ось !} X taškuose -5 ir 4. Tai reiškia, kad reikalingas nelygybės sprendimas yra intervalas . Tiems, kurie nesupranta, kas čia parašyta, detales galite žiūrėti vaizdo įraše, pradedant nuo šios akimirkos. Ten taip pat rasite išsamų paaiškinimą, kaip sprendžiama antroji sistemos nelygybė. Tai sprendžiama. Be to, atsakymas yra lygiai toks pat, kaip ir į pirmą sistemos nelygybę. Tai yra, aukščiau parašyta aibė yra leistinų nelygybės verčių sritis.

Taigi, atsižvelgiant į faktorizaciją, pradinė nelygybė yra tokia:

Naudodamiesi formule, prie raiškos laipsnio po pirmojo logaritmo ženklu pridedame 11, o antrąjį logaritmą perkeliame į kairę nelygybės pusę, pakeisdami jo ženklą į priešingą:

Po sumažinimo gauname:

Paskutinė nelygybė dėl funkcijos padidėjimo yra lygiavertė nelygybei , kurio sprendimas yra intervalas . Belieka jį susikirsti su priimtinų nelygybės verčių sritimi, ir tai bus atsakymas į visą užduotį.

Taigi, reikalingas užduoties atsakymas atrodo taip:

Su šia užduotimi susitvarkėme, dabar pereiname prie kito Vieningo valstybinio matematikos egzamino 15 užduoties pavyzdžio (profilis).

2 pavyzdys. Išspręskite nelygybę:

Sprendimą pradedame nustatydami priimtinų šios nelygybės verčių diapazoną. Kiekvieno logaritmo bazėje turi būti teigiamas skaičius, kuris nėra lygus 1. Visos išraiškos po logaritmo ženklu turi būti teigiamos. Trupmenos vardiklyje neturi būti nulio. Paskutinė sąlyga yra lygiavertė tam, kad , nes tik kitaip abu vardiklio logaritmai išnyksta. Visos šios sąlygos nustato šios nelygybės leistinų verčių diapazoną, pateiktą pagal šią nelygybių sistemą:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Priimtinų reikšmių diapazone galime naudoti logaritmų konvertavimo formules, kad supaprastintume kairę nelygybės pusę. Naudojant formulę atsikratome vardiklio:

Dabar turime tik logaritmus su baze. Taip jau patogiau. Toliau naudojame formulę ir formulę, kad šlovės verta išraiška būtų tokia:

Skaičiuodami naudojome tai, kas buvo priimtinų verčių diapazone. Naudodami pakaitalą gauname išraišką:

Naudokime dar vieną pakaitalą: . Dėl to gauname tokį rezultatą:

Taigi, palaipsniui grįžtame prie pradinių kintamųjų. Pirmiausia į kintamąjį: