Funkcijų padidėjimas. Paskaitos kursas Argumentų ir funkcijų apibrėžimo didinimas

medicinos ir biologijos fizikoje

PASKAITA Nr.1

IŠVEDINĖS IR DIFERENCINĖS FUNKCIJOS.

DALINIAI IŠVEDINIAI.

1. Darinio samprata, jos mechaninė ir geometrinė reikšmė.

A ) Argumentų ir funkcijų padidėjimas.

Tegu pateikta funkcija y=f(x), kur x yra argumento reikšmė iš funkcijos apibrėžimo srities. Jei pasirenkate dvi argumento x o ir x reikšmes iš tam tikro funkcijos apibrėžimo srities intervalo, skirtumas tarp dviejų argumento reikšmių vadinamas argumento prieaugiu: x - x o = ∆x.

Argumento x reikšmę galima nustatyti per x 0 ir jo prieaugį: x = x o + ∆x.

Skirtumas tarp dviejų funkcijos reikšmių vadinamas funkcijos prieaugiu: ∆y =∆f = f(x o +∆x) – f(x o).

Argumento ir funkcijos prieaugis gali būti pavaizduotas grafiškai (1 pav.). Argumento prieaugis ir funkcijos prieaugis gali būti teigiamas arba neigiamas. Kaip matyti iš 1 pav., geometriškai argumento ∆х prieaugis pavaizduotas abscisės prieaugiu, o funkcijos ∆у didėjimas – ordinatės prieaugiu. Funkcijos prieaugis turėtų būti apskaičiuojamas tokia tvarka:

argumentui suteikiame inkrementą ∆x ir gauname reikšmę – x+Δx;

2) argumento (x+∆x) reikšmei rasti funkcijos reikšmę – f(x+∆x);

3) raskite funkcijos ∆f=f(x + ∆x) - f(x) prieaugį.

Pavyzdys: Nustatykite funkcijos y=x 2 prieaugį, jei argumentas pasikeitė iš x o =1 į x=3. Taške x o funkcijos f(x o) = x² o reikšmė; taškui (x o +∆x) funkcijos f(x o +∆x) = (x o +∆x) 2 = x² o +2x o ∆x+∆x 2 reikšmė, iš kur ∆f = f(x o + ∆x)–f(x o) = (x o +∆x) 2 –x² o = x² o +2x o ∆x+∆x 2 –x² o = 2x o ∆x+∆x 2; ∆f = 2x o ∆x+∆x 2 ; ∆х = 3–1 = 2; ∆f =2·1·2+4 = 8.

b)Problemos, vedančios prie išvestinės sąvokos. Darinio apibrėžimas, jo fizikinė reikšmė.

Argumento ir funkcijos prieaugio sąvoka būtina norint įvesti išvestinės sąvoką, kuri istoriškai atsirado remiantis būtinybe nustatyti tam tikrų procesų greitį.

Panagrinėkime, kaip galite nustatyti tiesinio judėjimo greitį. Tegul kūnas juda tiesia linija pagal dėsnį: ∆S= ·∆t. Tolygiai judant:= ∆S/∆t.

Kintamam judėjimui reikšmė ∆Ѕ/∆t nustato reikšmę  vid. , t.y. vid. =∆S/∆t. Tačiau vidutinis greitis neleidžia atspindėti kūno judėjimo ypatybių ir duoti supratimo apie tikrąjį greitį momentu t. Sumažėjus laiko tarpui, t.y. esant ∆t→0 vidutinis greitis siekia savo ribą – momentinį greitį:

 akimirksniu =
 vid. =
∆S/∆t.

Momentinis cheminės reakcijos greitis nustatomas taip pat:

 akimirksniu =
 vid. =
∆х/∆t,

čia x yra medžiagos kiekis, susidaręs cheminės reakcijos metu per laiką t. Panašios įvairių procesų greičio nustatymo problemos paskatino matematikoje įvesti išvestinės funkcijos sąvoką.

Tegu duota ištisinė funkcija f(x), apibrėžta intervale ]a [ty jos prieaugis ∆f=f(x+∆x)–f(x).
yra ∆x funkcija ir išreiškia vidutinį funkcijos kitimo greitį.

Santykio riba , kai ∆х→0, su sąlyga, kad ši riba egzistuoja, vadinama funkcijos išvestine :

y" x =

.

Išvestinė žymima:
– (Yigree insultas X);f " (x) – (eff pirminis ant x) ; y" – (graikiškas potėpis); dy/dх – (de igrek pagal de x); - (graikų k. su tašku).

Remdamiesi išvestinės apibrėžimu, galime teigti, kad momentinis tiesinio judėjimo greitis yra kelio laiko išvestinė:

 akimirksniu = S" t = f " (t).

Taigi galime daryti išvadą, kad funkcijos išvestinė argumento x atžvilgiu yra momentinis funkcijos f(x) kitimo greitis:

y" x = f " (x)= momentinė.

Tai yra fizinė išvestinės reikšmė. Išvestinės radimo procesas vadinamas diferencijavimu, todėl posakis „diferencijuoti funkciją“ yra lygiavertis posakiui „rasti funkcijos išvestinę“.

V)Geometrinė išvestinės reikšmė.

P
funkcijos y = f(x) išvestinė turi paprastą geometrinę reikšmę, susijusią su kreivės tiesės liestinės tam tikrame taške M sąvoka. Tuo pačiu tangentinė, t.y. tiesė analitiškai išreiškiama kaip y = kx = tan· x, kur – liestinės (tiesės) pasvirimo kampas į X ašį Įsivaizduokime ištisinę kreivę kaip funkciją y = f(x), paimkime kreivės tašką M1 ir arti jo esantį tašką M1 ir nubrėžkime sekantą per juos. Jo nuolydis iki sec =tg β = .Jei tašką M 1 priartinsime prie M, tai argumento prieaugis ∆х bus linkęs į nulį, o sekantas ties β=α užims liestinės padėtį. Iš 2 pav. matyti: tgα =
tgβ =
=y" x. Bet tgα yra lygus funkcijos grafiko liestinės nuolydžiui:

k = tgα =
=y" x = f " (X). Taigi, funkcijos grafiko liestinės kampinis koeficientas tam tikrame taške yra lygus jos išvestinės reikšmei liesties taške. Tai geometrinė išvestinės reikšmė.

G)Bendra išvestinės išvestinės paieškos taisyklė.

Remiantis išvestinės apibrėžimu, funkcijos diferencijavimo procesas gali būti pavaizduotas taip:

f(x+∆x) = f(x)+∆f;

raskite funkcijos prieaugį: ∆f= f(x + ∆x) - f(x);

sudaryti funkcijos padidėjimo ir argumento prieaugio santykį:

;

Pavyzdys: f(x)=x2; f " (x)=?.

Tačiau, kaip matyti net iš šio paprasto pavyzdžio, nurodytos sekos naudojimas imant darinius yra daug darbo reikalaujantis ir sudėtingas procesas. Todėl įvairioms funkcijoms įvedamos bendros diferencijavimo formulės, kurios pateikiamos lentelės „Pagrindinės funkcijų diferencijavimo formulės“ forma.

1 apibrėžimas

Jei kiekvienai dviejų nepriklausomų kintamųjų reikšmių porai $(x,y)$ iš kurio nors srities susieta tam tikra reikšmė $z$, tai $z$ laikoma dviejų kintamųjų $(x,y) funkcija. $. Žymėjimas: $z=f(x,y)$.

Funkcijos $z=f(x,y)$ atžvilgiu panagrinėkime bendrųjų (visų) ir dalinių funkcijos prieaugių sąvokas.

Tegu funkcija $z=f(x,y)$ iš dviejų nepriklausomų kintamųjų $(x,y)$.

1 pastaba

Kadangi kintamieji $(x,y)$ yra nepriklausomi, vienas iš jų gali keistis, o kitas išlieka pastovus.

Suteikime kintamajam $x$ prieaugį $\Delta x$, nepakeisdami kintamojo $y$ reikšmę.

Tada funkcija $z=f(x,y)$ gaus prieaugį, kuris bus vadinamas funkcijos $z=f(x,y)$ daliniu prieaugiu kintamojo $x$ atžvilgiu. Pavadinimas:

Panašiai kintamajam $y$ duosime $\Delta y$ prieaugį, nepakeisdami kintamojo $x$ reikšmę.

Tada funkcija $z=f(x,y)$ gaus prieaugį, kuris bus vadinamas funkcijos $z=f(x,y)$ daliniu prieaugiu kintamojo $y$ atžvilgiu. Pavadinimas:

Jei argumentui $x$ duotas prieaugis $\Delta x$, o argumentui $y$ - $\Delta y$, tai visas duotosios funkcijos $z=f(x,y)$ priedas. gaunamas. Pavadinimas:

Taigi mes turime:

$\Delta _(x) z=f(x+\Delta x,y)-f(x,y)$ - funkcijos $z=f(x,y)$ dalinis padidėjimas $x$;

$\Delta _(y) z=f(x,y+\Delta y)-f(x,y)$ - funkcijos $z=f(x,y)$ dalinis padidėjimas $y$;

$\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$ – bendras funkcijos $z=f(x,y)$ priedas.

1 pavyzdys

Sprendimas:

$\Delta _(x) z=x+\Delta x+y$ - funkcijos $z=f(x,y)$ dalinis padidėjimas per $x$;

$\Delta _(y) z=x+y+\Delta y$ – funkcijos $z=f(x,y)$ dalinis padidėjimas $y$ atžvilgiu.

$\Delta z=x+\Delta x+y+\Delta y$ - bendras funkcijos $z=f(x,y)$ prieaugis.

2 pavyzdys

Apskaičiuokite funkcijos $z=xy$ dalinį ir bendrą prieaugį taške $(1;2)$, kai $\Delta x=0.1;\, \, \Delta y=0.1$.

Sprendimas:

Pagal dalinio prieaugio apibrėžimą randame:

$\Delta _(x) z=(x+\Delta x)\cdot y$ – funkcijos $z=f(x,y)$ dalinis padidėjimas per $x$

$\Delta _(y) z=x\cdot (y+\Delta y)$ - funkcijos $z=f(x,y)$ dalinis padidėjimas $y$;

Pagal bendro prieaugio apibrėžimą randame:

$\Delta z=(x+\Delta x)\cdot (y+\Delta y)$ – bendras funkcijos $z=f(x,y)$ priedas.

Vadinasi,

\[\Delta _(x) z=(1+0.1)\cdot 2=2.2\] \[\Delta _(y) z=1\cdot (2+0.1)=2.1 \] \[\Delta z= (1+0.1)\cdot (2+0.1)=1.1\cdot 2.1=2.31.\]

Užrašas 2

Bendras duotosios funkcijos prieaugis $z=f(x,y)$ nėra lygus jos dalinių prieaugių $\Delta _(x) z$ ir $\Delta _(y) z$ sumai. Matematinis žymėjimas: $\Delta z\ne \Delta _(x) z+\Delta _(y) z$.

3 pavyzdys

Patikrinkite tvirtinimo pastabas dėl veikimo

Sprendimas:

$\Delta _(x) z=x+\Delta x+y$; $\Delta _(y) z=x+y+\Delta y$; $\Delta z=x+\Delta x+y+\Delta y$ (gauta 1 pavyzdyje)

Raskime duotosios funkcijos dalinių prieaugių sumą $z=f(x,y)$

\[\Delta _(x) z+\Delta _(y) z=x+\Delta x+y+(x+y+\Delta y)=2\cdot (x+y)+\Delta x+\Delta y.\]

\[\Delta _(x) z+\Delta _(y) z\ne \Delta z.\]

2 apibrėžimas

Jei kiekvienai trigubai $(x,y,z)$ trijų nepriklausomų kintamųjų reikšmių iš kurio nors srities susieta tam tikra reikšmė $w$, tai $w$ laikoma trijų kintamųjų $(x, y,z)$ šioje srityje.

Žymėjimas: $w=f(x,y,z)$.

3 apibrėžimas

Jei kiekvienai tam tikro regiono nepriklausomų kintamųjų reikšmių rinkiniui $(x,y,z,...,t)$ susieta tam tikra reikšmė $w$, tai $w$ laikoma funkcija kintamieji $(x,y, z,...,t)$ šioje srityje.

Žymėjimas: $w=f(x,y,z,...,t)$.

Trijų ar daugiau kintamųjų funkcijai, taip pat kaip ir dviejų kintamųjų funkcijai, kiekvienam kintamajam nustatomi daliniai prieaugiai:

$\Delta _(z) w=f(x,y,z+\Delta z)-f(x,y,z)$ – dalinis funkcijos $w=f(x,y,z,... ,t )$ pagal $z$;

$\Delta _(t) w=f(x,y,z,...,t+\Delta t)-f(x,y,z,...,t)$ - dalinis funkcijos $w padidėjimas =f (x,y,z,...,t)$ pagal $t$.

4 pavyzdys

Parašykite dalinio ir visiško prieaugio funkcijas

Sprendimas:

Pagal dalinio prieaugio apibrėžimą randame:

$\Delta _(x) w=((x+\Delta x)+y)\cdot z$ – funkcijos $w=f(x,y,z)$ dalinis padidėjimas per $x$

$\Delta _(y) w=(x+(y+\Delta y))\cdot z$ - funkcijos $w=f(x,y,z)$ dalinis padidėjimas per $y$;

$\Delta _(z) w=(x+y)\cdot (z+\Delta z)$ - funkcijos $w=f(x,y,z)$ dalinis padidėjimas virš $z$;

Pagal bendro prieaugio apibrėžimą randame:

$\Delta w=((x+\Delta x)+(y+\Delta y))\cdot (z+\Delta z)$ – bendras funkcijos $w=f(x,y,z)$ priedas.

5 pavyzdys

Apskaičiuokite dalinį ir bendrą funkcijos $w=xyz$ prieaugį taške $(1;2;1)$, kai $\Delta x=0,1;\, \, \Delta y=0,1;\, \, \Delta z=0,1$.

Sprendimas:

Pagal dalinio prieaugio apibrėžimą randame:

$\Delta _(x) w=(x+\Delta x)\cdot y\cdot z$ – funkcijos $w=f(x,y,z)$ dalinis padidėjimas per $x$

$\Delta _(y) w=x\cdot (y+\Delta y)\cdot z$ - funkcijos $w=f(x,y,z)$ dalinis padidėjimas $y$;

$\Delta _(z) w=x\cdot y\cdot (z+\Delta z)$ - funkcijos $w=f(x,y,z)$ dalinis padidėjimas virš $z$;

Pagal bendro prieaugio apibrėžimą randame:

$\Delta w=(x+\Delta x)\cdot (y+\Delta y)\cdot (z+\Delta z)$ – bendras funkcijos $w=f(x,y,z)$ priedas.

Vadinasi,

\[\Delta _(x) w=(1+0.1)\cdot 2\cdot 1=2.2\] \[\Delta _(y) w=1\cdot (2+0.1)\ cdot 1=2.1\] \[\Delta _(y) w=1\cdot 2\cdot (1+0.1)=2.2\] \[\Delta z=(1+0.1) \cdot (2+0.1)\cdot (1+0.1) =1.1\cdot 2.1\cdot 1.1=2.541.\]

Geometriniu požiūriu, bendras funkcijos $z=f(x,y)$ priedas (pagal apibrėžimą $\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y) $) yra lygus grafiko funkcijos $z=f(x,y)$ aplikacijos prieaugiui judant iš taško $M(x,y)$ į tašką $M_(1) (x+\Delta x,y+ \Delta y)$ (1 pav.).

1 paveikslas.

Tegu x yra savavališkas taškas tam tikroje fiksuoto taško x 0 kaimynystėje. skirtumas x – x 0 paprastai vadinamas nepriklausomo kintamojo prieaugiu (arba argumento prieaugiu) taške x 0 ir žymimas Δx. Taigi,

Δx = x –x 0,

iš kur seka tai

Funkcijų padidėjimas - skirtumas tarp dviejų funkcijos reikšmių.

Tegu funkcija duota adresu = f(x), apibrėžtas argumento reikšme lygi X 0 . Suteikime argumentui prieaugį D X, ᴛ.ᴇ. argumento vertę laikykime lygia x 0+D X. Tarkime, kad ši argumento reikšmė taip pat patenka į šios funkcijos sritį. Tada skirtumas D y = f(x 0+D X) – f(x 0) Paprastai tai vadinama funkcijos padidėjimu. Funkcijų padidėjimas f(x) taške x- funkcija paprastai žymima Δ x f iš naujo kintamojo Δ x apibrėžtas kaip

Δ x f(Δ x) = f(x + Δ x) − f(x).

Raskite argumento prieaugį ir funkcijos prieaugį taške x 0, jei

2 pavyzdys Raskite funkcijos f(x) = x 2 prieaugį, jei x = 1, ∆x = 0,1

Sprendimas: f(x) = x 2, f(x+∆x) = (x+∆x) 2

Raskime funkcijos ∆f = f(x+∆x) - f(x) = (x+∆x) 2 - x 2 = x 2 +2x*∆x+∆x 2 - x 2 = 2x*∆x prieaugį. + ∆x 2 /

Pakeiskite reikšmes x=1 ir ∆x= 0,1, gausime ∆f = 2*1*0,1 + (0,1) 2 = 0,2+0,01 = 0,21

Raskite argumento prieaugį ir funkcijos prieaugį taške x 0

2.f(x) = 2x 3. x 0 =3 x = 2,4

3. f(x) = 2x 2 +2 x 0 =1 x = 0,8

4. f(x) = 3x+4 x 0 =4 x=3,8

Apibrėžimas: Darinys Funkcijos taške, įprasta vadinti funkcijos didėjimo ir argumento prieaugio santykio ribą (jei ji egzistuoja ir yra baigtinė), jei pastarasis linkęs į nulį.

Dažniausiai naudojami išvestiniai žymėjimai:

Taigi,

Išvestinės radimas paprastai vadinamas diferenciacija . Įvesta diferencijuojamos funkcijos apibrėžimas: Funkcija f, kuri kiekviename tam tikro intervalo taške turi išvestinę, paprastai vadinama diferencijuojama šiame intervale.

Tegu funkcija apibrėžta tam tikroje taško kaimynystėje.Funkcijos išvestinė paprastai vadinama tokiu skaičiumi, kad funkcija kaimynystėje U(x 0) gali būti pavaizduotas kaip

f(x 0 + h) = f(x 0) + Ak + o(h)

jei yra.

Funkcijos išvestinės taške nustatymas.

Tegul funkcija f(x) apibrėžtas intervale (a; b), ir yra šio intervalo taškai.

Apibrėžimas. Funkcijos išvestinė f(x) taške įprasta funkcijos padidėjimo ir argumento prieaugio santykio ribą vadinti ties . Žymima .

Kai paskutinė riba įgyja konkrečią galutinę reikšmę, kalbame apie egzistavimą baigtinė išvestinė taške. Jei riba yra begalinė, mes taip sakome išvestinė yra begalinė tam tikrame taške. Jei riba neegzistuoja, tada funkcijos išvestinė šiame taške neegzistuoja.

Funkcija f(x) Sakoma, kad jis yra diferencijuotas taške, kai jis turi baigtinę išvestinę.

Tuo atveju, kai funkcija f(x) skiriasi kiekviename tam tikro intervalo taške (a; b), tada funkcija šiame intervale vadinama diferencijuojama. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, bet koks taškas x iš tarpo (a; b)šiuo metu galime suderinti funkcijos išvestinės reikšmę, tai yra, turime galimybę apibrėžti naują funkciją, kuri vadinama funkcijos išvestine f(x) ant intervalo (a; b).

Išvestinės radimo operacija paprastai vadinama diferenciacija.