Po pierwsze, czym jest równanie kwadratowe? Równanie kwadratowe to równanie w postaci ax^2+bx+c=0, gdzie x jest zmienną, a, b i c to pewne liczby, a a nie jest równe zero.

Krok 2

Aby rozwiązać równanie kwadratowe musimy znać wzór na jego pierwiastki, czyli na początek wzór dyskryminacyjny równanie kwadratowe. Wygląda to tak: D=b^2-4ac. Możesz to wyprowadzić sam, ale zwykle nie jest to wymagane, wystarczy zapamiętać wzór (!). Naprawdę będziesz go potrzebować w przyszłości. Istnieje również wzór na dyskryminator ćwiartkowy, więcej o nim nieco później.

Krok 3

Weźmy jako przykład równanie 3x^2-24x+21=0. Rozwiążę to na dwa sposoby.

Krok 4

Metoda 1. Dyskryminacyjny.
3x^2-24x+21=0
a=3, b=-24, c=21
D=b^2-4ac
D=576-4*63=576-252=324=18^2
D>
x1,2= (-b 18)/6=42/6=7
x2=(-(-24)-18)/6=6/6=1

Krok 5

Czas przypomnieć sobie wzór na ćwiartkę dyskryminacyjną, który może znacznie ułatwić rozwiązanie naszego równania =) a więc wygląda to tak: D1=k^2-ac (k=1/2b)
Metoda 2. Dyskryminator ćwiartkowy.
3x^2-24x+21=0
a=3, b=-24, c=21
k=-12
D1=k^2 – ac
D1=144-63=81=9^2
D1>0, co oznacza, że ​​równanie ma 2 pierwiastki
x1,2= k +/ Pierwiastek kwadratowy z D1)/a
x1= (-(-12) +9)/3=21/3=7
x2= (-(-12) -9)/3=3/3=1

Oceniłeś, o ile łatwiejsze jest rozwiązanie? ;)
Dziękuję za uwagę, życzę sukcesów w nauce =)

• W naszym przypadku w równaniach D i D1 były >0 i otrzymaliśmy po 2 pierwiastki. Gdyby było D=0 i D1=0, to otrzymalibyśmy po jednym pierwiastku, a gdyby było D<0 и D1<0 соответственно, то у уравнений корней бы не было вовсе.
• Poprzez pierwiastek dyskryminatora (D1) można rozwiązać tylko te równania, w których wyraz b jest parzysty(!)

Równania kwadratowe. Dyskryminujący. Rozwiązanie, przykłady.

Uwaga!
Są dodatkowe
materiały w sekcji specjalnej 555.
Dla tych, którzy są bardzo „nie bardzo…”
A dla tych, którzy „bardzo…”)

Rodzaje równań kwadratowych

Co to jest równanie kwadratowe? Jak to wygląda? W terminie równanie kwadratowe słowo kluczowe to "kwadrat". Oznacza to, że w równaniu Koniecznie musi być x kwadrat. Oprócz tego równanie może (ale nie musi!) zawierać tylko X (do pierwszej potęgi) i tylko liczbę (Wolny Członek). I nie powinno być żadnych X-ów do potęgi większej niż dwa.

Z matematycznego punktu widzenia równanie kwadratowe jest równaniem w postaci:

Tutaj a, b i c- kilka liczb. b i c- absolutnie dowolne, ale A– cokolwiek innego niż zero. Na przykład:

Tutaj A =1; B = 3; C = -4

Tutaj A =2; B = -0,5; C = 2,2

Tutaj A =-3; B = 6; C = -18

Cóż, rozumiesz...

W tych równaniach kwadratowych po lewej stronie jest Pełen zestaw członkowie. X do kwadratu ze współczynnikiem A, x do pierwszej potęgi ze współczynnikiem B I wolny członek s.

Takie równania kwadratowe nazywane są pełny.

I jeśli B= 0, co otrzymamy? Mamy X zostanie utracone do pierwszej potęgi. Dzieje się tak po pomnożeniu przez zero.) Okazuje się na przykład:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x2 +4x=0

I tak dalej. A jeśli oba współczynniki B I C są równe zeru, to jest jeszcze prościej:

2x 2 = 0,

-0,3x2 =0

Takie równania, w których czegoś brakuje, nazywane są niekompletne równania kwadratowe. Co jest całkiem logiczne.) Proszę zauważyć, że x kwadrat występuje we wszystkich równaniach.

Swoją drogą, dlaczego A nie może być równe zeru? I zamiast tego zastępujesz A zero.) Nasz kwadrat X zniknie! Równanie stanie się liniowe. A rozwiązanie jest zupełnie inne...

To wszystkie główne typy równań kwadratowych. Kompletne i niekompletne.

Rozwiązywanie równań kwadratowych.

Rozwiązywanie pełnych równań kwadratowych.

Równania kwadratowe są łatwe do rozwiązania. Według formuł i jasnych, prostych zasad. W pierwszym etapie należy doprowadzić dane równanie do postaci standardowej, tj. do formularza:

Jeśli równanie zostało już podane w tej formie, nie musisz wykonywać pierwszego etapu.) Najważniejsze jest prawidłowe określenie wszystkich współczynników, A, B I C.

Wzór na znalezienie pierwiastków równania kwadratowego wygląda następująco:

Wyrażenie pod znakiem głównym nazywa się dyskryminujący. Ale więcej o nim poniżej. Jak widać, aby znaleźć X, używamy tylko a, b i c. Te. współczynniki z równania kwadratowego. Po prostu ostrożnie zamień wartości a, b i c Obliczamy według tego wzoru. Zastąpmy z własnymi znakami! Na przykład w równaniu:

A =1; B = 3; C= -4. Tutaj to zapisujemy:

Przykład jest prawie rozwiązany:

To jest odpowiedź.

Wszystko jest bardzo proste. I co, myślisz, że nie da się popełnić błędu? No właśnie, jak...

Najczęstszymi błędami są pomyłki z wartościami znaków a, b i c. A raczej nie z ich znakami (gdzie się pomylić?), Ale z podstawieniem wartości ujemnych do wzoru na obliczenie pierwiastków. Pomocne jest tutaj szczegółowe zapisanie wzoru z konkretnymi liczbami. W przypadku problemów z obliczeniami, Zrób to!

Załóżmy, że musimy rozwiązać następujący przykład:

Tutaj A = -6; B = -5; C = -1

Powiedzmy, że wiesz, że rzadko otrzymujesz odpowiedzi za pierwszym razem.

Cóż, nie bądź leniwy. Napisanie dodatkowej linii zajmie około 30 sekund i liczbę błędów gwałtownie spadnie. Piszemy więc szczegółowo, ze wszystkimi nawiasami i znakami:

Wydaje się, że pisanie z taką starannością jest niezwykle trudne. Ale tylko tak się wydaje. Spróbuj. Cóż, albo wybierz. Co jest lepsze, szybko czy dobrze? Poza tym sprawię, że będziesz szczęśliwy. Po pewnym czasie nie będzie już potrzeby tak dokładnego zapisywania wszystkiego. To się sprawdzi samo z siebie. Zwłaszcza jeśli zastosujesz praktyczne techniki opisane poniżej. Ten zły przykład z mnóstwem minusów można rozwiązać łatwo i bez błędów!

Często jednak równania kwadratowe wyglądają nieco inaczej. Na przykład tak:

Czy rozpoznałeś?) Tak! Ten niekompletne równania kwadratowe.

Rozwiązywanie niepełnych równań kwadratowych.

Można je również rozwiązać za pomocą ogólnego wzoru. Musisz tylko poprawnie dowiedzieć się, czym są tutaj równe a, b i c.

Czy już to wymyśliłeś? W pierwszym przykładzie a = 1; b = -4; A C? W ogóle go tam nie ma! Cóż, tak, to prawda. W matematyce oznacza to, że c = 0 ! To wszystko. Zamiast tego wstaw zero do wzoru C, i odniesiemy sukces. To samo z drugim przykładem. Tylko, że u nas nie ma zera Z, A B !

Ale niekompletne równania kwadratowe można rozwiązać znacznie prościej. Bez żadnych formuł. Rozważmy pierwsze niekompletne równanie. Co możesz zrobić po lewej stronie? Możesz wyjąć X z nawiasów! Wyjmijmy to.

I co z tego? Oraz fakt, że iloczyn jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy którykolwiek z czynników jest równy zero! Nie wierzysz mi? OK, w takim razie wymyśl dwie liczby niezerowe, które po pomnożeniu dadzą zero!
Nie działa? Otóż ​​to...
Dlatego śmiało możemy napisać: x 1 = 0, x2 = 4.

Wszystko. Będą to pierwiastki naszego równania. Obydwa się nadają. Podstawiając którekolwiek z nich do pierwotnego równania, otrzymujemy poprawną tożsamość 0 = 0. Jak widać rozwiązanie jest znacznie prostsze niż użycie wzoru ogólnego. Przy okazji zauważę, który X będzie pierwszy, a który drugi – jest to absolutnie obojętne. Wygodnie jest pisać w kolejności, x 1- co jest mniejsze i x 2- to, co jest większe.

Drugie równanie można również rozwiązać w prosty sposób. Przesuń 9 w prawą stronę. Otrzymujemy:

Pozostaje tylko wyodrębnić pierwiastek z 9 i to wszystko. Okaże się:

Oraz dwa korzenie . x 1 = -3, x2 = 3.

W ten sposób rozwiązuje się wszystkie niepełne równania kwadratowe. Albo umieszczając X poza nawiasami, albo po prostu przesuwając liczbę w prawo, a następnie wyodrębniając pierwiastek.
Niezwykle trudno jest pomylić te techniki. Po prostu dlatego, że w pierwszym przypadku będziesz musiał wyodrębnić pierwiastek X, co jest w jakiś sposób niezrozumiałe, a w drugim przypadku nie ma nic do wyjmowania z nawiasów...

Dyskryminujący. Formuła dyskryminacyjna.

magiczne słowo dyskryminujący ! Rzadko się zdarza, żeby licealista nie słyszał tego słowa! Wyrażenie „rozwiązujemy poprzez dyskryminację” budzi pewność i pewność. Ponieważ od dyskryminującego nie trzeba oczekiwać sztuczek! Jest prosty i bezproblemowy w obsłudze.) Przypominam najbardziej ogólny wzór na rozwiązanie każdy równania kwadratowe:

Wyrażenie pod znakiem głównym nazywa się dyskryminatorem. Zazwyczaj wyróżnik jest oznaczony literą D. Wzór dyskryminacyjny:

D = b 2 - 4ac

A co jest takiego niezwykłego w tym wyrażeniu? Dlaczego zasłużył na specjalną nazwę? Co znaczenie wyróżnika? Mimo wszystko -B, Lub 2a w tej formule nie nazywają tego specjalnie... Litery i litery.

To jest ta rzecz. Jest to możliwe przy rozwiązywaniu równania kwadratowego za pomocą tego wzoru tylko trzy przypadki.

1. Wyróżnik jest dodatni. Oznacza to, że można z niego wydobyć korzeń. Inną kwestią jest to, czy korzeń został wycięty dobrze czy źle. Ważne jest to, co w zasadzie zostało wydobyte. Zatem twoje równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki. Dwa różne rozwiązania.

2. Dyskryminator wynosi zero. Wtedy będziesz miał jedno rozwiązanie. Ponieważ dodanie lub odejmowanie zera w liczniku niczego nie zmienia. Ściśle mówiąc, nie jest to jeden korzeń, ale dwa identyczne. Ale w uproszczonej wersji zwykle się o tym mówi jedno rozwiązanie.

3. Wyróżnik jest ujemny. Nie można obliczyć pierwiastka kwadratowego z liczby ujemnej. Cóż, OK. Oznacza to, że nie ma rozwiązań.

Szczerze mówiąc, przy rozwiązywaniu równań kwadratowych koncepcja dyskryminatora nie jest tak naprawdę potrzebna. Podstawiamy wartości współczynników do wzoru i liczymy. Wszystko dzieje się tam samo z siebie, dwa korzenie, jeden i żaden. Jednak przy rozwiązywaniu bardziej złożonych zadań, bez wiedzy znaczenie i formuła wyróżnika niewystarczająco. Zwłaszcza w równaniach z parametrami. Takie równania to akrobacje dla Egzaminu Państwowego i Ujednoliconego Egzaminu Państwowego!)

Więc, jak rozwiązywać równania kwadratowe poprzez rozróżnianie, które zapamiętałeś. Albo się nauczyłeś, co też nie jest złe.) Wiesz, jak poprawnie określić a, b i c. Czy wiesz jak? uważnie podstaw je do wzoru głównego i uważnie policz wynik. Rozumiesz, że słowo klucz jest tutaj uważnie?

Teraz zwróć uwagę na praktyczne techniki, które radykalnie zmniejszają liczbę błędów. Te same, które wynikają z nieuwagi... Dla których później staje się to bolesne i obraźliwe...

Pierwsze spotkanie . Nie bądź leniwy przed rozwiązaniem równania kwadratowego i doprowadź je do standardowej postaci. Co to znaczy?
Załóżmy, że po wszystkich przekształceniach otrzymasz równanie:

Nie spiesz się z zapisaniem formuły głównej! Prawie na pewno pomylisz szanse a, b i c. Zbuduj poprawnie przykład. Najpierw X do kwadratu, potem bez kwadratu, a następnie wyraz wolny. Lubię to:

I jeszcze raz: nie spiesz się! Minus przed kwadratem X może naprawdę Cię zdenerwować. Łatwo zapomnieć... Pozbądź się minusa. Jak? Tak, jak nauczano w poprzednim temacie! Musimy pomnożyć całe równanie przez -1. Otrzymujemy:

Ale teraz możesz bezpiecznie zapisać wzór na pierwiastki, obliczyć dyskryminator i zakończyć rozwiązywanie przykładu. Zdecyduj sam. Powinieneś teraz mieć pierwiastki 2 i -1.

Recepcja druga. Sprawdź korzenie! Zgodnie z twierdzeniem Viety. Nie bój się, wszystko wyjaśnię! Kontrola Ostatnia rzecz równanie. Te. ten, którego użyliśmy do zapisania wzoru na pierwiastek. Jeśli (jak w tym przykładzie) współczynnik a = 1, sprawdzenie korzeni jest łatwe. Wystarczy je pomnożyć. Rezultatem powinien być wolny członek, tj. w naszym przypadku -2. Uwaga, nie 2, ale -2! Wolny Członek ze swoim znakiem . Jeśli to nie zadziała, oznacza to, że już gdzieś schrzanili. Poszukaj błędu.

Jeśli to zadziała, musisz dodać korzenie. Ostatnia i ostateczna kontrola. Współczynnik powinien być B Z naprzeciwko znajomy. W naszym przypadku -1+2 = +1. Współczynnik B, który jest przed X, jest równy -1. Zatem wszystko się zgadza!
Szkoda, że ​​jest to takie proste tylko dla przykładów, gdzie x kwadrat jest czyste, ze współczynnikiem a = 1. Ale przynajmniej sprawdź takie równania! Błędów będzie coraz mniej.

Recepcja trzecia . Jeśli Twoje równanie ma współczynniki ułamkowe, pozbądź się ułamków! Pomnóż równanie przez wspólny mianownik, jak opisano w lekcji „Jak rozwiązywać równania? Przekształcenia tożsamości”. Podczas pracy z ułamkami z jakiegoś powodu wkradają się błędy...

Swoją drogą obiecałem uprościć zły przykład garścią minusów. Proszę! Tutaj jest.

Aby nie pomylić minusów, mnożymy równanie przez -1. Otrzymujemy:

To wszystko! Rozwiązywanie to przyjemność!

Podsumujmy zatem temat.

Praktyczne wskazówki:

1. Przed rozwiązaniem doprowadzamy równanie kwadratowe do postaci standardowej i budujemy je Prawidłowy.

2. Jeśli przed kwadratem X znajduje się współczynnik ujemny, eliminujemy go, mnożąc całe równanie przez -1.

3. Jeśli współczynniki są ułamkowe, eliminujemy ułamki, mnożąc całe równanie przez odpowiedni współczynnik.

4. Jeśli x kwadrat jest czyste, a jego współczynnik wynosi jeden, rozwiązanie można łatwo zweryfikować, korzystając z twierdzenia Viety. Zrób to!

Teraz możemy podjąć decyzję.)

Rozwiąż równania:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3 x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Odpowiedzi (w nieładzie):

x 1 = 0
x2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 = -0,5

x - dowolna liczba

x 1 = -3
x2 = 3

żadnych rozwiązań

x 1 = 0,25
x 2 = 0,5

Czy wszystko pasuje? Świetnie! Równania kwadratowe nie przyprawiają Cię o ból głowy. Pierwsze trzy zadziałały, ale reszta nie? Zatem problem nie dotyczy równań kwadratowych. Problem polega na identycznych przekształceniach równań. Zerknij na link, jest pomocny.

Nie do końca się sprawdza? A może w ogóle to nie wychodzi? W takim razie sekcja 555 będzie dla Ciebie pomocna. Wszystkie te przykłady są tam omówione. Pokazane główny błędy w rozwiązaniu. Oczywiście mówimy również o zastosowaniu identycznych przekształceń w rozwiązywaniu różnych równań. Bardzo pomaga!

Jeśli podoba Ci się ta strona...

Przy okazji, mam dla Ciebie jeszcze kilka ciekawych stron.)

Możesz poćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzić swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Uczmy się - z zainteresowaniem!)

Można zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.

Mam nadzieję, że po przestudiowaniu tego artykułu dowiesz się, jak znaleźć pierwiastki pełnego równania kwadratowego.

Za pomocą dyskryminatora rozwiązuje się tylko pełne równania kwadratowe; do rozwiązywania niekompletnych równań kwadratowych stosuje się inne metody, które znajdziesz w artykule „Rozwiązywanie niepełnych równań kwadratowych”.

Jakie równania kwadratowe nazywane są kompletnymi? Ten równania postaci ax 2 + b x + c = 0, gdzie współczynniki a, b i c nie są równe zero. Aby więc rozwiązać pełne równanie kwadratowe, musimy obliczyć dyskryminator D.

D = b 2 – 4ac.

W zależności od wartości wyróżnika zapiszemy odpowiedź.

Jeżeli dyskryminator jest liczbą ujemną (D< 0),то корней нет.

Jeśli dyskryminator wynosi zero, to x = (-b)/2a. Gdy dyskryminator jest liczbą dodatnią (D > 0),

wtedy x 1 = (-b - √D)/2a i x 2 = (-b + √D)/2a.

Na przykład. Rozwiązać równanie x 2– 4x + 4= 0.

re = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Odpowiedź: 2.

Rozwiąż równanie 2 x 2 + x + 3 = 0.

re = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Odpowiedź: brak korzeni.

Rozwiąż równanie 2 x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3,5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Odpowiedź: – 3,5; 1.

Wyobraźmy sobie więc rozwiązanie pełnych równań kwadratowych przy użyciu diagramu na rysunku 1.

Za pomocą tych wzorów można rozwiązać dowolne pełne równanie kwadratowe. Trzeba tylko uważać równanie zapisano jako wielomian postaci standardowej

A x 2 + bx + c, w przeciwnym razie możesz popełnić błąd. Na przykład pisząc równanie x + 3 + 2x 2 = 0, możesz błędnie stwierdzić, że

a = 1, b = 3 i c = 2. Następnie

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 i wtedy równanie ma dwa pierwiastki. I to nie jest prawdą. (Patrz rozwiązanie przykładu 2 powyżej).

Jeżeli więc równanie nie jest zapisane jako wielomian postaci standardowej, to w pierwszej kolejności należy zapisać pełne równanie kwadratowe jako wielomian postaci standardowej (na pierwszym miejscu powinien znajdować się jednomian o największym wykładniku, czyli A x 2 , a potem mniej – bx a następnie darmowy członek Z.

Rozwiązując zredukowane równanie kwadratowe i równanie kwadratowe z parzystym współczynnikiem w drugim członie, możesz użyć innych wzorów. Zapoznajmy się z tymi formułami. Jeżeli w pełnym równaniu kwadratowym drugi wyraz ma parzysty współczynnik (b = 2k), to równanie można rozwiązać korzystając ze wzorów pokazanych na schemacie na rysunku 2.

Pełne równanie kwadratowe nazywa się zredukowanym, jeśli współczynnik w x 2 jest równe jeden i równanie przyjmuje postać x 2 + px + q = 0. Takie równanie można podać do rozwiązania lub można je otrzymać dzieląc wszystkie współczynniki równania przez współczynnik A, stojąc przy x 2 .

Rysunek 3 przedstawia schemat rozwiązywania zredukowanego kwadratu
równania. Spójrzmy na przykład zastosowania formuł omówionych w tym artykule.

Przykład. Rozwiązać równanie

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Rozwiążmy to równanie, korzystając ze wzorów pokazanych na schemacie na rysunku 1.

re = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Odpowiedź: –1 – √3; –1 + √3

Można zauważyć, że współczynnik x w tym równaniu jest liczbą parzystą, czyli b = 6 lub b = 2k, skąd k = 3. Następnie spróbujmy rozwiązać równanie korzystając ze wzorów pokazanych na schemacie rysunku D 1 = 3 2 – 3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Odpowiedź: –1 – √3; –1 + √3. Zauważając, że wszystkie współczynniki w tym równaniu kwadratowym są podzielne przez 3 i wykonując dzielenie, otrzymujemy zredukowane równanie kwadratowe x 2 + 2x – 2 = 0 Rozwiąż to równanie korzystając ze wzorów na zredukowane równanie kwadratowe
równania rysunek 3.

re 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Odpowiedź: –1 – √3; –1 + √3.

Jak widać, rozwiązując to równanie za pomocą różnych wzorów, otrzymaliśmy tę samą odpowiedź. Dlatego po dokładnym opanowaniu wzorów pokazanych na schemacie na ryc. 1 zawsze będziesz w stanie rozwiązać dowolne pełne równanie kwadratowe.

stronie internetowej, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do źródła.