Przygotowanie do jednolitego egzaminu państwowego. Rozwiązywanie nierówności logarytmicznych i wykładniczych metodą racjonalizacyjną. Praca Manovskaya „Nierówności logarytmiczne w ujednoliconym egzaminie państwowym” Rozwiązanie profilu nierówności logarytmicznych ujednoliconego egzaminu państwowego

Sekcje: Matematyka

Często przy podejmowaniu decyzji nierówności logarytmiczne, występują problemy ze zmienną podstawą logarytmu. Zatem nierówność formy

jest standardową nierównością szkolną. Z reguły, aby go rozwiązać, stosuje się przejście do równoważnego zestawu systemów:

Wadą tej metody jest konieczność rozwiązania siedmiu nierówności, nie licząc dwóch układów i jednej populacji. Już przy tych funkcjach kwadratowych rozwiązanie populacji może zająć dużo czasu.

Można zaproponować alternatywny, mniej czasochłonny sposób rozwiązania tej nierówności standardowej. Aby to zrobić, bierzemy pod uwagę następujące twierdzenie.

Twierdzenie 1. Niech na zbiorze X istnieje funkcja ciągła rosnąca. Wtedy na tym zbiorze znak przyrostu funkcji będzie pokrywał się ze znakiem przyrostu argumentu, tj. , Gdzie .

Uwaga: jeśli funkcja ciągła malejąca na zbiorze X, to .

Wróćmy do nierówności. Przejdźmy do logarytmu dziesiętnego (możesz przejść do dowolnego o stałej podstawie większej niż jeden).

Teraz możesz skorzystać z twierdzenia, zauważając przyrost funkcji w liczniku i w mianowniku. Więc to prawda

W rezultacie liczba obliczeń prowadzących do odpowiedzi zmniejsza się w przybliżeniu o połowę, co oszczędza nie tylko czas, ale także pozwala potencjalnie popełnić mniej błędów arytmetycznych i nieostrożnych.

Przykład 1.

Porównując z (1) znajdujemy , , .

Przechodząc do (2) będziemy mieli:

Przykład 2.

Porównując z (1) znajdujemy , , .

Przechodząc do (2) będziemy mieli:

Przykład 3.

Ponieważ lewa strona nierówności jest funkcją rosnącą jako i , wtedy odpowiedzi będzie wiele.

Liczne przykłady zastosowania Tematu 1 można łatwo rozszerzyć, biorąc pod uwagę Temat 2.

Niech na planie X funkcje , , , są zdefiniowane i na tym ustawiają znaki i pokrywają się, tj. , wtedy będzie sprawiedliwie.

Przykład 4.

Przykład 5.

Przy standardowym podejściu przykład rozwiązuje się według następującego schematu: iloczyn jest mniejszy od zera, gdy czynniki mają różne znaki. Te. rozważany jest zbiór dwóch systemów nierówności, w których, jak wskazano na początku, każda nierówność rozkłada się na siedem kolejnych.

Jeśli weźmiemy pod uwagę twierdzenie 2, to każdy z czynników, biorąc pod uwagę (2), można zastąpić inną funkcją o tym samym znaku w tym przykładzie O.D.Z.

Sposób zastąpienia przyrostu funkcji przyrostem argumentu, uwzględniając Twierdzenie 2, okazuje się bardzo wygodny przy rozwiązywaniu standardowych problemów C3 Unified State Examination.

Przykład 6.

Przykład 7.

. Oznaczmy . Dostajemy

. Należy pamiętać, że zamiana oznacza: . Wracając do równania, otrzymujemy .

Przykład 8.

W stosowanych przez nas twierdzeniach nie ma ograniczeń co do klas funkcji. W tym artykule, jako przykład, twierdzenia zostały zastosowane do rozwiązywania nierówności logarytmicznych. Poniższe kilka przykładów wykaże, że metoda rozwiązywania innych typów nierówności jest obiecująca.

NIERÓWNOŚCI LOGARYTMICZNE W UŻYCIU

Sieczin Michaił Aleksandrowicz

Mała Akademia Nauk dla Studentów Republiki Kazachstanu „Iskatel”

MBOU „Sowiecka Szkoła Średnia nr 1”, klasa 11, m. Rejon sowiecki, sowiecki

Gunko Ludmiła Dmitriewna, nauczycielka Miejskiej Budżetowej Instytucji Oświatowej „Sovetskaya Liceum nr 1”

Rejon sowiecki

Cel pracy: badanie mechanizmu rozwiązywania nierówności logarytmicznych C3 metodami niestandardowymi, identyfikacja interesujące fakty logarytm

Przedmiot badań:

3) Nauczyć się rozwiązywać określone nierówności logarytmiczne C3 metodami niestandardowymi.

Wyniki:

Treść

Wprowadzenie……………………………………………………………………………….4

Rozdział 1. Historia zagadnienia…………………………………………………...5

Rozdział 2. Zbieranie nierówności logarytmicznych ………………………… 7

2.1. Przejścia równoważne i uogólniona metoda przedziałów…………… 7

2.2. Metoda racjonalizacji…………………………………………………………… 15

2.3. Zastępstwo niestandardowe .................................................................................. ............... 22

2.4. Zadania z pułapkami…………………………………………………27

Zakończenie…………………………………………………………………………… 30

Literatura……………………………………………………………………. 31

Wstęp

Chodzę do 11. klasy i planuję rozpocząć studia na uniwersytecie, gdzie głównym przedmiotem jest matematyka. Dlatego dużo pracuję z problemami z części C. W zadaniu C3 muszę rozwiązać niestandardową nierówność lub układ nierówności, zwykle związany z logarytmami. Przygotowując się do egzaminu, stanąłem przed problemem niedoboru metod i technik rozwiązywania egzaminacyjnych nierówności logarytmicznych oferowanych w C3. Metody studiowane w szkolnym programie nauczania na ten temat nie stanowią podstawy do rozwiązywania zadań C3. Nauczycielka matematyki zasugerowała, żebym samodzielnie pracowała nad zadaniami na poziomie C3 pod jej okiem. Dodatkowo zaciekawiło mnie pytanie: czy w życiu spotykamy logarytmy?

Mając to na uwadze, wybrano temat:

„Nierówności logarytmiczne na egzaminie jednolitym”

Cel pracy: badanie mechanizmu rozwiązywania problemów C3 metodami niestandardowymi, identyfikowanie interesujących faktów dotyczących logarytmu.

Przedmiot badań:

1) Znajdź niezbędne informacje na temat niestandardowych metod rozwiązywania nierówności logarytmicznych.

2) Znajdź dodatkowe informacje na temat logarytmów.

3) Naucz się rozwiązywać konkretne problemy C3 przy użyciu niestandardowych metod.

Wyniki:

Praktyczne znaczenie polega na rozbudowie aparatury do rozwiązywania problemów C3. Materiał ten można wykorzystać na niektórych lekcjach, w klubach i na zajęciach fakultatywnych z matematyki.

Produktem projektu będzie zbiór „C3 Nierówności logarytmiczne z rozwiązaniami”.

Rozdział 1. Tło

Przez cały XVI wiek liczba obliczeń przybliżonych gwałtownie wzrosła, głównie w astronomii. Udoskonalanie instrumentów, badanie ruchów planet i inne prace wymagały kolosalnych, czasem wieloletnich obliczeń. Astronomii groziło realne niebezpieczeństwo utonięcia w niespełnionych obliczeniach. Trudności pojawiały się w innych obszarach, np. w branży ubezpieczeniowej, potrzebne były tabele oprocentowania złożonego dla różnych stóp procentowych. Główną trudnością było mnożenie i dzielenie liczb wielocyfrowych, zwłaszcza wielkości trygonometrycznych.

Odkrycie logarytmów opierało się na właściwościach progresji, które były dobrze znane pod koniec XVI wieku. O związku między wyrazami postępu geometrycznego q, q2, q3, ... i postęp arytmetyczny ich wskaźniki to 1, 2, 3,... Archimedes wypowiadał się w swoim „Psalmitis”. Kolejnym warunkiem wstępnym było rozszerzenie pojęcia stopnia na wykładniki ujemne i ułamkowe. Wielu autorów wskazywało, że mnożenie, dzielenie, potęgowanie i ekstrakcja pierwiastków w postępie geometrycznym odpowiadają w arytmetyce – w tej samej kolejności – dodawaniu, odejmowaniu, mnożeniu i dzieleniu.

Oto idea logarytmu jako wykładnika.

W historii rozwoju doktryny logarytmów minęło kilka etapów.

Scena 1

Logarytmy zostały wynalezione nie później niż w 1594 roku niezależnie przez szkockiego barona Napiera (1550-1617), a dziesięć lat później przez szwajcarskiego mechanika Bürgi (1552-1632). Obaj chcieli zapewnić nowy, wygodny sposób obliczeń arytmetycznych, chociaż podeszli do tego problemu na różne sposoby. Napier kinematycznie wyraził funkcję logarytmiczną i w ten sposób wkroczył w nową dziedzinę teorii funkcji. Bürgi pozostał w oparciu o rozważenie dyskretnych progresji. Jednak definicja logarytmu dla obu nie jest podobna do współczesnej. Termin „logarytm” (logarytm) należy do Napiera. Powstało z połączenia greckich słów: logos – „relacja” i ariqmo – „liczba”, co oznaczało „liczbę relacji”. Początkowo Napier używał innego określenia: numeri Artificiales – „liczby sztuczne”, w przeciwieństwie do numeri naturalts – „liczby naturalne”.

W 1615 roku w rozmowie z Henrym Briggsem (1561-1631), profesorem matematyki w Gresh College w Londynie, Napier zasugerował przyjmowanie zera jako logarytmu jedności i 100 jako logarytmu dziesięciu, czyli co równa się temu rzecz, tylko 1. Tak wydrukowano logarytmy dziesiętne i pierwsze tablice logarytmiczne. Później tablice Briggsa uzupełnił holenderski księgarz i miłośnik matematyki Adrian Flaccus (1600-1667). Napier i Briggs, choć do logarytmów doszli wcześniej niż wszyscy inni, swoje tablice opublikowali później niż pozostali – w roku 1620. Znaki dziennika i kłody wprowadził w 1624 r. I. Kepler. Termin „logarytm naturalny” wprowadził Mengoli w 1659 r., a następnie N. Mercator w 1668 r., a londyński nauczyciel John Speidel opublikował tablice logarytmów naturalnych liczb od 1 do 1000 pod nazwą „Nowe logarytmy”.

Pierwsze tablice logarytmiczne opublikowano w języku rosyjskim w 1703 roku. Ale we wszystkich tabelach logarytmicznych wystąpiły błędy obliczeniowe. Pierwsze bezbłędne tablice ukazały się w 1857 roku w Berlinie, a ich opracowaniem zajął się niemiecki matematyk K. Bremiker (1804-1877).

Etap 2

Dalszy rozwój teorii logarytmów wiąże się z szerszym zastosowaniem geometrii analitycznej i rachunku nieskończenie małego. Do tego czasu ustalono związek między kwadraturą hiperboli równobocznej a logarytmem naturalnym. Teoria logarytmów tego okresu jest związana z nazwiskami wielu matematyków.

Niemiecki matematyk, astronom i inżynier Nikolaus Mercator w eseju

„Logarithmotechnics” (1668) podaje szereg dający rozwinięcie ln(x+1) w

potęgi x:

Wyrażenie to dokładnie odpowiada jego tokowi myślenia, chociaż oczywiście nie użył znaków d, ..., ale bardziej uciążliwą symbolikę. Wraz z odkryciem szeregu logarytmicznego zmieniła się technika obliczania logarytmów: zaczęto je wyznaczać za pomocą szeregów nieskończonych. W swoich wykładach „Elementarna matematyka z wyższego punktu widzenia”, wygłaszanych w latach 1907-1908, F. Klein zaproponował przyjęcie wzoru jako punktu wyjścia do konstruowania teorii logarytmów.

Etap 3

Definicja funkcji logarytmicznej jako funkcji odwrotnej

wykładniczy, logarytm jako wykładnik danej podstawy

nie został sformułowany od razu. Esej Leonharda Eulera (1707-1783)

„Wprowadzenie do analizy nieskończoności” (1748) posłużyło do dalszego rozwoju

rozwój teorii funkcji logarytmicznych. Zatem,

Od czasu pierwszego wprowadzenia logarytmów minęły 134 lata

(licząc od 1614 r.), zanim matematycy doszli do definicji

pojęcie logarytmu, które jest obecnie podstawą zajęć szkolnych.

Rozdział 2. Zbiór nierówności logarytmicznych

2.1. Przejścia równoważne i uogólniona metoda przedziałów.

Równoważne przejścia

, jeśli a > 1

, jeśli 0 < а < 1

Uogólniona metoda interwałowa

Metoda ta jest najbardziej uniwersalna przy rozwiązywaniu nierówności niemal każdego typu. Schemat rozwiązania wygląda następująco:

1. Doprowadź nierówność do postaci, w której występuje funkcja po lewej stronie
, a po prawej 0.

2. Znajdź dziedzinę funkcji
.

3. Znajdź zera funkcji
, czyli rozwiązać równanie
(a rozwiązanie równania jest zwykle łatwiejsze niż rozwiązanie nierówności).

4. Narysuj dziedzinę definicji i zera funkcji na osi liczbowej.

5. Wyznacz znaki funkcji
na otrzymanych interwałach.

6. Wybierz przedziały, w których funkcja przyjmuje wymagane wartości i zapisz odpowiedź.

Przykład 1.

Rozwiązanie:

Zastosujmy metodę interwałową

Gdzie

Dla tych wartości wszystkie wyrażenia pod znakami logarytmicznymi są dodatnie.

Odpowiedź:

Przykład 2.

Rozwiązanie:

1 sposób . ADL zależy od nierówności X> 3. Branie logarytmów dla takich X w podstawie 10, otrzymujemy

Ostatnią nierówność można rozwiązać stosując reguły rozwinięcia, tj. porównywanie czynników do zera. Jednak w tym przypadku łatwo jest wyznaczyć przedziały znaku stałego funkcji

dlatego można zastosować metodę interwałową.

Funkcjonować F(X) = 2X(X- 3.5)lgǀ X- 3ǀ jest ciągłe w X> 3 i znika w punktach X 1 = 0, X 2 = 3,5, X 3 = 2, X 4 = 4. W ten sposób wyznaczamy przedziały stałego znaku funkcji F(X):

Odpowiedź:

2. metoda . Zastosujmy bezpośrednio idee metody przedziałowej do pierwotnej nierówności.

Aby to zrobić, pamiętaj, że wyrażenia A B- A c i ( A - 1)(B- 1) mają jeden znak. Wtedy nasza nierówność w X> 3 jest równoważne nierówności

Lub

Ostatnią nierówność rozwiązuje się metodą przedziałową

Odpowiedź:

Przykład 3.

Rozwiązanie:

Zastosujmy metodę interwałową

Odpowiedź:

Przykład 4.

Rozwiązanie:

Od 2 X 2 - 3X+ 3 > 0 dla wszystkich rzeczywistych X, To

Do rozwiązania drugiej nierówności używamy metody przedziałowej

W pierwszej nierówności dokonujemy zamiany

wtedy dochodzimy do nierówności 2y 2 - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те y, które spełniają nierówność -0,5< y < 1.

Skąd, ponieważ

otrzymujemy nierówność

który jest wykonywany kiedy X, dla którego 2 X 2 - 3X - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

Teraz, biorąc pod uwagę rozwiązanie drugiej nierówności układu, ostatecznie otrzymujemy

Odpowiedź:

Przykład 5.

Rozwiązanie:

Nierówność jest równoważna zbiorowi systemów

Lub

Użyjmy metody interwałowej lub

Odpowiedź:

Przykład 6.

Rozwiązanie:

Nierówność równa się systemowi

Pozwalać

Następnie y > 0,

i pierwsza nierówność

system przybiera formę

lub rozkładanie

rozłożony na czynniki trójmian kwadratowy,

Stosując metodę przedziałową do ostatniej nierówności,

widzimy, że jego rozwiązania spełniają warunek y> 0 będzie wszystkim y > 4.

Zatem pierwotna nierówność jest równoważna systemowi:

Zatem są wszystkie rozwiązania nierówności

2.2. Metoda racjonalizacji.

Wcześniej nierówności nie rozwiązywano metodą racjonalizacji, nie było o tym wiadomo. To jest „nowa nowoczesność” skuteczna metoda rozwiązania nierówności wykładniczych i logarytmicznych” (cytat z książki S.I. Kolesnikowej)
A nawet jeśli nauczyciel go znał, była obawa - czy zna go ekspert od Unified State Exam i dlaczego nie dają go w szkole? Zdarzały się sytuacje, gdy nauczyciel mówił do ucznia: „Skąd to wziąłeś? Usiądź – 2”.
Teraz metoda jest promowana na całym świecie. A dla ekspertów istnieją wytyczne związane z tą metodą, a w „Najbardziej kompletnych edycjach opcji standardowych…” w Rozwiązaniu C3 zastosowano tę metodę.
WSPANIAŁA METODA!

„Magiczny stół”

W innych źródłach

Jeśli a >1 i b >1, następnie log a b >0 i (a -1)(b -1) >0;

Jeśli a >1 i 0

jeśli 0<A<1 и b >1, następnie zaloguj a b<0 и (a -1)(b -1)<0;

jeśli 0<A<1 и 00 i (a -1)(b -1)>0.

Przeprowadzone rozumowanie jest proste, ale znacznie upraszcza rozwiązanie nierówności logarytmicznych.

Przykład 4.

log x (x 2 -3)<0

Rozwiązanie:

Przykład 5.

log 2 x (2x 2 -4x +6)≤log 2 x (x 2 +x )

Rozwiązanie:

Odpowiedź. (0; 0,5)U.

Przykład 6.

Aby rozwiązać tę nierówność, zamiast mianownika piszemy (x-1-1)(x-1), a zamiast licznika piszemy iloczyn (x-1)(x-3-9 + x).

Odpowiedź : (3;6)

Przykład 7.

Przykład 8.

2.3. Zamiennik niestandardowy.

Przykład 1.

Przykład 2.

Przykład 3.

Przykład 4.

Przykład 5.

Przykład 6.

Przykład 7.

log 4 (3 x -1)log 0,25

Dokonajmy zamiany y=3 x -1; wtedy ta nierówność przybierze postać

Log 4 log 0,25
.

Ponieważ log 0,25 = -log 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , to ostatnią nierówność zapisujemy jako 2log 4 y -log 4 2 y ≤.

Dokonajmy zamiany t =log 4 y i otrzymajmy nierówność t 2 -2t +≥0, której rozwiązaniem są przedziały - .

Zatem, aby znaleźć wartości y, mamy zestaw dwóch prostych nierówności
Rozwiązaniem tego zbioru są przedziały 0<у≤2 и 8≤у<+.

Dlatego pierwotna nierówność jest równoważna zbiorowi dwóch nierówności wykładniczych,
czyli agregaty

Rozwiązaniem pierwszej nierówności tego zbioru jest przedział 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+. Zatem pierwotna nierówność jest spełniona dla wszystkich wartości x z przedziałów 0<х≤1 и 2≤х<+.

Przykład 8.

Rozwiązanie:

Nierówność równa się systemowi

Rozwiązaniem drugiej nierówności wyznaczającej ODZ będzie ich zbiór X,

dla którego X > 0.

Aby rozwiązać pierwszą nierówność, dokonujemy podstawienia

Wtedy otrzymujemy nierówność

Lub

Metoda polega na znalezieniu zbioru rozwiązań ostatniej nierówności

interwały: -1< T < 2. Откуда, возвращаясь к переменной X, otrzymujemy

Lub

Dużo tych X, które spełniają ostatnią nierówność

należy do ODZ ( X> 0), jest zatem rozwiązaniem układu,

i stąd pierwotna nierówność.

Odpowiedź:

2.4. Zadania z pułapkami.

Przykład 1.

.

Rozwiązanie. ODZ nierówności to wszystkie x spełniające warunek 0 . Zatem wszystkie x należą do przedziału 0

Przykład 2.

log 2 (2 x +1-x 2)>log 2 (2 x-1 +1-x)+1.. ? Chodzi o to, że druga liczba jest oczywiście większa niż

Wniosek

Znalezienie konkretnych metod rozwiązywania problemów C3 w dużej liczbie różnych źródeł edukacyjnych nie było łatwe. W trakcie wykonanej pracy miałem okazję poznać niestandardowe metody rozwiązywania złożonych nierówności logarytmicznych. Są to: przejścia równoważne i uogólniona metoda przedziałów, metoda racjonalizacji , substytucja niestandardowa , zadania z pułapkami na ODZ. Metody te nie są uwzględnione w programie nauczania w szkole.

Używając różnych metod, rozwiązałem 27 nierówności zaproponowanych na Unified State Exam w części C, czyli C3. Te nierówności z rozwiązaniami metodami stały się podstawą zbioru „C3 Nierówności logarytmiczne z rozwiązaniami”, który stał się produktem projektowym mojej działalności. Hipoteza, którą postawiłem na początku projektu, potwierdziła się: problemy C3 można skutecznie rozwiązać, znając te metody.

Ponadto odkryłem ciekawe fakty dotyczące logarytmów. Zrobienie tego było dla mnie interesujące. Produkty mojego projektu będą przydatne zarówno dla uczniów, jak i nauczycieli.

Wnioski:

Tym samym cel projektu został osiągnięty, a problem rozwiązany. Otrzymałem najbardziej kompletne i różnorodne doświadczenie w zakresie działań projektowych na wszystkich etapach pracy. Podczas pracy nad projektem mój główny wpływ rozwojowy dotyczył kompetencji umysłowych, czynności związanych z logicznymi operacjami umysłowymi, rozwoju kompetencji twórczych, inicjatywy osobistej, odpowiedzialności, wytrwałości i aktywności.

Gwarancja sukcesu przy tworzeniu projektu badawczego dla Zdobyłem: duże doświadczenie szkolne, umiejętność pozyskiwania informacji z różnych źródeł, sprawdzania ich wiarygodności i uszeregowania ich według ważności.

Oprócz bezpośredniej wiedzy przedmiotowej z matematyki, poszerzyłem swoje umiejętności praktyczne z zakresu informatyki, zdobyłem nową wiedzę i doświadczenie z zakresu psychologii, nawiązałem kontakty z kolegami i koleżankami z klasy, a także nauczyłem się współpracy z dorosłymi. W trakcie działań projektowych rozwijane były ogólne umiejętności organizacyjne, intelektualne i komunikacyjne.

Literatura

1. Koryanov A. G., Prokofiew A. A. Układy nierówności z jedną zmienną (zadania standardowe C3).

2. Malkova A. G. Przygotowanie do jednolitego egzaminu państwowego z matematyki.

3. Samarova S. S. Rozwiązywanie nierówności logarytmicznych.

4. Matematyka. Zbiór prac szkoleniowych pod redakcją A.L. Semenow i I.V. Jaszczenko. -M.: MTsNMO, 2009. - 72 s.-

Artykuł poświęcony jest analizie zadań 15 z profilu Unified State Examination z matematyki na rok 2017. W tym zadaniu uczniowie proszeni są o rozwiązanie nierówności, najczęściej logarytmicznych. Chociaż mogą istnieć orientacyjne. W artykule dokonano analizy przykładów nierówności logarytmicznych, w tym nierówności zawierających zmienną w podstawie logarytmu. Wszystkie przykłady pochodzą z otwartego banku zadań Unified State Examination z matematyki (profil), więc takie nierówności prawdopodobnie spotkają się na egzaminie jako zadanie 15. Idealne dla tych, którzy chcą nauczyć się rozwiązywać zadanie 15 z drugiej części profilu Unified State Exam w krótkim czasie z matematyki, aby uzyskać więcej ocen na egzaminie.

Analiza zadań 15 z profilu Unified State Examination z matematyki

Przykład 1. Rozwiąż nierówność:

W zadaniach 15 Unified State Exam z matematyki (profil) często spotyka się nierówności logarytmiczne. Rozwiązywanie nierówności logarytmicznych rozpoczyna się od określenia zakresu dopuszczalnych wartości. W tym przypadku w podstawie obu logarytmów nie ma zmiennej, jest tylko liczba 11, co znacznie upraszcza problem. Zatem jedynym ograniczeniem, jakie tu mamy, jest to, że oba wyrażenia pod znakiem logarytmu są dodatnie:

Title="Wyrenderowane przez QuickLaTeX.com">!}

Pierwszą nierównością w systemie jest nierówność kwadratowa. Aby go rozwiązać, naprawdę chcielibyśmy rozłożyć na czynniki lewą stronę. Myślę, że wiesz, że dowolny trójmian kwadratowy postaci rozkłada się na czynniki w następujący sposób:

gdzie i są pierwiastkami równania. W tym przypadku współczynnik wynosi 1 (jest to współczynnik liczbowy przed ). Współczynnik jest również równy 1, a współczynnik jest terminem fikcyjnym, jest równy -20. Pierwiastki trójmianu najłatwiej wyznaczyć za pomocą twierdzenia Viety. Podane przez nas równanie oznacza, że ​​suma pierwiastków będzie równa współczynnikowi o przeciwnym znaku, czyli -1, a iloczyn tych pierwiastków będzie równy współczynnikowi, czyli -20. Łatwo zgadnąć, że pierwiastki będą wynosić -5 i 4.

Teraz lewą stronę nierówności można rozłożyć na czynniki: title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="163" style="vertical-align: -5px;"> Решаем это неравенство. График соответствующей функции — это парабола, ветви которой направлены вверх. Эта парабола пересекает ось !} X w punktach -5 i 4. Oznacza to, że wymaganym rozwiązaniem nierówności jest przedział . Dla tych, którzy nie rozumieją, co tu jest napisane, możesz obejrzeć szczegóły na filmie, zaczynając od tego momentu. Znajdziesz tam również szczegółowe wyjaśnienie sposobu rozwiązania drugiej nierówności układu. Jest to rozwiązywane. Co więcej, odpowiedź jest dokładnie taka sama, jak w przypadku pierwszej nierówności układu. Oznacza to, że zbiór zapisany powyżej jest obszarem dopuszczalnych wartości nierówności.

Zatem biorąc pod uwagę faktoryzację, pierwotna nierówność przyjmuje postać:

Korzystając ze wzoru, do potęgi wyrażenia pod znakiem pierwszego logarytmu dodajemy 11, a drugi logarytm przesuwamy na lewą stronę nierówności, zmieniając jego znak na przeciwny:

Po redukcji otrzymujemy:

Ostatnia nierówność, ze względu na wzrost funkcji, jest równoważna nierówności , którego rozwiązaniem jest przedział . Pozostaje tylko przeciąć go obszarem dopuszczalnych wartości nierówności i to będzie odpowiedź na całe zadanie.

Zatem wymagana odpowiedź na zadanie wygląda następująco:

Zajęliśmy się tym zadaniem, teraz przechodzimy do kolejnego przykładowego zadania 15 z Unified State Exam z matematyki (profil).

Przykład 2. Rozwiąż nierówność:

Rozwiązanie zaczynamy od określenia zakresu dopuszczalnych wartości tej nierówności. U podstawy każdego logarytmu musi znajdować się liczba dodatnia, która nie jest równa 1. Wszystkie wyrażenia pod znakiem logarytmu muszą być dodatnie. Mianownik ułamka nie może zawierać zera. Ostatni warunek jest równoważny temu, że , bo tylko w przeciwnym razie oba logarytmy w mianowniku znikają. Wszystkie te warunki wyznaczają zakres dopuszczalnych wartości tej nierówności, dany następującym układem nierówności:

Title="Wyrenderowane przez QuickLaTeX.com">!}

W zakresie dopuszczalnych wartości możemy skorzystać ze wzorów na przeliczenie logarytmów, aby uprościć lewą stronę nierówności. Korzystanie z formuły pozbywamy się mianownika:

Teraz mamy tylko logarytmy z podstawą. To jest już wygodniejsze. Następnie używamy wzoru, a także wzoru, aby wyrażenie godne chwały doprowadzić do następującej postaci:

W obliczeniach wykorzystaliśmy wartości mieszczące się w dopuszczalnych granicach. Stosując podstawienie dochodzimy do wyrażenia:

Użyjmy jeszcze jednego zamiennika: . W rezultacie dochodzimy do następującego wyniku:

Stopniowo wracamy więc do oryginalnych zmiennych. Najpierw do zmiennej: