„Sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika” (ocena 5). Sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika, reguła, przykłady, rozwiązania Sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika 1 5

W tym artykule wyjaśniono, jak sprowadzać ułamki do wspólnego mianownika i jak znaleźć najniższy wspólny mianownik. Podano definicje, podano zasadę sprowadzania ułamków do wspólnego mianownika i rozważono praktyczne przykłady.

Na czym polega sprowadzanie ułamka do wspólnego mianownika?

Ułamki zwykłe składają się z licznika - górnej części i mianownika - dolnej części. Jeśli ułamki mają ten sam mianownik, mówi się, że sprowadza się je do wspólnego mianownika. Na przykład ułamki 11 14, 17 14, 9 14 mają ten sam mianownik 14. Inaczej mówiąc, sprowadza się je do wspólnego mianownika.

Jeśli ułamki mają różne mianowniki, zawsze można je sprowadzić do wspólnego mianownika za pomocą prostych kroków. Aby to zrobić, musisz pomnożyć licznik i mianownik przez pewne dodatkowe czynniki.

Oczywiste jest, że ułamków 4 5 i 3 4 nie sprowadza się do wspólnego mianownika. Aby to zrobić, musisz użyć dodatkowych współczynników 5 i 4, aby doprowadzić je do mianownika 20. Jak dokładnie to zrobić? Pomnóż licznik i mianownik ułamka 4 5 przez 4, a licznik i mianownik ułamka 3 4 pomnóż przez 5. Zamiast ułamków 4 5 i 3 4 otrzymujemy odpowiednio 16 20 i 15 20.

Sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika

Sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika polega na pomnożeniu liczników i mianowników ułamków przez takie czynniki, że wynikiem są identyczne ułamki o tym samym mianowniku.

Wspólny mianownik: definicja, przykłady

Jaki jest wspólny mianownik?

Wspólny mianownik

Wspólnym mianownikiem ułamków jest dowolny Liczba dodatnia, który jest wspólną wielokrotnością wszystkich podanych ułamków.

Innymi słowy, wspólnym mianownikiem pewnego zestawu ułamków będzie liczba naturalna, która jest podzielna przez wszystkie mianowniki tych ułamków bez reszty.

Szereg liczb naturalnych jest nieskończony i dlatego z definicji każdy zbiór ułamków zwykłych ma nieskończoną liczbę wspólnych mianowników. Innymi słowy, istnieje nieskończenie wiele wspólnych wielokrotności wszystkich mianowników pierwotnego zbioru ułamków.

Korzystając z definicji, łatwo znaleźć wspólny mianownik dla kilku ułamków. Niech będą ułamki 1 6 i 3 5. Wspólnym mianownikiem ułamków będzie dowolna dodatnia wspólna wielokrotność liczb 6 i 5. Takimi dodatnimi wspólnymi wielokrotnościami są liczby 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210 i tak dalej.

Spójrzmy na przykład.

Przykład 1. Wspólny mianownik

Czy ułamki 1 3, 21 6, 5 12 można sprowadzić do wspólnego mianownika, czyli 150?

Aby dowiedzieć się, czy tak jest, należy sprawdzić, czy 150 jest wspólną wielokrotnością mianowników ułamków, czyli dla liczb 3, 6, 12. Innymi słowy, liczba 150 musi dzielić się przez 3, 6, 12 bez reszty. Sprawdźmy:

150 ÷ ​​​​3 = 50, 150 ÷ ​​​​6 = 25, 150 ÷ ​​​​12 = 12,5

Oznacza to, że 150 nie jest wspólnym mianownikiem tych ułamków.

Najniższy wspólny mianownik

Najmniejszą liczbę naturalną spośród wielu wspólnych mianowników zbioru ułamków nazywamy najmniejszym wspólnym mianownikiem.

Najniższy wspólny mianownik

Najniższy wspólny mianownik ułamków to najmniejsza liczba wśród wszystkich wspólnych mianowników tych ułamków.

Najmniejszym wspólnym dzielnikiem danego zbioru liczb jest najmniejsza wspólna wielokrotność (LCM). LCM wszystkich mianowników ułamków jest najmniejszym wspólnym mianownikiem tych ułamków.

Jak znaleźć najmniejszy wspólny mianownik? Znalezienie go sprowadza się do znalezienia najmniejszej wspólnej wielokrotności ułamków. Spójrzmy na przykład:

Przykład 2: Znajdź najniższy wspólny mianownik

Musimy znaleźć najniższy wspólny mianownik dla ułamków 1 10 i 127 28.

Szukamy LCM liczb 10 i 28. Rozłóżmy je na proste czynniki i otrzymamy:

10 = 2 5 28 = 2 2 7 N O K (15, 28) = 2 2 5 7 = 140

Jak sprowadzić ułamek do najmniejszego wspólnego mianownika

Istnieje zasada wyjaśniająca, jak sprowadzać ułamki do wspólnego mianownika. Zasada składa się z trzech punktów.

Zasada sprowadzania ułamków do wspólnego mianownika

1. Znajdź najniższy wspólny mianownik ułamków.
2. Znajdź dodatkowy współczynnik dla każdego ułamka. Aby znaleźć współczynnik, podziel najniższy wspólny mianownik przez mianownik każdego ułamka.
3. Pomnóż licznik i mianownik przez znaleziony dodatkowy współczynnik.

Rozważmy zastosowanie tej zasady na konkretnym przykładzie.

Przykład 3: Sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika

Istnieją ułamki 3 14 i 5 18. Sprowadźmy je do najniższego wspólnego mianownika.

Zgodnie z regułą najpierw znajdujemy LCM mianowników ułamków.

14 = 2 7 18 = 2 3 3 N O K (14, 18) = 2 3 3 7 = 126

Dla każdego ułamka obliczamy dodatkowe współczynniki. Dla 3 14 dodatkowy współczynnik wynosi 126 ÷ 14 = 9, a dla ułamka 5 18 dodatkowy współczynnik wynosi 126 ÷ 18 = 7.

Mnożymy licznik i mianownik ułamków przez dodatkowe czynniki i otrzymujemy:

3 · 9 14 · 9 = 27 126, 5 · 7 18 · 7 = 35 126.

Sprowadzanie wielu ułamków do ich najniższego wspólnego mianownika

Zgodnie z rozważaną regułą do wspólnego mianownika można sprowadzić nie tylko pary ułamków, ale także ich większą liczbę.

Podajmy inny przykład.

Przykład 4: Sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika

Skróć ułamki 3 2 , 5 6 , 3 8 i 17 18 do ich najniższego wspólnego mianownika.

Obliczmy LCM mianowników. Znajdź LCM trzech lub więcej liczb:

NOK (2, 6) = 6 NOK (6, 8) = 24 NOK (24, 18) = 72 NOK (2, 6, 8, 18) = 72

Dla 3 2 dodatkowy współczynnik wynosi 72 ÷ 2 = 36, dla 5 6 dodatkowy współczynnik wynosi 72 ÷ 6 = 12, dla 3 8 dodatkowy współczynnik wynosi 72 ÷ 8 = 9, ostatecznie dla 17 18 dodatkowy współczynnik wynosi 72 ÷ 18 = 4.

Mnożymy ułamki przez dodatkowe czynniki i przechodzimy do najniższego wspólnego mianownika:

3 2 36 = 108 72 5 6 12 = 60 72 3 8 9 = 27 72 17 18 4 = 68 72

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Aby skorzystać z podglądu prezentacji utwórz konto Google i zaloguj się na nie: https://accounts.google.com

Podpisy slajdów:

Zapowiedź:

LEKCJA PUBLICZNA

5 KLASA

Nauczyciel matematyki

Miejskie edukacyjne

instytucja „Podstawowe

szkoła ogólnokształcąca nr 6” we wsi Donskoj, rejon Trunowski, Baltser (Sedina) Natalia Siergiejewna

Sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika.

Cele:

• zapoznanie uczniów z algorytmem sprowadzania ułamków do wspólnego mianownika i wykazanie orientacji praktycznej;
• rozwijać zainteresowania poznawcze uczniów, umiejętność dostrzegania powiązań z matematyką i otaczającym ich światem;
• kształtować kulturę informacyjną uczniów;
• Pielęgnuj kulturę komunikacji z komputerem.

Sprzęt:

Nauczyciel dysponuje komputerem, rzutnikiem multimedialnym,Power Point, materiały do ​​pracy w parach.

Uczniowie mają do dyspozycji zeszyty, podręczniki, ołówki, kredki i linijki.

Podczas zajęć

I. Moment organizacyjny.Wprowadzenie nauczyciela: nastrój emocjonalny, motywacja uczniów.

- Dzień dobry! Dzisiaj poprowadzę lekcję, Natalya Sergeevna. Bardzo się cieszę, że Cię widzę, jestem zainteresowany poznaniem Cię i współpracą z Tobą. Usiądź wygodnie, zrelaksuj się, spójrz sobie w oczy, uśmiechnij się do siebie, życz oczami sąsiadowi siedzącemu na biurku dobrego nastroju. Życzę również dobrego nastroju i aktywnej pracy.

Chłopaki, spójrzcie proszę na slajd (Slajd 2)

Przyszedłem do Ciebie z takim nastrojem, podnieś rękę jeśli Twój nastrój jest zgodny z moim.

Kto ma inny nastrój...

Postaram się utrzymać Cię na duchu podczas zajęć.Życzę powodzenia, powodzenia.

II. Aktualizowanie wiedzy.

Chłopaki, Niemcy wciąż mają to powiedzenie „wdawać się w ułamki”, co oznacza wchodzenie w trudną sytuację. Abyśmyście ty i ja nie popadli w ułamki, tj. w trudnej sytuacji i musi wiele wiedzieć i umieć. Zdefiniujmy obszar „wiedzy”. Co już wiesz i potrafisz zrobić za pomocą ułamków zwykłych.

Powtórzenie materiału z poprzedniej lekcji.

1. Jaka część godziny minęła od początku dnia? (slajd 3, 4, 5)

2. Jaką część pola zaorał kierowca ciągnika? (slajd 6)

3. Jaką część drogi przebył autobus? (slajd 7)

4. Jaka część śliwek została na talerzach? (slajd 8)

5. (Slajd 9) Sprowadź do mianownika 36 te ułamki, które są możliwe:

, , , , , , , , , , .

III.Nauka nowego materiału. (slajd 10)

W klasie 5 „A” wszyscy uczniowie w klasie stanowią dziewczęta, a chłopcy – wszystkich uczniów w klasie. Czy w klasie jest więcej chłopców czy dziewcząt?

Jakie ułamki możesz porównać, co musimy w tym celu zrobić?Skróć ułamki do tego samego mianownika.

- Jak myślisz, co będziemy robić na zajęciach?

Sprowadź ułamki do wspólnego mianownika.

Tak, tematem naszej lekcji jest „Sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika”.

(slajd 11).

Zapisz w zeszytach datę i temat lekcji: „Sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika”.

Dlaczego tego potrzebujemy?

Porównuj, wykonuj operacje na ułamkach, rozwiązuj problemy praktyczne.

Celem naszej lekcji jest nauczenie się, jak sprowadzać ułamki do wspólnego mianownika.

Sprowadźmy ułamki do tego samego mianownika.

Do jakiego mianownika można je sprowadzić?

Który z nich jest wygodniejszy i dlaczego?

(slajd 12).

To > oznacza, że ​​w klasie jest więcej dziewcząt

Odpowiedź : W klasie jest więcej dziewcząt.

Jesteśmy zatem przekonani, że możemy rozwiązać ten problem tylko wiedząc, jak sprowadzić ułamki do wspólnego mianownika.

Spróbujmy wspólnie sformułować regułę sprowadzania ułamków do wspólnego mianownika.

Zapoznaj się z „algorytmem” - zasadą sprowadzania ułamków do wspólnego mianownika.

(slajd 13).

Reguła:

dodatkowy mnożnik;

Tutaj mamy regułę, która okazuje się regułą, korzystając z tej reguły, zawsze możesz sprowadzić ułamki do wspólnego mianownika.

Jakie ułamki można sprowadzić do dowolnego nowego mianownika?

Daj przykłady.

(slajd 14). Zróbmy to razem. Zwracając uwagę na przypomnienie, prześledźmy to krok po kroku.

Jak sprowadzić ułamki do wspólnego mianownika?

IV. Minuta wychowania fizycznego.(slajd 15).

No dalej, zrób to ze mną

Ćwiczenie wygląda następująco:

Raz - wstaliśmy, przeciągnęliśmy się,

Dwa - pochylony, wyprostowany,

Trzy - klaszcz trzy razy w dłonie

Trzy skinienia głową.

Cztery ramiona szersze,

Pięć, sześć, usiądźcie cicho.

Odrzućmy siedem, osiem lenistwa.

V. Pracuj nad tematem lekcji.

Nr 806 (slajd 16).

Uczniowie pracują samodzielnie w parach. Organizowana jest kontrola czołowa.

Znajdź kilka liczb, które są wielokrotnościami dwóch podanych liczb. Podaj najmniejszą wspólną wielokrotność tych liczb:jest liczbą podzielną zarówno przez 3, jak i 7

a) 3 i 7; b) 4 i 5; c) 6 i 12; d) 4 i 6.

Nr 808. (slajd 17). Teraz będziecie pracować w parach, zachowajcie ostrożność podczas wykonywania zadania.

Sprowadź ułamki do wspólnego mianownika, na biurku masz tabelę z odpowiedziami, uzupełnij rozwiązanie w zeszycie i zapisz ułamki z nowymi mianownikami w tabeli.

A) ; B) ; V) ; G) ;

D) ; B) ; V) ; G) .

odpowiedzi: (slajd 18, 19).

Która para ukończyła go bez błędów? Dobrze zrobiony! Cienki!

A kto ma jeden błąd? A dla tych, którym nie udało się ukończyć go bez błędów, nie martwcie się, dopiero zaczynamy zgłębiać temat i będziecie nad nim pracować na kolejnych lekcjach.

VI. Zreasumowanie.(slajd 20).

Nauczyciel zadaje uczniom następujące pytania:

Jaki cel postawiliśmy sobie na początku lekcji?

Czy sądzisz, że osiągnęliśmy ten cel?

Jak sprowadzić ułamek do najmniejszego mianownika?

Aby więc doprowadzić ułamki do wspólnego mianownika, co należy zrobić

Gdzie potrzebujemy ułamków?(slajd 21)

Co pamiętasz z lekcji?

Potrzebne są wszelkiego rodzaju ułamki
Wszystkie ułamki są ważne.
Naucz się zatem ułamków

szczęście zaświeci na ciebie.
Jeśli znasz ułamki zwykłe,
Właśnie sens ich zrozumienia,
To nawet stanie się łatwe

trudne zadanie!

Chłopaki, którzy uważają, że lekcja była dla was przydatna i zrozumieliście wszystko, co zostało powiedziane i zrobione na lekcji, wybierzcie czerwony prostokąt, odłóżcie go na bok iwpisz D/Z do „5”

Chłopaki, którzy uważają, że lekcja była interesująca, w pewnym stopniu dla Was przydatna, czuliście się podczas lekcji całkiem komfortowo, proszę zaznaczyć żółty prostokąt, odłożyć go na bok iwpisz D/Z do „4”

Chłopaki, którzy myślą, że zrozumieliście, co było omawiane na lekcji, ale powinniście zasięgnąć porady nauczyciela, proszę zaznaczyć zielony prostokąt, odłożyć go na bok iwpisz D/Z do „3”.

VII. Praca domowa(slajd 22):

klauzula 8.4, nr 809, nr 812, w „5” - nr 813.

Było mi bardzo miło z Państwem współpracować, jestem w dobrym humorze. Czy Twój nastrój zmienił się podczas lekcji? Chciałbym odnotować i dać 5 za aktywną pracę na lekcji. Wychodząc z zajęć, chłopaki, przymocujcie wybraną kartę do tablicy. Dziękuję za lekcję. Powodzenia! (Slajd 23) Dziękuję za lekcję!

Aplikacja

№ 808

№ 808 Sprowadź do najniższego wspólnego mianownika ułamka.

№ 808 Sprowadź do najniższego wspólnego mianownika ułamka.№ 808 Sprowadź do najniższego wspólnego mianownika ułamka.

Aplikacja

Reguła:

Aby sprowadzić ułamki do wspólnego mianownika należy:
1) wybrać najniższy wspólny mianownik;
2) podziel najniższy wspólny mianownik przez mianowniki tych ułamków, tj. znajdź dla każdego ułamkadodatkowy mnożnik;
3) pomnóż licznik i mianownik każdego ułamka przez jego dodatkowy współczynnik.

Reguła:

Aby sprowadzić ułamki do wspólnego mianownika należy:
1) wybrać najniższy wspólny mianownik;
2) podziel najniższy wspólny mianownik przez mianowniki tych ułamków, tj. znajdź dla każdego ułamkadodatkowy mnożnik;
3) pomnóż licznik i mianownik każdego ułamka przez jego dodatkowy współczynnik.

Temat lekcji: Sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika

Cele:

edukacyjny: rozwinąć umiejętność redukcji ułamków do najniższego wspólnego mianownika i znaleźć dodatkowy czynnik w bardziej złożonych przypadkach; rozwinąć umiejętność zamiany ułamków zwykłych na dziesiętne;

rozwijanie: rozwijają logiczne myślenie, pamięć,umiejętności informatycznych uczniów

Edukacyjne: kultywowanie zainteresowania poznawczego tematem

Podczas zajęć

I. Moment organizacyjny

II. Liczenie werbalne

1. Znajdź największy wspólny dzielnik i najmniejszą wspólną wielokrotność liczb: 10 i 12; 12 i 8; 15 i 9; 6 i 4; 6 i 8; 12 i 15; 12 i 10; 16 i 20; 11 i 7.

2. Dwóch turystów opuściło ten sam punkt w tym samym czasie w różnych kierunkach. Prędkość pierwszego turysty wynosi 6 km/h, prędkość drugiego 7 km/h. Jak daleko od siebie będą po 3 godzinach?

3. Pompa napełnia basen w 48 minut. Jaką część basenu napełni pompa w ciągu 1 minuty?

4. W rodzinie jest pięciu synów, każdy z nich ma jedną siostrę. Ile dzieci jest w rodzinie? (6 dzieci.)

III . Wiadomość dotycząca tematu lekcji

- Na ostatniej lekcji zredukowaliśmy ułamki zwykłe do nowego mianownika. Dzisiaj znajdziemy wspólny mianownik dla kilku ułamków i dowiemy się, jaki jest najmniejszy wspólny mianownik ułamków.

IV. Nauka nowego materiału

1. Dowolne 2 ułamki można sprowadzić do tego samego mianownika, czyli innymi słowy do wspólnego mianownika.

- Znajdź kilka wspólnych mianowników ułamków. Podaj ich najniższy wspólny mianownik.

Wspólnym mianownikiem ułamków może być dowolna wspólna wielokrotność ich mianowników .

W tym przypadku z reguły starają się wybrać najniższy wspólny mianownik (LCD) - wtedy obliczenia z ułamkami okazują się prostsze. Najmniejszy wspólny mianownik jest równy najmniejszej wspólnej wielokrotności mianowników danych ułamków.

2. Przyjrzyjmy się przykładom, jak znaleźć NC ułamków.

1) Sprowadźmy ułamki 7/21 i 2/7 do wspólnego mianownika.

- Co jest specjalnego w liczbach 21 i 7? (21 jest podzielne przez 7.)

(Nauczyciel podaje uzasadnienie.)

- Większy mianownik - liczba 21 - jest dzielony przez mniejszy mianownik 7, dlatego można go przyjąć jako wspólny mianownik tych ułamków. Ten wspólny mianownik jest najniższy z możliwych.

Oznacza to, że musimy tylko doprowadzić ułamek 2/7 do mianownika 21. Aby to zrobić, znajdziemy dodatkowy czynnik: 21: 7 = 3.

- Jaki wniosek można wyciągnąć? (Jeśli jeden mianownik ułamka zostanie podzielony przez inny, wówczas N3 będzie większym mianownikiem.)

2) Sprowadźmy ułamki 3/4 i 2/5 do wspólnego mianownika.

- Co możesz powiedzieć o liczbach 4 i 5? (Liczby są względnie pierwsze.) Wspólny mianownik tych ułamków musi być podzielny zarówno przez 4, jak i 5, tj. być ich wspólną wielokrotnością. Istnieje nieskończona liczba wspólnych wielokrotności 4 i 5: 20, 40, 60, 80 itd. Najmniejsza wielokrotność 20 jest iloczynem 4 i 5.

Oznacza to, że musisz doprowadzić każdy z ułamków do mianownika 20:

- Jaki wniosek można wyciągnąć? (Jeśli mianowniki ułamków są wzajemnie pierwsze, wówczas najniższym wspólnym mianownikiem jest ich iloczyn.)

V. Minuta wychowania fizycznego

VI. Praca nad zadaniem

VII. Utrwalenie poznanego materiału

1. nr 279 s. 45 (ustnie). Pracujcie w parach.

Jedna osoba z pary odpowiada nauczycielowi.

- Dlaczego ułamka 3/5 nie można sprowadzić do mianownika 36? (36 nie jest wielokrotnością 5.)

2. nr 283 (a-e) s. 46 (z komentarzem szczegółowym na tablicy i w zeszytach, a) b) szczegółowo zapisz rozwiązanie, następnie wypowiedz wszystko ustnie, zapisz tylko ułamki zwykłe z nowym mianownikiem).

Rozwiązanie:

Dodatkowe mnożniki: 24: 6 = 4, 24: 8 = 3.

Dodatkowe mnożniki: 45: 9 = 5, 45: 15 = 3.

3. Nazwij liczby, które:

a) więcej niż 4/7, ale mniej niż 5/7; b) więcej niż 1/6, ale mniej niż 2/6; c) więcej niż 5/8, ale mniej niż 3/4.

- Co należy zrobić, aby wykonać zadanie? (Doprowadź ułamki do nowego mianownika.)

4. Nr 281 s. 46 (c) (jeden uczeń na odwrocie tablicy, pozostali w zeszytach, test własny).

Rozwiązanie:

VIII. Niezależna praca

Opcja I

1. Zmniejsz ułamki do nowego mianownika 24:

2. Zmniejsz ułamek 3/5 do nowego mianownika: 15; 25; 40; 55; 250; 300.

Opcja II

1. Skróć ułamki do nowego mianownika 48:

2. Zmniejsz ułamek 4/7 do nowego mianownika: 14; 28; 49; 70; 210; 350.

3. Wyraź ułamek w setnych:

Opcja III (dla uczniów bardziej zaawansowanych)

1. Zmniejsz ułamki do nowego mianownika 84:

2. Zmniejsz ułamek 5/8 do nowego mianownika: 16; 24; 56; 80; 240; 3200.

3. Wyraź ułamek w setnych:

IX. Utrwalenie poznanego materiału

1. nr 290 s. 47 (ustnie). Pracujcie w parach.

- Czego użyłeś do rozwiązania tego problemu? (Główna właściwość ułamka.)

- Podaj główną własność ułamka.

(Odpowiedź: a) x = 3, b) x = 5, c) x = 5, d) x = 7.)

2. nr 289 (c, d) s. 47 (niezależna, wzajemna weryfikacja).

- Jaka liczba jest największym wspólnym dzielnikiem licznika i mianownika?

X. Podsumowanie lekcji

- Jaka liczba może służyć jako wspólny mianownik dwóch ułamków?

- Jak sprowadzić ułamki do najniższego wspólnego mianownika?

- Na jakiej właściwości opiera się zasada sprowadzania ułamków do wspólnego mianownika?

Praca domowa:

Ułamki mają różne lub identyczne mianowniki. Ten sam mianownik lub inaczej nazywany wspólny mianownik na ułamku. Przykład wspólnego mianownika:

\(\frac(17)(5), \frac(1)(5)\)

Przykład różnych mianowników ułamków:

\(\frac(8)(3), \frac(2)(13)\)

Jak sprowadzić ułamek do wspólnego mianownika?

Mianownik pierwszego ułamka to 3, mianownik drugiego to 13. Musisz znaleźć liczbę podzielną zarówno przez 3, jak i 13. Ta liczba to 39.

Pierwszy ułamek należy pomnożyć przez dodatkowy mnożnik 13. Aby mieć pewność, że ułamek się nie zmieni, musimy pomnożyć zarówno licznik przez 13, jak i mianownik.

\(\frac(8)(3) = \frac(8 \times \color(red) (13))(3 \times \color(red) (13)) = \frac(104)(39)\)

Drugi ułamek mnożymy przez dodatkowy współczynnik 3.

\(\frac(2)(13) = \frac(2 \times \color(red) (3))(13 \times \color(red) (3)) = \frac(6)(39)\)

Sprowadziliśmy ułamek do wspólnego mianownika:

\(\frac(8)(3) = \frac(104)(39), \frac(2)(13) = \frac(6)(39)\)

Najniższy wspólny mianownik.

Spójrzmy na inny przykład:

Sprowadźmy ułamki \(\frac(5)(8)\) i \(\frac(7)(12)\) do wspólnego mianownika.

Wspólnym mianownikiem liczb 8 i 12 mogą być liczby 24, 48, 96, 120, ..., zwykle wybiera się najniższy wspólny mianownik w naszym przypadku jest to liczba 24.

Najniższy wspólny mianownik to najmniejsza liczba, przez którą można podzielić mianownik pierwszego i drugiego ułamka.

Jak znaleźć najmniejszy wspólny mianownik?
Metoda wyliczania liczb, według której dzielimy mianownik pierwszego i drugiego ułamka i wybieramy najmniejszy.

Musimy pomnożyć ułamek o mianowniku 8 przez 3, a ułamek o mianowniku 12 pomnożyć przez 2.

\(\begin(align)&\frac(5)(8) = \frac(5 \times \color(red) (3))(8 \times \color(red) (3)) = \frac(15 )(24)\\\\&\frac(7)(12) = \frac(7 \times \color(red) (2))(12 \times \color(red) (2)) = \frac( 14)(24)\\\\\koniec(wyrównaj)\)

Jeśli nie możesz od razu sprowadzić ułamków do najniższego wspólnego mianownika, nie ma się czym martwić; w przyszłości, rozwiązując przykład, być może będziesz musiał uzyskać otrzymaną odpowiedź.

Wspólny mianownik można znaleźć dla dowolnych dwóch ułamków; może to być iloczyn mianowników tych ułamków.

Na przykład:
Skróć ułamki \(\frac(1)(4)\) i \(\frac(9)(16)\) do ich najniższego wspólnego mianownika.

Najprostszym sposobem znalezienia wspólnego mianownika jest pomnożenie mianowników 4⋅16=64. Liczba 64 nie jest najmniejszym wspólnym mianownikiem. Zadanie polega na znalezieniu najmniejszego wspólnego mianownika. Dlatego szukamy dalej. Potrzebujemy liczby, która jest podzielna zarówno przez 4, jak i 16, jest to liczba 16. Sprowadźmy ułamek do wspólnego mianownika, pomnóż ułamek z mianownikiem 4 przez 4, a ułamek z mianownikiem 16 przez jeden. Otrzymujemy:

\(\begin(align)&\frac(1)(4) = \frac(1 \times \color(red) (4))(4 \times \color(red) (4)) = \frac(4 )(16)\\\\&\frac(9)(16) = \frac(9 \times \color(red) (1))(16 \times \color(red) (1)) = \frac( 9)(16)\\\\ \end(align)\)

Na tej lekcji przyjrzymy się sprowadzaniu ułamków do wspólnego mianownika i rozwiązywaniu problemów na ten temat. Zdefiniujmy pojęcie wspólnego mianownika i dodatkowego czynnika, pamiętając o liczbach względnie pierwszych. Zdefiniujmy pojęcie najniższego wspólnego mianownika (LCD) i rozwiążmy szereg problemów, aby go znaleźć.

Temat: Dodawanie i odejmowanie ułamków o różnych mianownikach

Lekcja: Sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika

Powtórzenie. Główna właściwość ułamka.

Jeśli licznik i mianownik ułamka zostaną pomnożone lub podzielone przez tę samą liczbę naturalną, otrzymasz ułamek równy.

Na przykład licznik i mianownik ułamka można podzielić przez 2. Otrzymujemy ułamek. Ta operacja nazywa się redukcją frakcji. Możesz także wykonać transformację odwrotną, mnożąc licznik i mianownik ułamka przez 2. W tym przypadku mówimy, że zredukowaliśmy ułamek do nowego mianownika. Liczba 2 nazywana jest czynnikiem dodatkowym.

Wniosek. Ułamek można sprowadzić do dowolnego mianownika będącego wielokrotnością mianownika danego ułamka. Aby doprowadzić ułamek do nowego mianownika, jego licznik i mianownik mnoży się przez dodatkowy współczynnik.

1. Zmniejsz ułamek do mianownika 35.

Liczba 35 jest wielokrotnością liczby 7, co oznacza, że ​​35 dzieli się przez 7 bez reszty. Oznacza to, że taka transformacja jest możliwa. Znajdźmy dodatkowy czynnik. Aby to zrobić, podziel 35 przez 7. Otrzymujemy 5. Pomnóż licznik i mianownik pierwotnego ułamka przez 5.

2. Skróć ułamek do mianownika 18.

Znajdźmy dodatkowy czynnik. Aby to zrobić, podziel nowy mianownik przez pierwotny. Otrzymujemy 3. Pomnóż licznik i mianownik tego ułamka przez 3.

3. Skróć ułamek do mianownika 60.

Dzielenie 60 przez 15 daje dodatkowy współczynnik. Jest równa 4. Pomnóż licznik i mianownik przez 4.

4. Zmniejsz ułamek do mianownika 24

W prostych przypadkach redukcja do nowego mianownika odbywa się mentalnie. Zwyczajowo podaje się dodatkowy współczynnik za nawiasem nieco po prawej stronie i powyżej pierwotnego ułamka.

Ułamek można sprowadzić do mianownika 15, a ułamek można sprowadzić do mianownika 15. Ułamki również mają wspólny mianownik 15.

Wspólnym mianownikiem ułamków może być dowolna wspólna wielokrotność ich mianowników. Dla uproszczenia ułamki sprowadza się do najniższego wspólnego mianownika. Jest on równy najmniejszej wspólnej wielokrotności mianowników danych ułamków.

Przykład. Sprowadź do najniższego wspólnego mianownika ułamka i .

Najpierw znajdźmy najmniejszą wspólną wielokrotność mianowników tych ułamków. Ta liczba to 12. Znajdźmy dodatkowy współczynnik dla pierwszego i drugiego ułamka. Aby to zrobić, podziel 12 przez 4 i 6. Trzy to dodatkowy współczynnik dla pierwszego ułamka, a dwa dla drugiego. Doprowadźmy ułamki do mianownika 12.

Doprowadziliśmy ułamki do wspólnego mianownika, to znaczy znaleźliśmy równe ułamki, które mają ten sam mianownik.

Reguła. Aby sprowadzić ułamki do najniższego wspólnego mianownika, musisz to zrobić

Najpierw znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność mianowników tych ułamków, będzie to ich najmniejszy wspólny mianownik;

Po drugie, podziel najniższy wspólny mianownik przez mianowniki tych ułamków, tj. znajdź dodatkowy współczynnik dla każdego ułamka.

Po trzecie, pomnóż licznik i mianownik każdego ułamka przez jego dodatkowy współczynnik.

a) Skróć ułamki do wspólnego mianownika.

Najniższy wspólny mianownik to 12. Dodatkowy współczynnik dla pierwszego ułamka wynosi 4, dla drugiego - 3. Ułamki redukujemy do mianownika 24.

b) Sprowadź ułamki do wspólnego mianownika.

Najmniejszym wspólnym mianownikiem jest 45. Dzieląc 45 przez 9 przez 15 otrzymujemy odpowiednio 5 i 3. Sprowadzamy ułamki do mianownika 45.

c) Skróć ułamki do wspólnego mianownika.

Wspólnym mianownikiem jest 24. Dodatkowe czynniki to odpowiednio 2 i 3.

Czasami znalezienie najmniejszej wspólnej wielokrotności mianowników danych ułamków może być trudne. Następnie wspólny mianownik i dodatkowe czynniki znajdują się za pomocą rozkładu na czynniki pierwsze.

Skróć ułamki zwykłe i do wspólnego mianownika.

Rozłóżmy liczby 60 i 168 na czynniki pierwsze. Zapiszmy rozwinięcie liczby 60 i dodajmy brakujące czynniki 2 i 7 z drugiego rozwinięcia. Pomnóżmy 60 przez 14 i uzyskajmy wspólny mianownik 840. Dodatkowy mnożnik dla pierwszego ułamka to 14. Dodatkowy mnożnik dla drugiego ułamka to 5. Sprowadźmy ułamki do wspólnego mianownika 840.

Bibliografia

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. i inne Matematyka 6. - M.: Mnemosyne, 2012.

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematyka w klasie 6. - Sala Gimnastyczna, 2006.

3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Za stronami podręcznika do matematyki. - Oświecenie, 1989.

4. Rurukin A.N., Czajkowski I.V. Zadania do zajęć z matematyki dla klas 5-6. - ZSz MEPhI, 2011.

5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Tchaikovsky K.G. Matematyka 5-6. Podręcznik dla uczniów klasy 6 szkoły korespondencyjnej MEPhI. - ZSz MEPhI, 2011.

6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O. i inne Matematyka: Podręcznik-rozmówca dla klas 5-6 szkoły średniej. Biblioteka nauczyciela matematyki. - Oświecenie, 1989.

Można pobrać książki określone w pkt. 1.2. tej lekcji.

Praca domowa

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. i inne Matematyka 6. - M.: Mnemosyne, 2012. (link patrz 1.2)

Praca domowa: nr 297, nr 298, nr 300.

Inne zadania: nr 270, nr 290