Pregătirea pentru examenul de stat unificat. Rezolvarea inegalităților logaritmice și exponențiale folosind metoda raționalizării. Lucrarea Manovskaya „inegalități logaritmice în examenul de stat unificat” soluția profilului de examinare de stat unificată a inegalităților logaritmice

Secțiuni: Matematică

Adesea, atunci când te hotărăști inegalități logaritmice, există probleme cu o bază de logaritm variabil. Astfel, o inegalitate a formei

este o inegalitate școlară standard. De regulă, pentru a o rezolva, se utilizează o tranziție la un set echivalent de sisteme:

Dezavantajul acestei metode este necesitatea de a rezolva șapte inegalități, fără a număra două sisteme și o populație. Deja cu aceste funcții pătratice, rezolvarea populației poate dura mult timp.

Este posibil să se propună o modalitate alternativă, mai puțin consumatoare de timp pentru a rezolva această inegalitate standard. Pentru a face acest lucru, luăm în considerare următoarea teoremă.

Teorema 1. Să existe o funcție crescătoare continuă pe o mulțime X. Atunci pe această mulțime semnul incrementului funcției va coincide cu semnul incrementului argumentului, adică. , Unde .

Notă: dacă o funcție descrescătoare continuă pe un set X, atunci .

Să revenim la inegalitate. Să trecem la logaritmul zecimal (puteți trece la oricare cu o bază constantă mai mare de unu).

Acum puteți folosi teorema, observând creșterea funcțiilor în numărător iar în numitor. Deci este adevărat

Ca rezultat, numărul de calcule care duc la răspuns este aproximativ la jumătate, ceea ce economisește nu numai timp, dar vă permite și să faceți mai puține erori aritmetice și neglijente.

Exemplul 1.

Comparând cu (1) găsim , , .

Trecând la (2) vom avea:

Exemplul 2.

Comparând cu (1) găsim , , .

Trecând la (2) vom avea:

Exemplul 3.

Deoarece partea stângă a inegalității este o funcție crescătoare ca și , atunci răspunsul va fi multe.

Numeroasele exemple în care Tema 1 poate fi aplicată pot fi extinse cu ușurință ținând cont de Tema 2.

Lasă pe platou X se definesc functiile , , , iar pe acest set semnele si coincid, i.e. , atunci va fi corect.

Exemplul 4.

Exemplul 5.

Cu abordarea standard, exemplul este rezolvat după următoarea schemă: produsul este mai mic decât zero atunci când factorii sunt de semne diferite. Acestea. se consideră un set de două sisteme de inegalități, în care, așa cum sa indicat la început, fiecare inegalitate se descompune în încă șapte.

Dacă luăm în considerare teorema 2, atunci fiecare dintre factori, ținând cont de (2), poate fi înlocuit cu o altă funcție care are același semn în acest exemplu O.D.Z.

Metoda de înlocuire a incrementului unei funcții cu un increment de argument, ținând cont de Teorema 2, se dovedește a fi foarte convenabilă atunci când rezolvăm probleme standard C3 Unified State Examination.

Exemplul 6.

Exemplul 7.

. Să notăm. Primim

. Rețineți că înlocuirea implică: . Revenind la ecuație, obținem .

Exemplul 8.

În teoremele pe care le folosim nu există restricții privind clasele de funcții. În acest articol, ca exemplu, teoremele au fost aplicate pentru rezolvarea inegalităților logaritmice. Următoarele câteva exemple vor demonstra promisiunea metodei de rezolvare a altor tipuri de inegalități.

INEGALITATI LOGARITMICE ÎN UTILIZARE

Sechin Mihail Alexandrovici

Mica Academie de Științe pentru Studenții din Republica Kazahstan „Iskatel”

MBOU „Școala Gimnazială Nr. 1 Sovetskaya”, clasa a XI-a, oraș. districtul Sovetsky Sovetsky

Gunko Lyudmila Dmitrievna, profesor al instituției de învățământ bugetar municipal „Școala Gimnazială nr. 1 Sovetskaya”

districtul Sovetsky

Scopul lucrării: studiul mecanismului de rezolvare a inegalităților logaritmice C3 folosind metode nestandardizate, identificând fapte interesante logaritm

Subiect de studiu:

3) Învață să rezolvi inegalitățile logaritmice specifice C3 folosind metode non-standard.

Rezultate:

Conţinut

Introducere…………………………………………………………………………………………….4

Capitolul 1. Istoricul problemei………………………………………………………….5

Capitolul 2. Colecția de inegalități logaritmice ………………………… 7

2.1. Tranzițiile echivalente și metoda generalizată a intervalelor…………… 7

2.2. Metoda raționalizării………………………………………………………………… 15

2.3. Înlocuirea non-standard .................................................................. ............ ..... 22

2.4. Sarcini cu capcane……………………………………………………27

Concluzie……………………………………………………………………………… 30

Literatură……………………………………………………………………. 31

Introducere

Sunt în clasa a XI-a și intenționez să intru într-o universitate unde materia de bază este matematica. De aceea lucrez mult cu problemele din partea C. În sarcina C3, trebuie să rezolv o inegalitate non-standard sau un sistem de inegalități, de obicei legat de logaritmi. Când mă pregăteam pentru examen, m-am confruntat cu problema deficitului de metode și tehnici de rezolvare a inegalităților logaritmice de examen oferite în C3. Metodele care sunt studiate în programa școlară pe această temă nu oferă o bază pentru rezolvarea sarcinilor C3. Profesorul de matematică mi-a sugerat să lucrez independent la temele C3, sub îndrumarea ei. În plus, m-a interesat întrebarea: întâlnim logaritmi în viața noastră?

Având în vedere acest lucru, a fost aleasă tema:

„Inegalități logaritmice în examenul de stat unificat”

Scopul lucrării: studiul mecanismului de rezolvare a problemelor C3 folosind metode non-standard, identificând fapte interesante despre logaritm.

Subiect de studiu:

1) Găsiți informațiile necesare despre metodele nestandard de rezolvare a inegalităților logaritmice.

2) Găsiți informații suplimentare despre logaritmi.

3) Învață să rezolvi probleme specifice C3 folosind metode non-standard.

Rezultate:

Semnificația practică constă în extinderea aparatului de rezolvare a problemelor C3. Acest material poate fi folosit în unele lecții, pentru cluburi și la cursuri opționale de matematică.

Produsul proiectului va fi colecția „C3 Logarithmic Inequalities with Solutions”.

Capitolul 1. Context

De-a lungul secolului al XVI-lea, numărul de calcule aproximative a crescut rapid, în primul rând în astronomie. Îmbunătățirea instrumentelor, studierea mișcărilor planetare și alte lucrări au necesitat calcule colosale, uneori multianuale. Astronomia era în pericol real de a se îneca în calcule neîmplinite. Au apărut dificultăți în alte domenii, de exemplu, în domeniul asigurărilor, erau necesare tabele de dobândă compusă pentru diferite rate ale dobânzii. Principala dificultate a fost înmulțirea și împărțirea numerelor cu mai multe cifre, în special a cantităților trigonometrice.

Descoperirea logaritmilor s-a bazat pe proprietățile progresiilor care erau bine cunoscute până la sfârșitul secolului al XVI-lea. Despre legătura dintre termenii progresiei geometrice q, q2, q3, ... și progresie aritmetică indicatorii lor sunt 1, 2, 3,... Arhimede a vorbit în „Psalmitis”. O altă condiție prealabilă a fost extinderea conceptului de grad la exponenți negativi și fracționari. Mulți autori au subliniat că înmulțirea, împărțirea, exponențiarea și extragerea rădăcinilor în progresie geometrică corespund în aritmetică - în aceeași ordine - adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea.

Aici a fost ideea logaritmului ca exponent.

În istoria dezvoltării doctrinei logaritmilor au trecut mai multe etape.

Etapa 1

Logaritmii au fost inventați nu mai târziu de 1594 independent de baronul scoțian Napier (1550-1617) și zece ani mai târziu de mecanicul elvețian Bürgi (1552-1632). Ambele au vrut să ofere un mijloc nou, convenabil de calcule aritmetice, deși au abordat această problemă în moduri diferite. Napier a exprimat cinematic funcția logaritmică și astfel a intrat într-un nou domeniu al teoriei funcțiilor. Bürgi a rămas pe baza luării în considerare a progresiilor discrete. Cu toate acestea, definiția logaritmului pentru ambele nu este similară cu cea modernă. Termenul „logaritm” (logaritm) îi aparține lui Napier. A apărut dintr-o combinație de cuvinte grecești: logos - „relație” și ariqmo - „număr”, care însemna „număr de relații”. Inițial, Napier a folosit un alt termen: numeri artificiales - „numere artificiale”, spre deosebire de numeri naturalts - „numere naturale”.

În 1615, într-o conversație cu Henry Briggs (1561-1631), profesor de matematică la Gresh College din Londra, Napier a sugerat să se ia zero ca logaritm al lui unu și 100 ca logaritm al lui zece sau, ceea ce înseamnă același lucru. lucru, doar 1. Așa au fost tipărite logaritmii zecimal și Primele tabele logaritmice. Mai târziu, mesele lui Briggs au fost completate de librarul și pasionatul de matematică olandez Adrian Flaccus (1600-1667). Napier și Briggs, deși au ajuns la logaritmi mai devreme decât toți ceilalți, și-au publicat tabelele mai târziu decât ceilalți - în 1620. Semnele log și Log au fost introduse în 1624 de I. Kepler. Termenul de „logaritm natural” a fost introdus de Mengoli în 1659 și urmat de N. Mercator în 1668, iar profesorul londonez John Speidel a publicat tabele de logaritmi naturali ai numerelor de la 1 la 1000 sub denumirea de „Noi logaritmi”.

Primele tabele logaritmice au fost publicate în limba rusă în 1703. Dar în toate tabelele logaritmice au existat erori de calcul. Primele tabele fără erori au fost publicate în 1857 la Berlin, prelucrate de matematicianul german K. Bremiker (1804-1877).

Etapa 2

Dezvoltarea ulterioară a teoriei logaritmilor este asociată cu o aplicare mai largă a geometriei analitice și calculului infinitezimal. Până atunci, legătura dintre cuadratura unei hiperbole echilaterale și logaritmul natural fusese stabilită. Teoria logaritmilor din această perioadă este asociată cu numele unui număr de matematicieni.

Matematicianul, astronomul și inginerul german Nikolaus Mercator într-un eseu

„Logaritmotehnica” (1668) oferă o serie care oferă expansiunea lui ln(x+1) în

puteri ale lui x:

Această expresie corespunde exact trenului său de gândire, deși, desigur, nu a folosit semnele d, ..., ci o simbolistică mai greoaie. Odată cu descoperirea seriei logaritmice, tehnica de calcul a logaritmilor s-a schimbat: au început să fie determinate folosind serii infinite. În prelegerile sale „Matematica elementară dintr-un punct de vedere superior”, susținute în 1907-1908, F. Klein a propus utilizarea formulei ca punct de plecare pentru construirea teoriei logaritmilor.

Etapa 3

Definirea unei funcții logaritmice ca funcție inversă

exponențial, logaritmul ca exponent al unei baze date

nu a fost formulată imediat. Eseu de Leonhard Euler (1707-1783)

„O introducere în analiza infinitezimale” (1748) a servit la continuarea

dezvoltarea teoriei funcţiilor logaritmice. Prin urmare,

Au trecut 134 de ani de când logaritmii au fost introduși pentru prima dată

(contând din 1614), înainte ca matematicienii să ajungă la definiție

conceptul de logaritm, care stă acum la baza cursului școlar.

Capitolul 2. Colecția inegalităților logaritmice

2.1. Tranziții echivalente și metoda generalizată a intervalelor.

Tranziții echivalente

, dacă a > 1

, dacă 0 < а < 1

Metoda intervalului generalizat

Această metodă este cea mai universală pentru rezolvarea inegalităților de aproape orice tip. Diagrama soluției arată astfel:

1. Aduceți inegalitatea la forma în care se află funcția din partea stângă
, iar în dreapta 0.

2. Găsiți domeniul funcției
.

3. Aflați zerourile funcției
, adică rezolvați ecuația
(și rezolvarea unei ecuații este de obicei mai ușoară decât rezolvarea unei inegalități).

4. Desenați domeniul de definiție și zerourile funcției pe dreapta numerică.

5. Determinați semnele funcției
pe intervalele obţinute.

6. Selectați intervale în care funcția preia valorile necesare și notați răspunsul.

Exemplul 1.

Soluţie:

Să aplicăm metoda intervalului

Unde

Pentru aceste valori, toate expresiile sub semnele logaritmice sunt pozitive.

Răspuns:

Exemplul 2.

Soluţie:

1 cale . ADL este determinată de inegalitate X> 3. Luarea de logaritmi pentru astfel de Xîn baza 10, obținem

Ultima inegalitate ar putea fi rezolvată prin aplicarea regulilor de expansiune, i.e. compararea factorilor cu zero. Cu toate acestea, în acest caz este ușor de determinat intervalele de semn constant ale funcției

prin urmare, se poate aplica metoda intervalului.

Funcţie f(X) = 2X(X- 3.5)lgǀ X- 3ǀ este continuă la X> 3 și dispare în puncte X 1 = 0, X 2 = 3,5, X 3 = 2, X 4 = 4. Astfel, determinăm intervalele de semn constant ale funcției f(X):

Răspuns:

a 2-a metoda . Să aplicăm direct ideile metodei intervalului la inegalitatea originală.

Pentru a face acest lucru, amintiți-vă că expresiile A b- A c și ( A - 1)(b- 1) au un singur semn. Apoi inegalitatea noastră la X> 3 este echivalent cu inegalitatea

sau

Ultima inegalitate este rezolvată folosind metoda intervalului

Răspuns:

Exemplul 3.

Soluţie:

Să aplicăm metoda intervalului

Răspuns:

Exemplul 4.

Soluţie:

Din 2 X 2 - 3X+ 3 > 0 pentru toate reale X, Acea

Pentru a rezolva a doua inegalitate folosim metoda intervalului

În prima inegalitate facem înlocuirea

apoi ajungem la inegalitatea 2y 2 - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те y, care satisfac inegalitatea -0,5< y < 1.

De unde, pentru că

obținem inegalitatea

care se realizează când X, pentru care 2 X 2 - 3X - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

Acum, ținând cont de soluția celei de-a doua inegalități a sistemului, obținem în sfârșit

Răspuns:

Exemplul 5.

Soluţie:

Inegalitatea este echivalentă cu o colecție de sisteme

sau

Să folosim metoda intervalului sau

Răspuns:

Exemplul 6.

Soluţie:

Inegalitatea este egală cu sistemul

Lăsa

Apoi y > 0,

și prima inegalitate

sistemul ia forma

sau, desfășurarea

trinom pătratic factorizat,

Aplicând metoda intervalului la ultima inegalitate,

vedem că soluțiile sale satisfac condiția y> 0 va fi tot y > 4.

Astfel, inegalitatea originală este echivalentă cu sistemul:

Deci, soluțiile la inegalitate sunt toate

2.2. Metoda raționalizării.

Anterior, inegalitatea nu era rezolvată prin metoda raționalizării; nu era cunoscută. Acesta este „noul modern” metoda eficienta soluții la inegalitățile exponențiale și logaritmice” (citat din cartea lui S.I. Kolesnikova)
Și chiar dacă profesorul l-a cunoscut, a existat o teamă - expertul Unified State Exam îl cunoaște și de ce nu-l dau la școală? Au fost situații în care profesorul i-a spus elevului: „De unde l-ai luat? Stai jos - 2.”
Acum metoda este promovată peste tot. Și pentru experți există linii directoare asociate cu această metodă, iar în „Edițiile cele mai complete de opțiuni standard...” din Soluția C3 se folosește această metodă.
METODA MINUNATĂ!

„Masa magică”

În alte surse

Dacă a >1 și b >1, apoi log a b >0 și (a -1)(b -1)>0;

Dacă a >1 și 0

daca 0<A<1 и b >1, apoi log a b<0 и (a -1)(b -1)<0;

daca 0<A<1 и 00 și (a -1)(b -1)>0.

Raționamentul efectuat este simplu, dar simplifică semnificativ soluția inegalităților logaritmice.

Exemplul 4.

log x (x 2 -3)<0

Soluţie:

Exemplul 5.

log 2 x (2x 2 -4x +6)≤log 2 x (x 2 +x )

Soluţie:

Răspuns. (0; 0,5)U.

Exemplul 6.

Pentru a rezolva această inegalitate, în locul numitorului, scriem (x-1-1)(x-1), iar în loc de numărător, scriem produsul (x-1)(x-3-9 + x).

Răspuns : (3;6)

Exemplul 7.

Exemplul 8.

2.3. Înlocuire non-standard.

Exemplul 1.

Exemplul 2.

Exemplul 3.

Exemplul 4.

Exemplul 5.

Exemplul 6.

Exemplul 7.

log 4 (3 x -1)log 0,25

Să facem înlocuirea y=3 x -1; atunci această inegalitate va lua forma

Log 4 log 0,25
.

Deoarece log 0,25 = -log 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , apoi rescriem ultima inegalitate ca 2log 4 y -log 4 2 y ≤.

Să facem înlocuirea t =log 4 y și să obținem inegalitatea t 2 -2t +≥0, a cărei soluție este intervalele - .

Astfel, pentru a găsi valorile lui y avem o mulțime de două inegalități simple
Soluția acestei mulțimi este intervalele 0<у≤2 и 8≤у<+.

Prin urmare, inegalitatea originală este echivalentă cu mulțimea a două inegalități exponențiale,
adică agregate

Soluția primei inegalități a acestei mulțimi este intervalul 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+. Astfel, inegalitatea inițială este satisfăcută pentru toate valorile lui x din intervalele 0<х≤1 и 2≤х<+.

Exemplul 8.

Soluţie:

Inegalitatea este egală cu sistemul

Soluția la a doua inegalitate care definește ODZ va fi setul celor X,

pentru care X > 0.

Pentru a rezolva prima inegalitate facem substituția

Apoi obținem inegalitatea

sau

Mulțimea soluțiilor ultimei inegalități se găsește prin metodă

intervale: -1< t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной X, primim

sau

Multe dintre acestea X, care satisfac ultima inegalitate

aparține ODZ ( X> 0), prin urmare, este o soluție a sistemului,

și de aici inegalitatea inițială.

Răspuns:

2.4. Sarcini cu capcane.

Exemplul 1.

.

Soluţie. ODZ a inegalității este tot x care satisface condiția 0 . Prin urmare, toți x sunt din intervalul 0

Exemplul 2.

log 2 (2 x +1-x 2)>log 2 (2 x-1 +1-x)+1.. ? Ideea este că al doilea număr este în mod evident mai mare decât

Concluzie

Nu a fost ușor să găsești metode specifice de rezolvare a problemelor C3 dintr-o mare abundență de diferite surse educaționale. Pe parcursul lucrărilor efectuate, am putut studia metode non-standard pentru rezolvarea inegalităților logaritmice complexe. Acestea sunt: ​​tranzițiile echivalente și metoda generalizată a intervalelor, metoda raționalizării , substituție non-standard , sarcini cu capcane pe ODZ. Aceste metode nu sunt incluse în programa școlară.

Folosind diferite metode, am rezolvat 27 de inegalități propuse la Examenul Unificat de Stat în partea C și anume C3. Aceste inegalități cu soluții prin metode au stat la baza colecției „C3 Inegalități logaritmice cu soluții”, care a devenit un produs de proiect al activității mele. S-a confirmat ipoteza pe care am pus-o la începutul proiectului: problemele C3 pot fi rezolvate eficient dacă cunoașteți aceste metode.

În plus, am descoperit fapte interesante despre logaritmi. A fost interesant pentru mine să fac asta. Produsele proiectului meu vor fi utile atât studenților, cât și profesorilor.

Concluzii:

Astfel, scopul proiectului a fost atins și problema a fost rezolvată. Și am primit cea mai completă și variată experiență a activităților de proiect în toate etapele de lucru. În timp ce lucram la proiect, impactul meu principal de dezvoltare a fost asupra competenței mentale, activităților legate de operații mentale logice, dezvoltarea competenței creative, inițiativa personală, responsabilitate, perseverență și activitate.

O garanție a succesului la crearea unui proiect de cercetare pt Am dobândit: experiență școlară semnificativă, capacitatea de a obține informații din diverse surse, de a le verifica fiabilitatea și de a le clasifica după importanță.

Pe lângă cunoștințele directe în materie de matematică, mi-am extins abilitățile practice în domeniul informaticii, am acumulat noi cunoștințe și experiență în domeniul psihologiei, am stabilit contacte cu colegii de clasă și am învățat să cooperez cu adulții. În cadrul activităților proiectului s-au dezvoltat abilități educaționale generale organizatorice, intelectuale și comunicative.

Literatură

1. Koryanov A. G., Prokofiev A. A. Sisteme de inegalități cu o variabilă (sarcini standard C3).

2. Malkova A. G. Pregătirea pentru examenul unificat de stat la matematică.

3. Samarova S. S. Rezolvarea inegalităților logaritmice.

4. Matematică. Culegere de lucrări de formare editată de A.L. Semenov și I.V. Iascenko. -M.: MTsNMO, 2009. - 72 p.-

Articolul este dedicat analizei sarcinilor 15 din profilul Examen unificat de stat la matematică pentru anul 2017. În această sarcină, școlarilor li se cere să rezolve inegalitățile, cel mai adesea logaritmice. Deși pot exista și indicative. Acest articol oferă o analiză a exemplelor de inegalități logaritmice, inclusiv a celor care conțin o variabilă în baza logaritmului. Toate exemplele sunt luate din banca deschisă de sarcini de examen de stat unificat la matematică (profil), astfel încât astfel de inegalități sunt probabil să apară în examen ca sarcina 15. Ideal pentru cei care doresc să învețe cum să rezolve sarcina 15 din partea a doua a profilului Unified State Exam într-o perioadă scurtă de timp la matematică pentru a obține mai multe note la examen.

Analiza sarcinilor 15 din profilul Unified State Examination la matematică

Exemplul 1. Rezolvați inegalitatea:

În sarcinile 15 ale Examenului de stat unificat la matematică (profil), sunt adesea întâlnite inegalități logaritmice. Rezolvarea inegalităților logaritmice începe cu determinarea intervalului de valori acceptabile. În acest caz, nu există o variabilă în baza ambilor logaritmi, există doar numărul 11, ceea ce simplifică foarte mult problema. Deci singura limitare pe care o avem aici este că ambele expresii sub semnul logaritmului sunt pozitive:

Title="Redată de QuickLaTeX.com">!}

Prima inegalitate din sistem este inegalitatea pătratică. Pentru a o rezolva, ne-am dori foarte mult să factorizăm partea stângă. Cred că știți că orice trinom pătratic al formei este factorizat după cum urmează:

unde și sunt rădăcinile ecuației. În acest caz, coeficientul este 1 (acesta este coeficientul numeric în fața lui ). Coeficientul este, de asemenea, egal cu 1, iar coeficientul este termenul inactiv, este egal cu -20. Rădăcinile unui trinom sunt cel mai ușor de determinat folosind teorema lui Vieta. Ecuația pe care am dat-o înseamnă că suma rădăcinilor va fi egală cu coeficientul cu semnul opus, adică -1, iar produsul acestor rădăcini va fi egal cu coeficientul, adică -20. Este ușor de ghicit că rădăcinile vor fi -5 și 4.

Acum partea stângă a inegalității poate fi factorizată: title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="163" style="vertical-align: -5px;"> Решаем это неравенство. График соответствующей функции — это парабола, ветви которой направлены вверх. Эта парабола пересекает ось !} X la punctele -5 și 4. Aceasta înseamnă că soluția necesară a inegalității este intervalul . Pentru cei care nu inteleg ce scrie aici, puteti urmari detaliile in video, incepand din acest moment. Acolo veți găsi, de asemenea, o explicație detaliată a modului în care se rezolvă a doua inegalitate a sistemului. Se rezolvă. Mai mult, răspunsul este exact același ca pentru prima inegalitate a sistemului. Adică, mulțimea scrisă mai sus este regiunea valorilor permise ale inegalității.

Deci, luând în considerare factorizarea, inegalitatea originală ia forma:

Folosind formula, adăugăm 11 la puterea expresiei sub semnul primului logaritm și mutăm al doilea logaritm în partea stângă a inegalității, schimbându-i semnul în opus:

După reducere obținem:

Ultima inegalitate, datorată creșterii funcției, este echivalentă cu inegalitatea , a cărui soluție este intervalul . Tot ce rămâne este să o intersectăm cu regiunea valorilor acceptabile ale inegalității, iar acesta va fi răspunsul la întreaga sarcină.

Deci, răspunsul necesar la sarcină arată astfel:

Ne-am ocupat de această sarcină, acum trecem la următorul exemplu al sarcinii 15 a Examenului de stat unificat la matematică (profil).

Exemplul 2. Rezolvați inegalitatea:

Începem soluția prin determinarea intervalului de valori acceptabile ale acestei inegalități. La baza fiecărui logaritm trebuie să existe un număr pozitiv care nu este egal cu 1. Toate expresiile sub semnul logaritmului trebuie să fie pozitive. Numitorul fracției nu trebuie să conțină zero. Ultima condiție este echivalentă cu faptul că , deoarece numai altfel ambii logaritmi din numitor dispar. Toate aceste condiții determină intervalul de valori admisibile ale acestei inegalități, date de următorul sistem de inegalități:

Title="Redată de QuickLaTeX.com">!}

În intervalul de valori acceptabile, putem folosi formule de conversie logaritmică pentru a simplifica partea stângă a inegalității. Folosind formula scăpăm de numitor:

Acum avem doar logaritmi cu o bază. Acest lucru este deja mai convenabil. În continuare, folosim formula și, de asemenea, formula pentru a aduce expresia demn de glorie la următoarea formă:

În calcule, am folosit ceea ce era în intervalul de valori acceptabile. Folosind substituția ajungem la expresia:

Să folosim încă un înlocuitor: . Ca urmare, ajungem la următorul rezultat:

Deci, revenim treptat la variabilele originale. Mai întâi la variabilă: