ආවර්තිතා සඳහා ශ්රිතයක් විමර්ශනය කිරීම. ශ්‍රිතයක ආවර්තිතා තීරණය කරන්නේ කෙසේද ශ්‍රිතයක් පවතී නම් එය ආවර්තිතා ලෙස හැඳින්වේ

සොබාදහමේ සංසිද්ධි අධ්‍යයනය කිරීම, තාක්ෂණික ගැටළු විසඳීම, විශේෂ ආකාරයේ කාර්යයන් මගින් විස්තර කළ හැකි ආවර්තිතා ක්‍රියාවලීන්ට අපි මුහුණ දී සිටිමු.

පහත සඳහන් කොන්දේසි දෙක තෘප්තිමත් වන පරිදි අවම වශයෙන් T > 0 අංකයක් තිබේ නම් D වසම සමඟ y = f(x) ශ්‍රිතයක් ආවර්තිතා ලෙස හැඳින්වේ:

1) ඕනෑම x ∈ D සඳහා x + T, x - T යන ලකුණු D වසමට අයත් වේ;

2) D සිට එක් එක් x සඳහා අපට සම්බන්ධතාවය ඇත

f(x) = f(x + T) = f(x - T).

T අංකය f(x) ශ්‍රිතයේ කාලසීමාව ලෙස හැඳින්වේ. වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, ආවර්තිතා ශ්‍රිතයක් යනු යම් කාල පරතරයකින් පසුව අගයන් පුනරාවර්තනය වන ශ්‍රිතයකි. උදාහරණයක් ලෙස, y = sin x ශ්‍රිතය 2π කාල සීමාවක් සහිත ආවර්තිතා (රූපය 1) වේ.

T අංකය f(x) ශ්‍රිතයේ කාලසීමාව නම්, අංක 2T ද එහි කාල සීමාව මෙන්ම 3T, සහ 4T යනාදිය වනු ඇති බව සලකන්න, එනම් ආවර්තිතා ශ්‍රිතයක අනන්ත විවිධ කාල පරිච්ඡේද ඇත. ඒවා අතර කුඩාම (ශුන්‍යයට සමාන නොවේ) තිබේ නම්, ශ්‍රිතයේ අනෙකුත් සියලුම කාල පරිච්ඡේද මෙම සංඛ්‍යාවේ ගුණාකාර වේ. සෑම ආවර්තිතා ශ්‍රිතයකටම එතරම් කුඩාම ධනාත්මක කාල පරිච්ඡේදයක් නොමැති බව සලකන්න; උදාහරණයක් ලෙස, f(x)=1 ශ්‍රිතයට එවැනි කාල සීමාවක් නොමැත. නිදසුනක් වශයෙන්, එකම කුඩාම ධන කාල පරිච්ඡේදයක් ඇති T 0 ආවර්තිතා ශ්‍රිත දෙකක එකතුවට අනිවාර්යයෙන්ම එකම ධන කාල පරිච්ඡේදයක් නොමැති බව මතක තබා ගැනීම වැදගත්ය. එබැවින්, f(x) = sin x සහ g(x) = -sin x ශ්‍රිතවල එකතුවට කුඩාම ධන කාල පරිච්ඡේදයක් නොමැති අතර, f(x) = sin x + sin 2x සහ g( g( x) = −sin x, එහි අවම කාල පරිච්ඡේද 2π හි π ට සමාන කුඩාම ධන කාල පරිච්ඡේදය ඇත.

f(x) සහ g(x) යන ශ්‍රිත දෙකක කාල පරිච්ඡේදවල අනුපාතය තාර්කික සංඛ්‍යාවක් නම්, මෙම ශ්‍රිතවල එකතුව සහ ගුණිතය ද ආවර්තිතා ශ්‍රිත වේ. සෑම තැනකම නිර්වචනය කර ඇති සහ අඛණ්ඩ ශ්‍රිතවල කාලවල අනුපාතය f සහ g අතාර්කික සංඛ්‍යාවක් නම්, f + g සහ fg ශ්‍රිත දැනටමත් ආවර්තිතා නොවන ශ්‍රිත වේ. උදාහරණයක් ලෙස, cos x sin √2 x සහ cosj √2 x + sin x යන ශ්‍රිත ආවර්තිතා නොවන නමුත් sin x සහ cos x ශ්‍රිත 2π කාල සීමාවක් සමඟ ආවර්තිතා වේ, sin √2 x සහ cos ශ්‍රිත √2 x යනු √2 π කාල පරිච්ඡේදයක් සමඟ ආවර්තිතා වේ.

F(x) යනු T කාලපරිච්ඡේදය සමඟ ආවර්තිතා ශ්‍රිතයක් නම්, සංකීර්ණ ශ්‍රිතය (ඇත්ත වශයෙන්ම, එය අර්ථවත් නම්) F(f(x)) ද ආවර්තිතා ශ්‍රිතයක් වන අතර T අංකය එහි ලෙස ක්‍රියා කරනු ඇති බව සලකන්න. කාලය. උදාහරණයක් ලෙස, ශ්‍රිත y \u003d sin 2 x, y \u003d √ (cos x) (රූපය 2.3) ආවර්තිතා ශ්‍රිත වේ (මෙහි: F 1 (z) \u003d z 2 සහ F 2 (z) \u003d √z ) කෙසේ වෙතත්, f(x) ශ්‍රිතයට T 0 කුඩාම ධන කාල සීමාව තිබේ නම්, F(f(x)) ශ්‍රිතයට එකම කුඩාම ධන කාල සීමාවක් ඇති බව කිසිවෙකු නොසිතිය යුතුය; උදාහරණයක් ලෙස, y \u003d sin 2 x ශ්‍රිතයට කුඩාම ධන කාල පරිච්ඡේදය ඇත, එය f (x) \u003d sin x (රූපය 2) ශ්‍රිතයට වඩා 2 ගුණයකින් අඩුය.

f ශ්‍රිතය T ආවර්තිතා සමග ආවර්තිතා නම්, තාත්වික රේඛාවේ සෑම ලක්ෂ්‍යයකදීම නිර්වචනය කර අවකලනය කළ හැකි නම්, f "(x) (ව්‍යුත්පන්න) ශ්‍රිතය ද T කාල පරිච්ඡේදය සමඟ ආවර්තිතා ශ්‍රිතයක් වන බව පෙන්වීම පහසුය, නමුත් ප්‍රතිව්‍යුත්පන්න ශ්‍රිතය F (x) (අනුකලන ගණනය බලන්න) f(x) සඳහා ආවර්තිතා ශ්‍රිතයක් වන්නේ නම් පමණි

F(T) - F(0) = T o ∫ f(x) dx = 0.

අරමුණ: "කර්තව්යයේ ආවර්තිතා" යන මාතෘකාව පිළිබඳ සිසුන්ගේ දැනුම සාමාන්යකරණය කිරීම සහ ක්රමවත් කිරීම; ආවර්තිතා ශ්‍රිතයක ගුණ යෙදීම, ශ්‍රිතයක කුඩාම ධන කාල පරිච්ඡේදය සොයා ගැනීම, ආවර්තිතා ශ්‍රිත සැලසුම් කිරීම සඳහා කුසලතා සැකසීම; ගණිතය පිළිබඳ උනන්දුව ප්රවර්ධනය කිරීම; නිරීක්ෂණ, නිරවද්‍යතාවය වගා කරන්න.

උපකරණ: පරිගණක, බහුමාධ්‍ය ප්‍රොජෙක්ටරය, කාර්ය කාඩ්පත්, විනිවිදක, ඔරලෝසු, විසිතුරු වගු, ජන ශිල්පීය අංග

"ගණිතය යනු ස්වභාවධර්මය සහ තමන්ව පාලනය කිරීමට මිනිසුන් භාවිතා කරන දෙයයි"
ඒ.එන්. කොල්මොගොරොව්

පන්ති අතරතුර

I. සංවිධානාත්මක අදියර.

පාඩම සඳහා සිසුන්ගේ සූදානම පරීක්ෂා කිරීම. පාඩමේ මාතෘකාව සහ අරමුණු ඉදිරිපත් කිරීම.

II. ගෙදර වැඩ පරීක්ෂා කිරීම.

අපි සාම්පල අනුව ගෙදර වැඩ පරීක්ෂා කරමු, වඩාත්ම දුෂ්කර කරුණු සාකච්ඡා කරමු.

III. දැනුම සාමාන්‍යකරණය සහ ක්‍රමවත් කිරීම.

1. වාචික ඉදිරිපස වැඩ.

න්‍යාය ප්‍රශ්න.

1) ශ්‍රිතයේ කාලසීමාව නිර්වචනය කරන්න
2) y=sin(x), y=cos(x) ශ්‍රිතවල කුඩාම ධන කාල පරිච්ඡේදය කුමක්ද?
3) y=tg(x), y=ctg(x) ශ්‍රිතවල කුඩාම ධන කාල පරිච්ඡේදය කුමක්ද?
4) සම්බන්ධතා වල නිවැරදි බව ඔප්පු කිරීමට කවය භාවිතා කරන්න:

y=sin(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)

tg(x+π n)=tgx, n ∈ Z
ctg(x+π n)=ctgx, n ∈ Z

sin(x+2π n)=sinx, n ∈ Z
cos(x+2π n)=cosx, n ∈ Z

5) ආවර්තිතා කාර්යයක් සැලසුම් කරන්නේ කෙසේද?

වාචික අභ්යාස.

1) පහත සම්බන්ධතා ඔප්පු කරන්න

ඒ) sin(740º) = sin(20º)
බී) cos(54º ) = cos(-1026º)
ඇ) sin(-1000º) = sin(80º)

2. 540º කෝණය y= cos(2x) ශ්‍රිතයේ එක් කාල පරිච්ඡේදයක් බව ඔප්පු කරන්න.

3. 360º කෝණය y=tg(x) ශ්‍රිතයේ එක් කාල පරිච්ඡේදයක් බව ඔප්පු කරන්න.

4. මෙම ප්‍රකාශනවල ඇතුළත් කෝණ නිරපේක්ෂ අගයෙන් 90º නොඉක්මවන ලෙස පරිවර්තනය කරන්න.

ඒ) tg375º
බී) ctg530º
ඇ) sin1268º
ඈ) cos(-7363º)

5. ඔබට PERIOD, PERIODICITY යන වචන හමු වූයේ කොහේද?

සිසුන්ගේ පිළිතුරු: සංගීතයේ කාල පරිච්ඡේදයක් යනු අඩු හෝ වැඩි වශයෙන් සම්පූර්ණ සංගීත චින්තනයක් ප්‍රකාශ කරන ගොඩනැගීමකි. භූ විද්‍යාත්මක කාලපරිච්ඡේදය යුගයක කොටසක් වන අතර එය වසර මිලියන 35 සිට 90 දක්වා කාලපරිච්ඡේදයක් සහිත යුගවලට බෙදා ඇත.

විකිරණශීලී ද්රව්යයක අර්ධ ආයු කාලය. ආවර්තිතා භාගය. වාර සඟරා යනු දැඩි ලෙස නිර්වචනය කරන ලද දිනයන්හි දිස්වන මුද්‍රිත ප්‍රකාශන වේ. මෙන්ඩලීව්ගේ ආවර්තිතා පද්ධතිය.

6. සංඛ්යා ලේඛනවල ආවර්තිතා ශ්රිතවල ප්රස්තාරවල කොටස් පෙන්වයි. කාර්යයේ කාල සීමාව නිර්වචනය කරන්න. කාර්යයේ කාලසීමාව තීරණය කරන්න.

පිළිතුර: T=2; T=2; T=4; T=8.

7. ඔබේ ජීවිතයේ පුනරාවර්තන මූලද්‍රව්‍ය ගොඩනැගීම සමඟ ඔබ හමුවී ඇත්තේ කොතැනින්ද?

සිසුන් පිළිතුරු දෙයි: විසිතුරු භාණ්ඩ, ජන කලාව.

IV. සාමූහික ගැටළු විසඳීම.

(විනිවිදක මත ගැටළු විසඳීම.)

ආවර්තිතා සඳහා ශ්‍රිතයක් අධ්‍යයනය කිරීමේ එක් ක්‍රමයක් අපි සලකා බලමු.

මෙම ක්‍රමය එක් හෝ තවත් කාල පරිච්ඡේදයක් කුඩාම බව ඔප්පු කිරීම හා සම්බන්ධ දුෂ්කරතා මඟ හරින අතර, ආවර්තිතා ශ්‍රිත පිළිබඳ අංක ගණිත ක්‍රියාකාරකම් සහ ආවර්තිතා පිළිබඳ ප්‍රශ්න ස්පර්ශ කිරීමට අවශ්‍ය නොවේ. සංකීර්ණ කාර්යය. තර්කනය පදනම් වන්නේ ආවර්තිතා ශ්‍රිතයක නිර්වචනය මත සහ පහත සඳහන් කරුණ මත පමණි: T යනු ශ්‍රිතයේ කාල පරිච්ඡේදය නම්, nT(n? 0) යනු එහි කාලසීමාවයි.

ගැටළුව 1. f(x)=1+3(x+q>5) ශ්‍රිතයේ කුඩාම ධන කාල පරිච්ඡේදය සොයන්න

විසඳුම: මෙම ශ්‍රිතයේ T-කාලසීමාව යැයි උපකල්පනය කරමු. එවිට සියලු x ∈ D(f) සඳහා f(x+T)=f(x), i.e.

1+3(x+T+0.25)=1+3(x+0.25)
(x+T+0.25)=(x+0.25)

අපිට ලැබෙන x=-0.25 දාමු

(T)=0<=>T=n, n ∈ Z

සලකා බලන ශ්‍රිතයේ සියලුම කාල පරිච්ඡේද (ඒවා තිබේ නම්) නිඛිල අතර ඇති බව අප ලබා ගෙන ඇත. මෙම සංඛ්‍යා අතරින් කුඩාම ධන අංකය තෝරන්න. මෙය 1 . එය ඇත්ත වශයෙන්ම කාලපරිච්ඡේදයක් දැයි පරීක්ෂා කර බලමු 1 .

f(x+1)=3(x+1+0.25)+1

ඕනෑම T සඳහා (T+1)=(T) සිට, පසුව f(x+1)=3((x+0.25)+1)+1=3(x+0.25)+1=f(x ), i.e. 1 - කාල සීමාව f. 1 ධන නිඛිල වලින් කුඩාම වන බැවින්, T=1.

කාර්යය 2. f(x)=cos 2 (x) ශ්‍රිතය ආවර්තිතා බව පෙන්වා එහි ප්‍රධාන කාල සීමාව සොයා ගන්න.

කාර්යය 3. කාර්යයේ ප්රධාන කාල පරිච්ඡේදය සොයා ගන්න

f(x)=sin(1.5x)+5cos(0.75x)

ශ්‍රිතයේ T-කාලසීමාව උපකල්පනය කරන්න, පසුව ඕනෑම දෙයක් සඳහා xඅනුපාතය

sin1.5(x+T)+5cos0.75(x+T)=sin(1.5x)+5cos(0.75x)

x=0 නම්

sin(1.5T)+5cos(0.75T)=sin0+5cos0

sin(1.5T)+5cos(0.75T)=5

x=-T නම්, එසේ නම්

sin0+5cos0=sin(-1.5T)+5cos0.75(-T)

5= - sin(1.5T)+5cos(0.75T)

sin(1.5T)+5cos(0.75T)=5 – sin(1.5T)+5cos(0.75T)=5

එකතු කිරීම, අපට ලැබෙන්නේ:

10cos(0.75T)=10

2π n, n € Z

සියලුම "සැක සහිත" සංඛ්‍යා වලින් කුඩාම ධන අගය තෝරා එය f සඳහා කාලපරිච්ඡේදයක් දැයි පරීක්ෂා කරමු. මෙම අංකය

f(x+)=sin(1.5x+4π)+5cos(0.75x+2π)= sin(1.5x)+5cos(0.75x)=f(x)

එබැවින්, f ශ්රිතයේ ප්රධාන කාල පරිච්ඡේදය වේ.

කාර්යය 4. f(x)=sin(x) ශ්‍රිතය ආවර්තිතා වේදැයි පරීක්ෂා කරන්න

T යනු f ශ්‍රිතයේ කාල පරිච්චේදය වේ. එවිට ඕනෑම x සඳහා

sin|x+T|=පව්|x|

x=0 නම්, sin|T|=පව්0, sin|T|=0 T=π n, n ∈ Z.

සිතන්න. සමහරුන්ට n අංකය π n යනු කාල පරිච්ඡේදයකි

ශ්‍රිතය π n>0 ලෙස සැලකේ. එවිට පව්|π n+x|=පව්|x|

මෙයින් ගම්‍ය වන්නේ n ඉරට්ටේ සහ ඔත්තේ යන දෙකම එකවර විය යුතු බවයි, එය කළ නොහැක්කකි. එබැවින්, මෙම කාර්යය කාලානුරූපී නොවේ.

කාර්යය 5. කාර්යය කාලානුරූපී දැයි පරීක්ෂා කරන්න

f(x)=

T කාලපරිච්ඡේදය f වීමට ඉඩ දෙන්න

, එහෙයින් sinT=0, T=π n, n € Z. සමහර n සඳහා π n සංඛ්‍යාව ඇත්ත වශයෙන්ම දී ඇති ශ්‍රිතයේ කාලසීමාව යැයි උපකල්පනය කරමු. එවිට 2π n අංකය ද කාලපරිච්ඡේදයක් වනු ඇත

සංඛ්‍යා සමාන බැවින් ඒවායේ හරයන් ද එසේ ය

එබැවින් f ශ්‍රිතය ආවර්තිතා නොවේ.

කණ්ඩායම් වැඩ.

1 කණ්ඩායම සඳහා කාර්යයන්.

2 කණ්ඩායම සඳහා කාර්යයන්.

f ශ්‍රිතය ආවර්තිතා වේදැයි පරීක්ෂා කර එහි ප්‍රධාන කාල පරිච්ඡේදය සොයා ගන්න (එය පවතී නම්).

f(x)=cos(2x)+2sin(2x)

3 කණ්ඩායම සඳහා කාර්යයන්.

කාර්යය අවසානයේ, කණ්ඩායම් ඔවුන්ගේ විසඳුම් ඉදිරිපත් කරයි.

VI පාඩම සාරාංශ කිරීම.

පරාවර්තනය.

ගුරුවරයා සිසුන්ට චිත්‍ර සහිත කාඩ්පත් ලබා දෙන අතර, ඔවුන්ට පෙනෙන පරිදි, ආවර්තිතා සඳහා ශ්‍රිතය අධ්‍යයනය කිරීමේ ක්‍රම සහ දෙවන චිත්‍රයේ කොටසක් ඔවුන් ප්‍රගුණ කර ඇති ප්‍රමාණයට අනුකූලව පළමු චිත්‍රයේ කොටසක් පින්තාරු කිරීමට ඉදිරිපත් වේ. , පාඩමෙහි වැඩ සඳහා ඔවුන්ගේ දායකත්වය අනුව.

VII. ගෙදර වැඩ

1) f ශ්‍රිතය ආවර්තිතා වේදැයි පරීක්ෂා කර එහි ප්‍රධාන කාල පරිච්ඡේදය සොයා ගන්න (එය පවතී නම්)

බී). f(x)=x 2 -2x+4

c) f(x)=2tg(3x+5)

2) y=f(x) ශ්‍රිතයට T=2 කාල සීමාවක් ඇති අතර x € [-2 සඳහා f(x)=x 2 +2x; 0]. -2f(-3)-4f(3,5) ප්‍රකාශනයේ අගය සොයන්න

සාහිත්‍යය/

1. මොර්ඩ්කොවිච් ඒ.ජී.වීජ ගණිතය සහ ගැඹුරු අධ්‍යයනය සමඟ විශ්ලේෂණයේ ආරම්භය.
2. ගණිතය. විභාගය සඳහා සූදානම් වීම. එඩ්. Lysenko F.F., Kulabukhova S.Yu.
3. Sheremetyeva T.G. , ටාරසෝවා ඊ.ඒ. 10-11 ශ්‍රේණි සඳහා වීජ ගණිතය සහ ආරම්භක විශ්ලේෂණය.

ආවර්තිතා කාර්යයන් සැලසුම් කිරීමේ විශේෂාංග

ආවර්තිතා ශ්‍රිතයක ප්‍රස්ථාරය සාමාන්‍යයෙන් ප්‍රථමයෙන් ගොඩනගනු ලබන්නේ අන්තරය මත [ x 0 ; x 0 + ටී) ඉටු කරන්න සමාන්තර මාරු කිරීමසමස්ත නිර්වචන ප්රදේශය පුරා ප්රස්තාර ලකුණු.

ආවර්තිතා ශ්‍රිත සහ ඒවායේ ප්‍රස්ථාර සඳහා උදාහරණ.

ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත ආවර්තිතා ශ්‍රිත සඳහා උදාහරණ ලෙස සේවය කළ හැක. ප්රධාන ඒවා සලකා බලමු.

ශ්‍රිතය F(x)=sin(x)

අ) අර්ථ දැක්වීමේ වසම: D (sin x) = ආර් .

b) අගයන් කට්ටලය: E (sin x) = [– 1 , 1] .
ඇ) ඉරට්ටේ, ඔත්තේ: ශ්‍රිතය ඔත්තේ ය.

d) ආවර්තිතා: ශ්‍රිතය ප්‍රධාන කාල පරිච්ඡේදය සමඟ ආවර්තිතා වේ.

e) ශ්‍රිතයේ ශුන්‍ය: sin x = 0 සඳහා , n Z.

f) ශ්‍රිතයේ ස්ථාවරත්වයේ විරාමයන්:

g) ඒකාකාරීත්වයේ විරාමයන්: කාර්යය වැඩි වේ;

කාර්යය අඩු වන විට,

h) කාර්ය අන්ත:
; .

y= sin x ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරය රූපයේ දැක්වේ.

ශ්‍රිතය F(x) = cos(x)

අ) අර්ථ දැක්වීමේ වසම.

ආ) අගයන් කට්ටලය: E (cos x) = [ – 1 , 1 ] .

ඇ) ඉරට්ටේ, ඔත්තේ: ශ්‍රිතය ඉරට්ටේ.

ජී ) ආවර්තිතා: ශ්‍රිතය මූලික කාල පරිච්ඡේදයක් සමඟ ආවර්තිතා වේ.

e) ශ්‍රිත ශුන්‍ය: at .

f) සංඥා ස්ථාවරත්වයේ විරාමයන්:

g) ඒකාකාරීත්වයේ විරාමයන්:

කාර්යය වැඩි වේ;

විට කාර්යය අඩු වේ

h) අන්ත:

ක්‍රියාකාරී ප්‍රස්තාරය y= cos xරූපයේ දැක්වේ.

ශ්‍රිතය F(x) = tg(x)

අ) විෂය පථය:

b) අගයන් කට්ටලය: E ()

ඇ) ඉරට්ටේ, ඔත්තේ. කාර්යය අමුතුයි.

ඈ) ආවර්තිතා. ප්‍රධාන කාලපරිච්ඡේදය සමඟ ආවර්තිතා කාර්යය

e) ශ්‍රිත ශුන්‍ය: x = n, n සඳහා tg x = 0 Z.

f) ස්ථාවර අන්තරයන් සලකුණු කරන්න:

g) ඒකාකාරීත්වයේ විරාමයන්: එහි අර්ථ දැක්වීමේ වසමට සම්පූර්ණයෙන්ම අයත් වන එක් එක් කාල පරතරය මත ශ්‍රිතය වැඩි වේ.

h) අන්ත: කිසිවක් නැත.

ක්‍රියාකාරී ප්‍රස්තාරය y=tg xරූපයේ දැක්වේ.

ශ්‍රිතය F(x) = ctg(x)

අ) අර්ථ දැක්වීමේ වසම: D (ctg x) = ආර්\ (n(n Z)).

b) අගයන් කට්ටලය: E (ctg x) = ආර් .
ඇ) ඉරට්ටේ, ඔත්තේ ශ්‍රිතය ඔත්තේ ය.

d) ආවර්තිතා: ශ්‍රිතය ප්‍රධාන කාල පරිච්ඡේදය T = සමඟ ආවර්තිතා වේ.

e) ශ්‍රිත ශුන්‍ය: x = /2 + n, n සඳහා ctg x = 0 Z.

f) සංඥා ස්ථාවරත්වයේ අන්තරයන්;

g) ඒකාකාරීත්වයේ විරාමයන්: එහි අර්ථ දැක්වීමේ වසමට සම්පූර්ණයෙන්ම අයත් වන එක් එක් කාල පරතරය මත ශ්‍රිතය අඩු වේ.

h) අන්ත: කිසිවක් නැත.

y = ctg x ශ්රිතයේ ප්රස්ථාරය රූපයේ දැක්වේ.

ත්‍රිකෝණමිතික ආවර්තිතා ශ්‍රිත මත පදනම් වූ සංකීර්ණ ශ්‍රිතවල අධිස්ථාන-සැදීම භාවිතයෙන් සිත්ගන්නා ප්‍රස්ථාර ලබා ගනී.

ආවර්තිතා ශ්‍රිතයක සැලැස්ම

II. ආවර්තිතා ශ්රිතවල යෙදුම්. ආවර්තිතා උච්චාවචනයන්.

උච්චාවචනයන්.

උච්චාවචනයන් විවිධ පුනරාවර්තන මට්ටම් වලින් වෙනස් වන ක්‍රියාවලීන් ලෙස හැඳින්වේ. දෝලනය යනු නියමිත කාල පරාසයන්හිදී පුනරාවර්තනය වන ක්‍රියාවලි වේ (කෙසේ වෙතත්, පුනරාවර්තන ක්‍රියාවලීන් සියල්ලම දෝලනය නොවේ). පුනරාවර්තන ක්රියාවලියේ භෞතික ස්වභාවය අනුව, යාන්ත්රික, විද්යුත් චුම්භක, විද්යුත් යාන්ත්රික, ආදිය දෝලනය වේ. යාන්ත්‍රික කම්පන අතරතුර, ශරීරවල පිහිටීම් සහ ඛණ්ඩාංක වරින් වර වෙනස් වේ. විදුලි - වෝල්ටීයතාව සහ ධාරාව සමඟ. දෝලනය වන පද්ධතියක බලපෑමේ ස්වභාවය අනුව, නිදහස් දෝලනය, බලහත්කාර දෝලනය, ස්වයං දෝලනය සහ පරාමිතික දෝලනයන් වෙන්කර හඳුනාගත හැකිය.

පුනරාවර්තන ඕනෑම ජීවියෙකු තුළ ක්‍රියාවලීන් අඛණ්ඩව සිදු වේ, උදාහරණයක් ලෙස: හෘද හැකිලීම, පෙනහළු ක්‍රියාකාරිත්වය; අපි සීතල වූ විට වෙව්ලන්නෙමු; කන් බෙර සහ ස්වර තන්ත්‍රවල කම්පනවලට ස්තූතිවන්ත වෙමින් අපට සවන් දෙන්නෙමු, කතා කරන්නෙමු; ඇවිදින විට, අපගේ කකුල් දෝලන චලනයන් සිදු කරයි. අපව කම්පනය කරන පරමාණු. අප ජීවත් වන ලෝකය උච්චාවචනයන්ට ගොදුරු වේ.

ආවර්තිතා උච්චාවචනයන්.

ආවර්තිතායම් නිශ්චිත කාල පරිච්ඡේදයකින් පසු චලනයේ සියලු ලක්ෂණ නැවත නැවත සිදු වන එවැනි උච්චාවචනයන් ලෙස හැඳින්වේ.

ආවර්තිතා දෝලනය සඳහා, පහත ලක්ෂණ භාවිතා වේ:

දෝලන කාලය T, එක් සම්පූර්ණ දෝලනයක් සිදුවන කාලයට සමාන වේ;

දෝලනය සංඛ්යාතයν, තත්පරයට දෝලනය වන ගණනට සමාන (ν = 1/T);

පරාමිතික දෝලනය සිදු කරනු ලබන්නේ දෝලනය වන පද්ධතියක පරාමිතීන්හි කාලානුරූප වෙනසක් සමඟිනි (පැද්දීමක පැද්දෙන පුද්ගලයෙකු වරින් වර ඔහුගේ ගුරුත්වාකර්ෂණ මධ්‍යස්ථානය ඉහළ නංවා පහත් කරයි, එමඟින් පද්ධතියේ පරාමිතීන් වෙනස් කරයි). ඇතැම් තත්වයන් යටතේ, පද්ධතිය අස්ථායී වේ - සමතුලිත ස්ථානයේ සිට අහඹු ලෙස අපගමනය වීම දෝලනයන් මතුවීම හා වර්ධනය වීමට හේතු වේ. මෙම සංසිද්ධිය දෝලනවල පරාමිතික උද්දීපනය ලෙස හැඳින්වේ (එනම්, පද්ධතියේ පරාමිතීන් වෙනස් කිරීමෙන් දෝලනය උද්දීපනය වේ), සහ දෝලනය පරාමිතික ලෙස හැඳින්වේ. විවිධ භෞතික ස්වභාවය තිබියදීත්, උච්චාවචනයන් සාමාන්ය ක්රම මගින් අධ්යයනය කරනු ලබන එකම නිතිපතා මගින් සංලක්ෂිත වේ. වැදගත් චාලක ලක්ෂණයක් වන්නේ කම්පන වල ස්වරූපයයි. එය දෝලනය වීමේදී එක් හෝ තවත් භෞතික ප්‍රමාණයක් වෙනස් කිරීම විස්තර කරන කාලයෙහි ශ්‍රිතයේ ස්වරූපය අනුව තීරණය වේ. වඩාත් වැදගත් වන්නේ සයින් හෝ කෝසයින් නීතියට අනුව කාලයත් සමඟ උච්චාවචන අගය වෙනස් වන උච්චාවචනයන් ය. ඒවා හර්මොනික්ස් ලෙස හැඳින්වේ. මෙම ආකාරයේ දෝලනය පහත සඳහන් හේතු නිසා විශේෂයෙන් වැදගත් වේ. පළමුව, ස්වභාවධර්මයේ සහ තාක්ෂණයේ දෝලනය බොහෝ විට හාර්මොනික් වලට ඉතා සමීප චරිතයක් ඇත. දෙවනුව, වෙනස් ස්වරූපයක (වෙනස් කාල පරායත්තතාවක් සහිත) ආවර්තිතා ක්‍රියාවලි, හාර්මොනික් දෝලනයන්හි අතිච්ඡාදනය හෝ සුපිරි පිහිටීමක් ලෙස නිරූපණය කළ හැක.

UDC 517.17+517.51

ආවර්තිතා කාර්යයන් දෙකක එකතුවෙහි කාලසීමාව

A/O. එව්නින්

දන්නා ප්‍රධාන කාල පරිච්ඡේද සහිත ආවර්තිතා ශ්‍රිත දෙකක එකතුව වන ආවර්තිතා ශ්‍රිතයක ප්‍රධාන කාල පරිච්ඡේදය කුමක් විය හැකිද යන ප්‍රශ්නය මෙම පත්‍රිකාව සම්පූර්ණයෙන්ම විසඳයි. ආවර්තිතා ශ්‍රිතවල ආවර්තිතා එකතුවකට ප්‍රධාන කාල පරිච්ඡේදයක් නොමැති අවස්ථාව ද අපි අධ්‍යයනය කරමු.

අපි සැබෑ විචල්‍යයක තාත්වික වටිනාකම් ශ්‍රිත සලකා බලමු. විශ්වකෝෂ සංස්කරණයේ, "ආවර්තිතා කාර්යයන්" යන ලිපියේ කෙනෙකුට කියවිය හැකිය: "විවිධ කාල පරිච්ඡේද සහිත ආවර්තිතා ශ්‍රිතවල එකතුව ආවර්තිතා වන්නේ ඒවායේ කාලසීමාවන් අනුරූප වන විට පමණි." මෙම ප්‍රකාශය අඛණ්ඩ ශ්‍රිත සඳහා සත්‍ය වන නමුත් සාමාන්‍ය අවස්ථාවෙහි නොපවතී. ඉතා සාමාන්‍ය ආකෘතියක ප්‍රතිඋදාහරණයක් ගොඩනගා ඇත. මෙම ලිපියෙන්, අපි ආවර්තිතා ශ්‍රිතයක ප්‍රධාන කාල පරිච්ඡේදය කුමක් විය හැකිද යන්න සොයා බලමු, එනම් දන්නා ප්‍රධාන කාල පරිච්ඡේද සහිත ආවර්තිතා ශ්‍රිත දෙකක එකතුවයි.

පූර්ව තොරතුරු

D(f) වසමෙන් ඕනෑම x සඳහා T F O සංඛ්‍යාවක් සඳහා x + T සහ x - T යන සංඛ්‍යා D(f) ට අයත් වන අතර f(x + T) = සමානාත්මතා f(x + T) = නම් ශ්‍රිතයක් / ආවර්තිතා යැයි කියනු ලබන බව මතක තබා ගන්න. f(x) = f(x ~ T). මෙම අවස්ථාවෙහිදී, Г අංකය ශ්රිතයේ කාල පරිච්ඡේදය ලෙස හැඳින්වේ.

ශ්‍රිතයක කුඩාම ධන කාල පරිච්ඡේදය (ඇත්ත වශයෙන්ම එය පවතී නම්) ප්‍රධාන කාල පරිච්ඡේදය ලෙස හැඳින්වේ. පහත සඳහන් කරුණ දනී.

ප්‍රමේයය 1. ශ්‍රිතයකට ප්‍රධාන කාල පරිච්ඡේදයක් තිබේ නම්, ශ්‍රිතයේ ඕනෑම කාල පරිච්ඡේදයකට pTo ආකෘතිය ඇත, එහිදී p Ф 0 පූර්ණ සංඛ්‍යාවකි.

T\ සහ T2 සංඛ්‍යා T\ සහ T2 නිඛිල වාර ගණනක "ගැලපෙන" T0 අංකයක් තිබේ නම්, සංසන්දනාත්මක යැයි කියනු ලැබේ: T\ = T2 = n2T0, u, n2e Z. එසේ නොමැති නම්, T සංඛ්‍යා T \ සහ T2 අසමසම ලෙස හැඳින්වේ. කාල පරිච්ඡේදවල සංසන්දනාත්මක බව (නොගැලපෙන) යන්නෙන් අදහස් වන්නේ, එබැවින්, ඒවායේ අනුපාතය තාර්කික (අතාර්ක) සංඛ්‍යාවක් බවයි.

එය ප්‍රමේයය 1 න් පහත දැක්වෙන්නේ ප්‍රධාන කාල පරිච්ඡේදයක් ඇති ශ්‍රිතයක ඕනෑම කාල පරිච්ඡේද දෙකක් සමපාත වන බවයි.

කුඩාම කාලපරිච්ඡේදයක් නොමැති ශ්‍රිතයක සම්භාව්‍ය උදාහරණයක් වන්නේ ඩිරිච්ලට් ශ්‍රිතය වන අතර එය තාර්කික ලක්ෂ්‍යවලදී 1 ට සහ අතාර්කික ස්ථානවල ශුන්‍යයට සමාන වේ. ශුන්‍යය හැර වෙනත් ඕනෑම තාර්කික සංඛ්‍යාවක් Dirichlet ශ්‍රිතයේ කාල පරිච්ඡේදය වන අතර ඕනෑම අතාර්කික සංඛ්‍යාවක් එහි කාල සීමාව නොවේ. අපට පෙනෙන පරිදි, මෙහි ඕනෑම කාල පරිච්ඡේද දෙකක් සමපාත වේ.

අසමසම කාල පරිච්ඡේද සහිත නියත නොවන ආවර්තිතා ශ්‍රිතයකට උදාහරණයක් දෙමු.

/u + la/2, m, n e Z පෝරමයේ ලක්ෂ්‍යවල /(x) ශ්‍රිතය 1 ට සමාන වන අතර අනෙක් ලක්ෂ්‍යවල සමාන වීමට ඉඩ හරින්න

ශුන්ය. මෙම ශ්‍රිතයේ කාල පරිච්ඡේද අතර 1 සහ l ඇත

සැසඳිය හැකි කාල පරිච්ඡේද සහිත ශ්‍රිතවල එකතුවේ කාලසීමාව

ප්‍රමේයය 2. fug මූලික කාල පරිච්ඡේද සහිත mT0 සහ "To, එහිදී වර්ගය සහිත ආවර්තිතා ශ්‍රිත වීමට ඉඩ දෙන්න

ප්‍රධාන අංක. එවිට ඒවායේ එකතුවේ ප්‍රධාන කාලය (එය පවතී නම්) -

මෙහි k යනු m සමග ස්වාභාවික සංඛ්‍යා coprime වේ.

සාක්ෂි. h = / + g කරමු. පැහැදිලිවම, mnT0 අංකය යනු h කාල පරිච්ඡේදයයි. ගුණයෙන්

ප්‍රමේයය 1, h හි ප්‍රධාන කාලපරිච්ඡේදය ඇත්තේ k යම් ස්වභාවික සංඛ්‍යාවක් වන ආකාරයයි. උපකල්පනය කර ඇත

අපි k යනු m අංකය සමඟ coprime නොවන බව ඔබන්න, එනම් k - dku m \u003d dm\, එහිදී d\u003e 1 වඩාත්ම

1 යුගල වශයෙන් අසමසම කාල පරිච්ඡේද සහිත ඕනෑම සීමිත අඛණ්ඩ ශ්‍රිත සංඛ්‍යාවක එකතුව ආවර්තිතා නොවන බවට ලස්සන සාක්ෂියක් ලිපියේ අඩංගු වේ.

m සහ k සංඛ්‍යාවල විශාල පොදු බෙදුම්කරු එවිට k ශ්‍රිතයේ කාලසීමාව සමාන වේ

සහ f=h-g ශ්‍රිතය

mxnTo කාල පරිච්ඡේදයක් ඇත, එය එහි ප්‍රධාන කාල පරිච්ඡේදයේ mTQ හි ගුණාකාරයක් නොවේ. ප්‍රමේයය 1 සමඟ ප්‍රතිවිරෝධයක් ලබා ගනී.එබැවින්, k යනු m සමඟ coprime වේ, ඒ හා සමානව, k සහ n සංඛ්‍යා coprime වේ, මේ අනුව, A: m සමඟ coprime වේ. □

ප්‍රමේයය 3. m, n, සහ k යුගල වශයෙන් coprime numbers වන අතර T0 ධන අංකයක් වේවා. එවිට fug, g, සහ (f + g) යන ප්‍රධාන කාල පරිච්ඡේද වන fug ආවර්තිතා ශ්‍රිත ඇත

පිළිවෙලින් mT$, nTQ සහ

සාක්ෂි. ප්රමේයයේ සාධනය ඵලදායී වනු ඇත: අපි සරලව අනුරූප උදාහරණය ගොඩනඟමු. අපි පහත ප්‍රතිඵලය මූලික වශයෙන් සකස් කරමු. ප්රකාශය. m සාපේක්ෂ වශයෙන් ප්‍රථමක සංඛ්‍යා වීමට ඉඩ දෙන්න. එවිට කාර්යයන්

fx - cos- + cos--- සහ f2= cos- m n m

cos- ප්‍රධාන කාල සීමාව 2ktp ඇත. පී

ප්‍රකාශය සනාථ කිරීම. පැහැදිලිවම, අංක 2nm යනු ශ්‍රිත දෙකෙහිම කාලසීමාවයි. කාර්යය සඳහා මෙම කාල සීමාව ප්රධාන එකක් බව පරීක්ෂා කිරීම පහසුය එහි උපරිම ලකුණු සොයා ගනිමු.

x = 2lM, te Z.

අපි = p!. වර්ගය coprime බැවින් 5 යනු /r හි ගුණාකාරයක් බව අනුගමනය කරයි, i.e. i = I e b. මෙයින් අදහස් කරන්නේ /x(x) = 2 o x = 2mmn1,1 e 2, සහ /\ ශ්‍රිතයේ අසල්වැසි උපරිම ලක්ෂ්‍ය අතර දුර 2kn ට සමාන වන අතර ධන කාල සීමාව /1 විය නොහැක. සංඛ්යාවට වඩා අඩුය 2 shpp.

f ශ්‍රිතය සඳහා, අපි වෙනස් ආකාරයක තර්ක යොදන්නෙමු (ඒවා f ශ්‍රිතයටද සුදුසු වේ, නමුත්

අඩු මූලික). ප්‍රමේයය 1 පෙන්නුම් කරන පරිදි, /2 ශ්‍රිතයේ ප්‍රධාන කාල පරිච්ඡේද Γ හි ආකෘතිය ඇත -,

මෙහි k යනු ටයිප් කිරීමට යම් ස්වාභාවික සංඛ්‍යා coprime වේ. G හි අංකය ශ්‍රිතයේ කාල සීමාව වනු ඇත

(2 ^ 2 xn g t t /2 + /2 = - -1 cos

2pp1 ආකෘතිය ඇති සියලුම කාල පරිච්ඡේද. ඒ නිසා,

2nnl, i.e. m = kl. t සහ k අන්‍යෝන්‍ය බැවින්

එබැවින්, එය k = 1 ලෙස අනුගමනය කරයි.

දැන්, ප්‍රමේයය 3 ඔප්පු කිරීමට, අපට අවශ්‍ය උදාහරණය ගොඩනගා ගත හැකිය. උදාහරණයක්. m, n, සහ k යුගල වශයෙන් coprime numbers වීමට ඉඩ හරින්න, සහ n හෝ k සංඛ්‍යා වලින් අවම වශයෙන් එකක් 1 ට වඩා වෙනස් වීමට ඉඩ දෙන්න. එවිට pf k, සහ ශ්‍රිතයේ ඔප්පු කළ ප්‍රකාශය අනුව

/ (x) \u003d cos--- + cos- t to

සහ g(x) = cos-cos - n to

පිළිවෙළින් 2 ltk සහ 2 tk මූලික කාල සීමාවන් සහ ඒවායේ එකතුව ඇත

k(x) = f(x) + = cos- + cos-

ප්රධාන කාලය 2 tp වේ.

n = k = 1 නම්, ශ්‍රිත යුගලයක් සිදු කරනු ඇත

f(x)-2 cos- + COS X සහ g(x) - COS X. m

ඒවායේ ප්‍රධාන කාල පරිච්ඡේද මෙන්ම k(x) - 2 ශ්‍රිතයේ කාලසීමාව පිළිවෙලින් 2lm, 2/ri 2type වේ.

පරීක්ෂා කිරීම කොතරම් පහසුද කියා.

ගණිතය

අපි T = 2lx සඳහන් කරමු. අත්තනෝමතික යුගල වශයෙන් coprime අංක සඳහා mn, n, සහ k, ශ්‍රිත / සහ £ දක්වා ඇති පරිදි /, g, සහ / + g ශ්‍රිතවල ප්‍රධාන කාල පරිච්ඡේද පිළිවෙලින්, mT, nT, සහ

ප්‍රමේයයේ කොන්දේසි ශ්‍රිත වලින් තෘප්තිමත් වේ / - l;

අසමසම කාල පරිච්ඡේද සහිත ශ්‍රිතවල එකතුවේ කාලසීමාව

ඊළඟ ප්රකාශය පාහේ පැහැදිලිය.

ප්‍රමේයය 4. fug අසමසම මුලික කාල පරිච්ඡේද T) සහ T2 සහිත ආවර්තිතා ශ්‍රිත වේ, සහ මෙම ශ්‍රිතවල එකතුව h = f + g ආවර්තිතා වන අතර T මූලික කාල පරිච්ඡේදයක් ඇත. එවිට T සංඛ්‍යාව T] හෝ T2 යන දෙකටම නොගැලපේ.

සාක්ෂි. එක් අතකින්, TnT) සංඛ්‍යා සංසන්දනාත්මක නම්, g = h-f ශ්‍රිතයට r ට අනුරූප කාල සීමාවක් ඇත. අනෙක් අතට, ප්‍රමේයය 1 අනුව, g ශ්‍රිතයේ ඕනෑම කාල පරිච්ඡේදයක් T2 හි ගුණාකාර වේ. T\ සහ T2 අංකවල අසමසමතාවය සමඟ අපි ප්රතිවිරෝධතාවක් ලබා ගනිමු. T සහ T2 සංඛ්‍යාවල අසමසම බව එලෙසම ඔප්පු වේ, d

ප්‍රමේයය 4 හි ප්‍රතිවර්තනය ද සත්‍ය වීම කැපී පෙනෙන සහ තරමක් පුදුමයට කරුණකි, අසමසම කාලපරිච්ඡේද සහිත ආවර්තිතා ශ්‍රිත දෙකක එකතුව ආවර්තිතා ශ්‍රිතයක් විය නොහැකි බවට පුලුල්ව පැතිරුනු වැරදි මතයක් පවතී. ඇත්ත වශයෙන්ම, මෙය එසේ නොවේ. තවද, එකතුවේ කාලසීමාව ප්‍රමේයය 4 හි ප්‍රකාශය තෘප්තිමත් කරන ඕනෑම ධන සංඛ්‍යාවක් විය හැකිය.

ප්‍රමේයය 5. T\, T2, සහ T~ යුගල වශයෙන් අසමසම ධන සංඛ්‍යා වේවා. එවිට ආවර්තිතා ශ්‍රිත fug ඇත, එනම් ඒවායේ එකතුව h =/+ g ආවර්තිතා වන අතර, f guh ශ්‍රිතයේ ප්‍රධාන කාල පරිච්ඡේද පිළිවෙලින් Th T2 සහ T වේ.

සාක්ෂි. සාක්ෂිය නැවතත් නිර්මාණාත්මක වනු ඇත. T1 සහ T2 යන කාල පරිච්ඡේදවල T = aT1 + pT2 (a සහ P යනු තාර්කික සංඛ්‍යා වේ) T අංකය තාර්කික සංයෝජනයක් ලෙස නිරූපණය කළ හැකිද නැද්ද යන්න මත අපගේ ඉදිකිරීම් අත්‍යවශ්‍යයෙන්ම රඳා පවතී.

I. T යනු Tr සහ J2 හි තාර්කික සංයෝජනයක් නොවේ.

A = (mT\ + nT2 + kT\m,n, k e Z) යනු r1, T2 සහ T යන සංඛ්‍යාවල නිඛිල රේඛීය සංයෝජන කට්ටලය වේ. nT\ + nT2 ආකාරයෙන් සංඛ්‍යාවක් නිරූපණය කළ හැකි නම් අපි වහාම සටහන් කරමු. + kT, එවිට එවැනි නිරූපණයක් අද්විතීය වේ . ඇත්ත වශයෙන්ම, mxT\ + n\Tr + k\T - m2Tx + n2T2 + k2T9 නම්

(k) - k2)T - (ot2 - m\)T] + (n2 - u)Tb, සහ k\ * k2 සඳහා T] සහ T2 අනුව T තාර්කිකව ප්‍රකාශ කළ හැකි බව අපට පෙනී යයි. එබැවින් k\ = k2. දැන්, T\ සහ T2 සංඛ්යා වල අසමසමතාවයෙන්, m\ = m2 සහ uu = n2 යන සමානාත්මතාවයන් සෘජුවම ලබා ගනී.

වැදගත් කරුණක් නම් A සහ ​​එහි අනුපූරකය A කට්ටල A වෙතින් සංඛ්‍යා එකතු කිරීම යටතේ වසා ඇති බව පහසුවෙන් සත්‍යාපනය කළ හැකි කරුණකි: x e A සහ ​​y e A නම්, x + y e A; x e A සහ ​​y e A නම්, x + y e A.

A කුලකයේ සියලුම ලක්ෂ්‍යවල ශ්‍රිත / සහ g ශුන්‍යයට සමාන යැයි උපකල්පනය කරමු, සහ A කට්ටලය මත අපි මෙම ශ්‍රිත පහත පරිදි අර්ථ දක්වන්නෙමු:

f(mTi + nT2 + kT) = nT2 + kT g(mT1 + nT2 + kT) - mT1 - kT.

පෙන්වා ඇති පරිදි, සංගුණක m, r, T2 සහ r යන කාල පරිච්ඡේදවල රේඛීය සංයෝජනයේ උච්චය x e A අංකයෙන් අද්විතීය ලෙස ප්‍රතිස්ථාපනය කළ හැකි බැවින්, f සහ g ශ්‍රිතවල සඳහන් පැවරුම් නිවැරදි වේ.

A කට්ටලයේ h =/ + g ශ්‍රිතය ශුන්‍යයට සමාන වන අතර A කට්ටලයේ ලක්ෂ්‍යවලදී එය සමාන වේ

h(mT\ + nT2 + kT) - mT\ + nT2.

සෘජු ආදේශනය මගින්, T\ යනු f ශ්‍රිතයේ කාලසීමාව බවත්, T2 අංකය g හි කාලසීමාව බවත්, T~ h හි කාලසීමාව බවත් තහවුරු කර ගැනීම පහසුය. මෙම කාල පරිච්ඡේද මූලික බව අපි පෙන්වමු.

පළමුව, ශ්‍රිතයේ ඕනෑම කාල පරිච්ඡේදයක් / A කාණ්ඩයට අයත් වන බව අපි සටහන් කරමු. ඇත්ත වශයෙන්ම,

A, y e A හි 0 fx නම්, x + y e A සහ ​​f(x + y) = 0 * f(x). එබැවින්, y e A යනු ශ්‍රිතයේ කාල සීමාව නොවේ /

දැන් එකිනෙකට සමාන නොවන අංක \, x2 ^ සහ f (x 1) ~ f (x2) ට අයත් වේ. ශ්‍රිතයේ අර්ථ දැක්වීමෙන් / අපි මෙතැනින් ලබා ගන්නේ x\ - x2 = 1T මෙහි I යනු ශුන්‍ය නොවන පූර්ණ සංඛ්‍යාවකි. එබැවින්, ශ්‍රිතයේ ඕනෑම කාල පරිච්ඡේදයක් / යනු T\ හි ගුණාකාරයකි. මේ අනුව, Tx යනු ප්‍රධාන කාල පරිච්ඡේදයයි /

T2 සහ T පිළිබඳ ප්‍රකාශයන් එකම ආකාරයකින් සත්‍යාපනය කෙරේ.

අදහස් දක්වන්න. පි පොතේ. 172-173 නඩුව I සඳහා තවත් පොදු ඉදිකිරීමක් ලබා දෙන්න.

II. T යනු T\ සහ T2 හි තාර්කික සංයෝජනයකි.

අපි Γ = - (kxTx + k2T2) ආකාරයෙන් T\ සහ T2 කාල පරිච්ඡේදවල තාර්කික සංයෝජනයක් නියෝජනය කරමු, එහිදී kx සහ

k2 ™ යනු coprime integers වේ, k(Γ\ + k2T2 > 0, a/? සහ q යනු ස්වභාවික සංඛ්‍යා වේ. සලකා බලන්න, leZ>.

රීනියම් කට්ටලය B----

B කුලකයේ සියලුම ලක්ෂ්‍යවල f සහ g ශ්‍රිත ශුන්‍යයට සමාන වේ යැයි අපි උපකල්පනය කරමු, B කුලකයේ අපි මෙම ශ්‍රිත පහත පරිදි අර්ථ දක්වන්නෙමු:

^ mT\ + nT2 A I

^ mTx + nT2 L

මෙහිදී, සාමාන්‍ය පරිදි, [x] සහ (x) පිළිවෙලින් සංඛ්‍යාවල පූර්ණ සංඛ්‍යාව සහ භාගික කොටස් දක්වයි. B කුලකයේ k = / + q ශ්‍රිතය ශුන්‍යයට සමාන වන අතර B කට්ටලයේ ලක්ෂ්‍යවලදී එය සමාන වේ

fmTx +nT: l එච්

සෘජු ආදේශනය මගින්, Tx අංකය ශ්‍රිතයේ කාලසීමාව /, T2 සංඛ්‍යාව g කාල පරිච්ඡේද, සහ T යනු h කාල සීමාව බව පරීක්ෂා කිරීම පහසුය. මෙම කාල පරිච්ඡේද මූලික බව අපි පෙන්වමු.

ශ්‍රිතයේ ඕනෑම කාල පරිච්ඡේදයක් B කුලකයට අයත් වේ. ඇත්ත වශයෙන්ම, 0 * x e B, y e B නම්, f(x) Φ 0, j(x + y) = 0 */(*)■ එබැවින්, y e B _ කාර්ය කාලය නොවේ/

මේ අනුව, ශ්‍රිතයේ ඕනෑම කාල පරිච්ඡේදයක් / Ty = ආකෘතිය ඇත

5i සහ 52 පූර්ණ සංඛ්‍යා වේ. ඉඩ

x \u003d -7] 4 - Г2, x e 5. i \u003d 0 නම්, / (i) යනු තාර්කික අංකයකි. දැන් අංකයේ තාර්කිකත්වය අනුව / (x + 7)) සමානාත්මතාවය -I - I - 0 පහත දැක්වේ, එබැවින්, අපට සමානාත්මතාවය 52 = Xp, මෙහි X යනු යම් නිඛිලයකි.

අංකය. සම්බන්ධය /(x + 7)) =/(x) ආකෘතිය ගනී

^ P + I + I w +

මෙම සමානාත්මතාවය සියලු නිඛිල වර්ග සඳහා පැවතිය යුතුය. m-p ~ 0 විට, (1) හි දකුණු පැත්ත වේ

බිංදුවට. භාගික කොටස් සෘණ නොවන බැවින්, අපට මෙතැනින් ලැබෙන්නේ -<0, а при

m \u003d n \u003d q - ] සමානාත්මතාවයේ දකුණු පැත්තේ (1) භාගික කොටස්වල එකතුව h-X භාගික කොටස්වල එකතුවට වඩා අඩු නොවේ

වම් පැත්තේ එක. ඉතින් -> 0. මේ අනුව, X = 0 සහ 52 = 0. එබැවින්, ශ්‍රිතයේ කාල පරිච්ඡේදය / ආකෘතිය ඇත

සහ සමානාත්මතාවය (1) බවට පත් වේ

n\ | සහ 52 පූර්ණ සංඛ්‍යා වේ. සබඳතා වලින්

d(0) = 0 = d(GA) =

අංක 51 සහ ^ p හි ගුණාකාර විය යුතු බව අපි ලබා ගනිමු, i.e. සමහර නිඛිල Ax සහ A2 සඳහා අපට 51 = A\p, E2 = A2p ඇත. එවිට සම්බන්ධය (3) ලෙස නැවත ලිවිය හැක

සමානාත්මතාවයෙන් A2kx = k2A\ සහ k\ සහ k2 සංඛ්යා වල coprimeness, එය පහත දැක්වෙන්නේ A2 k2 න් බෙදිය හැකි බවයි. මෙතැන් සිට

සමහර නිඛිල t සඳහා A2 = k2t සහ Ax ~ kxt සමානකම් වලංගු වේ, i.e. ත ~-(kxTx + k2T2).

h ශ්‍රිතයේ ඕනෑම කාල පරිච්ඡේදයක් Т = - (к(Гх + к2Т2)9 කාල පරිච්ඡේදයේ ගුණාකාරයක් බව පෙන්වයි.

Zom, ප්රධාන එක. □

ප්‍රධාන කාල සීමාවක් නැත

ප්‍රමේයය 6. Tx සහ T2~ අත්තනෝමතික ධන සංඛ්‍යා වේවා. ඉන්පසුව ඒවායේ ප්‍රධාන කාල පරිච්ඡේද පිළිවෙළින් T\ සහ T2 වන පරිදි ආවර්තිතා ශ්‍රිත fug ඇත, ඒවායේ එකතුව h=f+g ආවර්තිතා වන නමුත් ප්‍රධාන කාල පරිච්ඡේදයක් නොමැත.

සාක්ෂි. හැකි අවස්ථා දෙකක් සලකා බලමු.

I. Tx සහ T2 කාල පරිච්ඡේද අසමසම වේ.

A = + nT2 +kT\ ඉඩ දෙන්න. ඉහත පරිදි, අංකය නම් බව පෙන්වීමට පහසුය

mTx + nT2 + kT ආකාරයෙන් නිරූපණය කළ හැකිය, එවිට එවැනි නිරූපණයක් අද්විතීය වේ.

A කුලකයේ සියලුම ලක්ෂ්‍යවල ශ්‍රිත / සහ g ශුන්‍යයට සමාන යැයි උපකල්පනය කරමු, සහ A කට්ටලය මත අපි මෙම ශ්‍රිත පහත පරිදි අර්ථ දක්වන්නෙමු:

/සිට; + nT2 + kT) = nT2 + kT, g(mTx + nT2 + kT) = mTx - kT.

Tx අංකය ශ්‍රිතයේ ප්‍රධාන කාලසීමාව /, T2 අංකය ප්‍රධාන කාල පරිච්ඡේද g, සහ ඕනෑම තාර්කික සංඛ්‍යාවක් සඳහා kT යනු h - f + g ශ්‍රිතයේ කාලසීමාව බව සත්‍යාපනය කිරීම පහසුය. කුඩාම කාල පරිච්ඡේදයක් නොමැත.

II. Tx සහ T2 කාල පරිච්ඡේද සැසඳිය හැකිය.

Tx = mT0, T2 = nT0, T0 > 0, m සහ n ස්වභාවික සංඛ්‍යා වේ. අපි R = + කට්ටලය සැලකිල්ලට ගනිමු.

B කුලකයේ සියලුම ලක්ෂ්‍යවල fug ශ්‍රිත ශුන්‍යයට සමාන යැයි අපි උපකල්පනය කරමු, සහ B කට්ටලය මත අපි මෙම ශ්‍රිතයන් පහත පරිදි අර්ථ දක්වන්නෙමු:

/((/ + WT0) = W + Jit, g((/ + 4lk)T0) - W - 42k.

B කුලකයේ h ~ / + g ශ්‍රිතය ශුන්‍යයට සමාන වන අතර B කට්ටලයේ ලක්ෂ්‍යවලදී එය සමාන වේ

අංක 7j = mTQ ශ්‍රිතයේ ප්‍රධාන කාල පරිච්ඡේදය /, T2 ~ nT0 ප්‍රධාන කාල පරිච්ඡේදය g වන අතර h ~ f + g ශ්‍රිතයේ කාල පරිච්ඡේද අතර පෝරමයේ සියලුම සංඛ්‍යා තිබේදැයි පරීක්ෂා කිරීම පහසුය. l/2kT0, මෙහි k යනු අත්තනෝමතික තාර්කික අංකයකි. □

ප්‍රමේයය 6 සනාථ කරන ඉදිකිරීම් h~ / + g ශ්‍රිතයේ කාල පරිච්ඡේදවල අසමසමතාවය මත පදනම් වේ / සහ g . අවසාන වශයෙන්, අපි fug ශ්‍රිත සඳහා උදාහරණයක් දෙන්නෙමු, එනම් /, g සහ / + g ශ්‍රිතවල සියලුම කාල පරිච්ඡේද එකිනෙක හා සමපාත වන නමුත් / සහ g සඳහා මූලික කාල පරිච්ඡේද ඇති අතර f + g නොවේ.

m යනු යම් ස්ථාවර ස්වභාවික සංඛ්‍යාවක් වීමට ඉඩ හරින්න, M යනු m හි ගුණාකාර සංඛ්‍යා ඇති ප්‍රතිචක්‍රීකරණය කළ නොහැකි නිඛිල නොවන භාග සමූහයකි. දාමු

1 නම් xM; 1

ifxe mZ;

EcnuxeZXmZ; 2

වෙනත් අවස්ථාවල දී O; 1 නම් xeMU

~,ifxe2 2

[අනේ නැත්නම්.

fug ශ්‍රිතයේ ප්‍රධාන කාල පරිච්ඡේද පිළිවෙලින් m සහ 1 ට සමාන වන අතර, එකතුව / + g ට m/n ආකාරයේ ඕනෑම සංඛ්‍යාවක කාල සීමාවක් ඇති අතර, n යනු අත්තනෝමතික ස්වභාවික සංඛ්‍යාවක් සාපේක්ෂ වශයෙන් ප්‍රථමක වේ. මීටර් දක්වා.

සාහිත්යය

1. ගණිත විශ්වකෝෂ ශබ්දකෝෂය / Ch. සංස්. යූ.වී. Prokhorov - M.: Sov. විශ්වකෝෂය, 1988.

2. Mikaelyan L.V., Sedrakyan N.M. ආවර්තිතා ශ්‍රිතවල එකතුවේ ආවර්තිතා මත// ගණිත අධ්‍යාපනය. - 2000. - අංක 2 (13). - එස්. 29-33.

3. Gerenstein A.V., Evnin A.Yu. ආවර්තිතා ශ්‍රිතවල එකතුව මත// පාසලේ ගණිතය. -2002. - අංක 1. - S. 68-72.

4. ඉව්ලෙව් බී.එම්. සහ අනෙකුත්, වීජ ගණිතයේ ගැටළු එකතු කිරීම සහ සෛල 9 සහ 10 සඳහා විශ්ලේෂණ මූලධර්ම. - එම්.: බුද්ධත්වය, 1978.

අරමුණ: "කර්තව්යයේ ආවර්තිතා" යන මාතෘකාව පිළිබඳ සිසුන්ගේ දැනුම සාමාන්යකරණය කිරීම සහ ක්රමවත් කිරීම; ආවර්තිතා ශ්‍රිතයක ගුණ යෙදීම, ශ්‍රිතයක කුඩාම ධන කාල පරිච්ඡේදය සොයා ගැනීම, ආවර්තිතා ශ්‍රිත සැලසුම් කිරීම සඳහා කුසලතා සැකසීම; ගණිතය පිළිබඳ උනන්දුව ප්රවර්ධනය කිරීම; නිරීක්ෂණ, නිරවද්‍යතාවය වගා කරන්න.

උපකරණ: පරිගණක, බහුමාධ්‍ය ප්‍රොජෙක්ටරය, කාර්ය කාඩ්පත්, විනිවිදක, ඔරලෝසු, විසිතුරු වගු, ජන ශිල්පීය අංග

"ගණිතය යනු ස්වභාවධර්මය සහ තමන්ව පාලනය කිරීමට මිනිසුන් භාවිතා කරන දෙයයි"
ඒ.එන්. කොල්මොගොරොව්

පන්ති අතරතුර

I. සංවිධානාත්මක අදියර.

පාඩම සඳහා සිසුන්ගේ සූදානම පරීක්ෂා කිරීම. පාඩමේ මාතෘකාව සහ අරමුණු ඉදිරිපත් කිරීම.

II. ගෙදර වැඩ පරීක්ෂා කිරීම.

අපි සාම්පල අනුව ගෙදර වැඩ පරීක්ෂා කරමු, වඩාත්ම දුෂ්කර කරුණු සාකච්ඡා කරමු.

III. දැනුම සාමාන්‍යකරණය සහ ක්‍රමවත් කිරීම.

1. වාචික ඉදිරිපස වැඩ.

න්‍යාය ප්‍රශ්න.

1) ශ්‍රිතයේ කාලසීමාව නිර්වචනය කරන්න
2) y=sin(x), y=cos(x) ශ්‍රිතවල කුඩාම ධන කාල පරිච්ඡේදය කුමක්ද?
3) y=tg(x), y=ctg(x) ශ්‍රිතවල කුඩාම ධන කාල පරිච්ඡේදය කුමක්ද?
4) සම්බන්ධතා වල නිවැරදි බව ඔප්පු කිරීමට කවය භාවිතා කරන්න:

y=sin(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)

tg(x+π n)=tgx, n ∈ Z
ctg(x+π n)=ctgx, n ∈ Z

sin(x+2π n)=sinx, n ∈ Z
cos(x+2π n)=cosx, n ∈ Z

5) ආවර්තිතා කාර්යයක් සැලසුම් කරන්නේ කෙසේද?

වාචික අභ්යාස.

1) පහත සම්බන්ධතා ඔප්පු කරන්න

ඒ) sin(740º) = sin(20º)
බී) cos(54º ) = cos(-1026º)
ඇ) sin(-1000º) = sin(80º)

2. 540º කෝණය y= cos(2x) ශ්‍රිතයේ එක් කාල පරිච්ඡේදයක් බව ඔප්පු කරන්න.

3. 360º කෝණය y=tg(x) ශ්‍රිතයේ එක් කාල පරිච්ඡේදයක් බව ඔප්පු කරන්න.

4. මෙම ප්‍රකාශනවල ඇතුළත් කෝණ නිරපේක්ෂ අගයෙන් 90º නොඉක්මවන ලෙස පරිවර්තනය කරන්න.

ඒ) tg375º
බී) ctg530º
ඇ) sin1268º
ඈ) cos(-7363º)

5. ඔබට PERIOD, PERIODICITY යන වචන හමු වූයේ කොහේද?

සිසුන්ගේ පිළිතුරු: සංගීතයේ කාල පරිච්ඡේදයක් යනු අඩු හෝ වැඩි වශයෙන් සම්පූර්ණ සංගීත චින්තනයක් ප්‍රකාශ කරන ගොඩනැගීමකි. භූ විද්‍යාත්මක කාලපරිච්ඡේදය යුගයක කොටසක් වන අතර එය වසර මිලියන 35 සිට 90 දක්වා කාලපරිච්ඡේදයක් සහිත යුගවලට බෙදා ඇත.

විකිරණශීලී ද්රව්යයක අර්ධ ආයු කාලය. ආවර්තිතා භාගය. වාර සඟරා යනු දැඩි ලෙස නිර්වචනය කරන ලද දිනයන්හි දිස්වන මුද්‍රිත ප්‍රකාශන වේ. මෙන්ඩලීව්ගේ ආවර්තිතා පද්ධතිය.

6. සංඛ්යා ලේඛනවල ආවර්තිතා ශ්රිතවල ප්රස්තාරවල කොටස් පෙන්වයි. කාර්යයේ කාල සීමාව නිර්වචනය කරන්න. කාර්යයේ කාලසීමාව තීරණය කරන්න.

පිළිතුර: T=2; T=2; T=4; T=8.

7. ඔබේ ජීවිතයේ පුනරාවර්තන මූලද්‍රව්‍ය ගොඩනැගීම සමඟ ඔබ හමුවී ඇත්තේ කොතැනින්ද?

සිසුන් පිළිතුරු දෙයි: විසිතුරු භාණ්ඩ, ජන කලාව.

IV. සාමූහික ගැටළු විසඳීම.

(විනිවිදක මත ගැටළු විසඳීම.)

ආවර්තිතා සඳහා ශ්‍රිතයක් අධ්‍යයනය කිරීමේ එක් ක්‍රමයක් අපි සලකා බලමු.

මෙම ක්‍රමය එක් හෝ තවත් කාල පරිච්ඡේදයක් කුඩාම බව ඔප්පු කිරීම හා සම්බන්ධ දුෂ්කරතා මඟ හරින අතර ආවර්තිතා ශ්‍රිතවල අංක ගණිත මෙහෙයුම් සහ සංකීර්ණ ශ්‍රිතයක ආවර්තිතා පිළිබඳ ප්‍රශ්න ස්පර්ශ කිරීමට අවශ්‍ය නොවේ. තර්කනය පදනම් වන්නේ ආවර්තිතා ශ්‍රිතයක නිර්වචනය මත සහ පහත සඳහන් කරුණ මත පමණි: T යනු ශ්‍රිතයේ කාල පරිච්ඡේදය නම්, nT(n? 0) යනු එහි කාලසීමාවයි.

ගැටළුව 1. f(x)=1+3(x+q>5) ශ්‍රිතයේ කුඩාම ධන කාල පරිච්ඡේදය සොයන්න

විසඳුම: මෙම ශ්‍රිතයේ T-කාලසීමාව යැයි උපකල්පනය කරමු. එවිට සියලු x ∈ D(f) සඳහා f(x+T)=f(x), i.e.

1+3(x+T+0.25)=1+3(x+0.25)
(x+T+0.25)=(x+0.25)

අපිට ලැබෙන x=-0.25 දාමු

(T)=0<=>T=n, n ∈ Z

සලකා බලන ශ්‍රිතයේ සියලුම කාල පරිච්ඡේද (ඒවා තිබේ නම්) නිඛිල අතර ඇති බව අප ලබා ගෙන ඇත. මෙම සංඛ්‍යා අතරින් කුඩාම ධන අංකය තෝරන්න. මෙය 1 . එය ඇත්ත වශයෙන්ම කාලපරිච්ඡේදයක් දැයි පරීක්ෂා කර බලමු 1 .

f(x+1)=3(x+1+0.25)+1

ඕනෑම T සඳහා (T+1)=(T) සිට, පසුව f(x+1)=3((x+0.25)+1)+1=3(x+0.25)+1=f(x ), i.e. 1 - කාල සීමාව f. 1 ධන නිඛිල වලින් කුඩාම වන බැවින්, T=1.

කාර්යය 2. f(x)=cos 2 (x) ශ්‍රිතය ආවර්තිතා බව පෙන්වා එහි ප්‍රධාන කාල සීමාව සොයා ගන්න.

කාර්යය 3. කාර්යයේ ප්රධාන කාල පරිච්ඡේදය සොයා ගන්න

f(x)=sin(1.5x)+5cos(0.75x)

ශ්‍රිතයේ T-කාලසීමාව උපකල්පනය කරන්න, පසුව ඕනෑම දෙයක් සඳහා xඅනුපාතය

sin1.5(x+T)+5cos0.75(x+T)=sin(1.5x)+5cos(0.75x)

x=0 නම්

sin(1.5T)+5cos(0.75T)=sin0+5cos0

sin(1.5T)+5cos(0.75T)=5

x=-T නම්, එසේ නම්

sin0+5cos0=sin(-1.5T)+5cos0.75(-T)

5= - sin(1.5T)+5cos(0.75T)

sin(1.5T)+5cos(0.75T)=5 – sin(1.5T)+5cos(0.75T)=5

එකතු කිරීම, අපට ලැබෙන්නේ:

10cos(0.75T)=10

2π n, n € Z

සියලුම "සැක සහිත" සංඛ්‍යා වලින් කුඩාම ධන අගය තෝරා එය f සඳහා කාලපරිච්ඡේදයක් දැයි පරීක්ෂා කරමු. මෙම අංකය

f(x+)=sin(1.5x+4π)+5cos(0.75x+2π)= sin(1.5x)+5cos(0.75x)=f(x)

එබැවින්, f ශ්රිතයේ ප්රධාන කාල පරිච්ඡේදය වේ.

කාර්යය 4. f(x)=sin(x) ශ්‍රිතය ආවර්තිතා වේදැයි පරීක්ෂා කරන්න

T යනු f ශ්‍රිතයේ කාල පරිච්චේදය වේ. එවිට ඕනෑම x සඳහා

sin|x+T|=පව්|x|

x=0 නම්, sin|T|=පව්0, sin|T|=0 T=π n, n ∈ Z.

සිතන්න. සමහරුන්ට n අංකය π n යනු කාල පරිච්ඡේදයකි

ශ්‍රිතය π n>0 ලෙස සැලකේ. එවිට පව්|π n+x|=පව්|x|

මෙයින් ගම්‍ය වන්නේ n ඉරට්ටේ සහ ඔත්තේ යන දෙකම එකවර විය යුතු බවයි, එය කළ නොහැක්කකි. එබැවින්, මෙම කාර්යය කාලානුරූපී නොවේ.

කාර්යය 5. කාර්යය කාලානුරූපී දැයි පරීක්ෂා කරන්න

f(x)=

T කාලපරිච්ඡේදය f වීමට ඉඩ දෙන්න

, එහෙයින් sinT=0, T=π n, n € Z. සමහර n සඳහා π n සංඛ්‍යාව ඇත්ත වශයෙන්ම දී ඇති ශ්‍රිතයේ කාලසීමාව යැයි උපකල්පනය කරමු. එවිට 2π n අංකය ද කාලපරිච්ඡේදයක් වනු ඇත

සංඛ්‍යා සමාන බැවින් ඒවායේ හරයන් ද එසේ ය

එබැවින් f ශ්‍රිතය ආවර්තිතා නොවේ.

කණ්ඩායම් වැඩ.

1 කණ්ඩායම සඳහා කාර්යයන්.

2 කණ්ඩායම සඳහා කාර්යයන්.

f ශ්‍රිතය ආවර්තිතා වේදැයි පරීක්ෂා කර එහි ප්‍රධාන කාල පරිච්ඡේදය සොයා ගන්න (එය පවතී නම්).

f(x)=cos(2x)+2sin(2x)

3 කණ්ඩායම සඳහා කාර්යයන්.

කාර්යය අවසානයේ, කණ්ඩායම් ඔවුන්ගේ විසඳුම් ඉදිරිපත් කරයි.

VI පාඩම සාරාංශ කිරීම.

පරාවර්තනය.

ගුරුවරයා සිසුන්ට චිත්‍ර සහිත කාඩ්පත් ලබා දෙන අතර, ඔවුන්ට පෙනෙන පරිදි, ආවර්තිතා සඳහා ශ්‍රිතය අධ්‍යයනය කිරීමේ ක්‍රම සහ දෙවන චිත්‍රයේ කොටසක් ඔවුන් ප්‍රගුණ කර ඇති ප්‍රමාණයට අනුකූලව පළමු චිත්‍රයේ කොටසක් පින්තාරු කිරීමට ඉදිරිපත් වේ. , පාඩමෙහි වැඩ සඳහා ඔවුන්ගේ දායකත්වය අනුව.

VII. ගෙදර වැඩ

1) f ශ්‍රිතය ආවර්තිතා වේදැයි පරීක්ෂා කර එහි ප්‍රධාන කාල පරිච්ඡේදය සොයා ගන්න (එය පවතී නම්)

බී). f(x)=x 2 -2x+4

c) f(x)=2tg(3x+5)

2) y=f(x) ශ්‍රිතයට T=2 කාල සීමාවක් ඇති අතර x € [-2 සඳහා f(x)=x 2 +2x; 0]. -2f(-3)-4f(3,5) ප්‍රකාශනයේ අගය සොයන්න

සාහිත්‍යය/

1. මොර්ඩ්කොවිච් ඒ.ජී.වීජ ගණිතය සහ ගැඹුරු අධ්‍යයනය සමඟ විශ්ලේෂණයේ ආරම්භය.
2. ගණිතය. විභාගය සඳහා සූදානම් වීම. එඩ්. Lysenko F.F., Kulabukhova S.Yu.
3. Sheremetyeva T.G. , ටාරසෝවා ඊ.ඒ. 10-11 ශ්‍රේණි සඳහා වීජ ගණිතය සහ ආරම්භක විශ්ලේෂණය.