සමාන්තර චලිතයක විරුද්ධ පැතිවල දේපල. අපි සමාන්තර චලිතයක කෝණ සහ ප්‍රදේශයේ එකතුව ගණනය කරමු: ගුණාංග සහ ලක්ෂණ. සාරාංශ සහ මූලික සූත්ර

මෙම කොටසේදී අපි ජ්යාමිතික වස්තුව සමාන්තර චලිතය දෙස බලමු. සමාන්තර චලිතයක සියලුම මූලද්‍රව්‍ය චතුරස්‍රයකින් උරුම වී ඇත, එබැවින් අපි ඒවා සලකා බලන්නේ නැත. නමුත් ගුණාංග සහ ලක්ෂණ සවිස්තරාත්මකව සලකා බැලිය යුතුය. අපි බලමු:

• ලකුණක් දේපලකින් වෙනස් වන්නේ කෙසේද?
• 8 වන ශ්රේණියේ වැඩසටහනේ අධ්යයනය කරන මූලික ගුණාංග සහ ලක්ෂණ දෙස බලමු;
• ආධාරක ගැටළු විසඳීමේදී අප ලබා ගන්නා අතිරේක ගුණාංග දෙකක් සකස් කරමු.

2.1 සමාන්තර චලිතයක අර්ථ දැක්වීම

ජ්යාමිතිය තුළ සංකල්ප නිවැරදිව නිර්වචනය කිරීම සඳහා, ඔබ ඒවා කටපාඩම් කිරීම පමණක් නොව, ඒවා සෑදී ඇති ආකාරය තේරුම් ගත යුතුය. සාමාන්‍ය සංකල්පවල යෝජනා ක්‍රම මේ කාරණයේදී අපට හොඳින් උපකාරී වේ. අපි බලමු ඒ මොකක්ද කියලා.

අපගේ පුහුණු මොඩියුලය "චතුරස්‍ර" ලෙස හඳුන්වනු ලබන අතර චතුරස්‍රය මෙම පාඨමාලාවේ ප්‍රධාන සංකල්පයකි. චතුරස්‍රයක පහත නිර්වචනය අපට දිය හැක.

චතුරස්රය-මෙය බහුඅස්ර, පැති හතරක් සහ සිරස් හතරක් ඇත.

මෙම නිර්වචනයේ දී, පොදු සංකල්පය බහුඅස්‍රයක් වනු ඇත. දැන් අපි බහුඅස්‍රයක් නිර්වචනය කරමු:

බහුඅස්රයසරල සංවෘත ලෙස හැඳින්වේ කැඩුණු රේඛාවඑය මායිම් කරන ගුවන් යානයේ කොටස සමඟ.

මෙහි සාමාන්‍ය සංකල්පය බිඳුණු රේඛාවක් පිළිබඳ සංකල්පය බව පැහැදිලිය. අපි තවත් ඉදිරියට ගියහොත්, අපි කොටසක සංකල්පයට පැමිණ, පසුව ලක්ෂ්යයක් සහ සරල රේඛාවක් පිළිබඳ අවසාන සංකල්ප වෙත පැමිණෙනු ඇත. එලෙසම අපට අපගේ රූප සටහන පහළට ගෙන යා හැක:

චතුරස්‍රයක පැති දෙකක් සමාන්තර විය යුතු අතර දෙකක් නොවීමට අවශ්‍ය නම්, අපට trapezoid ලෙස හැඳින්වෙන රූපයක් ලැබේ.

ට්රේප්සොයිඩ් – චතුරස්රාකාර, එහි පැති දෙකක් සමාන්තර වන අතර අනෙක් දෙක සමාන්තර නොවේ.

සියලුම ප්රතිවිරුද්ධ පැති සමාන්තර වන විට, අපි සමාන්තර චලිතයක් සමඟ කටයුතු කරමු.

සමාන්තර චලිතය – චතුරස්රාකාර, එහි විරුද්ධ පැති සමාන්තර වේ.

2.2 සමාන්තර චලිතයක ගුණ

දේපල 1.සමාන්තර චලිතයක ප්‍රතිවිරුද්ධ පැති සමාන වන අතර ප්‍රතිවිරුද්ධ කෝණ සමාන වේ.

අපි මෙම දේපල ඔප්පු කරමු.

ලබා දී ඇත: ABCD යනු සමාන්තර චලිතයකි.

ඔප්පු කරන්න:$\angle A = \angle C, \angle B = \angle D, AB = CD, AD = BC.$

සාක්ෂි:

ඕනෑම ජ්යාමිතික වස්තුවක ගුණාංග ඔප්පු කරන විට, අපි එහි නිර්වචනය සැමවිටම මතක තබා ගනිමු. ඒ නිසා, සමාන්තර චලිතය- ප්‍රතිවිරුද්ධ පැති සමාන්තර වන චතුරස්‍රයක්. මෙහි ප්රධාන කරුණ වන්නේ පැතිවල සමාන්තරකරණයයි.

පේළි හතරටම සෙකන්ට් එකක් හදමු. මෙම තත්පරය විකර්ණ BD වනු ඇත.

නිසැකවම, අපි තීර්යක් සහ සමාන්තර රේඛා මගින් සාදන ලද කෝණ සලකා බැලිය යුතුය. රේඛා සමාන්තර බැවින් ඒවා හරහා ඇති කෝණ සමාන වේ.

දැන් ඔබට දෙවන ලග්නය අනුව සමාන ත්‍රිකෝණ දෙකක් දැකිය හැක.

ත්රිකෝණවල සමානාත්මතාවය සමාන්තර චලිතයක පළමු ගුණාංගය සෘජුවම ඇඟවුම් කරයි.

දේපල 2.සමාන්තර චලිතයක විකර්ණ ඡේදනය වන ලක්ෂ්‍යයෙන් අඩකින් බෙදී ඇත.

ලබා දී ඇත: ඒ බී සී ඩී- සමාන්තර චලිතය.

ඔප්පු කරන්න:$AO = OC, BO = OD.$

සාක්ෂි:

මෙහි සාක්ෂියේ තර්කය පෙර දේපලෙහි සමාන වේ: පැතිවල සමාන්තරකරණය සහ ත්රිකෝණවල සමානාත්මතාවය. සාක්ෂියේ පළමු පියවර පළමු දේපල සඳහා සමාන වේ.

දෙවන පියවර වන්නේ ත්රිකෝණවල සමානාත්මතාවය දෙවන නිර්ණායකය මගින් ඔප්පු කිරීමයි. සාක්‍ෂි නොමැතිව $BC=AD$ සමානාත්මතාවය පිළිගත හැකි බව කරුණාවෙන් සලකන්න (භාවිතා කරමින් දේපල 1).

මෙම සමානාත්මතාවයෙන් එය $AO = OC, BO = OD.$ ලෙස අනුගමනය කරයි

2.3 ආධාරක ගැටළුව අංක 4 (සමාන්තර චලිතයක උස අතර කෝණයේ ගුණය)

ලබා දී ඇත: ඒ බී සී ඩී - සමාන්තර චලිතය, බී.කේ. සහ බී.එම්. - එහි උස, $\angle KBM = 60^0$.

සොයන්න:$\angle ABK$, $\angle A$

විසඳුමක්:මෙම ගැටළුව විසඳීමට පටන් ගන්නා විට, ඔබ පහත සඳහන් කරුණු මතක තබා ගත යුතුය:

සමාන්තර චලිතයක උස ප්‍රතිවිරුද්ධ පැති දෙකටම ලම්බක වේ

උදාහරණයක් ලෙස, $BM$ කොටසක් $DC$ පැත්තට ඇදී එහි උස ($BM \perp DC$) නම්, එම කොටසම විරුද්ධ පැත්තට උස ($BM \perp BA$) වේ. මෙය $AB \parallel DC$ පැතිවල සමාන්තරකරණයෙන් අනුගමනය කරයි.

මේ ප්‍රශ්නය විසඳනකොට අපිට ලැබෙන දේපළ වටිනවා.

අමතර දේපල.එහි ශීර්ෂයෙන් අඳින ලද සමාන්තර චලිතයක උන්නතාංශ අතර කෝණය යාබද ශීර්ෂයේ කෝණයට සමාන වේ.

2.4 ආධාරක ගැටළුව අංක 5 (සමාන්තර චලිතයක ද්වි අංශයේ දේපල)

කෝණ ද්විභාෂාව ඒසමාන්තර චලිතය ඒ බී සී ඩීපැත්ත හරස් කරයි ක්රි.පූ.ලක්ෂ්යයේ එල්, AD=12 සෙ.මී, AB =10 සෙ.මී. කොටසේ දිග සොයන්න එල්.සී..

විසඳුමක්:

1. $\angle 1 = \angle 2$ (AK - bisector);
2. $\angle 2 = \angle 3$ ($AD \parallel BC$ සහ secant AL සමග හරස් කෝණ ලෙස);
3. $\angle 1 = \angle 3$, $\bigtriangleup ABL -$ සමද්වීපාදය.

ගැටළුව විසඳීමේදී, අපි පහත දේපල ලබා ගත්තෙමු:

අමතර දේපල.සමාන්තර චලිතයක කෝණයේ ද්වි අංශයෙන් සමද්වීපක ත්‍රිකෝණයක් කපා දමයි.

අර්ථ දැක්වීම

සමාන්තර චලිතයප්‍රතිවිරුද්ධ පැති යුගල වශයෙන් සමාන්තර වන චතුරස්‍රයක් ලෙස හැඳින්වේ.

රූප සටහන 1 $A B C D, A B\|C D, B C\| සමාන්තර චලිතයක් පෙන්වයි D$ එකක්.

සමාන්තර චලිතයක ගුණ

1. සමාන්තර චලිතයක, ප්‍රතිවිරුද්ධ පැති සමාන වේ: $A B=C D, B C=A D$ (රූපය 1).
2. සමාන්තර චලිතයක, ප්‍රතිවිරුද්ධ කෝණ $\angle A=\angle C, \angle B=\angle D$ ට සමාන වේ (රූපය 1).
3. ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යයේ සමාන්තර චලිතයේ විකර්ණ $A O=O C, B O=O D$ (රූපය 1) භාගයකට බෙදා ඇත.
4. සමාන්තර චලිතයක විකර්ණය එය සමාන ත්‍රිකෝණ දෙකකට බෙදයි.

එක් පැත්තකට යාබද සමාන්තර චලිතයක කෝණවල එකතුව $180^(\circ)$:

$$\angle A+\angle B=180^(\circ), \angle B+\angle C=180^(\circ)$$

$$\angle C+\angle D=180^(\circ), \angle D+\angle A=180^(\circ)$$

සමාන්තර චලිතයක විකර්ණ සහ පැති පහත සම්බන්ධතාවයෙන් සම්බන්ධ වේ:

$$d_(1)^(2)+d_(2)^(2)=2 a^(2)+2 b^(2)$$

5. සමාන්තර චලිතයක, උන්නතාංශ අතර කෝණය එහි තියුණු කෝණයට සමාන වේ: $\angle K B H=\angle A$.
6. සමාන්තර චලිතයක එක් පැත්තකට යාබද කෝණවල ද්විභාණ්ඩ අන්‍යෝන්‍ය වශයෙන් ලම්බක වේ.
7. සමාන්තර චලිතයක ප්‍රතිවිරුද්ධ කෝණ දෙකක ද්විභාණ්ඩ සමාන්තර වේ.

සමාන්තර චලිතයක සලකුණු

$ABCD$ චතුරශ්‍රය සමාන්තර චලිතයක් නම්

1. $A B=C D$ සහ $A B \| C D$
2. $A B=C D$ සහ $B C=A D$
3. $A O=O C$ සහ $B O=O D$
4. $\angle A=\angle C$ සහ $\angle B=\angle D$

සමාන්තර චලිතයක ප්‍රදේශය පහත සූත්‍රවලින් එකක් භාවිතයෙන් ගණනය කළ හැක:

$S=a \cdot h_(a), \quad S=b \cdot h_(b)$

$S=a \cdot b \cdot \sin \alpha, \quad S=\frac(1)(2) d_(1) \cdot d_(2) \cdot \sin \phi$

ගැටළු විසඳීමේ උදාහරණ

උදාහරණයක්

ව්යායාම කරන්න.සමාන්තර චලිතයක කෝණ දෙකක එකතුව $140^(\circ)$ වේ. සමාන්තර චලිතයේ විශාලතම කෝණය සොයන්න.

විසඳුමක්.සමාන්තර චලිතයක, ප්‍රතිවිරුද්ධ කෝණ සමාන වේ. සමාන්තර චලිතයේ විශාල කෝණය $\alpha$ ලෙසත් කුඩා කෝණය $\beta$ ලෙසත් දක්වමු. $\alpha$ සහ $\beta$ කෝණවල එකතුව $180^(\circ)$ වේ, එබැවින් දී ඇති මුදල $140^(\circ)$ ට සමාන ප්‍රතිවිරුද්ධ කෝණ දෙකක එකතුව වේ, පසුව $140^(\circ) : 2=70 ^(\circ)$. මේ අනුව කුඩා කෝණය $\beta=70^(\circ)$ වේ. අපි $\alpha$ විශාල කෝණය සම්බන්දයෙන් සොයා ගනිමු:

$\alpha+\beta=180^(\circ) \Rightarrow \alpha=180^(\circ)-\beta \Rightarrow$

$\Rightarrow \alpha=180^(\circ)-70^(\circ) \Rightarrow \alpha=110^(\circ)$

පිළිතුර.$\alpha=110^(\circ)$

උදාහරණයක්

ව්යායාම කරන්න.සමාන්තර චලිතයේ පැති 18 cm සහ 15 cm වන අතර, කෙටි පැත්තට ඇඳ ඇති උස 6 cm වේ.

විසඳුමක්.අපි චිත්රයක් සාදන්න (රූපය 2)

කොන්දේසිය අනුව, $a=15$ cm, $b=18$ cm, $h_(a)=6$ cm සමාන්තර චලිතයක් සඳහා, ප්‍රදේශය සොයා ගැනීම සඳහා පහත සූත්‍ර වලංගු වේ.

$$S=a \cdot h_(a), \quad S=b \cdot h_(b)$$

අපි මෙම සමානාත්මතාවල දකුණු පස සමාන කර ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන සමානාත්මතාවයෙන් $h_(b) $:

$$a \cdot h_(a)=b \cdot h_(b) \Rightarrow h_(b)=\frac(a \cdot h_(a))(b)$$

ගැටලුවේ ආරම්භක දත්ත ආදේශ කිරීම, අවසානයේ අපට ලැබෙන්නේ:

$h_(b)=\frac(15 \cdot 6)(18) \Rightarrow h_(b)=5$ (cm)

පාඩම් මාතෘකාව

• සමාන්තර චලිතයක විකර්ණවල ගුණ.

පාඩම් අරමුණු

• නව නිර්වචන සමඟ දැන හඳුනා ගන්න සහ දැනටමත් අධ්‍යයනය කර ඇති සමහරක් මතක තබා ගන්න.
• සමාන්තර චලිතයක විකර්ණවල ගුණය සඳහන් කර ඔප්පු කරන්න.
• ගැටළු විසඳීමේදී හැඩතලවල ගුණාංග යෙදීමට ඉගෙන ගන්න.
• සංවර්ධන - සිසුන්ගේ අවධානය, නොපසුබට උත්සාහය, නොපසුබට උත්සාහය, තාර්කික චින්තනය, ගණිතමය කථාව වර්ධනය කිරීම.
• අධ්යාපනික - පාඩම හරහා, එකිනෙකා කෙරෙහි අවධානය යොමු කිරීමේ ආකල්පයක් වර්ධනය කිරීම, සහෝදරයින්ට සවන් දීමේ හැකියාව, අන්යෝන්ය සහය සහ ස්වාධීනත්වය ඇති කිරීම.

පාඩම් අරමුණු

• සිසුන්ගේ ගැටළු විසඳීමේ කුසලතා පරීක්ෂා කරන්න.

පාඩම් සැලැස්ම

1. හැදින්වීම.
2. කලින් අධ්යයනය කරන ලද ද්රව්ය පුනරාවර්තනය කිරීම.
3. සමාන්තර චලිතය, එහි ගුණාංග සහ ලක්ෂණ.
4. කාර්යයන් සඳහා උදාහරණ.
5. ස්වයං පරීක්ෂාව.

හැදින්වීම

"ප්‍රධාන විද්‍යාත්මක සොයාගැනීමක් ප්‍රධාන ගැටලුවකට විසඳුමක් සපයයි, නමුත් ඕනෑම ගැටලුවක් විසඳීමේදී සොයාගැනීමේ ධාන්ය ඇත."

සමාන්තර චලිතයක විරුද්ධ පැතිවල දේපල

සමාන්තර චලිතයකට සමාන වන ප්‍රතිවිරුද්ධ පැති ඇත.

සාක්ෂි.

ABCD දී ඇති සමාන්තර චලිතය වීමට ඉඩ දෙන්න. තවද එහි විකර්ණ O ලක්ෂ්‍යයේදී ඡේදනය වීමට ඉඩ හරින්න.
ත්‍රිකෝණවල සමානාත්මතාවයේ පළමු නිර්ණායකයෙන් Δ AOB = Δ COD (∠ AOB = ∠ COD, සිරස් ඒවා ලෙස, AO=OC, DO=OB, සමාන්තර චලිතයක විකර්ණවල ගුණය අනුව), පසුව AB=CD. එලෙසම, BOC සහ DOA ත්‍රිකෝණවල සමානාත්මතාවයෙන්, එය BC = DA ලෙස අනුගමනය කරයි. ප්රමේයය ඔප්පු කර ඇත.

සමාන්තර චලිතයක ප්‍රතිවිරුද්ධ කෝණවල දේපල

සමාන්තර චලිතයක, ප්‍රතිවිරුද්ධ කෝණ සමාන වේ.

සාක්ෂි.

ABCD දී ඇති සමාන්තර චලිතය වීමට ඉඩ දෙන්න. තවද එහි විකර්ණ O ලක්ෂ්‍යයේදී ඡේදනය වීමට ඉඩ හරින්න.
පැති තුනකින් සමාන්තර චලිතයක Δ ABC = Δ CDA හි ප්‍රතිවිරුද්ධ පැතිවල ගුණ ගැන ප්‍රමේයයේ ඔප්පු වූ දෙයකින් (AB=CD, BC=DA ඔප්පු කළ දෙයින්, AC - සාමාන්‍ය). ත්රිකෝණවල සමානාත්මතාවයෙන් එය අනුගමනය කරන්නේ ∠ ABC = ∠ CDA.
එය ∠ DAB = ∠ BCD බව ද ඔප්පු වී ඇත, එය ∠ ABD = ∠ CDB වලින් පහත දැක්වේ. ප්රමේයය ඔප්පු කර ඇත.

සමාන්තර චලිතයක විකර්ණවල ගුණය

සමාන්තර චලිතයක විකර්ණ ඡේදනය වන අතර ඡේදනය වන ස්ථානයේ දී බෙදී ඇත.

සාක්ෂි.

ABCD දී ඇති සමාන්තර චලිතය වීමට ඉඩ දෙන්න. විකර්ණ AC එක අඳිමු. අපි එය මත O මැද ලකුණු කරමු DO ඛණ්ඩය දිගටම කරගෙන යාමේදී, අපි DO ට සමාන OB 1 කොටස පසෙකට දමමු.
පෙර ප්‍රමේයය අනුව, AB 1 CD යනු සමාන්තර චලිතයකි. එබැවින්, AB 1 රේඛාව DC ට සමාන්තර වේ. නමුත් A ලක්ෂ්‍යය හරහා DC ට සමාන්තර රේඛාවක් පමණක් ඇද ගත හැක. මෙයින් අදහස් කරන්නේ සෘජු AB 1 සෘජු AB සමඟ සමපාත වන බවයි.
BC 1 BC සමග සමපාත වන බව ද ඔප්පු වේ. මෙයින් අදහස් කරන්නේ C ලක්ෂ්‍යය C 1 සමඟ සමපාත වන බවයි. සමාන්තර චලිත ABCD සමාන්තර චලිතය AB 1 CD සමග සමපාත වේ. එහි ප්‍රතිඵලයක් වශයෙන්, සමාන්තර චලිතයේ විකර්ණ ඡේදනය වන අතර ඡේදනය වන ස්ථානයේ දී බෙදී යයි. ප්රමේයය ඔප්පු කර ඇත.

සාමාන්‍ය පාසල් සඳහා පෙළපොත් වල (උදාහරණයක් ලෙස, Pogorelovo හි) එය මේ ආකාරයට ඔප්පු කර ඇත: විකර්ණ සමාන්තර චලිතයක් ත්‍රිකෝණ 4 කට බෙදයි. අපි එක් යුගලයක් සලකා බලමු - ඒවා සමාන ය: ඒවායේ පාද ප්‍රතිවිරුද්ධ පැති වේ, එයට යාබද අනුරූප කෝණ සමාන වේ, සමාන්තර රේඛා සහිත සිරස් කෝණ මෙන්. එනම්, විකර්ණවල කොටස් යුගල වශයෙන් සමාන වේ. සෑම.

එපමණද?
ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යය විකර්ණ දෙකට බෙදන බව ඉහත ඔප්පු විය - එය පවතී නම්. ඉහත තර්කය කිසිදු ආකාරයකින් එහි පැවැත්ම සනාථ නොකරයි. එනම්, "සමාන්තර චලිතයක විකර්ණ ඡේදනය" යන ප්‍රමේයයේ කොටසක් ඔප්පු වී නොමැත.

හාස්‍යජනක දෙය නම් මෙම කොටස ඔප්පු කිරීමට වඩා දුෂ්කර වීමයි. මෙය වඩාත් සාමාන්‍ය ප්‍රතිඵලයකින් පහත දැක්වේ: ඕනෑම උත්තල චතුරස්‍රයක විකර්ණ ඡේදනය වේ, නමුත් ඕනෑම උත්තල නොවන චතුරස්‍රයක් එසේ නොවේ.

පැත්තක් දිගේ ත්රිකෝණවල සමානාත්මතාවය සහ යාබද කෝණ දෙකක් (ත්රිකෝණවල සමානාත්මතාවයේ දෙවන ලකුණ) සහ අනෙකුත් අය.

පැත්තක් දිගේ ත්‍රිකෝණ දෙකක සහ යාබද කෝණ දෙකක සමානාත්මතාවය පිළිබඳ වැදගත් ප්‍රමේයයක් තේල්ස් සොයා ගත්තේය ප්රායෝගික භාවිතය. මුහුදේ නැවකට ඇති දුර තීරණය කිරීම සඳහා මිලේටස් වරායේ රේන්ජ්ෆයින්ඩරයක් ඉදිකරන ලදි. එය A, B සහ C (AB = BC) ධාවනය කරන ලද කූරු තුනකින් සහ CA ට ලම්බකව SC ලෙස සලකුණු කරන ලද සරල රේඛාවකින් සමන්විත විය. SK සරල රේඛාවේ නැවක් දර්ශනය වූ විට, D ලක්ෂ්‍යය D, .B සහ E යන ලක්ෂ්‍ය එකම සරල රේඛාවක ඇති බව අපට හමු විය. චිත්රයෙන් පැහැදිලි වන පරිදි, බිමෙහි ඇති දුර CD තැටිය නෞකාවට අපේක්ෂිත දුර වේ.

ප්රශ්නය

1. චතුරස්‍රයක විකර්ණ ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යයෙන් අඩකින් බෙදේ ද?
   
2. සමාන්තර චලිතයක විකර්ණ සමානද?
3. සමාන්තර චලිතයක ප්‍රතිවිරුද්ධ කෝණ සමානද?
4. සමාන්තර චලිතයක නිර්වචනය සඳහන් කරන්න?
5. සමාන්තර චලිතයක සලකුණු කීයක් තිබේද?
   
6. රොම්බස් සමාන්තර චලිතයක් විය හැකිද?
   

භාවිතා කරන ලද මූලාශ්ර ලැයිස්තුව

1. Kuznetsov A.V., ගණිත ගුරුවරයා (5-9 ශ්රේණි), Kyiv
2. “Unified State Exam 2006. ගණිතය. සිසුන් සූදානම් කිරීම සඳහා අධ්‍යාපනික සහ පුහුණු ද්‍රව්‍ය / Rosobrnadzor, ISOP - M.: Intellect-Center, 2006"
3. Mazur K. I. "M. I. Skanavi විසින් සංස්කරණය කරන ලද එකතුවේ ගණිතයේ ප්‍රධාන තරඟ ගැටලු විසඳීම"
4. L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak, I. I. Yudina "ජ්යාමිතිය, 7 - 9: අධ්යාපන ආයතන සඳහා පෙළපොත්"

අපි පාඩම මත වැඩ කළා

Kuznetsov A.V.

පෝතුනාක් එස්.ඒ.

Evgeniy Petrov

ඔබට නවීන අධ්‍යාපනය පිළිබඳ ප්‍රශ්නයක් මතු කිරීමට, අදහසක් ප්‍රකාශ කිරීමට හෝ දැවෙන ගැටලුවක් විසඳීමට හැකිය අධ්යාපනික සංසදය, නැවුම් චින්තනයේ සහ ක්‍රියාකාරීත්වයේ අධ්‍යාපන කවුන්සිලයක් ජාත්‍යන්තරව රැස්වන තැන. නිර්මාණය කර ඇත බ්ලොග්,ඔබ දක්ෂ ගුරුවරයෙකු ලෙස ඔබේ තත්ත්වය වැඩිදියුණු කිරීම පමණක් නොව, අනාගත පාසලේ සංවර්ධනය සඳහා සැලකිය යුතු දායකත්වයක් ලබා දෙනු ඇත. අධ්‍යාපන නායකයින්ගේ සංසදයඉහළ ශ්‍රේණිගත විශේෂඥයින් සඳහා දොරටු විවෘත කරන අතර ලෝකයේ හොඳම පාසල් නිර්මාණය කිරීමේදී සහයෝගයෙන් කටයුතු කිරීමට ඔවුන්ට ආරාධනා කරයි.

විෂයයන් > ගණිතය > ගණිතය 8 වැනි ශ්‍රේණිය

සමාන්තර චලිතයක් යනු ප්‍රතිවිරුද්ධ පැති යුගල වශයෙන් සමාන්තර වන චතුරස්‍රයකි. පහත රූපයේ දැක්වෙන්නේ ABCD සමාන්තර චලිතයයි. එහි AB පැත්ත CD පැත්තට සමාන්තර වන අතර BC පැත්ත AD පැත්තට සමාන්තරව ඇත.

ඔබ අනුමාන කර ඇති පරිදි, සමාන්තර චතුෂ්කයක් යනු උත්තල චතුරස්‍රයකි. සමාන්තර චලිතයක මූලික ගුණාංග සලකා බලමු.

සමාන්තර චලිතයක ගුණ

1. සමාන්තර චලිතයක, ප්රතිවිරුද්ධ කෝණ සහ ප්රතිවිරුද්ධ පැති සමාන වේ. මෙම දේපල ඔප්පු කරමු - පහත රූපයේ ඉදිරිපත් කර ඇති සමාන්තර චලිතය සලකා බලන්න.

විකර්ණ BD එය සමාන ත්‍රිකෝණ දෙකකට බෙදයි: ABD සහ CBD. BC සහ AD සහ AB සහ CD යන සමාන්තර රේඛා වල දෙවන BD හි හරස් අතට පිහිටා ඇති කෝණ පිළිවෙලින් BD පැත්ත සහ ඊට යාබද කෝණ දෙක දිගේ සමාන වේ. එබැවින් AB = CD සහ
BC = ක්රි.ව. තවද 1, 2, 3 සහ 4 කෝණවල සමානාත්මතාවයෙන් එය A = කෝණය1 + කෝණය3 = කෝණය2 + කෝණය4 = C කෝණය අනුගමනය කරයි.

2. සමාන්තර චලිතයක විකර්ණ ඡේදනය වන ලක්ෂ්‍යයෙන් අඩකින් බෙදී ඇත. O ලක්ෂ්‍යය ABCD සමාන්තර චලිතයේ විකර්ණ AC සහ BD හි ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යය වේවා.

එවිට AOB ත්‍රිකෝණය සහ COD ත්‍රිකෝණය එකිනෙකට සමාන වේ, පැත්ත සහ යාබද කෝණ දෙකක් දිගේ. (මේවා සමාන්තර චලිතයේ ප්‍රතිවිරුද්ධ පැති වන බැවින් AB = CD ය. තවද කෝණය1 = කෝණය2 සහ කෝණය3 = කෝණය AB සහ CD රේඛා පිළිවෙලින් AC සහ BD යන තත්පර සමඟ ඡේදනය වන විට හරස් කෝණ මෙන් වේ.) මෙයින් AO = OC බව පහත දැක්වේ. සහ OB = OD, එය ඔප්පු කිරීමට අවශ්‍ය වේ.

සියලුම ප්‍රධාන ගුණාංග පහත රූප තුනෙන් දැක්වේ.

අර්ථ දැක්වීම

සමාන්තර චලිතයක් යනු ප්‍රතිවිරුද්ධ පැති යුගල වශයෙන් සමාන්තර වන චතුරස්‍රයකි.

ප්‍රමේයය (සමාන්තර චලිතයක පළමු ලකුණ)

චතුරස්‍රයක පැති දෙකක් සමාන සහ සමාන්තර නම්, චතුරස්‍රය සමාන්තර චලිතයකි.

සාක්ෂි

\(ABCD\) සහ \(AB = CD\) යන චතුරශ්‍රයේ පැති \(AB\) සහ \(CD\) සමාන්තර වීමට ඉඩ හරින්න.

මෙම චතුරස්‍රය සමාන ත්‍රිකෝණ දෙකකට බෙදමින් විකර්ණ \(AC\) අඳිමු: \(ABC\) සහ \(CDA\) . මෙම ත්‍රිකෝණ පැති දෙකකින් සමාන වන අතර ඒවා අතර කෝණය (\(AC\) යනු පොදු පැත්තයි, \(AB = CD\) කොන්දේසිය අනුව, \(\angle 1 = \angle 2\) ඡේදනය වන විට හරස් කෝණ ලෙස සමාන්තර රේඛා වල \ (AB\) සහ \(CD\) තත්පර \(AC\) ), එසේ \(\angle 3 = \angle 4\) . නමුත් කෝණ \(3\) සහ \(4\) හරස් අතට \(AD\) සහ \(BC\) secant \(AC\) මගින් ඡේදනය වන විට, \(AD\සමාන්තර BC \) . මේ අනුව, චතුරස්‍රයේ \(ABCD\) ප්‍රතිවිරුද්ධ පැති යුගල වශයෙන් සමාන්තර වන අතර, එබැවින්, චතුරස්‍ර \(ABCD\) සමාන්තර චලිතයකි.

ප්‍රමේයය (සමාන්තර චලිතයක දෙවන ලකුණ)

චතුරස්‍රයක ප්‍රතිවිරුද්ධ පැති යුගල වශයෙන් සමාන නම්, මෙම චතුරස්‍රය සමාන්තර චලිතයකි.

සාක්ෂි

අපි මෙම චතුරශ්‍රයේ \(ABCD\) විකර්ණ \(AC\) එය ත්‍රිකෝණ වලට බෙදමු \(ABC\) සහ \(CDA\) .

මෙම ත්‍රිකෝණ පැති තුනකින් සමාන වේ (\(AC\) – පොදු, \(AB = CD\) සහ \(BC = DA\) කොන්දේසිය අනුව), එබැවින් \(\angle 1 = \angle 2\) – හරස් අතට \(AB\) සහ \(CD\) සහ තත්පර \(AC\) . එය පහත දැක්වෙන්නේ \(AB\සමාන්තර CD\) . \(AB = CD\) සහ \(AB\parallel CD\) , පසුව සමාන්තර චලිතයක පළමු නිර්ණායකයට අනුව, චතුරස්රාකාර \(ABCD\) සමාන්තර චලිතයකි.

ප්‍රමේයය (සමාන්තර චලිතයක තුන්වන ලකුණ)

චතුරස්‍රයක විකර්ණ ඡේදනය වී ඡේදනය වන ලක්ෂ්‍යයෙන් අඩකට බෙදේ නම්, මෙම චතුරස්‍රය සමාන්තර චලිතයකි.

සාක්ෂි

\(ABCD\) විකර්ණ \(AC\) සහ \(BD\) \(O\) ලක්ෂ්‍යයේ දී ඡේදනය වන සහ මෙම ලක්ෂ්‍යයෙන් බෙදෙන චතුරස්රයක් සලකා බලන්න.

ත්‍රිකෝණ \(AOB\) සහ \(COD\) ත්‍රිකෝණවල සමානාත්මතාවයේ පළමු ලකුණ අනුව සමාන වේ (\(AO = OC\), \(BO = OD\) කොන්දේසිය අනුව, \(\angle AOB = \angle COD\) සිරස් කෝණ ලෙස), එසේ \(AB = CD\) සහ \(\angle 1 = \angle 2\) . කෝණවල සමානාත්මතාවයෙන් \(1\) සහ \(2\) (හරස් අතට \(AB\) සහ \(CD\) සහ තත්පර \(AC\) ) එය අනුගමනය කරන්නේ \(AB\ සමාන්තර CD \) .

එබැවින්, චතුරස්‍රයේ \(ABCD\) පැති \(AB\) සහ \(CD\) සමාන සහ සමාන්තර වේ, එයින් අදහස් වන්නේ සමාන්තර චලිතයක පළමු නිර්ණායකයට අනුව චතුරශ්‍රය \(ABCD\) සමාන්තර චලිතයකි. .

සමාන්තර චලිතයක ගුණ:

1. සමාන්තර චලිතයක ප්‍රතිවිරුද්ධ පැති සමාන වන අතර ප්‍රතිවිරුද්ධ කෝණ සමාන වේ.

2. සමාන්තර චලිතයක විකර්ණ ඡේදනය වන ලක්ෂ්‍යයෙන් අඩකින් බෙදී ඇත.

සමාන්තර චලිතයක ද්වි අංශයේ ගුණ:

1. සමාන්තර චලිතයක ද්විභාණ්ඩය එයින් සමද්වීපක ත්‍රිකෝණයක් කපා දමයි.

2. සමාන්තර චලිතයක යාබද කෝණවල ද්විභාණ්ඩ සෘජු කෝණවලින් ඡේදනය වේ.

3. ප්රතිවිරුද්ධ කෝණවල ද්වි අංශ කොටස් සමාන හා සමාන්තර වේ.

සාක්ෂි

1) \(ABCD\) සමාන්තර චලිතයක් වේවා, \(AE\) කෝණයේ ද්වි අංශය වේ \(BAD\) .

කෝණ \(1\) සහ \(2\) සමාන වන අතර, සමාන්තර රේඛා \(AD\) සහ \(BC\) සහ තත්පර \(AE\) සමඟ හරස් අතට පිහිටා ඇත. කෝණ \(1\) සහ \(3\) සමාන වේ, මන්ද \(AE\) ද්වි අංශයකි. අවසානයේ \(\angle 3 = \angle 1 = \angle 2\), එයින් අදහස් වන්නේ ත්‍රිකෝණය \(ABE\) සමද්වීපක බවයි.

2) \(ABCD\) සමාන්තර චලිතයක් වේවා, \(AN\) සහ \(BM\) පිළිවෙළින් \(BAD\) සහ \(ABC\) කෝණවල ද්විභාණ්ඩ වේ.

සමාන්තර රේඛා සහ තීර්යක් සඳහා ඒකපාර්ශ්වික කෝණවල එකතුව \(180^(\circ)\) ට සමාන වන බැවින් \(\angle DAB + \angle ABC = 180^(\circ)\).

\(AN\) සහ \(BM\) ද්විභාණ්ඩ වන බැවින්, එසේ නම් \(\angle BAN + \angle ABM = 0.5(\angle DAB + \angle ABC) = 0.5\cdot 180^\circ = 90^(\circ)\), කොහෙද \(\angle AOB = 180^\circ - (\angle BAN + \angle ABM) = 90^\circ\).

3. \(AN\) සහ \(CM\) සමාන්තර චලිතය \(ABCD\) කෝණවල ද්විභාණ්ඩ වේ.

සමාන්තර චලිතයක ප්‍රතිවිරුද්ධ කෝණ සමාන බැවින්, එසේ නම් \(\angle 2 = 0.5\cdot\angle BAD = 0.5\cdot\angle BCD = \angle 1\). ඊට අමතරව, කෝණ \(1\) සහ \(3\) සමාන වන අතර, සමාන්තර රේඛා \(AD\) සහ \(BC\) සහ තත්පර \(CM\), පසුව \(\කෝණය 2 සමඟ හරස් අතට පිහිටා ඇත. = \angle 3\) , එයින් ගම්‍ය වන්නේ \(AN\සමාන්තර CM\) . තවද, \(AM\parallel CN\) , එවිට \(ANCM\) යනු සමාන්තර චලිතයකි, එබැවින් \(AN = CM\) .