Birleşik Devlet Sınavına Hazırlık. Logaritmik ve üstel eşitsizliklerin rasyonelleştirme yöntemini kullanarak çözülmesi. Manovskaya "Birleşik Devlet Sınavında logaritmik eşitsizlikler" çalışması Logaritmik eşitsizliklerin Birleşik Devlet Sınavı profil çözümü

Bölümler: Matematik

Çoğu zaman karar verirken logaritmik eşitsizlikler değişken logaritma tabanında sorunlar var. Böylece formun eşitsizliği

standart bir okul eşitsizliğidir. Kural olarak, bunu çözmek için eşdeğer bir sistem grubuna geçiş kullanılır:

Bu yöntemin dezavantajı, iki sistemi ve bir popülasyonu hesaba katmadan yedi eşitsizliği çözme ihtiyacıdır. Zaten bu ikinci dereceden fonksiyonlarla popülasyonu çözmek çok zaman alabiliyor.

Bu standart eşitsizliği çözmek için alternatif, daha az zaman harcayan bir yol önermek mümkündür. Bunu yapmak için aşağıdaki teoremi dikkate alıyoruz.

Teorem 1. Bir X kümesi üzerinde sürekli artan bir fonksiyon olsun. Bu durumda, bu kümede fonksiyonun artış işareti, argümanın artış işareti ile çakışacaktır; , Nerede .

Not: Bir X kümesi üzerinde sürekli azalan bir fonksiyon varsa, o zaman .

Eşitsizliğe geri dönelim. Ondalık logaritmaya geçelim (sabit tabanı birden büyük olan herhangi birine geçebilirsiniz).

Artık paydaki fonksiyonların artışını fark ederek teoremi kullanabilirsiniz. ve paydada. Yani bu doğru

Sonuç olarak, cevaba yol açan hesaplamaların sayısı yaklaşık yarı yarıya azalır; bu, yalnızca zamandan tasarruf etmekle kalmaz, aynı zamanda potansiyel olarak daha az aritmetik ve dikkatsiz hata yapmanıza da olanak tanır.

Örnek 1.

(1) ile karşılaştırarak şunu buluruz: , , .

(2)'ye geçerek şunları elde edeceğiz:

Örnek 2.

(1) ile karşılaştırarak , , , buluruz.

(2)'ye geçerek şunları elde edeceğiz:

Örnek 3.

Eşitsizliğin sol tarafı artan bir fonksiyon olduğundan ve , o zaman cevap çok olacaktır.

Tema 1'in uygulanabileceği birçok örnek, Tema 2 dikkate alınarak kolayca genişletilebilir.

Sete çıkalım X, , , fonksiyonları tanımlanır ve bu sette ve işaretleri çakışır, yani. , o zaman adil olacak.

Örnek 4.

Örnek 5.

Standart yaklaşımla örnek aşağıdaki şemaya göre çözülür: faktörler farklı işaretlere sahip olduğunda ürün sıfırdan küçüktür. Onlar. Başlangıçta belirtildiği gibi her eşitsizliğin yedi eşitsizliğe daha bölündüğü iki eşitsizlik sistemi dikkate alınır.

Teorem 2'yi hesaba katarsak, o zaman (2)'yi hesaba katan faktörlerin her biri, bu örnekte O.D.Z.'de aynı işarete sahip başka bir fonksiyonla değiştirilebilir.

Teorem 2'yi dikkate alarak bir fonksiyonun artışını argüman artışıyla değiştirme yönteminin, standart C3 Birleşik Durum Sınavı problemlerini çözerken çok kullanışlı olduğu ortaya çıktı.

Örnek 6.

Örnek 7.

. belirtelim. Aldık

. Değiştirmenin şunu ifade ettiğini unutmayın: . Denkleme dönersek şunu elde ederiz: .

Örnek 8.

Kullandığımız teoremlerde fonksiyon sınıflarına ilişkin herhangi bir kısıtlama yoktur. Bu makalede örnek olarak logaritmik eşitsizliklerin çözümüne teoremler uygulanmıştır. Aşağıdaki birkaç örnek, yöntemin diğer eşitsizlik türlerini çözme vaadini gösterecektir.

KULLANIMDA LOGARATRİK EŞİTSİZLİKLER

Seçin Mihail Aleksandroviç

Kazakistan Cumhuriyeti Öğrencileri için Küçük Bilimler Akademisi “Iskatel”

MBOU "Sovetskaya Ortaokulu No. 1", 11. sınıf, kasaba. Sovetsky Sovetsky bölgesi

Gunko Lyudmila Dmitrievna, Belediye Bütçe Eğitim Kurumu “Sovetskaya Ortaokulu No. 1” öğretmeni

Sovyet bölgesi

Çalışmanın amacı: C3 logaritmik eşitsizliklerini standart dışı yöntemler kullanarak çözme mekanizmasının incelenmesi, ilginç gerçekler logaritma

Çalışma konusu:

3) Belirli C3 logaritmik eşitsizliklerini standart dışı yöntemler kullanarak çözmeyi öğrenin.

Sonuçlar:

İçerik

Giriş………………………………………………………………………………….4

Bölüm 1. Sorunun tarihçesi……………………………………………………...5

Bölüm 2. Logaritmik eşitsizliklerin toplanması ………………………… 7

2.1. Eşdeğer geçişler ve genelleştirilmiş aralık yöntemi…………… 7

2.2. Rasyonalizasyon yöntemi……………………………………………………………… 15

2.3. Standart dışı ikame……………….................................................. ...... ..... 22

2.4. Tuzaklarla yapılan görevler………………………………………………………27

Sonuç……………………………………………………………………………… 30

Edebiyat……………………………………………………………………. 31

giriiş

11. sınıftayım ve temel dersin matematik olduğu bir üniversiteye girmeyi planlıyorum. Bu yüzden C bölümündeki problemlerle çok çalışıyorum. C3 görevinde, genellikle logaritmalarla ilgili standart olmayan bir eşitsizliği veya eşitsizlikler sistemini çözmem gerekiyor. Sınava hazırlanırken C3'te sunulan sınav logaritmik eşitsizliklerini çözmeye yönelik yöntem ve tekniklerin eksikliği sorunuyla karşılaştım. Bu konuyla ilgili okul müfredatında çalışılan yöntemler C3 görevlerini çözmek için bir temel sağlamaz. Matematik öğretmeni C3 ödevleri üzerinde onun rehberliğinde bağımsız olarak çalışmamı önerdi. Ayrıca şu soru da ilgimi çekti: Hayatımızda logaritmalarla karşılaşır mıyız?

Bu düşünceyle konu seçildi:

“Birleşik Devlet Sınavında Logaritmik Eşitsizlikler”

Çalışmanın amacı: C3 problemlerini standart dışı yöntemler kullanarak çözme mekanizmasının incelenmesi, logaritmayla ilgili ilginç gerçeklerin belirlenmesi.

Çalışma konusu:

1) Logaritmik eşitsizliklerin çözümü için standart olmayan yöntemler hakkında gerekli bilgileri bulun.

2) Logaritmalar hakkında ek bilgi bulun.

3) Belirli C3 problemlerini standart dışı yöntemler kullanarak çözmeyi öğrenin.

Sonuçlar:

Pratik önemi, C3 problemlerini çözmek için aparatın genişletilmesinde yatmaktadır. Bu materyal bazı derslerde, kulüplerde ve matematik seçmeli derslerinde kullanılabilir.

Proje ürünü “C3 Çözümlü Logaritmik Eşitsizlikler” koleksiyonu olacaktır.

Bölüm 1. Arka Plan

16. yüzyıl boyunca, başta astronomi olmak üzere yaklaşık hesaplamaların sayısı hızla arttı. Aletlerin iyileştirilmesi, gezegen hareketlerinin incelenmesi ve diğer çalışmalar devasa, bazen çok yıllı hesaplamalar gerektiriyordu. Astronomi, tamamlanmamış hesaplamalar arasında boğulma tehlikesiyle karşı karşıyaydı. Sigortacılık gibi diğer alanlarda da zorluklar ortaya çıktı, çeşitli faiz oranları için bileşik faiz tablolarına ihtiyaç duyuldu. Asıl zorluk, çok basamaklı sayıların, özellikle de trigonometrik büyüklüklerin çarpılması ve bölünmesiydi.

Logaritmanın keşfi, 16. yüzyılın sonlarında iyi bilinen ilerlemelerin özelliklerine dayanıyordu. Geometrik ilerlemenin terimleri arasındaki bağlantı üzerine: q, q2, q3, ... ve aritmetik ilerleme göstergeleri 1, 2, 3,... Arşimet “Mezmur”da konuştu. Bir diğer ön koşul ise derece kavramının negatif ve kesirli üslere genişletilmesiydi. Birçok yazar, geometrik ilerlemede çarpma, bölme, üs alma ve kök çıkarma işlemlerinin aritmetik olarak - aynı sırayla - toplama, çıkarma, çarpma ve bölmeye karşılık geldiğini belirtmiştir.

Burada üs olarak logaritmanın fikri ortaya çıktı.

Logaritma doktrininin gelişim tarihinde birkaç aşama geçti.

1. Aşama

Logaritmalar en geç 1594 yılında İskoç Baron Napier (1550-1617) tarafından bağımsız olarak ve on yıl sonra da İsviçreli tamirci Bürgi (1552-1632) tarafından icat edildi. Her ikisi de bu soruna farklı şekillerde yaklaşmalarına rağmen, aritmetik hesaplamalar için yeni ve kullanışlı bir araç sağlamak istiyordu. Napier logaritmik fonksiyonu kinematik olarak ifade etti ve böylece fonksiyon teorisinin yeni bir alanına girdi. Bürgi, ayrık ilerlemeleri dikkate alma temelinde kaldı. Ancak her ikisinin de logaritmasının tanımı modern logaritmanın tanımına benzememektedir. "Logaritma" (logaritma) terimi Napier'e aittir. Yunanca kelimelerin birleşiminden doğmuştur: logos - "ilişki" ve ariqmo - "sayı", yani "ilişkilerin sayısı" anlamına gelir. Napier başlangıçta farklı bir terim kullandı: numeri naturalts - "doğal sayılar" yerine numeri Artificiales - "yapay sayılar".

1615'te, Londra'daki Gresh College'da matematik profesörü olan Henry Briggs (1561-1631) ile yaptığı bir konuşmada Napier, sıfırın birin logaritması, 100'ün de on'un logaritması veya aynı anlama gelen bir sayı olarak alınmasını önerdi. şey, sadece 1. Ondalık logaritmalar ve ilk logaritmik tablolar bu şekilde basıldı. Daha sonra Briggs'in tablolarına Hollandalı kitapçı ve matematik meraklısı Adrian Flaccus (1600-1667) eklendi. Napier ve Briggs, logaritmaya herkesten daha önce gelmiş olmalarına rağmen tablolarını diğerlerinden daha sonra, 1620'de yayınladılar. Log ve Log işaretleri 1624 yılında I. Kepler tarafından tanıtıldı. “Doğal logaritma” terimi 1659 yılında Mengoli tarafından ortaya atılmış, daha sonra 1668 yılında N. Mercator tarafından ortaya atılmış ve Londralı öğretmen John Speidel 1'den 1000'e kadar sayıların doğal logaritma tablolarını “Yeni Logaritmalar” adı altında yayınlamıştır.

İlk logaritmik tablolar 1703'te Rusça olarak yayınlandı. Ancak tüm logaritmik tablolarda hesaplama hataları vardı. İlk hatasız tablolar 1857 yılında Berlin'de Alman matematikçi K. Bremiker (1804-1877) tarafından işlenerek yayımlandı.

2. aşama

Logaritma teorisinin daha da geliştirilmesi, analitik geometri ve sonsuz küçükler hesabının daha geniş bir uygulamasıyla ilişkilidir. O zamana kadar eşkenar hiperbolün karelemesi ile doğal logaritma arasındaki bağlantı kurulmuştu. Bu dönemin logaritma teorisi bazı matematikçilerin isimleriyle ilişkilendirilmiştir.

Alman matematikçi, gökbilimci ve mühendis Nikolaus Mercator bir makalesinde

"Logarithmotechnics" (1668), ln(x+1)'in açılımını veren bir seri verir.

x'in kuvvetleri:

Bu ifade onun düşünce tarzına tam olarak karşılık geliyor, ancak elbette d, ... işaretlerini değil, daha hantal bir sembolizmi kullandı. Logaritmik serilerin keşfiyle logaritmaları hesaplama tekniği değişti: sonsuz seriler kullanılarak belirlenmeye başlandı. F. Klein, 1907-1908'de verdiği "Daha Yüksek Bir Bakış Açısından Temel Matematik" derslerinde logaritma teorisini oluşturmak için formülün başlangıç ​​noktası olarak kullanılmasını önerdi.

Sahne 3

Logaritmik bir fonksiyonun ters fonksiyon olarak tanımı

üstel, belirli bir tabanın üssü olarak logaritma

hemen formüle edilmedi. Leonhard Euler'in Denemesi (1707-1783)

"Sonsuz Küçüklerin Analizine Giriş" (1748) daha ileri düzeyde hizmet etti

Logaritmik fonksiyonlar teorisinin gelişimi. Böylece,

Logaritmanın ilk ortaya çıkışından bu yana 134 yıl geçti

(1614'ten itibaren sayılıyor), matematikçiler tanıma gelmeden önce

Artık okul dersinin temeli olan logaritma kavramı.

Bölüm 2. Logaritmik eşitsizliklerin toplanması

2.1. Eşdeğer geçişler ve genelleştirilmiş aralık yöntemi.

Eşdeğer geçişler

, eğer a > 1 ise

0 ise < а < 1

Genelleştirilmiş aralık yöntemi

Bu yöntem hemen hemen her türden eşitsizliği çözmek için en evrensel yöntemdir. Çözüm şeması şuna benzer:

1. Eşitsizliği sol taraftaki fonksiyonun olduğu forma getirin
ve sağda 0.

2. Fonksiyonun tanım kümesini bulun
.

3. Fonksiyonun sıfırlarını bulun
yani denklemi çöz
(ve bir denklemi çözmek genellikle bir eşitsizliği çözmekten daha kolaydır).

4. Fonksiyonun tanım tanım kümesini ve sıfırlarını sayı doğrusu üzerinde çiziniz.

5. Fonksiyonun işaretlerini belirleyin
elde edilen aralıklarda.

6. Fonksiyonun gerekli değerleri aldığı aralıkları seçin ve cevabı yazın.

Örnek 1.

Çözüm:

Aralık yöntemini uygulayalım

Neresi

Bu değerler için logaritmik işaretlerin altındaki tüm ifadeler pozitiftir.

Cevap:

Örnek 2.

Çözüm:

1 inci yol . ADL eşitsizlikle belirlenir X> 3. Bunun logaritmasını almak X 10 tabanında, şunu elde ederiz

Son eşitsizlik genişleme kuralları uygulanarak çözülebilir; Faktörleri sıfırla karşılaştırmak. Ancak bu durumda fonksiyonun sabit işaret aralıklarını belirlemek kolaydır.

bu nedenle aralık yöntemi uygulanabilir.

İşlev F(X) = 2X(X- 3.5)lg| X- 3a süreklidir X> 3 ve bazı noktalarda kayboluyor X 1 = 0, X 2 = 3,5, X 3 = 2, X 4 = 4. Böylece fonksiyonun sabit işaret aralıklarını belirleriz. F(X):

Cevap:

2. yöntem . Aralık yönteminin fikirlerini doğrudan orijinal eşitsizliğe uygulayalım.

Bunu yapmak için ifadeleri hatırlayın A B- A c ve ( A - 1)(B- 1) bir işareti var. O halde eşitsizliğimiz X> 3 eşitsizliğe eşdeğerdir

veya

Son eşitsizlik aralık yöntemi kullanılarak çözülür

Cevap:

Örnek 3.

Çözüm:

Aralık yöntemini uygulayalım

Cevap:

Örnek 4.

Çözüm:

2'den beri X 2 - 3X Tüm gerçekler için +3 > 0 X, O

İkinci eşitsizliği çözmek için aralık yöntemini kullanırız

İlk eşitsizlikte değiştirmeyi yaparız

sonra 2y 2 eşitsizliğine geliriz - sen - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те sen-0,5 eşitsizliğini karşılayan< sen < 1.

Nereden çünkü

eşitsizliği elde ederiz

ne zaman gerçekleştirilir X, bunun için 2 X 2 - 3X - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

Şimdi sistemin ikinci eşitsizliğinin çözümünü dikkate alarak nihayet şunu elde ederiz:

Cevap:

Örnek 5.

Çözüm:

Eşitsizlik bir sistemler koleksiyonuna eşdeğerdir

veya

Aralık yöntemini kullanalım veya

Cevap:

Örnek 6.

Çözüm:

Eşitsizlik eşittir sistem

İzin vermek

Daha sonra sen > 0,

ve ilk eşitsizlik

sistem şu şekli alır

veya, ortaya çıkıyor

ikinci dereceden üç terimli çarpanlara ayrılmış,

Aralık yöntemini son eşitsizliğe uygulayarak,

çözümlerinin koşulu sağladığını görüyoruz sen> 0 hepsi olacak sen > 4.

Dolayısıyla orijinal eşitsizlik sisteme eşdeğerdir:

Yani eşitsizliğin çözümlerinin hepsi

2.2. Rasyonalizasyon yöntemi.

Daha önce eşitsizlik rasyonelleştirme yöntemiyle çözülmüyordu, bilinmiyordu. Bu "yeni modern" etkili yöntemüstel ve logaritmik eşitsizliklerin çözümleri" (S.I. Kolesnikova'nın kitabından alıntı)
Ve öğretmen onu tanıyor olsa bile bir korku vardı - Birleşik Devlet Sınavı uzmanı onu tanıyor mu ve neden onu okula vermiyorlar? Öğretmenin öğrenciye şöyle dediği durumlar oldu: "Nereden aldın? Otur - 2."
Şimdi bu yöntem her yerde tanıtılıyor. Uzmanlar için bu yöntemle ilgili yönergeler vardır ve Çözüm C3'teki "Standart Seçeneklerin En Tam Sürümleri..."nde bu yöntem kullanılır.
HARİKA BİR YÖNTEM!

"Sihirli Masa"

Diğer kaynaklarda

Eğer a >1 ve b >1 ise log a b >0 ve (a -1)(b -1)>0;

Eğer a >1 ve 0

eğer 0 ise<A<1 и b >1, sonra a b'yi logla<0 и (a -1)(b -1)<0;

eğer 0 ise<A<1 и 00 ve (a -1)(b -1)>0.

Gerçekleştirilen mantık basittir ancak logaritmik eşitsizliklerin çözümünü önemli ölçüde basitleştirir.

Örnek 4.

log x (x 2 -3)<0

Çözüm:

Örnek 5.

log 2 x (2x 2 -4x +6)≤log 2 x (x 2 +x)

Çözüm:

Cevap. (0; 0,5)U.

Örnek 6.

Bu eşitsizliği çözmek için payda yerine (x-1-1)(x-1), pay yerine de (x-1)(x-3-9 + x) çarpımını yazıyoruz.

Cevap : (3;6)

Örnek 7.

Örnek 8.

2.3. Standart olmayan ikame.

Örnek 1.

Örnek 2.

Örnek 3.

Örnek 4.

Örnek 5.

Örnek 6.

Örnek 7.

log 4 (3 x -1)log 0,25

y=3 x -1 yerine koyalım; o zaman bu eşitsizlik şu şekli alacaktır

Günlük 4 günlük 0,25
.

Çünkü günlük 0,25 = -log 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y ise son eşitsizliği 2log 4 y -log 4 2 y ≤ olarak yeniden yazarız.

t =log 4 y'yi yerine koyalım ve t 2 -2t +≥0 eşitsizliğini elde edelim; bunun çözümü - .

Böylece, y'nin değerlerini bulmak için elimizde iki basit eşitsizlik var
Bu kümenin çözümü 0 aralığıdır.<у≤2 и 8≤у<+.

Bu nedenle, orijinal eşitsizlik iki üstel eşitsizlik kümesine eşdeğerdir,
yani agregalar

Bu kümenin ilk eşitsizliğinin çözümü 0 aralığıdır.<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+. Böylece orijinal eşitsizlik, 0 aralığından itibaren x'in tüm değerleri için sağlanır.<х≤1 и 2≤х<+.

Örnek 8.

Çözüm:

Eşitsizlik eşittir sistem

ODZ'yi tanımlayan ikinci eşitsizliğin çözümü, bunların kümesi olacaktır. X,

hangisi için X > 0.

İlk eşitsizliği çözmek için ikameyi yaparız

Sonra eşitsizliği elde ederiz

veya

Son eşitsizliğin çözüm kümesi şu yöntemle bulunur:

aralıklar: -1< T < 2. Откуда, возвращаясь к переменной X, alıyoruz

veya

Bunların çoğu X son eşitsizliği sağlayan

ODZ'ye aittir ( X> 0), dolayısıyla sistemin bir çözümüdür,

ve dolayısıyla orijinal eşitsizlik.

Cevap:

2.4. Tuzaklarla görevler.

Örnek 1.

.

Çözüm. Eşitsizliğin ODZ'si 0 koşulunu sağlayan x'tir . Bu nedenle tüm x'ler 0 aralığındadır

Örnek 2.

günlük 2 (2 x +1-x 2)>günlük 2 (2 x-1 +1-x)+1.. ? Mesele şu ki, ikinci sayı açıkça daha büyük

Çözüm

Çok sayıda farklı eğitim kaynağından C3 problemlerini çözmek için özel yöntemler bulmak kolay değildi. Yapılan çalışma sırasında karmaşık logaritmik eşitsizlikleri çözmek için standart olmayan yöntemleri inceleyebildim. Bunlar: eşdeğer geçişler ve genelleştirilmiş aralıklar yöntemi, rasyonelleştirme yöntemi , standart dışı ikame , ODZ'de tuzaklı görevler. Bu yöntemler okul müfredatında yer almamaktadır.

Farklı yöntemler kullanarak Birleşik Devlet Sınavı'nın C bölümünde yani C3'te önerilen 27 eşitsizliği çözdüm. Yöntemlerle çözümlenen bu eşitsizlikler, faaliyetimin proje ürünü olan “C3 Çözümlü Logaritmik Eşitsizlikler” koleksiyonunun temelini oluşturdu. Projenin başında ortaya koyduğum hipotez doğrulandı: Bu yöntemleri biliyorsanız C3 problemleri etkili bir şekilde çözülebilir.

Ayrıca logaritmalarla ilgili ilginç gerçekleri keşfettim. Bunu yapmak benim için ilginçti. Proje ürünlerim hem öğrencilere hem de öğretmenlere faydalı olacaktır.

Sonuçlar:

Böylece proje hedefine ulaşılmış ve sorun çözülmüştür. Ve işin her aşamasında proje faaliyetleri konusunda en eksiksiz ve çeşitli deneyimi aldım. Proje üzerinde çalışırken ana gelişimsel etkim zihinsel yeterlilik, mantıksal zihinsel işlemlerle ilgili faaliyetler, yaratıcı yeterliliğin gelişimi, kişisel inisiyatif, sorumluluk, azim ve aktivite üzerinde oldu.

Bir araştırma projesi oluştururken başarı garantisi Kazandığım şeyler: önemli bir okul deneyimi, çeşitli kaynaklardan bilgi edinme, güvenilirliğini kontrol etme ve onu önem derecesine göre sıralama yeteneği.

Matematikteki doğrudan konu bilgilerinin yanı sıra bilgisayar bilimleri alanındaki pratik becerilerimi genişlettim, psikoloji alanında yeni bilgi ve deneyimler kazandım, sınıf arkadaşlarımla bağlantılar kurdum, yetişkinlerle işbirliği yapmayı öğrendim. Proje faaliyetleri sırasında organizasyonel, entelektüel ve iletişimsel genel eğitim becerileri geliştirildi.

Edebiyat

1. Koryanov A. G., Prokofiev A. A. Tek değişkenli eşitsizlik sistemleri (standart görevler C3).

2. Malkova A. G. Matematikte Birleşik Devlet Sınavına Hazırlık.

3. Samarova S. S. Logaritmik eşitsizliklerin çözümü.

4. Matematik. A.L. tarafından düzenlenen eğitim çalışmaları koleksiyonu. Semenov ve I.V. Yaşçenko. -M.: MTsNMO, 2009. - 72 s.-

Makale, 2017 yılı matematikte Birleşik Devlet Sınavı profilindeki 15. görevlerin analizine ayrılmıştır. Bu görevde okul çocuklarından çoğunlukla logaritmik olan eşitsizlikleri çözmeleri istenir. Her ne kadar gösterge niteliğinde olanlar olsa da. Bu makale, logaritmanın tabanında bir değişken içerenler de dahil olmak üzere logaritmik eşitsizlik örneklerinin bir analizini sağlar. Tüm örnekler matematikteki Birleşik Devlet Sınavı görevlerinin açık bankasından (profil) alınmıştır, bu nedenle bu tür eşitsizliklerin sınavda görev 15 olarak karşımıza çıkması muhtemeldir. İkinci bölümden görev 15'in nasıl çözüleceğini öğrenmek isteyenler için ideal Sınavda daha fazla puan almak için matematikte kısa sürede Birleşik Devlet Sınavı profilinin oluşturulması.

Matematikte Birleşik Devlet Sınavı profilinden 15. görevlerin analizi

Örnek 1. Eşitsizliği çözün:

Matematikte Birleşik Devlet Sınavının 15. görevinde (profil), logaritmik eşitsizliklerle sıklıkla karşılaşılır. Logaritmik eşitsizliklerin çözümü, kabul edilebilir değerlerin aralığının belirlenmesiyle başlar. Bu durumda her iki logaritmanın tabanında da değişken yoktur, sadece 11 sayısı vardır ve bu da sorunu büyük ölçüde basitleştirir. Yani burada sahip olduğumuz tek sınırlama, logaritma işaretinin altındaki her iki ifadenin de pozitif olmasıdır:

Title="QuickLaTeX.com tarafından oluşturulmuştur">!}

Sistemdeki ilk eşitsizlik ikinci dereceden eşitsizliktir. Bunu çözmek için gerçekten sol tarafı çarpanlara ayırmak istiyoruz. Sanırım formun herhangi bir ikinci dereceden üç terimli olduğunu biliyorsunuz aşağıdaki gibi çarpanlara ayrılır:

Denklemin kökleri nerede ve nelerdir? Bu durumda katsayı 1'dir (bu, önündeki sayısal katsayıdır). Katsayı da 1'e eşittir ve katsayı kukla terimdir, -20'ye eşittir. Bir trinomiyalin kökleri en kolay şekilde Vieta teoremi kullanılarak belirlenir. Verdiğimiz denklem, köklerin toplamının ters işaretli katsayıya yani -1'e, bu köklerin çarpımının da katsayıya yani -20'ye eşit olacağı anlamına gelir. Köklerin -5 ve 4 olacağını tahmin etmek kolaydır.

Artık eşitsizliğin sol tarafı çarpanlara ayrılabilir: title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="163" style="vertical-align: -5px;"> Решаем это неравенство. График соответствующей функции — это парабола, ветви которой направлены вверх. Эта парабола пересекает ось !} X-5 ve 4 noktalarında. Bu, eşitsizliğin gerekli çözümünün aralık olduğu anlamına gelir. Burada yazılanları anlamayanlar için bu andan itibaren videodaki detayları izleyebilirsiniz. Orada ayrıca sistemin ikinci eşitsizliğinin nasıl çözüldüğüne dair ayrıntılı bir açıklama bulacaksınız. Çözülüyor. Üstelik cevap, sistemin ilk eşitsizliğinin cevabıyla tamamen aynı. Yani yukarıda yazılan küme eşitsizliğin izin verilen değerlerinin bölgesidir.

Dolayısıyla, çarpanlara ayırma dikkate alındığında orijinal eşitsizlik şu şekli alır:

Formülü kullanarak, birinci logaritmanın işareti altındaki ifadenin kuvvetine 11 ekleriz ve ikinci logaritmayı işaretini ters çevirerek eşitsizliğin sol tarafına taşırız:

İndirgemeden sonra şunu elde ederiz:

Fonksiyonun artmasından kaynaklanan son eşitsizlik eşitsizliğe eşdeğerdir. çözümü aralık olan . Geriye kalan tek şey, onu eşitsizliğin kabul edilebilir değerleri bölgesiyle kesiştirmektir ve bu, tüm görevin cevabı olacaktır.

Yani göreve gerekli cevap şuna benzer:

Bu görevi ele aldık, şimdi matematikte Birleşik Devlet Sınavının 15. görevinin bir sonraki örneğine geçiyoruz (profil).

Örnek 2. Eşitsizliği çözün:

Bu eşitsizliğin kabul edilebilir değerlerinin aralığını belirleyerek çözüme başlıyoruz. Her logaritmanın tabanında 1'e eşit olmayan pozitif bir sayı bulunmalıdır. Logaritmanın işareti altındaki tüm ifadeler pozitif olmalıdır. Kesrin paydası sıfır içermemelidir. Son koşul, paydadaki her iki logaritmanın da ortadan kalkması nedeniyle, gerçeğine eşdeğerdir. Tüm bu koşullar, aşağıdaki eşitsizlik sistemi tarafından verilen bu eşitsizliğin izin verilen değerlerinin aralığını belirler:

Title="QuickLaTeX.com tarafından oluşturulmuştur">!}

Kabul edilebilir değerler aralığında eşitsizliğin sol tarafını basitleştirmek için logaritma dönüşüm formüllerini kullanabiliriz. Formül kullanma paydadan kurtuluruz:

Artık elimizde sadece tabanlı logaritmalar var. Bu zaten daha uygun. Daha sonra, şöhrete değer ifadeyi aşağıdaki forma getirmek için formülü ve ayrıca formülü kullanırız:

Hesaplamalarda kabul edilebilir değerler aralığında olanı kullandık. Değiştirmeyi kullanarak şu ifadeye ulaşırız:

Bir yerine daha geçelim: . Sonuç olarak şu sonuca ulaşıyoruz:

Böylece yavaş yavaş orijinal değişkenlere dönüyoruz. İlk önce değişkene: