دراسة وظيفة للدورية. كيفية تحديد دورية الدالة تسمى الدالة دورية إذا كانت موجودة

عند دراسة الظواهر الطبيعية وحل المشكلات الفنية، نواجه عمليات دورية يمكن وصفها بوظائف من نوع خاص.

تسمى الدالة y = f(x) ذات المجال D دورية إذا كان هناك رقم واحد على الأقل T > 0 بحيث يتم استيفاء الشرطين التاليين:

1) النقاط x + T, x - T تنتمي إلى مجال التعريف D لأي x ∈ D;

2) لكل x من D العلاقة التالية:

f(x) = f(x + T) = f(x − T).

الرقم T يسمى فترة الدالة f(x). بمعنى آخر، الدالة الدورية هي دالة تتكرر قيمها بعد فترة زمنية معينة. على سبيل المثال، الدالة y = sin x دورية (الشكل 1) ودورتها 2π.

لاحظ أنه إذا كان الرقم T هو فترة الدالة f(x)، فإن الرقم 2T سيكون أيضًا دورتها، وكذلك 3T و4T، وما إلى ذلك، أي أن الدالة الدورية لها عدد لا نهائي من الفترات المختلفة. إذا كان من بينها الأصغر (لا يساوي الصفر)، فإن جميع الفترات الأخرى للدالة هي مضاعفات هذا الرقم. لاحظ أنه ليس كل دالة دورية لديها مثل هذه الفترة الإيجابية الأصغر؛ على سبيل المثال، الدالة f(x)=1 لا تحتوي على مثل هذه الفترة. من المهم أيضًا أن نأخذ في الاعتبار أنه، على سبيل المثال، مجموع دالتين دوريتين لهما نفس الفترة الإيجابية الأصغر T 0 ليس بالضرورة أن يكون لهما نفس الفترة الإيجابية. وبالتالي، فإن مجموع الدوال f(x) = sin x و g(x) = −sin x ليس له أصغر فترة موجبة على الإطلاق، ومجموع الدوال f(x) = sin x + sin 2x و g(x) = −sin x، التي تساوي أصغر فتراتها 2π، لها أصغر فترة موجبة تساوي π.

إذا كانت نسبة فترات الدالتين f(x) وg(x) عددًا نسبيًا، فإن مجموع وحاصل ضرب هذه الدوال سيكون أيضًا دوالًا دورية. إذا كانت نسبة فترات الدوال المحددة والمستمرة في كل مكان f و g هي رقم غير نسبي، فإن الدوال f + g و fg ستكون بالفعل دوالًا غير دورية. لذا، على سبيل المثال، فإن الدوال cos x sin √2 x وcosj √2 x + sin x غير دورية، على الرغم من أن الدوال sin x وcos x دورية بدورة 2π، فإن الدالات sin √2 x وcos √2 x دورية بدورة √2 π .

لاحظ أنه إذا كانت f(x) دالة دورية ذات فترة T، فإن الدالة المعقدة (إذا كان ذلك منطقيًا بالطبع) F(f(x)) هي أيضًا دالة دورية، وسيكون الرقم T بمثابة دالة لها فترة. على سبيل المثال، الدوال y = sin 2 x، y = √(cos x) (الشكل 2.3) هي دوال دورية (هنا: F 1 (z) = z 2 وF 2 (z) = √z). ومع ذلك، لا ينبغي للمرء أن يعتقد أنه إذا كانت الدالة f(x) لها أصغر فترة موجبة T 0، فإن الدالة F(f(x)) سيكون لها أيضًا نفس الفترة الموجبة الأصغر؛ على سبيل المثال، الدالة y = sin 2 x لها أصغر فترة موجبة، مرتين أقل من الدالة f(x) = sin x (الشكل 2).

من السهل إظهار أنه إذا كانت الدالة f دورية مع الفترة T، ومحددة وقابلة للتفاضل عند كل نقطة من الخط الحقيقي، فإن الدالة f"(x) (مشتقة) هي أيضًا دالة دورية مع الفترة T، ولكن المشتق العكسي الدالة F(x) (انظر حساب التكامل) لـ f(x) ستكون دالة دورية فقط إذا

F(T) − F(0) = T o ∫ f(x) dx = 0.

الهدف: تلخيص وتنظيم معرفة الطلاب حول موضوع "دورية الوظائف"؛ تطوير المهارات في تطبيق خصائص الدالة الدورية، وإيجاد أصغر فترة موجبة للدالة، وبناء الرسوم البيانية للدوال الدورية؛ تعزيز الاهتمام بدراسة الرياضيات؛ زراعة الملاحظة والدقة.

المعدات: الكمبيوتر، جهاز عرض الوسائط المتعددة، بطاقات المهام، الشرائح، الساعات، طاولات الزينة، عناصر الحرف الشعبية

"الرياضيات هي ما يستخدمه الناس للسيطرة على الطبيعة وأنفسهم."
أ.ن. كولموغوروف

خلال الفصول الدراسية

I. المرحلة التنظيمية.

التحقق من جاهزية الطلاب للدرس. الإبلاغ عن موضوع الدرس وأهدافه.

ثانيا. التحقق من الواجبات المنزلية.

نقوم بفحص الواجبات المنزلية باستخدام العينات ومناقشة النقاط الأكثر صعوبة.

ثالثا. تعميم وتنظيم المعرفة.

1. العمل الجبهي عن طريق الفم.

قضايا النظرية.

1) قم بتكوين تعريف لمدة الوظيفة
2) قم بتسمية أصغر فترة موجبة للدوال y=sin(x), y=cos(x)
3). ما هي أصغر فترة إيجابية للوظائف y=tg(x)، y=ctg(x)
4) أثبت باستخدام الدائرة صحة العلاقات:

ص=الخطيئة(س) = الخطيئة(س+360°)
ص=cos(x) = cos(x+360°)
ص=تغ(س) = تيراغرام(س+18 0º)
ص=ctg(x) = ctg(x+180°)

tg(x+π n)=tgx, n € Z
ctg(x+π n)=ctgx, n € Z

الخطيئة (س + 2π ن) = الخطيئة، ن € Z
cos(x+2π n)=cosx, n € Z

5) كيفية رسم دالة دورية؟

تمارين عن طريق الفم.

1) أثبت العلاقات التالية

أ) الخطيئة (740 درجة) = الخطيئة (20 درجة)
ب) جتا (54 درجة) = جتا (-1026 درجة)
ج) الخطيئة (-1000 درجة) = الخطيئة (80 درجة)

2. أثبت أن الزاوية 540 درجة هي إحدى فترات الدالة y=cos(2x)

3. أثبت أن الزاوية 360 درجة هي إحدى دورات الدالة y=tg(x)

4. تحويل هذه التعبيرات بحيث لا تتجاوز الزوايا المتضمنة فيها 90 درجة في القيمة المطلقة.

أ) tg375°
ب) ctg530°
ج) الخطيئة1268°
د) كوس (-7363 درجة)

5. أين صادفت الكلمات "الفترة" و"الدورية"؟

إجابات الطالب: الفترة في الموسيقى هي بنية يتم فيها تقديم فكر موسيقي مكتمل إلى حد ما. الفترة الجيولوجية هي جزء من عصر وتنقسم إلى عصور تتراوح مدتها من 35 إلى 90 مليون سنة.

نصف عمر المادة المشعة. الكسر الدوري. الدوريات هي منشورات مطبوعة تظهر ضمن مواعيد نهائية محددة بدقة. النظام الدوري لمندليف.

6. توضح الأشكال أجزاء من الرسوم البيانية للوظائف الدورية. تحديد فترة الوظيفة. تحديد فترة الوظيفة.

إجابة: ت = 2؛ تي = 2؛ تي = 4؛ تي = 8.

7. أين واجهت في حياتك بناء العناصر المتكررة؟

إجابة الطالب: عناصر الزخارف والفن الشعبي.

رابعا. حل المشكلات بشكل جماعي.

(حل المشاكل على الشرائح.)

دعونا نفكر في إحدى طرق دراسة دالة الدورية.

تتجنب هذه الطريقة الصعوبات المرتبطة بإثبات أن فترة معينة هي الأصغر، كما تلغي الحاجة إلى التطرق إلى أسئلة حول العمليات الحسابية على الدوال الدورية والدورة وظيفة معقدة. يعتمد المنطق فقط على تعريف دالة دورية وعلى الحقيقة التالية: إذا كانت T هي فترة الدالة، فإن nT(n?0) هي دورتها.

المشكلة 1. أوجد أصغر فترة موجبة للدالة f(x)=1+3(x+q>5)

الحل: افترض أن فترة T لهذه الوظيفة. ثم f(x+T)=f(x) للجميع x € D(f)، أي.

1+3(س+T+0.25)=1+3(س+0.25)
(س+ت+0.25)=(س+0.25)

لنضع x=-0.25 نحصل عليها

(ت)=0<=>T = ن، ن € Z

لقد حصلنا على أن جميع فترات الدالة المعنية (إذا كانت موجودة) هي من بين الأعداد الصحيحة. دعونا نختار أصغر رقم موجب من بين هذه الأرقام. هذا 1 . دعونا نتحقق مما إذا كانت ستكون فترة بالفعل 1 .

و(س+1) =3(س+1+0.25)+1

بما أن (T+1)=(T) لأي T، فإن f(x+1)=3((x+0.25)+1)+1=3(x+0.25)+1=f(x )، أي. 1 – الفترة و. بما أن 1 هو الأصغر بين جميع الأعداد الصحيحة أرقام إيجابية، ثم T=1.

المشكلة 2. أظهر أن الدالة f(x)=cos 2 (x) دورية وأوجد دورتها الرئيسية.

المشكلة 3. ابحث عن الفترة الرئيسية للوظيفة

f(x)=sin(1.5x)+5cos(0.75x)

لنفترض فترة T للدالة، ثم لأي Xالنسبة صالحة

sin1.5(x+T)+5cos0.75(x+T)=sin(1.5x)+5cos(0.75x)

إذا كانت x=0

الخطيئة(1.5T)+5cos(0.75T)=sin0+5cos0

الخطيئة(1.5T)+5cos(0.75T)=5

إذا كان x=-T، إذن

الخطيئة0+5cos0=الخطيئة(-1.5T)+5cos0.75(-T)

5= - الخطيئة(1.5T)+5cos(0.75T)

الخطيئة(1.5T)+5cos(0.75T)=5 – الخطيئة(1.5T)+5cos(0.75T)=5

وبجمعها نحصل على:

10cos(0.75T)=10

2π ن، ن € ض

دعونا نختار أصغر رقم موجب من بين جميع الأرقام "المشبوهة" للفترة ونتحقق مما إذا كانت فترة لـ f. هذا العدد

f(x+)=sin(1.5x+4π )+5cos(0.75x+2π )= sin(1.5x)+5cos(0.75x)=f(x)

وهذا يعني أن هذه هي الفترة الرئيسية للدالة f.

المشكلة 4. دعونا نتحقق مما إذا كانت الدالة f(x)=sin(x) دورية

دع T تكون فترة الدالة f. ثم لأي x

الخطيئة|x+T|=الخطيئة|x|

إذا كانت x=0، إذن sin|Т|=sin0، sin|Т|=0 Т=π n, n € Z.

لنفرض. أنه بالنسبة للبعض n الرقم π n هو الفترة

الوظيفة قيد النظر π n>0. ثم الخطيئة|π n+x|=sin|x|

هذا يعني أن n يجب أن يكون عددًا زوجيًا وفرديًا، لكن هذا مستحيل. ولذلك، هذه الوظيفة ليست دورية.

المهمة 5. تحقق مما إذا كانت الوظيفة دورية

و(خ)=

دع T تكون فترة f، إذن

، وبالتالي sinT=0، Т=π n، n € Z. لنفترض أنه بالنسبة لبعض n فإن الرقم π n هو بالفعل فترة هذه الوظيفة. ثم الرقم 2π n سيكون الفترة

وبما أن البسطين متساويان، فإن مقاماتهما متساوية

هذا يعني أن الدالة f ليست دورية.

العمل في مجموعات.

مهام المجموعة 1.

مهام المجموعة 2

تحقق مما إذا كانت الدالة f دورية وابحث عن دورتها الأساسية (إذا كانت موجودة).

f(x)=cos(2x)+2sin(2x)

مهام المجموعة 3

في نهاية عملهم، تقدم المجموعات حلولها.

السادس. تلخيص الدرس.

انعكاس.

يعطي المعلم الطلاب بطاقات بها رسومات ويطلب منهم تلوين جزء من الرسم الأول بما يتناسب مع مدى اعتقادهم أنهم أتقنوا أساليب دراسة دالة للدورية، وجزء من الرسم الثاني - بما يتوافق مع مهاراتهم. المساهمة في العمل في الدرس.

سابعا. العمل في المنزل

1). تحقق مما إذا كانت الدالة f دورية وابحث عن دورتها الأساسية (إذا كانت موجودة)

ب). و(س)=س 2 -2س+4

ج). و (س) = 2 تيراغرام (3س + 5)

2). الدالة y=f(x) لها فترة T=2 وf(x)=x 2 +2x لـ x € [-2; 0]. أوجد قيمة التعبير -2f(-3)-4f(3.5)

الأدب/

1. موردكوفيتش أ.ج.الجبر وبدايات التحليل مع الدراسة المتعمقة.
2. الرياضيات. التحضير لامتحان الدولة الموحدة. إد. ليسينكو إف إف، كولابوخوفا إس يو.
3. شيريميتييفا تي جي. تاراسوفا إي.الجبر وتحليل البداية للصفوف 10-11.

ميزات بناء رسم بياني للوظائف الدورية

عادةً ما يتم رسم الرسم البياني للدالة الدورية أولاً على الفاصل الزمني [ س 0 ; س 0 + ت). ينفذ نقل موازينقاط الرسم البياني على كامل منطقة التعريف.

أمثلة على الوظائف الدورية والرسوم البيانية الخاصة بها.

من أمثلة الدوال الدورية الدوال المثلثية. دعونا ننظر إلى أهمها.

الدالة F(x) =الخطيئة(x)

أ) مجال التعريف: D (sin x) = ر .

ب) مجموعة القيم: E (sin x) = [- 1 , 1] .
ج) زوجي، فردي: الدالة فردية.

د) الدورية: دالة دورية ذات فترة رئيسية.

هـ) أصفار الدالة: sin x = 0 for , n ز.

و) فترات الإشارة الثابتة للدالة:

ز) فترات الرتابة: تزيد الوظيفة بمقدار؛

الدالة تنخفض كما ،

ح) الحد الأقصى للدالة:
; .

يظهر الرسم البياني للدالة y=sin x في الشكل.

الدالة F(x) = cos(x)

أ) مجال التعريف.

ب) القيم المتعددة: E (cos س) = [ – 1 , 1 ] .

ج) زوجي، فردي: الدالة زوجية.

ز ) الدورية: تكون الوظيفة دورية مع فترة رئيسية.

د) أصفار الدالة : عند .

ه) فترات ثبات الإشارة:

ز) فترات الرتابة:

تزيد الدالة كـ ;

الدالة تنخفض كما

ح) النهايات:

رسم بياني للدالة ذ=cos سيظهر في الشكل.

الدالة F(x) = tan(x)

أ) نطاق التعريف:

ب) مجموعة القيم: E()

ج) زوجي، فردي. الوظيفة غريبة.

د) التردد. وظيفة دورية مع الفترة الرئيسية

هـ) أصفار الدالة: tan x = 0 لـ x = n, n ز.

و) فترات ثبات الإشارة:

ز) فترات الرتابة: تزداد الدالة في كل فترة تنتمي بالكامل إلى مجال تعريفها.

ح) النهايات: لا.

رسم بياني للدالة ذ= تيراغرام سيظهر في الشكل.

الدالة F(x) = المهد(x)

أ) مجال التعريف: D (ctg x) = ر\ (ن(ن ض)) ).

ب) القيم المتعددة: E (ctg x) = ر .
ج) الزوجية، الفردية هي دالة فردية.

د) الدورية: دالة دورية مع الفترة الرئيسية T = .

هـ) أصفار الدالة: cot x = 0 عند x = /2 + n, n ز.

و) فترات ثبات الإشارة؛

ز) فترات الرتابة: تتناقص الدالة في كل فترة تنتمي بالكامل إلى مجال تعريفها.

ح) النهايات: لا.

يظهر الرسم البياني للدالة y = ctg x في الشكل.

يتم الحصول على الرسوم البيانية المثيرة للاهتمام باستخدام التراكب - تشكيل الدوال المعقدة بناءً على الدوال الدورية المثلثية.

رسم بياني لوظيفة دورية

ثانيا. تطبيقات الوظائف الدورية. التقلبات الدورية.

التذبذبات.

التذبذبات هي عمليات تختلف بدرجات متفاوتة من التكرار. التذبذبات هي عمليات تتكرر على فترات منتظمة (ومع ذلك، ليست كل العمليات المتكررة تذبذبات). اعتمادًا على الطبيعة الفيزيائية لعملية التكرار، يتم التمييز بين الاهتزازات الميكانيكية والكهرومغناطيسية والكهروميكانيكية وغيرها. أثناء الاهتزازات الميكانيكية، تتغير مواقع وإحداثيات الأجسام بشكل دوري. للكهرباء - الجهد والتيار. اعتمادًا على طبيعة التأثير على النظام المتذبذب، يتم تمييز التذبذبات الحرة والتذبذبات القسرية والتذبذبات الذاتية والتذبذبات البارامترية.

تكرارية تحدث عمليات بشكل مستمر داخل أي كائن حي، على سبيل المثال: انقباضات القلب، ووظائف الرئة؛ نرتعش عندما نشعر بالبرد. فنحن نسمع ونتكلم بفضل اهتزازات طبلة الأذن والأحبال الصوتية؛ عندما نسير، تقوم أرجلنا بحركات متذبذبة. الذرات التي خلقنا منها تهتز. العالم الذي نعيش فيه عرضة للتقلبات.

التقلبات الدورية.

دوريةتسمى هذه التذبذبات التي تتكرر فيها جميع خصائص الحركة بعد فترة زمنية معينة.

بالنسبة للتذبذبات الدورية، يتم استخدام الخصائص التالية:

فترة التذبذب T، يساوي الوقت الذي يحدث فيه تذبذب كامل واحد؛

تردد التذبذبν، يساوي عدد التذبذبات التي تحدث في ثانية واحدة (ν = 1/T)؛

يتم تنفيذ التذبذبات البارامترية عندما يتم تغيير معلمات النظام المتذبذب بشكل دوري (يقوم الشخص الذي يتأرجح على الأرجوحة برفع وخفض مركز ثقله بشكل دوري، وبالتالي تغيير معلمات النظام). في ظل ظروف معينة، يصبح النظام غير مستقر - الانحراف العشوائي عن موضع التوازن يؤدي إلى ظهور وزيادة التذبذبات. تسمى هذه الظاهرة بالإثارة البارامترية للتذبذبات (أي يتم إثارة التذبذبات عن طريق تغيير معلمات النظام)، وتسمى التذبذبات نفسها البارامترية. على الرغم من اختلاف طبيعتها الفيزيائية، إلا أن الاهتزازات تتميز بنفس الأنماط، والتي يتم دراستها بطرق عامة. من الخصائص الحركية المهمة شكل الاهتزازات. يتم تحديده حسب نوع دالة الوقت التي تصف التغير في كمية فيزيائية أو أخرى أثناء التذبذبات. وأهمها تلك التذبذبات التي تتغير فيها الكمية المتقلبة مع مرور الوقت وفقا لقانون الجيب أو جيب التمام. يطلق عليهم التوافقي. هذا النوع من التذبذب مهم بشكل خاص للأسباب التالية. أولاً، غالبًا ما تكون الاهتزازات في الطبيعة والتكنولوجيا ذات طابع قريب جدًا من التوافقي. ثانيًا، يمكن تمثيل العمليات الدورية ذات الشكل المختلف (مع اعتماد مختلف على الوقت) على أنها فرض أو تراكب للتذبذبات التوافقية.

UDC 517.17+517.51

الدورة الشهرية لمجموع دالتين دوريتين

أ/س. إيفنين

يحل هذا العمل تمامًا مسألة ماهية الفترة الرئيسية للدالة الدورية، وهي مجموع دالتين دوريتين لهما فترات رئيسية معروفة. كما تتم دراسة حالة غياب الفترة الرئيسية للمجموع الدوري للوظائف الدورية.

نحن نعتبر الدوال ذات القيمة الحقيقية لمتغير حقيقي. وفي الطبعة الموسوعية، في مقالة «الدوال الدورية»، يمكنك أن تقرأ: «إن مجموع الدوال الدورية ذات الفترات المختلفة يكون دوريًا فقط إذا كانت فتراتها متناسبة». هذه العبارة صحيحة بالنسبة للوظائف المستمرة 1، ولكنها لا تنطبق على الحالة العامة. تم إنشاء مثال مضاد لشكل عام جدًا في . نتعرف في هذه المقالة على المدة الرئيسية للدالة الدورية، وهي مجموع دالتين دوريتين لهما فترات رئيسية معروفة.

معلومات أولية

تذكر أن الدالة / يقال أنها دورية إذا كان بالنسبة لعدد معين T F O لأي x من مجال التعريف D(f) فإن الأرقام x + T وx - T تنتمي إلى D(f) والمساواة f(x + ت) = و(س) =و(س ~ T). في هذه الحالة، يسمى الرقم Г فترة الدالة.

سنسمي أصغر فترة إيجابية للدالة (إذا كانت موجودة بالطبع) بالفترة الرئيسية. الحقيقة التالية معروفة.

النظرية 1. إذا كانت الدالة لها فترة رئيسية إلى، فإن أي دورة للدالة لها الشكل nTo، حيث n Ф 0 هو عدد صحيح.

يقال إن الرقمين T\ وT2 قابلان للقياس إذا كان هناك رقم T0 يتناسب مع كل من T\ وT2 لعدد صحيح من المرات: T\ = T2 = n2T0, n2e Z. وبخلاف ذلك، فإن الرقمين T\ وT2 هما يسمى غير قابل للقياس. وبالتالي فإن قابلية التناسب (عدم القابلية للقياس) للفترات تعني أن نسبتها هي عدد عقلاني (غير عقلاني).

من النظرية 1 يترتب على ذلك أنه بالنسبة للدالة التي لها دورة أساسية، فإن أي فترتين متناسبتين.

من الأمثلة الكلاسيكية للدالة التي ليس لها أصغر دورة هي دالة ديريشليت، والتي تساوي 1 عند النقاط المنطقية والصفر عند النقاط غير المنطقية. أي رقم نسبي غير الصفر هو دورة دالة ديريشليت، وأي رقم غير نسبي ليس دورته. وكما نرى، هنا أيضًا يمكن مقارنة أي فترتين.

دعونا نعطي مثالا على دالة دورية غير ثابتة لها فترات غير قابلة للقياس.

دع الدالة /(x) تساوي 1 عند نقاط الشكل /u + la/2, m, n e Z، وتساوي

صفر. من بين فترات هذه الوظيفة هناك 1 و l

فترة مجموع الوظائف مع فترات متناسبة

النظرية 2. دع الـ fug يكون دوال دورية ذات فترات رئيسية mT0 و"ذلك، حيث النوع".

الأعداد الأولية المتبادلة. ثم الفترة الرئيسية لمجموعهم (إن وجدت) تساوي -

حيث k هو عدد طبيعي coprime للعدد mn.

دليل. دع ح = / + ز. من الواضح أن الرقم mnT0 هو الفترة h. بفضل

في النظرية 1، الدورة الرئيسية h لها الشكل حيث k هو عدد طبيعي ما. محتمل

لنفترض أن k ليس أوليًا نسبيًا مع الرقم m، أي k - dku m = dm\، حيث d> 1 هو الأكثر

1 دليل جميل على أن مجموع أي عدد محدود من الوظائف المستمرة مع فترات غير قابلة للقياس الزوجية هو غير دوري موجود في المقالة انظر أيضًا.

القاسم المشترك الأكبر للأرقام م و ك ثم فترة الدالة ك تساوي

والدالة f=h-g

لديه فترة mxnTo، وهي ليست مضاعفًا للفترة الرئيسية mTQ. يتم الحصول على تناقض مع النظرية 1. وهذا يعني أن k هو أولي مع m. وبالمثل، فإن الأرقام k و n هي أولية. وبالتالي، A: هو أولي مع m. □

النظرية 3. دع m و n و k تكون أرقامًا أولية زوجية، وT0 يكون رقمًا موجبًا. ثم هناك وظائف دورية ضبابية بحيث تكون الفترات الرئيسية f و g و (f + g).

نحن على التوالي tT$ وnTQ و-

دليل. سيكون إثبات النظرية بناءًا: سنقوم ببساطة ببناء مثال مناسب. دعونا أولا صياغة النتيجة التالية. إفادة. دع m يكون أعدادًا أولية نسبيًا. ثم الوظائف

fx - cos- + cos--- و f2= cos- m n m

كوس- لها فترة أساسية من 2ktp. ص

إثبات البيان. من الواضح أن الرقم 2ptn هو فترة كلتا الدالتين. يمكنك بسهولة التحقق من أن هذه الفترة هي الفترة الرئيسية للدالة، فلنجد الحد الأقصى لنقاطها.

س = 2lM، الشركة المصرية للاتصالات Z.

لدينا = ن!. من البساطة المتبادلة للنوع يترتب على ذلك أن 5 هو مضاعف لـ /r، أي. أنا = أنا ه ب. هذا يعني أن /x(x) = 2 o x = 2mstp1,1 e 2، والمسافة بين النقاط المجاورة للحد الأقصى للدالة /\ تساوي 2ktp، ولا يمكن أن تكون الفترة الموجبة /1 عدد أقل 2 النيابة.

بالنسبة للوظيفة، فإننا نطبق منطقًا من نوع مختلف (وهو مناسب أيضًا للوظيفة ولكن

أقل ابتدائية). كما توضح النظرية 1، فإن الفترة الرئيسية Г للدالة/2 لها الشكل -،

حيث k هو عدد طبيعي من الأعداد المراد كتابتها. سيكون الرقم G أيضًا هو فترة الوظيفة

(2 ^ 2 xn g t t /2 + /2 = - -1 cos

جميع الفترات التي لها النموذج 2pp1. لذا،

2nnl، أي ر = كوالالمبور. بما أن t و k متبادلان

جدجد، ويترتب على ذلك أن ك = 1.

الآن، لإثبات النظرية 3، يمكننا بناء المثال المطلوب. مثال. دع m و n و k عبارة عن أرقام أولية نسبيًا ويكون واحد على الأقل من الأرقام n أو k مختلفًا عن 1. ثم pf k وبموجب البيان المثبت للدالة

/ (x) = cos --- + cos- t to

و g(x) = cos-cos - p to

لها فترات رئيسية تبلغ 2 ltk و 2 tk على التوالي، ومجموعها

ك(س) = و(س) + = جتا- + جتا-

الفترة الرئيسية هي 2 ملعقة كبيرة.

إذا كانت n = k = 1، فسيتم استخدام زوج من الوظائف

f(x)-2 cos- + COS X وg(x) - COS X. m

فتراتها الرئيسية، وكذلك فترة الدالة k(x) - 2، تساوي 2lm، 2/gi 2type، على التوالي.

كم هو سهل التحقق.

الرياضيات

لنشير إلى T = 2lx. بالنسبة للأعداد الزوجية العشوائية mn وn وk، تتم الإشارة إلى الدالتين f و £ بحيث تكون الفترات الرئيسية للدوال f وg وf + g مساوية لـ mT وnT و

يتم استيفاء شروط النظرية من خلال الوظائف / - n؛

فترة مجموع الوظائف مع فترات غير قابلة للقياس

البيان التالي واضح تقريبا.

النظرية 4. دع الضباب يكون دوال دورية ذات فترات رئيسية غير قابلة للقياس T) و T2، ومجموع هذه الوظائف h = f + g دوري وله فترة رئيسية T. ثم الرقم T غير قابل للقياس مع T] ولا T2.

دليل. من ناحية، إذا كانت الأرقام TnT) متناسبة، فإن الدالة g = h-f لها فترة تتناسب مع Г]. من ناحية أخرى، وبموجب النظرية 1، فإن أي دورة للدالة g هي من مضاعفات الرقم T2. نحصل على تناقض مع عدم قابلية قياس الأرقام T\ و T2. تم إثبات عدم قابلية قياس الأعداد T و T2 بطريقة مماثلة، د

هناك حقيقة ملحوظة، بل ومثيرة للدهشة إلى حد ما، وهي أن عكس النظرية 4 صحيح أيضًا. هناك مفهوم خاطئ واسع النطاق مفاده أن مجموع دالتين دوريتين بفترات غير قابلة للقياس لا يمكن أن يكون دالة دورية. في الواقع، هذا ليس كذلك. علاوة على ذلك، يمكن أن تكون دورة المجموع أي رقم موجب يلبي بيان النظرية 4.

النظرية 5. دع T\ وT2 وT~ تكون أرقامًا موجبة غير قابلة للقياس. ثم توجد دوال دورية fug بحيث يكون مجموعها h =/+ g دوريًا، والفترات الرئيسية للدالة f guh تساوي Th T2 وT، على التوالي.

دليل. سيكون الدليل بناء مرة أخرى. ستعتمد إنشاءاتنا بشكل كبير على ما إذا كان الرقم T قابلاً للتمثيل أم لا في شكل تركيبة عقلانية T = aT\ + pT2 (a و P عبارة عن أرقام منطقية) للفترتين T\ و T2.

I. T ليس مزيجًا عقلانيًا من Tg وJ2-

دع A = (mT\ + nT2 + kT\m,n, k ∈ Z) هي مجموعة مجموعات الأعداد الخطية الصحيحة من الأرقام T1 T2 وT. نلاحظ على الفور أنه إذا كان الرقم قابلاً للتمثيل في النموذج mT\ + nT2 + kT، فإن هذا التمثيل فريد من نوعه. في الواقع، إذا كان mxT\ + n\Tg + k\T- m2Tx + n2T2 + k2T9 إذن

(k) - k2)T - (ot2 - m\)T] + (n2 - π)Тъ ومن أجل k\ * k2 نحصل على أنه يتم التعبير عن T بشكل عقلاني من خلال T] وT2. وهذا يعني ك\ = ك2. الآن، من عدم قابلية قياس الأرقام T\ وT2، يتم الحصول على التساوي m\ = m2 وu = n2 على الفور.

حقيقة مهمة هي أن المجموعات A ومكملتها A مغلقة عند جمع الأرقام من A: إذا كان x e A و y e A، ثم x + y e A؛ إذا كان x e A وy e A، فإن x + y e A.

لنفترض أنه في جميع نقاط المجموعة A فإن الدالتين / و g تساويان الصفر، وفي المجموعة A نحدد هذه الدوال على النحو التالي:

f(mTi + nT2 + kT) = nT2 + kT g(mT1 + nT2 + kT) - gnT\ - kT.

نظرًا لأنه، كما هو موضح، من الرقم x e A، تتم استعادة المعاملات m وذروة المجموعة الخطية للفترات T1 وT2 وT بشكل فريد، وتكون التخصيصات المشار إليها للوظائف / و g صحيحة.

الدالة h =/ + g في المجموعة A تساوي صفرًا، وعند نقاط المجموعة A تساوي

h(mT\ + nT2 + kT) - mT\ + nT2.

من خلال الاستبدال المباشر، من السهل التحقق من أن الرقم T\ هو فترة الدالة f، والرقم T2 هو الفترة g، وT~ هي الفترة h. دعونا نبين أن هذه الفترات هي الفترات الرئيسية.

أولا نلاحظ أن أي فترة من الدالة / تنتمي إلى المجموعة A.

إذا كان 0 fx في A,y e A، ثم ox + y e A وf(x + y) = 0 *f(x). هذا يعني أن y e A ليست فترة الدالة /

الآن لنفترض أن x2 عبارة عن أرقام غير متساوية وf(x 1) ~f(x2). من تعريف الدالة /، نحصل من هنا على أن x\ - x2 = 1ТБ حيث I عدد صحيح غير الصفر. ولذلك، فإن أي دورة للدالة هي من مضاعفات T\. وبالتالي، Tx هي حقًا الفترة الرئيسية/

يتم التحقق من البيانات المتعلقة بـ T2 وT بنفس الطريقة.

تعليق. في الكتاب ص. 172-173 تم تقديم تفسير عام آخر للحالة الأولى.

ثانيا. T عبارة عن مزيج عقلاني من T\ وT2.

دعونا نقدم مجموعة عقلانية من الفترتين T\ و T2 في النموذج Г = - (кkhТх + к2Т2)، حيث кkh و

k2 ™ الأعداد الصحيحة، k(Γ\ + k2T2 > 0, a/? و d هي أعداد طبيعية. دعونا نقدم leZ>.

مجموعة ريني ب ----

لنفترض أنه في جميع نقاط المجموعة B فإن الدالتين f وg تساويان الصفر، وفي المجموعة B نحدد هذه الوظائف على النحو التالي:

^ mT\ + nT2 L I

^ متكس + nT2 ل

هنا، كالعادة، يشير [x] و (x) إلى العدد الصحيح والأجزاء الكسرية من الأرقام، على التوالي. الدالة k =/+ d في المجموعة B تساوي الصفر، وعند نقاط المجموعة B تساوي

fmTx +pT: l H

من خلال الاستبدال المباشر، من السهل التحقق من أن الرقم Tx هو فترة الدالة /، والرقم T2 هو الفترة g، وT هي الفترة h. دعونا نبين أن هذه الفترات هي الفترات الرئيسية.

أي فترة من الدالة / تنتمي إلى المجموعة B. في الواقع، إذا كانت 0 * x e B, y e B، ثم f(x) Ф 0, j(x + y) = 0 */(*)■ وبالتالي، y e B _ فترة لا تعمل/

لذلك، كل فترة من الدالة / لها الشكل Тy =

حيث 5i و 52 أعداد صحيحة. يترك

x = -7] 4- -Г2, x e 5. إذا كانت i = 0، فإن f(i) عدد نسبي. الآن من عقلانية الرقم /(x + 7)) تتبع المساواة -I - I - 0. هذا يعني أن لدينا المساواة 52 = Xp، حيث X عدد صحيح

رقم. العلاقة /(x + 7)) = /(x) تأخذ الشكل

^ ف + أنا + أنا ث +

يجب أن تنطبق هذه المساواة على جميع أنواع الأعداد الصحيحة. عند t-n~0، الجانب الأيمن من (1) يساوي

إلى الصفر. وبما أن الأجزاء الكسرية غير سالبة، فإننا نستنتج من هذا أن -<0, а при

m = n = d - ] مجموع الأجزاء الكسرية على الجانب الأيمن من المساواة (1) لا يقل عن مجموع الأجزاء الكسرية h-X

تاي على اليسار. وهذا يعني - >0. وبالتالي، X = 0 و 52 = 0. وبالتالي، فإن فترة الدالة / لها الشكل

والمساواة (١) تصبح

ن\ | و52 أعداد صحيحة. من العلاقات

ال(0) = 0 = ال(GA) =

نجد أن الأرقام 51 و ^ يجب أن تكون من مضاعفات p، أي. بالنسبة لبعض الأعداد الصحيحة Ax وA2 لدينا 51 = A\p، E2 = A2p. ثم يمكن إعادة كتابة العلاقة (3) كـ

من المساواة A2kx = k2A\ والأولوية النسبية للأرقام k\ وk2، يترتب على ذلك أن A2 قابل للقسمة على k2. من هنا

بالنسبة لبعض الأعداد الصحيحة، تكون المعادلتان A2 = k2t وAx ~ kxt صالحة، أي. ث ~-(kxTx + k2T2).

لقد تبين أن أي فترة للدالة h هي مضاعف للفترة T = - (k(Gx + k2T2)9 والتي بالتالي

زوم، هو الشيء الرئيسي. □

لا توجد فترة رئيسية

النظرية 6. دع Tx وT2~ يكونان أرقامًا موجبة عشوائية. ثم توجد دوال دورية fug بحيث تكون فتراتها الرئيسية مساوية لـ T\ وT2، على التوالي، ومجموعها h=f+g دوري، ولكن ليس لها دورة رئيسية.

دليل. دعونا نفكر في حالتين محتملتين.

I. الفترتان Tx وT2 غير قابلتين للقياس.

دع A = + nT2 +kT\ . كما هو مذكور أعلاه، فمن السهل إظهار أنه إذا كان الرقم

يمكن تمثيله في النموذج mTx + nT2 + kT، فإن هذا التمثيل فريد من نوعه.

لنفترض أنه في جميع نقاط المجموعة A فإن الدالتين / و g تساويان الصفر، وفي المجموعة A نحدد هذه الدوال على النحو التالي:

/من؛ + nT2 + kT) = nT2 + kT، g(mTx + nT2 + kT) = mTx - kT.

من السهل التحقق من أن الرقم Tx هو الفترة الرئيسية للدالة /، والرقم T2 هو الفترة الرئيسية g، وبالنسبة لأي عقلاني k، فإن الرقم kT هو فترة الدالة h - f + g، والتي، ولذلك، ليس لديه أصغر فترة.

ثانيا. الفترات Tx و T2 قابلة للمقارنة.

دع Tx = mT0، T2 = nT0، حيث T0 > O، m وn أعداد طبيعية. دعونا نقدم المجموعة I = + في الاعتبار.

لنفترض أنه في جميع نقاط المجموعة B، تكون الدوال الضبابية تساوي الصفر، وفي المجموعة B نحدد هذه الدوال على النحو التالي:

/((/ + ShT0) = Shch + جيت، g((/ + 4lk)T0) - Shch - 42k.

الدالة h ~ / + g في المجموعة B تساوي صفرًا، وعند نقاط المجموعة B تساوي

من السهل التحقق من أن الرقم 7j = mTQ هو الفترة الرئيسية للدالة /، والرقم T2 ~ nT0 هو الفترة الرئيسية لـ g، بينما من بين فترات الدالة h~ f + g توجد جميع أرقام الدالة النموذج l/2kT0، حيث k هو رقم نسبي اعتباطي. □

تعتمد الإنشاءات التي تثبت النظرية 6 على عدم قابلية فترات الدالة h~ / + g مع فترات الدالة / و g. في الختام، دعونا نعطي مثالا على دوال fug بحيث تكون جميع فترات الدوال / و g و / + g متناسبة مع بعضها البعض، ولكن / و g لها فترات أساسية، في حين أن f + g لا تفعل ذلك.

دع m يكون عددًا طبيعيًا ثابتًا، M مجموعة الكسور غير الصحيحة غير القابلة للاختزال والتي تكون بسطها مضاعفات m. هيا نضع

1 إذا تنحنح؛ 1

إذا كان mZ؛

EcnuxeZXmZ; 2

أو في حالات أخرى؛ 1 إذا كان xeMU

~، إذا كان 2 2

[أوه خلاف ذلك.

من السهل أن نرى أن الفترات الرئيسية للدوال fug تساوي m و1، على التوالي، في حين أن المجموع / + g له فترة لأي رقم على الشكل m/n، حيث n هو عدد طبيعي اعتباطي coprime ل م.

الأدب

1. القاموس الموسوعي الرياضي/الفصل. إد. يو.في. بروخوروف - م: سوف. الموسوعة، 1988.

2. ميكايليان إل في، سيدراكيان إن إم على دورية مجموع الوظائف الدورية//التعليم الرياضي. - 2000. - رقم 2(13). - ص 29-33.

3. جيرنشتاين أ.ب.، إيفنين أ.يو. على مجموع الوظائف الدورية // الرياضيات في المدرسة. -2002. - رقم 1. - ص 68-72.

4. إيفليف ب.م. وغيرها مجموعة مسائل في الجبر ومبادئ التحليل للصفين التاسع والعاشر. - م: التربية، 1978.

الهدف: تلخيص وتنظيم معرفة الطلاب حول موضوع "دورية الوظائف"؛ تطوير المهارات في تطبيق خصائص الدالة الدورية، وإيجاد أصغر فترة موجبة للدالة، وبناء الرسوم البيانية للدوال الدورية؛ تعزيز الاهتمام بدراسة الرياضيات؛ زراعة الملاحظة والدقة.

المعدات: الكمبيوتر، جهاز عرض الوسائط المتعددة، بطاقات المهام، الشرائح، الساعات، طاولات الزينة، عناصر الحرف الشعبية

"الرياضيات هي ما يستخدمه الناس للسيطرة على الطبيعة وأنفسهم."
أ.ن. كولموغوروف

خلال الفصول الدراسية

I. المرحلة التنظيمية.

التحقق من جاهزية الطلاب للدرس. الإبلاغ عن موضوع الدرس وأهدافه.

ثانيا. التحقق من الواجبات المنزلية.

نقوم بفحص الواجبات المنزلية باستخدام العينات ومناقشة النقاط الأكثر صعوبة.

ثالثا. تعميم وتنظيم المعرفة.

1. العمل الجبهي عن طريق الفم.

قضايا النظرية.

1) قم بتكوين تعريف لمدة الوظيفة
2) قم بتسمية أصغر فترة موجبة للدوال y=sin(x), y=cos(x)
3). ما هي أصغر فترة إيجابية للوظائف y=tg(x)، y=ctg(x)
4) أثبت باستخدام الدائرة صحة العلاقات:

ص=الخطيئة(س) = الخطيئة(س+360°)
ص=cos(x) = cos(x+360°)
ص=تغ(س) = تيراغرام(س+18 0º)
ص=ctg(x) = ctg(x+180°)

tg(x+π n)=tgx, n € Z
ctg(x+π n)=ctgx, n € Z

الخطيئة (س + 2π ن) = الخطيئة، ن € Z
cos(x+2π n)=cosx, n € Z

5) كيفية رسم دالة دورية؟

تمارين عن طريق الفم.

1) أثبت العلاقات التالية

أ) الخطيئة (740 درجة) = الخطيئة (20 درجة)
ب) جتا (54 درجة) = جتا (-1026 درجة)
ج) الخطيئة (-1000 درجة) = الخطيئة (80 درجة)

2. أثبت أن الزاوية 540 درجة هي إحدى فترات الدالة y=cos(2x)

3. أثبت أن الزاوية 360 درجة هي إحدى دورات الدالة y=tg(x)

4. تحويل هذه التعبيرات بحيث لا تتجاوز الزوايا المتضمنة فيها 90 درجة في القيمة المطلقة.

أ) tg375°
ب) ctg530°
ج) الخطيئة1268°
د) كوس (-7363 درجة)

5. أين صادفت الكلمات "الفترة" و"الدورية"؟

إجابات الطالب: الفترة في الموسيقى هي بنية يتم فيها تقديم فكر موسيقي مكتمل إلى حد ما. الفترة الجيولوجية هي جزء من عصر وتنقسم إلى عصور تتراوح مدتها من 35 إلى 90 مليون سنة.

نصف عمر المادة المشعة. الكسر الدوري. الدوريات هي منشورات مطبوعة تظهر ضمن مواعيد نهائية محددة بدقة. النظام الدوري لمندليف.

6. توضح الأشكال أجزاء من الرسوم البيانية للوظائف الدورية. تحديد فترة الوظيفة. تحديد فترة الوظيفة.

إجابة: ت = 2؛ تي = 2؛ تي = 4؛ تي = 8.

7. أين واجهت في حياتك بناء العناصر المتكررة؟

إجابة الطالب: عناصر الزخارف والفن الشعبي.

رابعا. حل المشكلات بشكل جماعي.

(حل المشاكل على الشرائح.)

دعونا نفكر في إحدى طرق دراسة دالة الدورية.

تتجنب هذه الطريقة الصعوبات المرتبطة بإثبات أن فترة معينة هي الأصغر، كما تلغي الحاجة إلى التطرق إلى أسئلة حول العمليات الحسابية على الدوال الدورية ودورية دالة معقدة. يعتمد المنطق فقط على تعريف دالة دورية وعلى الحقيقة التالية: إذا كانت T هي فترة الدالة، فإن nT(n?0) هي دورتها.

المشكلة 1. أوجد أصغر فترة موجبة للدالة f(x)=1+3(x+q>5)

الحل: افترض أن فترة T لهذه الوظيفة. ثم f(x+T)=f(x) للجميع x € D(f)، أي.

1+3(س+T+0.25)=1+3(س+0.25)
(س+ت+0.25)=(س+0.25)

لنضع x=-0.25 نحصل عليها

(ت)=0<=>T = ن، ن € Z

لقد حصلنا على أن جميع فترات الدالة المعنية (إذا كانت موجودة) هي من بين الأعداد الصحيحة. دعونا نختار أصغر رقم موجب من بين هذه الأرقام. هذا 1 . دعونا نتحقق مما إذا كانت ستكون فترة بالفعل 1 .

و(س+1) =3(س+1+0.25)+1

بما أن (T+1)=(T) لأي T، فإن f(x+1)=3((x+0.25)+1)+1=3(x+0.25)+1=f(x )، أي. 1 – الفترة و. بما أن 1 هو الأصغر بين جميع الأعداد الصحيحة الموجبة، فإن T = 1.

المشكلة 2. أظهر أن الدالة f(x)=cos 2 (x) دورية وأوجد دورتها الرئيسية.

المشكلة 3. ابحث عن الفترة الرئيسية للوظيفة

f(x)=sin(1.5x)+5cos(0.75x)

لنفترض فترة T للدالة، ثم لأي Xالنسبة صالحة

sin1.5(x+T)+5cos0.75(x+T)=sin(1.5x)+5cos(0.75x)

إذا كانت x=0

الخطيئة(1.5T)+5cos(0.75T)=sin0+5cos0

الخطيئة(1.5T)+5cos(0.75T)=5

إذا كان x=-T، إذن

الخطيئة0+5cos0=الخطيئة(-1.5T)+5cos0.75(-T)

5= - الخطيئة(1.5T)+5cos(0.75T)

الخطيئة(1.5T)+5cos(0.75T)=5 – الخطيئة(1.5T)+5cos(0.75T)=5

وبجمعها نحصل على:

10cos(0.75T)=10

2π ن، ن € ض

دعونا نختار أصغر رقم موجب من بين جميع الأرقام "المشبوهة" للفترة ونتحقق مما إذا كانت فترة لـ f. هذا العدد

f(x+)=sin(1.5x+4π )+5cos(0.75x+2π )= sin(1.5x)+5cos(0.75x)=f(x)

وهذا يعني أن هذه هي الفترة الرئيسية للدالة f.

المشكلة 4. دعونا نتحقق مما إذا كانت الدالة f(x)=sin(x) دورية

دع T تكون فترة الدالة f. ثم لأي x

الخطيئة|x+T|=الخطيئة|x|

إذا كانت x=0، إذن sin|Т|=sin0، sin|Т|=0 Т=π n, n € Z.

لنفرض. أنه بالنسبة للبعض n الرقم π n هو الفترة

الوظيفة قيد النظر π n>0. ثم الخطيئة|π n+x|=sin|x|

هذا يعني أن n يجب أن يكون عددًا زوجيًا وفرديًا، لكن هذا مستحيل. ولذلك، هذه الوظيفة ليست دورية.

المهمة 5. تحقق مما إذا كانت الوظيفة دورية

و(خ)=

دع T تكون فترة f، إذن

، وبالتالي sinT=0، Т=π n، n € Z. لنفترض أنه بالنسبة لبعض n فإن الرقم π n هو بالفعل فترة هذه الوظيفة. ثم الرقم 2π n سيكون الفترة

وبما أن البسطين متساويان، فإن مقاماتهما متساوية

هذا يعني أن الدالة f ليست دورية.

العمل في مجموعات.

مهام المجموعة 1.

مهام المجموعة 2

تحقق مما إذا كانت الدالة f دورية وابحث عن دورتها الأساسية (إذا كانت موجودة).

f(x)=cos(2x)+2sin(2x)

مهام المجموعة 3

في نهاية عملهم، تقدم المجموعات حلولها.

السادس. تلخيص الدرس.

انعكاس.

يعطي المعلم الطلاب بطاقات بها رسومات ويطلب منهم تلوين جزء من الرسم الأول بما يتناسب مع مدى اعتقادهم أنهم أتقنوا أساليب دراسة دالة للدورية، وجزء من الرسم الثاني - بما يتوافق مع مهاراتهم. المساهمة في العمل في الدرس.

سابعا. العمل في المنزل

1). تحقق مما إذا كانت الدالة f دورية وابحث عن دورتها الأساسية (إذا كانت موجودة)

ب). و(س)=س 2 -2س+4

ج). و (س) = 2 تيراغرام (3س + 5)

2). الدالة y=f(x) لها فترة T=2 وf(x)=x 2 +2x لـ x € [-2; 0]. أوجد قيمة التعبير -2f(-3)-4f(3.5)

الأدب/

1. موردكوفيتش أ.ج.الجبر وبدايات التحليل مع الدراسة المتعمقة.
2. الرياضيات. التحضير لامتحان الدولة الموحدة. إد. ليسينكو إف إف، كولابوخوفا إس يو.
3. شيريميتييفا تي جي. تاراسوفا إي.الجبر وتحليل البداية للصفوف 10-11.