حجم الكرة. كيفية العثور على حجم الكرة: الصيغ الأساسية ومثال لاستخدامها كتلة الكرة عبر الإنترنت

العديد من الأجسام التي نقابلها في الحياة أو التي سمعنا عنها تكون كروية الشكل، مثل كرة القدم، أو قطرة الماء المتساقطة أثناء المطر، أو كوكبنا. في هذا الصدد، من المناسب النظر في مسألة كيفية العثور على حجم الكرة.

شكل الكرة في الهندسة

قبل الإجابة على السؤال المتعلق بالكرة، دعونا نلقي نظرة فاحصة على هذا الجسم. بعض الناس يخلطون بينه وبين الكرة. ظاهريًا، هما متشابهان حقًا، لكن الكرة عبارة عن جسم مملوء بالداخل، في حين أن الكرة ليست سوى الغلاف الخارجي لكرة ذات سمك متناهٍ في الصغر.

من وجهة نظر الهندسة، يمكن تمثيل الكرة بمجموعة من النقاط، وتلك التي تقع على سطحها (تشكل كرة) تقع على نفس المسافة من مركز الشكل. وتسمى هذه المسافة نصف القطر. في الواقع، نصف القطر هو المعامل الوحيد الذي يمكن استخدامه لوصف أي خصائص للكرة، مثل مساحة سطحها أو حجمها.

الصورة أدناه توضح مثالا للكرة.

إذا نظرت عن كثب إلى هذا الكائن المستدير المثالي، فيمكنك تخمين كيفية الحصول عليه من دائرة عادية. للقيام بذلك، يكفي تدوير هذا الشكل المسطح حول محور يتطابق مع قطره.

أحد المصادر الأدبية القديمة الشهيرة، التي تناقش خصائص هذا الشكل ثلاثي الأبعاد بتفاصيل كافية، هو عمل الفيلسوف اليوناني إقليدس - "العناصر".

المساحة السطحية والحجم

عند النظر في مسألة كيفية العثور على حجم الكرة، بالإضافة إلى هذه القيمة، ينبغي إعطاء صيغة لمساحتها، حيث يمكن أن يرتبط كلا التعبيرين ببعضهما البعض، كما سيبين أدناه.

لذا، لحساب حجم الكرة، يجب عليك تطبيق إحدى الصيغتين التاليتين:

الخامس = 4/3 *بي * R3؛
الخامس = 67/16 * ر3.

حيث R هو نصف قطر الشكل. الصيغة الأولى المقدمة دقيقة، ولكن للاستفادة من ذلك، يجب عليك استخدام العدد المناسب من المنازل العشرية لـ pi. التعبير الثاني يعطي نتيجة جيدة جداً، ويختلف عن الأول بنسبة 0.03% فقط. بالنسبة لعدد من المهام العملية، هذه الدقة أكثر من كافية.

تساوي هذه القيمة للكرة، والتي يتم التعبير عنها بالصيغة S = 4 * pi * R2. إذا عبرنا عن نصف القطر من هنا ثم عوضناه في الصيغة الأولى للحجم، فسنحصل على: R = √ (S / (4 * pi)) = > V = S / 3 * √ (S / (4 * pi) )).

ومن ثم، فقد درسنا الأسئلة المتعلقة بكيفية إيجاد حجم الكرة من خلال نصف القطر ومن خلال مساحة سطحها. يمكن تطبيق هذه التعبيرات بنجاح في الممارسة العملية. لاحقًا في المقالة سنقدم مثالاً على استخدامها.

مشكلة قطرة المطر

الماء، عندما يكون في حالة انعدام الوزن، يأخذ شكل قطرة كروية. هذا يرجع إلى وجود القوة التوتر السطحي، والتي تميل إلى تقليل مساحة السطح. الكرة بدورها لها أدنى قيمة بين جميع الأشكال الهندسية التي لها نفس الكتلة.

أثناء المطر، تكون قطرة الماء المتساقطة في حالة انعدام الوزن، فيكون شكلها كرويًا (هنا نهمل قوة مقاومة الهواء). ومن الضروري تحديد حجم ومساحة سطح ونصف قطر هذه القطرة إذا علم أن كتلتها 0.05 جرام.

من السهل تحديد الحجم؛ للقيام بذلك، قم بتقسيم الكتلة المعروفة على كثافة H 2 O (ρ = 1 جم/سم 3). ثم V = 0.05 / 1 = 0.05 سم3.

بمعرفة كيفية إيجاد حجم الكرة، يجب علينا التعبير عن نصف القطر من الصيغة واستبدال القيمة الناتجة، لدينا: R = ∛ (3 * V / (4 * pi)) = ∛ (3 * 0.05 / (4) * 3.1416)) = 0.2285 سم.

الآن نستبدل قيمة نصف القطر في التعبير الخاص بمساحة سطح الشكل، فنحصل على: S = 4 * 3.1416 * 0.22852 = 0.6561 سم 2.

وبالتالي، بمعرفة كيفية العثور على حجم الكرة، تلقينا إجابات لجميع أسئلة المشكلة: R = 2.285 مم، S = 0.6561 سم 2 و V = 0.05 سم 3.

قبل أن تبدأ في دراسة مفهوم الكرة، وما هو حجم الكرة، والنظر في الصيغ لحساب معلماتها، عليك أن تتذكر مفهوم الدائرة، الذي تمت دراسته سابقًا في دورة الهندسة. بعد كل شيء، معظم الإجراءات في الفضاء ثلاثي الأبعاد تشبه أو تتبع الهندسة ثنائية الأبعاد، معدلة لمظهر الإحداثي الثالث والدرجة الثالثة.

ما هي الدائرة؟

الدائرة هي شكل على المستوى الديكارتي (كما هو موضح في الشكل 1)؛ في أغلب الأحيان يبدو التعريف وكأنه "الموقع الهندسي لجميع النقاط على المستوى، والمسافة التي منها نقطة معينة(المركز) لا يتجاوز رقمًا معينًا غير سالب يسمى نصف القطر.

كما نرى من الشكل، فإن النقطة O هي مركز الشكل، ومجموعة جميع النقاط التي تملأ الدائرة، على سبيل المثال، A، B، C، K، E، لا تقع أبعد من نصف قطر معين (لا تتجاوز الدائرة الموضحة في الشكل 2).

إذا كان نصف القطر صفراً، تتحول الدائرة إلى نقطة.

مشاكل في الفهم

غالبًا ما يخلط الطلاب بين هذه المفاهيم. من السهل أن نتذكر مع القياس. الطوق الذي يدوره الأطفال في دروس التربية البدنية هو دائرة. من خلال فهم هذا أو تذكر أن الحروف الأولى من كلتا الكلمتين هي "O"، سوف يفهم الأطفال الفرق بشكل تذكيري.

مقدمة لمفهوم "الكرة"

الكرة عبارة عن جسم (الشكل 3) يحده سطح كروي معين. وسيتضح نوع "السطح الكروي" من تعريفه: هذا هو الموقع الهندسي لجميع النقاط على السطح، ولا تتجاوز المسافة منه إلى نقطة معينة (المركز) عددًا معينًا غير سالب يسمى نصف القطر. كما ترون، فإن مفهومي الدائرة والسطح الكروي متشابهان، فقط المساحات التي يقعان فيها تختلف. إذا صورنا كرة في فضاء ثنائي الأبعاد، نحصل على دائرة حدها دائرة (حدود الكرة سطح كروي). في الشكل نرى سطحًا كرويًا نصف قطره OA = OB.

الكرة مغلقة ومفتوحة

في الفضاءات المترية والمتجهة، يتم أيضًا النظر في مفهومين يتعلقان بالسطح الكروي. إذا كانت الكرة تحتوي على هذه الكرة، فإنها تسمى مغلقة، وإذا لم تكن كذلك، فإن الكرة مفتوحة. وهذه مفاهيم أكثر "تقدمًا"؛ حيث يتم دراستها في المعاهد كجزء من مقدمة التحليل. بالنسبة للاستخدام البسيط وحتى اليومي، ستكون الصيغ التي تتم دراستها في دورة القياس المجسم للصفوف 10-11 كافية. هذه المفاهيم التي يمكن الوصول إليها تقريبًا لكل شخص متعلم عادي هي التي سيتم مناقشتها بشكل أكبر.

المفاهيم التي تحتاج إلى معرفتها للحسابات التالية

نصف القطر والقطر.

يتم تحديد نصف قطر الكرة وقطرها بنفس طريقة تحديد الدائرة.

نصف القطر هو الجزء الذي يربط أي نقطة على حدود الكرة بالنقطة التي تقع في مركز الكرة.

القطر هو الجزء الذي يصل بين نقطتين على حدود الكرة ويمر بمركزها. يوضح الشكل 5 أ بوضوح الأجزاء التي تمثل نصف قطر الكرة، ويوضح الشكل 5 ب أقطار الكرة (الأجزاء التي تمر عبر النقطة O).

الأقسام في المجال (الكرة)

أي جزء من الكرة هو دائرة. إذا مرت بمركز الكرة تسمى دائرة كبيرة (دائرة قطرها AB)، أما الأجزاء المتبقية فتسمى دوائر صغيرة (دائرة قطرها DC).

يتم حساب مساحة هذه الدوائر باستخدام الصيغ التالية:

هنا S هو التعيين للمساحة، R لنصف القطر، D للقطر. هناك أيضًا ثابت يساوي 3.14. لكن لا تخلط بين أنه لحساب مساحة دائرة كبيرة، يتم استخدام نصف قطر أو قطر الكرة (الكرة) نفسها، ولتحديد المساحة يلزم استخدام أبعاد نصف قطر الدائرة الصغيرة.

ويمكن رسم عدد لا نهائي من هذه المقاطع التي تمر عبر نقطتين لهما نفس القطر وتقعان على حدود الكرة. وكمثال على ذلك كوكبنا: نقطتان عند القطبين الشمالي والجنوبي، وهما طرفا محور الأرض، وبالمعنى الهندسي طرفا القطر، وخطوط الطول التي تمر بهاتين النقطتين (شكل 7) . أي أن عدد الدوائر الكبيرة على الكرة يميل إلى اللانهاية.

أجزاء الكرة

إذا قمت بقطع "قطعة" من الكرة باستخدام مستوى معين (الشكل 8)، فسوف يطلق عليها قطعة كروية أو كروية. سيكون له ارتفاع - عمودي من مركز مستوى القطع إلى السطح الكروي O 1 K. وتسمى النقطة K على السطح الكروي الذي يأتي عنده الارتفاع قمة الجزء الكروي. ودائرة صغيرة نصف قطرها O 1 T (في هذه الحالة، حسب الشكل، لم يمر المستوى عبر مركز الكرة، ولكن إذا مر المقطع عبر المركز، فستكون دائرة المقطع العرضي كبيرة)، التي تم تشكيلها عن طريق قطع الجزء الكروي، سيتم استدعاؤها بقاعدة قطعة الكرة لدينا - الجزء الكروي.

إذا قمنا بتوصيل كل نقطة أساسية لقطعة كروية بمركز الكرة، فسنحصل على شكل يسمى "القطاع الكروي".

إذا مر مستويان عبر كرة وكانا متوازيين مع بعضهما البعض، فإن ذلك الجزء من الكرة المحصور بينهما يسمى طبقة كروية (الشكل 9، الذي يوضح كرة ذات مستويين وطبقة كروية منفصلة).

يُطلق على السطح (الجزء المميز في الشكل 9 على اليمين) لهذا الجزء من الكرة اسم الحزام (مرة أخرى، من أجل فهم أفضل، يمكن إجراء تشبيه مع الكرة الأرضية، أي مع مناطقها المناخية - القطب الشمالي، والاستوائية، والمعتدلة ، وما إلى ذلك)، وستكون دوائر القسم هي الطبقة الكروية للقواعد. ارتفاع الطبقة هو جزء من القطر المرسوم بشكل عمودي على مستويات القطع من مراكز القواعد. هناك أيضًا مفهوم الكرة الكروية. وتتشكل عندما لا تتقاطع المستويات المتوازية مع بعضها البعض، بل تلامسها عند نقطة واحدة لكل منها.

صيغ لحساب حجم الكرة ومساحة سطحها

يتم تشكيل الكرة عن طريق الدوران حول القطر الثابت لنصف دائرة أو دائرة. لحساب المعلمات المختلفة لكائن معين، ليست هناك حاجة إلى الكثير من البيانات.

حجم الكرة، وصيغة الحساب الواردة أعلاه، مشتقة من خلال التكامل. دعونا معرفة ذلك نقطة بنقطة.

نحن نعتبر دائرة في مستوى ثنائي الأبعاد، لأنها، كما ذكرنا أعلاه، هي الدائرة التي يقوم عليها بناء الكرة. نستخدم الجزء الرابع فقط (الشكل 10).

نحن نأخذ دائرة بوحدة نصف القطر ومركزها عند نقطة الأصل. معادلة هذه الدائرة هي كما يلي: X 2 + Y 2 = R 2. نعبر عن Y من هنا: Y 2 = R 2 - X 2.

تأكد من ملاحظة أن الدالة الناتجة غير سالبة ومستمرة ومتناقصة على القطعة X (0; R)، لأن قيمة X في الحالة عندما نعتبر ربع الدائرة تقع من صفر إلى قيمة الدالة نصف القطر، أي إلى الوحدة.

والشيء التالي الذي سنفعله هو تدوير ربع الدائرة حول المحور السيني. ونتيجة لذلك، نحصل على نصف الكرة الأرضية. لتحديد حجمه، سوف نلجأ إلى طرق التكامل.

وبما أن هذا هو حجم نصف الكرة فقط، فإننا نضاعف النتيجة، فنجد أن حجم الكرة يساوي:

الفروق الدقيقة الصغيرة

إذا أردت حساب حجم الكرة من خلال قطرها، تذكر أن نصف القطر هو نصف القطر، واستبدل هذه القيمة في الصيغة أعلاه.

يمكنك أيضًا الوصول إلى صيغة حجم الكرة من خلال مساحة السطح المجاور لها - الكرة. دعونا نتذكر أن مساحة الكرة يتم حسابها بالصيغة S = 4πr 2، وبدمجها وصلنا أيضًا إلى الصيغة المذكورة أعلاه لحجم الكرة. من نفس الصيغ يمكنك التعبير عن نصف القطر إذا كان بيان المشكلة يحتوي على قيمة حجم.

تعريف الكرة

كرةهو الجسم الذي تقع جميع نقاطه من نقطة معينة على مسافة لا تزيد على R.

آلة حاسبة على الانترنت

تسمى النقطة المحددة المشار إليها في تعريف الكرة مركزهذه الكرة. والمسافة المذكورة هي نصف القطرمن هذه الكرة.

الكرة، قياسًا على الدائرة، لها أيضًا قطر د د د، وهو ضعف نصف القطر في الطول:

د = 2 ⋅ ص د=2\cdot R د =2 ⋅ ر

صيغة لحساب حجم الكرة بدلالة نصف قطرها

يتم حساب حجم الكرة باستخدام الصيغة التالية:

صيغة لحجم الكرة من حيث نصف القطر

V = 4 3 ⋅ π ⋅ R 3 V=\frac(4)(3)\cdot\pi\cdot R^3الخامس=3 4 ⋅ π ⋅ ر 3

ر ر ر- نصف قطر هذه الكرة.

دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة.

المشكلة 1

كرة منقوشة في مكعب قطري د د دوهو يساوي 500 سم \sqrt(500)\نص( سم.)5 0 0 سم .أوجد حجم الكرة.

حل

د = 500 د=\sqrt(500) د =5 0 0

تحتاج أولاً إلى تحديد طول جانب المكعب. سنفترض أنها متساوية أ أ. وبالتالي فإن قطر المكعب متساوي (بناءً على نظرية فيثاغورس):

د = أ 2 + أ 2 + أ 2 د=\sqrt(a^2+a^2+a^2)د =أ 2 + أ 2 + أ 2

د = 3 ⋅ أ 2 د=\sqrt(3\cdot a^2)د =3 ⋅ أ 2

د = 3 ⋅ أ d=\sqrt(3)\cdot aد =3 ⋅ أ

500 = 3 ⋅ أ \sqrt(500)=\sqrt(3)\cdot a5 0 0 = 3 ⋅ أ

أ = 500 3 أ=\sqrt(\frac(500)(3))أ =3 5 0 0

ا ≈ 12.9 أ\حوالي 12.9 أ ≈1 2 . 9

إذا كانت الكرة محفورة في مكعب، فإن نصف قطرها يساوي نصف طول ضلع هذا المكعب. ونتيجة لذلك لدينا:

R = 1 2 ⋅ a R=\frac(1)(2)\cdot aص =2 1 ⋅ أ

R = 1 2 ⋅ 12.9 ≈ 6.4 R=\frac(1)(2)\cdot 12.9\approx6.4ص =2 1 ⋅ 1 2 . 9 ≈ 6 . 4

المرحلة النهائية هي إيجاد حجم الكرة باستخدام الصيغة:

V = 4 3 ⋅ π ⋅ R 3 ≈ 4 3 ⋅ π ⋅ (6.4) 3 ≈ 1097, 5 سم 3 V=\frac(4)(3)\cdot\pi\cdot R^3\approx\frac(4) )(3)\cdot\pi\cdot (6.4)^3\approx1097.5\text( سم)^3الخامس=3 4 ⋅ π ⋅ ر 3 ≈ 3 4 ⋅ π ⋅ (6 . 4 ) 3 ≈ 1 0 9 7 , 5 سم3

إجابة

1097.5 سم3. 1097.5\نص(سم)^3.1 0 9 7 , 5 سم3 .

صيغة لحجم الكرة من حيث قطرها

يمكن أيضًا معرفة حجم الكرة من خلال قطرها. للقيام بذلك، نستخدم العلاقة بين نصف قطر الكرة وقطرها:

د = 2 ⋅ ص د=2\cdot R د =2 ⋅ ر

ص = د 2 ر = \ فارك (د) (2) ص =2 د

لنعوض بهذا التعبير في صيغة حجم الكرة:

V = 4 3 ⋅ π ⋅ R 3 = 4 3 ⋅ π ⋅ (D 2) 3 = π 6 ⋅ D 3 V=\frac(4)(3)\cdot\pi\cdot R^3=\frac(4) )(3)\cdot\pi\cdot\Big(\frac(D)(2)\Big)^3=\frac(\pi)(6)\cdot D^3الخامس=3 4 ⋅ π ⋅ ر 3 = 3 4 ⋅ π ⋅ ( 2 د ) 3 = 6 π ⋅ د 3

حجم الكرة من خلال القطر

V = π 6 ⋅ D 3 V=\frac(\pi)(6)\cdot D^3الخامس=6 π ⋅ د 3

د د د- قطر هذه الكرة .

المشكلة 2

قطر الكرة هو 15 سم 15\نص(سم) 1 5 سم .أوجد حجمه.

حل

د=15 د=15 د =1 5

استبدل قيمة القطر على الفور في الصيغة:

V = π 6 ⋅ D 3 = π 6 ⋅ 1 5 3 ≈ 1766.25 سم 3 V=\frac(\pi)(6)\cdot D^3=\frac(\pi)(6)\cdot 15^3\ حوالي 1766.25\نص (سم)^3الخامس=6 π ⋅ د 3 = 6 π ⋅ 1 5 3 ≈ 1 7 6 6 . 2 5 سم3

إجابة

$1766.25\نص(سم)^3.$