مطالعه یک تابع برای تناوب. نحوه تعیین تناوب یک تابع اگر تابعی وجود داشته باشد دوره ای نامیده می شود

با مطالعه پدیده‌های طبیعی و حل مسائل فنی، با فرآیندهای دوره‌ای مواجه می‌شویم که می‌توان آن‌ها را با توابع از نوع خاص توصیف کرد.

تابع y = f(x) با دامنه D اگر حداقل یک عدد T > 0 وجود داشته باشد که دو شرط زیر برآورده شود، دوره ای نامیده می شود:

1) نقاط x + T، x - T متعلق به دامنه تعریف D برای هر x ∈ D است.

2) برای هر x از D رابطه زیر برقرار است:

f(x) = f(x + T) = f(x - T).

عدد T دوره تابع f(x) نامیده می شود. به عبارت دیگر تابع تناوبی تابعی است که مقادیر آن پس از یک بازه زمانی مشخص تکرار می شود. برای مثال، تابع y = sin x تناوبی است (شکل 1) با دوره 2π.

توجه داشته باشید که اگر عدد T دوره تابع f(x) باشد، عدد 2T نیز دوره آن خواهد بود و همچنین 3T و 4T و غیره، یعنی یک تابع تناوبی بی نهایت دوره های مختلف دارد. اگر در بین آنها کوچکترین (نه برابر با صفر) وجود داشته باشد، تمام دوره های دیگر تابع مضرب این عدد هستند. توجه داشته باشید که هر تابع تناوبی دارای چنین کوچکترین دوره مثبت نیست. برای مثال، تابع f(x)=1 چنین دوره ای ندارد. همچنین مهم است که به خاطر داشته باشید که، برای مثال، مجموع دو تابع تناوبی که دارای کوچکترین دوره مثبت T 0 هستند، لزوما دوره مثبت یکسانی ندارند. بنابراین مجموع توابع f(x) = sin x و g(x) = −sin x اصلاً کوچکترین دوره مثبت را ندارد و مجموع توابع f(x) = sin x + sin 2x و g(x) = −sin x که کوچکترین دوره های آن برابر با 2π است، دارای کوچکترین دوره مثبت برابر با π است.

اگر نسبت دوره های دو تابع f(x) و g(x) یک عدد گویا باشد، مجموع و حاصلضرب این توابع نیز تابع های تناوبی خواهند بود. اگر نسبت دوره های توابع تعریف شده و پیوسته f و g در همه جا یک عدد غیر منطقی باشد، آنگاه توابع f + g و fg از قبل توابع غیر تناوبی خواهند بود. بنابراین، برای مثال، توابع cos x sin √2 x و cosj √2 x + sin x غیر تناوبی هستند، اگرچه توابع sin x و cos x تناوبی با دوره 2π هستند، توابع sin √2 x و cos √2 x تناوبی با نقطه √2 π هستند.

توجه داشته باشید که اگر f(x) یک تابع تناوبی با دوره T باشد، تابع مختلط (البته اگر منطقی باشد) F(f(x)) نیز یک تابع تناوبی است و عدد T به عنوان تابع آن عمل خواهد کرد. دوره زمانی. برای مثال، توابع y = sin 2 x، y = √(cos x) (شکل 2.3) توابع تناوبی هستند (در اینجا: F 1 (z) = z 2 و F 2 (z) = √z). با این حال، نباید فکر کرد که اگر تابع f(x) کوچکترین دوره مثبت T 0 را داشته باشد، تابع F(f(x)) نیز کوچکترین دوره مثبت را خواهد داشت. برای مثال، تابع y = sin 2 x دارای کوچکترین دوره مثبت است، 2 برابر کمتر از تابع f(x) = sin x (شکل 2).

به راحتی می توان نشان داد که اگر تابع f تناوبی با دوره T باشد، در هر نقطه از خط واقعی تعریف شده و قابل تمایز باشد، آنگاه تابع f"(x) (مشتق) نیز یک تابع تناوبی با دوره T است، اما ضد مشتق تابع F(x) (به حساب انتگرال مراجعه کنید) برای f(x) تنها در صورتی تابع تناوبی خواهد بود که

F(T) - F(0) = T o ∫ f(x) dx = 0.

هدف: خلاصه کردن و نظام مند کردن دانش دانش آموزان در مورد موضوع "تناوب توابع"؛ ایجاد مهارت در استفاده از ویژگی های یک تابع تناوبی، پیدا کردن کوچکترین دوره مثبت یک تابع، ساختن نمودارهای توابع تناوبی. افزایش علاقه به مطالعه ریاضیات؛ مشاهده و دقت را پرورش دهید.

تجهیزات: کامپیوتر، پروژکتور چند رسانه ای، کارت های کار، اسلاید، ساعت، جداول زیور آلات، عناصر صنایع دستی عامیانه

"ریاضی چیزی است که مردم برای کنترل طبیعت و خود از آن استفاده می کنند."
A.N. کولموگروف

در طول کلاس ها

I. مرحله سازمانی.

بررسی آمادگی دانش آموزان برای درس. موضوع و اهداف درس را گزارش کنید.

II. بررسی تکالیف

ما تکالیف را با استفاده از نمونه ها بررسی می کنیم و سخت ترین نکات را مورد بحث قرار می دهیم.

III. تعمیم و سیستم سازی دانش.

1. کار فرونتال دهان.

مسائل تئوری

1) تعریفی از دوره تابع تشکیل دهید
2) کوچکترین دوره مثبت توابع y=sin(x)، y=cos(x) را نام ببرید.
3). کوچکترین دوره مثبت توابع y=tg(x)، y=ctg(x)
4) با استفاده از دایره، صحت روابط را ثابت کنید:

y=sin(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)

tg(x+π n)=tgx، n € Z
ctg(x+π n)=ctgx، n € Z

sin(x+2π n)=sinx، n € Z
cos(x+2π n)=cosx، n € Z

5) چگونه یک تابع تناوبی را رسم کنیم؟

تمرینات دهانی.

1) روابط زیر را ثابت کنید

آ) sin (740º) = گناه (20º)
ب) cos(54º) = cos(-1026º)
ج) sin(-1000º) = sin (80º)

2. ثابت کنید که زاویه 540 درجه یکی از دوره های تابع y= cos(2x) است.

3. ثابت کنید که زاویه 360 درجه یکی از دوره های تابع y=tg(x) است.

4. این عبارات را طوری تبدیل کنید که زوایای موجود در آنها از 90 درجه بیشتر نباشد.

آ) tg375º
ب) ctg530º
ج) sin1268
د) cos(-7363º)

5. از کجا به کلمات PERIOD، PERIODICITY برخورد کردید؟

پاسخ دانش آموز: دوره در موسیقی ساختاری است که در آن یک اندیشه موسیقایی کم و بیش کامل ارائه می شود. یک دوره زمین شناسی بخشی از یک عصر است و به دوره هایی با دوره ای از 35 تا 90 میلیون سال تقسیم می شود.

نیمه عمر یک ماده رادیواکتیو. کسر تناوبی نشریات ادواری، نشریات چاپی هستند که در مهلت‌های مشخصی منتشر می‌شوند. سیستم تناوبی مندلیف.

6. شکل ها بخش هایی از نمودار توابع تناوبی را نشان می دهند. دوره عملکرد را تعیین کنید. دوره عملکرد را تعیین کنید.

پاسخ: T=2; T=2; T=4; T=8.

7. در کجای زندگی خود با ساخت عناصر تکراری مواجه شده اید؟

پاسخ دانش آموز: عناصر زیور آلات، هنر عامیانه.

IV. حل مشکلات جمعی

(حل مسائل در اسلایدها.)

بیایید یکی از روش های مطالعه یک تابع برای تناوب را در نظر بگیریم.

این روش از مشکلات مربوط به اثبات کوچکترین دوره خاص جلوگیری می کند و همچنین نیاز به دست زدن به سؤالات مربوط به عملیات حسابی در مورد توابع تناوبی و تناوب را از بین می برد. تابع پیچیده. استدلال فقط بر اساس تعریف یک تابع تناوبی و بر این واقعیت است: اگر T دوره تابع باشد، nT(n?0) دوره آن است.

مسئله 1. کوچکترین دوره مثبت تابع f(x)=1+3(x+q>5) را پیدا کنید.

راه حل: دوره T این تابع را فرض کنید. سپس f(x+T)=f(x) برای همه x € D(f)، یعنی.

1+3(x+T+0.25)=1+3(x+0.25)
(x+T+0.25)=(x+0.25)

بیایید x=-0.25 قرار دهیم که به دست می آوریم

(T)=0<=>T=n، n € Z

ما دریافتیم که تمام دوره های تابع مورد نظر (در صورت وجود) جزو اعداد صحیح هستند. بیایید از بین این اعداد کوچکترین عدد مثبت را انتخاب کنیم. این 1 . بیایید بررسی کنیم که آیا واقعاً یک پریود خواهد بود یا خیر 1 .

f(x+1) =3(x+1+0.25)+1

از آنجایی که (T+1)=(T) برای هر T، پس f(x+1)=3((x+0.25)+1)+1=3(x+0.25)+1=f(x)، یعنی. 1 - دوره f. از آنجایی که 1 کوچکترین اعداد صحیح است اعداد مثبت، سپس T=1.

مسئله 2. نشان دهید که تابع f(x)=cos 2 (x) تناوبی است و دوره اصلی آن را پیدا کنید.

مسئله 3. دوره اصلی تابع را پیدا کنید

f(x)=sin(1.5x)+5cos(0.75x)

اجازه دهید دوره T تابع را در نظر بگیریم، سپس برای هر کدام ایکسنسبت معتبر است

sin1.5(x+T)+5cos0.75(x+T)=sin(1.5x)+5cos(0.75x)

اگر x=0، پس

sin(1.5T)+5cos(0.75T)=sin0+5cos0

sin(1.5T)+5cos(0.75T)=5

اگر x=-T، پس

sin0+5cos0=sin(-1.5T)+5cos0.75(-T)

5= – sin(1.5T)+5cos(0.75T)

sin(1.5T)+5cos(0.75T)=5

– sin(1.5T)+5cos(0.75T)=5

با جمع کردن آن، دریافت می کنیم:

10cos(0.75T)=10

2π n، n € Z

بگذارید کوچکترین عدد مثبت را از بین تمام اعداد "مشکوک" برای دوره انتخاب کنیم و بررسی کنیم که آیا نقطه ای برای f است یا خیر. این شماره

f(x+)=sin(1.5x+4π)+5cos(0.75x+2π)= sin(1.5x)+5cos(0.75x)=f(x)

این به این معنی است که این دوره اصلی تابع f است.

مسئله 4. بیایید بررسی کنیم که آیا تابع f(x)=sin(x) تناوبی است یا خیر

فرض کنید T دوره تابع f باشد. سپس برای هر x

گناه|x+Т|=گناه|x|

اگر x=0، آنگاه sin|Т|=sin0، sin|Т|=0 Т=π n، n € Z.

بیایید فرض کنیم. که برای برخی n عدد π n دوره است

تابع مورد نظر π n>0. سپس sin|π n+x|=sin|x|

این بدان معناست که n باید هم یک عدد زوج و هم فرد باشد، اما این غیرممکن است. بنابراین، این تابع دوره ای نیست.

وظیفه 5. دوره ای بودن تابع را بررسی کنید

f(x)=

پس فرض کنید T دوره f باشد

بنابراین، sinT=0، Т=π n، n € Z. فرض کنیم برای برخی n عدد π n در واقع دوره این تابع است. سپس عدد 2π n دوره خواهد بود

از آنجایی که اعداد مساوی هستند، مخرج آنها نیز برابر است

یعنی تابع f تناوبی نیست.

کار گروهی.

وظایف گروه 1

وظایف گروه 2

بررسی کنید که آیا تابع f تناوبی است و دوره بنیادی آن را (در صورت وجود) پیدا کنید.

f(x)=cos(2x)+2sin(2x)

وظایف گروه 3

گروه ها در پایان کار خود راه حل های خود را ارائه می کنند.

VI. جمع بندی درس.

انعکاس.

معلم کارت هایی با نقاشی به دانش آموزان می دهد و از آنها می خواهد که بخشی از نقاشی اول را مطابق با میزانی که فکر می کنند بر روش های مطالعه یک تابع برای تناوب تسلط دارند و در بخشی از نقاشی دوم - مطابق با آنها رنگ آمیزی کنند. کمک به کار در درس

VII. مشق شب

1). بررسی کنید که آیا تابع f تناوبی است و دوره اصلی آن را پیدا کنید (در صورت وجود)

ب). f(x)=x 2 -2x+4

ج). f(x)=2tg(3x+5)

2). تابع y=f(x) دارای یک دوره T=2 و f(x)=x 2 +2x برای x € [-2; 0]. مقدار عبارت -2f(-3)-4f(3.5) را بیابید.

ادبیات/

موردکوویچ A.G.جبر و آغاز تحلیل با مطالعه عمیق.
ریاضیات. آمادگی برای آزمون دولتی واحد. اد. Lysenko F.F.، Kulabukhova S.Yu.
شرمتیوا T.G. ، تاراسووا E.A.جبر و شروع تجزیه و تحلیل برای پایه های 10-11.

ویژگی های ساخت نمودار توابع تناوبی

نمودار یک تابع تناوبی معمولاً ابتدا در بازه [ ایکس 0 ; ایکس 0 + تی). اجرا کردن انتقال موازینقاط نمودار در کل منطقه تعریف.

نمونه هایی از توابع تناوبی و نمودارهای آنها.

نمونه هایی از توابع تناوبی توابع مثلثاتی هستند. بیایید به موارد اصلی نگاه کنیم.

تابع F(x) =sin(x)

الف) حوزه تعریف: D (sin x) = آر .

ب) مجموعه مقادیر: E (sin x) = [– 1 , 1] .
ج) زوج، فرد: تابع فرد است.

د) تناوب: تابع تناوبی با دوره اصلی.

ه) صفرهای تابع: sin x = 0 برای , n ز.

و) فواصل علامت ثابت تابع:

g) فواصل یکنواختی: تابع به عنوان افزایش می یابد.

تابع کاهش می یابد به عنوان،

ح) مادون تابع:
; .

نمودار تابع y= sin x در شکل نشان داده شده است.

تابع F(x) = cos(x)

الف) حوزه تعریف.

ب) مقادیر چندگانه: E (cos ایکس) = [ – 1 , 1 ] .

ج) زوج، فرد: تابع زوج است.

جی ) تناوب: تابع تناوبی با دوره اصلی است.

د) صفرهای تابع: در .

ه) فواصل پایداری علامت:

ز) فواصل یکنواختی:

تابع به عنوان افزایش می یابد؛

تابع به عنوان کاهش می یابد

ح) افراط:

نمودار یک تابع y= cos ایکسدر شکل نشان داده شده است.

تابع F(x) = tan(x)

الف) محدوده تعریف:

ب) مجموعه مقادیر: E()

ج) زوج، فرد. تابع فرد است.

د) فرکانس. تابع تناوبی با دوره اصلی

ه) صفرهای تابع: tan x = 0 برای x = n, n ز.

و) فواصل پایداری علامت:

ز) فواصل یکنواختی: تابع در هر بازه ای که به طور کامل به حوزه تعریف آن تعلق دارد، افزایش می یابد.

ح) افراط: خیر.

نمودار یک تابع y= tg ایکسدر شکل نشان داده شده است.

تابع F(x) = تخت (x)

الف) دامنه تعریف: D (ctg x) = آر\ (n(n ز)).

ب) مقادیر چندگانه: E (ctg x) = آر .
ج) زوج، فرد یک تابع فرد است.

د) تناوب: تابع تناوبی با دوره اصلی T = .

ه) صفرهای تابع: cot x = 0 در x = /2 + n, n ز.

و) فواصل پایداری علامت.

ز) فواصل یکنواختی: تابع در هر بازه ای که به طور کامل به حوزه تعریف آن تعلق دارد کاهش می یابد.

ح) افراط: خیر.

نمودار تابع y = ctg x در شکل نشان داده شده است.

نمودارهای جالب با استفاده از برهم نهی - تشکیل توابع پیچیده بر اساس توابع تناوبی مثلثاتی به دست می آیند.

نمودار یک تابع تناوبی

II. کاربرد توابع تناوبی نوسانات دوره ای

نوسانات.

نوسانات فرآیندهایی هستند که در درجات مختلف تکرارپذیری متفاوت هستند. نوسانات فرآیندهایی هستند که در فواصل زمانی منظم تکرار می شوند (البته، همه فرآیندهای تکرار شونده نوسان نیستند). بسته به ماهیت فیزیکی فرآیند تکرار، ارتعاشات بین مکانیکی، الکترومغناطیسی، الکترومکانیکی و غیره متمایز می شوند. در طول ارتعاشات مکانیکی، موقعیت ها و مختصات اجسام به طور متناوب تغییر می کند. برای برق - ولتاژ و جریان. بسته به ماهیت تأثیر بر سیستم نوسانی، نوسانات آزاد، نوسانات اجباری، نوسانات خود و نوسانات پارامتری متمایز می شوند.

تکراری فرآیندهایی به طور مداوم در هر موجود زنده رخ می دهد، به عنوان مثال: انقباضات قلب، عملکرد ریه. وقتی سرد می شویم می لرزیم. ما به لطف ارتعاشات پرده گوش و تارهای صوتی می شنویم و صحبت می کنیم. وقتی راه می رویم، پاهایمان حرکات نوسانی انجام می دهند. اتم هایی که ما از آنها ساخته شده ایم به ارتعاش در می آیند. دنیایی که ما در آن زندگی می کنیم مستعد نوسانات است.

نوسانات دوره ای

تناوبیبه نوساناتی گفته می شود که در آن تمام ویژگی های حرکت پس از مدت زمان معینی تکرار می شود.

برای نوسانات دوره ای، از ویژگی های زیر استفاده می شود:

دوره نوسان T، برابر با زمانی است که در طی آن یک نوسان کامل رخ می دهد.

فرکانس نوسانν، برابر با تعداد نوسانات انجام شده در یک ثانیه (ν = 1/T)؛

نوسانات پارامتریک زمانی انجام می شود که پارامترهای یک سیستم نوسانی به طور دوره ای تغییر می کند (شخصی که روی یک تاب می چرخد به طور دوره ای مرکز ثقل خود را بالا و پایین می آورد و در نتیجه پارامترهای سیستم را تغییر می دهد). تحت شرایط خاص، سیستم ناپایدار می شود - یک انحراف تصادفی از موقعیت تعادل منجر به ظهور و افزایش نوسانات می شود. این پدیده را تحریک پارامتریک نوسانات می نامند (یعنی نوسانات با تغییر پارامترهای سیستم برانگیخته می شوند) و خود نوسانات را پارامتریک می نامند. علیرغم ماهیت فیزیکی متفاوت، ارتعاشات با الگوهای یکسانی مشخص می شوند که با روش های کلی مورد مطالعه قرار می گیرند. یک ویژگی مهم سینماتیکی شکل ارتعاشات است. با توجه به نوع تابع زمان که تغییر در یک یا چند مقدار فیزیکی را در طول نوسانات توصیف می کند، تعیین می شود. مهمترین آنها نوساناتی هستند که در آنها کمیت نوسان در طول زمان بر اساس قانون سینوس یا کسینوس تغییر می کند. آنها هارمونیک نامیده می شوند. این نوع نوسان به دلایل زیر اهمیت ویژه ای دارد. اولاً، ارتعاشات در طبیعت و فناوری اغلب شخصیتی بسیار نزدیک به هارمونیک دارند. ثانیاً، فرآیندهای تناوبی با فرم متفاوت (با وابستگی زمانی متفاوت) را می توان به عنوان یک تحمیل یا برهم نهی از نوسانات هارمونیک نشان داد.

UDC 517.17+517.51

دوره از مجموع دو تابع دوره ای

A/O. اونین

این کار به طور کامل این سؤال را حل می کند که دوره اصلی یک تابع تناوبی که مجموع دو تابع تناوبی با دوره های اصلی شناخته شده است، چه می تواند باشد. مورد عدم وجود دوره اصلی برای مجموع تناوبی توابع تناوبی نیز مورد مطالعه قرار می گیرد.

ما توابع با ارزش واقعی یک متغیر واقعی را در نظر می گیریم. در نسخه دایره المعارف، در مقاله "توابع تناوبی"، می توانید بخوانید: "مجموع توابع تناوبی با دوره های مختلف فقط در صورتی تناوبی است که دوره های آنها متناسب باشد." این عبارت برای توابع پیوسته 1 صادق است، اما در حالت کلی صادق نیست. یک نمونه متقابل از یک فرم بسیار کلی در ساخته شد. در این مقاله متوجه می‌شویم که دوره اصلی یک تابع تناوبی که مجموع دو تابع تناوبی با دوره‌های اصلی شناخته شده است، می‌تواند باشد.

اطلاعات اولیه

به یاد بیاورید که اگر برای یک عدد معین T F O برای هر x از دامنه تعریف D(f) اعداد x + T و x - T متعلق به D(f) و برابری‌های f(x + باشند، یک تابع / تناوبی است. T) = f( x) =f(x ~ T). در این حالت عدد Г دوره تابع نامیده می شود.

ما کوچکترین دوره مثبت تابع (البته اگر وجود داشته باشد) را دوره اصلی می نامیم. واقعیت زیر مشخص است.

قضیه 1. اگر تابعی دارای دوره اصلی To باشد، هر دوره ای از تابع به شکل nTo است که n Ф 0 یک عدد صحیح است.

اعداد T\ و T2 قابل مقایسه هستند اگر یک عدد T0 وجود داشته باشد که در هر دو T\ و T2 به تعداد صحیح بار جا می شود: T\ = T2 = n2T0، n2e Z. در غیر این صورت، اعداد T\ و T2 هستند. غیر قابل مقایسه نامیده می شود. قیاس پذیری (غیر قابل مقایسه) دوره ها به این معنی است که نسبت آنها یک عدد گویا (غیر منطقی) است.

از قضیه 1 نتیجه می گیرد که برای تابعی که دوره اساسی دارد، هر دو دوره متناسب هستند.

یک مثال کلاسیک از تابعی که کوچکترین دوره را ندارد تابع دیریکله است که در نقاط گویا برابر با 1 و در نقاط غیر منطقی صفر است. هر عدد گویا غیر از صفر دوره تابع دیریکله است و هر عدد غیر منطقی دوره آن نیست. همانطور که می بینیم، در اینجا نیز هر دو دوره قابل مقایسه هستند.

اجازه دهید مثالی از یک تابع تناوبی غیر ثابت که دوره های غیرقابل قیاس دارد را مثال بزنیم.

اجازه دهید تابع /(x) برابر با 1 در نقاطی از شکل /u + la/2، m، n e Z و برابر با

صفر در میان دوره های این تابع 1 و l وجود دارد

دوره مجموع توابع با دوره های متناسب

قضیه 2. فرض کنید Fug توابع تناوبی با دوره های اصلی mT0 و "That، جایی که نوع

اعداد اول متقابل سپس دوره اصلی مجموع آنها (در صورت وجود) برابر است با -

که در آن k یک عدد طبیعی همزمان با عدد mn است.

اثبات فرض کنید h = / + g. بدیهی است که عدد mnT0 دوره h است. با ایمان به

از قضیه 1، دوره اصلی h به شکلی است که k مقداری طبیعی است. احتمالا

فرض کنید k با عدد m نسبتاً اول نباشد، یعنی k - dku m = dm\، جایی که d> 1 بیشترین مقدار است.

1 یک دلیل زیبا مبنی بر اینکه مجموع تعداد محدودی از توابع پیوسته با دوره های غیرقابل مقایسه زوجی غیر تناوبی است در مقاله نیز مشاهده می شود.

مقسوم علیه مشترک بزرگتر اعداد m و k. سپس دوره تابع k برابر است با

و تابع f=h-g

دارای یک دوره mxnTo است که مضربی از دوره اصلی mTQ آن نیست. تضاد با قضیه 1 به دست می آید یعنی k هم اول با m است به همین ترتیب اعداد k و n هم اول هستند بنابراین A: هم اول با m است. □

قضیه 3. فرض کنید m، n و k اعداد هم اول زوجی باشند و T0 یک عدد مثبت باشد. سپس توابع تناوبی وجود دارند که دوره های اصلی f، g و (f + g) هستند

ما به ترتیب tT$، nTQ و -

اثبات اثبات قضیه سازنده خواهد بود: ما به سادگی یک مثال مربوطه را می سازیم. اجازه دهید ابتدا نتیجه زیر را فرموله کنیم. بیانیه. بگذارید m اعداد نسبتا اول باشند. سپس توابع

fx - cos- + cos--- و f2= cos- m n m

cos- یک دوره اساسی 2ktp دارند. پ

اثبات بیانیه. بدیهی است که عدد 2ptn دوره هر دو تابع است. شما به راحتی می توانید بررسی کنید که این دوره زمانی اصلی برای تابع است.بیایید حداکثر امتیاز آن را پیدا کنیم.

x = 2lM، te Z.

داریم = n!. از سادگی متقابل نوع نتیجه می شود که 5 مضرب /r است، یعنی. i = من e b. این بدان معنی است که /x(x) = 2 o x = 2mstp1,1 e 2، و فاصله بین نقاط مجاور حداکثر تابع /\ برابر با 2ktp است و دوره مثبت /1 نمی تواند باشد. تعداد کمتر 2 spp

برای تابع، استدلال از نوع دیگری را اعمال می کنیم (که برای تابع but نیز مناسب است

کمتر ابتدایی). همانطور که قضیه 1 نشان می دهد، دوره اصلی Г تابع/2 شکل -،

که در آن k مقداری از اعداد طبیعی است که تایپ می شود. عدد G نیز دوره تابع خواهد بود

(2 ^ 2 xn g t / 2 + / 2 = - -1 cos

تمام دوره های آن به شکل 2pp1 هستند. بنابراین،

2nnl، یعنی t = kl. از آنجایی که t و k متقابل هستند

sty، نتیجه می شود که k = 1.

حال برای اثبات قضیه 3 می توانیم مثال مورد نیاز را بسازیم. مثال. فرض کنید m، n و k دو به دو اعداد نسبتاً اول باشند و حداقل یکی از اعداد n یا k با 1 متفاوت باشد. سپس pf k و به موجب عبارت اثبات شده تابع

/ (x) = cos--- + cos- t به

و g(x) = cos-cos - p به

دوره های اصلی به ترتیب 2 ltk و 2 tk و مجموع آنها هستند

k(x) = f(x) + = cos- + cos-

دوره اصلی 2 ttp است.

اگر n = k = 1، یک جفت توابع انجام خواهند داد

f(x)-2 cos- + COS X و g(x) - COS X. m

دوره های اصلی آنها و همچنین دوره تابع k(x) - 2 به ترتیب برابر با 2lm، 2/gi 2type است.

چقدر راحت میشه بررسی کرد

ریاضیات

بیایید T = 2lx را نشان دهیم. برای اعداد همزمان اول زوج دلخواه mn، n و k، توابع f و £ به گونه ای نشان داده شده اند که دوره های اصلی توابع f، g و f + g برابر با mT، nT و

شرایط قضیه با توابع / - n برآورده می شود.

دوره مجموع توابع با دوره های غیرقابل قیاس

جمله بعدی تقریباً واضح است.

قضیه 4. فرض کنید Fug توابع تناوبی با دوره های اصلی غیرقابل مقایسه T) و T2 باشد، و مجموع این توابع h = f + g تناوبی است و دارای یک دوره اصلی T است. سپس عدد T با T] و T2 غیرقابل قیاس است.

اثبات از یک طرف، اگر اعداد TnT) قابل مقایسه باشند، تابع g = h-f دارای دوره ای متناسب با Г] است. از طرف دیگر، به موجب قضیه 1، هر دوره ای از تابع g مضرب عدد T2 است. ما یک تناقض با غیرقابل مقایسه بودن اعداد T\ و T2 بدست می آوریم. قیاس ناپذیری اعداد T و T2 به روشی مشابه، d ثابت می شود

یک واقعیت قابل توجه و حتی تا حدودی شگفت‌انگیز این است که عکس قضیه 4 نیز صادق است. این تصور غلط گسترده وجود دارد که مجموع دو تابع تناوبی با دوره‌های غیرقابل قیاس نمی‌تواند تابع تناوبی باشد. در واقع اینطور نیست. علاوه بر این، دوره جمع می تواند هر عدد مثبتی باشد که بیانیه قضیه 4 را برآورده کند.

قضیه 5. فرض کنید T\، T2 و T~ اعداد مثبت غیرقابل مقایسه زوجی باشند. سپس توابع تناوبی fug وجود دارند که مجموع h =/+ g آنها تناوبی است و دوره های اصلی تابع f guh به ترتیب برابر با Th T2 و T است.

اثبات اثبات دوباره سازنده خواهد بود. ساختارهای ما به طور قابل توجهی به این بستگی دارد که آیا عدد T در قالب یک ترکیب گویا T = aT\ + pT2 (a و P اعداد گویا هستند) از دوره‌های T\ و T2 قابل نمایش است یا نه.

I. T یک ترکیب منطقی از Tg و J2- نیست.

فرض کنید A = (mT\ + nT2 + kT\m,n، k ∈ Z) مجموعه ای از ترکیبات خطی صحیح اعداد T1 T2 و T باشد. بلافاصله توجه می کنیم که اگر یک عدد به شکل mT\ + nT2 قابل نمایش باشد. + kT، پس چنین نمایشی منحصر به فرد است. در واقع، اگر mxT\ + n\Tg + k\T- m2Tx + n2T2 + k2T9

(k) - k2)T - (ot2 - m\)T] + (n2 - π)Тъ و برای k\ * k2 بدست می آوریم که T به طور منطقی از طریق T] و T2 بیان می شود. این به معنای k\ = k2 است. حال از قیاس ناپذیری اعداد T\ و T2 بلافاصله برابری های m\ = m2 و u = n2 به دست می آید.

یک واقعیت مهم این است که مجموعه های A و مکمل آن A تحت جمع اعداد A بسته می شوند: اگر x e A و y e A، آنگاه x + y e A. اگر x e A و y e A، آنگاه x + y e A.

فرض کنید در تمام نقاط مجموعه A توابع / و g برابر با صفر هستند و در مجموعه A این توابع را به صورت زیر تعریف می کنیم:

f(mTi + nT2 + kT) = nT2 + kT g(mT1 + nT2 + kT) - gnT\ - kT.

از آنجایی که، همانطور که نشان داده شد، از عدد x e A ضرایب m، اوج ترکیب خطی دوره های T1 T2 و T به طور منحصر به فرد بازیابی می شوند، تخصیص نشان داده شده از توابع / و g صحیح است.

تابع h =/ + g در مجموعه A برابر با صفر و در نقاط مجموعه A برابر است با

h(mT\ + nT2 + kT) - mT\ + nT2.

با جایگزینی مستقیم به راحتی می توان تأیید کرد که عدد T\ دوره تابع f، عدد T2 دوره g و T~ دوره h است. اجازه دهید نشان دهیم که این دوره ها دوره های اصلی هستند.

ابتدا، توجه می کنیم که هر دوره ای از تابع / متعلق به مجموعه A است.

اگر 0 fx در A,y e A باشد، ox + y e A و f(x + y) = 0 *f(x). این بدان معنی است که y e A دوره تابع / نیست

حال اجازه دهید x2 اعداد نامساوی و f(x 1) ~f(x2) باشد. از تعریف تابع /، از اینجا دریافت می کنیم که x\ - x2 = 1ТБ که در آن I یک عدد صحیح غیر صفر است. بنابراین، هر دوره ای از تابع مضرب T\ است. بنابراین، Tx واقعاً دوره اصلی است/

اظهارات مربوط به T2 و T به همین ترتیب بررسی می شوند.

اظهار نظر. در کتاب در ص. 172-173 ساختار کلی دیگری برای مورد I داده شده است.

II. T ترکیبی منطقی از T\ و T2 است.

اجازه دهید ترکیبی منطقی از دوره های T\ و T2 را به شکل Г = - (кхТх + к2Т2) ارائه کنیم، که در آن кх و

k2 ™ اعداد صحیح coprime، k(Γ\ + k2T2 > 0، a/? و d اعداد طبیعی هستند. اجازه دهید leZ> را معرفی کنیم.

ست رنی B----

فرض کنید در تمام نقاط مجموعه B، توابع f و g برابر با صفر هستند و در مجموعه B این توابع را به صورت زیر تعریف می کنیم:

^ mT\ + nT2 L I

^ mTx + nT2 L

در اینجا، طبق معمول، [x] و (x) به ترتیب قسمت های صحیح و کسری اعداد را نشان می دهند. تابع k =/+ d در مجموعه B برابر با صفر و در نقاط مجموعه B برابر است با

fmTx +pT: l H

با جایگزینی مستقیم به راحتی می توان تأیید کرد که عدد Tx دوره تابع / است، عدد T2 دوره g و T دوره h است. اجازه دهید نشان دهیم که این دوره ها دوره های اصلی هستند.

هر دوره از تابع / متعلق به مجموعه B است. در واقع، اگر 0 * x e B، y e B، آنگاه f(x) Ф 0، j(x + y) = 0 */(*)■ از این رو، y e B _ دوره عملکرد نیست/

بنابراین، هر دوره از تابع / شکل Тy = دارد

جایی که 5i و 52 اعداد صحیح هستند. اجازه دهید

x = -7] 4- -Г2، x e 5. اگر i = 0 باشد، f(i) یک عدد گویا است. حالا از عقلانیت عدد /(x + 7)) برابری -I - I - 0 به دست می آید.یعنی برابری 52 = Xp داریم که X مقداری عدد صحیح است.

عدد. رابطه /(x + 7)) = /(x) شکل می گیرد

^P + I + I w +

این برابری باید برای همه انواع اعداد صحیح برقرار باشد. در t-n~ 0 سمت راست (1) برابر است با

به صفر از آنجایی که اجزای کسری غیر منفی هستند، از این نتیجه می گیریم که -<0, а при

m = n = d - ] مجموع قطعات کسری سمت راست برابری (1) کمتر از مجموع قطعات کسری h-X نیست.

تی در سمت چپ این به معنی -> 0 است. بنابراین، X = 0 و 52 = 0. بنابراین، دوره تابع / شکل دارد

و برابری (1) می شود

n\ | و 52 اعداد صحیح هستند. از روابط

th(0) = 0 = th(GA) =

متوجه می شویم که اعداد 51 و ^ باید مضرب p باشند، یعنی. برای برخی از اعداد صحیح Ax و A2 51 = A\p، E2 = A2p داریم. سپس رابطه (3) را می توان به صورت بازنویسی کرد

از برابری A2kx = k2A\ و اول بودن نسبی اعداد k\ و k2، نتیجه می شود که A2 بر k2 بخش پذیر است. از اینجا

برای برخی از اعداد صحیح t برابری های A2 = k2t و Ax ~ kxt معتبر هستند، یعنی. Th ~-(kxTx + k2T2).

نشان داده شده است که هر دوره از تابع h مضربی از دوره T = - (k(Gx + k2T2)9 است که، بنابراین

زوم، اصلی ترین است. □

بدون دوره اصلی

قضیه 6. فرض کنید Tx و T2~ اعداد مثبت دلخواه باشند. سپس توابع تناوبی fug وجود دارند که دوره های اصلی آنها به ترتیب برابر با T\ و T2 است و مجموع h=f+g آنها تناوبی است اما دوره اصلی ندارد.

اثبات بیایید دو مورد احتمالی را در نظر بگیریم.

I. دوره های Tx و T2 غیرقابل مقایسه هستند.

اجازه دهید A = + nT2 + kT\ . همانطور که در بالا، نشان دادن آن آسان است که اگر تعداد

را می توان به شکل mTx + nT2 + kT نشان داد، پس چنین نمایشی منحصر به فرد است.

فرض کنید در تمام نقاط مجموعه A توابع / و g برابر با صفر هستند و در مجموعه A این توابع را به صورت زیر تعریف می کنیم:

/از جانب؛ + nT2 + kT) = nT2 + kT، g(mTx + nT2 + kT) = mTx - kT.

به راحتی می توان تأیید کرد که عدد Tx دوره اصلی تابع / است، عدد T2 دوره اصلی g است و برای هر k منطقی، عدد kT دوره تابع h - f + g است که بنابراین کوچکترین دوره را ندارد.

II. دوره های Tx و T2 قابل مقایسه هستند.

فرض کنید Tx = mT0، T2 = nT0، که در آن T0 > O، m و n اعداد طبیعی هستند. اجازه دهید مجموعه I = + را در نظر بگیریم.

فرض کنید در تمام نقاط مجموعه B توابع fug برابر با صفر هستند و در مجموعه B این توابع را به صورت زیر تعریف می کنیم:

/((/ + ShT0) = Shch + Jit، g((/ + 4lk)T0) - Shch - 42k.

تابع h ~ / + g در مجموعه B برابر با صفر و در نقاط مجموعه B برابر است با

به راحتی می توان بررسی کرد که عدد 7j = mTQ دوره اصلی تابع / است، عدد T2 ~ nT0 دوره اصلی g است، در حالی که در بین دوره های تابع h~ f + g همه اعداد وجود دارد. l/2kT0 را تشکیل دهید که k یک عدد گویا دلخواه است. □

ساختارهای اثبات کننده قضیه 6 بر اساس غیرقابل مقایسه بودن دوره های تابع h~ / + g با دوره های توابع / و g است. در خاتمه، اجازه دهید مثالی از توابع fug ارائه دهیم به طوری که تمام دوره های توابع /، g و / + g با یکدیگر متناسب هستند، اما / و g دارای دوره های پایه هستند، در حالی که f + g ندارند.

فرض کنید m یک عدد طبیعی ثابت باشد. بگذاریم

1 اگر heM; 1

ifhe mZ;

EcnuxeZXmZ; 2

O در موارد دیگر; 1 اگر xeMU

~, ifhe2 2

[اوه در غیر این صورت.

به راحتی می توان دید که دوره های اصلی توابع fug به ترتیب برابر با m و 1 هستند، در حالی که مجموع / + g دارای دوره ای از هر عددی از شکل m/n است، که در آن n یک عدد طبیعی دلخواه همزمان اول است. متر

ادبیات

1. فرهنگ دایره المعارف ریاضی / چ. ویرایش Yu.V. پروخوروف - M.: Sov. دایره المعارف، 1988.

2. Mikaelyan L.V., Sedrakyan N.M. در مورد تناوب مجموع توابع تناوبی//آموزش ریاضی. - 2000. - شماره 2 (13). - ص 29-33.

3. Gerenshtein A.B., Evnin A.Yu. در مجموع توابع تناوبی // ریاضیات در مدرسه. -2002. - شماره 1. - ص 68-72.

4. ایولف بی.ام. و دیگران مجموعه مسائل جبر و اصول تجزیه و تحلیل برای پایه های نهم و دهم. - م.: آموزش و پرورش، 1357.