Apakah himpunan ini mempunyai unsur yang sama? Elemen teori himpunan. Kumpulan angka dasar

1.1. Konsep dasar dan definisi teori himpunan

Setiap konsep matematika diskrit dapat didefinisikan dengan menggunakan konsep himpunan, yang merupakan salah satu konsep dasar dan pertama kali dirumuskan oleh matematikawan Jerman G. Cantor.

Di bawah banyak dipahami sebagai kumpulan objek yang terdefinisi dan dapat dibedakan, yang dipahami sebagai satu kesatuan.

Kita dapat berbicara tentang sekumpulan kursi dalam sebuah ruangan, orang-orang yang tinggal di kota Voronezh, siswa dalam kelompok, kumpulan bilangan asli, huruf dalam alfabet, status sistem, dll. Pada saat yang sama, kita dapat membicarakan tentang suatu himpunan hanya jika unsur-unsur himpunan tersebut dapat dibedakan satu sama lain. Misalnya, Anda tidak dapat membicarakan banyak tetes dalam segelas air, karena tidak mungkin untuk menunjukkan dengan jelas dan jelas setiap tetesnya.

Benda-benda individual yang membentuk suatu himpunan disebut elemen himpunan. Jadi, angka 3 merupakan salah satu unsur himpunan bilangan asli, dan huruf b merupakan unsur himpunan huruf alfabet Rusia.

Sebutan umum suatu himpunan adalah sepasang kurung kurawal ( ), yang didalamnya terdapat elemen-elemen himpunan tersebut. Huruf kapital yang berbeda digunakan untuk menunjukkan himpunan tertentu A, S, X...atau huruf kapital dengan subskrip A 1 , A 2. Untuk menunjuk unsur-unsur suatu himpunan secara umum digunakan berbagai huruf kecil A, S, X...atau huruf kecil dengan subskrip A 1 , A 2 ...

Untuk menunjukkan bahwa suatu elemen A S, simbol keanggotaan himpunan О digunakan. Catatan AÎ S berarti elemen tersebut A milik himpunan S, dan entri XÏ S berarti elemen tersebut X bukan milik himpunan S. Dengan merekam X 1 , X 2 ,... ...,xnÎ S digunakan sebagai singkatan untuk menulis X 1Î S, X 2Î S,..., xnÎ S.

Sebagai aturan, semua elemen suatu himpunan diasumsikan berbeda. Himpunan yang elemennya berulang disebut multiset. Multiset memainkan peran penting dalam kombinatorik. Berikut ini kita akan membahas himpunan dengan elemen berbeda.

Kami akan menggunakan notasi berikut untuk himpunan numerik:

– himpunan bilangan asli, mis.

– satu set bilangan bulat, mis. = (0, ±1, ±2, …);

– himpunan bilangan rasional, =( / \ , О ; ¹ 0);

– himpunan bilangan real;

– satu set bilangan kompleks.

Himpunan bisa berhingga dan tak terhingga. Suatu himpunan disebut berhingga jika jumlah anggotanya berhingga, yaitu jika terdapat bilangan asli N, yang merupakan jumlah elemen himpunan. Himpunan tersebut disebut tak ada habisnya, jika mengandung elemen dalam jumlah tak terhingga. Banyaknya anggota suatu himpunan berhingga disebut kekuatan dan dilambangkan dengan = N, jika disetel X mengandung N elemen.

Konsep penting dalam teori himpunan adalah konsep himpunan kosong. Satu set kosong adalah himpunan yang tidak mengandung satu elemen pun. Himpunan kosong dilambangkan dengan simbol. Contoh:

{XÎ R | X 2 -X+1=0}=

Konsep himpunan kosong memainkan peran yang sangat penting ketika mendefinisikan himpunan menggunakan deskripsi. Jadi, tanpa konsep himpunan kosong, kita tidak dapat membicarakan himpunan elemen-elemen berbeda dalam suatu grup atau himpunan akar real. persamaan kuadrat tanpa terlebih dahulu memastikan apakah ada siswa yang unggul dalam kelompok ini atau apakah persamaan ini mempunyai akar real. Pengenalan himpunan kosong memungkinkan Anda untuk bekerja dengan tenang dengan banyak siswa berprestasi dalam suatu kelompok, tanpa mengkhawatirkan apakah ada siswa berprestasi dalam kelompok tersebut atau tidak. Kami akan mengklasifikasikan himpunan kosong secara kondisional sebagai himpunan berhingga.

Himpunan yang memuat semua elemen yang ditinjau disebut universal atau semesta dan ditunjuk kamu.

Untuk dapat mengoperasikan himpunan tertentu, Anda harus dapat mendefinisikannya. Ada dua cara untuk mendefinisikan himpunan: enumerasi dan deskripsi. Menentukan suatu himpunan dengan enumerasi sama dengan menghitung semua elemen yang membentuk himpunan tersebut. Dengan demikian, himpunan siswa berprestasi dalam suatu kelompok dapat ditentukan dengan mendaftar siswa-siswa yang merupakan siswa berprestasi, misalnya (Ivanov, Petrov, Sidorov). Untuk mempersingkat entri X={X 1 , X 2 , ...,xn) terkadang banyak indeks yang diperkenalkan SAYA={1, 2,..., N) dan tulis X={x saya}, SayaÎ SAYA. Metode ini berguna ketika mempertimbangkan himpunan berhingga yang mengandung sejumlah kecil elemen, namun terkadang metode ini juga dapat digunakan untuk menentukan himpunan tak hingga, misalnya (2, 4, 6, 8...). Tentu saja notasi seperti itu dapat diterapkan jika sudah cukup jelas apa yang dimaksud dengan elipsis.

Cara deskriptif untuk menentukan suatu himpunan adalah dengan menunjukkan sifat karakteristik yang dimiliki semua elemen himpunan. Ini menggunakan notasi

X={X | X memiliki properti tersebut Q(X)}.

Ekspresi dalam tanda kurung berbunyi: himpunan semua elemen X, yang memiliki properti Q(X). Jadi jika M- sekumpulan siswa dalam suatu kelompok, kemudian satu set A siswa berprestasi dari kelompok ini akan ditulis dalam formulir A={XÎ M | X- siswa yang sangat baik dalam kelompok),

yang berbunyi sebagai berikut: himpunan A terdiri dari elemen X set M, memiliki properti itu X adalah siswa yang sangat baik di grup.

Dalam kasus di mana tidak ada keraguan dari himpunan mana elemen-elemen tersebut diambil X, indikasi afiliasi X banyak M kamu tidak perlu melakukannya. Pada saat yang sama, banyak A akan ditulis dalam formulir

SEBUAH=( X | X- siswa yang sangat baik dalam kelompok).

Berikut beberapa contoh pendefinisian himpunan menggunakan metode deskripsi: ( X | X– genap) – himpunan bilangan genap;

{X | X 2 –1=0) – mengatur (+1, –1).

Membiarkan Z – satu set bilangan bulat. Kemudian ( XÎ Z | 0<X£7) adalah himpunan (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7).

Himpunan bilangan ganjil dapat didefinisikan sebagai ( X| X=2k+1 untuk beberapa kÎ Z}.

Metode mendefinisikan suatu himpunan menggunakan properti penuh dengan beberapa bahaya, karena properti yang ditentukan “salah” dapat menyebabkan kontradiksi. Mari kita sajikan salah satu paradoks yang paling umum - paradoks Russell. Misalkan himpunan semua himpunan yang bukan merupakan elemennya sendiri: . Sekarang mari kita tanyakan apakah himpunan tersebut KE elemen Anda? Jika KEÎ KE, maka properti yang mendefinisikan himpunan harus dipenuhi KE, yaitu. KEÏ KE, yang mengarah pada kontradiksi. Jika KEÏ KE, kemudian, sejak properti mendefinisikan KE, kami sampai pada kesimpulan bahwa KEÎ KE, dan ini bertentangan dengan asumsi tersebut. Jadi, tidak semua properti menghasilkan definisi himpunan yang bermakna.

Selain itu, himpunan dapat ditentukan menggunakan fungsi karakteristik, yang nilainya menunjukkan apakah (ya atau tidak) X elemen himpunan X :

Perhatikan bahwa untuk elemen apa pun = 0; = 1.

Contoh. Biarkan di alam semesta kamu={a,b,c,d,e) suatu himpunan didefinisikan X={a,c,d), Kemudian

Untuk set sewenang-wenang X Dan Y dua jenis hubungan dapat didefinisikan - hubungan kesetaraan dan hubungan inklusi.

Dua himpunan dianggap sama jika mengandung unsur-unsur yang sama. Penunjukan yang diterima X=Y, Jika X Dan Y sama, dan X Y- jika tidak.

Sangat mudah untuk melihatnya untuk set apa pun X, Y, Z hubungannya valid

Dari definisi persamaan himpunan dapat disimpulkan bahwa urutan unsur-unsur dalam suatu himpunan tidak penting. Jadi, misalnya himpunan (3, 4, 5, 6) dan (4, 5, 6, 3) mewakili himpunan yang sama.

Jika setiap elemen himpunan X merupakan salah satu elemen dari himpunan Y, lalu mereka mengatakan itu X termasuk dalam Y dan menunjukkan:

Dalam hal ini mereka mengatakan bahwa himpunan X adalah bagian set Y. Secara khusus X Dan Y mungkin bertepatan, oleh karena itu disebut juga relasi inklusi yang tidak ketat. Mari kita perhatikan beberapa properti himpunan bagian berdasarkan definisinya:

Jika dan , maka mereka mengatakan itu X Ada bagian yang tepat dari Y dan menyatakan , relasi antar himpunan dalam hal ini disebut relasi inklusi yang tidak ketat. Untuk hubungan inklusi yang ketat, hal ini benar

Tidak termasuk subset X ke dalam orang banyak Y dilambangkan dengan X. Himpunan seperti ini disebut keluarga banyak orang atau Boolean set X dan ditunjuk P(X) Karena termasuk dalam himpunan apa pun, maka .

Contoh. Membiarkan . Kemudian

Halaman 1

kelas 9-10

Modul 1: Dasar-dasar Teori Himpunan

. . .
Latihan 1.

A) Jelaskan himpunan elemen terbuat dari apa N, Z, Q, R.

B) Sebutkan beberapa bilangan yang merupakan anggota setiap himpunan.

C) Sebutkan bilangan-bilangan yang merupakan anggota salah satu himpunan dan bukan anggota dari tiga himpunan lainnya.

D) Gambarlah diagram yang menunjukkan hubungan antara himpunan-himpunan ini.

Menjawab.

C) Unsur-unsur tersebut hanya ada dalam himpunan R. Misalnya,  R , Tetapi  N,  Z,  Q. Elemen dari salah satu set N, Z, Q tentu termasuk dalam banyak hal R.

G

N – himpunan bilangan asli;
Z – kumpulan bilangan bulat;
Q – kumpulan bilangan rasional;

R – himpunan bilangan real.
Kepada guru. Saat mempertimbangkan materi, kami tidak melampaui himpunan bilangan real.
Tugas 2. Atur setnya:

A) guru matematika di sekolah Anda;

B) bilangan ganjil;

B) akar persamaan X 2 + 5 = 0;

D) solusi terhadap kesenjangan X > 4;

Menjawab: B) ( X X = 2N - 1; N  Z };

D) (4; +).

Kepada guru. Jika perlu, Anda dapat mengulangi pencatatan himpunan numerik solusi untuk berbagai jenis pertidaksamaan (aplikasi “Tabel”).
Himpunan yang sama. Himpunan yang terdiri dari unsur-unsur yang sama dianggap sama.

Misalnya, A = ( 1, 2, 3 ); B =( X (X- 1)(X- 2)(X- 3) = 0 ). SEBUAH = B.

Relasi persamaan himpunan, seperti halnya relasi persamaan bilangan, mempunyai sifat refleksivitas, simetri dan transitivitas.

A = A (refleksivitas);
Jika A = B, maka B = A (simetri);
Jika A = B dan B = C, maka A = C (transitivitas).

Kekuatan set. Untuk himpunan yang jumlah anggotanya berhingga, kardinalitasnya adalah jumlah anggotanya.

A = {A;B; C; D). Kekuatannya:  A= 4.

Jika dua himpunan mempunyai kardinalitas yang sama, maka keduanya dikatakan mempunyai kardinalitas yang sama. Sekelompok A sama kuatnya di banyak musim.

Menariknya, pada awalnya seseorang belajar membandingkan himpunan berdasarkan jumlah elemen, dan kemudian - menghitung objek. Anda dapat membandingkan dua himpunan berdasarkan jumlah elemennya seperti ini: cocokkan setiap elemen dari satu himpunan dengan elemen himpunan kedua. Jika semua elemen “tersusun” berpasangan, maka himpunan tersebut memiliki kekuatan yang sama. Jika, selama perbandingan, beberapa elemen dari salah satu himpunan dibiarkan tanpa pasangan, maka elemen tersebut mengandung lebih banyak elemen.

Semua himpunan berhingga dapat diurutkan secara mental, mengklasifikasikan semua himpunan dengan jumlah elemen yang sama ke dalam kelas yang sama. Dan tetapkan setiap kelas nomor tertentu sebagai ciri dari himpunan ini. Jadi bilangan asli 1 adalah karakteristik umum dari semua himpunan yang mempunyai satu anggota, bilangan asli 5 merupakan ciri umum semua himpunan yang mempunyai lima anggota.

Korespondensi satu-satu juga dapat dilakukan untuk himpunan tak terhingga. Sebagai contoh, mari kita tulis semua bilangan asli dalam satu baris, dan semua bilangan genap di baris lainnya, elemen di bawah elemen.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 . . .

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 . . .
Kita melihat bahwa semua angka pada set pertama memiliki pasangan yang ditentukan secara unik pada set kedua dan sebaliknya. Artinya, himpunan bilangan asli mempunyai jumlah elemen yang sama dengan himpunan bilangan asli genap. Artinya, mereka sama-sama berkuasa.

Himpunan yang sama dengan himpunan bilangan asli N disebut dapat dihitung. Menariknya, misalnya, himpunan bilangan rasional positif dapat dihitung.

Kardinalitas himpunan semua bilangan real disebut kardinalitas kontinum. Semua himpunan yang kardinalitasnya sama dengan interval (0,1) juga mempunyai kardinalitas kontinum. Jadi, himpunan semua bilangan real sama dengan interval (0,1).
Hubungan ekuipotensi juga mempunyai sifat refleksivitas, simetri dan transitivitas.

Artinya, untuk sembarang himpunan A dan B, hal berikut ini benar:

A = A
Jika A = B, maka B = A;
Jika A = B dan B = C, maka A = C .

Tugas 3. Temukan kekuatan set:

A) T - himpunan bilangan asli tiga digit;

B) K – himpunan permukaan kubus;

C) P adalah himpunan bilangan asli yang merupakan kelipatan 7.

D) Berikan contoh himpunan yang sama untuk setiap item A-B.

Menjawab: SEBUAH) T= 900; B) К= 6; C) himpunan K dapat dihitung.
Kepada guru. Bicarakan dengan siswa tentang perbedaan antara konsep persamaan himpunan dan kardinalitas persamaan himpunan.

Tugas 4. A – kumpulan huruf dari kata “RING”, B – kumpulan huruf dari kata “CASE”, C -

banyak huruf dari kata "STREET". Tunjukkan himpunan yang sama dan setara.

Menjawab: A = (K, O, L, b, C), B = (C, O, K, L, b), C = (U, L, I, C, A). Kardinalitas ketiga himpunan tersebut adalah 5, yang berarti kardinalitasnya sama.

Materi tersebut dikembangkan oleh ahli metodologi dari Pusat Pelatihan Produktif Novosibirsk

Halaman 1

SAYA. Himpunan adalah kumpulan beberapa benda atau bilangan, yang disusun menurut beberapa sifat atau hukum umum (banyak huruf dalam satu halaman, banyak pecahan biasa dengan penyebut 5 , banyak bintang di langit, dll.).

Untuk menulis himpunan, gunakan kurung kurawal: «{ "- set terbuka; "}" — banyak yang tutup. Dan himpunan itu sendiri disebut dengan huruf latin kapital: A, B, C dan seterusnya.

Contoh.

1 . Tulis set A, terdiri dari semua vokal dalam kata tersebut "matematika".

Larutan. SEBUAH=(sebuah, e, saya). Anda lihat: terlepas dari kenyataan bahwa dalam kata tersebut "matematika" ada tiga huruf "A"- Pengulangan berkali-kali tidak diperbolehkan dalam rekaman, dan surat "A" hanya direkam satu kali. Sekelompok A terdiri dari tiga elemen.

2. Tuliskan himpunan semua pecahan biasa beserta penyebutnya 5 .

Larutan. Mari kita ingat: pecahan biasa disebut pecahan biasa yang pembilangnya adalah kurang dari penyebutnya. Mari kita nyatakan dengan DI DALAM kumpulan yang diinginkan. Kemudian:

Sekelompok DI DALAM terdiri dari empat elemen.

II. Himpunan terdiri dari elemen-elemen dan dapat berhingga atau tak terhingga. Himpunan yang tidak memuat satu anggota pun disebut himpunan kosong dan dilambangkan dengan Ø.

AKU AKU AKU. Sekelompok DI DALAM disebut subset dari suatu himpunan A, jika semua elemen himpunan DI DALAM adalah elemen dari himpunan A.

3. Manakah dari dua set yang diberikan DI DALAM Dan DENGAN KE,

Jika DI DALAM={-1; 3; 4}, C={0; 3; 4; 5), K={0; 2; 3; 4; 5; 6} ?

Larutan. Semua elemen himpunan DENGAN juga merupakan elemen himpunan KE, oleh karena itu, banyak DENGAN adalah bagian dari himpunan KE. Tuliskan:

IV. Persimpangan himpunan A Dan DI DALAM adalah himpunan yang elemen-elemennya termasuk dalam himpunan tersebut A dan banyak lagi DI DALAM.

4. Tunjukkan perpotongan dua himpunan M Dan F menggunakan lingkaran Euler.

Larutan.

Dari berbagai macam jenis set Yang menarik adalah apa yang disebut kumpulan angka, yaitu himpunan yang elemen-elemennya berupa bilangan. Jelas bahwa untuk dapat bekerja dengan nyaman dengan mereka, Anda harus bisa menuliskannya. Kami akan memulai artikel ini dengan notasi dan prinsip penulisan himpunan numerik. Selanjutnya, mari kita lihat bagaimana himpunan numerik digambarkan pada garis koordinat.

Navigasi halaman.

Menulis himpunan numerik

Mari kita mulai dengan notasi yang diterima. Seperti yang Anda ketahui, huruf kapital alfabet Latin digunakan untuk menunjukkan himpunan. Himpunan numerik, sebagai kasus himpunan khusus, juga ditetapkan. Misalnya kita berbicara tentang himpunan bilangan A, H, W, dan seterusnya. Himpunan bilangan natural, bilangan bulat, rasional, real, kompleks, dll. sangat penting, notasinya sendiri telah diadopsi untuknya:

N – himpunan semua bilangan asli;
Z – himpunan bilangan bulat;
Q – himpunan bilangan rasional;
J – himpunan bilangan irasional;
R – himpunan bilangan real;
C adalah himpunan bilangan kompleks.

Dari sini jelas bahwa Anda tidak boleh menyatakan suatu himpunan yang terdiri dari, misalnya, dua bilangan 5 dan −7 sebagai Q, sebutan ini akan menyesatkan, karena huruf Q biasanya menunjukkan himpunan semua bilangan rasional. Untuk menunjukkan himpunan numerik yang ditentukan, lebih baik menggunakan huruf “netral” lainnya, misalnya A.

Karena kita berbicara tentang notasi, mari kita ingat juga di sini tentang notasi himpunan kosong, yaitu himpunan yang tidak mengandung unsur. Dilambangkan dengan tanda ∅.

Mari kita ingat juga sebutan apakah suatu elemen termasuk atau tidak termasuk dalam suatu himpunan. Untuk melakukan ini, gunakan tanda ∈ - milik dan ∉ - bukan milik. Misalnya notasi 5∈N berarti bilangan 5 termasuk dalam himpunan bilangan asli, dan 5,7∉Z – desimal 5,7 bukan termasuk himpunan bilangan bulat.

Dan mari kita ingat juga notasi yang digunakan untuk memasukkan satu himpunan ke himpunan lain. Jelas bahwa semua anggota himpunan N termasuk dalam himpunan Z, sehingga himpunan bilangan N termasuk dalam Z, dilambangkan dengan N⊂Z. Anda juga dapat menggunakan notasi Z⊃N, yang berarti himpunan semua bilangan bulat Z mencakup himpunan N. Relasi yang tidak disertakan dan tidak disertakan masing-masing ditandai dengan ⊄ dan . Tanda penyertaan tidak ketat dalam bentuk ⊆ dan ⊇ juga digunakan, artinya masing-masing disertakan atau bertepatan dan termasuk atau bertepatan.

Kita telah membicarakan tentang notasi, mari beralih ke deskripsi himpunan numerik. Dalam hal ini, kami hanya akan menyentuh kasus-kasus utama yang paling sering digunakan dalam praktik.

Mari kita mulai dengan himpunan numerik yang berisi sejumlah elemen berhingga dan kecil. Lebih mudah untuk mendeskripsikan himpunan numerik yang terdiri dari sejumlah elemen berhingga dengan membuat daftar semua elemennya. Semua unsur bilangan ditulis dipisahkan dengan koma dan diapit tanda , sesuai dengan ketentuan umum aturan untuk mendeskripsikan himpunan. Misalnya, himpunan yang terdiri dari tiga bilangan 0, −0.25 dan 4/7 dapat digambarkan sebagai (0, −0.25, 4/7).

Kadang-kadang, ketika jumlah elemen suatu himpunan numerik cukup besar, tetapi elemen-elemen tersebut mengikuti pola tertentu, elipsis digunakan untuk deskripsi. Misalnya, himpunan semua bilangan ganjil dari 3 sampai 99 inklusif dapat ditulis sebagai (3, 5, 7, ..., 99).

Jadi kita dengan lancar mendekati deskripsi himpunan numerik, yang jumlah elemennya tidak terbatas. Terkadang mereka dapat dijelaskan menggunakan elips yang sama. Sebagai contoh, mari kita gambarkan himpunan semua bilangan asli: N=(1, 2. 3, …) .

Mereka juga menggunakan deskripsi himpunan numerik dengan menunjukkan sifat-sifat elemennya. Dalam hal ini, notasi (x| properti) digunakan. Misalnya, notasi (n| 8·n+3, n∈N) menetapkan himpunan bilangan asli yang, jika dibagi 8, menyisakan sisa 3. Himpunan yang sama ini dapat digambarkan sebagai (11,19, 27, ...).

Dalam kasus khusus, himpunan numerik dengan jumlah elemen tak terhingga adalah himpunan yang diketahui N, Z, R, dst. atau interval angka. Pada dasarnya, himpunan numerik direpresentasikan sebagai Persatuan interval numerik individual penyusunnya dan himpunan numerik dengan jumlah elemen yang terbatas (yang telah kita bicarakan sedikit di atas).

Mari kita tunjukkan sebuah contoh. Misalkan himpunan bilangan tersebut terdiri dari bilangan −10, −9, −8.56, 0, semua bilangan pada ruas [−5, −1,3] dan bilangan pada garis bilangan terbuka (7, +∞). Karena definisi gabungan himpunan, himpunan numerik yang ditentukan dapat ditulis sebagai {−10, −9, −8,56}∪[−5, −1,3]∪{0}∪(7, +∞) . Notasi ini sebenarnya berarti himpunan yang memuat semua elemen himpunan (−10, −9, −8.56, 0), [−5, −1.3] dan (7, +∞).

Demikian pula, dengan menggabungkan interval bilangan yang berbeda dan himpunan bilangan individual, himpunan bilangan apa pun (yang terdiri dari bilangan real) dapat dideskripsikan. Di sini menjadi jelas mengapa jenis interval numerik seperti interval, setengah interval, segmen, sinar numerik terbuka, dan sinar numerik diperkenalkan: semuanya, ditambah dengan notasi untuk himpunan bilangan individual, memungkinkan untuk mendeskripsikan himpunan numerik apa pun melalui persatuan mereka.

Harap dicatat bahwa saat menulis kumpulan angka, angka-angka penyusunnya dan interval numeriknya diurutkan dalam urutan menaik. Ini bukanlah kondisi yang perlu tetapi diinginkan, karena himpunan numerik terurut lebih mudah untuk dibayangkan dan digambarkan pada garis koordinat. Perhatikan juga bahwa catatan tersebut tidak menggunakan interval numerik dengan elemen yang sama, karena catatan tersebut dapat diganti dengan menggabungkan interval numerik tanpa elemen yang sama. Misalnya, gabungan himpunan numerik dengan elemen persekutuan [−10, 0] dan (−5, 3) adalah interval setengah [−10, 3) . Hal yang sama berlaku untuk gabungan interval bilangan dengan bilangan batas yang sama, misalnya gabungan (3, 5]∪(5, 7] adalah himpunan (3, 7] , kita akan membahasnya secara terpisah ketika kita belajar cara temukan perpotongan dan gabungan himpunan bilangan

Representasi himpunan bilangan pada garis koordinat

Dalam praktiknya, akan lebih mudah untuk menggunakan gambar geometris dari himpunan numerik - gambarnya aktif. Misalnya kapan menyelesaikan kesenjangan, di mana ODZ perlu diperhitungkan, perlu untuk menggambarkan himpunan numerik untuk menemukan perpotongan dan/atau kesatuannya. Jadi akan berguna untuk memiliki pemahaman yang baik tentang semua nuansa penggambaran himpunan numerik pada garis koordinat.

Diketahui terdapat korespondensi satu-satu antara titik-titik garis koordinat dengan bilangan real, artinya garis koordinat itu sendiri merupakan model geometri himpunan semua bilangan real R. Jadi, untuk menggambarkan himpunan semua bilangan real, Anda perlu menggambar garis koordinat dengan bayangan sepanjang keseluruhannya:

Dan seringkali mereka bahkan tidak menunjukkan asal dan segmen unitnya:

Sekarang mari kita bicara tentang gambaran himpunan numerik, yang mewakili sejumlah bilangan individual tertentu. Sebagai contoh, mari kita gambarkan himpunan bilangan (−2, −0.5, 1.2) . Bayangan geometri himpunan ini, yang terdiri dari tiga bilangan −2, −0.5 dan 1.2, akan menjadi tiga titik pada garis koordinat dengan koordinat yang bersesuaian:

Perhatikan bahwa biasanya untuk tujuan praktis tidak perlu menggambar dengan tepat. Seringkali gambar skema sudah cukup, yang menyiratkan bahwa tidak perlu mempertahankan skala; dalam hal ini, yang penting hanyalah mempertahankan posisi relatif titik-titik relatif satu sama lain: titik mana pun dengan koordinat yang lebih kecil harus berada pada titik tersebut. kiri suatu titik yang koordinatnya lebih besar. Gambar sebelumnya secara skematis akan terlihat seperti ini:

Secara terpisah, dari semua jenis himpunan numerik, interval numerik (interval, setengah interval, sinar, dll.) dibedakan, yang mewakili gambar geometrisnya; kami memeriksanya secara rinci di bagian ini. Kami tidak akan mengulanginya di sini.

Dan yang tersisa hanyalah memikirkan gambaran himpunan numerik, yang merupakan gabungan dari beberapa interval numerik dan himpunan yang terdiri dari angka-angka individual. Tidak ada yang rumit di sini: menurut arti penyatuan dalam kasus ini, pada garis koordinat perlu untuk menggambarkan semua komponen himpunan dari himpunan numerik tertentu. Sebagai contoh, mari kita tampilkan gambar kumpulan angka (−∞, −15)∪{−10}∪[−3,1)∪ (log 2 5, 5)∪(17, +∞) :

Dan mari kita membahas kasus-kasus yang cukup umum ketika himpunan numerik yang digambarkan mewakili seluruh himpunan bilangan real, dengan pengecualian satu atau beberapa titik. Himpunan seperti itu sering kali ditentukan oleh kondisi seperti x≠5 atau x≠−1, x≠2, x≠3.7, dll. Dalam kasus ini, secara geometris mereka mewakili seluruh garis koordinat, dengan pengecualian titik-titik yang bersesuaian. Dengan kata lain, titik-titik tersebut perlu “dipetik” dari garis koordinat. Mereka digambarkan sebagai lingkaran dengan pusat kosong. Untuk lebih jelasnya, mari kita gambarkan himpunan numerik yang sesuai dengan kondisi (kumpulan ini pada dasarnya ada):

Meringkaskan. Idealnya, informasi dari paragraf sebelumnya harus membentuk tampilan rekaman dan penggambaran himpunan numerik yang sama dengan tampilan interval numerik individual: rekaman himpunan numerik harus segera memberikan gambarannya pada garis koordinat, dan dari gambar pada garis koordinat kita harus siap untuk dengan mudah mendeskripsikan himpunan numerik yang bersesuaian melalui gabungan interval individual dan himpunan yang terdiri dari bilangan individual.

Bibliografi.

Aljabar: buku pelajaran untuk kelas 8. pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; diedit oleh S.A.Telyakovsky. - edisi ke-16. - M.: Pendidikan, 2008. - 271 hal. : sakit. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovich A.G. Aljabar. kelas 9. Dalam 2 jam Bagian 1. Buku teks untuk siswa lembaga pendidikan umum / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Edisi ke-13, terhapus. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 hal.: sakit. ISBN 978-5-346-01752-3.

Konsep himpunan merupakan salah satu konsep dasar matematika. Ini adalah konsep yang tidak terdefinisi dan hanya dapat dijelaskan atau dijelaskan melalui contoh. Jadi, kita dapat berbicara tentang himpunan huruf dalam alfabet Latin, himpunan semua buku di perpustakaan tertentu, himpunan siswa dalam kelompok tertentu, himpunan semua titik pada garis tertentu. Untuk mendefinisikan suatu himpunan, cukup buat daftar elemen atau tentukan ciri sifat-sifat unsur, yaitu suatu sifat yang dimiliki oleh semua anggota suatu himpunan dan hanya mereka saja.

Definisi 1.1. Item (benda) yang membentuk suatu himpunan tertentu disebut nya elemen.

Merupakan kebiasaan untuk menyatakan suatu himpunan dengan huruf Latin besar, dan unsur-unsur suatu himpunan - dengan huruf kecil. Apa X merupakan salah satu elemen dari himpunan A, ditulis seperti ini: x A(X milik A). Jenis rekaman x A(x A) maksudnya X bukan milik A, yaitu. bukan merupakan elemen dari himpunan A.

Unsur suatu himpunan biasanya ditulis dengan kurung kurawal. Misalnya jika A - himpunan yang terdiri dari tiga huruf pertama abjad latin, maka ditulis sebagai berikut: SEBUAH={a,b,c} .

Suatu himpunan dapat memuat unsur-unsur yang jumlahnya tak terhingga (himpunan titik-titik pada suatu garis, himpunan bilangan asli), sejumlah unsur yang berhingga (himpunan anak sekolah dalam suatu kelas), atau tidak memuat unsur sama sekali (himpunan siswa di ruang kelas yang kosong).

Definisi 1.2. Himpunan yang tidak memuat satu elemen pun disebut set kosong, dilambangkan dengan Ø.

Definisi 1.3. Sekelompok A ditelepon bagian set B, jika setiap elemen himpunan A milik banyak orang B. Hal ini ditunjukkan A B(A - bagian B).

Himpunan kosong dianggap sebagai himpunan bagian dari himpunan mana pun. Jika set A bukan merupakan bagian dari himpunan B, lalu mereka menulis A B.

Definisi 1.4. Dua set A Dan B ditelepon setara, jika keduanya merupakan himpunan bagian satu sama lain. Menunjuk SEBUAH = B. Artinya jika x A, Itu xB dan sebaliknya, yaitu. jika dan , maka .

Definisi 1.5.Persimpangan set A Dan B panggil satu set M, yang elemen-elemennya sekaligus merupakan elemen dari kedua himpunan A Dan B. Menunjuk M=SEBUAH B. Itu. x A B, Itu x A Dan x B.

Tuliskan A B={x | x A Dan xB). (Alih-alih serikat pekerja Dan - tanda-tanda , &).

Definisi 1.6. Jika A B=Ø, lalu mereka bilang itu himpunan A Dan B tidak berpotongan.

Demikian pula, Anda dapat menentukan perpotongan 3, 4, dan sejumlah himpunan berhingga.

Definisi 1.7.Asosiasi set A Dan B panggil satu set M, yang elemen-elemennya termasuk dalam setidaknya salah satu dari himpunan ini M=SEBUAH B. Itu. A B={x | x A atau xB). (Alih-alih serikat pekerja atau - tanda ditempatkan).

Himpunan didefinisikan dengan cara yang sama Sebuah 1 Sebuah 2 … Sebuah . Ini terdiri dari elemen-elemen, yang masing-masing milik setidaknya satu dari himpunan Sebuah 1,Sebuah 2,…,Sebuah(dan mungkin beberapa sekaligus) .

Contoh 1.8. 1) jika SEBUAH=(1;2;3;4;5) dan B=(1;3;5;7;9), lalu A B=(1;3;5) dan A B={1;2;3;4;5;7;9}.

2) jika SEBUAH=(2;4) dan B=(3;7), lalu A B=Ø dan A B={2;3;4;7}.

3) jika SEBUAH=(bulan-bulan musim panas) dan B=(bulan dengan 30 hari), lalu A B=(Juni) dan A B=(April; Juni; Juli; Agustus; September; November).

Definisi 1.9.Alami bilangan 1,2,3,4,... disebut, digunakan untuk menghitung benda.

Himpunan bilangan asli dilambangkan dengan N, N=(1;2;3;4;…;n;…). Tak terhingga, mempunyai unsur terkecil 1 dan tidak mempunyai unsur terbesar.

Contoh 1.10. A– himpunan pembagi alami dari bilangan 40. Sebutkan unsur-unsur himpunan tersebut. Benarkah 5 SEBUAH, 10 SEBUAH, -8 SEBUAH, 4 SEBUAH, 0 SEBUAH, 0 SEBUAH.

A= (1,2,4,5,8,10,20,40). (V,V,N,N,N,V)

Contoh 1.11. Sebutkan elemen-elemen himpunan yang ditentukan oleh sifat-sifat karakteristiknya.