Persamaan pesawat. Bagaimana cara menulis persamaan bidang?
Susunan pesawat yang saling menguntungkan. Tugas

Geometri spasial tidak lebih rumit daripada geometri “datar”, dan penerbangan kita di luar angkasa dimulai dengan artikel ini. Untuk menguasai suatu topik, Anda perlu memiliki pemahaman yang baik vektor, selain itu, disarankan untuk memahami geometri bidang - akan ada banyak persamaan, banyak analogi, sehingga informasi akan dicerna lebih baik. Dalam rangkaian pelajaran saya, dunia 2D dibuka dengan sebuah artikel Persamaan garis lurus pada bidang datar. Namun kini Batman telah meninggalkan TV layar datar dan meluncur dari Kosmodrom Baikonur.

Mari kita mulai dengan gambar dan simbol. Secara skematis, bidang tersebut dapat digambar dalam bentuk jajar genjang, sehingga menimbulkan kesan ruang:

Bidangnya tidak terbatas, namun kita mempunyai kesempatan untuk menggambarkannya hanya sebagian saja. Dalam praktiknya, selain jajar genjang, juga digambar oval atau bahkan awan. Untuk alasan teknis, akan lebih mudah bagi saya untuk menggambarkan pesawat dengan cara dan posisi yang persis seperti ini. Bidang nyata, yang akan kita pertimbangkan dalam contoh praktis, dapat ditempatkan dengan cara apa pun - secara mental ambil gambar di tangan Anda dan putar di ruang angkasa, berikan bidang kemiringan apa pun, sudut apa pun.

Sebutan: pesawat biasanya dilambangkan dengan huruf Yunani kecil, rupanya agar tidak membingungkan mereka garis lurus pada suatu bidang atau dengan garis lurus dalam ruang. Saya sudah terbiasa menggunakan surat itu. Pada gambarnya ada huruf “sigma”, dan bukan lubang sama sekali. Meski begitu, pesawat berlubang tersebut tentu cukup lucu.

Dalam beberapa kasus, lebih mudah menggunakan huruf Yunani yang sama dengan subskrip yang lebih rendah untuk menunjuk bidang, misalnya, .

Jelaslah bahwa bidang tersebut secara unik ditentukan oleh tiga titik berbeda yang tidak terletak pada garis yang sama. Oleh karena itu, sebutan tiga huruf untuk bidang cukup populer - berdasarkan titik miliknya, misalnya, dll. Seringkali surat diapit tanda kurung: , agar tidak membingungkan bidang dengan bangun datar lainnya.

Untuk pembaca berpengalaman saya akan memberikan menu akses cepat:

• Bagaimana cara membuat persamaan bidang menggunakan satu titik dan dua vektor?
• Bagaimana cara membuat persamaan bidang menggunakan titik dan vektor normal?

dan kami tidak akan merana dalam penantian yang lama:

Persamaan bidang umum

Persamaan umum bidang berbentuk , dimana koefisien-koefisiennya tidak sama dengan nol pada saat yang bersamaan.

Sejumlah perhitungan teoretis dan masalah praktis berlaku baik untuk basis ortonormal biasa maupun untuk basis ruang affine (jika minyak adalah minyak, kembali ke pelajaran Ketergantungan vektor yang linier (bukan). Dasar vektor). Untuk mempermudah, kita asumsikan bahwa semua peristiwa terjadi dalam basis ortonormal dan sistem koordinat persegi panjang Cartesian.

Sekarang mari kita latih sedikit imajinasi spasial kita. Tidak apa-apa kalau punyamu jelek, sekarang kita akan mengembangkannya sedikit. Bahkan bermain dengan gugup membutuhkan pelatihan.

Dalam kasus yang paling umum, ketika angka-angkanya tidak sama dengan nol, bidang tersebut memotong ketiga sumbu koordinat. Misalnya seperti ini:

Saya ulangi sekali lagi bahwa bidang itu terus bergerak ke segala arah tanpa batas waktu, dan kita hanya mempunyai kesempatan untuk menggambarkan sebagian saja.

Mari kita perhatikan persamaan bidang yang paling sederhana:

Bagaimana memahami persamaan ini? Coba pikirkan: “Z” SELALU sama dengan nol, untuk setiap nilai “X” dan “Y”. Ini adalah persamaan bidang koordinat "asli". Memang secara formal persamaan tersebut dapat ditulis ulang sebagai berikut: , dari sini Anda dapat melihat dengan jelas bahwa kita tidak peduli berapa nilai “x” dan “y”, yang penting “z” sama dengan nol.

Juga:
– persamaan bidang koordinat;
– persamaan bidang koordinat.

Mari kita sedikit memperumit masalahnya, pertimbangkan sebuah bidang (di sini dan selanjutnya di paragraf kita berasumsi bahwa koefisien numerik tidak sama dengan nol). Mari kita tulis ulang persamaan tersebut dalam bentuk: . Bagaimana cara memahaminya? “X” adalah SELALU, untuk setiap nilai “Y” dan “Z”, sama dengan angka tertentu. Bidang ini sejajar dengan bidang koordinat. Misalnya, sebuah bidang sejajar dengan bidang dan melalui suatu titik.

Juga:
– persamaan bidang yang sejajar dengan bidang koordinat;
– persamaan bidang yang sejajar dengan bidang koordinat.

Mari tambahkan anggota: . Persamaannya dapat ditulis ulang sebagai berikut: , yaitu “zet” bisa apa saja. Apa artinya? “X” dan “Y” dihubungkan oleh relasi, yang menggambar garis lurus tertentu pada bidang (Anda akan mengetahuinya persamaan garis pada bidang?). Karena “z” bisa berupa apa saja, garis lurus ini “direplikasi” pada ketinggian berapa pun. Jadi, persamaan tersebut mendefinisikan bidang yang sejajar dengan sumbu koordinat

Juga:
– persamaan bidang yang sejajar sumbu koordinat;
– persamaan bidang yang sejajar sumbu koordinat.

Jika suku bebasnya nol, maka bidang-bidang tersebut akan langsung melalui sumbu-sumbu yang bersesuaian. Misalnya, “proporsionalitas langsung” klasik: . Gambarlah garis lurus pada bidang dan kalikan secara mental ke atas dan ke bawah (karena “Z” adalah apa saja). Kesimpulan: bidang yang ditentukan oleh persamaan melewati sumbu koordinat.

Kami menyelesaikan ulasannya: persamaan bidang melewati titik asal. Nah, di sini cukup jelas bahwa poin tersebut memenuhi persamaan ini.

Dan terakhir, kasus yang ditunjukkan pada gambar: – bidang bersahabat dengan semua sumbu koordinat, sedangkan bidang tersebut selalu “memotong” sebuah segitiga, yang dapat ditempatkan di salah satu dari delapan oktan.

Ketimpangan linier dalam ruang

Untuk memahami informasi Anda perlu belajar dengan baik pertidaksamaan linear pada bidang tersebut, karena banyak hal akan serupa. Paragraf tersebut akan bersifat gambaran singkat dengan beberapa contoh, karena materi tersebut cukup jarang dalam praktek.

Jika persamaan mendefinisikan bidang, maka pertidaksamaannya
bertanya setengah spasi. Jika pertidaksamaannya tidak tegas (dua pertidaksamaan terakhir dalam daftar), maka penyelesaian pertidaksamaan tersebut, selain setengah ruang, juga mencakup bidang itu sendiri.

Contoh 5

Temukan vektor normal satuan bidang tersebut .

Larutan: Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya satu. Mari kita nyatakan vektor ini dengan . Jelas sekali bahwa vektor-vektornya segaris:

Pertama, kita hilangkan vektor normal dari persamaan bidang: .

Bagaimana cara mencari vektor satuan? Untuk mencari vektor satuan, Anda perlu setiap membagi koordinat vektor dengan panjang vektor.

Mari kita tulis ulang vektor normal ke dalam bentuk dan temukan panjangnya:

Menurut hal di atas:

Menjawab:

Verifikasi: apa yang diperlukan untuk diverifikasi.

Pembaca yang mempelajari paragraf terakhir pelajaran dengan cermat mungkin memperhatikan hal itu koordinat vektor satuan sama persis dengan cosinus arah vektor tersebut:

Mari kita istirahat sejenak dari permasalahan yang ada: ketika Anda diberi vektor bukan nol yang berubah-ubah, dan sesuai dengan kondisi tersebut diperlukan untuk mencari cosinus arahnya (lihat soal terakhir pelajaran Produk titik dari vektor), maka Anda sebenarnya menemukan vektor satuan yang kolinear dengan vektor ini. Sebenarnya dua tugas dalam satu botol.

Kebutuhan untuk mencari vektor normal satuan muncul dalam beberapa masalah analisis matematis.

Kita telah menemukan cara untuk mendapatkan vektor normal, sekarang mari kita jawab pertanyaan sebaliknya:

Bagaimana cara membuat persamaan bidang menggunakan titik dan vektor normal?

Konstruksi kaku dari vektor normal dan suatu titik ini diketahui dengan baik oleh papan dart. Silakan rentangkan tangan Anda ke depan dan secara mental pilih titik sembarang di ruang angkasa, misalnya, kucing kecil di bufet. Jelasnya, melalui titik ini Anda dapat menggambar satu bidang yang tegak lurus dengan tangan Anda.

Persamaan bidang yang melalui suatu titik yang tegak lurus terhadap vektor dinyatakan dengan rumus:

Dapat ditentukan dengan cara yang berbeda (satu titik dan satu vektor, dua titik dan satu vektor, tiga titik, dll.). Dengan pemikiran inilah persamaan bidang dapat dimiliki jenis yang berbeda. Selain itu, dalam kondisi tertentu, bidang dapat sejajar, tegak lurus, berpotongan, dll. Kami akan membicarakan hal ini di artikel ini. Kita akan belajar cara membuat persamaan umum bidang dan banyak lagi.

Bentuk persamaan normal

Katakanlah ada ruang R 3 yang mempunyai sistem koordinat XYZ persegi panjang. Mari kita definisikan vektor α yang akan dilepaskan dari titik awal O. Melalui ujung vektor α kita menggambar sebuah bidang P yang tegak lurus terhadapnya.

Mari kita nyatakan titik sembarang di P sebagai Q = (x, y, z). Mari kita tandatangani vektor jari-jari titik Q dengan huruf p. Dalam hal ini, panjang vektor α sama dengan р=IαI dan Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

Ini adalah vektor satuan yang arahnya ke samping, seperti vektor α. α, β dan γ adalah sudut yang terbentuk antara vektor Ʋ dan arah positif sumbu ruang x, y, z. Proyeksi titik mana pun QϵП ke vektor Ʋ adalah nilai konstanta yang sama dengan p: (p,Ʋ) = p(p≥0).

Persamaan di atas masuk akal ketika p=0. Satu-satunya hal adalah bidang P dalam hal ini akan memotong titik O (α=0), yang merupakan titik asal koordinat, dan vektor satuan Ʋ yang dilepaskan dari titik O akan tegak lurus terhadap P, meskipun arahnya, yaitu berarti vektor Ʋ ditentukan dengan tanda yang tepat. Persamaan sebelumnya adalah persamaan bidang P kita, dinyatakan dalam bentuk vektor. Namun secara koordinat akan terlihat seperti ini:

P di sini lebih besar dari atau sama dengan 0. Kita telah menemukan persamaan bidang di ruang angkasa dalam bentuk normal.

Persamaan umum

Jika kita mengalikan persamaan dalam koordinat dengan bilangan apa pun yang tidak sama dengan nol, kita memperoleh persamaan yang setara dengan persamaan ini, yang mendefinisikan bidang tersebut. Ini akan terlihat seperti ini:

Di sini A, B, C adalah bilangan-bilangan yang sekaligus berbeda dari nol. Persamaan ini disebut persamaan bidang umum.

Persamaan pesawat. Kasus khusus

Persamaan dalam bentuk umum dapat dimodifikasi dengan adanya kondisi tambahan. Mari kita lihat beberapa di antaranya.

Misalkan koefisien A adalah 0. Artinya bidang ini sejajar dengan sumbu Ox tertentu. Dalam hal ini, bentuk persamaannya akan berubah: Ву+Cz+D=0.

Demikian pula, bentuk persamaannya akan berubah pada kondisi berikut:

• Pertama, jika B = 0, maka persamaannya akan berubah menjadi Ax + Cz + D = 0 yang menunjukkan paralelisme terhadap sumbu Oy.
• Kedua, jika C=0, maka persamaan tersebut akan diubah menjadi Ax+By+D=0, yang menunjukkan paralelisme dengan sumbu Oz yang diberikan.
• Ketiga, jika D=0, persamaannya akan terlihat seperti Ax+By+Cz=0, artinya bidang tersebut memotong O (titik asal).
• Keempat, jika A=B=0, maka persamaannya akan berubah menjadi Cz+D=0, yang terbukti sejajar dengan Oxy.
• Kelima, jika B=C=0, maka persamaannya menjadi Ax+D=0, artinya bidang yang menghadap Oyz sejajar.
• Keenam, jika A=C=0, maka persamaannya akan berbentuk Ву+D=0, yaitu akan melaporkan paralelisme ke Oxz.

Jenis persamaan dalam segmen

Dalam hal bilangan A, B, C, D berbeda dengan nol, maka bentuk persamaan (0) dapat berupa sebagai berikut:

x/a + y/b + z/c = 1,

dimana a = -D/A, b = -D/B, c = -D/C.

Hasilnya, perlu diperhatikan bahwa bidang ini akan memotong sumbu Ox di titik dengan koordinat (a,0,0), Oy - (0,b,0), dan Oz - (0,0,c ).

Dengan mempertimbangkan persamaan x/a + y/b + z/c = 1, tidak sulit untuk membayangkan secara visual penempatan bidang relatif terhadap sistem koordinat tertentu.

Koordinat vektor normal

Vektor normal n terhadap bidang P mempunyai koordinat yang merupakan koefisien persamaan umum bidang tersebut, yaitu n (A, B, C).

Untuk menentukan koordinat n normal, cukup mengetahui persamaan umum suatu bidang tertentu.

Saat menggunakan persamaan dalam segmen yang berbentuk x/a + y/b + z/c = 1, seperti halnya saat menggunakan persamaan umum, Anda dapat menuliskan koordinat sembarang vektor normal pada bidang tertentu: (1 /a + 1/b + 1/ Dengan).

Perlu dicatat bahwa vektor normal membantu memecahkan berbagai masalah. Masalah yang paling umum mencakup masalah yang melibatkan pembuktian tegak lurus atau paralelisme bidang, masalah mencari sudut antar bidang atau sudut antara bidang dan garis lurus.

Jenis persamaan bidang menurut koordinat titik dan vektor normal

Vektor bukan nol n yang tegak lurus terhadap bidang tertentu disebut normal untuk bidang tertentu.

Mari kita asumsikan bahwa dalam ruang koordinat (sistem koordinat persegi panjang) Oxyz diberikan:

• titik Mₒ dengan koordinat (xₒ,yₒ,zₒ);
• vektor nol n=A*i+B*j+C*k.

Perlu dibuat persamaan bidang yang melalui titik Mₒ tegak lurus garis normal n.

Kami memilih titik sembarang dalam ruang dan menyatakannya M (x y, z). Misalkan vektor jari-jari titik M (x,y,z) adalah r=x*i+y*j+z*k, dan vektor jari-jari titik Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. Titik M akan termasuk dalam suatu bidang tertentu jika vektor MₒM tegak lurus terhadap vektor n. Mari kita tuliskan kondisi ortogonalitas menggunakan hasil kali skalar:

[MₒM, n] = 0.

Karena MₒM = r-rₒ, persamaan vektor bidang tersebut akan terlihat seperti ini:

Persamaan ini dapat memiliki bentuk lain. Untuk melakukan ini, properti produk skalar digunakan, dan ruas kiri persamaan diubah. = - . Jika kita menyatakannya sebagai c, kita mendapatkan persamaan berikut: - c = 0 atau = c, yang menyatakan keteguhan proyeksi ke vektor normal dari vektor jari-jari titik-titik tertentu yang termasuk dalam bidang.

Sekarang kita dapat memperoleh bentuk koordinat penulisan persamaan vektor bidang kita = 0. Karena r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, dan n = A*i+B *j+С*k, kita punya:

Ternyata kita mempunyai persamaan bidang yang melewati suatu titik yang tegak lurus garis normal n:

A*(x- xₒ)+B*(y- yₒ)C*(z-zₒ)=0.

Jenis persamaan bidang menurut koordinat dua titik dan vektor yang segaris terhadap bidang

Mari kita definisikan dua titik sembarang M′ (x′,y′,z′) dan M″ (x″,y″,z″), serta sebuah vektor a (a′,a″,a‴).

Sekarang kita dapat membuat persamaan untuk suatu bidang tertentu yang akan melewati titik M′ dan M″ yang ada, serta setiap titik M dengan koordinat (x, y, z) sejajar dengan vektor tertentu a.

Dalam hal ini, vektor M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) dan M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) harus koplanar dengan vektor a=(a′,a″,a‴), artinya (M′M, M″M, a)=0.

Jadi persamaan bidang kita di luar angkasa akan terlihat seperti ini:

Jenis persamaan bidang yang memotong tiga titik

Katakanlah kita mempunyai tiga titik: (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), yang tidak termasuk dalam garis yang sama. Persamaan bidang yang melalui tiga titik tertentu perlu ditulis. Teori geometri menyatakan bahwa bidang semacam ini benar-benar ada, namun merupakan satu-satunya dan unik. Karena bidang ini memotong titik (x′,y′,z′), maka bentuk persamaannya adalah sebagai berikut:

Di sini A, B, C berbeda dari nol pada waktu yang sama. Selain itu, bidang tertentu memotong dua titik lagi: (x″,y″,z″) dan (x‴,y‴,z‴). Dalam hal ini, syarat-syarat berikut harus dipenuhi:

Sekarang kita dapat membuat sistem homogen dengan u, v, w yang tidak diketahui:

Dalam kasus kita, x, y atau z adalah titik sembarang yang memenuhi persamaan (1). Diberikan persamaan (1) dan sistem persamaan (2) dan (3), sistem persamaan pada gambar di atas dipenuhi oleh vektor N (A,B,C) yang non-trivial. Oleh karena itu determinan sistem ini sama dengan nol.

Persamaan (1) yang kita peroleh adalah persamaan bidang. Ia melewati 3 titik dengan tepat, dan ini mudah untuk diperiksa. Untuk melakukan ini, kita perlu memperluas determinan kita ke dalam elemen-elemen di baris pertama. Dari sifat-sifat determinan yang ada dapat disimpulkan bahwa bidang kita secara bersamaan memotong tiga titik yang awalnya diberikan (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . Artinya, kami telah menyelesaikan tugas yang diberikan kepada kami.

Sudut dihedral antar bidang

Sudut dihedral adalah bangun ruang yang dibentuk oleh dua setengah bidang yang berasal dari satu garis lurus. Dengan kata lain, ini adalah bagian ruang yang dibatasi oleh setengah bidang tersebut.

Katakanlah kita mempunyai dua bidang dengan persamaan berikut:

Kita tahu bahwa vektor N=(A,B,C) dan N¹=(A¹,B¹,C¹) tegak lurus terhadap bidang tertentu. Dalam hal ini, sudut φ antara vektor N dan N¹ sama dengan sudut (dihedral) yang terletak di antara bidang-bidang tersebut. Perkalian titik mempunyai bentuk:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

justru karena

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

Cukup dengan memperhitungkan bahwa 0≤φ≤π.

Faktanya, dua bidang yang berpotongan membentuk dua sudut (dihedral): φ 1 dan φ 2. Jumlahnya sama dengan π (φ 1 + φ 2 = π). Adapun cosinusnya nilai absolutnya sama, tetapi berbeda tandanya, yaitu cos φ 1 = -cos φ 2. Jika pada persamaan (0) kita ganti A, B dan C berturut-turut dengan bilangan -A, -B dan -C, maka persamaan yang kita peroleh akan menentukan bidang yang sama, satu-satunya, sudut φ pada persamaan cos φ= NN 1 /| N||N 1 | akan digantikan oleh π-φ.

Persamaan bidang tegak lurus

Bidang yang sudutnya 90 derajat disebut tegak lurus. Dengan menggunakan materi di atas, kita dapat mencari persamaan suatu bidang yang tegak lurus terhadap bidang lainnya. Misalkan kita mempunyai dua bidang: Ax+By+Cz+D=0 dan A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Dapat dikatakan keduanya tegak lurus jika cosφ=0. Artinya NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.

Persamaan bidang paralel

Dua bidang yang tidak mempunyai titik persekutuan disebut sejajar.

Syaratnya (persamaannya sama seperti pada paragraf sebelumnya) vektor N dan N¹ yang tegak lurus terhadap vektor tersebut adalah segaris. Artinya syarat proporsionalitas berikut terpenuhi:

A/A¹=B/B¹=C/C¹.

Jika kondisi proporsionalitas diperluas - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

ini menunjukkan bahwa bidang-bidang ini bertepatan. Artinya persamaan Ax+By+Cz+D=0 dan A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 menggambarkan satu bidang.

Jarak ke pesawat dari titik

Katakanlah kita mempunyai bidang P, yang diberikan oleh persamaan (0). Kita perlu mencari jarak dari suatu titik dengan koordinat (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. Untuk melakukan ini, Anda perlu membawa persamaan bidang P ke bentuk normal:

(ρ,v)=р (р≥0).

Dalam hal ini, ρ (x,y,z) adalah vektor jari-jari titik Q kita yang terletak di P, p adalah panjang garis tegak lurus P yang dilepaskan dari titik nol, v adalah vektor satuan yang terletak di arah a.

Selisih vektor jari-jari ρ-ρº suatu titik Q = (x, y, z), milik P, serta vektor jari-jari suatu titik tertentu Q 0 = (xₒ, уₒ, zₒ) adalah suatu vektor, maka nilai mutlak proyeksi yang ke v sama dengan jarak d yang perlu dicari dari Q 0 = (xₒ,уₒ,zₒ) ke P:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, tetapi

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =р-(ρ 0 ,v).

Jadi ternyata

d=|(ρ 0 ,v)-р|.

Jadi, kita akan menemukan nilai absolut dari ekspresi yang dihasilkan, yaitu d yang diinginkan.

Dengan menggunakan bahasa parameter, kita mendapatkan yang jelas:

d=|Ахₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(А²+В²+С²).

Jika suatu titik Q 0 berada pada sisi lain bidang P, seperti titik asal koordinat, maka antara vektor ρ-ρ 0 dan v maka terdapat:

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-р>0.

Dalam hal titik Q 0 bersama dengan titik asal koordinat terletak pada sisi yang sama dengan P, maka sudut yang tercipta adalah lancip, yaitu:

d=(ρ-ρ 0 ,v)=р - (ρ 0 , v)>0.

Hasilnya, ternyata pada kasus pertama (ρ 0 ,v)>р, pada kasus kedua (ρ 0 ,v)<р.

Bidang singgung dan persamaannya

Bidang singgung permukaan pada titik kontak Mº adalah bidang yang memuat semua kemungkinan garis singgung kurva yang melalui titik tersebut di permukaan.

Dengan persamaan permukaan seperti ini F(x,y,z)=0, persamaan bidang singgung di titik singgung Mº(xº,yº,zº) akan terlihat seperti ini:

F x (xº,yº,zº)(x- xº)+ F x (xº, yº, zº)(y- yº)+ F x (xº, yº,zº)(z-zº)=0.

Jika Anda menentukan permukaan dalam bentuk eksplisit z=f (x,y), maka bidang singgung akan dijelaskan dengan persamaan:

z-zº =f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y- yº).

Persimpangan dua bidang

Pada sistem koordinat (persegi panjang) Oxyz terletak, diberikan dua bidang П′ dan П″, yang berpotongan dan tidak berimpit. Karena setiap bidang yang terletak pada sistem koordinat persegi panjang ditentukan oleh persamaan umum, kita asumsikan bahwa P′ dan P″ diberikan oleh persamaan A′x+B′y+C′z+D′=0 dan A″x +B″y+ ″z+D″=0. Dalam hal ini, kita mempunyai n′ (A′,B′,C′) normal pada bidang P′ dan n″ (A″,B″,C″) normal pada bidang P″. Karena bidang kita tidak sejajar dan tidak berimpit, maka vektor-vektor ini tidak segaris. Dengan menggunakan bahasa matematika, kita dapat menuliskan kondisi ini sebagai berikut: n′≠ n″ ↔ (A′,B′,C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. Misalkan garis lurus yang terletak pada perpotongan P′ dan P″ dilambangkan dengan huruf a, dalam hal ini a = P′ ∩ P″.

a adalah garis lurus yang terdiri dari himpunan semua titik pada bidang (bersama) P′ dan P″. Artinya, koordinat titik mana pun yang termasuk dalam garis a harus memenuhi persamaan A′x+B′y+C′z+D′=0 dan A″x+B″y+C″z+D″=0 secara bersamaan. . Artinya koordinat titik tersebut merupakan solusi parsial dari sistem persamaan berikut:

Hasilnya, penyelesaian (umum) sistem persamaan ini akan menentukan koordinat masing-masing titik garis yang menjadi titik potong P′ dan P″, serta menentukan garis lurus. a dalam sistem koordinat Oxyz (persegi panjang) di ruang angkasa.

Sifat-sifat garis lurus dalam geometri Euclidean.

Garis lurus yang jumlahnya tak terhingga dapat ditarik melalui suatu titik.

Melalui dua titik yang tidak berhimpitan dapat ditarik sebuah garis lurus.

Dua garis divergen pada suatu bidang berpotongan di satu titik atau berpotongan

paralel (mengikuti dari yang sebelumnya).

Dalam ruang tiga dimensi, ada tiga pilihan posisi relatif dua garis:

• garis berpotongan;

• garis sejajar;

• garis lurus berpotongan.

Lurus garis— kurva aljabar orde pertama: garis lurus dalam sistem koordinat Cartesian

diberikan pada bidang dengan persamaan derajat pertama ( persamaan linier).

Persamaan umum garis lurus.

Definisi. Setiap garis lurus pada bidang dapat ditentukan dengan persamaan orde pertama

Kapak + Wu + C = 0,

dan konstan A, B tidak sama dengan nol pada saat yang bersamaan. Persamaan orde pertama ini disebut umum

persamaan garis lurus. Tergantung pada nilai konstanta A, B Dan DENGAN Kasus-kasus khusus berikut mungkin terjadi:

. C = 0, SEBUAH ≠0, B ≠ 0- garis lurus melalui titik asal

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (Oleh + C = 0)- garis lurus sejajar sumbu Oh

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Kapak + C = 0)- garis lurus sejajar sumbu kamu

. B = C = 0, SEBUAH ≠0- garis lurus berimpit dengan sumbu kamu

. SEBUAH = C = 0, B ≠0- garis lurus berimpit dengan sumbu Oh

Persamaan garis lurus dapat disajikan dalam berbagai bentuk tergantung pada bentuk yang diberikan

kondisi awal.

Persamaan garis lurus dari suatu titik dan vektor normal.

Definisi. Dalam sistem koordinat persegi panjang kartesius vektor dengan komponen (A, B)

tegak lurus terhadap garis yang diberikan oleh persamaan

Kapak + Wu + C = 0.

Contoh. Temukan persamaan garis yang melalui suatu titik SEBUAH(1, 2) tegak lurus terhadap vektor (3, -1).

Larutan. Dengan A = 3 dan B = -1, mari kita buat persamaan garis lurus: 3x - y + C = 0. Mencari koefisien C

Mari kita substitusikan koordinat titik A ke dalam ekspresi yang dihasilkan, Kita peroleh: 3 - 2 + C = 0, oleh karena itu

C = -1. Total : persamaan yang dibutuhkan: 3x - y - 1 = 0.

Persamaan garis yang melalui dua titik.

Biarkan dua titik diberikan dalam ruang M 1 (x 1 , kamu 1 , z 1) Dan M2 (x 2, kamu 2, z 2), Kemudian persamaan suatu garis,

melewati titik-titik ini:

Jika salah satu penyebutnya nol, maka pembilangnya harus sama dengan nol. Pada

bidang, persamaan garis lurus yang ditulis di atas disederhanakan:

Jika x 1 ≠ x 2 Dan x = x 1, Jika x 1 = x 2 .

Pecahan = k ditelepon lereng lurus.

Contoh. Tentukan persamaan garis yang melalui titik A(1, 2) dan B(3, 4).

Larutan. Menerapkan rumus yang tertulis di atas, kita mendapatkan:

Persamaan garis lurus menggunakan titik dan kemiringan.

Jika persamaan umum garis Kapak + Wu + C = 0 menuju ke:

dan menunjuk , maka persamaan yang dihasilkan disebut

persamaan garis lurus dengan kemiringan k.

Persamaan garis lurus dari suatu titik dan vektor arah.

Dengan analogi titik dengan mempertimbangkan persamaan garis lurus yang melalui vektor normal, Anda dapat memasukkan tugas

garis lurus yang melalui suatu titik dan vektor pengarah suatu garis lurus.

Definisi. Setiap vektor bukan nol (α 1 , α 2), yang komponennya memenuhi kondisi tersebut

Aα 1 + Bα 2 = 0 ditelepon vektor pengarah suatu garis lurus.

Kapak + Wu + C = 0.

Contoh. Tentukan persamaan garis lurus dengan vektor arah (1, -1) dan melalui titik A(1, 2).

Larutan. Kita akan mencari persamaan garis yang diinginkan dalam bentuk: Kapak + Oleh + C = 0. Menurut definisinya,

koefisien harus memenuhi ketentuan berikut:

1 * A + (-1) * B = 0, mis. SEBUAH = B.

Maka persamaan garis lurusnya berbentuk: Kapak + Ay + C = 0, atau x + y + C / A = 0.

pada x = 1, kamu = 2 kita mendapatkan C/A = -3, yaitu persamaan yang diperlukan:

x + kamu - 3 = 0

Persamaan garis lurus dalam segmen.

Jika pada persamaan umum garis lurus Ах + Ву + С = 0 С≠0, maka dibagi dengan -С diperoleh:

atau dimana

Arti geometri dari koefisien adalah koefisien a merupakan koordinat titik potong

lurus dengan sumbu Oh, A B- koordinat titik potong garis dengan sumbu kamu.

Contoh. Persamaan umum garis lurus diberikan x - kamu + 1 = 0. Temukan persamaan garis ini dalam segmen.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Persamaan garis normal.

Jika kedua sisi persamaan Kapak + Wu + C = 0 bagi dengan nomor yang disebut

faktor normalisasi, lalu kita dapatkan

xcosφ + ysinφ - p = 0 -persamaan garis normal.

Tanda ± faktor normalisasi harus dipilih sedemikian rupa μ*C< 0.

R- panjang garis tegak lurus turun dari titik asal ke garis lurus,

A φ - sudut yang dibentuk tegak lurus ini dengan arah sumbu positif Oh.

Contoh. Persamaan umum garis diberikan 12x - 5 tahun - 65 = 0. Diperlukan untuk menulis berbagai jenis persamaan

garis lurus ini.

Persamaan garis ini dalam segmen:

Persamaan garis ini dengan kemiringannya: (bagi dengan 5)

Persamaan sebuah garis:

karena φ = 12/13; dosa φ= -5/13; hal = 5.

Perlu diperhatikan bahwa tidak semua garis lurus dapat direpresentasikan dengan persamaan dalam segmen-segmen, misalnya garis lurus,

sejajar dengan sumbu atau melewati titik asal.

Sudut antara garis lurus pada suatu bidang.

Definisi. Jika dua baris diberikan kamu = k 1 x + b 1 , kamu = k 2 x + b 2, maka sudut lancip antara garis-garis tersebut

akan didefinisikan sebagai

Dua garis sejajar jika k 1 = k 2. Dua garis tegak lurus

Jika k 1 = -1/ k 2 .

Dalil.

Langsung Kapak + Wu + C = 0 Dan A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 sejajar jika koefisiennya proporsional

A 1 = λA, B 1 = λB. Jika juga С 1 = λС, maka garis-garisnya berhimpitan. Koordinat titik potong dua garis

ditemukan sebagai solusi sistem persamaan garis-garis tersebut.

Persamaan garis yang melalui suatu titik tertentu tegak lurus terhadap suatu garis tertentu.

Definisi. Garis yang melalui suatu titik M 1 (x 1, kamu 1) dan tegak lurus terhadap garis kamu = kx + b

diwakili oleh persamaan:

Jarak suatu titik ke suatu garis.

Dalil. Jika suatu poin diberikan M(x 0, kamu 0), maka jarak ke garis lurus Kapak + Wu + C = 0 didefinisikan sebagai:

Bukti. Biarkan intinya M 1 (x 1, kamu 1)- alas tegak lurus dijatuhkan dari suatu titik M untuk suatu hal

langsung. Kemudian jarak antar titik M Dan M 1:

(1)

Koordinat x 1 Dan di 1 dapat dicari solusi sistem persamaannya:

Persamaan kedua sistem ini adalah persamaan garis lurus yang melalui suatu titik M 0 secara tegak lurus

diberi garis lurus. Jika kita mengubah persamaan pertama sistem menjadi bentuk:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Kapak 0 + Oleh 0 + C = 0,

kemudian, menyelesaikannya, kita mendapatkan:

Mengganti ekspresi ini ke persamaan (1), kita menemukan:

Teorema tersebut telah terbukti.

Artikel ini memberikan gambaran tentang cara membuat persamaan bidang yang melalui suatu titik tertentu dalam ruang tiga dimensi yang tegak lurus terhadap garis tertentu. Mari kita menganalisis algoritma yang diberikan menggunakan contoh penyelesaian masalah umum.

Menemukan persamaan bidang yang melalui suatu titik tertentu dalam ruang yang tegak lurus terhadap garis tertentu

Misalkan diberikan ruang tiga dimensi dan sistem koordinat persegi panjang O x y z. Titik M 1 (x 1, y 1, z 1), garis a dan bidang yang melalui titik M 1 tegak lurus garis a juga diberikan. Persamaan bidang α perlu dituliskan.

Sebelum kita mulai menyelesaikan soal ini, mari kita ingat teorema geometri dari silabus kelas 10-11, yang berbunyi:

Definisi 1

Melalui suatu titik tertentu dalam ruang tiga dimensi dilewatkan sebuah bidang tunggal yang tegak lurus terhadap suatu garis lurus tertentu.

Sekarang mari kita lihat bagaimana mencari persamaan bidang tunggal yang melalui titik awal dan tegak lurus terhadap garis tertentu.

Persamaan umum suatu bidang dapat dituliskan jika koordinat suatu titik yang termasuk dalam bidang tersebut diketahui, serta koordinat vektor normal bidang tersebut.

Kondisi soal memberikan kita koordinat x 1, y 1, z 1 dari titik M 1 yang dilalui bidang α. Jika kita menentukan koordinat vektor normal bidang α, maka kita dapat menuliskan persamaan yang diperlukan.

Vektor normal bidang α, karena tidak nol dan terletak pada garis a, tegak lurus terhadap bidang α, akan menjadi vektor arah mana pun dari garis a. Dengan demikian, soal mencari koordinat vektor normal bidang α diubah menjadi soal menentukan koordinat vektor pengarah garis lurus a.

Penentuan koordinat vektor arah garis lurus a dapat dilakukan dengan berbagai cara: bergantung pada pilihan untuk menentukan garis lurus a pada kondisi awal. Misalnya, jika garis lurus a dalam rumusan masalah diberikan oleh bentuk persamaan kanonik

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 az

atau persamaan parametrik berbentuk:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ

maka vektor arah garis lurus tersebut mempunyai koordinat ax, ay dan az. Jika garis lurus a diwakili oleh dua titik M 2 (x 2, y 2, z 2) dan M 3 (x 3, y 3, z 3), maka koordinat vektor arahnya ditentukan sebagai ( x3 – x2, y3 – y2 , z3 – z2).

Definisi 2

Algoritma untuk mencari persamaan bidang yang melalui suatu titik tertentu yang tegak lurus terhadap garis tertentu:

Kita tentukan koordinat vektor arah garis lurus a: a → = (ax, ay, az) ;

Kita definisikan koordinat vektor normal bidang α sebagai koordinat vektor pengarah garis lurus a:

n → = (A , B , C) , dimana A = ax , B = ay , C = az;

Kita tuliskan persamaan bidang yang melalui titik M 1 (x 1, y 1, z 1) dan mempunyai vektor normal n → = (A, B, C) dalam bentuk A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0. Ini akan menjadi persamaan yang diperlukan untuk sebuah bidang yang melewati suatu titik tertentu dalam ruang dan tegak lurus terhadap garis tertentu.

Persamaan umum bidang yang dihasilkan adalah: A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0 memungkinkan diperoleh persamaan bidang dalam ruas-ruas atau persamaan normal bidang.

Mari selesaikan beberapa contoh menggunakan algoritma yang diperoleh di atas.

Contoh 1

Diberikan titik M 1 (3, - 4, 5) yang dilalui bidang tersebut, dan bidang tersebut tegak lurus terhadap garis koordinat O z.

Larutan

vektor arah garis koordinat O z adalah vektor koordinat k ⇀ = (0, 0, 1). Oleh karena itu, vektor normal bidang tersebut memiliki koordinat (0, 0, 1). Mari kita tuliskan persamaan sebuah bidang yang melalui suatu titik tertentu M 1 (3, - 4, 5), yang vektor normalnya memiliki koordinat (0, 0, 1):

A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 ⇔ ⇔ 0 (x - 3) + 0 (y - (- 4)) + 1 (z - 5) = 0 ⇔ z - 5 = 0

Menjawab: z – 5 = 0 .

Mari pertimbangkan cara lain untuk mengatasi masalah ini:

Contoh 2

Sebuah bidang yang tegak lurus terhadap garis O z akan diberikan persamaan bidang umum yang tidak lengkap berbentuk C z + D = 0, C ≠ 0. Mari kita tentukan nilai C dan D: nilai di mana bidang melewati suatu titik tertentu. Mari kita substitusikan koordinat titik ini ke dalam persamaan C z + D = 0, kita peroleh: C · 5 + D = 0. Itu. bilangan, C dan D dihubungkan dengan relasi - D C = 5. Mengambil C = 1, kita mendapatkan D = - 5.

Mari kita substitusikan nilai-nilai ini ke dalam persamaan C z + D = 0 dan dapatkan persamaan yang diperlukan untuk sebuah bidang yang tegak lurus garis lurus O z dan melalui titik M 1 (3, - 4, 5).

Ini akan terlihat seperti: z – 5 = 0.

Menjawab: z – 5 = 0 .

Contoh 3

Tuliskan persamaan bidang yang melalui titik asal dan tegak lurus garis x - 3 = y + 1 - 7 = z + 5 2

Larutan

Berdasarkan kondisi soal, dapat dikatakan bahwa vektor arah suatu garis lurus tertentu dapat dianggap sebagai vektor normal n → suatu bidang tertentu. Jadi: n → = (- 3 , - 7 , 2) . Mari kita tulis persamaan bidang yang melalui titik O (0, 0, 0) dan mempunyai vektor normal n → = (- 3, - 7, 2):

3 (x - 0) - 7 (y - 0) + 2 (z - 0) = 0 ⇔ - 3 x - 7 y + 2 z = 0

Kita telah memperoleh persamaan yang diperlukan untuk sebuah bidang yang melalui titik asal koordinat yang tegak lurus terhadap garis tertentu.

Menjawab:- 3 x - 7 y + 2 z = 0

Contoh 4

Sistem koordinat persegi panjang O x y z diberikan dalam ruang tiga dimensi, di dalamnya terdapat dua titik A (2, - 1, - 2) dan B (3, - 2, 4). Bidang α melalui titik A yang tegak lurus garis A B. Perlu dibuat persamaan bidang α dalam segmen-segmen.

Larutan

Bidang α tegak lurus terhadap garis A B, maka vektor A B → akan menjadi vektor normal bidang α. Koordinat vektor ini didefinisikan sebagai selisih antara koordinat titik B (3, - 2, 4) dan A (2, - 1, - 2) yang bersesuaian:

A B → = (3 - 2 , - 2 - (- 1) , 4 - (- 2)) ⇔ A B → = (1 , - 1 , 6)

Persamaan umum bidang tersebut akan ditulis sebagai berikut:

1 x - 2 - 1 y - (- 1 + 6 (z - (- 2)) = 0 ⇔ x - y + 6 z + 9 = 0

Sekarang mari kita buat persamaan bidang yang diperlukan dalam segmen-segmen:

x - y + 6 z + 9 = 0 ⇔ x - y + 6 z = - 9 ⇔ x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Menjawab:x - 9 + kamu 9 + z - 3 2 = 1

Perlu juga diperhatikan bahwa ada soal yang syaratnya adalah menulis persamaan bidang yang melalui suatu titik tertentu dan tegak lurus terhadap dua bidang tertentu. Secara umum penyelesaian masalah ini adalah dengan membuat persamaan bidang yang melalui suatu titik tertentu yang tegak lurus terhadap garis tertentu, karena dua bidang yang berpotongan membentuk suatu garis lurus.

Contoh 5

Diberikan sistem koordinat persegi panjang O x y z, di dalamnya terdapat titik M 1 (2, 0, - 5). Persamaan dua bidang 3 x + 2 y + 1 = 0 dan x + 2 z – 1 = 0, yang berpotongan sepanjang garis lurus a, juga diberikan. Perlu dibuat persamaan bidang yang melalui titik M 1 tegak lurus garis lurus a.

Larutan

Mari kita tentukan koordinat vektor pengarah garis lurus a. Garis tersebut tegak lurus terhadap vektor normal n 1 → (3, 2, 0) pada bidang n → (1, 0, 2) dan vektor normal 3 x + 2 y + 1 = 0 dari x + 2 z - 1 = 0 bidang.

Kemudian, sebagai vektor pengarah α → garis a, kita ambil hasil kali vektor dari vektor n 1 → dan n 2 →:

a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 3 2 0 1 0 2 = 4 i → - 6 j → - 2 k → ⇒ a → = (4 , - 6 , - 2 )

Jadi, vektor n → = (4, - 6, - 2) adalah vektor normal bidang yang tegak lurus garis a. Mari kita tuliskan persamaan bidang yang diperlukan:

4 (x - 2) - 6 (y - 0) - 2 (z - (- 5)) = 0 ⇔ 4 x - 6 y - 2 z - 18 = 0 ⇔ ⇔ 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Menjawab: 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter