Осьтерді жылжытқандағы инерция моменті. Осьтерді параллель аудару кезіндегі инерция моменті. Осьтерді бұру кезіндегі инерция моменттерінің өзгеруі

Жазық фигураның ауырлық центрі арқылы өтетін осьтер орталық осьтер деп аталады.
Орталық оське қатысты инерция моменті орталық инерция моменті деп аталады.

Теорема

Кез келген оське қатысты инерция моменті берілгенге параллель орталық оське қатысты инерция моментінің қосындысына және фигураның ауданы мен осьтер арасындағы қашықтықтың квадратының көбейтіндісіне тең.

Бұл теореманы дәлелдеу үшін ауданы тең болатын еркін жазықтық фигураны қарастырайық А , ауырлық центрі нүктеде орналасқан МЕН , және оське қатысты орталық инерция моменті x ерік Ix .
Белгілі бір оське қатысты фигураның инерция моментін есептейік x 1 , орталық осіне параллель және одан қашықтықта орналасқан А (күріш).

I x1 = Σ y 1 2 dA + Σ (y + a) 2 dA =
= Σ y 2 dA + 2a Σ y dA + a 2 Σ dA.

Алынған формуланы талдай отырып, біз бірінші мүшесі орталық оське қатысты осьтік инерция моментін, екінші мүшесі орталық оське қатысты осы фигура ауданының статикалық моментін (демек, ол тең нөл), ал интеграциядан кейінгі үшінші мүше туынды ретінде ұсынылуы мүмкін а 2 А , яғни нәтижесінде формуланы аламыз:

I x1 = I x + a 2 A- теорема дәлелденді.

Теоремаға сүйене отырып, бұл туралы қорытынды жасауға болады Параллель осьтер қатарында жазық фигураның осьтік инерция моменті орталық оське қатысты ең кіші болады. .

Бас осьтер және бас инерция моменттері

Координаталық осьтерге қатысты инерция моменттері жазық фигураны елестетейік Ix Және мен ж , ал басына қатысты полярлық инерция моменті тең I ρ . Бұрын белгіленгендей,

I x + I y = I ρ.

Егер координаталар осьтері өз жазықтығында координаталар басының айналасында бұрылса, онда полярлық инерция моменті өзгермейді, ал осьтік моменттері өзгереді, ал олардың қосындысы тұрақты болады. Айнымалылардың қосындысы тұрақты болғандықтан, олардың бірі азайып, екіншісі артады және керісінше.
Демек, осьтердің белгілі бір орнында осьтік моменттердің бірі максималды мәнге, ал екіншісі - минимумға жетеді.

Инерция моменттері минимум және максимум мәндері болатын осьтерді бас инерция осі деп атайды.
Бас оське қатысты инерция моменті бас инерция моменті деп аталады.

Егер бас ось фигураның ауырлық центрі арқылы өтетін болса, оны бас центрлік ось, ал мұндай оське қатысты инерция моментін бас орталық инерция моменті деп атайды.
Егер фигура кез келген оське қатысты симметриялы болса, онда бұл ось әрқашан осы фигураның негізгі орталық инерция осінің бірі болады деп қорытынды жасауға болады.

Центрден тепкіш инерция моменті

Жазық фигураның центрден тепкіш инерция моменті деп бүкіл аудан бойынша алынған элементар аудандардың көбейтінділерінің қосындысы мен екі өзара перпендикуляр осьтерге дейінгі қашықтықты айтады:

I xy = Σ xy dA,

Қайда x , ж - алаңнан қашықтығы дА осьтерге x Және ж .
Орталықтан тепкіш инерция моменті оң, теріс немесе нөлге тең болуы мүмкін.

Орталықтан тепкіш инерция моменті асимметриялық қималардың негізгі осьтерінің орнын анықтауға арналған формулаларға кіреді.
Стандартты профиль кестелері деп аталатын сипаттаманы қамтиды қиманың айналу радиусы , формулалар бойынша есептеледі:

i x = √ (I x / A),i y = √ (I y / A) , (бұдан әрі белгі"√"- түбір белгісі)

Қайда I x , I y - орталық осьтерге қатысты қиманың осьтік инерция моменттері; А - көлденең қиманың ауданы.
Бұл геометриялық сипаттама эксцентрлік кернеуді немесе қысуды, сонымен қатар бойлық иілуді зерттеуде қолданылады.

Бұралмалы деформация

Бұралу туралы негізгі түсініктер. Дөңгелек арқалықтың бұралуы.

Бұралу - арқалықтың кез келген көлденең қимасында тек қана момент болатын деформация түрі, яғни осы қимаға перпендикуляр оське қатысты қиманың айналмалы қозғалысын тудыратын немесе мұндай қозғалысты болдырмайтын күш факторы. Басқаша айтқанда, оның осіне перпендикуляр жазықтықта түзу арқалыққа жұп немесе жұп күш түсірілсе, бұралу деформациялары пайда болады.
Бұл жұп күштердің моменттері бұралу немесе айналу деп аталады. Айналым моменті арқылы белгіленеді Т .
Бұл анықтама бұралу деформациясының күш факторларын шартты түрде сыртқы факторларға (бұралу, айналу моменті) бөледі. Т ) және ішкі (моменттері M cr ).

Машиналар мен механизмдерде дөңгелек немесе құбырлы біліктер жиі бұралуға ұшырайды, сондықтан мұндай агрегаттар мен бөлшектер үшін беріктік пен қаттылық есептеулері жиі жасалады.

Дөңгелек цилиндрлік біліктің бұралуын қарастырайық.
Резеңке цилиндрлік білікті елестетіңіз, оның бір ұшы қатты бекітілген, ал бетінде бойлық сызықтар мен көлденең шеңберлер торы бар. Біз осьтің бос ұшына осы біліктің осіне перпендикуляр бірнеше күш түсіреміз, яғни оны ось бойымен бұрамыз. Егер сіз біліктің бетіндегі тор сызықтарын мұқият зерттесеңіз, мынаны байқайсыз:
- бұралу осі деп аталатын білік осі түзу болып қалады;
- шеңберлердің диаметрлері өзгеріссіз қалады, ал көршілес шеңберлер арасындағы қашықтық өзгермейді;
- біліктегі бойлық сызықтар бұрандалы сызықтарға айналады.

Бұдан мынадай қорытынды жасауға болады: дөңгелек цилиндрлік арқалықты (білікті) бұралған кезде жазық қималар туралы гипотеза дұрыс болады, сонымен қатар деформация кезінде шеңберлердің радиустары түзу болып қалады деп болжауға болады (өйткені олардың диаметрлері өзгермеген). Ал білік бөліктерінде бойлық күштер болмағандықтан, олардың арасындағы қашықтық сақталады.

Демек, дөңгелек біліктің бұралу деформациясы бұралу осі айналасында бір-біріне қатысты көлденең қималардың айналуынан тұрады, ал олардың айналу бұрыштары бекітілген қимадан қашықтығына тура пропорционал - кез келген қима қозғалмайтын ұшынан неғұрлым алыс болса білік осіне қатысты бұрыш соғұрлым үлкен болады, ол бұрылады.
Бiлiктiң әр секциясы үшiн айналу бұрышы бiлiктiң осы секция мен тығыздағыш (бекiтiлген ұшы) арасында қоршалған бөлiгiнiң бұралу бұрышына тең.


Бұрыш ( күріш. 1) біліктің бос ұшының (соңғы қиманың) айналуы цилиндрлік арқалықтың (біліктің) толық бұралу бұрышы деп аталады.
Салыстырмалы бұрылу бұрышы φ 0 бұралу бұрышының қатынасы деп аталады φ 1 қашықтыққа л 1 берілген бөлімнен ендірілгенге дейін (тұрақты бөлім).
Цилиндрлік арқалық (білік) ұзын болса л тұрақты көлденең қимасы бар және бос ұшында бұралу моменті жүктеледі (яғни, біртекті геометриялық қимадан тұрады), онда келесі мәлімдеме дұрыс болады:
φ 0 = φ 1 / l 1 = φ / l = const - мән тұрақты.

Жоғарыдағы резеңке цилиндрлік жолақтың бетіндегі жұқа қабатты қарастырсақ ( күріш. 1), тор ұяшығымен шектелген cdef , содан кейін біз бұл ұяшықтың деформация кезінде майысатынын және оның бекітілген қимадан қашықтағы жағының позицияны алып, сәуленің бұралуына қарай ығысатынын байқаймыз. cde 1 f 1 .

Айта кету керек, ұқсас сурет ығысу деформациясы кезінде байқалады, тек осы жағдайда бет бұралу деформациясындағыдай айналмалы қозғалысқа байланысты емес, бір-біріне қатысты қималардың ілгерілемелі қозғалысы есебінен деформацияланады. Осыған сүйене отырып, көлденең қималардағы бұралу кезінде момент құрайтын тангенциалды ішкі күштер (кернеулер) ғана пайда болады деп қорытынды жасауға болады.

Сонымен, момент көлденең қимада әрекет ететін ішкі тангенциалды күштер шоғырының осіне қатысты нәтижелі момент болып табылады.

Екі параллель оське қатысты қиманың әртүрлі инерция моменттері арасындағы тәуелділікті анықтайық (6.7-сурет), тәуелділіктер арқылы байланысқан.

1. Инерцияның статикалық моменттері үшін

Ақырында,

2. Инерцияның осьтік моменттері үшін

демек,

Егер ось zқиманың ауырлық центрі арқылы өтеді, содан кейін

Параллель осьтерге қатысты барлық инерция моменттерінің ішінде осьтік инерция моменті қиманың ауырлық центрі арқылы өтетін оське қатысты ең кіші мәнге ие.

Ось үшін де

Ось болған кезде жқиманың ауырлық центрі арқылы өтеді

3. Центрден тепкіш инерция моменттері үшін аламыз

Ақырында жаза аламыз

Координаталар жүйесінің басы болған жағдайда yzқиманың ауырлық центрінде, біз аламыз

Бір немесе екі ось симметрия осі болған жағдайда,

6.7. Осьтерді бұру кезіндегі инерция моменттерінің өзгеруі

Координаталық осьтерге қатысты қиманың инерция моменттері берілсін zy.

Координаталар жүйесіне қатысты белгілі бір бұрышпен бұрылған осьтерге қатысты бір қиманың инерция моменттерін анықтау қажет. zy(6.8-сурет).

Бұрыш оң деп саналады, егер ескі координаталар жүйесін жаңасына көшу үшін сағат тіліне қарсы бұру қажет болса (оң жақ декарттық тікбұрышты координаталар жүйесі үшін). Жаңа және ескі zyкоординаталық жүйелер суреттен туындайтын тәуелділіктермен байланысты. 6.8:

1. Жаңа координаталар жүйесінің осьтеріне қатысты осьтік инерция моменттерінің өрнектерін анықтайық:

Сол сияқты оське қатысты

Егер және осьтерге қатысты инерция моменттерінің мәндерін қоссақ, аламыз

яғни осьтер айналғанда осьтік инерция моменттерінің қосындысы тұрақты шама болады.

2. Центрден тепкіш инерция моменттерінің формулаларын шығарайық.

.

6.8. Инерцияның негізгі моменттері. Инерцияның негізгі осьтері

Қиманың осьтік инерция моменттерінің экстремалды мәндері бас инерция моменттері деп аталады.

Инерцияның осьтік моменттері экстремалды мәндерге ие екі өзара перпендикуляр осьтерді бас инерция осі деп атайды.

Негізгі инерция моменттерін және бас инерция осьтерінің орнын табу үшін (6.27) формула бойынша анықталатын инерция моментінің бұрышына қатысты бірінші туындысын анықтаймыз.

Осы нәтижені нөлге теңестірейік:

мұндағы координат осьтерін бұру керек бұрыш жЖәне zолар негізгі осьтермен сәйкес келетіндей етіп.

(6.30) және (6.31) өрнектерін салыстыра отырып, біз мұны анықтай аламыз

,

Демек, инерцияның негізгі осьтеріне қатысты центрден тепкіш инерция моменті нөлге тең.

Бірі немесе екеуі қиманың симметрия осьтерімен сәйкес келетін өзара перпендикуляр осьтер әрқашан бас инерция осі болып табылады.

Бұрыш үшін (6.31) теңдеуді шешейік:

.

Егер >0 болса, оң (сол) декарттық тікбұрышты координаталар жүйесі үшін негізгі инерция осінің бірінің орнын анықтау үшін ось қажет. zайналу бағытына қарсы бұрышпен (айналу бағытында) сағат тілімен бұраңыз. Егер<0, то для оп­ре­деления по­ло­же­ния одной из главных осей инерции для пра­вой (левой) де­кар­то­вой пря­мо­у­го­ль­ной системы координат необ­хо­димо осьzайналу бағытында (сағат тіліне қарсы) сағат тіліне қарсы бұрышпен бұраңыз.

Максималды ось әрқашан осьтердің бұрышымен кішірек бұрыш жасайды ( жнемесе z), оған қатысты осьтік инерция моменті үлкен мәнге ие болады (6.9-сурет).

Максималды ось (), if() осіне бұрышқа бағытталған және осьтердің жұп (тақ) ширектерінде, if() орналасқан.

Негізгі инерция моменттерін анықтайық және. (6.27) формуладан,,,функцияларды,,функцияларды қосатын тригонометриядан формулаларды қолданып, аламыз.

,

7-сурет.

,

,

,

Қайда I x , I y – тірек осьтерге қатысты осьтік инерция моменттері;

мен xy– тірек осьтерге қатысты центрден тепкіш инерция моменті;

мен xc, мен yc– орталық осьтерге қатысты осьтік инерция моменттері;

Мен xcyc– орталық осьтерге қатысты центрден тепкіш инерция моменті;

а, б– осьтер арасындағы қашықтық.

Біліктерді айналдыру кезінде қиманың инерция моменттерін анықтау

Орталық осьтерге қатысты қиманың барлық геометриялық сипаттамалары белгілі x C,C кезінде(Cурет 8). Осьтерге қатысты инерция моменттерін анықтайық x 1,1-де, орталықтарға қатысты белгілі бір бұрышқа айналдырылған а.

8-сурет

,

Қайда I x 1, I y 1 – осьтерге қатысты осьтік инерция моменттері x 1,1-де ;

I x 1 y 1– осьтерге қатысты центрден тепкіш инерция моменті x 1,1-де .

Негізгі орталық инерция осьтерінің орнын анықтау

Секцияның бас орталық инерция осьтерінің орны мына формуламен анықталады:

,

Қайда а 0 – орталық және бас инерция осьтерінің арасындағы бұрыш.

Негізгі инерция моменттерін анықтау

Қиманың негізгі инерция моменттері мына формуламен анықталады:

Күрделі қиманы есептеу реттілігі

1) Күрделі қиманы қарапайым геометриялық пішіндерге бөлу [S 1, S 2,…;x 1, ж 1; x 2, ж 2, …]

2) Ерікті осьтерді таңдаңыз XOY .

3) Қиманың ауырлық центрінің орнын анықтаңыз [x c , y c].

4) Орталық осьтерді сызыңыз X c OY c.

5) Инерция моменттерін есептеңдер Ix c, Iy c , осьтерді параллель аудару теоремасын қолдану.

6) Центрден тепкіш инерция моментін есептеңдер Ix c y c.

7) Бас инерция осьтерінің орнын анықтаңдар tg2a 0.

8) Инерцияның негізгі моменттерін есептеңдер Imax, Мен ... ішінде.

МЫСАЛ 2

13-суретте көрсетілген фигура үшін негізгі нүктелерді анықтаңыз

инерция және бас инерция осьтерінің орны.

1) Күрделі бөлікті қарапайым геометриялық пішіндерге бөлеміз

S 1 = 2000 мм 2, S 2 = 1200 мм 2, S= 3200 мм 2.

2) ерікті XOY осьтерін таңдаңыз.

3) Қиманың ауырлық центрінің орнын анықтаңыз

x c = 25 мм, у с=35 мм.

4) Орталық осьтерді сызу X c OY c

5) Инерция моменттерін есептеңдер Ix c, Iy c

6) Центрден тепкіш инерция моментін есептеңдер Ix c y c

7) Бас инерция осьтерінің орнын анықтаңдар

Егер I x >I y Және a 0 >0 , содан кейін бұрыш а 0 осінен ауытқу X с сағат тіліне қарсы.

8) Инерцияның негізгі моменттерін есептеңдер Imax, Мен ... ішінде

МЫСАЛ 3

Суретте көрсетілген фигура үшін. 8 негізгі осьтердің орнын анықтау

8-сурет.

инерция және негізгі инерция моменттері.

1) Әрбір фигураға негізгі бастапқы деректерді жазамыз

Арна

S 1 = 10,9 см 2

I x = 20,4 см 4

I y = 174 см 4

y 0= 1,44 см

h= 10 см

Тең емес бұрыш

S 3 = 6,36 см 2

I x = 41,6 см 4

I y = 12,7 см 4

Мен мин = 7,58 см 4

тга= 0,387

x 0= 1,13 см

y 0= 2,6 см

Тіктөртбұрыш

S 2 = 40 см 2

см 4

см 4

2) Масштабтау үшін кесінді сызыңыз

3) Ерікті координат осьтерін салыңыз

4) Қиманың ауырлық центрінің координаталарын анықтаңдар

5) Орталық осьтерді сызыңыз

6) Орталық осьтерге қатысты осьтік инерция моменттерін анықтаңыз

7) Орталық осьтерге қатысты центрден тепкіш инерция моментін анықтаңыз

Бұрыштық илектелген болаттың ауырлық центріне қатысты центрден тепкіш инерция моменті келесі формулалардың бірімен анықталады:

-4

Бұрыштық илектелген болат үшін центрден тепкіш инерция моментінің белгісі суретке сәйкес анықталады. 9, сондықтан Мен xy 3= -13,17 см 4.

8) Бас инерция осьтерінің орнын анықтаңдар

a 0 = 21,84°

9) Негізгі инерция моменттерін анықтаңыз

4-Тапсырма

Берілген схемалар үшін (6-кесте) қажет:

1) Көлденең қиманы қатаң масштабта сызыңыз.

2) Ауырлық центрінің орнын анықтаңыз.

3) Орталық осьтерге қатысты осьтік инерция моменттерінің мәндерін табыңыз.

4) Орталық осьтерге қатысты центрден тепкіш инерция моментінің мәнін табыңыз.

5) Бас инерция осьтерінің орнын анықтаңдар.

6) Негізгі инерция моменттерін табыңыз.

Кестеден сандық мәліметтерді алыңыз. 6.

No4 есеп бойынша есептеу схемалары

6-кесте

No4 тапсырма бойынша бастапқы деректер

№	Тең бұрышты бұрыш	Тең емес бұрыш	I-сәуле	Арна	Тіктөртбұрыш	Схема №
	30'5	50'32'4			100'30
	40'6	56'36'4			100'40
	50´4	63'40'8			100´20
	56´4	70'45'5			80'40
	63'6	80'50'6		14а	80'60
	70'8	90'56'6			80'100
	80´8	100'63'6	20а	16а	80'20
	90´9	90'56'8			60'40
	75'9	140'90'10	22а	18а	60'60
	100'10	160'100'12			60'40
	г	А	б	В	Г	г

5-ші мәселе бойынша нұсқаулар

Иілу - өзекшенің көлденең қимасында V.S.F пайда болатын деформация түрі. – иілу моменті.

Иілуге ​​арналған арқалықты есептеу үшін максималды иілу моментінің мәнін білу қажет Мжәне ол орын алатын бөлімнің орны. Дәл осылай сіз максималды ығысу күшін білуіңіз керек Q. Ол үшін иілу моменттері мен ығысу күштерінің диаграммалары құрастырылады. Диаграммалардан моменттің немесе ығысу күшінің максималды мәні қай жерде болатынын анықтау оңай. Мәндерді анықтау үшін МЖәне Qбөлім әдісін қолданыңыз. Суретте көрсетілген схеманы қарастырыңыз. 9. Оське түсетін күштердің қосындысын құрастырайық Ы, сәуленің кесілген бөлігіне әсер етеді.

9-сурет.

Ығысу күші алгебралық қосындықиманың бір жағында әрекет ететін барлық күштер.

Кесіндіге қатысты сәуленің кесілген бөлігіне әсер ететін моменттердің қосындысын құрастырайық.

Иілу моменті қиманың ауырлық центріне қатысты сәуленің кесілген бөлігіне әсер ететін барлық моменттердің алгебралық қосындысына тең.

Арқалықтың кез келген ұшынан есептеулер жүргізу мүмкіндігі болуы үшін ішкі күш факторлары үшін белгі ережесін қабылдау қажет.

Кесу күші үшін Q.

10-сурет.

Егер сыртқы күш сәуленің кесілген бөлігін сағат тілімен айналдырса, онда күш оң болады, егер сыртқы күш сәуленің кесілген бөлігін сағат тіліне қарсы бұрса, онда күш теріс болады.

Иілу сәті үшін М.

11-сурет.

Егер сыртқы күштің әсерінен арқалықтың қисық осі ойыс тостаған пішінін алса, жоғарыдан түсетін жаңбыр оны суға толтыратындай болса, онда иілу моменті оң болады (11а-сурет). Егер сыртқы күштің әсерінен арқалықтың қисық осі дөңес тостаған пішінін алса, жоғарыдан түсетін жаңбыр оны суға толтырмайтын болса, онда иілу моменті теріс болады (11б-сурет).

Бөлінген жүктеме қарқындылығы арасында q, ығысу күші Qжәне иілу моменті М, белгілі бір бөлімде әрекет ететін келесі дифференциалды тәуелділіктер бар:

Иілу кезінде көрсетілген дифференциалдық тәуелділіктер көлденең күштер мен иілу моменттерінің диаграммаларының кейбір ерекшеліктерін белгілеуге мүмкіндік береді.

1) Бөлінген жүктеме жоқ жерлерде, диаграмма Q диаграмма осіне параллель түзу сызықтармен және диаграммамен шектеледі М , жалпы жағдайда көлбеу түзу сызықтармен (Cурет 19).

2) Арқалыққа біркелкі бөлінген жүктеме түсетін жерлерде, диаграмма Q көлбеу түзу сызықтармен және диаграммамен шектеледі М – квадраттық параболалар (20-сурет). Диаграмманы құрастыру кезінде М сығылған талшықтарда параболаның дөңестігі бөлінген жүктің әрекетіне қарама-қарсы бағытта болады (21а, б-сурет).

12-сурет.

13-сурет.

3) сол бөлімдерде Q= 0, диаграммаға жанама Мдиаграмма осіне параллель (12, 13-сурет). Арқалықтың мұндай учаскелеріндегі иілу моменті шамасы бойынша шектен тыс ( M макс,Ммин).

4) аймақтарда Q> 0, Мартады, яғни солдан оңға қарай диаграмманың оң ординаталары Мартады, теріс азаяды (12, 13-сурет); сол аймақтарда Q < 0, Мтөмендейді (Cурет 12, 13).

5) Арқалыққа шоғырланған күштер әсер ететін учаскелерде:

а) диаграммада Qшамасы бойынша және түсірілген күштердің бағыты бойынша секірулер болады (12, 13-сурет).

б) диаграммада Мсынықтар болады (12, 13-сурет), сынықтың ұшы күштің әрекетіне қарсы бағытталған.

6) Диаграммада сәулеге шоғырланған момент қолданылатын бөлімдерде Мдиаграммада осы моменттердің шамасында секірулер болады Qөзгерістер болмайды (Cурет 14).

14-сурет.

15-сурет.

7) Егер концентрацияланған болса

моменті, онда бұл бөлімде иілу моменті сыртқы моментке тең (бөлім CЖәне Бсуретте. 15).

8) Диаграмма Qсюжеттің туындысының диаграммасын көрсетеді М. Сонымен ординаттар Qдиаграммаға жанаманың көлбеу бұрышының тангенсіне пропорционал М(Cурет 14).

Сюжетті құру тәртібі QЖәне М:

1) Арқалықтың жобалық схемасы (ось түрінде) оған әсер ететін жүктемелерді көрсетеді.

2) Тіректердің арқалыққа әсері сәйкес реакциялармен ауыстырылады; реакциялардың белгіленуі және олардың қабылданған бағыттары көрсетілген.

3) Шешуі тірек реакцияларының мәндерін анықтайтын сәуле үшін теңгерім теңдеулері құрастырылған.

4) Бөрене секцияларға бөлінеді, олардың шекаралары сыртқы шоғырланған күштер мен моменттердің әсер ету нүктелері, сондай-ақ әсер етудің басталу және аяқталу нүктелері немесе бөлінген жүктер сипатының өзгеруі болып табылады.

5) Иілу моменттеріне өрнектер құрастырылады Мжәне ығысу күштері Qсәуленің әрбір бөлімі үшін. Есептеу диаграммасы әрбір секция үшін қашықтықты өлшеудің басы мен бағытын көрсетеді.

6) Алынған өрнектерді пайдалана отырып, диаграммалардың ординаталары сәуленің бірқатар қималары үшін осы диаграммаларды көрсету үшін жеткілікті мөлшерде есептеледі.

7) Көлденең күштер нөлге тең, сондықтан моменттері әрекет ететін қималар анықталады. Mmaxнемесе Мминсәуленің берілген қимасы үшін; осы моменттердің мәндері есептеледі.

8) Алынған ордината мәндері арқылы диаграммалар құрастырылады.

9) Құрылған диаграммалар бір-бірімен салыстыру арқылы тексеріледі.

Қауіпті қиманы анықтау үшін иілу кезіндегі ішкі күш факторларының диаграммалары тұрғызылады. Қауіпті учаскені тапқаннан кейін арқалық беріктікке есептеледі. Көлденең иілудің жалпы жағдайында сырық бөліктерінде иілу моменті мен көлденең күш әсер еткенде, арқалықтың қимасында қалыпты және ығысу кернеулері пайда болады. Сондықтан күштің екі шартын қарастыру қисынды:

а) қалыпты кернеулер бойынша

б) тангенциалды кернеулер арқылы

Арқалықтар үшін негізгі бұзушы фактор қалыпты кернеулер болғандықтан, қабылданған пішіндегі арқалықтың көлденең қимасының өлшемдері қалыпты кернеулер үшін беріктік шартынан анықталады:

Содан кейін таңдалған арқалық бөлігінің ығысу кернеуінің беріктігі шартын қанағаттандыратыны тексеріледі.

Дегенмен, арқалықтарды есептеудің бұл тәсілі әлі сәуленің беріктігін сипаттамайды. Көп жағдайда арқалық қималарында үлкен қалыпты және ығысу кернеулері бір уақытта әсер ететін нүктелер болады. Мұндай жағдайларда негізгі кернеулер арқылы арқалықтың беріктігін тексеру қажет болады. Күштің үшінші және төртінші теориялары мұндай сынақтар үшін ең қолайлы:

, .

МЫСАЛ 1

Ығысу күшінің диаграммаларын құрастырыңыз Qжәне иілу моменті Мсуретте көрсетілген сәуле үшін. 16, егер: F 1= 3 кН, F 2= 1,5 кН, М = 5,1 кН∙м, q = =2кН/м, А = 2м, б = 1 м, бірге = 3м.

16-сурет.

1) Қолдау реакцияларын анықтаңыз.

;

;

Емтихан:

Реакциялар дұрыс табылды

2) Біз сәулені бөліктерге бөлеміз C.A.,AD,DE,Е.Қ.,Қ.Б..

3) Мәндерді анықтаңыз QЖәне Мәр сайтта.

SA

, ; , .

AD

, ;

, .

DE

, ;

, .

HF

, , .

Аудандағы ең үлкен иілу моментін табайық Қ.Б..

Теңдеуді теңестірейік Qосы бөлімде нөлге келтіріп, координатасын өрнектеңіз z макс , онымен Q= 0, ал момент максималды мәнге ие. Әрі қарай біз ауыстырамыз z макс осы бөлімдегі момент теңдеуін енгізіп, табыңыз Mmax.

Е.Қ

, .

4) Біз диаграммаларды саламыз (16-сурет)

МЫСАЛ 2

Суретте көрсетілген сәуле үшін. 16 дөңгелек, төртбұрыштың өлшемдерін анықтау ( с/б = 2) және I-бөлімі. I-сәулесінің беріктігін негізгі кернеулер бойынша тексеріңіз, егер [s]= 150 МПа, [t]= 150 МПа.

1) Беріктік шартынан қажетті қарсылық моментін анықтаймыз

2) Шеңбер қиманың өлшемдерін анықтау

3) Тіктөртбұрышты қиманың өлшемдерін анықтау

4) Ассортимент бойынша (ГОСТ 8239-89) No 10 I-сәулесін таңдаймыз.

В X= 39,7 см 3, S X * =23 см 3, I X = 198 см 4, h = 100 мм, б = 55 мм, г = 4,5 мм, т = 7,2 мм.

Негізгі кернеулер негізінде арқалықтың беріктігін тексеру үшін қауіпті учаскеде қалыпты және тангенциалды кернеулердің диаграммаларын салу қажет. Негізгі кернеулердің шамасы қалыпты және тангенциалды кернеулерге байланысты болғандықтан, беріктік сынағы арқалықтың қимасында жүргізілуі керек. МЖәне Qжеткілікті үлкен. Қолдау үстінде IN(Cурет 16) ығысу күші Qдегенмен мұнда максималды мән бар М= 0. Сондықтан тіреуіш бөлімін қауіпті деп есептейміз А, мұнда иілу моменті максималды және ығысу күші салыстырмалы түрде үлкен.

Қима биіктігі бойынша өзгеретін қалыпты кернеулер сызықтық заңға бағынады:

Қайда ж– қима нүктесінің координатасы (24-сурет).

сағ сағ= 0, s = 0;

сағ ymax ,

Ығысу кернеулерінің өзгеру заңы ауданның статикалық моментінің өзгеру заңымен анықталады, ол өз кезегінде параболалық заңға сәйкес қиманың биіктігі бойынша өзгереді. Бөлімнің сипаттамалық нүктелерінің мәнін есептеп, біз тангенциалды кернеулердің диаграммасын саламыз. t мәндерін есептеу кезінде біз суретте қабылданған қима өлшемдері үшін белгілерді қолданамыз. 17.

3-3 қабат үшін беріктік шарты орындалды.

5-Тапсырма

Берілген сәулелік схемалар үшін (кесте 12) көлденең күш диаграммаларын құрастырыңыз Qжәне иілу моменті М. Диаграмма үшін қиманы таңдаңыз а) дөңгелек [s]= 10 МПа; б) I-сәуле [s]= 150 МПа.

Кестеден сандық мәліметтерді алыңыз. 7.

7-кесте

No6 есеп бойынша бастапқы деректер

№

а, м

q 1 =q 3, кН/м

q 2 , кН/м

F 1, кН

F 2, кН

F 3, кН

М 1, кН∙м

М 2, кН∙м

М 3, кН∙м

Схема №

0,8

1,2

12 кестенің жалғасы

2. Көлденең қима ауданының осьтерге қатысты статикалық моменттері ОзЖәне О(см 3, м 3):

4. Өстерге қатысты қиманың центрден тепкіш инерция моменті ОзЖәне Ой(см 4, м 4):

Сол уақыттан бері

Осьтік J zЖәне Джижәне полярлық Дж p инерция моменттері әрқашан оң болады, өйткені екінші дәрежедегі координаталар интегралдық таңбаның астында болады. Статикалық сәттер СзЖәне С ж, сондай-ақ центрден тепкіш инерция моменті J zyоң және теріс болуы мүмкін.

Бұрыштар үшін прокаттың диапазоны центрифугалық моменттердің модульдік мәндерін береді. Олардың мәндері таңбаны ескере отырып, есептеуге енгізілуі керек.

Бұрыштың центрден тепкіш моментінің белгісін анықтау үшін (3.2-сурет) оны координаталар жүйесінің ширектерінде орналасқан қима бөліктері үшін жеке есептелетін үш интегралдың қосындысы ретінде ойша елестетеміз. Әлбетте, бірінші және үшінші тоқсанда орналасқан бөліктер үшін біз бұл интегралдың оң мәніне ие боламыз, өйткені өнім зыдАоң болады, ал II және IV тоқсанда орналасқан бөліктер үшін есептелген интегралдар теріс болады (көбейтінді зыдАтеріс болады). Осылайша, суреттегі бұрыш үшін. 3.2, ал центрден тепкіш инерция моментінің мәні теріс болады.

Кем дегенде бір симметрия осі бар кесіндіні ұқсас жолмен пайымдай отырып (3.2,б-сурет), біз мынадай қорытындыға келе аламыз: центрден тепкіш инерция моменті J zy нөлге тең, егер осьтердің бірі (Oz немесе Oy) қиманың симметрия осі болса.Шынында да, үшбұрыштың 1-ші және 2-ші ширектерінде орналасқан бөліктері үшін центрден тепкіш инерция моменттері тек таңбамен ғана ерекшеленеді. ІІІ және IV тоқсанда орналасқан бөліктер туралы да осыны айтуға болады.

Статикалық сәттер. Ауырлық центрін анықтау

Осьтерге қатысты статикалық моменттерді есептейік ОзЖәне Отіктөртбұрыш суретте көрсетілген. 3.3.

3.3-сурет. Статикалық моменттерді есептеуге қарай

Мұнда: А- қима ауданы, yCЖәне z C– оның ауырлық центрінің координаттары. Тіктөртбұрыштың ауырлық центрі диагональдардың қиылысында орналасқан.

Егер статикалық моменттері есептелетін осьтер фигураның ауырлық центрі арқылы өтетін болса, онда оның координаталары нөлге тең болатыны анық ( z C = 0, yC= 0), және (3.6) формуласына сәйкес статикалық моменттері де нөлге тең болады. Осылайша, қиманың ауырлық центрі деп келесі қасиетке ие нүктені айтады: ол арқылы өтетін кез келген оське қатысты статикалық момент,нөлге тең.

(3.6) формулалар ауырлық центрінің координаталарын табуға мүмкіндік береді z CЖәне yCкүрделі пішінді бөліктер. Бөлімді формада көрсетуге болатын болса nауырлық центрлерінің аудандары мен орындары белгілі бөліктер болса, онда бүкіл қиманың ауырлық центрінің координаталарын есептеу келесі түрде жазылуы мүмкін:

.

(3.7)

Осьтерді параллель аудару кезінде инерция моменттерінің өзгеруі

Инерция моменттері белгілі болсын J z, ДжиЖәне J zyосьтерге қатысты Ой. Инерция моменттерін анықтау керек Ж.З, Джи ЮЖәне JZYосьтерге қатысты О 1 YZ, осьтерге параллель Ой(3.4-сурет) және олардан арақашықтықта бөлінген а(көлденең) және б(тігінен)

3.4-сурет. Осьтерді параллель аудару кезінде инерция моменттерінің өзгеруі

Бастапқы тораптың координаталары дАбір-бірімен келесі теңдіктермен байланысты: З = z + а; Ы = ж + б.

Инерция моменттерін есептейік Ж.З, Джи ЮЖәне JZY.

(3.8)

(3.9)

(3.10)

Егер нүкте Оосьтердің қиылысулары Ойнүктесімен сәйкес келеді МЕН– қиманың ауырлық центрі (3.5-сурет) статикалық моменттері СзЖәне С жнөлге тең болады және формулалар жеңілдетілгенY i және З ибелгілерін ескере отырып қабылдануы тиіс. Координаталық белгілер осьтік инерция моменттеріне әсер етпейді (координаталар екінші дәрежеге көтеріледі), бірақ координаталық белгі центрден тепкіш инерция моментіне айтарлықтай әсер етеді (өнім). Z i Y i A iтеріс болуы мүмкін).

Ix, Iy, Ixy да белгілі болсын. xy осьтеріне параллель жаңа x 1, y 1 осін салайық.

Ал сол қиманың жаңа осьтерге қатысты инерция моментін анықтайық.

X 1 = x-a; y 1 =y-b

I x 1 = ∫ y 1 dA = ∫ (y-b) 2 dA = ∫ (y 2 - 2by + b 3)dA = ∫ y 2 dA – 2b ∫ ydA + b 2 ∫dA=

Ix – 2b Sx + b 2 A.

Егер х осі қиманың ауырлық центрі арқылы өтетін болса, онда статикалық момент Sx =0.

I x 1 = Ix + b 2 A

Жаңа y 1 осіне ұқсас, бізде I y 1 = Iy + a 2 A формуласы болады.

Жаңа осьтерге қатысты центрден тепкіш инерция моменті

Ix 1 y 1 = Ixy – b Sx –a Sy + abA.

Егер xy осьтері қиманың ауырлық центрі арқылы өтетін болса, онда Ix 1 y 1 = Ixy + abA

Егер қима симметриялы болса, орталық осьтердің кем дегенде біреуі симметрия осіне сәйкес келсе, онда Ixy =0, бұл Ix 1 y 1 = abA дегенді білдіреді.

Осьтерді бұру кезіндегі инерция моменттерінің өзгеруі.

xy осьтеріне қатысты осьтік инерция моменттері белгілі болсын.

Егер айналу сағат тіліне қарсы болса, ескі жүйені бұрышқа (a > 0) айналдыру арқылы жаңа xy координаталар жүйесін аламыз.

Сайттың ескі және жаңа координаталары арасындағы қатынасты орнатайық

y 1 =ab = ac – bc = ab- de

acd үшбұрышынан:

ac/ad =cos α ac= ad*cos α

oed үшбұрышынан:

de/od =sin α dc = od*sin α

Осы мәндерді у үшін өрнекке ауыстырайық

y 1 = ad cos α - od sin α = y cos α - x sin α.

сияқты

x 1 = x cos α + y sin α.

Жаңа оське х 1 қатысты осьтік инерция моментін есептейік

Ix 1 = ∫y 1 2 dA = ∫ (y cos α - x sin α) 2 dA= ∫ (y 2 cos 2 α - 2xy sin α cos α + x 2 sin 2 α)dA= =cos 2 α ∫ y 2 dA – sin2 α ∫xy dA + sin 2 α ∫x 2 dA = Ix cos 2 α - Ixy sin2 α + Iy sin 2 α .

Сол сияқты Iy 1 = Ix sin 2 α - Ixy sin2 α + Iy cos 2 α.

Алынған өрнектердің сол және оң жақтарын қосайық:

Ix 1 + Iy 1 = Ix (sin 2 α + cos 2 α) + Iy (sin 2 α + cos 2 α) + Ixy (sin2 α - cos2 α).

Ix 1 + Iy 1 = Ix + Iy

Айналу кезіндегі осьтік инерция моменттерінің қосындысы өзгермейді.

Жаңа осьтерге қатысты центрден тепкіш инерция моментін анықтайық. x 1 , y 1 мәндерін елестетейік.

Ix 1 y 1 = ∫x 1 y 1 dA = (Ix – Iy)/2*sin 2 α + Ixy cos 2 α .

Бас моменттері және бас инерция осьтері.

Инерцияның негізгі моменттеріолар экстремалды құндылықтар деп аталады.

Төтенше мәндер алынған осьтер инерцияның негізгі осі деп аталады. Олар әрқашан өзара перпендикуляр.

Негізгі осьтерге қатысты центрден тепкіш инерция моменті әрқашан 0-ге тең болады.Кесіндіде симметрия осі бар екені белгілі болғандықтан, орталықтан тепкіш момент 0-ге тең, яғни симметрия осі бас ось болып табылады. Егер I x 1 өрнегінің бірінші туындысын алсақ, онда оны «0-ге» теңестірсек, бас инерция осьтерінің орнына сәйкес = бұрыштың мәнін аламыз.

tg2 α 0 = -

Егер α 0 >0 болса, онда негізгі осьтердің белгілі бір орны үшін ескі ось сағат тіліне қарсы бұрылуы керек. Негізгі осьтердің бірі - макс, ал екіншісі - мин. Бұл жағдайда максималды ось әрқашан үлкен осьтік инерция моменті болатын кездейсоқ осьпен кішірек бұрышқа сәйкес келеді. Осьтік инерция моментінің экстремалды мәндері мына формуламен анықталады:

Тарау 2. Материалдардың беріктігі туралы негізгі түсініктер. Мақсаттары мен әдістері.

Әртүрлі құрылымдарды жобалау кезінде әртүрлі беріктік, қаттылық және тұрақтылық мәселелерін шешу қажет.

Күш– берілген дененің бұзылмай әртүрлі жүктемелерге төтеп беру қабілеті.

Қаттылық– құрылымның үлкен деформацияларсыз (орын ауыстыруларсыз) жүктемелерді қабылдау қабілеті. Деформацияның алдын ала рұқсат етілген мәндері құрылыс нормалары мен ережелерімен (SNIP) реттеледі.

Тұрақтылық

Иілгіш өзекшенің қысылуын қарастырайық

Жүктеме бірте-бірте ұлғайса, штанга алдымен қысқарады. F күші белгілі бір критикалық мәнге жеткенде, стержень бұралып қалады. - абсолютті қысқарту.

Бұл жағдайда штанга құлап кетпейді, бірақ оның пішінін күрт өзгертеді. Бұл құбылыс тұрақтылықтың жоғалуы деп аталады және жойылуға әкеледі.

Сопромат– бұл инженерлік құрылымдардың беріктігі, қаттылығы және орнықтылығы туралы ғылымдардың негіздері. Беріктік материалдар теориялық механика, физика және математика әдістерін пайдаланады. Теориялық механикадан айырмашылығы, беріктікке төзімділік жүктеме мен температура әсерінен денелердің өлшемдері мен пішінінің өзгеруін ескереді.