Подготовка за изпита. Решаване на логаритмични и експоненциални неравенства по метода на рационализацията. Труд Манов "логаритмични неравенства в изпита" изпит профил решение на логаритмични неравенства

Раздели: Математика

Често при решаването на логаритмични неравенства има проблеми с променлива основа на логаритъма. И така, неравенство на формата

е стандартно училищно неравенство. По правило за решаването му се използва преход към еквивалентен набор от системи:

Недостатъкът на този метод е необходимостта от решаване на седем неравенства, без да се броят две системи и едно множество. Дори при дадени квадратични функции, решението за населението може да изисква много време.

Може да бъде предложен алтернативен, по-малко отнемащ време начин за решаване на това стандартно неравенство. За да направим това, вземаме предвид следната теорема.

Теорема 1. Нека непрекъснато нарастваща функция върху множество X. Тогава върху това множество знакът на нарастването на функцията ще съвпада със знака на нарастването на аргумента, т.е. , Където .

Забележка: ако непрекъснато намаляваща функция на множеството X, тогава .

Да се ​​върнем на неравенството. Нека да преминем към десетичния логаритъм (можете да отидете до всеки с постоянна основа, по-голяма от едно).

Сега можем да използваме теоремата, като забележим в числителя увеличението на функциите и в знаменателя. Така че е вярно

В резултат на това броят на изчисленията, водещи до отговора, е намален с около половината, което спестява не само време, но също така ви позволява потенциално да правите по-малко аритметични и небрежни грешки.

Пример 1

Сравнявайки с (1), намираме , , .

Преминавайки към (2), ще имаме:

Пример 2

Сравнявайки с (1) намираме , , .

Преминавайки към (2), ще имаме:

Пример 3

Тъй като лявата страна на неравенството е нарастваща функция за и , тогава отговорът е зададен.

Наборът от примери, в които може да се приложи Terme 1, може лесно да бъде разширен, ако се вземе предвид Terme 2.

Нека на снимачната площадка хфункциите , , , са дефинирани и на това множество знаците и съвпадат, т.е. тогава ще е справедливо.

Пример 4

Пример 5

При стандартния подход примерът се решава по схемата: произведението е по-малко от нула, когато факторите са с различни знаци. Тези. разглеждаме набор от две системи от неравенства, в които, както беше посочено в началото, всяко неравенство се разпада на още седем.

Ако вземем предвид теорема 2, тогава всеки от факторите, вземайки предвид (2), може да бъде заменен с друга функция, която има същия знак в този пример на O.D.Z.

Методът за замяна на нарастването на функция с увеличение на аргумента, като се вземе предвид теорема 2, се оказва много удобен при решаване на типични проблеми на C3 USE.

Пример 6

Пример 7

. Нека обозначим . Вземете

. Имайте предвид, че замяната предполага: . Връщайки се към уравнението, получаваме .

Пример 8

В теоремите, които използваме, няма ограничение за класовете функции. В тази статия, като пример, теоремите бяха приложени към решаването на логаритмични неравенства. Следващите няколко примера ще демонстрират обещанието на метода за решаване на други видове неравенства.

ЛОГАРИТМИЧНИ НЕРАВЕНСТВА В УПОТРЕБАТА

Сечин Михаил Александрович

Малка академия на науките за ученици на Република Казахстан "Търсач"

MBOU "Съветско средно училище № 1", 11 клас, гр. Съветски съветски район

Гунко Людмила Дмитриевна, учител на МБОУ "Съветско средно училище № 1"

Съветски район

Цел на работата:изследване на механизма за решаване на логаритмични C3 неравенства с помощта на нестандартни методи, идентифициране интересни фактилогаритъм.

Предмет на изследване:

3) Научете се да решавате конкретни логаритмични C3 неравенства, като използвате нестандартни методи.

Резултати:

Съдържание

Въведение……………………………………………………………………………….4

Глава 1. Предистория………………………………………………………...5

Глава 2. Колекция от логаритмични неравенства …………………………… 7

2.1. Еквивалентни преходи и обобщеният метод на интервалите…………… 7

2.2. Метод на рационализация ……………………………………………………… 15

2.3. Нестандартно заместване……………………………………………………………………………………………………………………………………………….

2.4. Задачи с капани………………………………………………………… 27

Заключение……………………………………………………………………… 30

Литература………………………………………………………………………. 31

Въведение

Аз съм в 11 клас и смятам да вляза в университет, където математиката е основен предмет. И затова работя много със задачите от част C. В задача C3 трябва да решите нестандартно неравенство или система от неравенства, обикновено свързани с логаритми. Докато се подготвях за изпита, се сблъсках с проблема с липсата на методи и техники за решаване на изпитните логаритмични неравенства, предлагани в C3. Методите, които се изучават в училищната програма по тази тема, не дават основа за решаване на задачи C3. Учителката по математика ми предложи сама да работя със задачите С3 под нейно ръководство. Освен това се интересувах от въпроса: има ли логаритми в нашия живот?

С оглед на това беше избрана темата:

"Логаритмични неравенства на изпита"

Цел на работата:изследване на механизма за решаване на задачи С3 чрез нестандартни методи, разкриващи интересни факти за логаритъма.

Предмет на изследване:

1) Намерете необходимата информация за нестандартни методи за решаване на логаритмични неравенства.

2) Намерете допълнителна информация за логаритмите.

3) Научете се да решавате специфични проблеми на C3, като използвате нестандартни методи.

Резултати:

Практическото значение е в разширяването на апарата за решаване на задачи С3. Този материал може да се използва в някои уроци, за провеждане на кръгове, факултативни часове по математика.

Продукт на проекта ще бъде сборникът „Логаритмични C3 неравенства с решения“.

Глава 1. Предистория

През 16 век броят на приблизителните изчисления нараства бързо, предимно в астрономията. Усъвършенстването на инструментите, изучаването на движенията на планетите и друга работа изискваха колосални, понякога много години, изчисления. Астрономията беше в реална опасност да се удави в неизпълнени изчисления. Трудности възникнаха и в други области, например в застрахователния бизнес бяха необходими таблици със сложни лихви за различни процентни стойности. Основната трудност беше умножението, деленето на многоцифрени числа, особено тригонометричните величини.

Откриването на логаритмите се основава на добре известните свойства на прогресиите в края на 16 век. За връзката между членовете на геометричната прогресия q, q2, q3, ... и аритметична прогресияпоказателите им са 1, 2, 3, ... Архимед говори в "Псалмита". Друга предпоставка беше разширяването на концепцията за степен до отрицателни и дробни показатели. Много автори посочват, че умножението, делението, повишаването на степен и извличането на корен съответстват в аритметика - в същия ред - събиране, изваждане, умножение и деление.

Тук беше идеята за логаритъма като показател.

В историята на развитието на учението за логаритмите са преминали няколко етапа.

Етап 1

Логаритмите са изобретени не по-късно от 1594 г. независимо от шотландския барон Напиер (1550-1617) и десет години по-късно от швейцарския механик Бурги (1552-1632). И двамата искаха да осигурят ново удобно средство за аритметични изчисления, въпреки че подходиха към този проблем по различни начини. Напиер изразява кинематично логаритмичната функция и по този начин навлиза в нова област на теорията на функциите. Bürgi остана на базата на разглеждане на дискретни прогресии. Дефиницията на логаритъма и за двете обаче не е подобна на съвременната. Терминът "логаритъм" (логаритъм) принадлежи на Напиер. Възникна от комбинация от гръцки думи: logos - "връзка" и ariqmo - "число", което означаваше "брой отношения". Първоначално Напиер използва различен термин: numeri artificiales - "изкуствени числа", за разлика от numeri naturalts - "естествени числа".

През 1615 г. в разговор с Хенри Бригс (1561-1631), професор по математика в Gresh College в Лондон, Напиер предлага да се вземе нула за логаритъм от едно и 100 за логаритъм от десет, или каквото се равнява на същото , просто 1. Така са отпечатани десетичните логаритми и Първите логаритмични таблици. По-късно таблиците на Бригс са допълнени от холандския книжар и математик Андриан Флак (1600-1667). Напиер и Бригс, въпреки че стигнаха до логаритмите преди всеки друг, публикуваха своите таблици по-късно от другите - през 1620 г. Знаците log и Log са въведени през 1624 г. от И. Кеплер. Терминът "натурален логаритъм" е въведен от Менголи през 1659 г., последван от Н. Меркатор през 1668 г., а лондонският учител Джон Спадел публикува таблици с естествени логаритми на числа от 1 до 1000 под името "Нови логаритми".

На руски език първите логаритмични таблици са публикувани през 1703 г. Но във всички логаритмични таблици бяха направени грешки при изчислението. Първите таблици без грешки са публикувани през 1857 г. в Берлин в обработката на немския математик К. Бремикер (1804-1877).

Етап 2

По-нататъшното развитие на теорията на логаритмите е свързано с по-широкото приложение на аналитичната геометрия и инфинитезималното смятане. По това време е установена връзката между квадратурата на равностранна хипербола и естествения логаритъм. Теорията на логаритмите от този период е свързана с имената на редица математици.

Немският математик, астроном и инженер Николаус Меркатор в своето есе

"Logarithmotechnics" (1668) дава серия, която дава разширението на ln(x + 1) по отношение на

мощности x:

Този израз точно отговаря на хода на неговата мисъл, въпреки че, разбира се, той не използва знаците d, ..., а по-тромави символи. С откриването на логаритмичните серии техниката за изчисляване на логаритмите се промени: те започнаха да се определят с помощта на безкрайни серии. В своите лекции "Елементарна математика от по-висока гледна точка", прочетени през 1907-1908 г., Ф. Клайн предлага да се използва формулата като отправна точка за изграждане на теорията на логаритмите.

Етап 3

Дефиниция на логаритмична функция като функция на обратната

експоненциален, логаритъм като показател на дадена основа

не е формулиран веднага. Работата на Леонхард Ойлер (1707-1783)

„Въведение в анализа на безкрайно малки“ (1748) служи като по-нататък

развитие на теорията на логаритмичната функция. По този начин,

Изминаха 134 години от първото въвеждане на логаритмите

(броене от 1614 г.), преди математиците да излязат с дефиниция

концепцията за логаритъм, която сега е в основата на училищния курс.

Глава 2. Колекция от логаритмични неравенства

2.1. Еквивалентни преходи и обобщен метод на интервалите.

Еквивалентни преходи

ако a > 1

ако 0 < а < 1

Обобщен интервален метод

Този метод е най-универсалният при решаване на неравенства от почти всякакъв вид. Схемата за решение изглежда така:

1. Приведете неравенството в такъв вид, където функцията е разположена от лявата страна
, и 0 вдясно.

2. Намерете обхвата на функцията
.

3. Намерете нулите на функция
, тоест решаване на уравнението
(и решаването на уравнение обикновено е по-лесно от решаването на неравенство).

4. Начертайте област на дефиниция и нули на функцията върху реална права.

5. Определете знаците на функцията
на получените интервали.

6. Изберете интервалите, в които функцията приема необходимите стойности, и запишете отговора.

Пример 1

Решение:

Приложете метода на интервала

където

За тези стойности всички изрази под знаците на логаритмите са положителни.

Отговор:

Пример 2

Решение:

1-во начин . ОДЗ се определя от неравенството х> 3. Вземане на логаритми за такива хв база 10, получаваме

Последното неравенство може да бъде решено чрез прилагане на правилата за разлагане, т.е. сравняване на фактори с нула. В този случай обаче е лесно да се определят интервалите на постоянство на функцията

така че може да се приложи интервалният метод.

функция f(х) = 2х(х- 3,5)lgǀ х- 3ǀ е непрекъснато за х> 3 и изчезва в точки х 1 = 0, х 2 = 3,5, х 3 = 2, х 4 = 4. Така определяме интервалите на постоянство на функцията f(х):

Отговор:

2-ри начин . Нека приложим идеите на метода на интервалите директно към първоначалното неравенство.

За това припомняме, че изразите аб- а c и ( а - 1)(b- 1) имат един знак. Тогава нашето неравенство за х> 3 е еквивалентно на неравенството

или

Последното неравенство се решава по интервалния метод

Отговор:

Пример 3

Решение:

Приложете метода на интервала

Отговор:

Пример 4

Решение:

От 2 х 2 - 3х+ 3 > 0 за всички реални х, Че

За да решим второто неравенство, използваме интервалния метод

В първото неравенство правим промяната

тогава стигаме до неравенството 2y 2 - г - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те г, които удовлетворяват неравенството -0,5< г < 1.

Откъде, защото

получаваме неравенството

която се извършва с х, за което 2 х 2 - 3х - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

Сега, като вземем предвид решението на второто неравенство на системата, най-накрая получаваме

Отговор:

Пример 5

Решение:

Неравенството е еквивалентно на набор от системи

или

Приложете метода на интервала или

Отговор:

Пример 6

Решение:

Неравенството е равносилно на система

Позволявам

Тогава г > 0,

и първото неравенство

системата приема формата

или разширяване

квадратен трином на множители,

Прилагайки интервалния метод към последното неравенство,

виждаме, че неговите решения отговарят на условието г> 0 ще бъде всичко г > 4.

Така първоначалното неравенство е еквивалентно на системата:

И така, решенията на неравенството са всички

2.2. метод на рационализация.

Преди това методът за рационализиране на неравенството не беше решен, не беше известен. Това е новото модерно ефективен методрешения на експоненциални и логаритмични неравенства" (цитат от книгата на Колесникова S.I.)
И дори ако учителят го познаваше, имаше страх - но познава ли го USE експертът и защо не го дават в училище? Имаше ситуации, когато учителят казваше на ученика: "Откъде го взе? Седни - 2."
Сега методът се рекламира навсякъде. И за експертите има насоки, свързани с този метод, и в "Най-пълните издания на стандартни опции ..." в решение C3, този метод се използва.
МЕТОДА Е СТРАХОТЕН!

"Магическа маса"

В други източници

Ако a >1 и b >1, след това log a b >0 и (a -1)(b -1)>0;

Ако a >1 и 0

ако 0<а<1 и b >1, след това регистрирайте a b<0 и (a -1)(b -1)<0;

ако 0<а<1 и 00 и (a -1)(b -1)>0.

Горното разсъждение е просто, но значително опростява решението на логаритмичните неравенства.

Пример 4

log x (x 2 -3)<0

Решение:

Пример 5

log 2 x (2x 2 -4x +6)≤log 2 x (x 2 +x )

Решение:

Отговор. (0; 0,5) U .

Пример 6

За да разрешим това неравенство, пишем (x-1-1) (x-1) вместо знаменателя и произведението (x-1) (x-3-9 + x) вместо числителя.

Отговор : (3;6)

Пример 7

Пример 8

2.3. Нестандартна замяна.

Пример 1

Пример 2

Пример 3

Пример 4

Пример 5

Пример 6

Пример 7

log 4 (3 x -1) log 0,25

Нека направим заместването y=3 x -1; тогава това неравенство приема формата

log 4 log 0,25
.

защото log 0,25 = -log 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , тогава пренаписваме последното неравенство като 2log 4 y -log 4 2 y ≤.

Нека направим замяна t =log 4 y и получим неравенството t 2 -2t +≥0, решението на което е интервалите - .

По този начин, за да намерим стойностите на y, имаме набор от две най-прости неравенства
Решението на тази колекция са интервалите 0<у≤2 и 8≤у<+.

Следователно първоначалното неравенство е еквивалентно на набор от две експоненциални неравенства,
тоест агрегати

Решението на първото неравенство от това множество е интервалът 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+. По този начин първоначалното неравенство е в сила за всички стойности на x от интервалите 0<х≤1 и 2≤х<+.

Пример 8

Решение:

Неравенството е равносилно на система

Решението на второто неравенство, което определя ODZ, ще бъде множеството от тези х,

за което х > 0.

За да решим първото неравенство, правим промяната

Тогава получаваме неравенството

или

Множеството от решения на последното неравенство се намира по метода

интервали: -1< T < 2. Откуда, возвращаясь к переменной х, получаваме

или

Много от тези х, които удовлетворяват последното неравенство

принадлежи на ОДЗ ( х> 0), следователно е решение на системата,

и оттам първоначалното неравенство.

Отговор:

2.4. Задачи с капани.

Пример 1

.

Решение. ODZ на неравенството е всички x, които отговарят на условието 0 . Следователно всички x от интервала 0

Пример 2

log 2 (2x +1-x 2)>log 2 (2x-1 +1-x)+1.. ? Въпросът е, че второто число очевидно е по-голямо от

Заключение

Не беше лесно да се намерят специални методи за решаване на задачи C3 от голямо изобилие от различни образователни източници. В хода на извършената работа успях да изучавам нестандартни методи за решаване на сложни логаритмични неравенства. Това са: еквивалентни преходи и обобщен метод на интервалите, метод на рационализация , нестандартна замяна , задачи с капани на ОДЗ. Тези методи отсъстват от училищната програма.

Използвайки различни методи, реших 27 неравенства, предложени на USE в част C, а именно C3. Тези неравенства с решения по методи формират основата на колекцията "Логаритмични С3 неравенства с решения", която стана проектният продукт на моята дейност. Хипотезата, която изложих в началото на проекта, беше потвърдена: проблемите на C3 могат да бъдат ефективно решени, ако тези методи са известни.

Освен това открих интересни факти за логаритмите. Беше ми интересно да го направя. Продуктите от моя проект ще бъдат полезни както за ученици, така и за учители.

Изводи:

Така целта на проекта е постигната, проблемът е решен. И получих най-пълния и многостранен опит в проектните дейности на всички етапи на работа. В хода на работата по проекта основното ми въздействие върху развитието беше върху умствената компетентност, дейности, свързани с логически умствени операции, развитие на творческа компетентност, лична инициатива, отговорност, постоянство и активност.

Гаранция за успех при създаване на изследователски проект за Станах: значителен училищен опит, способност да извличам информация от различни източници, да проверявам нейната надеждност, да я класирам според нейната значимост.

В допълнение към знанията по математика, той разширява практическите си умения в областта на компютърните науки, придобива нови знания и опит в областта на психологията, установява контакти със съученици и се научава да си сътрудничи с възрастни. В хода на дейностите по проекта бяха развити организационни, интелектуални и комуникативни общообразователни умения и способности.

Литература

1. Корянов А. Г., Прокофиев А. А. Системи от неравенства с една променлива (типични задачи С3).

2. Малкова А. Г. Подготовка за Единния държавен изпит по математика.

3. С. С. Самарова, Решение на логаритмични неравенства.

4. Математика. Колекция от учебни работи под редакцията на A.L. Семьонов и И.В. Ященко. -М .: МЦНМО, 2009. - 72 с.-

Статията е посветена на анализа на задачи 15 от профилния изпит по математика за 2017 г. В тази задача на учениците се предлага да решават неравенства, най-често логаритмични. Въпреки че те могат да бъдат показателни. Тази статия предоставя анализ на примери за логаритмични неравенства, включително тези, съдържащи променлива в основата на логаритъма. Всички примери са взети от отворената банка на USE задачи по математика (профил), така че е много вероятно подобни неравенства да се срещнат на изпита като задача 15. Идеален за тези, които искат да се научат как да решават задача 15 от втората част на профилът ИЗПОЛЗВАЙТЕ за кратък период от време по математика, за да получите по-високи резултати на изпита.

Анализ на задачи 15 от профилния изпит по математика

Пример 1. Решете неравенството:

В задачи 15 от Единния държавен изпит по математика (профил) често се срещат логаритмични неравенства. Решаването на логаритмичните неравенства започва с дефинирането на обхвата на допустимите стойности. В този случай няма променлива в основата на двата логаритма, има само числото 11, което значително опростява задачата. Следователно единственото ограничение, което имаме тук, е, че и двата израза под знака за логаритъм са положителни:

Title="Изобразено от QuickLaTeX.com">!}

Първото неравенство в системата е квадратното неравенство. За да го решим, наистина би било добре да разложим лявата страна на множители. Мисля, че знаете, че всеки квадратен тричлен от формата Разлага се на фактори, както следва:

където и са корените на уравнението. В този случай коефициентът е 1 (това е числовият коефициент пред ). Коефициентът също е равен на 1, а коефициентът е свободен член, той е равен на -20. Корените на тричлен се определят най-лесно с помощта на теоремата на Виета. Нашето уравнение е намалено, което означава сумата от корените и ще бъде равно на коефициента с обратен знак, тоест -1, а произведението на тези корени ще бъде равно на коефициента, тоест -20. Лесно е да се досетите, че корените ще бъдат -5 и 4.

Сега лявата страна на неравенството може да бъде разложена на фактори: title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="163" style="vertical-align: -5px;"> Решаем это неравенство. График соответствующей функции — это парабола, ветви которой направлены вверх. Эта парабола пересекает ось !} хв точки -5 и 4. Следователно желаното решение на неравенството е интервалът . За тези, които не разбират написаното тук, можете да видите подробностите във видеото, започвайки от сега. Там ще намерите и подробно обяснение как се решава второто неравенство на системата. Решава се. Освен това отговорът е абсолютно същият като за първото неравенство на системата. Тоест наборът, написан по-горе, е областта на допустимите стойности на неравенството.

И така, като се вземе предвид факторизацията, първоначалното неравенство приема формата:

Използвайки формулата, нека добавим 11 към степента на израза под знака на първия логаритъм и преместваме втория логаритъм в лявата страна на неравенството, като променяме знака му на противоположния:

След редукция получаваме:

Последното неравенство, поради нарастването на функцията , е еквивалентно на неравенството , чието решение е интервалът . Остава да го пресечем с областта на допустимите стойности на неравенството и това ще е отговорът на цялата задача.

И така, желаният отговор на задачата има формата:

Разбрахме тази задача, сега преминаваме към следващия пример на задача 15 от Единния държавен изпит по математика (профил).

Пример 2. Решете неравенството:

Започваме решението с определяне на обхвата на допустимите стойности на това неравенство. Основата на всеки логаритъм трябва да бъде положително число, което не е равно на 1. Всички изрази под знака на логаритъма трябва да са положителни. Знаменателят на дроб не трябва да е нула. Последното условие е еквивалентно на , тъй като само в противен случай и двата логаритма в знаменателя са нулеви. Всички тези условия определят обхвата на допустимите стойности на това неравенство, което се дава от следната система от неравенства:

Title="Изобразено от QuickLaTeX.com">!}

В обхвата на приемливите стойности можем да използваме формули за логаритмична трансформация, за да опростим лявата страна на неравенството. Използване на формулата отърви се от знаменателя:

Сега имаме само основни логаритми. Вече е по-удобно. След това използваме формулата, а също и формулата, за да приведем стойностния израз в следната форма:

При изчисленията използвахме това, което е в диапазона на допустимите стойности. Използвайки заместването, стигаме до израза:

Нека използваме още една замяна: . В резултат на това стигаме до следния резултат:

И така, постепенно се върнете към първоначалните променливи. Първо към променливата: