ریشه های معادله درجه دوم فرمول vieta. حل شفاهی معادلات درجه دوم و قضیه ویتا. بیایید این معادله را ثابت کنیم

فرانسوا ویتا (1540-1603) - ریاضیدان، خالق فرمول های معروف ویتا

قضیه ویتابرای حل سریع معادلات درجه دوم (به عبارت ساده) مورد نیاز است.

در جزئیات بیشتر، تی قضیه ویتا - این است که مجموع ریشه های این معادله درجه دوم برابر با ضریب دوم است که با علامت مخالف گرفته می شود و حاصلضرب برابر با جمله آزاد است. این ویژگی دارای هر معادله درجه دوم است که دارای ریشه باشد.

با استفاده از قضیه ویتا، می توانید به راحتی معادلات درجه دوم را با انتخاب حل کنید، بنابراین بیایید به این ریاضیدان با شمشیر در دست برای کلاس هفتم شادمان "متشکرم" بگوییم.

اثبات قضیه ویتا

برای اثبات قضیه می توانید از فرمول های ریشه معروف استفاده کنید که به لطف آنها مجموع و حاصل ضرب ریشه های معادله درجه دوم را می سازیم. فقط پس از آن می توانیم مطمئن شویم که آنها برابر هستند و بر این اساس، .

فرض کنید یک معادله داریم: . این معادله دارای ریشه های زیر است: و. بیایید ثابت کنیم که، .

با توجه به فرمول ریشه های معادله درجه دوم:

1- مجموع ریشه ها را بیابید:

بیایید این معادله را تجزیه و تحلیل کنیم، زیرا آن را دقیقاً به این صورت دریافت کردیم:

= .

مرحله 1. آوردن کسرها به مخرج مشترک، معلوم می شود:

= = .

گام 2. ما کسری داریم که در آن باید پرانتزها را باز کنید:

کسر را 2 کاهش می دهیم و به دست می آوریم:

ما رابطه مجموع ریشه های یک معادله درجه دوم را با استفاده از قضیه ویتا ثابت کردیم.

2. حاصل ضرب ریشه ها را پیدا کنید:

= = = = = .

بیایید این معادله را ثابت کنیم:

مرحله 1. یک قانون برای ضرب کسرها وجود دارد که طبق آن این معادله را ضرب می کنیم:

حال تعریف جذر را به یاد می آوریم و در نظر می گیریم:

= .

مرحله 3. ممیز معادله درجه دوم را به یاد می آوریم: . بنابراین، به جای D (ممیز)، در کسری آخر جایگزین می کنیم، سپس به دست می آید:

= .

مرحله 4. پرانتزها را باز کنید و عبارات مشابه را به کسرها اضافه کنید:

مرحله 5. "4a" را کاهش می دهیم و می گیریم.

بنابراین رابطه حاصلضرب ریشه ها را طبق قضیه ویتا ثابت کردیم.

مهم!اگر ممیز صفر باشد، معادله درجه دوم فقط یک ریشه دارد.

قضیه معکوس قضیه ویتا

با توجه به قضیه، معکوس قضیه ویتا، می توانیم بررسی کنیم که آیا معادله ما به درستی حل شده است یا خیر. برای درک خود قضیه، باید آن را با جزئیات بیشتری در نظر بگیریم.

اگر اعداد عبارتند از:

و سپس آنها ریشه های معادله درجه دوم هستند.

اثبات قضیه معکوس ویتا

مرحله 1.اجازه دهید عبارات را برای ضرایب آن در معادله جایگزین کنیم:

گام 2بیایید سمت چپ معادله را تبدیل کنیم:

مرحله 3. بیایید ریشه های معادله را پیدا کنیم و برای این کار از این خاصیت استفاده می کنیم که حاصل ضرب برابر با صفر است:

یا . از کجا می آید: یا.

مثال هایی با راه حل های قضیه ویتا

مثال 1

ورزش

مجموع، حاصل ضرب و مجموع مجذورات ریشه های یک معادله درجه دوم را بدون یافتن ریشه های معادله بیابید.

راه حل

مرحله 1. فرمول تفکیک را به یاد بیاورید. اعداد خود را زیر حروف جایگزین می کنیم. یعنی، جایگزینی برای و است. این دلالت می کنه که:

معلوم می شود:

Title=" ارائه شده توسط QuickLaTeX.com" height="13" width="170" style="vertical-align: -1px;">. Если дискриминант больше нуля, тогда у уравнения есть корни. По теореме Виета их сумма , а произведение . !}

مجموع مجذورات ریشه ها را از مجموع و حاصل ضرب آنها بیان می کنیم:

پاسخ

7; 12; 25.

مثال 2

ورزش

معادله را حل کنید. در این حالت از فرمول های معادله درجه دوم استفاده نکنید.

راه حل

این معادله دارای ریشه هایی است که از نظر ممیز (D) بزرگتر از صفر هستند. بر این اساس، بر اساس قضیه ویتا، مجموع ریشه های این معادله 4 و حاصلضرب برابر با 5 است. ابتدا مقسوم علیه های عدد را تعیین می کنیم که مجموع آنها 4 است. این اعداد "5" و "-1". حاصلضرب آنها برابر است با - 5 و حاصل جمع - 4. بنابراین، طبق قضیه، برعکس قضیه ویتا، آنها ریشه های این معادله هستند.

پاسخ

و مثال 4

ورزش

معادله ای بنویسید که هر ریشه دو برابر ریشه معادله باشد:

راه حل

بر اساس قضیه ویتا، مجموع ریشه های این معادله 12 و حاصلضرب 7 است. بنابراین، این دو ریشه مثبت هستند.

مجموع ریشه های معادله جدید برابر خواهد بود با:

و کار.

با یک قضیه برعکس قضیه ویتا، معادله جدید به شکل زیر است:

پاسخ

نتیجه معادله ای بود که هر ریشه آن دو برابر بزرگتر است:

بنابراین، ما به چگونگی حل یک معادله با استفاده از قضیه ویتا نگاه کردیم. در صورت حل تکالیفی که با نشانه های ریشه معادلات درجه دوم مرتبط هستند، استفاده از این قضیه بسیار راحت است. یعنی اگر عبارت آزاد در فرمول یک عدد مثبت باشد و اگر ریشه های واقعی در معادله درجه دوم وجود داشته باشد، هر دوی آنها می توانند منفی یا مثبت باشند.

و اگر یک عضو رایگان - یک عدد منفیو اگر در معادله درجه دوم ریشه های واقعی وجود داشته باشد، هر دو علامت متفاوت خواهند بود. یعنی اگر یک ریشه مثبت باشد، ریشه دیگر فقط منفی خواهد بود.

منابع مفید:

1. Dorofeev G. V., Suvorova S. B., Bunimovich E. A. جبر درجه 8: مسکو "روشنگری"، 2016 - 318 ص.
2. Rubin A. G., Chulkov P. V. - کتاب درسی جبر کلاس 8: مسکو "بالاس"، 2015 - 237 ص.
3. نیکولسکی اس ام.، پوتوپاو ام. ک.، رشتنیکوف ن. ن.، شوکین ای. وی. - جبر درجه 8: مسکو "روشنگری"، 2014 - 300

قضیه ویتا، فرمول معکوس ویتا و مثال هایی با حل برای آدمک هابه روز رسانی: 22 نوامبر 2019 توسط: مقالات علمی.Ru

در کلاس هشتم دانش آموزان با معادلات درجه دوم و نحوه حل آنها آشنا می شوند. در عین حال، همانطور که تجربه نشان می دهد، اکثر دانش آموزان برای حل معادلات درجه دوم فقط از یک روش استفاده می کنند - فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم. برای دانش‌آموزانی که مهارت‌های شفاهی خوبی دارند، این روش به وضوح غیرمنطقی است. دانش‌آموزان اغلب مجبورند معادلات درجه دوم را در دبیرستان حل کنند، و در آنجا صرفاً حیف است که وقت خود را برای محاسبه تمایز صرف کنند. به نظر من هنگام مطالعه معادلات درجه دوم باید زمان و توجه بیشتری به کاربرد قضیه ویتا شود (طبق برنامه A.G. Mordkovich Algebra-8 فقط دو ساعت برای مطالعه مبحث "قضیه ویتا. تجزیه یک مثلث مربع به عوامل خطی").

در اکثر کتاب های درسی جبر، این قضیه برای معادله درجه دوم کاهش یافته فرموله شده است و می گوید که اگر معادله ریشه داشته باشد و , برابری ها را برآورده کنند .سپس یک گزاره در مقابل قضیه ویتا فرموله می شود و تعدادی مثال برای کار روی این موضوع ارائه می شود.

بیایید مثال‌های خاصی بیاوریم و منطق راه‌حل را با استفاده از قضیه Vieta دنبال کنیم.

مثال 1. معادله را حل کنید.

فرض کنید این معادله دارای ریشه است، یعنی و . سپس بر اساس قضیه ویتا، برابری ها

توجه داشته باشید که حاصل ضرب ریشه ها یک عدد مثبت است. بنابراین، ریشه های معادله دارای یک علامت هستند. و از آنجایی که مجموع ریشه ها نیز عددی مثبت است، نتیجه می گیریم که هر دو ریشه معادله مثبت هستند. به محصول ریشه ها برگردیم. فرض کنید که ریشه های معادله اعداد صحیح مثبت هستند. سپس تساوی اول صحیح را فقط از دو طریق می توان به دست آورد (تا ترتیب عوامل): یا . بیایید برای جفت اعداد پیشنهادی امکان‌پذیری ادعای دوم قضیه ویتا را بررسی کنیم: . بنابراین، اعداد 2 و 3 هر دو برابری را برآورده می کنند و از این رو ریشه های معادله داده شده هستند.

پاسخ: 2; 3.

ما مراحل اصلی استدلال را هنگام حل معادله درجه دوم با استفاده از قضیه ویتا مشخص می کنیم:

ادعای قضیه ویتا را بنویسید

(*)

• نشانه های ریشه های معادله را تعیین کنید (اگر حاصل ضرب و مجموع ریشه ها مثبت باشد، هر دو ریشه اعداد مثبت هستند. اگر حاصل ضرب ریشه ها یک عدد مثبت و مجموع ریشه ها منفی باشد، پس هر دو ریشه اعداد منفی هستند، اگر حاصل ضرب ریشه ها یک عدد منفی باشد، ریشه ها علائم متفاوتی دارند. علاوه بر این، اگر مجموع ریشه ها مثبت باشد، ریشه با مدول بزرگتر یک عدد مثبت است و اگر مجموع ریشه ها کمتر از صفر است، سپس ریشه با مدول بیشتر یک عدد منفی است).
• جفت اعداد صحیح را انتخاب کنید که حاصل ضرب آنها برابری اول صحیح را در علامت (*) نشان دهد.
• از جفت اعداد یافت شده، جفتی را انتخاب کنید که وقتی به تساوی دوم در علامت (*) جایگزین شود، تساوی صحیح را نشان دهد.
• در پاسخ، ریشه های معادله را مشخص کنید.

بیایید چند مثال دیگر بیاوریم.

مثال 2: معادله را حل کنید .

راه حل.

اجازه دهید و ریشه های معادله داده شده باشد. سپس با قضیه ویتا توجه کنید که حاصلضرب مثبت و حاصل جمع منفی است. بنابراین هر دو ریشه اعداد منفی هستند. ما جفت عواملی را انتخاب می کنیم که حاصل ضرب 10 (-1 و -10؛ -2 و -5) را به دست می دهند. جفت دوم اعداد تا -7 جمع می شود. بنابراین اعداد -2 و -5 ریشه های این معادله هستند.

پاسخ: -2; -5.

مثال 3. معادله را حل کنید .

راه حل.

اجازه دهید و ریشه های معادله داده شده باشد. سپس با قضیه ویتا توجه کنید که حاصلضرب منفی است. بنابراین ریشه ها نشانه های متفاوتی دارند. مجموع ریشه ها نیز یک عدد منفی است. بنابراین، ریشه با بیشترین مدول منفی است. ما جفت فاکتورهایی را انتخاب می کنیم که به محصول -10 می دهند (1 و -10؛ 2 و -5). جفت دوم اعداد تا -3 جمع می شود. پس اعداد 2 و 5- ریشه های این معادله هستند.

پاسخ: 2; -5.

توجه داشته باشید که قضیه ویتا در اصل می تواند برای معادله درجه دوم کامل فرموله شود: اگر معادله درجه دوم ریشه دارد و سپس برابری ها را برآورده می کند .با این حال، استفاده از این قضیه نسبتاً مشکل است، زیرا در معادله درجه دوم، حداقل یکی از ریشه ها (البته در صورت وجود) یک عدد کسری است. و کار با انتخاب کسری طولانی و دشوار است. اما هنوز هم راهی برای خروج وجود دارد.

معادله درجه دوم کامل را در نظر بگیرید . دو طرف معادله را در ضریب اول ضرب کنید آو معادله را به شکل بنویسید . ما یک متغیر جدید معرفی می کنیم و یک معادله درجه دوم کاهش یافته به دست می آوریم که ریشه و (در صورت وجود) آن را می توان با استفاده از قضیه Vieta پیدا کرد. سپس ریشه های معادله اصلی خواهد بود. توجه داشته باشید که نوشتن معادله کاهش کمکی بسیار آسان است: ضریب دوم حفظ می شود و ضریب سوم برابر با حاصلضرب است. آس. دانش آموزان با مهارت خاصی بلافاصله یک معادله کمکی می سازند، ریشه های آن را با استفاده از قضیه Vieta پیدا می کنند و ریشه های معادله کامل داده شده را نشان می دهند. بیایید مثال بزنیم.

مثال 4. معادله را حل کنید .

بیایید یک معادله کمکی بسازیم و با قضیه ویتا ریشه های آن را می یابیم. بنابراین ریشه های معادله اصلی .

پاسخ: .

مثال 5. معادله را حل کنید .

معادله کمکی به شکل . با قضیه ویتا، ریشه های آن هستند. ما ریشه های معادله اصلی را پیدا می کنیم .

پاسخ: .

و یک مورد دیگر زمانی که کاربرد قضیه ویتا به شما امکان می دهد ریشه های یک معادله درجه دوم را بطور شفاهی پیدا کنید. اثبات آن آسان است عدد 1 ریشه معادله است ، اگر و تنها اگر. ریشه دوم معادله با قضیه ویتا پیدا می شود و برابر است با . یک بیانیه دیگر: به طوری که عدد -1 ریشه معادله باشد لازم و کافی برای. سپس ریشه دوم معادله طبق قضیه ویتا برابر است با . گزاره های مشابهی را می توان برای معادله درجه دوم کاهش یافته فرموله کرد.

مثال 6. معادله را حل کنید.

توجه داشته باشید که مجموع ضرایب معادله صفر است. بنابراین ریشه های معادله .

پاسخ: .

مثال 7. معادله را حل کنید.

ضرایب این معادله ویژگی را برآورده می کند (در واقع، 1-(-999)+(-1000)=0). بنابراین ریشه های معادله .

پاسخ: ..

مثال هایی برای کاربرد قضیه ویتا

وظیفه 1. معادله درجه دوم داده شده را با استفاده از قضیه ویتا حل کنید.

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

وظیفه 2. معادله درجه دوم کامل را با استفاده از انتقال به معادله درجه دوم کاهش یافته حل کنید.

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

وظیفه 3. یک معادله درجه دوم را با استفاده از ویژگی حل کنید.

قضیه ویتا (به طور دقیق تر، قضیه معکوس قضیه ویتا) به ما امکان می دهد زمان حل معادلات درجه دوم را کاهش دهیم. فقط باید بدانید که چگونه از آن استفاده کنید. چگونه حل معادلات درجه دوم را با استفاده از قضیه ویتا یاد بگیریم؟ اگر کمی فکر کنید آسان است.

اکنون فقط در مورد حل معادله درجه دوم کاهش یافته با استفاده از قضیه ویتا صحبت خواهیم کرد. معادلات درجه دوم داده نشده را نیز می توان با استفاده از قضیه Vieta حل کرد، اما در حال حاضر حداقل یکی از ریشه ها یک عدد صحیح نیست. حدس زدن آنها سخت تر است.

قضیه برعکس قضیه ویتا می گوید: اگر اعداد x1 و x2 به گونه ای باشند که

سپس x1 و x2 ریشه های معادله درجه دوم هستند

هنگام حل یک معادله درجه دوم با استفاده از قضیه Vieta، تنها 4 گزینه ممکن است. اگر دوره استدلال را به خاطر داشته باشید، می توانید یاد بگیرید که ریشه های کامل را خیلی سریع پیدا کنید.

I. اگر q یک عدد مثبت باشد،

این بدان معنی است که ریشه های x1 و x2 اعدادی با یک علامت هستند (زیرا فقط هنگام ضرب اعداد با علائم یکسان، یک عدد مثبت به دست می آید).

I.a. اگر -p یک عدد مثبت است، (به ترتیب، ص<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).

I.b. اگر -p یک عدد منفی است، (به ترتیب p>0)، سپس هر دو ریشه اعداد منفی هستند (اعداد یک علامت را اضافه کردند، یک عدد منفی گرفتند).

II. اگر q یک عدد منفی است،

این بدان معنی است که ریشه های x1 و x2 دارای علائم متفاوتی هستند (هنگام ضرب اعداد، تنها زمانی که علائم عوامل متفاوت باشد، یک عدد منفی به دست می آید). در این حالت، x1 + x2 دیگر یک مجموع نیست، بلکه یک تفاوت است (در نهایت، هنگام جمع کردن اعداد با علائم مختلف، ما کوچکتر را از مدول بزرگتر کم می کنیم). بنابراین، x1 + x2 نشان می دهد که ریشه های x1 و x2 چقدر با هم تفاوت دارند، یعنی چقدر یک ریشه از دیگری بیشتر است (مدول).

II.a. اگر -p یک عدد مثبت است، (یعنی ص<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.b. اگر -p یک عدد منفی است، (p>0)، سپس ریشه بزرگتر (مدول) یک عدد منفی است.

حل معادلات درجه دوم را طبق قضیه ویتا با استفاده از مثال در نظر بگیرید.

معادله درجه دوم داده شده را با استفاده از قضیه ویتا حل کنید:

در اینجا q=12>0، بنابراین ریشه های x1 و x2 اعدادی با علامت یکسان هستند. مجموع آنها -p=7>0 است، بنابراین هر دو ریشه اعداد مثبت هستند. ما اعداد صحیحی را انتخاب می کنیم که حاصل ضرب آنها 12 باشد. این اعداد 1 و 12، 2 و 6، 3 و 4 هستند. مجموع آنها 7 است برای جفت 3 و 4. بنابراین، 3 و 4 ریشه های معادله هستند.

در این مثال q=16>0 یعنی ریشه های x1 و x2 اعدادی با یک علامت هستند. مجموع آنها -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

اینجا q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0، سپس عدد بزرگتر مثبت است. بنابراین ریشه ها 5 و -3 هستند.

q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.

فرمول بندی و اثبات قضیه ویتا برای معادلات درجه دوم. قضیه معکوس ویتا قضیه ویتا برای معادلات مکعبی و معادلات نظم دلخواه.

محتوا

همچنین ببینید: ریشه های یک معادله درجه دوم

معادلات درجه دوم

قضیه ویتا

ریشه های معادله درجه دوم کاهش یافته را بگذارید و نشان دهید
(1) .
سپس مجموع ریشه ها برابر است با ضریب در گرفته شده با علامت مخالف. حاصل ضرب ریشه ها برابر است با عبارت آزاد:
;
.

نکته ای در مورد ریشه های متعدد

اگر ممیز معادله (1) صفر باشد، این معادله یک ریشه دارد. اما، به منظور اجتناب از فرمول‌بندی‌های دست و پاگیر، به طور کلی پذیرفته شده است که در این مورد، معادله (1) دارای دو ریشه چندگانه یا مساوی است:
.

اثبات یک

بیایید ریشه های معادله (1) را پیدا کنیم. برای انجام این کار، فرمول ریشه های معادله درجه دوم را اعمال کنید:
;
;
.

یافتن مجموع ریشه ها:
.

برای یافتن محصول، فرمول را اعمال می کنیم:
.
سپس

.

قضیه ثابت شده است.

اثبات دو

اگر اعداد و ریشه های معادله درجه دوم (1) هستند، پس
.
براکت ها را باز می کنیم.

.
بنابراین، معادله (1) به شکل زیر خواهد بود:
.
در مقایسه با (1) متوجه می شویم:
;
.

قضیه ثابت شده است.

قضیه معکوس ویتا

بگذارید اعداد دلخواه وجود داشته باشد. سپس و ریشه های معادله درجه دوم هستند
,
جایی که
(2) ;
(3) .

اثبات قضیه معکوس ویتا

معادله درجه دوم را در نظر بگیرید
(1) .
باید ثابت کنیم که اگر و، پس و ریشه های معادله (1) هستند.

جایگزین (2) و (3) به (1):
.
عبارات سمت چپ معادله را گروه بندی می کنیم:
;
;
(4) .

جایگزین در (4):
;
.

جایگزین در (4):
;
.
معادله برآورده شده است. یعنی عدد ریشه معادله (1) است.

قضیه ثابت شده است.

قضیه ویتا برای معادله درجه دوم کامل

حال معادله درجه دوم کامل را در نظر بگیرید
(5) ,
کجا، و تعدادی اعداد هستند. و .

معادله (5) را بر:
.
یعنی معادله فوق را به دست آورده ایم
,
جایی که ؛ .

سپس قضیه ویتا برای معادله درجه دوم به شکل زیر است.

ریشه های معادله درجه دوم کامل را بگذارید و نشان دهید
.
سپس مجموع و حاصلضرب ریشه ها با فرمول های زیر تعیین می شود:
;
.

قضیه ویتا برای یک معادله مکعبی

به طور مشابه، ما می توانیم بین ریشه های یک معادله مکعبی ارتباط برقرار کنیم. معادله مکعب را در نظر بگیرید
(6) ,
که در آن،،، تعدادی اعداد هستند. و .
بیایید این معادله را بر:
(7) ,
جایی که ، ، .
, , ریشه های معادله (7) (و معادله (6)) باشد. سپس

.

با مقایسه با معادله (7) متوجه می شویم:
;
;
.

قضیه ویتا برای معادله درجه n

به همین ترتیب می توانید برای معادله درجه n بین ریشه های , ... , , ارتباط پیدا کنید.
.

قضیه ویتا برای معادله درجه n به شکل زیر است:
;
;
;

.

برای بدست آوردن این فرمول ها معادله را به شکل زیر می نویسیم:
.
سپس ضرایب را در , , , ... برابر می کنیم و عبارت آزاد را با هم مقایسه می کنیم.

منابع:
که در. برونشتاین، ک.آ. Semendyaev، کتابچه راهنمای ریاضیات برای مهندسان و دانشجویان مؤسسات آموزش عالی، لان، 2009.
سانتی متر. نیکولسکی، M.K. پوتاپوف و همکاران، جبر: کتاب درسی برای کلاس هشتم مؤسسات آموزشی، مسکو، آموزش و پرورش، 2006.

همچنین ببینید:

ابتدا بیایید خود قضیه را فرموله کنیم: فرض کنید یک معادله درجه دوم کاهش یافته به شکل x^2+b*x + c = 0 داریم. فرض کنید این معادله حاوی ریشه های x1 و x2 است. سپس، با این قضیه، گزاره های زیر قابل قبول هستند:

1) مجموع ریشه های x1 و x2 برابر با مقدار منفی ضریب b خواهد بود.

2) حاصل ضرب همین ریشه ها ضریب c را به ما می دهد.

اما معادله بالا چیست؟

معادله درجه دوم کاهش یافته یک معادله درجه دوم است، ضریب بالاترین درجه، که برابر با یک است، یعنی. این معادله ای به شکل x^2 + b*x + c = 0 است. (و معادله a*x^2 + b*x + c = 0 کاهش نمی یابد). به عبارت دیگر، برای کاهش معادله به شکل کاهش یافته، باید این معادله را بر ضریب بالاترین درجه (a) تقسیم کنیم. وظیفه این است که این معادله را به شکل کاهش یافته برسانیم:

3*x^2 12*x + 18 = 0;

−4*x^2 + 32*x + 16 = 0;

1.5*x^2 + 7.5*x + 3 = 0; 2*x^2 + 7*x − 11 = 0.

هر معادله را بر ضریب بالاترین درجه تقسیم می کنیم، به دست می آوریم:

X^2 4*x + 6 = 0; X^2 8*x − 4 = 0; X^2 + 5*x + 2 = 0;

X^2 + 3.5*x - 5.5 = 0.

همانطور که از مثال ها مشخص است، حتی معادلات حاوی کسرها را می توان به شکل کاهش یافته تقلیل داد.

با استفاده از قضیه ویتا

X^2 5*x + 6 = 0 ⇒ x1 + x2 = − (−5) = 5; x1*x2 = 6;

ریشه ها را می گیریم: x1 = 2; x2 = 3;

X^2 + 6*x + 8 = 0 ⇒ x1 + x2 = -6; x1*x2 = 8;

در نتیجه، ریشه ها را دریافت می کنیم: x1 = -2; x2 = -4;

X^2 + 5*x + 4 = 0 ⇒ x1 + x2 = -5; x1*x2 = 4;

ما ریشه ها را بدست می آوریم: x1 = -1; x2 = -4.

اهمیت قضیه ویتا

قضیه ویتا به ما این امکان را می دهد که هر معادله درجه دوم را تقریباً در چند ثانیه حل کنیم. در نگاه اول، این کار نسبتاً دشواری به نظر می رسد، اما پس از 5 معادله 10، می توانید فوراً یاد بگیرید که ریشه ها را ببینید.

از مثال های بالا و با استفاده از قضیه می توانید متوجه شوید که چگونه می توانید حل معادلات درجه دوم را به طور قابل توجهی ساده کنید، زیرا با استفاده از این قضیه می توانید یک معادله درجه دوم را با محاسبات کم یا بدون محاسبات پیچیده و محاسبه ممیز حل کنید و همانطور که می دانید ، هر چه محاسبات کمتر باشد، اشتباه کردن دشوارتر است که مهم است.

در تمام مثال‌ها، ما از این قانون بر اساس دو فرض مهم استفاده کرده‌ایم:

معادله بالا، یعنی. ضریب در بالاترین درجه برابر با یک است (از این شرط به راحتی جلوگیری می شود. می توانید از شکل کاهش نیافته معادله استفاده کنید، سپس عبارات زیر x1+x2=-b/a؛ x1*x2=c/a خواهد بود. معتبره ولی معمولا حلش سخت تره :))

زمانی که معادله دو ریشه متفاوت خواهد داشت. فرض می کنیم که نابرابری درست است و تفکیک کننده به شدت بزرگتر از صفر است.

بنابراین، می‌توانیم با استفاده از قضیه ویتا یک الگوریتم حل کلی بسازیم.

الگوریتم حل کلی با قضیه ویتا

اگر معادله به صورت تقلیل نشده به ما داده شود، معادله درجه دوم را به شکل کاهش یافته می آوریم. هنگامی که ضرایب در معادله درجه دوم، که قبلا به صورت کاهش یافته ارائه کردیم، کسری (نه اعشاری) معلوم شد، در این صورت معادله ما باید از طریق ممیز حل شود.

مواردی نیز وجود دارد که بازگشت به معادله اصلی به ما امکان می دهد با اعداد "راحتی" کار کنیم.