ორჯერ ორი არის ოთხი, ანუ გამრავლება და გაყოფა. ორჯერ ორი არის ოთხი, ანუ გამრავლება და გაყოფა 0-ის ტოლია.

თუ ერთი და ორი ფაქტორი უდრის 1-ს, მაშინ პროდუქტი ტოლია მეორე ფაქტორის.

III. ახალ მასალაზე მუშაობა.

მოსწავლეებს შეუძლიათ ახსნან გამრავლების მეთოდი იმ შემთხვევებზე, როცა მრავალნიშნა რიცხვის ჩაწერის შუაში არის ნულები: მაგალითად, მასწავლებელი გვთავაზობს გამოთვალოს 907 და 3 რიცხვების ნამრავლი. მოსწავლეები ამონახსნებს წერენ სვეტში, მსჯელობენ: ”მე ვწერ რიცხვს 3 ერთეულების ქვეშ.

ერთეულების რაოდენობას ვამრავლებ 3-ზე: სამჯერ შვიდი არის 21, ეს არის 2 დეკ. და 1 ერთეული; ერთეულების ქვეშ ვწერ 1, ხოლო 2 დეკ. Მე მახსოვს. ვამრავლებ ათეულებს: 0 გამრავლებული 3-ზე, მიიღებთ 0-ს და ასევე 2-ს, მიიღებთ 2 ათეულს, მე ვწერ 2-ს ათეულების ქვეშ. ვამრავლებ ასეულებს: 9 გამრავლებული 3-ზე, გამოდის 27, ვწერ 27. ვკითხულობ პასუხს: 2721“.

მასალის განსამტკიცებლად მოსწავლეები ხსნიან მაგალითებს 361-ე ამოცანიდან დეტალური ახსნა-განმარტებით. თუ მასწავლებელი ხედავს, რომ ბავშვებმა კარგად გაიგეს ახალი მასალა, მაშინ მას შეუძლია მოკლე კომენტარი შესთავაზოს.

მასწავლებელი.ჩვენ მოკლედ განვმარტავთ ამოხსნას, აღვნიშნავთ მხოლოდ პირველი ფაქტორის თითოეული ციფრის ერთეულების რაოდენობას, რომელსაც თქვენ ამრავლებთ და შედეგი, დასახელების გარეშე, რომელი ციფრია ეს ერთეულები. გავამრავლოთ 4019 7-ზე ავხსნი: 9-ს ვამრავლებ 7-ზე, მივიღე 63, ვწერ 3, მახსოვს 6. 1-ს ვამრავლებ 7-ზე, გამოდის 7 და თუნდაც 6 არის 13, ვწერ 3-ს, მახსოვს 1. ნული გამრავლებული 7-ზე გამოდის ნული და ასევე 1 ვიღებ 1-ს ვწერ 1-ს ვამრავლებ 7-ზე ვღებულობ 28-ს ვწერ 28-ს ვკითხულობ პასუხს: 28 133.

F y s c u l t m i n u t k ა

IV. დაფარულ მასალაზე მუშაობა.

1. პრობლემის გადაჭრა.

მოსწავლეები კომენტარებით წყვეტენ 363 ამოცანას. პრობლემის წაკითხვის შემდეგ იწერება მოკლე პირობა.

მასწავლებელს შეუძლია სთხოვოს მოსწავლეებს პრობლემის გადაჭრა ორი გზით.

პასუხი: ჯამში ამოღებულია 7245 ცენტალი მარცვალი.

ბავშვები 364 პრობლემას დამოუკიდებლად წყვეტენ (შემდეგი დამოწმებით).

1) 42 10 = 420 (გ) – ხორბალი

2) 420: 3 = 140 (გ) – ქერი

3) 420 - 140 = 280 (c)

პასუხი: 280 კვინტალით მეტი ხორბალი.

2. მაგალითების ამოხსნა.

ბავშვები დამოუკიდებლად ასრულებენ დავალებას 365: ჩაწერეთ გამოთქმები და იპოვეთ მათი მნიშვნელობა.

V. გაკვეთილის შეჯამება.

მასწავლებელი.ბიჭებო, რა ახალი ისწავლეთ კლასში?

ბავშვები.გაგვეცნო გამრავლების ახალი ტექნიკა.

მასწავლებელი.რა გაიმეორეთ კლასში?

ბავშვები.ამოხსნა ამოცანები, შეადგინა გამოთქმები და იპოვა მათი მნიშვნელობა.

Საშინაო დავალება:ამოცანები 362, 368; რვეული No1, გვ. 52, No 5–8.

გაკვეთილი 58
რიცხვების გამრავლება, რომელთა წერა
მთავრდება ნულებით

მიზნები:ერთი ან მეტი ნულით დამთავრებული მრავალნიშნა რიცხვების ერთ ციფრზე გამრავლების ტექნიკის დანერგვა; ამოცანების გადაჭრის უნარის კონსოლიდაცია, გაყოფის მაგალითები ნაშთით; გაიმეორეთ დროის ერთეულების ცხრილი.

გარდა ამისა, მნიშვნელოვანი ოპერაციებია გამრავლება და გაყოფა.თუნდაც გავიხსენოთ პრობლემები იმის დადგენა, თუ რამდენჯერ მეტი ვაშლი აქვს მაშას, ვიდრე საშა, ან ვიპოვოთ წელიწადში წარმოებული ნაწილების რაოდენობა, თუ ცნობილია დღეში წარმოებული ნაწილების რაოდენობა.

გამრავლება- ეს არის ერთ-ერთი ოთხი ძირითადი არითმეტიკული ოპერაცია, რომლის დროსაც ვამრავლებთ ერთ რიცხვს მეორეზე. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჩანაწერი 5 · 3 = 15 ნიშნავს რომ რიცხვი 5 დაკეცილი იყო 3 ჯერ, ე.ი. 5 · 3 = 5 + 5 + 5 = 15.

გამრავლება რეგულირდება სისტემით წესები.

1. პროდუქტი ორი უარყოფითი რიცხვებიუდრის დადებითი რიცხვი. პროდუქტის მოდულის საპოვნელად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ ამ რიცხვების მოდული.

(- 6) ( - 6) = 36; (- 17.5) ( - 17,4) = 304,5

2. სხვადასხვა ნიშნის მქონე ორი რიცხვის ნამრავლი უდრის უარყოფით რიცხვს. პროდუქტის მოდულის საპოვნელად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ ამ რიცხვების მოდული.

(- 5) 6 = - ოცდაათი; 0.7 ( - 8) = - 21

3. თუ ერთ-ერთი ფაქტორი ნულის ტოლია, მაშინ ნამრავლი არის ნული.პირიქითაც მართალია: პროდუქტი ნულის ტოლია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ერთ-ერთი ფაქტორი ნულის ტოლია.

2.73 0 = 0; ( - 345.78) 0 = 0

ზემოთ მოყვანილი მასალის საფუძველზე ვცადოთ განტოლების ამოხსნა 4 ∙ (x – 5) = 0.

1. გახსენით ფრჩხილები და მიიღეთ 4x – 20 = 0.

2. გადაიტანეთ (-20) მარჯვენა მხარეს (არ დაგავიწყდეთ შეცვალოთ ნიშანი საპირისპიროზე) და
ჩვენ ვიღებთ 4x = 20.

3. იპოვეთ x განტოლების ორივე მხარის 4-ით შემცირებით.

4. სულ: x = 5.

მაგრამ ვიცით წესი ნომერი 3, ჩვენ შეგვიძლია გადავჭრათ ჩვენი განტოლება ბევრად უფრო სწრაფად.

1. ჩვენი განტოლება 0-ის ტოლია, ხოლო მე-3 წესის მიხედვით, ნამრავლი 0-ის ტოლია, თუ ერთ-ერთი ფაქტორი 0-ის ტოლია.

2. გვაქვს ორი ფაქტორი: 4 და (x – 5). 4 არ არის 0-ის ტოლი, რაც ნიშნავს x – 5 = 0.

3. ვხსნით მიღებულ მარტივ განტოლებას: x – 5 = 0. ეს ნიშნავს x = 5.

გამრავლება ეყრდნობა ორი კანონი - კომუტაციური და ასოციაციური კანონი.

მოგზაურობის კანონი:ნებისმიერი ნომრისთვის ადა ბთანასწორობა მართალია ab = ba:

(- 6) 1.2 = 1.2 ( - 6), ე.ი. = - 7,2.

კომბინაციის კანონი:ნებისმიერი ნომრისთვის ა, ბდა გთანასწორობა მართალია (ab)c = a(bc).

(- 3) · ( - 5) 2 = ( - 3) · (2 ​​· ( - 5)) = (- 3) · ( - 10) = 30.

გამრავლების შებრუნებული არითმეტიკული ოპერაცია არის დაყოფა. თუ გამრავლების კომპონენტები ეძახიან მამრავლები, შემდეგ გაყოფაში იწოდება რიცხვი, რომელიც იყოფა გაყოფადირიცხვი, რომელსაც ჩვენ ვყოფთ არის გამყოფიდა შედეგი არის კერძო.

12: 3 = 4, სადაც 12 არის დივიდენდი, 3 არის გამყოფი, 4 არის კოეფიციენტი.

გაყოფა, გამრავლების მსგავსად, რეგულირდება წესები.

1. ორი უარყოფითი რიცხვის კოეფიციენტი დადებითი რიცხვია. კოეფიციენტის მოდულის საპოვნელად, თქვენ უნდა გაყოთ დივიდენდის მოდული გამყოფის მოდულზე.

- 12: (- 3) = 4

2. განსხვავებული ნიშნის მქონე ორი რიცხვის კოეფიციენტი უარყოფითი რიცხვია. კოეფიციენტის მოდულის საპოვნელად, თქვენ უნდა გაყოთ დივიდენდის მოდული გამყოფის მოდულზე.

- 12: 3 = - 4; 12: (- 3) = - 4.

3. როდესაც ნული იყოფა ნებისმიერ რიცხვზე, რომელიც არ არის ნულის ტოლი, შედეგი არის ნული. ნულზე ვერ გაყოფ.

0: 23 = 0; 23:0 = XXXX

გაყოფის წესებიდან გამომდინარე, ვცადოთ მაგალითის ამოხსნა - 4 x ( - 5) – (- 30) : 6 = ?

1. ვასრულებთ გამრავლებას: -4 x (-5) = 20. ასე რომ, ჩვენი მაგალითი მიიღებს ფორმას 20 – (-30) : 6 = ?

2. შეასრულეთ გაყოფა (-30): 6 = -5. ეს ნიშნავს, რომ ჩვენი მაგალითი მიიღებს ფორმას 20 – (-5) = ?.

3. გამოვაკლოთ 20 – (-5) = 20 + 5 = 25.

ასე რომ, ჩვენი პასუხი 25.

გამრავლებისა და გაყოფის ცოდნა შეკრებასთან და გამოკლებასთან ერთად საშუალებას გაძლევთ ამოხსნათ სხვადასხვა განტოლება და ამოცანები, ასევე სრულყოფილად იაროთ ჩვენს ირგვლივ რიცხვებისა და მოქმედებების სამყაროში.

მოდით გავაერთიანოთ მასალა გადაწყვეტილებით განტოლება 3 ∙ (4x – 8) = 3x – 6.

1. გახსენით ფრჩხილები 3 ∙ (4x – 8) და მიიღეთ 12x – 24. ჩვენი განტოლება იღებს ფორმას 12x – 24 = 3x – 6.

2. მივცეთ მსგავსი. ამისათვის გადაიტანეთ ყველა კომპონენტი x-დან მარცხნივ და ყველა რიცხვი მარჯვნივ.
ვიღებთ 12x – 24 = 3x – 6 → 12x – 3x = -6 + 24 → 9x = 18.

კომპონენტის განტოლების ერთი ნაწილიდან მეორეზე გადატანისას, არ უნდა დაგვავიწყდეს, რომ შეცვალოთ ნიშნები საპირისპიროდ.

3. ჩვენ ვხსნით მიღებულ განტოლებას 9x = 18, საიდანაც x = 18: 9 = 2. ასე რომ, ჩვენი პასუხია 2.

4. იმისათვის, რომ დავრწმუნდეთ, რომ ჩვენი გადაწყვეტილება სწორია, შევამოწმოთ:

3 ∙ (4x – 8) = 3x – 6

3 · (4 ∙ 2 - 8) = 3 ∙ 2 - 6

3 ∙ (8 – 8) = 6 – 6

0 = 0, რაც ნიშნავს, რომ ჩვენი პასუხი სწორია.

ვებსაიტზე, მასალის სრულად ან ნაწილობრივ კოპირებისას საჭიროა წყაროს ბმული.

„ორი წრფის პარალელიზმი“ - დაამტკიცეთ, რომ AB || CD. C არის a და b-ის სეკანტი. BC არის ABD კუთხის ბისექტორი. იქნება მ || n? პარალელიზმის მაგალითები რეალურ ცხოვრებაში. ხაზები პარალელურია? დაასახელეთ წყვილები: - დაწოლილი კუთხეები ჯვარედინად; - შესაბამისი კუთხეები; - ცალმხრივი კუთხეები; პარალელური ხაზების პირველი ნიშანი. დაამტკიცეთ, რომ AC || ბ.დ.

"ორი ყინვა" - კარგი, ვფიქრობ, ახლავე დამელოდე. ორი ყინვა. საღამოს კი ისევ ღია მინდორში შევხვდით. ფროსტი - ცისფერმა ცხვირმა დაუქნია თავი და უთხრა: - ეჰ, ახალგაზრდა ხარ, ძმაო და სულელი. დაე, როგორც კი ჩაიცვამს, გაარკვიოს როგორია ფროსტი - წითელი ცხვირი. იცხოვრე მანამ, სანამ მე ვიცხოვრებ და გეცოდინება, რომ ცული უფრო გათბობს, ვიდრე ბეწვის ქურთუკი. კარგი, მგონია, რომ მივაღწევთ და მერე დაგიჭერ.

"წრფივი განტოლება ორ ცვლადში" - განმარტება: წრფივი განტოლებაორი ცვლადით. ალგორითმი იმის დასამტკიცებლად, რომ მოცემული რიცხვების წყვილი არის განტოლების ამონახსნი: მოიყვანეთ მაგალითები. -რომელ განტოლებას ორი ცვლადით ჰქვია წრფივი? -რა ჰქვია განტოლებას ორი ცვლადით? ტოლობას, რომელიც შეიცავს ორ ცვლადს, ეწოდება განტოლება ორი ცვლადით.

"ორი ტალღის ჩარევა" - ჩარევა. მიზეზი? თომას იანგის გამოცდილება. მექანიკური ტალღების ჩარევა წყალზე. ტალღის სიგრძე. სინათლის ჩარევა. სტაბილური ჩარევის ნიმუში შეინიშნება ზედმიწევნითი ტალღების თანმიმდევრულობის პირობებში. რადიოტელესკოპ-ინტერფერომეტრი მდებარეობს ნიუ-მექსიკოში, აშშ. ჩარევის გამოყენება. მექანიკური ხმის ტალღების ჩარევა.

„ორი სიბრტყის პერპენდიკულარობის ნიშანი“ - სავარჯიშო 6. სიბრტყეების პერპენდიკულარულობა. პასუხი: დიახ. არის თუ არა სამკუთხა პირამიდა, რომლის სამი გვერდი პერპენდიკულარულია წყვილებში? სავარჯიშო 1. იპოვეთ კუთხეები ADB და ACB. პასუხი: 90o, 60o. სავარჯიშო 10. სავარჯიშო 3. სავარჯიშო 7. სავარჯიშო 9. მართალია, რომ მესამეზე პერპენდიკულარული ორი სიბრტყე პარალელურია?

"უტოლობა ორი ცვლადით" - გეომეტრიული მოდელი უტოლობების ამოხსნისთვის არის შუა რეგიონი. გაკვეთილის მიზანი: უტოლობების ამოხსნა ორ ცვლადში. 1. ააგეთ f(x, y) = 0 განტოლების გრაფიკი. ორი ცვლადით უტოლობების ამოსახსნელად გამოიყენება გრაფიკული მეთოდი. წრეებმა თვითმფრინავი სამ რეგიონად დაყვეს. ორი ცვლადის მქონე უტოლობას ყველაზე ხშირად აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა.

რაშია გარეგნობა განტოლებები განსაზღვრავს იქნება თუ არა ეს განტოლება არასრულიკვადრატული განტოლება? მაგრამ როგორც ამოხსნა არასრულიკვადრატული განტოლებები?

როგორ ამოვიცნოთ არასრული კვადრატული განტოლება მხედველობით

მარცხენაგანტოლების ნაწილია კვადრატული ტრინომიალი, ა უფლება — ნომერი 0. ასეთი განტოლებები ე.წ სავსე კვადრატული განტოლებები.

უ სავსეკვადრატული განტოლება ყველა შანსები, და არ უდრის 0. მათ გადასაჭრელად არსებობს სპეციალური ფორმულები, რომლებსაც მოგვიანებით გავეცნობით.

ყველაზე მარტივიგამოსავლისთვის არის არასრულიკვადრატული განტოლებები. ეს არის კვადრატული განტოლებები, რომელშიც ზოგიერთი კოეფიციენტი ნულის ტოლია.

კოეფიციენტი განსაზღვრებით არ შეიძლება იყოს ნული, რადგან წინააღმდეგ შემთხვევაში განტოლება არ იქნება კვადრატული. ჩვენ ვისაუბრეთ ამაზე. ეს ნიშნავს, რომ გამოდის მათ შეუძლიათ ნულამდე წასვლა მხოლოდშანსები ან.

ამის მიხედვით არსებობს სამი სახის არასრულიკვადრატული განტოლებები.

1) , სად ;
2) , სად ;
3) , სად .

ასე რომ, თუ დავინახავთ კვადრატულ განტოლებას, რომლის მარცხენა მხარეს სამი წევრის ნაცვლადაწმყო ორი დიკიან ერთი წევრი, მაშინ განტოლება იქნება არასრულიკვადრატული განტოლება.

არასრული კვადრატული განტოლების განმარტება

არასრული კვადრატული განტოლებაარის კვადრატული განტოლება, რომელშიც კოეფიციენტებიდან ერთი მაინც ან ნულის ტოლი.

ამ განმარტებას ბევრი აქვს მნიშვნელოვანიფრაზა " ერთი მაინცკოეფიციენტებიდან... ნულის ტოლი". Ეს ნიშნავს, რომ ერთი ან მეტიკოეფიციენტები შეიძლება იყოს თანაბარი ნული.

ამის საფუძველზე შესაძლებელია სამი ვარიანტი: ან ერთიკოეფიციენტი არის ნული, ან სხვაკოეფიციენტი არის ნული, ან ორივეკოეფიციენტები ერთდროულად ნულის ტოლია. ასე მივიღებთ სამი სახის არასრულ კვადრატულ განტოლებებს.

არასრულიკვადრატული განტოლებები არის შემდეგი განტოლებები:
1)
2)
3)

განტოლების ამოხსნა

გამოვკვეთოთ გადაწყვეტის გეგმაეს განტოლება. მარცხენაგანტოლების ნაწილი მარტივად შეიძლება ფაქტორიზირება, ვინაიდან განტოლების მარცხენა მხარეს არის ტერმინები საერთო მულტიპლიკატორი, მისი ამოღება შესაძლებელია ფრჩხილიდან. შემდეგ მარცხნივ მიიღებთ ორი ფაქტორის ნამრავლს, ხოლო მარჯვნივ - ნულს.

და მაშინ იმუშავებს წესი „პროდუქტი ნულის ტოლია, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ერთ-ერთი ფაქტორი მაინც ნულის ტოლია, ხოლო მეორეს აზრი აქვს“. ყველაფერი ძალიან მარტივია!

Ისე, გადაწყვეტის გეგმა.
1) მარცხენა მხარეს ვანაწილებთ ფაქტორებად.
2) ჩვენ ვიყენებთ წესს "პროდუქტი ნულის ტოლია..."

მე ვუწოდებ ამ ტიპის განტოლებებს "ბედის საჩუქარი". ეს არის განტოლებები, რომელთათვისაც მარჯვენა მხარე ნულია, ა დატოვანაწილი შეიძლება გაფართოვდეს მულტიპლიკატორებით.

განტოლების ამოხსნა გეგმის მიხედვით.

1) დავშალოთგანტოლების მარცხენა მხარე მულტიპლიკატორებით, ამისთვის ვიღებთ საერთო ფაქტორს, ვიღებთ შემდეგ განტოლებას.

2) განტოლებაში ჩვენ ვხედავთ, რომ დატოვაღირს მუშაობა, ა ნული მარჯვნივ.

რეალური ბედის საჩუქარი!აქ ჩვენ, რა თქმა უნდა, გამოვიყენებთ წესს „პროდუქტი ნულის ტოლია, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ერთი ფაქტორი მაინც ნულის ტოლია, ხოლო მეორეს აქვს აზრი“.

ამ წესის მათემატიკის ენაზე თარგმნისას ვიღებთ ორიგანტოლებები ან.

ჩვენ ვხედავთ, რომ განტოლება დაიშალაორით უფრო მარტივიგანტოლებები, რომელთაგან პირველი უკვე ამოხსნილია ().

მოვაგვაროთ მეორეგანტოლება . გადავიტანოთ უცნობი ტერმინები მარცხნივ და ცნობილი ტერმინები მარჯვნივ. უცნობი წევრი უკვე მარცხნივ არის, იქ დავტოვებთ. ცნობილ ტერმინს კი საპირისპირო ნიშნით მარჯვნივ გადავიტანთ. ჩვენ ვიღებთ განტოლებას.

ჩვენ ვიპოვეთ, მაგრამ უნდა ვიპოვოთ. ფაქტორის მოსაშორებლად, თქვენ უნდა გაყოთ განტოლების ორივე მხარე.