Есть ли у этих множеств общие элементы. Элементы теории множеств. Основные числовые множества

1.1. Основные понятия и определения теории множеств

Любое понятие дискретной математики можно определить с помощью понятия множества, которое является одним из фундаментальных понятий и было сформулировано впервые немецким математиком Г. Кантором.

Под множеством понимается любая совокупность определенных и различимых между собой объектов, мыслимая как единое целое.

Можно говорить о множестве стульев в комнате, людей, живущих в г. Воронеже, студентов в группе, о множестве натуральных чисел, букв в алфавите, состояний системы и т. п. При этом о множестве можно вести речь только тогда, когда элементы множества различимы между собой. Например, нельзя говорить о множестве капель в стакане воды, так как невозможно четко и ясно указать каждую отдельную каплю.

Отдельные объекты, из которых состоит множество, называют элементами множества. Так, число 3 – элемент множества натуральных чисел, а буква б – элемент мно­жества букв русского алфавита.

Общим обозначением множества служит пара фигур­ных скобок { }, внутри которых перечисляются элементы множества. Для обозначения конкретных множеств исполь­зуют различные прописные буквы A , S , X ... или пропис­ные буквы с индексами А 1 , А 2 . Для обозначения элементов множества в общем виде используют различные строчные буквы а , s , x ... или строчные буквы с индексами а 1 , а 2 ...

Для указания того, что некоторый элемент а S , используется символ Î принад­лежности множеству. Запись a ÎS означает, что элемент a принадлежит множеству S , а запись x ÏS означает, что элемент х не принадлежит множеству S . Записью х 1 , x 2 ,... ...,x n ÎS пользуются в качестве сокращения для записи x 1 ÎS , x 2 ÎS ,..., x n ÎS .

Как правило, считается, что все элементы множества различны. Множество с повторяющимися элементами называется мультимножеством. Мультимножества играют важную роль в комбинаторике. В дальнейшем будут рассматриваться множества с различными элементами.

Будем использовать следующие обозначения для числовых множеств:

– множество натуральных чисел, т.е.

– множество целых чисел, т.е. = {0, ±1, ±2, …};

– множество рациональных чисел, ={ / \ , Î ; ¹ 0};

– множество вещественных чисел;

– множество комплексных чисел.

Множества бывают конечными и бесконечными. Мно­жество называют конечным, если число его элементов ко­нечно, т. е. если существует натуральное число n , являю­щееся числом элементов множества. Множество называют бесконечным , если оно содержит бесконечное число эле­ментов. Количество элементов конечного множества называется мощностью и обозначается =n , если множество X содержит n элементов.

Важным понятием теории множеств является понятие пустого множества. Пустым множеством называют мно­жество, не содержащее ни одного элемента. Пустое множествообозначают символом Например:

{x ÎR | x 2 -x +1=0}=

Понятие пустого множества играет очень важную роль при задании множеств с помощью описания. Так, без по­нятия пустого множества мы не могли бы говорить о мно­жестве отличников группы или о множестве вещественных корней квадратного уравнения, не убедившись предвари­тельно, есть ли вообще в данной группе отличники или имеет ли данное уравнение вещественные корни. Введение пустого множества позволяет совершенно спокойно опери­ровать с множеством отличников группы, не заботясь о том, есть или нет в рассматриваемой группе отличники. Пустое множество будем условно относить к конечным множествам.

Множество, содержащие все элементы, находящиеся в рассмотрении, называется универсальным или универсумом и обозначается U .

Для того чтобы оперировать с конкретными множест­вами, нужно уметь их задавать. Существуют два способа задания множеств: перечисление и описание. Задание мно­жества способом перечисления соответствует перечислению всех элементов, составляющих множество. Так, множество отличников группы можно задать, перечислив студентов, которые учатся на отлично, например {Иванов, Петров, Сидоров}. Для сокращения записи Х ={х 1 , х 2 , ...,х n } иногда вводят множество индексов I ={1, 2,..., n } и пишут X ={x i }, i ÎI . Такой способ удобен при рассмотрении конечных множеств, содержащих не­большое число элементов, но иногда он может применяться и для задания бесконечных множеств, например {2, 4, 6, 8...}. Естественно, что такая запись применима, если вполне ясно, что понимается под многоточием.

Описательный способ задания множества состоит в том, что указывается характерное свойство, которым обладают все элементы множества. При этом используется запись

X ={x | x обладает свойством Q (x )}.

Выражение в скобках читается: множество всех элементов х , которые обладают свойством Q (x ). Так, если М - множество сту­дентов группы, то множество A отличников этой группы запишется в виде А ={х ÎМ | х – отличник группы},

что читается следующим образом: множество А состоит из элементов х множества М , обладающих тем свойством, что х является отличником группы.

В тех случаях, когда не вызывает сомнений, из какого множества берутся элементы х , указание о принадлежно­сти х множеству М можно не делать. При этом множест­во А запишется в виде

А={х | х – отличник группы}.

Приведем несколько примеров задания множеств мето­дом описания: {x | x – четное} – множество четных чисел;

{х | х 2 –1=0} – множество {+1, –1}.

Пусть Z – множество целых чисел. Тогда {x ÎZ | 0<x £7} есть множество {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

Множество нечетных чисел можно определить как {x | x =2k +1 для некоторого k ÎZ }.

Способ задания множества с помощью свойств таит некоторые опасности, поскольку «неправильно» заданные свойства могут привести к противоречию. Приведем один из наиболее типичных парадоксов – парадокс Рассела. Рассмотрим множество всех множеств, которые не являются своими собственными элементами: . Спросим теперь, является ли множества К своим элементом? Если К ÎК , то должно выполняться свойство, задающее множество К , т.е. К ÏК , что приводит к противоречию. Если К ÏК , то, поскольку выполняется свойство, задающее К , приходим к тому, что К ÎК , а это противоречит предположению. Таким образом, не всякое свойство приводит к осмысленному заданию множества.

Кроме того, множество можно задать с помощью характеристической функции, значения которой указывают является ли (да или нет) х элементом множества Х :

Заметим, что для любых элементов = 0; = 1.

Пример. Пусть на универсуме U ={a,b,c,d,e } определено множество X ={a,c,d }, тогда

Для произвольных множеств X и Y можно определить два типа отношений – отношение равенства и отношение включения.

Два множества считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Принято обозначение X =Y , если X и Y равны, и X Y – иначе.

Легко видеть, что для любых множеств X , Y , Z справедливы соотношения

Из определения равенства множеств вытекает, что по­рядок элементов в множестве несуществен. Так, например, множества {3, 4, 5, 6} и {4, 5, 6, 3} представляют собой одно и то же множество.

Если каждый элемент множества X является элементом множества Y , то говорят, что X включено в Y и обозначают :

В этом случае говорят, что множество X является подмножеством множества Y . В частности X и Y могут совпадать, поэтому называется также отношением нестрогого включения. Отметим некоторые свойства подмножества, вытекающее из его определения:

Если и , то говорят, что X есть собственное подмножество Y и обозначают , отношение между множествами в этом случае называется отношением нестрогого включения. Для отношения строгого включения справедливо

Невключение подмножества X в множество Y обозначается X . Такое множество называется семейством множества или булеаном множества X и обозначается P (X ) Так как включено в любое множество, то .

Пример. Пусть . Тогда

страница 1

9-10 классы

Модуль 1: Основы теории множеств

. . .
Задание 1.

А) Объясните, из каких элементов состоят множества N , Z , Q , R .

Б) Назовите несколько чисел, являющихся элементами для каждого множества.

В) Назовите числа, которые являются элементами одного из множеств, и не являются элементами остальных трех.

Г) Нарисуйте диаграмму, показывающую взаимосвязь этих множеств между собой.

Ответ.

В) Такие элементы есть только во множестве R . Например,  R , но  N ,  Z , Q . Элементы любого из множеств N , Z , Q обязательно входят и в множество R .

Г

N – множество натуральных чисел;
Z – множество целых чисел;
Q – множество рациональных чисел;

R – множество действительных чисел.
Учителю. Рассматривая материал, мы не выходим за множество действительных чисел.
Задание 2. Задайте множество:

А) учителей математики Вашей школы;

Б) нечетных чисел;

В) корней уравнения х 2 + 5 = 0;

Г) решений неравенства х > 4;

Ответ: Б) {х х = 2n - 1; n  Z };

Г) (4; +).

Учителю. При необходимости можно повторить запись числовых множеств решений неравенств разного вида (приложение «Таблица»).
Равные множества. Множества, состоящие из одних и тех же элементов, считают равными.

Например, А = {1, 2, 3 }; В ={ х (х - 1)(х - 2)(х - 3) = 0 }. А = В.

Отношение равенства для множеств, как и отношение равенства для чисел, обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности.

• 
  А = А (рефлексивность);
• 
  Если А = В, то В = А (симметричность);
• 
  Если А = В и В = С, то А = С (транзитивность).

Мощность множества. Для множества, имеющего конечное число элементов, мощностью называется количество его элементов.

А = {а; b ; c ; d }. Его мощность: А = 4.

Если два множества имеют одинаковую мощность, говорят, что они равномощны. Множество А равномощно множеству времен года.

Интересно, что сначала человек научился сравнивать множества по количеству элементов, а позднее – считать предметы. Сравнить два множества по количеству элементов можно так: каждому элементу одного множества ставить в соответствие элемент второго. Если все элементы «встанут» по парам, то множества равномощны. Если же при сопоставлении некоторые элементы одного из множеств останутся без пары, то оно содержит больше элементов.

Все конечные множества можно мысленно рассортировать, относя в один и тот же класс все множества с одинаковым количеством элементов. И каждому классу поставить в соответствие как характеристику этого множества некоторое число. Таким образом, натуральное число 1 - это общая характеристика всех множеств, имеющих один элемент, натуральное число 5 - это общая характеристика всех множеств, имеющих пять элементов.

Взаимно-однозначное соответствие можно установить и для бесконечных множеств. Например, запишем в один ряд все натуральные числа, а в другой – все четные, элемент под элементом.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 . . .

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 . . .
Мы видим, что все числа первого множества имеют однозначно определенную пару во втором множестве и наоборот. То есть множество натуральных чисел имеет столько же элементов, сколько и множество натуральных четных. То есть они равномощны.

Множества, равномощные множеству натуральных чисел N, называются счетными. Интересно, что счетным является, например, множество положительных рациональных чисел.

Мощность множества всех действительных чисел называется мощностью континуума. Мощность континуум имеют также все множества, равномощные интервалу (0,1). Таким образом, множество всех действительных чисел равномощно интервалу (0,1).
Отношение равномощности также обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности.

То есть, для любых множеств А и В справедливо:

• 
  А = А
• 
  Если А = В, то В = А;
• 
  Если А = В и В = С, то А = С .

Задание 3 . Найдите мощность множеств:

А) Т - множество трехзначных натуральных чисел;

Б) К – множество граней куба;

В) Р – множество натуральных чисел, кратных 7.

Г) Приведите примеры множеств, равномощных каждому из п. А-В.

Ответ: А) Т= 900; Б) К= 6; В) множество К – счетное.
Учителю . Проговорите с учащимися о различии понятий равенство множеств и равномощность множеств.

Задание 4. А – множество букв слова «КОЛЬЦО», В – множество букв слова «ЦОКОЛЬ», С -

множество букв слова «УЛИЦА». Укажите равные и равномощные множества.

Ответ: А = {К, О, Л, Ь, Ц}, В = {Ц, О, К, Л, Ь}, С = {У, Л, И, Ц, А}. Мощность всех трех множеств равна 5, значит, они равномощны.

Материалы разработаны методистами Новосибирского центра продуктивного обучения

страница 1

I. Множество представляет собой совокупность некоторых предметов или чисел, составленных по каким-либо общим свойствам или законам (множество букв на странице, множество правильных дробей со знаменателем 5 , множество звезд на небе и т.д.).

Для записи множества используют фигурные скобки: «{ »- множество открывается; "}" — множество закрывается. А само множество называют заглавными латинскими буквами: А, В, С и так далее.

Примеры.

1 . Записать множество А , состоящее из всех гласных букв в слове «математика» .

Решение. А={а, е, и}. Вы видите: несмотря на то,что в слове «математика» имеется три буквы «а» — в записи множества повторений не допускается, и буква «а» записывается только один раз. Множество А состоит из трех элементов.

2. Записать множество всех правильных дробей со знаменателем 5 .

Решение. Вспоминаем: правильной называют обыкновенную дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Обозначим через В искомое множество. Тогда:

Множество В состоит из четырех элементов.

II. Множества состоят из элементов и бывают конечными или бесконечными. Множество, которое не содержит ни одного элемента, называют пустым множеством и обозначают Ø.

III. Множество В называют подмножеством множества А , если все элементы множества В являются элементами множества А.

3. Какое из двух данных множеств В и С К ,

если В ={-1; 3; 4}, C ={0; 3; 4; 5), K ={0; 2; 3; 4; 5; 6} ?

Решение. Все элементы множества С являются также элементами множества К , поэтому, множество С является подмножеством множества К. Записывают:

IV. Пересечением множеств А и В называется множество, элементы которого принадлежат и множеству А и множеству В .

4. Показать пересечение двух множеств М и F с помощью кругов Эйлера.

Решение.

Из огромного многообразия всевозможных множеств особый интерес представляют так называемые числовые множества , то есть, множества, элементами которых являются числа. Понятно, что для комфортной работы с ними нужно уметь их записывать. С обозначений и принципов записи числовых множеств мы и начнем эту статью. А дальше рассмотрим, как числовые множества изображаются на координатной прямой.

Навигация по странице.

Запись числовых множеств

Начнем с принятых обозначений. Как известно, для обозначения множеств используются заглавные буквы латинского алфавита. Числовые множества, как частный случай множеств, обозначаются также. Например, можно говорить о числовых множествах A , H , W и т.п. Особую важность имеют множества натуральных, целых, рациональных, действительных, комплексных чисел и т.п., для них были приняты свои обозначения:

• N – множество всех натуральных чисел;
• Z – множество целых чисел;
• Q – множество рациональных чисел;
• J – множество иррациональных чисел;
• R – множество действительных чисел;
• C – множество комплексных чисел.

Отсюда понятно, что не стоит обозначать множество, состоящее, к примеру, из двух чисел 5 и −7 как Q , это обозначение будет вводить в заблуждение, так как буквой Q обычно обозначают множество всех рациональных чисел. Для обозначения указанного числового множества лучше использовать какую-нибудь другую «нейтральную» букву, например, A .

Раз уж мы заговорили про обозначения, то здесь напомним и про обозначение пустого множества, то есть множества, не содержащего элементов. Его обозначают знаком ∅.

Также напомним про обозначение принадлежности и непринадлежности элемента множеству. Для этого используют знаки ∈ - принадлежит и ∉ - не принадлежит. Например, запись 5∈N означает, что число 5 принадлежит множеству натуральных чисел, а 5,7∉Z – десятичная дробь 5,7 не принадлежит множеству целых чисел.

И еще напомним про обозначения, принятые для включения одного множества в другое. Понятно, что все элементы множества N входят в множество Z , таким образом, числовое множество N включено в Z , это обозначается как N⊂Z . Также можно использовать запись Z⊃N , которая означает, что множество всех целых чисел Z включает множество N . Отношения не включено и не включает обозначаются соответственно знаками ⊄ и ⊅. Также используются знаки нестрогого включения вида ⊆ и ⊇, означающие соответственно включено или совпадает и включает или совпадает.

Про обозначения поговорили, переходим к описанию числовых множеств. При этом затронем лишь основные случаи, которые наиболее часто используются на практике.

Начнем с числовых множеств, содержащих конечное и небольшое количество элементов. Числовые множества, состоящие из конечного числа элементов, удобно описывать, перечисляя все их элементы. Все элементы-числа записываются через запятую и заключаются в , что согласуется с общими правилами описания множеств . Например, множество, состоящее из трех чисел 0 , −0,25 и 4/7 можно описать как {0, −0,25, 4/7} .

Иногда, когда число элементов числового множества достаточно велико, но элементы подчиняются некоторой закономерности, для описания используют многоточие. Например, множество всех нечетных чисел от 3 до 99 включительно можно записать как {3, 5, 7, …, 99} .

Так мы плавно подошли к описанию числовых множеств, число элементов которых бесконечно. Иногда их можно описать, используя все тоже многоточие. Для примера опишем множество всех натуральных чисел: N={1, 2. 3, …} .

Также пользуются описанием числовых множеств посредством указания свойств его элементов. При этом применяют обозначение {x| свойства} . Например, запись {n| 8·n+3, n∈N} задает множество таких натуральных чисел, которые при делении на 8 дают остаток 3 . Это же множество можно описать как {11,19, 27, …} .

В частных случаях числовые множества с бесконечным числом элементов представляют собой известные множества N , Z , R , и т.п. или числовые промежутки. А в основном числовые множества представляются как объединение составляющих их отдельных числовых промежутков и числовых множеств с конечным числом элементов (о которых мы говорили чуть выше).

Покажем пример. Пусть числовое множество составляют числа −10 , −9 , −8,56 , 0 , все числа отрезка [−5, −1,3] и числа открытого числового луча (7, +∞) . В силу определения объединения множеств указанное числовое множество можно записать как {−10, −9, −8,56}∪[−5, −1,3]∪{0}∪(7, +∞) . Такая запись фактически означает множество, содержащее в себе все элементы множеств {−10, −9, −8,56, 0} , [−5, −1,3] и (7, +∞) .

Аналогично, объединяя различные числовые промежутки и множества отдельных чисел, можно описать любое числовое множество (состоящее из действительных чисел). Здесь становится понятно, почему были введены такие виды числовых промежутков как интервал, полуинтервал, отрезок, открытый числовой луч и числовой луч: все они в купе с обозначениями множеств отдельных чисел позволяют описывать любые числовых множества через их объединение.

Обратите внимание, что при записи числового множества составляющие его числа и числовые промежутки упорядочиваются по возрастанию. Это не обязательное, но желательное условие, так как упорядоченное числовое множество проще представить и изобразить на координатной прямой. Также отметим, что в подобных записях не используются числовые промежутки с общими элементами, так как такие записи можно заменить объединением числовых промежутков без общих элементов. Например, объединение числовых множеств с общими элементами [−10, 0] и (−5, 3) есть полуинтервал [−10, 3) . Это же относится и к объединению числовых промежутков с одинаковыми граничными числами, например, объединение (3, 5]∪(5, 7] представляет собой множество (3, 7] , на этом мы отдельно остановимся, когда будем учиться находить пересечение и объединение числовых множеств .

Изображение числовых множеств на координатной прямой

На практике удобно пользоваться геометрическими образами числовых множеств – их изображениями на . Например, при решении неравенств , в которых необходимо учитывать ОДЗ, приходится изображать числовые множества, чтобы найти их пересечение и/или объединение. Так что полезно будет хорошо разобраться со всеми нюансами изображения числовых множеств на координатной прямой.

Известно, что между точками координатной прямой и действительными числами существует взаимно однозначное соответствие, что означает, что сама координатная прямая представляет собой геометрическую модель множества всех действительных чисел R . Таким образом, чтобы изобразить множество всех действительных чисел, надо начертить координатную прямую со штриховкой на всем ее протяжении:

А часто даже не указывают начало отсчета и единичный отрезок:

Теперь поговорим про изображение числовых множеств, представляющих собой некоторое конечное число отдельных чисел. Для примера, изобразим числовое множество {−2, −0,5, 1,2} . Геометрическим образом данного множества, состоящего из трех чисел −2 , −0,5 и 1,2 будут три точки координатной прямой с соответствующими координатами:

Отметим, что обычно для нужд практики нет необходимости выполнять чертеж точно. Часто достаточно схематического чертежа, что подразумевает необязательное выдерживание масштаба, при этом важно лишь сохранять взаимное расположение точек относительно друг друга: любая точка с меньшей координатой должна быть левее точки с большей координатой. Предыдущий чертеж схематически будет выглядеть так:

Отдельно из всевозможных числовых множеств выделяют числовые промежутки (интервалы, полуинтервалы, лучи и т.д.), что представляют их геометрические образы, мы подробно разобрались в разделе . Здесь не будем повторяться.

И остается остановиться лишь на изображении числовых множеств, представляющих собой объединение нескольких числовых промежутков и множеств, состоящих из отдельных чисел. Здесь нет ничего хитрого: по смыслу объединения в этих случаях на координатной прямой нужно изобразить все составляющие множества данного числового множества. В качестве примера покажем изображение числового множества (−∞, −15)∪{−10}∪[−3,1)∪ {log 2 5, 5}∪(17, +∞) :

И остановимся еще на достаточно распространенных случаях, когда изображаемое числовое множество представляет собой все множество действительных чисел, за исключением одной или нескольких точек. Такие множества частенько задаются условиями типа x≠5 или x≠−1 , x≠2 , x≠3,7 и т.п. В этих случаях геометрически они представляют собой всю координатную прямую, за исключением соответствующих точек. Иными словами, из координатной прямой нужно «выколоть» эти точки. Их изображают кружочками с пустым центром. Для наглядности изобразим числовое множество, соответствующее условиям (это множество по сути есть ):

Подведем итог. В идеале информация предыдущих пунктов должна сформировать такой же взгляд на запись и изображение числовых множеств, как и взгляд на отдельные числовые промежутки: запись числового множества сразу должна давать его образ на координатной прямой, а по изображению на координатной прямой мы должны быть готовы с легкостью описать соответствующее числовое множество через объединение отдельных промежутков и множеств, состоящих из отдельных чисел.

Список литературы.

• Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 13-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2011. - 222 с.: ил. ISBN 978-5-346-01752-3.

Понятие множества является одним из основных математических понятий. Это неопределяемое понятие, его можно только описать или пояснить на примерах. Так, можно говорить о множестве букв в латинском алфавите, множество всех книг в данной библиотеке, множестве студентов в данной группе, множестве всех точек данной линии. Чтобы задать множество, достаточно перечислить элементы или указать характеристические свойства элементов, т.е. такое свойство, которым обладают все элементы данного множества и только они.

Определение 1.1. Предметы (объекты), составляющие некоторое множество, называются его элементами .

Множество принято обозначать прописными латинскими буквами, а элементы множества – строчными буквами. То, что x является элементом множества A , записывается так: x A (x принадлежит A ). Запись вида x A (x A ) означает, что x не принадлежит A , т.е. не является элементом множества A .

Элементы множества принято записывать в фигурных скобках. Например, если A – множество, состоящее из первых трех букв латинского алфавита, то его записывают так: A= {a,b,c }.

Множество может содержать бесконечно много элементов (множество точек прямой, множество натуральных чисел), конечное число элементов (множество школьников в классе), либо вообще не содержать ни одного элемента (множество студентов пустой аудитории).

Определение 1.2. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством , обозначается Ø.

Определение 1.3. Множество A называется подмноже-ством множества B , если каждый элемент множества A принадлежит и множеству B . Это обозначается A B (A – подмножество B ).

Пустое множество считают подмножеством любого множества. Если множество A не является подмножеством множества B , то пишут A B.

Определение 1.4. Два множества A и B называют равными , если являются подмножествами друг друга. Обозначают A = B. Это означает, что если x A , то x B и наоборот, т.е. если и , то .

Определение 1.5. Пересечение множеств A и B называют множество M , элементы которого являются одновременно элементами обоих множеств A и B. Обозначают M= A B. Т.е. x A B , то x A и x B.

Записывают A B= { x | x A и x B }. (Вместо союза и – ставятся знаки , &).

Определение 1.6. Если A B= Ø, то говорят, что множества A и B не пересекаются.

Аналогично можно определить пересечение 3-х, 4-х и любого конечного числа множеств.

Определение 1.7. Объединением множеств A и B называют множество M , элементы которого принадлежат хотя бы одному из данных множеств.Обозначают M=A B. Т.о. A B= { x | x A или x B }. (Вместо союза или – ставится знак ).

Аналогично определяется и множество A 1 A 2 … A n . Оно состоит из элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из множеств A 1 , A 2 ,…, A n (а может быть, и нескольким сразу).

Пример 1.8. 1) если A= {1;2;3;4;5} и B= {1;3;5;7;9}, то A B= {1;3;5} и A B= {1;2;3;4;5;7;9}.

2) если A= {2;4} и B= {3;7}, то A B= Ø и A B= {2;3;4;7}.

3) если A= {летние месяцы} и B= {месяцы, в которых 30 дней}, то A B= {июнь} и A B= {апрель; июнь; июль; август; сентябрь; ноябрь}.

Определение 1.9. Натуральными называются числа 1,2,3,4,…, используемые для счета предметов.

Множество натуральных чисел обозначается N, N={1;2;3;4;…;n;…}. Оно является бесконечным, имеет наименьший элемент 1 и не имеет наибольшего элемента.

Пример 1.10. A – множество натуральных делителей числа 40. Перечислить элементы этого множества. Верно ли, что 5 A, 10 A, -8 A, 4 A, 0 A, 0 A.

A = {1,2,4,5,8,10,20,40}. (В,В,Н,Н,Н,В)

Пример 1.11. Перечислите элементы множеств, заданных характеристическими свойствами.