Исследование функции на периодичность. Как определить периодичность функции Функция называется периодической если существует

Изучая явления природы, решая технические задачи, мы сталкиваемся с периодическими процессами, которые можно описать функциями особого вида.

Функция y = f(x) с областью определения D называется периодической, если существует хотя бы одно число T > 0, такое, при котором выполняются следующие два условия:

1) точки x + T, x − T принадлежат области определения D для любого x ∈ D;

2) для каждого x из D имеет место соотношение

f(x) = f(x + T) = f(x − T).

Число T называется периодом функции f(x). Иными словами, периодической функцией является такая функция, значения которой повторяются через некоторый промежуток. Например, функция y = sin x - периодическая (рис. 1) с периодом 2π.

Заметим, что если число T является периодом функции f(x), то и число 2T также будет ее периодом, как и 3T, и 4T и т. д., т. е. у периодической функции бесконечно много разных периодов. Если среди них имеется наименьший (не равный нулю), то все остальные периоды функции являются кратными этого числа. Заметим, что не каждая периодическая функция имеет такой наименьший положительный период; например, функция f(x)=1 такого периода не имеет. Важно также иметь в виду, что, например, сумма двух периодических функций, имеющих один и тот же наименьший положительный период T 0 , не обязательно имеет тот же самый положительный период. Так, сумма функций f(x) = sin x и g(x) = −sin x вообще не имеет наименьшего положительного периода, а сумма функций f(x) = sin x + sin 2x и g(x) = −sin x, наименьшие периоды которых равны 2π, имеет наименьший положительный период, равный π.

Если отношение периодов двух функций f(x) и g(x) является рациональным числом, то сумма и произведение этих функций также будут периодическими функциями. Если же отношение периодов всюду определенных и непрерывных функций f и g будет иррациональным числом, то функции f+g и fg уже будут непериодическими функциями. Так, например, функции cos x sin √2 x и cosj √2 x + sin x являются непериодическими, хотя функции sin x и cos x периодичны с периодом 2π, функции sin √2 x и cos √2 x периодичны с периодом √2 π.

Отметим, что если f(x) - периодическая функция с периодом T, то сложная функция (если, конечно, она имеет смысл) F(f(x)) является также периодической функцией, причем число T будет служить её периодом. Например, функции y = sin 2 x, y = √(cos x) (рис. 2,3) - периодические функции (здесь: F 1 (z) = z 2 и F 2 (z) = √z). Не следует, однако, думать, что если функция f(x) имеет наименьший положительный период T 0 , то и функция F(f(x)) будет иметь такой же наименьший положительный период; например, функция y = sin 2 x имеет наименьший положительный период, в 2 раза меньший, чем функция f(x) = sin x (рис. 2).

Нетрудно показать, что если функция f периодична с периодом T, определена и дифференцируема в каждой точке действительной прямой, то функция f"(x) (производная) есть также периодическая функция с периодом T, однако первообразная функция F(x) (см. Интегральное исчисление) для f(x) будет периодической функцией только в том случае, когда

F(T) − F(0) = T o ∫ f(x) dx = 0.

Цель: обобщить и систематизировать знания учащихся по теме “Периодичность функций”; формировать навыки применения свойств периодической функции, нахождения наименьшего положительного периода функции, построения графиков периодических функций; содействовать повышению интереса к изучению математики; воспитывать наблюдательность, аккуратность.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, карточки с заданиями, слайды, часы, таблицы орнаментов, элементы народного промысла

“Математика – это то, посредством чего люди управляют природой и собой”
А.Н. Колмогоров

Ход урока

I. Организационный этап.

Проверка готовности учащихся к уроку. Сообщение темы и задач урока.

II. Проверка домашнего задания.

Домашнее задание проверяем по образцам, наиболее сложные моменты обсуждаем.

III. Обобщение и систематизация знаний.

1. Устная фронтальная работа.

Вопросы теории.

1) Сформируйте определение периода функции
2) Назовите наименьший положительный период функций y=sin(x), y=cos(x)
3). Назовите наименьший положительный период функций y=tg(x), y=ctg(x)
4) Докажите с помощью круга верность соотношений:

y=sin(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+180º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)

tg(x+π n)=tgx, n € Z
ctg(x+π n)=ctgx, n € Z

sin(x+2π n)=sinx, n € Z
cos(x+2π n)=cosx, n € Z

5) Как построить график периодической функции?

Устные упражнения.

1) Доказать следующие соотношения

a) sin(740º ) = sin(20º )
b) cos(54º ) = cos(-1026º)
c) sin(-1000º) = sin(80º )

2. Доказать, что угол в 540º является одним из периодов функции y= cos(2x)

3. Доказать, что угол в 360º является одним из периодов функции y=tg(x)

4. Данные выражения преобразовать так, чтобы входящие в них углы по абсолютной величине не превышали 90º .

a) tg375º
b) ctg530º
c) sin1268º
d) cos(-7363º)

5. Где вы встречались со словами ПЕРИОД, ПЕРИОДИЧНОСТЬ?

Ответы учащихся: Период в музыке – построение, в котором изложено более или менее завершенная музыкальная мысль. Геологический период – часть эры и разделяется на эпохи с периодом от 35 до 90 млн. лет.

Период полураспада радиоактивного вещества. Периодическая дробь. Периодическая печать – печатные издания, появляющиеся в строго определенные сроки. Периодическая система Менделеева.

6. На рисунках изображены части графиков периодических функций. Определите период функции. Определить период функции.

Ответ : Т=2; Т=2; Т=4; Т=8.

7. Где в жизни вы встречались с построением повторяющихся элементов?

Ответ учащихся: Элементы орнаментов, народное творчество.

IV. Коллективное решение задач.

(Решение задач на слайдах.)

Рассмотрим один из способов исследования функции на периодичность.

При этом способе обходятся трудности, связанные с доказательством того, что тот или иной период является наименьшим, а также отпадает необходимость касаться вопросов об арифметических действиях над периодическими функциями и о периодичности сложной функции. Рассуждение опирается лишь на определение периодической функции и на такой факт: если Т – период функции, то и nT(n?0) – ее период.

Задача 1. Найдите наименьший положительный период функции f(x)=1+3{x+q>5}

Решение: Предположим, что Т-период данной функции. Тогда f(x+T)=f(x) для всех x € D(f), т.е.

1+3{x+T+0,25}=1+3{x+0,25}
{x+T+0,25}={x+0.25}

Положим x=-0,25 получим

{T}=0 <=> T=n, n € Z

Мы получили, что все периоды рассматриваемой функции (если они существуют) находятся среди целых чисел. Выберем среди этих чисел наименьшее положительное число. Это 1 . Проверим, не будет ли оно и на самом деле периодом 1 .

f(x+1) =3{x+1+0,25}+1

Так как {T+1}={T} при любом Т, то f(x+1)=3{(x+0.25)+1}+1=3{x+0,25}+1=f(x), т.е. 1 – период f. Так как 1 – наименьшее из всех целых положительных чисел, то T=1.

Задача 2. Показать, что функция f(x)=cos 2 (x) периодическая и найти её основной период.

Задача 3. Найдите основной период функции

f(x)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)

Допустим Т-период функции, тогда для любого х справедливо соотношение

sin1,5(x+T)+5cos0,75(x+T)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)

Если х=0, то

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=sin0+5cos0

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5

Если х=-Т, то

sin0+5cos0=sin(-1,5Т)+5cos0,75(-Т)

5= – sin(1,5Т)+5cos(0,75Т)

sin(1,5Т)+5cos(0,75Т)=5

– sin(1,5Т)+5cos(0,75Т)=5

Сложив, получим:

10cos(0,75Т)=10

2π n, n € Z

Выберем из всех “подозрительных” на период чисел наименьшее положительное и проверим, является ли оно периодом для f. Это число

f(x+)=sin(1,5x+4π )+5cos(0,75x+2π )= sin(1,5x)+5cos(0,75x)=f(x)

Значит – основной период функции f.

Задача 4. Проверим является ли периодической функция f(x)=sin(x)

Пусть Т – период функции f. Тогда для любого х

sin|x+Т|=sin|x|

Если х=0, то sin|Т|=sin0, sin|Т|=0 Т=π n, n € Z.

Предположим. Что при некотором n число π n является периодом

рассматриваемой функции π n>0. Тогда sin|π n+x|=sin|x|

Отсюда вытекает, что n должно быть одновременно и четным и нечетным числом, а это невозможно. Поэтому данная функция не является периодической.

Задача 5. Проверить, является ли периодической функция

f(x)=

Пусть Т – период f, тогда

, отсюда sinT=0, Т=π n, n € Z. Допустим, что при некотором n число π n действительно является периодом данной функции. Тогда и число 2π n будет периодом

Так как числители равны, то равны и их знаменатели, поэтому

Значит, функция f не периодическая.

Работа в группах.

Задания для группы 1.

Задания для группы 2.

Проверьте является ли функция f периодической и найдите ее основной период (если существует).

f(x)=cos(2x)+2sin(2x)

Задания для группы 3.

По окончании работы группы презентуют свои решения.

VI. Подведение итогов урока.

Рефлексия.

Учитель выдаёт учащимся карточки с рисунками и предлагает закрасить часть первого рисунка в соответствии с тем, в каком объёме, как им кажется, они овладели способами исследования функции на периодичность, а в части второго рисунка – в соответствии со своим вкладом в работу на уроке.

VII. Домашнее задание

1). Проверьте, является ли функция f периодической и найдите её основной период (если он существует)

b). f(x)=x 2 -2x+4

c). f(x)=2tg(3x+5)

2). Функция y=f(x) имеет период Т=2 и f(x)=x 2 +2x при х € [-2; 0]. Найдите значение выражения -2f(-3)-4f(3,5)

Литература/

Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа с углубленным изучением.
Математика. Подготовка к ЕГЭ. Под ред. Лысенко Ф.Ф., Кулабухова С.Ю.
Шереметьева Т.Г. , Тарасова Е.А. Алгебра и начала анализа для 10-11 классов.

Особенности построения графика периодических функций

График периодической функции обычно сначала строят на промежутке [x 0 ; x 0 + T ). Выполняют параллельный перенос точек графика на всю область определения.

Примеры периодических функций и их графиков.

Примерами периодических функции могут служить тригонометрические функции. Рассмотрим основные из них.

Функция F(x) =sin(x)

а) Область определения: D (sin x) = R .

б) Множество значений: E (sin x) = [– 1 , 1] .
в) Четность, нечетность: функция нечетная.

г) Периодичность: функция периодическая с основным периодом .

д) Нули функции: sin x = 0 при , n Z .

е) Промежутки знакопостоянства функции:

ж) Промежутки монотонности: функция возрастает при ;

функция убывает при ,

з) Экстремумы функции:
; .

График функции y= sin x изображен на рисунке.

Функция F(x) = cos(x)

а) Область определения .

б) Множество значений: E (cos x ) = [ – 1 , 1 ] .

в) Четность, нечетность: функция четная.

г) Периодичность: функция периодическая с основным периодом .

д)Нули функции: при .

е)Промежутки знакопостояннства:

ж) Промежутки монотонности:

функция возрастает при ;

функция убывает при

з) Экстремумы:

График функции y = cosx изображен на рисунке.

Функция F(x) = tg(x)

а) Область определения:

б) Множество значений: E ()

в) Четность, нечетность. Функция нечетная.

г) Периодичность. Функция периодическая с основным периодом

д) Нули функции.: tg x = 0 при x = n, n Z .

е) Промежутки знакопостоянства:

ж) Промежутки монотонности: функция возрастает на каждом интервале, целиком принадлежащем ее области определения.

з) Экстремумы: нет.

График функции y = tg x изображен на рисунке.

Функция F(x) = ctg(x)

а) Область определения: D (ctg x) = R \ { n(n Z) } .

б) Множество значений: E (ctg x) = R .
в) Четность, нечетность функция нечетная.

г) Периодичность: функция периодическая с основным периодом T = .

д) Нули функции: ctg x = 0 при x = /2 + n, n Z .

е) Промежутки знакопостоянства;

ж) Промежутки монотонности: функция убывает на каждом интервале, целиком принадлежащем ее области определения.

з) Экстремумы: нет.

График функции y = ctg x изображен на рисунке.

Интересные графики получаются с применением суперпозиции-образования сложных функций на основе тригонометрических периодических функций.

График периодической функции

II. Приложения периодических функций. Периодические колебания.

Колебания.

Колебаниями называют процессы, отличающиеся той или иной степенью повторяемости. Колебания являются процессами, повторяющимися через одинаковые промежутки времени (при этом далеко не все повторяющиеся процессы являются колебаниями). В зависимости от физической природы повторяющегося процесса различают колебания механические, электромагнитные, электромеханические и т.п. При механических колебаниях периодически изменяются положения и координаты тел. При электрических – напряжение и сила тока. В зависимости от характера воздействия на колеблющуюся систему различают свободные колебания, вынужденные, автоколебания и параметрические колебания.

Повторяющиеся процессы непрерывно происходят внутри любого живого организма, например: сокращения сердца, работа легких; мы дрожим, когда нам холодно; мы слышим и разговариваем благодаря колебаниям барабанных перепонок и голосовых связок; при ходьбе наши ноги совершают колебательные движения. Колеблются атомы, из которых мы состоим. Мир, в котором мы живем, склонен к колебаниям.

Периодические колебания.

Периодическими называют такие колебания, при которых все характеристики движения повторяются через определенный промежуток времени.

Для периодических колебаний используют следующие характеристики:

период колебаний Т, равный времени, в течение которого совершается одно полное колебание;

частота колебаний ν, равная числу колебаний, совершаемых за одну секунду (ν = 1/Т);

Параметрические колебания осуществляются при периодическом изменении параметров колеблющейся системы (качающийся на качелях человек периодически поднимает и опускает свой центр тяжести, тем самым меняя параметры системы). При определенных условиях система становится неустойчивой - случайно возникшее отклонение из положения равновесия приводит к возникновению и нарастанию колебаний. Это явление называется параметрическим возбуждением колебаний (т.е. колебания возбуждаются за счет изменения параметров системы), а сами колебания – параметрическими. Несмотря на разную физическую природу, для колебаний характерны одни и те же закономерности, которые исследуются общими методами. Важной кинематической характеристикой является форма колебаний. Она определяется видом той функции времени, которая описывает изменение той или иной физической величины при колебаниях. Наиболее важными являются такие колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Они называются гармоническими. Этот вид колебаний особенно важен по следующим причинам. Во-первых, колебания в природе и в технике часто имеют характер очень близких к гармоническим. Во-вторых, периодические процессы иной формы (с другой зависимостью от времени) могут быть представлены как наложение, или суперпозиция, гармонических колебаний.

УДК 517.17+517,51

ПЕРИОД СУММЫ ДВУХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

А/О. Эвнин

В работе полностью решен вопрос, каким может быть основной период периодической функции, являющейся суммой двух периодических функций с известными основными периодами. Изучается также случай отсутствия основного периода у периодической суммы периодических функций.

Мы рассматриваем действительнозначные функции действительного переменного. В энциклопедическом издании в статье «Периодические функции» можно прочитать: «Сумма периодических функций с разными периодами является периодической только тогда, когда их периоды соизмеримы». Это утверждение справедливо для непрерывных функций1, но не имеет места в общем случае. Контрпример весьма общего вида был построен в . В данной статье мы выясняем, каким может быть основной период периодической функции, являющейся суммой двух периодических функций с известными основными периодами.

Предварительные сведения

Напомним, что функция / называется периодической, если для некоторого числа Т Ф О при любом х из области определения D(f) числа х + Т и х - Т принадлежат D(f) и выполняются равенства f(x + T) =f(x) =f(x ~ Т). При этом число Г называют периодом функции.

Наименьший положительный период функции (если, конечно, он существует) будем называть основным периодом. Известен следующий факт.

Теорема 1. Если у функции есть основной период То, то любой период функции имеет вид пТо, где п Ф 0 - целое число.

Числа Т\ и Т2 называют соизмеримыми, если существует такое число Т0, которое целое число раз «укладывается» и в Т\, и в Т2: Т\ = Т2 = п2Т0, щ,п2е Z. В противном случае числа Т\ и Т2 называют несоизмеримыми. Соизмеримость (несоизмеримость) периодов означает, таким образом, что их отношение есть число рациональное (иррациональное).

Из теоремы 1 следует, что у функции, имеющей основной период, любые два периода соизмеримы.

Классическим примером функции, не имеющей наименьшего периода, является функция Дирихле, равная 1 в рациональных точках, и нулю - в иррациональных. Любое рациональное число, отличное от нуля, является периодом функции Дирихле, а любое иррациональное число не является ее периодом. Как видим, и здесь любые два периода соизмеримы.

Приведем пример непостоянной периодической функции, имеющей несоизмеримые периоды.

Пусть функция /(х) в точках вида /и + ла/2, m, п е Z, равна 1, а в остальных точках равна

нулю. Среди периодов этой функции есть 1 и л

Период суммы функций с соизмеримыми периодами

Теорема 2. Пусть fug- периодические функции с основными периодами тТ0 и «То, где тип

Взаимно простые числа. Тогда основной период их суммы (если он существует), равен -

где к - натуральное число, взаимно простое с числом тп.

Доказательство. Пусть h = / + g. Очевидно, что число тпТ0 является периодом h. В силу

теоремы 1 основной период h имеет вид-где к- некоторое натуральное число. Предполо-

жим, что к не является взаимно простым с числом m, то есть к - dku m = dm\, где d> 1 - наи-

1 Красивое доказательство того, что сумма любого конечного числа непрерывных функций с попарно несоизмеримыми периодами непериодична, содержится в статье См. также .

больший общий делитель чисел т и к. Тогда период функции к равен

а функция f=h-g

имеет период mxnTо, не являющийся кратным ее основного периода mTQ. Получено противоречие с теоремой 1. Значит, к взаимно просто с т. Аналогично, взаимно простыми являются числа к и п. Таким образом, А: взаимно просто с тп. □

Теорема 3. Пусть т, п и к ~ попарно взаимно простые числа, а Т0 - положительное число. Тогда существуют такие периодические функции fug, что основные периоды f, g и (f + g) рае-

ны соответственно тТ$, nTQ и-

Доказательство. Доказательство теоремы будет конструктивным: мы просто построим соответствующий пример. Предварительно сформулируем следующий результат. Утверждение. Пусть т - взаимно простые числа. Тогда функции

fx - cos- + cos--- и f2= cos- m n m

cos- имеют основным периодом число 2ктп. п

Доказательство утверждения. Очевидно, что число 2птп является периодом обеих функций. Легко можно проверить, что этот период основной для функции Найдем ее точки максимума.

х = 2лМ, te Z.

Имеем = п!. Из взаимной простоты тип следует, что 5 кратно /г, т.е. я = I е Ъ. Значит, /х(х) = 2 о х = 2тстп1,1 е 2, а расстояние между соседними точками максимума функции /\ равно 2ктп, и положительный период/1 не может быть меньше числа 2 шпп.

Для функции^ применим рассуждения другого рода (которые подходят и для функции/ь но

менее элементарны). Как показывает теорема 1, основной период Г функции/2 имеет вид -,

где к- некоторое натуральное число, взаимно простое с тип. Число Гбудет и периодом функции

(2 ^ 2 хп г т т /2 + /2 = - -1 cos

все периоды которой имеют вид 2пп1. Итак,

2nnl, т.е. т = kl. Так как т и к взаимно про-

сты, отсюда следует, что к= 1.

Теперь для доказательства теоремы 3 можно построить искомый пример. Пример. Пусть т, п и к - попарно взаимно простые числа и хотя бы одно из чисел п или к отлично от 1. Тогда пф к ив силу доказанного утверждения функции

/ (х) = cos--- + cos- т к

И g(x) = cos-cos - п к

имеют основные периоды 2 лтк и 2 тк соответственно, а у их суммы

к(х) = f(x) + = cos- + cos-

основной период равен 2 ттп.

Если же п = к = 1, то подойдет пара функций

f{x)-2 cos- + COS X и g(x) - COS X. m

Их основные периоды, а также период функции к(х) - 2 равны соответственно 2лм, 2/ги 2тип.

как легко проверить.

Математика

Обозначим Т = 2лк. Для произвольных попарно взаимно простых чисел тп, п и к указаны функции/и £ такие, что основные периоды функций/, g и/ + g равны соответственно тТ, пТ и

Условию теоремы удовлетворяют функции / - л;

Период суммы функций с несоизмеримыми периодами

Следующее утверждение почти очевидно.

Теорема 4. Пусть fug- периодические функции с несоизмеримыми основными периодами Т} и Т2, а сумма этих функций h = f + g периодична и имеет основной период Т. Тогда число Т несоизмеримо ни с Т], ни с Т2.

Доказательство. С одной стороны, если числа ТнТ} соизмеримы, то функция g = h-f имеет период, соизмеримый с Г]. С другой стороны, в силу теоремы 1 любой период функции g кратен числу Т2. Получаем противоречие с несоизмеримостью чисел Т\ и Т2. Несоизмеримость чисел Т и Т2 доказывается аналогично, d

Замечательным, и даже в некотором роде удивительным, является тот факт, что справедливо и утверждение, обратное к теореме 4. Широко распространено заблуждение о том, что сумма двух периодических функций с несоизмеримыми периодами не может быть функцией периодической. На самом же деле это не так. Более того, период суммы может быть любым положительным числом, удовлетворяющим утверждению теоремы 4.

Теорема 5. Пусть Т\, Т2иТ~ попарно несоизмеримые положительные числа. Тогда существуют такие периодические функции fug, что их сумма h =/+ g периодична, а основные периоды функцииf guhравны соответственно Th Т2 и Т.

Доказательство. Доказательство вновь будет конструктивным. Наши построения будут существенно зависеть от того, представимо или не представимо число Т в виде рациональной комбинации Т = аТ\ + рТ2 (а и Р - рациональные числа) периодов Т\ и Т2.

I. Т не является рациональной комбинацией Тг и J2-

Пусть А = {mT\ + пТ2 + kT\m,n, k е Z} - множество целых линейных комбинаций чисел Гь Т2 и Т. Отметим сразу, что если число представимо в виде пгТ\ + пТ2 + кТ, то такое представление единственно. Действительно, если тхТ\ + п\Тг + к\Т- m2Tx + п2Т2 + к2Т9 то

(к} - к2)Т- (от2 - т\)Т] + (п2 - щ)Тъ и при к\ * к2 получаем, что Т рационально выражается через Т] и Т2. Значит, к\ = к2. Теперь из несоизмеримости чисел Т\ и Т2 непосредственно получаются равенства т\ = т2 и щ = п2.

Важным является тот легко проверяемый факт, что множества А и дополнение к нему А замкнуты относительно прибавления чисел из А: если х е А и у е А, то х + у е А; если х е А и у е А, тох + у е А.

Положим, что во всех точках множества А функции/и g равны нулю, а на множестве А зададим эти функции следующим образом:

f(mTi + пТ2 + кТ) = пТ2 + кТ g(mT1 + пТ2 + кТ) - гпТ\ - кТ.

Поскольку, как было показано, по числу х е А коэффициенты т,пик линейной комбинации периодов Гь Т2 и Г восстанавливаются однозначно, указанные задания функций/и g корректны.

Функция h =/ + g на множестве А равна нулю, а в точках множества А равна

h(mT\ + пТ2 + кТ) - тТ\ + пТ2.

Непосредственной подстановкой легко убедиться, что число Т\ - период функции f число Т2 - период g, а Т~ период h. Покажем, что эти периоды - основные.

Сначала отметим, что любой период функции /принадлежит множеству А. Действительно,

если 0 фх в А,у е А, т ох + у е А и f(x + у) = 0 *f(x). Значит, у е А - не период функции /

Пусть теперь не равные друг другу числах\, х2 принадлежат^ и f(x 1) ~f(x2). Из определения функции / отсюда получаем, что х\ - х2 = 1ТЬ где I- некоторое ненулевое целое число. Стало быть, любой период функции/кратен Т\. Таким образом, Тх - действительно основной период/

Точно так же проверяются утверждения относительно Т2 и Т.

Замечание. В книге на с. 172-173 приводится другая общая конструкция для случая I.

II. Т- рациональная комбинация Т\ и Т2.

Представим рациональную комбинацию периодов Т\ и Т2 в виде Г = - (кхТх + к2Т2), где кх и

к2 ™ взаимно простые целые числа, к{Г\ + к2Т2 > 0, а/? и д - натуральные числа. Введем в рассмотри, лeZ>.

рение множество В----

Положим, что во всех точках множества В функцииfиg равны нулю, а на множестве В зададим эти функции следующим образом:

^ тТ\ + пТ2 Л Я

^ mTx + пТ2 Л

Здесь, как обычно, [х] и {х} обозначают соответственно целую и дробную часть числах. Функция к =/+ д на множестве В равна нулю, а в точках множества В равна

fmTx +пТ: л Ч

Непосредственной подстановкой несложно проверить, что число Тх - период функции/, число Т2 - период g, а Т- период h. Покажем, что эти периоды - основные.

Любой период функции / принадлежит множеству В. Действительно, если 0 * х е В, у е В, то f(x) Ф 0, j{x + у) = 0 */(*)■ Значит, у е В _ Не период функции/

Итак, всякий период функции / имеет вид Ту =

Где 5i и 52 - целые числа. Пусть

х =-7] 4- -Г2, х е 5. Если я = 0, то /(я) - рациональное число. Теперь из рациональности числа /(х + 7}) вытекает равенство -I - I - 0. Значит, имеем равенство 52 = Хр, где X - некоторое целое

число. Соотношение/(х + 7}) = /(х) принимает вид

^ П + I + I ш +

Данное равенство должно выполняться при всех целых тип. При т-п~ 0 правая часть (1) рав-

на нулю. Поскольку дробные части неотрицательны, получаем отсюда, что -<0, а при

т = п = д - ] сумма дробных частей в правой части равенства (1) не меньше суммы дробных час-X

тей слева. Значит, - >0. Таким образом, X = 0 и 52 = 0. Поэтому период функции / имеет вид

а равенство (1) переходит в

п\ | и 52 - целые числа. Из соотношений

й(0) = 0 = й(ГА) =

получаем, что числа 51 и ^ должны быть кратны р, т.е. при некоторых целых Лх и Л2 имеем 51 = Л\р, Э2 = Л2р. Тогда соотношение (3) можно переписать в виде

Из равенства Л2кх = к2Л\ и взаимной простоты чисел к\ и к2, вытекает, что Л2 делится на к2. Отсюда

для некоторого целого числа t справедливы равенства Л2 = k2t и Лх ~ kxt, т.е. Th ~-{кхТх + к2Т2).

Показано, что любой период функции h кратен периоду Т = - (к{Гх + к2Т2)9 который, таким обра-

зом, является основным. □

Отсутствие основного периода

Теорема 6. Пусть Тх и Т2~- произвольные положительные числа. Тогда существуют такие периодические функции fug, что их основные периоды равны соответственно Т\ и Т2, а их сумма h=f+g периодична, но не имеет основного периода.

Доказательство. Рассмотрим два возможных случая.

I. Периоды Тх и Т2 несоизмеримы.

Пусть A = + пТ2 +kT\ . Как и выше, легко показать, что если число

представимо в виде тТх + пТ2 + кТ, то такое представление единственно.

Положим, что во всех точках множества А функции / и g равны нулю, а на множестве А зададим эти функции следующим образом:

/от; + пТ2 + кТ) = пТ2 + кТ, g(mTx + пТ2 + кТ) = тТх - кТ.

Несложно убедиться в том, что число Тх - основной период функции / , число Т2 - основной период g , и при любом рациональном к число кТ - период функции h - f + g, у которой, таким образом, нет наименьшего периода.

II. Периоды Тх и Т2 соизмеримы.

Пусть Тх =тТ0,Т2 = пТ0, где Т0 > О, m и п - натуральные числа. Введем в рассмотрение множество Я = + .

Положим, что во всех точках множества В функции fug равны нулю, а на множестве В зададим эти функции так:

/((/ + ЩТ0) = Щ + Jit, g((/ + 4lk)T0) - Щ - 42к.

Функция h ~ / + g на множестве В равна нулю, а в точках множества В равна

Нетрудно проверить, что число 7j = mTQ - основной период функции / , число Т2 ~ пТ0 - основной период g, в то время как среди периодов функции h~ f + g есть все числа вида л/2кТ0, где к - произвольное рациональное число. □

В основе конструкций, доказывающих теорему 6, лежит несоизмеримость периодов функции h~ / + g с периодами функций / и g . Приведем в заключение пример таких функций fug, что все периоды функций /, g и / + g соизмеримы между собой, но у / и g есть основные периоды, а у f + g - нет.

Пусть m - некоторое фиксированное натуральное число, М - множество несократимых нецелых дробей, числители которых кратны m . Положим

1, если хеМ; 1

еслихе mZ;

EcnuxeZXmZ; 2

О в остальных случаях; 1, если хеМU

~,еслихе2 2

[О в противном случае.

Легко видеть, что основные периоды функций fug равны соответственно m и 1, в то время как сумма / + g имеет периодом любое число вида m/n, где п - произвольное натуральное число, взаимно простое с m .

Литература

1. Математический энциклопедический словарь/Гл. ред. Ю.В. Прохоров - М.: Сов. энциклопедия, 1988.

2. Микаэлян Л.В., Седракян Н.М. О периодичности суммы периодических функций// Математическое образование. - 2000. - № 2(13). - С. 29-33.

3. Геренштейн A.B., Эвнин А.Ю. О сумме периодических функций// Математика в школе. -2002. - № 1. - С. 68-72.

4. Ивлев Б.М. и др. Сборник задач по алгебре и началам анализа для 9 и 10 кл. - М.: Просвещение, 1978.