Подготовка к ЕГЭ. Решение логарифмических и показательных неравенств методом рационализации. Мановская работа" логарифмические неравенства в егэ" Егэ профиль решение логарифмических неравенств

Разделы: Математика

Часто, при решении логарифмических неравенств, встречаются задачи с переменным основанием логарифма. Так, неравенство вида

является стандартным школьным неравенством. Как правило, для его решения применяется переход к равносильной совокупности систем:

Недостатком данного метода является необходимость решения семи неравенств, не считая двух систем и одной совокупности. Уже при данных квадратичных функциях решение совокупности может потребовать много времени.

Можно предложить альтернативный, менее трудоемкий способ решения этого стандартного неравенства. Для этого учтем следующую теорему.

Теорема 1. Пусть непрерывная возрастающая функция на множестве X. Тогда на этом множестве знак приращения функции будет совпадать со знаком приращения аргумента, т.е. , где .

Примечание: если непрерывная убывающая функция на множестве X, то .

Вернемся к неравенству . Перейдем к десятичному логарифму (можно переходить к любому с постоянным основанием больше единицы).

Теперь можно воспользоваться теоремой, заметив в числителе приращение функций и в знаменателе . Таким образом, верно

В результате количество вычислений, приводящих к ответу, уменьшается примерно в два раза, что экономит не только время, но и позволяет потенциально сделать меньше арифметических ошибок и ошибок “по невнимательности”.

Пример 1.

Сравнивая с (1) находим , , .

Переходя к (2) будем иметь:

Пример 2.

Сравнивая с (1) находим , , .

Переходя к (2) будем иметь:

Пример 3.

Поскольку левая часть неравенства – возрастающая функция при и , то ответом будет множество .

Множество примеров, в которых можно применять терему 1 может быть легко расширено, если учесть терему 2.

Пусть на множестве X определены функции , , , и на этом множестве знаки и совпадают, т.е. , тогда будет справедливо .

Пример 4.

Пример 5.

При стандартном подходе пример решается по схеме: произведение меньше нуля, когда сомножители разных знаков. Т.е. рассматривается совокупность двух систем неравенств, в которых, как было указано в начале, каждое неравенство распадается еще на семь.

Если же учесть терему 2, то каждый из сомножителей, учитывая (2), можно заменить на другую функцию, имеющую тот же знак на данном примером О.Д.З.

Метод замены приращения функции приращением аргумента с учетом теоремы 2, оказывается очень удобным при решении типовых задач С3 ЕГЭ.

Пример 6.

Пример 7.

. Обозначим . Получим

. Заметим, что из замены следует: . Возвращаясь к уравнению, получим .

Пример 8.

В используемых нами теоремах нет ограничении на классы функций. В данной статье, для примера, теоремы были применены к решению логарифмических неравенств. Несколько следующих примеров продемонстрируют перспективность метода при решении других видов неравенств.

ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА В ЕГЭ

Сечин Михаил Александрович

Малая академия наук учащейся молодежи РК «Искатель»

МБОУ « Советская СШ №1», 11 класс, пгт. Советский Советского района

Гунько Людмила Дмитриевна, учитель МБОУ « Советская СШ №1»

Советского района

Цель работы: исследование механизма решения логарифмических неравенств С3 при помощи нестандартных методов, выявление интересных фактов логарифма.

Предмет исследования:

3)Научиться решать конкретные логарифмические неравенства С3 с помощью нестандартных методов.

Результаты:

Содержание

Введение………………………………………………………………………….4

Глава 1. История вопроса……………………………………………………...5

Глава 2. Сборник логарифмических неравенств ………………………… 7

2.1. Равносильные переходы и обобщенный метод интервалов…………… 7

2.2. Метод рационализации ………………………………………………… 15

2.3. Нестандартная подстановка………………............................................... 22

2.4. Задания с ловушками…………………………………………………… 27

Заключение…………………………………………………………………… 30

Литература……………………………………………………………………. 31

Введение

Я учусь в 11 классе и планирую поступить в ВУЗ, где профильным предметом является математика. А поэтому много работаю с задачами части С. В задании С3 нужно решить нестандартное неравенство или систему неравенств, как правило, связанное с логарифмами. При подготовке к экзамену я столкнулся с проблемой дефицита методов и приёмов решения экзаменационных логарифмических неравенств, предлагаемых в С3. Методы, которые изучаются в школьной программе по этой теме, не дают базу для решения заданий С3. Учитель по математике предложила мне поработать с заданиями С3 самостоятельно под её руководством. Кроме этого, меня заинтересовал вопрос: а в жизни нашей встречаются логарифмы?

С учетом этого и была выбрана тема:

«Логарифмические неравенства в ЕГЭ»

Цель работы: исследование механизма решения задач С3 при помощи нестандартных методов, выявление интересных фактов логарифма.

Предмет исследования:

1)Найти необходимые сведения о нестандартных методах решения логарифмических неравенств.

2)Найти дополнительные сведения о логарифмах.

3)Научиться решать конкретные задачи С3 с помощью нестандартных методов.

Результаты:

Практическая значимость заключается в расширении аппарата для решения задач С3. Данный материал можно будет использовать на некоторых уроках, для проведения кружков, факультативных занятий по математике.

Проектным продуктом станет сборник «Логарифмические неравенства С3 с решениями».

Глава 1. История вопроса

На протяжении 16 века быстро возрастало количество приближённых вычислений, прежде всего, в астрономии. Совершенствование инструментов, исследование планетных движений и другие работы потребовали колоссальных, иногда многолетних, расчетов. Астрономии грозила реальная опасность утонуть в невыполненных расчётах. Трудности возникали и в других областях, например, в страховом деле нужны были таблицы сложных процентов для различных значений процента. Главную трудность представляли умножение, деление многозначных чисел, особенно тригонометрических величин.

Открытие логарифмов опиралось на хорошо известные к концу 16 века свойства прогрессий. О связи между членами геометрической прогрессии q, q2, q3, ... и арифметической прогрессией их показателей 1, 2, 3,... говорил еще в "Псалмите" Архимед. Другой предпосылкой было распространение понятия степени на отрицательные и дробные показатели. Многие авторы указывали, что умножению, делению, возведению в степень и извлечению корня в геометрической прогрессии соответствуют в арифметической - в том же порядке - сложение, вычитание, умножение и деление.

Здесь скрывалась идея логарифма как показателя степени.

В истории развития учения о логарифмах прошло несколько этапов.

1 этап

Логарифмы были изобретены не позднее 1594 года независимо друг от друга шотландским бароном Непером (1550-1617) и через десять лет швейцарским механиком Бюрги (1552-1632). Оба хотели дать новое удобное средство арифметических вычислений, хотя подошли они к этой задаче по-разному. Непер кинематически выразил логарифмическую функцию и, тем самым, вступил в новую область теории функции. Бюрги остался на почве рассмотрения дискретных прогрессий. Впрочем, определение логарифма у обоих не похоже на современное. Термин "логарифм" (logarithmus) принадлежит Неперу. Он возник из сочетания греческих слов: logos - "отношение" и ariqmo - "число", которое означало "число отношений". Первоначально Непер пользовался другим термином: numeri artificiales- "искусственные числа", в противоположность numeri naturalts -"числам естественным".

В 1615 году в беседе с профессором математики Грешем Колледжа в Лондоне Генри Бригсом (1561-1631) Непер предложил принять за логарифм единицы нуль, а за логарифм десяти - 100, или, что сводится к тому же, просто 1. Так появились десятичные логарифмы и были напечатаны первые логарифмические таблицы. Позже таблицы Бригса дополнил голландский книготорговец и любитель математики Андриан Флакк (1600-1667). Непер и Бригс, хотя пришли к логарифмам раньше всех, опубликовали свои таблицы позже других - в 1620 году. Знаки log и Log были введены в 1624 году И. Кеплером. Термин "натуральный логарифм" ввели Менголи в 1659 г. и вслед за ним Н. Меркатор в 1668 г., а издал таблицы натуральных логарифмов чисел от 1 до 1000 под названием "Новые логарифмы" лондонский учитель Джон Спейдел.

На русском языке первые логарифмические таблицы были изданы в 1703 году. Но во всех логарифмических таблицах были допущены ошибки при вычислении. Первые безошибочные таблицы вышли в 1857 году в Берлине в обработке немецкого математика К. Бремикера (1804-1877).

2 этап

Дальнейшее развитие теории логарифмов связано с более широким применением аналитической геометрии и исчисления бесконечно малых. К тому времени относится установление связи между квадратурой равносторонней гиперболы и натуральным логарифмом. Теория логарифмов этого периода связана с именами целого ряда математиков.

Немецкий математик, астроном и инженер Николаус Меркатор в сочинении

"Логарифмотехника" (1668) приводит ряд, дающий разложение ln(x+1) по

степеням х:

Это выражение в точности соответствует ходу его мысли, хотя он, конечно, пользовался не знаками d, ... , а более громоздкой символикой. С открытием логарифмического ряда изменилась техника вычисления логарифмов: они стали определяться с помощью бесконечных рядов. В своих лекциях "Элементарная математика с высшей точки зрения", прочитанных в 1907-1908 годах, Ф. Клейн предложил использовать формулу в качестве исходного пункта построения теории логарифмов.

3 этап

Определение логарифмической функции как функции обратной

показательной, логарифма как показателя степени данного основания

было сформулировано не сразу. Сочинение Леонарда Эйлера (1707-1783)

"Введение в анализ бесконечно малых" (1748 г.) послужило дальнейшему

развитию теории логарифмической функции. Таким образом,

прошло 134 года с тех пор, как логарифмы впервые были введены

(считая с 1614 г.), прежде чем математики пришли к определению

понятия логарифма, которое положено теперь в основу школьного курса.

Глава 2. Сборник логарифмических неравенств

2.1. Равносильные переходы и обобщенный метод интервалов.

Равносильные переходы

, если а > 1

, если 0 < а < 1

Обобщённый метод интервалов

Данный способ наиболее универсален при решении неравенств практически любого типа. Схема решения выглядит следующим образом:

1. Привести неравенство к такому виду, где в левой части находится функция
, а в правой 0.

2. Найти область определения функции
.

3. Найти нули функции
, то есть – решить уравнение
(а решать уравнение обычно проще, чем решать неравенство).

4. Изобразить на числовой прямой область определения и нули функции.

5. Определить знаки функции
на полученных интервалах.

6. Выбрать интервалы, где функция принимает необходимые значения, и записать ответ.

Пример 1.

Решение:

Применим метод интервалов

откуда

При этих значениях все выражения, стоящие под знаками логарифмов, положительны.

Ответ:

Пример 2.

Решение:

1-й способ . ОДЗ определяется неравенством x > 3. Логарифмируя при таких x по основанию 10, получаем

Последнее неравенство можно было бы решать, применяя правила разложения, т.е. сравнивая с нулём сомножители. Однако в данном случае легко определить интервалы знакопостоянства функции

поэтому можно применить метод интервалов.

Функция f (x ) = 2x (x - 3,5)lgǀ x - 3ǀ непрерывна при x > 3 и обращается в ноль в точках x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 = 4. Таким образом, определяем интервалы знакопостоянства функции f (x ):

Ответ:

2-й способ . Применим непосредственно к исходному неравенству идеи метода интервалов.

Для этого напомним, что выражения a b - a c и (a - 1)(b - 1) имеют один знак. Тогда наше неравенство при x > 3 равносильно неравенству

или

Поcледнее неравенство решается методом интервалов

Ответ:

Пример 3.

Решение:

Применим метод интервалов

Ответ:

Пример 4.

Решение:

Так как 2x 2 - 3x + 3 > 0 при всех действительных x , то

Для решения второго неравенства воспользуемся методом интервалов

В первом неравенстве сделаем замену

тогда приходим к неравенству 2y 2 - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те y , которые удовлетворяют неравенству -0,5 < y < 1.

Откуда, так как

получаем неравенство

которое выполняется при тех x , для которых 2x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

Теперь с учетом решения второго неравенства системы окончательно получаем

Ответ:

Пример 5.

Решение:

Неравенство равносильно совокупности систем

или

Применим метод интервалов или

Ответ :

Пример 6.

Решение:

Неравенство равносильно системе

Пусть

тогда y > 0,

и первое неравенство

системы принимает вид

или, раскладывая

квадратный трехчлен на множители,

Применяя к последнему неравенству метод интервалов,

видим, что его решениями, удовлетворяющими условию y > 0 будут все y > 4.

Таким образом исходное неравенство эквивалентно системе:

Итак, решениями неравенства являются все

2.2. Метод рационализации.

Раньше методом рационализации неравенства не решали, его не знали. Это "новый современный эффективный метод решения показательных и логарифмических неравенств" (цитата из книжки Колесниковой С.И.)
И даже, если педагог его знал, была опаска - а знает ли его эксперт ЕГЭ, а почему в школе его не дают? Были ситуации, когда учитель говорил ученику: "Где взял? Садись - 2."
Сейчас метод повсеместно продвигается. И для экспертов есть методические указания, связанные с этим методом, и в "Самых полных изданиях типовых вариантов..." в решении С3 используется этот метод.
МЕТОД ЧУДЕСНЫЙ!

«Волшебная таблица»

В других источниках

если a >1 и b >1, то log a b >0 и (a -1)(b -1)>0;

если a >1 и 0

если 0<a <1 и b >1, то log a b <0 и (a -1)(b -1)<0;

если 0<a <1 и 00 и (a -1)(b -1)>0.

Проведенные рассуждения несложные, но заметно упрощающие решение логарифмических неравенств.

Пример 4.

log x (x 2 -3)<0

Решение:

Пример 5.

log 2 x (2x 2 -4x +6)≤log 2 x (x 2 +x )

Решение:

Ответ . (0; 0,5)U .

Пример 6.

Для решения этого неравенства вместо знаменателя запишем (х-1-1)(х-1), а вместо числителя - произведение (х-1)(х-3-9+х).

Ответ: (3;6)

Пример 7.

Пример 8.

2.3. Нестандартная подстановка.

Пример 1.

Пример 2.

Пример 3.

Пример 4.

Пример 5.

Пример 6.

Пример 7.

log 4 (3 x -1)log 0,25

Сделаем замену у=3 х -1; тогда данное неравенство примет вид

Log 4 log 0,25
.

Так как log 0,25 = -log 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , то перепишем последнее неравенство в виде 2log 4 y -log 4 2 y ≤.

Сделаем замену t =log 4 y и получим неравенство t 2 -2t +≥0, решением которого являются промежутки -.

Таким образом, для нахождения значений у имеем совокупность двух простейших неравенств
Решение этой совокупности есть промежутки 0<у≤2 и 8≤у<+.

Следовательно, исходное неравенство равносильно совокупности двух показательных неравенств,
то есть совокупности

Решением первого неравенства этой совокупности является промежуток 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+. Таким образом, исходное неравенство выполняется для всех значений х из промежутков 0<х≤1 и 2≤х<+.

Пример 8.

Решение:

Неравенство равносильно системе

Решением второго неравенства, определяющего ОДЗ, будет множество тех x ,

для которых x > 0.

Для решения первого неравенства сделаем замену

Тогда получаем неравенство

или

Множество решений последнего неравенства находится методом

интервалов: -1 < t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной x , получаем

или

Множество тех x , которые удовлетворяют последнему неравенству

принадлежит ОДЗ (x > 0), следовательно, является решением системы,

а значит, и исходного неравенства.

Ответ:

2.4. Задания с ловушками.

Пример 1.

.

Решение. ОДЗ неравенства есть все х, удовлетворяющие условию 0. Следовательно, все х из промежутка 0

Пример 2.

log 2 (2 x +1-x 2)>log 2 (2 x-1 +1-x)+1. . ? Дело в том, что второе число с очевидностью больше чем

Заключение

Было не просто найти из большого обилия разных учебных источников особые методы решения задач С3. В ходе проделанной работы мне удалось изучить нестандартные методы решения сложных логарифмических неравенств. Это: равносильные переходы и обобщённый метод интервалов, метод рационализации, нестандартная подстановка, задания с ловушками на ОДЗ. В школьной программе эти методы отсутствуют.

Разными методами я решил 27 неравенств, предлагаемых на ЕГЭ в части С, а именно С3. Эти неравенства с решениями по методам легли в основу сборника «Логарифмические неравенства С3 с решениями», который стал проектным продуктом моей деятельности. Гипотеза, поставленная мною вначале проекта, подтвердилась: задачи С3 можно эффективно решать, зная эти методы.

Кроме этого, я выявил интересные факты логарифмов. Мне это было интересно делать. Мои проектные продукты будут полезны как для учащихся, так и для учителей.

Выводы:

Таким образом, поставленная цель проекта достигнута, проблема решена. А я получил наиболее полный и разносторонний опыт проектной деятельности на всех этапах работы. В ходе работы над проектом у меня основное развивающее воздействие было оказано на мыслительную компетентность, деятельность, связанную с логическими мыслительными операциями, развитие творческой компетентности, личной инициативы, ответственности, настойчивости, активности.

Гарантией успеха при создании исследовательского проекта для меня стали: значительный школьный опыт, умение добывать информацию из различных источников, проверять ее достоверность, ранжировать ее по значимости.

Кроме непосредственно предметных знаний по математике, расширил свои практические навыки в области информатики, получил новые знания и опыт в области психологии, наладил контакты с одноклассниками, научился сотрудничать с взрослыми людьми. В ходе проектной деятельности развивались организационные, интеллектуальные и коммуникативные общеучебные умения и навыки.

Литература

1. Корянов А. Г. ,Прокофьев А. А. Системы неравенств с одной переменной (типовые задания С3).

2. Малкова А. Г. Подготовка к ЕГЭ по математике.

3. Самарова С. С. Решение логарифмических неравенств.

4. Математика. Сборник тренировочных работ под редакцией А.Л. Семёнова и И.В. Ященко. -М.: МЦНМО, 2009. - 72 с.-

Статья посвящена разбору заданий 15 из профильного ЕГЭ по математике за 2017 год. В этом задании школьникам предлагают для решения неравенства, чаще всего логарифмические. Хотя могут быть и показательные. В данной статье приводится разбор примеров логарифмических неравенств, в том числе содержащих переменную в основании логарифма. Все примеры взяты из открытого банка заданий ЕГЭ по математике (профиль), так что подобные неравенства с большой вероятностью могут попасться вам на экзамене в качестве задания 15. Идеально для тех, кто за коротких промежуток времени хочет научиться решать задание 15 из второй части профильного ЕГЭ по математике, чтобы получить больше баллов на экзамене.

Разбор заданий 15 из профильного ЕГЭ по математике

Пример 1. Решите неравенство:

В заданиях 15 ЕГЭ по математике (профиль) часто встречаются логарифмические неравенства. Решение логарифмических неравенств начинается с определения области допустимых значений. В данном случае в основании обоих логарифмов нет переменной, есть только число 11, что существенно упрощает задачу. Поэтому единственное ограничение, которое у нас здесь есть, заключается в том, что оба выражения, стоящие под знаком логарифма, положительны:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

Первое неравенство в системе — это квадратное неравенство. Чтобы его решить, нам бы очень не помешало разложить левую часть на множители. Я думаю, вы знаете, что любой квадратный трехчлен вида раскладывается на множители следующим образом:

где и — корни уравнения . В данном случае коэффициент равен 1 (это числовой коэффициент, стоящий перед ). Коэффициент тоже равен 1, а коэффициент — это свободный член, он равен -20. Корни трёхчлена проще всего определить по теореме Виета. Уравнение у нас приведённое, значит сумма корней и будет равна коэффициенту с противоположным знаком, то есть -1, а произведение этих корней будет равно коэффициенту , то есть -20. Легко догадаться, что корни будут -5 и 4.

Теперь левую часть неравенства можно разложить на множители: title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="163" style="vertical-align: -5px;"> Решаем это неравенство. График соответствующей функции — это парабола, ветви которой направлены вверх. Эта парабола пересекает ось X в точках -5 и 4. Значит, искомое решение неравенства — это промежуток . Для тех, кому не понятно, что здесь написано, подробности вы можете посмотреть в видеоролике, начиная с этого момента . Там же вы найдёте подробное объяснение, как решается второе неравенство системы. Оно решается . Причём ответ получается точно таким же, как и для первого неравенства системы. То есть записанное выше множество — это и есть область допустимых значений неравенства.

Итак, с учётом разложения на множители, исходное неравенство принимает вид:

Используя формулу , внесём 11 в степень выражения, стоящего под знаком первого логарифма, и перенесём второй логарифм в левую сторону неравенства, изменив при этом его знак на противоположный:

После сокращения получаем:

Последнее неравенство, в силу возрастания функции , эквивалентно неравенству , решением которого является промежуток . Осталось пересечь его с областью допустимых значений неравенства, и это получится ответ ко всему заданию.

Итак, искомый ответ к заданию имеет вид:

С этим заданием мы разобрались, теперь переходим к следующему примеру задания 15 ЕГЭ по математике (профиль).

Пример 2. Решите неравенство:

Решение начинаем с определения области допустимых значений данного неравенства. В основании каждого логарифма должно находиться положительное число, которое не равно 1. Все выражения, стоящие под знаком логарифма должны быть положительны. В знаменателе дроби не должно оказаться нуля. Последнее условие эквивалентно тому, что , поскольку лишь в противном случае оба логарифма в знаменателе обращаются в нуль. Все эти условия определяют область допустимых значений этого неравенства, задающуюся следующей системой неравенств:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

В области допустимых значений мы можем использовать формулы преобразования логарифмов для того, чтобы упростить левую часть неравенства. С помощью формулы избавляемся от знаменателя:

Теперь у нас получились только логарифмы с основанием . Это уже удобнее. Далее используем формулу , в также формулу для того, чтобы привести выражение, стоящее слава, к следующему виду:

При вычислениях мы использовали то, что в области допустимых значений . Используя замену , приходим к выражению:

Используем ещё одну замену: . В результате чего приходим к следующему результату:

Итак, постепенно возвращаемся к исходным переменным. Сперва к переменной :