Умножение матриц: примеры, алгоритм действий, свойства произведения. Действия с матрицами Сложение и вычитание

Матрица определена как прямоугольная таблица , геометрически – это прямоугольник с размерами и . Две матрицы – два прямоугольника: с размерами и , с размерами и . При рассмотрении операции сложения матриц было обнаружено требование по согласованию размеров прямоугольников: =, =. Это требование обеспечивает взаимодействие матриц в системах векторов:

=
-
- …-
– цепочка строк,

=
-
- …-
– цепочка столбцов,

причём, если матрица представлена в схеме , то и матрица должна быть представлена в этой же схеме. Но, главное: матрицы взаимодействуют группами элементов – векторами!

Если определить операцию умножения матриц в виде: ·=, то возникает вопрос: сколько строк и столбцов имеет матрица ? Это определило всего две возможные схемы взаимодействия матриц при их перемножении:

1* : строка левой матрицы ↔ столбец правой матрицы,

2* : столбец левой матрицы ↔ строка правой матрицы.

Для схемы 1* : в матрице . Для схемы 2* : в матрице строк столько, сколько у матрицы , столбцов столько, сколько у матрицы .

В практике закрепилось использование схемы 1* , которую сокращённо называют правилом: строка – столбец .

Определение :

Произведением матриц и является матрица , элементы которой определяются соотношением : , для всех , , то есть применяется правило строка – столбец .

Замечание : Из определения произведения матриц следует: элементравен скалярному произведению строки-матрицына столбец-матрицы.

Свойства операции умножения матрицы на матрицу :

1* .
≠
– не переместительна (не коммутативна);

2* .
=
=
– сочетательная (ассоциативная).

3* .
=
+
– распределительное (дистрибутивное).

Замечание : следует иметь в виду: в свойстве1* в общем случае может быть так, что матрица
существует, а матрица
не существует!

В связи с введением операции произведения матриц возникает вопрос: как нужно выполнить произведение матриц и , чтобы получилась матрица, транспонированная по отношению к матрице . Если обозначить транспонированные матрицы как:
,
и
, то верна следующая теорема.

1) Представим произведение матриц:
в виде схемы вычисления элемента матрицы :

C

i

2). Учитывая определение транспонирования матрицы, изобразим также равенство
=
в виде аналогичной схемы:

C ′

i

Видим: элемент матрицы
равен элементуматрицы С.◄

Замечание : Определение транспонирования матрицы и доказанная теорема о транспонировании произведения матриц будут неоднократно использоваться при рассмотрении определителей и матриц линейных преобразований в векторных пространствах.

Пример 4 –05 : Вычислить произведение матриц: C =A B =

.

Решение :

A иB :

C B ;

C B ;

Использование технологического шаблона в виде таблицы позволит отработать алгоритм вычисления произведения матриц и защитить от ошибок в вычислениях. Проследим вычисление столбца-1 матрицы C : =
, =
.

Ответ: C =
.

Пример 4 –06 : Вычислить произведение матриц: C =A B =

.

Решение :

В таблице представлена схема вычисления произведения матриц A иB :

▫ для вычисления столбца-1 матрицы C над матрицей размещаем столбец-1 матрицыB ;

▫ для вычисления столбца-2 матрицы C над матрицей размещаем столбец-2 матрицыB ;

C B ;

Столбец

Столбец

Столбец

Столбец

Столбец

Столбец

C :

=, =, =.

Ответ:=
.

Пример 4 –07 C =A B =

.

Решение :

В таблице представлена схема вычисления произведения матриц A иB :

▫ для вычисления столбца-1 матрицы C над матрицей размещаем столбец-1 матрицыB ;

▫ для вычисления столбца-2 матрицы C над матрицей размещаем столбец-2 матрицыB ;

▫ для вычисления столбца-3 матрицы C над матрицей размещаем столбец-3 матрицыB ;

▫ для вычисления столбца-4 матрицы C над матрицей размещаем столбец-4 матрицыB .

Столбец					Столбец	Столбец					Столбец

(продолжение таблицы).

Столбец					Столбец	Столбец					Столбец

Из таблицы видим ответ. Проследим вычисление столбца-1 матрицы C :

=, =,

=, =.

Ответ: C =
.

Пример 4 –08 :Вычислить: C =
, еслиA =
.

Решение :

1) Запишем цепочку строк-векторов матрицы A :

(,0,0,...,0,...,0), (0,,0,...,0,...,0), ... , (0,0,0,...,),

и умножим её (скалярно) на столбец- матрицы A : (0,0, 0, ... , , ...,0). Легко видеть, что в матрице C =
=
столбец- примет вид (0,0, 0, ... , , ...,0). Это значит, что цепочка строк-векторов матрицы C =
примет вид:

(,0,0,...,0,...,0), (0, , ...,0), ... , (0,0, 0, ... ,0, ..., ).

2) Если теперь вычислить C =
=
, то цепочка строк-векторов матрицы C =
примет вид:

(,0,0,...,0,...,0), (0, ,0,...,0,...,0), ... , (0,0,0,..., , ...,0), ... , (0,0, 0, ... ,0, ..., ).

3) Применяя метод математической индукции, для матрицы C =
можем записать:

(,0,0,...,0,...,0), (0, ,0,...,0,...,0), ... , (0,0,0,..., , ...,0), ... , (0,0, 0, ... ,0, ..., ).

Ответ: C =
.

Пример 4 –09 : Доказать, что если матрицыA иB – квадратные, причём
≠
, то всегда справедливы утверждения: а);

Решение :

1) Учитывая распределительное свойство умножения матриц:
=
+
, запишем:

.

2) Учитывая распределительное свойство умножения матриц:
=
+
, запишем:

.

Ответ: доказано.

Пример 4 –10 : Найти все матрицы, перестановочные с матрицей:=.

Решение :

1) Пусть имеем матрицу: , такую, что
=
. Учитывая правило умножения матриц, легко заметить, что умножение этих матриц возможно только в случае, если матрица - квадратная, причём той же размерности, что матрица .

2) Примем: =
, и запишем выражение
=
:

C =A B .

Столбец

a

d

g

Столбец

Столбец

b

e

h

Столбец

Столбец

c

f

k

Столбец

3 a + d

3 b + e

3 c + f

3 d + g

3 e + h

3 f + k

3 g

3 h

3 k

Из таблицы видим ответ.

3) Запишем теперь выражение
=
:

В таблице представлена схема вычисления произведения матриц D =B A .

Столбец

Столбец

Столбец

Столбец

Столбец

Столбец

a

b

c

3 a

a

b

c

a + 3 b

a

b

c

b + 3 c

d

e

f

3 d

d

e

f

d+ 3e

d

e

f

e+ 3f

g

h

k

3 g

g

h

k

g+ 3h

g

h

k

h+ 3k

Из таблицы видим ответ.

4) Воспользуемся равенством:
→ получаем уравнения для вычисления матрицы :

3 a + d =3 a → d =0; 3 d + g =3 d → g =0; 3 b + e = a+ 3b → e = a ; 3 e + h = d+ 3e → h =0;

3 h = g+ 3h → h = h ; 3 c + f = b+ 3c → f = b ; 3 f + k = e+ 3f → k = e ; 3 k = h+ 3k → h =0.

5) Используя полученные уравнения, можем записать: =
.

Ответ: =
.

Пример 4 –11 :Доказать, что матрица: =
удовлетворяет уравнению:–(a +d ) x +ad –
=0.

Решение :

Замечание : рассматриваемый пример интересен тем, что он демонстрирует участие в матричном выражениискалярной матрицы:
=
.

1) Вычислим:
=

=
;
=
.

2) Подставим в уравнение матрицу : , или:

–
+
=
.

Ответ: доказано.

Пример 4 –12 :Вычислить произведение матриц: A = (4 0 -2 3 1) и B =: а)AB ; б) BA .

Замечание : рассматриваемый пример интересен тем, что он предельновыразительно демонстрирует неравенство :
.

Решение:

а)
= (4·3 + 0·1 + (-2)·(-1) + 3·5 + 1·2) = (31) – матрица с одним элементом;

б)
=
=
.

Ответ: матрицы в тексте.

Данное методическое пособие поможет Вам научиться выполнять действия с матрицами : сложение (вычитание) матриц, транспонирование матрицы, умножение матриц, нахождение обратной матрицы. Весь материал изложен в простой и доступной форме, приведены соответствующие примеры, таким образом, даже неподготовленный человек сможет научиться выполнять действия с матрицами. Для самоконтроля и самопроверки Вы можете бесплатно скачать матричный калькулятор >>> .

Я буду стараться минимизировать теоретические выкладки, кое-где возможны объяснения «на пальцах» и использование ненаучных терминов. Любители основательной теории, пожалуйста, не занимайтесь критикой, наша задача – научиться выполнять действия с матрицами .

Для СВЕРХБЫСТРОЙ подготовки по теме (у кого «горит») есть интенсивный pdf-курс Матрица, определитель и зачёт!

Матрица – это прямоугольная таблица каких-либо элементов . В качестве элементов мы будем рассматривать числа, то есть числовые матрицы. ЭЛЕМЕНТ – это термин. Термин желательно запомнить, он будет часто встречаться, не случайно я использовал для его выделения жирный шрифт.

Обозначение: матрицы обычно обозначают прописными латинскими буквами

Пример: рассмотрим матрицу «два на три»:

Данная матрица состоит из шести элементов :

Все числа (элементы) внутри матрицы существуют сами по себе, то есть ни о каком вычитании речи не идет:

Это просто таблица (набор) чисел!

Также договоримся не переставлять числа, если иного не сказано в объяснениях. У каждого числа свое местоположение, и перетасовывать их нельзя!

Рассматриваемая матрица имеет две строки:

и три столбца:

СТАНДАРТ : когда говорят о размерах матрицы, то сначала указывают количество строк, а только потом – количество столбцов. Мы только что разобрали по косточкам матрицу «два на три».

Если количество строк и столбцов матрицы совпадает, то матрицу называют квадратной , например: – матрица «три на три».

Если в матрице один столбец или одна строка , то такие матрицы также называют векторами .

На самом деле понятие матрицы мы знаем еще со школы, рассмотрим, например точку с координатами «икс» и «игрек»: . По существу, координаты точки записаны в матрицу «один на два». Кстати, вот Вам и пример, почему порядок чисел имеет значение: и – это две совершенно разные точки плоскости.

Теперь переходим непосредственно к изучению действий с матрицами :

1) Действие первое. Вынесение минуса из матрицы (внесение минуса в матрицу) .

Вернемся к нашей матрице . Как вы наверняка заметили, в данной матрице слишком много отрицательных чисел. Это очень неудобно с точки зрения выполнения различных действий с матрицей, неудобно писать столько минусов, да и просто в оформлении некрасиво выглядит.

Вынесем минус за пределы матрицы, сменив у КАЖДОГО элемента матрицы знак :

У нуля, как Вы понимаете, знак не меняется, ноль – он и в Африке ноль.

Обратный пример: . Выглядит безобразно.

Внесем минус в матрицу, сменив у КАЖДОГО элемента матрицы знак :

Ну вот, гораздо симпатичнее получилось. И, самое главное, выполнять какие-либо действия с матрицей будет ПРОЩЕ. Потому что есть такая математическая народная примета: чем больше минусов – тем больше путаницы и ошибок .

2) Действие второе. Умножение матрицы на число .

Пример:

Всё просто, для того чтобы умножить матрицу на число, нужно каждый элемент матрицы умножить на данное число. В данном случае – на тройку.

Еще один полезный пример:

– умножение матрицы на дробь

Сначала рассмотрим то, чего делать НЕ НАДО :

Вносить дробь в матрицу НЕ НУЖНО, во-первых, это только затрудняет дальнейшие действия с матрицей, во-вторых, затрудняет проверку решения преподавателем (особенно, если – окончательный ответ задания).

И, тем более, НЕ НАДО делить каждый элемент матрицы на минус семь:

Из статьи Математика для чайников или с чего начать , мы помним, что десятичных дробей с запятой в высшей математике стараются всячески избегать.

Единственное, что желательно сделать в этом примере – это внести минус в матрицу:

А вот если бы ВСЕ элементы матрицы делились на 7 без остатка , то тогда можно (и нужно!) было бы поделить.

Пример:

В этом случае можно и НУЖНО умножить все элементы матрицы на , так как все числа матрицы делятся на 2 без остатка .

Примечание: в теории высшей математики школьного понятия «деление» нет. Вместо фразы «это поделить на это» всегда можно сказать «это умножить на дробь». То есть, деление – это частный случай умножения.

3) Действие третье. Транспонирование матрицы .

Для того чтобы транспонировать матрицу, нужно ее строки записать в столбцы транспонированной матрицы.

Пример:

Транспонировать матрицу

Строка здесь всего одна и, согласно правилу, её нужно записать в столбец:

– транспонированная матрица.

Транспонированная матрица обычно обозначается надстрочным индексом или штрихом справа вверху.

Пошаговый пример:

Транспонировать матрицу

Сначала переписываем первую строку в первый столбец:

Потом переписываем вторую строку во второй столбец:

И, наконец, переписываем третью строку в третий столбец:

Готово. Грубо говоря, транспонировать – это значит повернуть матрицу набок.

4) Действие четвертое. Сумма (разность) матриц .

Сумма матриц действие несложное.
НЕ ВСЕ МАТРИЦЫ МОЖНО СКЛАДЫВАТЬ. Для выполнения сложения (вычитания) матриц, необходимо, чтобы они были ОДИНАКОВЫМИ ПО РАЗМЕРУ.

Например, если дана матрица «два на два», то ее можно складывать только с матрицей «два на два» и никакой другой!

Пример:

Сложить матрицы и

Для того чтобы сложить матрицы, необходимо сложить их соответствующие элементы :

Для разности матриц правило аналогичное, необходимо найти разность соответствующих элементов .

Пример:

Найти разность матриц ,

А как решить данный пример проще, чтобы не запутаться? Целесообразно избавиться от лишних минусов, для этого внесем минус в матрицу :

Примечание: в теории высшей математики школьного понятия «вычитание» нет. Вместо фразы «из этого вычесть это» всегда можно сказать «к этому прибавить отрицательное число». То есть, вычитание – это частный случай сложения.

5) Действие пятое. Умножение матриц .

Какие матрицы можно умножать?

Чтобы матрицу можно было умножить на матрицу нужно, чтобы число столбцов матрицы равнялось числу строк матрицы .

Пример:
Можно ли умножить матрицу на матрицу ?

Значит, умножать данные матрицы можно.

А вот если матрицы переставить местами, то, в данном случае, умножение уже невозможно!

Следовательно, выполнить умножение невозможно:

Не так уж редко встречаются задания с подвохом, когда студенту предлагается умножить матрицы, умножение которых заведомо невозможно.

Следует отметить, что в ряде случаев можно умножать матрицы и так, и так.
Например, для матриц, и возможно как умножение , так и умножение

Определение 1

Произведение матриц (С= АВ) - операция только для согласованных матриц А и В, у которых число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В:

C ⏟ m × n = A ⏟ m × p × B ⏟ p × n

Пример 1

Даны матрицы:

• A = a (i j) размеров m × n ;
• B = b (i j) размеров p × n

Матрицу C , элементы c i j которой вычисляются по следующей формуле:

c i j = a i 1 × b 1 j + a i 2 × b 2 j + . . . + a i p × b p j , i = 1 , . . . m , j = 1 , . . . m

Пример 2

Вычислим произведения АВ=ВА:

А = 1 2 1 0 1 2 , В = 1 0 0 1 1 1

Решение, используя правило умножения матриц:

А ⏟ 2 × 3 × В ⏟ 3 × 2 = 1 2 1 0 1 2 × 1 0 0 1 1 1 = 1 × 1 + 2 × 0 + 1 × 1 1 × 0 + 2 × 1 + 1 × 1 0 × 1 + 1 × 0 + 2 × 1 0 × 0 + 1 × 1 + 2 × 1 = = 2 3 2 3 ⏟ 2 × 2

В ⏟ 3 × 2 × А ⏟ 2 × 3 = 1 0 0 1 1 1 × 1 2 1 0 1 2 = 1 × 1 + 0 × 0 1 × 2 + 0 × 1 1 × 1 + 0 × 2 0 × 1 + 1 × 0 0 × 2 + 1 × 1 0 × 1 + 1 × 2 1 × 1 + 1 × 0 1 × 2 + 1 × 1 1 × 1 + 1 × 2 = 1 2 1 0 1 2 1 3 3 ⏟ 3 × 3

Произведение А В и В А найдены, но являются матрицами разных размеров: А В не равна В А.

Свойства умножения матриц

Свойства умножения матриц:

• (А В) С = А (В С) - ассоциативность умножения матриц;
• А (В + С) = А В + А С - дистрибутивность умножения;
• (А + В) С = А С + В С - дистрибутивность умножения;
• λ (А В) = (λ А) В

Пример 1

Проверяем свойство №1: (А В) С = А (В С) :

(А × В) × А = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 × 1 0 0 2 = 19 22 43 50 × 1 0 0 2 = 19 44 43 100 ,

А (В × С) = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 1 0 0 2 = 1 2 3 4 × 5 12 7 16 = 19 44 43 100 .

Пример 2

Проверяем свойство №2: А (В + С) = А В + А С:

А × (В + С) = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 + 1 0 0 2 = 1 2 3 4 × 6 6 7 10 = 20 26 46 58 ,

А В + А С = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 + 1 2 3 4 × 1 0 0 2 = 19 22 43 50 + 1 4 3 8 = 20 26 46 58 .

Произведение трех матриц

Произведение трех матриц А В С вычисляют 2-мя способами:

• найти А В и умножить на С: (А В) С;
• либо найти сначала В С, а затем умножить А (В С) .

​​​​​Пример 3

Перемножить матрицы 2-мя способами:

4 3 7 5 × - 28 93 38 - 126 × 7 3 2 1

Алгоритм действий:

• найти произведение 2-х матриц;
• затем снова найти произведение 2-х матриц.

1). А В = 4 3 7 5 × - 28 93 38 - 126 = 4 (- 28) + 3 × 38 4 × 93 + 3 (- 126) 7 (- 28) + 5 × 38 7 × 93 + 5 (- 126) = 2 - 6 - 6 21

2). А В С = (А В) С = 2 - 6 - 6 21 7 3 2 1 = 2 × 7 - 6 × 2 2 × 3 - 6 × 1 - 6 × 7 + 21 × 2 - 6 × 3 + 21 × 1 = 2 0 0 3 .

Используем формулу А В С = (А В) С:

1). В С = - 28 93 38 - 126 7 3 2 1 = - 28 × 7 + 93 × 2 - 28 × 3 + 93 × 1 38 × 7 - 126 × 2 38 × 3 - 126 × 1 = - 10 9 14 - 12

2). А В С = (А В) С = 7 3 2 1 - 10 9 14 - 12 = 4 (- 10) + 3 × 14 4 × 9 + 3 (- 12) 7 (- 10) + 5 × 14 7 × 9 + 5 (- 12) = 2 0 0 3

Ответ: 4 3 7 5 - 28 93 38 - 126 7 3 2 1 = 2 0 0 3

Умножение матрицы на число

Определение 2

Произведение матрицы А на число k - это матрица В = А k того же размера, которая получена из исходной умножением на заданное число всех ее элементов:

b i , j = k × a i , j

Свойства умножения матрицы на число:

• 1 × А = А
• 0 × А = нулевая матрица
• k (A + B) = k A + k B
• (k + n) A = k A + n A
• (k × n) × A = k (n × A)

Пример 4

Найдем произведение матрицы А = 4 2 9 0 на 5.

5 А = 5 4 2 9 0 5 × 4 5 × 2 5 × 9 5 × 0 = 20 10 45 0

Умножение матрицы на вектор

Определение 3

Чтобы найти произведение матрицы и вектора, необходимо умножать по правилу «строка на столбец»:

• если умножить матрицу на вектор-столбец число столбцов в матрице должно совпадать с числом строк в векторе-столбце;
• результатом умножения вектора-столбца является только вектор-столбец:

А В = а 11 а 12 ⋯ а 1 n а 21 а 22 ⋯ а 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ а m 1 а m 2 ⋯ а m n b 1 b 2 ⋯ b 1 n = a 11 × b 1 + a 12 × b 2 + ⋯ + a 1 n × b n a 21 × b 1 + a 22 × b 2 + ⋯ + a 2 n × b n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a m 1 × b 1 + a m 2 × b 2 + ⋯ + a m n × b n = c 1 c 2 ⋯ c 1 m

• если умножить матрицу на вектор-строку, то умножаемая матрица должна быть исключительно вектором-столбцом, причем количество столбцов должно совпадать с количеством столбцов в векторе-строке:

А В = а а ⋯ а b b ⋯ b = a 1 × b 1 a 1 × b 2 ⋯ a 1 × b n a 2 × b 1 a 2 × b 2 ⋯ a 2 × b n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a n × b 1 a n × b 2 ⋯ a n × b n = c 11 c 12 ⋯ c 1 n c 21 c 22 ⋯ c 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ c n 1 c n 2 ⋯ c n n

Пример 5

Найдем произведение матрицы А и вектора-столбца В:

А В = 2 4 0 - 2 1 3 - 1 0 1 1 2 - 1 = 2 × 1 + 4 × 2 + 0 × (- 1) - 2 × 1 + 1 × 2 + 3 × (- 1) - 1 × 1 + 0 × 2 + 1 × (- 1) = 2 + 8 + 0 - 2 + 2 - 3 - 1 + 0 - 1 = 10 - 3 - 2

Пример 6

Найдем произведение матрицы А и вектора-строку В:

А = 3 2 0 - 1 , В = - 1 1 0 2

А В = 3 2 0 1 × - 1 1 0 2 = 3 × (- 1) 3 × 1 3 × 0 3 × 2 2 × (- 1) 2 × 1 2 × 0 2 × 2 0 × (- 1) 0 × 1 0 × 0 0 × 2 1 × (- 1) 1 × 1 1 × 0 1 × 2 = - 3 3 0 6 - 2 2 0 4 0 0 0 0 - 1 1 0 2

Ответ: А В = - 3 3 0 6 - 2 2 0 4 0 0 0 0 - 1 1 0 2

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Прежде всего, ЧТО должно получиться в результате умножения трёх матриц ? Кошка не родит мышку. Если матричное умножение осуществимо, то в итоге тоже получится матрица. М-да, хорошо мой преподаватель по алгебре не видит, как я объясняю замкнутость алгебраической структуры относительно её элементов =)

Произведение трёх матриц можно вычислить двумя способами:

1) найти , а затем домножить на матрицу «цэ»: ;

2) либо сначала найти , потом выполнить умножение .

Результаты обязательно совпадут, и в теории данное свойство называют ассоциативностью матричного умножения :

Пример 6

Перемножить матрицы двумя способами

Алгоритм решения двухшаговый: находим произведение двух матриц, затем снова находим произведение двух матриц.

1) Используем формулу

Действие первое:

Действие второе:

2) Используем формулу

Действие первое:

Действие второе:

Ответ :

Более привычен и стандартен, конечно же, первый способ решения, там «как бы всё по порядку». Кстати, по поводу порядка. В рассматриваемом задании часто возникает иллюзия, что речь идёт о каких-то перестановках матриц. Их здесь нет. Снова напоминаю, что в общем случае ПЕРЕСТАВЛЯТЬ МАТРИЦЫ НЕЛЬЗЯ . Так, во втором пункте на втором шаге выполняем умножение , но ни в коем случае не . С обычными числами такой бы номер прошёл, а с матрицами – нет.

Свойство ассоциативности умножения справедливо не только для квадратных, но и для произвольных матриц – лишь бы они умножались:

Пример 7

Найти произведение трёх матриц

Это пример для самостоятельного решения. В образце решения вычисления проведены двумя способами, проанализируйте, какой путь выгоднее и короче.

Свойство ассоциативности матричного умножения имеет место быть и для бОльшего количества множителей.

Теперь самое время вернуться к степеням матриц. Квадрат матрицы рассмотрен в самом начале и на повестке дня вопрос.