Majú tieto sady spoločné prvky. Prvky teórie množín. Základné číselné sady

1.1. Základné pojmy a definície teórie množín

Akýkoľvek pojem diskrétnej matematiky možno definovať pomocou pojmu množina, ktorý je jedným zo základných pojmov a ako prvý ho sformuloval nemecký matematik G. Kantor.

Pod veľa akýkoľvek súbor definovaných a rozlíšiteľných objektov, mysliteľných ako jeden celok.

Môžeme hovoriť o súprave stoličiek v miestnosti, ľuďoch žijúcich vo Voroneži, študentoch v skupine, o súprave prirodzených čísel, písmenách v abecede, systémových stavoch atď. Zároveň môžeme hovoriť o súprave len vtedy, keď sú prvky súboru medzi sebou rozlíšiteľné. Napríklad nemožno hovoriť o mnohých kvapkách v pohári vody, pretože nie je možné jasne a jasne označiť každú jednotlivú kvapku.

Jednotlivé predmety, ktoré tvoria množinu, sa nazývajú prvky množiny. Číslo 3 je teda prvkom množiny prirodzených čísel a písmeno b je prvkom množiny písmen ruskej abecedy.

Všeobecné označenie súpravy je pár zložených zátvoriek ( ), vo vnútri ktorých sú uvedené prvky súpravy. Na označenie konkrétnych súprav sa používajú rôzne veľké písmená. A, S, X...alebo veľké písmená s indexmi A 1 , A 2. Na označenie prvkov súboru vo všeobecnej forme sa používajú rôzne malé písmená. A, s, X...alebo malé písmená s indexmi A 1 , A 2 ...

Naznačiť, že nejaký prvok A S, používa sa symbol О príslušnosti k množine. Nahrávanie aÎ S znamená, že prvok a patrí do sady S a záznam XÏ S znamená, že prvok X nepatrí do sady S. Nahrávanie X 1 , X 2 ,... ...,x nÎ S používa sa ako skratka X 1 О S, X 2 О S,..., x nÎ S.

Spravidla sa predpokladá, že všetky prvky súboru sú odlišné. Množina s opakujúcimi sa prvkami sa nazýva multimnožina. V kombinatorike hrajú dôležitú úlohu multimnožiny. V nasledujúcom texte budú uvažované súbory s rôznymi prvkami.

Pre číselné množiny použijeme nasledujúci zápis:

je množina prirodzených čísel, t.j.

je množina celých čísel, t.j. = (0, ±1, ±2, ...);

je množina racionálnych čísel, =( / \ , н ; ¹ 0);

je množina reálnych čísel;

je množina komplexných čísel.

Množiny sú buď konečné alebo nekonečné. Množina sa nazýva konečná, ak je počet jej prvkov konečný, teda ak existuje prirodzené číslo n, čo je počet prvkov v množine. Nastaviť hovor nekonečné ak obsahuje nekonečný počet prvkov. Počet prvkov v konečnej množine sa nazýva moc a označené = n, ak súprava X obsahuje n prvkov.

Dôležitým pojmom v teórii množín je koncept prázdnej množiny. prázdna sada je množina, ktorá neobsahuje žiadny prvok. Prázdna množina je označená symbolom Napríklad:

{XÎ R | X 2 -X+1=0}=

Koncept prázdnej množiny hrá veľmi dôležitú úlohu pri definovaní množín popisom. Bez konceptu prázdnej množiny by sme teda nemohli hovoriť o množine vynikajúcich študentov skupiny alebo o množine skutočných koreňov kvadratická rovnica, bez toho, aby ste sa najprv presvedčili, či sú v tejto skupine vynikajúci študenti alebo či má táto rovnica skutočné korene. Zavedenie prázdnej množiny umožňuje celkom pokojne pracovať so množinou vynikajúcich študentov skupiny bez obáv, či sú alebo nie sú v danej skupine vynikajúci študenti. Prázdna množina bude konvenčne označovaná ako konečné množiny.

Množina obsahujúca všetky uvažované prvky sa nazýva univerzálny alebo vesmír a označené U.

Aby ste mohli pracovať s konkrétnymi súpravami, musíte ich vedieť nastaviť. Existujú dva spôsoby, ako definovať množiny: enumerácia a popis. Zadanie množiny enumeračným spôsobom zodpovedá vypísaniu všetkých prvkov, ktoré množinu tvoria. Množinu vynikajúcich študentov skupiny je teda možné upresniť uvedením študentov, ktorí študujú výborne, napr. (Ivanov, Petrov, Sidorov). Na skrátenie vstupu X={X 1 , X 2 , ...,x n) niekedy zaviesť súbor indexov ja={1, 2,..., n) a napíšte X={x i}, iÎ ja. Táto metóda je vhodná pri uvažovaní o konečných množinách obsahujúcich malý počet prvkov, ale niekedy sa dá použiť aj na určenie nekonečných množín, napríklad (2, 4, 6, 8 ...). Prirodzene, takýto zápis je použiteľný, ak je celkom jasné, čo znamená elipsa.

Opisným spôsobom špecifikácie množiny je označenie charakteristickej vlastnosti, ktorú majú všetky prvky množiny. Toto používa notáciu

X={X | X má nehnuteľnosť Q(X)}.

Výraz v zátvorkách znie: množina všetkých prvkov X, ktoré majú majetok Q(X). Ak teda M je množina žiakov v skupine, potom množina A excelentní žiaci tejto skupiny budú zapísaní v tvare A={XÎ M | X- výborný študent skupiny)

ktorý znie takto: nastaviť A pozostáva z prvkov X súpravy M, ktoré majú vlastnosť, že X je výborným študentom skupiny.

V prípadoch, keď nie je pochýb o tom, z ktorej sady sú prvky prevzaté X, označenie vlastníctva X veľa M nemôžete urobiť. Zároveň mnohí A sa zapíše do formulára

A=( X | X- výborný žiak skupiny).

Tu je niekoľko príkladov špecifikovania sád metódou popisu: ( X | X– párne) – množina párnych čísel;

{X | X 2 –1=0) – sada (+1, –1).

Nechaj Z je množina celých čísel. Potom ( XÎ Z | 0<X 7 £) je sada (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7).

Množinu nepárnych čísel možno definovať ako ( X| X=2k Pre niektorých +1 kÎ Z}.

Spôsob, akým definujete množinu s vlastnosťami, je plný niektorých nebezpečenstiev, pretože „nesprávne“ nastavené vlastnosti môžu viesť k nezrovnalostiam. Tu je jeden z najtypickejších paradoxov – Russellov paradox. Uvažujme množinu všetkých množín, ktoré nie sú ich vlastnými prvkami: . Teraz sa pýtame, či súprava TO so svojim živlom? Ak TOÎ TO, potom vlastnosť špecifikujúca množinu TO, t.j. TOÏ TO, čo vedie k rozporu. Ak TOÏ TO, potom, pretože vlastnosť, ktorá špecifikuje TO, prichádzame k záveru, že TOÎ TO, čo je v rozpore s predpokladom. Nie každá vlastnosť teda vedie k zmysluplnému priradeniu množiny.

Okrem toho je možné množinu špecifikovať pomocou charakteristickej funkcie, ktorej hodnoty označujú, či (áno alebo nie) X nastaviť prvok X :

Všimnite si, že pre ľubovoľné prvky = 0; = 1.

Príklad. Pustite vesmír U={a B C d e) sada X={a,c,d), Potom

Pre ľubovoľné zostavy X A Y možno definovať dva typy vzťahov − vzťah rovnosti a vzťah inklúzie.

Dve sady sa považujú za rovnocenné, ak pozostávajú z rovnakých prvkov. Prijaté označenie X=Y, Ak X A Y sú si rovné a X Y- inak.

Je ľahké to vidieť pri akejkoľvek zostave X, Y, Z vzťahy

Z definície rovnosti množín vyplýva, že poradie prvkov v množine nie je podstatné. Takže napríklad množiny (3, 4, 5, 6) a (4, 5, 6, 3) sú tá istá množina.

Ak každý prvok množiny X je prvkom súpravy Y, potom to hovoria X zahrnuté v Y a označujú:

V tomto prípade hovoríme, že súbor X je podmnožina súpravy Y. Najmä X A Y sa môže zhodovať, preto sa nazýva aj vzťah neprísne začlenenie. Všimli sme si niektoré vlastnosti podmnožiny, ktoré vyplývajú z jej definície:

Ak a , potom to hovoria X Existuje vlastná podskupina Y a označujú , vzťah medzi množinami sa v tomto prípade nazýva vzťah neprísne začlenenie. Pre prísny vzťah inklúzie,

Bez podmnožiny X do množstva Y označené X. Takáto zostava je tzv nastaviť rodinu alebo boolovská hodnota súpravy X a označené P(X) Keďže je súčasťou akejkoľvek sady, potom .

Príklad. Nechajte . Potom

Strana 1

9-10 ročníkov

Modul 1: Základy teórie množín

. . .
Cvičenie 1.

A) Vysvetlite, z akých prvkov sa zostava skladá. N, Z, Q, R.

B) Vymenujte niekoľko čísel, ktoré sú prvkami každej množiny.

C) Pomenujte čísla, ktoré sú prvkami jednej z množín a nie sú prvkami ostatných troch.

D) Nakreslite diagram znázorňujúci vzájomný vzťah týchto množín.

Odpoveď.

C) Takéto prvky existujú iba v množine R. Napríklad  R , Ale  N,  Z,  Q. Prvky ktorejkoľvek zo sád N, Z, Q nevyhnutne zahrnuté v súprave R.

G

N – množina prirodzených čísel;
Z – množina celých čísel;
Q – množina racionálnych čísel;

R – súbor reálnych čísel.
učiteľ. Vzhľadom na materiál neprekračujeme množinu reálnych čísel.
Úloha 2. Zadajte sadu:

A) učitelia matematiky vašej školy;

B) nepárne čísla;

B) korene rovnice X 2 + 5 = 0;

D) riešenia nerovnosti X > 4;

odpoveď: B) ( X X = 2n - 1; n  Z };

D) (4; +).

učiteľ. V prípade potreby môžete záznam číselných sád riešení nerovníc rôzneho typu zopakovať (aplikácia „Tabuľka“).
Rovnaké sady. Súbory pozostávajúce z rovnakých prvkov sa považujú za rovnocenné.

Napríklad A = ( 1, 2, 3 ); B =( X (X- 1)(X- 2)(X- 3) = 0). A = B.

Vzťah rovnosti pre množiny, podobne ako vzťah rovnosti pre čísla, má vlastnosti reflexivity, symetrie a tranzitivity.

• 
  A = A (reflexivita);
• 
  Ak A \u003d B, potom B \u003d A (symetria);
• 
  Ak A = B a B = C, potom A = C (tranzitivita).

Sila súpravy. Pre množinu s konečným počtom prvkov je mohutnosťou počet jej prvkov.

A = {A;b; c; d). Jeho sila:  A= 4.

Ak majú dve množiny rovnakú mohutnosť, hovorí sa, že sú ekvivalentné. Kopa A rovná mnohým ročným obdobiam.

Je zaujímavé, že najprv sa človek naučil porovnávať súbory podľa počtu prvkov a neskôr - počítať predmety. Dve množiny môžete porovnať podľa počtu prvkov takto: každý prvok jednej množiny je spojený s prvkom druhej. Ak všetky prvky „vznikajú“ v pároch, potom sú množiny ekvivalentné. Ak pri porovnaní niektoré prvky jednej z množín zostanú bez páru, potom obsahuje viac prvkov.

Všetky konečné množiny možno mentálne triediť umiestnením všetkých množín s rovnakým počtom prvkov do rovnakej triedy. A každej triede je priradené určité číslo ako charakteristika tohto súboru. Takže prirodzené číslo 1 je všeobecné charakteristiky všetkých množín, ktoré majú jeden prvok, je prirodzené číslo 5 spoločnou charakteristikou všetkých množín, ktoré majú päť prvkov.

Korešpondencia jedna k jednej môže byť stanovená aj pre nekonečné množiny. Napríklad napíšme všetky prirodzené čísla do jedného riadku a všetky párne čísla do druhého, prvku pod prvok.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 . . .

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 . . .
Vidíme, že všetky čísla v prvom sete majú jedinečný pár v druhom sete a naopak. To znamená, že množina prirodzených čísel má rovnaký počet prvkov ako množina prirodzených párnych čísel. To znamená, že sú si rovní.

Množiny ekvivalentné množine prirodzených čísel N sa nazývajú spočítateľné. Je zaujímavé, že napríklad množina kladných racionálnych čísel je spočítateľná.

Mohutnosť množiny všetkých reálnych čísel sa nazýva mohutnosť kontinua. Mohutnosť kontinua je charakteristická aj pre všetky množiny, ktoré sú svojou mohutnosťou ekvivalentné intervalu (0,1). Množina všetkých reálnych čísel je teda ekvivalentná intervalu (0,1).
Vzťah ekvivalencie má tiež vlastnosti reflexivity, symetrie a tranzitivity.

To znamená, že pre všetky množiny A a B platí:

• 
  A = A
• 
  Ak A = B, potom B = A;
• 
  Ak A = B a B = C, potom A = C .

Úloha 3. Nájdite mohutnosť množín:

A) T je množina trojciferných prirodzených čísel;

B) K - množina plôch kocky;

C) P je množina prirodzených čísel, ktoré sú násobkami 7.

D) Uveďte príklady sád, ktoré sú ekvivalentné každej z položiek A-C.

odpoveď: A) Т= 900; B) K= 6; C) množina K je spočítateľná.
učiteľ. Porozprávajte sa so študentmi o rozdieloch medzi pojmami rovnosť množín a rovnosť množín.

Úloha 4. A - skupina písmen slova "RING", B - skupina písmen slova "CAP", C -

veľa písmen slova "ULICA". Zadajte rovnaké a ekvipotentné množiny.

odpoveď: A \u003d (K, O, L, L, C), B \u003d (C, O, K, L, L), C \u003d (Y, L, I, C, A). Mohutnosť všetkých troch množín je rovná 5, čo znamená, že sú v mohutnosti ekvivalentné.

Materiály vyvinuté metodológmi Novosibirského centra pre produktívne učenie

Strana 1

ja Množina je súbor niektorých objektov alebo čísel zostavených podľa nejakých všeobecných vlastností alebo zákonov (veľa písmen na stránke, veľa vlastných zlomkov s menovateľom 5 , veľa hviezd na oblohe atď.).

Kučeravé zátvorky sa používajú na písanie množiny: «{ »- set sa otvorí; "}" — súprava je uzavretá. A samotná sada sa nazýva veľké latinské písmená: A, B, C a tak ďalej.

Príklady.

1 . Sada zápisov A, pozostávajúci zo všetkých samohlások v slove "matematika".

Riešenie. A \u003d (a, e, u). Vidíte: napriek tomu, že v slov "matematika" sú tam tri písmená "A"- v zázname nie sú povolené viacnásobné opakovania, a písm "A" sa zaznamenáva iba raz. Kopa A pozostáva z troch prvkov.

2. Zapíšte množinu všetkých vlastných zlomkov s menovateľom 5 .

Riešenie. Pamätajte: pravidelný zlomok sa nazýva pravidelný zlomok, v ktorom je čitateľ menší ako menovateľ. Označiť podľa IN požadovaná sada. potom:

Kopa IN pozostáva zo štyroch prvkov.

II. Množiny sa skladajú z prvkov a sú buď konečné alebo nekonečné. Množina, ktorá neobsahuje žiadny prvok, sa nazýva prázdna množina a označuje sa Ø.

III. Kopa IN nazývaná podmnožina množiny A ak všetky prvky súpravy IN sú prvky súpravy A.

3. Ktorá z dvoch daných množín IN A S TO,

Ak IN={-1; 3; 4}, C={0; 3; 4; 5), K={0; 2; 3; 4; 5; 6} ?

Riešenie. Všetky prvky súpravy S sú tiež prvkami súpravy TO, teda súbor S je podmnožinou množiny TO. Zapíšte si:

IV. Nastaviť križovatku A A IN je množina, ktorej prvky patria do množiny A a mnoho IN.

4. Zobraziť priesečník dvoch množín M A F pomocou Eulerových kruhov.

Riešenie.

Zo širokej škály súpravy mimoriadne zaujímavé sú tzv číselné sady, teda množiny, ktorých prvkami sú čísla. Je jasné, že pre pohodlnú prácu s nimi je potrebné vedieť si ich zapisovať. Zápisom a princípmi zápisu číselných množín začneme tento článok. A potom zvážime, ako sú číselné množiny zobrazené na súradnicovej čiare.

Navigácia na stránke.

Zápis číselných sád

Začnime s akceptovanou notáciou. Ako je známe, veľké písmená latinskej abecedy sa používajú na označenie súborov. Ako osobitný prípad množín sa označujú aj číselné množiny. Napríklad môžeme hovoriť o číselných množinách A , H , W atď. Zvlášť dôležité sú množiny prirodzených, celých, racionálnych, reálnych, komplexných čísel atď., pre ktoré boli prijaté ich vlastné označenia:

• N je množina všetkých prirodzených čísel;
• Z je množina celých čísel;
• Q je množina racionálnych čísel;
• J je množina iracionálnych čísel;
• R je množina reálnych čísel;
• C je množina komplexných čísel.

Z toho je zrejmé, že množinu pozostávajúcu napríklad z dvoch čísel 5 a −7 nie je potrebné označovať ako Q, toto označenie bude zavádzajúce, keďže písmeno Q zvyčajne označuje množinu všetkých racionálnych čísel. Na označenie špecifikovanej číselnej sady je lepšie použiť nejaké iné „neutrálne“ písmeno, napríklad A.

Keďže hovoríme o zápise, pripomenieme si aj zápis prázdnej množiny, teda množiny, ktorá neobsahuje prvky. Označuje sa znamienkom ∅.

Pripomeňme si aj označenie členstva a nečlenstva prvku v množine. Na to použite znaky ∈ - patrí a ∉ - nepatrí. Napríklad zápis 5∈N znamená, že číslo 5 patrí do množiny prirodzených čísel a 5,7∉Z - desiatkový 5,7 nepatrí do množiny celých čísel.

Pripomeňme si aj notáciu prijatú na začlenenie jednej množiny do druhej. Je jasné, že všetky prvky množiny N sú zahrnuté v množine Z , teda množina čísel N je obsiahnutá v Z , označujeme to ako N⊂Z . Môžete použiť aj zápis Z⊃N , čo znamená, že množina všetkých celých čísel Z obsahuje množinu N . Vzťahy, ktoré nie sú zahrnuté a ktoré nie sú zahrnuté, sú označené znakmi ⊄ a . Používajú sa aj neprísne inklúzne znaky tvaru ⊆ a ⊇, čo znamená zahrnuté alebo sa zhoduje a zahŕňa alebo zhoduje.

Hovorili sme o zápise, prejdime k popisu číselných množín. V tomto prípade sa dotkneme len hlavných prípadov, ktoré sa v praxi najčastejšie používajú.

Začnime s číselnými množinami obsahujúcimi konečný a malý počet prvkov. Číselné množiny pozostávajúce z konečného počtu prvkov možno pohodlne opísať uvedením všetkých ich prvkov. Všetky číselné prvky sú napísané oddelené čiarkami a uzavreté v , čo je v súlade s bežným nastaviť pravidlá popisu. Napríklad množinu pozostávajúcu z troch čísel 0 , -0,25 a 4/7 možno opísať ako (0, -0,25, 4/7) .

Niekedy, keď je počet prvkov číselnej množiny dostatočne veľký, ale prvky sa riadia nejakým vzorom, na opis sa používa elipsa. Napríklad množinu všetkých nepárnych čísel od 3 do 99 vrátane možno zapísať ako (3, 5, 7, ..., 99) .

Plynule sme teda pristúpili k popisu číselných množín, ktorých počet prvkov je nekonečný. Niekedy ich možno opísať pomocou všetkých rovnakých elipsov. Popíšme si napríklad množinu všetkých prirodzených čísel: N=(1, 2. 3, …) .

Používajú aj popis číselných množín uvedením vlastností jej prvkov. V tomto prípade sa používa zápis (x| vlastnosti). Napríklad zápis (n| 8 n+3, n∈N) definuje množinu takých prirodzených čísel, ktoré po delení 8 dávajú zvyšok 3 . Rovnakú množinu možno opísať ako (11,19, 27, ...) .

V špeciálnych prípadoch sú číselné množiny s nekonečným počtom prvkov známe množiny N , Z , R atď. alebo číselné medzery. A vo všeobecnosti sú číselné množiny reprezentované ako únie jednotlivé číselné intervaly, ktoré ich tvoria a číselné množiny s konečným počtom prvkov (o ktorých sme hovorili trochu vyššie).

Ukážme si príklad. Nech číselná množina sú čísla −10 , −9 , −8.56 , 0 , všetky čísla intervalu [−5, −1.3] a čísla otvoreného číselného lúča (7, +∞) . Na základe definície spojenia množín možno označenú číselnú množinu zapísať ako {−10, −9, −8,56}∪[−5, −1,3]∪{0}∪(7, +∞) . Takýto zápis vlastne znamená množinu obsahujúcu všetky prvky množín (−10, −9, −8.56, 0) , [−5, −1.3] a (7, +∞) .

Podobne kombináciou rôznych číselných rozsahov a množín jednotlivých čísel možno opísať akúkoľvek množinu čísel (pozostávajúcu z reálnych čísel). Tu je zrejmé, prečo boli zavedené také typy číselných intervalov ako interval, polinterval, segment, otvorený číselný lúč a číselný lúč: všetky spolu so zápisom množín jednotlivých čísel umožňujú opísať akékoľvek číselné množiny prostredníctvom ich spojenia.

Upozorňujeme, že pri písaní číselnej množiny sú čísla jej zložiek a číselné intervaly zoradené vzostupne. Toto nie je povinná, ale žiaduca podmienka, pretože usporiadaná číselná množina sa ľahšie zobrazuje a zobrazuje na súradnicovej čiare. Všimnite si tiež, že takéto položky nepoužívajú číselné rozsahy so spoločnými prvkami, pretože takéto položky možno nahradiť spojením číselných rozsahov bez spoločných prvkov. Napríklad spojenie číselných množín so spoločnými prvkami [−10, 0] a (−5, 3) je polovičný interval [−10, 3) . To isté platí pre zjednotenie číselných intervalov s rovnakými hraničnými číslami, napríklad zjednotenie (3, 5]∪(5, 7] je množina (3, 7] , tomu sa budeme venovať zvlášť, keď sa naučíme nájsť prienik a spojenie číselných množín.

Obrázok číselných množín na súradnicovej čiare

V praxi je vhodné použiť geometrické obrazy číselných množín - ich obrazy na . Napríklad kedy riešenie nerovností, v ktorom je potrebné brať do úvahy ODZ, je potrebné znázorniť číselné množiny, aby bolo možné nájsť ich priesečník a / alebo spojenie. Takže bude užitočné dobre pochopiť všetky nuansy reprezentácie číselných množín na súradnicovej čiare.

Je známe, že medzi bodmi súradnicovej čiary a reálnymi číslami existuje korešpondencia jedna k jednej, čo znamená, že samotná súradnicová čiara je geometrickým modelom množiny všetkých reálnych čísel R. Aby sme teda zobrazili množinu všetkých reálnych čísel, je potrebné nakresliť súradnicovú čiaru so šrafovaním po celej jej dĺžke:

A často ani neuvádzajú pôvod a jediný segment:

Teraz si povedzme o obraze číselných množín, čo je nejaký konečný počet jednotlivých čísel. Napríklad nakreslíme množinu čísel (−2, −0,5, 1,2) . Geometrickým obrazom tejto sady pozostávajúcej z troch čísel -2, -0,5 a 1,2 budú tri body súradnicovej čiary s príslušnými súradnicami:

Všimnite si, že zvyčajne pre potreby praxe nie je potrebné vykonávať kreslenie presne. Často postačuje schematický nákres, ktorý zahŕňa voliteľnú mierku, pričom je dôležité iba zachovať vzájomnú vzájomnú polohu bodov: každý bod s menšou súradnicou musí byť naľavo od bodu s väčšou súradnicou. Predchádzajúci výkres bude schematicky vyzerať takto:

Samostatne zo všetkých možných číselných množín sa rozlišujú číselné intervaly (intervaly, polintervaly, lúče atď.), ktoré predstavujú ich geometrické obrazy, ktoré sme podrobne preskúmali v časti. Nebudeme sa tu opakovať.

A zostáva len zostať pri obraze číselných množín, ktoré sú spojením niekoľkých číselných intervalov a množín pozostávajúcich z jednotlivých čísel. Nie je tu nič zložité: podľa významu spojenia musíte v týchto prípadoch na súradnicovej čiare zobraziť všetky zložky množiny danej číselnej množiny. Ako príklad si ukážme obrázok množiny čísel (−∞, −15)∪{−10}∪[−3,1)∪ (log 2 5, 5)∪(17, +∞) :

A ešte sa zastavíme pri celkom bežných prípadoch, keď je zobrazenou číselnou množinou celá množina reálnych čísel s výnimkou jedného alebo viacerých bodov. Takéto množiny sú často špecifikované podmienkami ako x≠5 alebo x≠−1 , x≠2 , x≠3,7 atď. V týchto prípadoch geometricky predstavujú celú súradnicovú čiaru s výnimkou zodpovedajúcich bodov. Inými slovami, tieto body musia byť „vyrazené“ zo súradnicovej čiary. Sú znázornené ako kruhy s prázdnym stredom. Pre prehľadnosť zobrazujeme číselnú množinu zodpovedajúcu podmienkam (táto sada je v podstate):

Zhrnúť. V ideálnom prípade by informácie z predchádzajúcich odsekov mali tvoriť rovnaký pohľad na záznam a reprezentáciu číselných množín ako pohľad na jednotlivé číselné intervaly: záznam číselnej množiny by mal okamžite dať svoj obraz na súradnicovej čiare a z obrázka na súradnicovej čiary, mali by sme byť pripravení jednoducho popísať príslušnú číselnú množinu spojením jednotlivých medzier a množín pozostávajúcich z jednotlivých čísel.

Bibliografia.

• Algebra: učebnica pre 8 buniek. všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; vyd. S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M. : Vzdelávanie, 2008. - 271 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovič A.G. Algebra. 9. ročník O 14.00 h Časť 1. Učebnica pre študentov vzdelávacích inštitúcií / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. vydanie, Sr. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 s.: chor. ISBN 978-5-346-01752-3.

Pojem množina patrí medzi základné matematické pojmy. Toto je nedefinovaný pojem, možno ho opísať alebo vysvetliť len na príkladoch. Môžeme teda hovoriť o množine písmen latinskej abecedy, množine všetkých kníh v danej knižnici, množine študentov v danej skupine, množine všetkých bodov danej čiary. Na definovanie množiny stačí vymenovať prvky alebo špecifikovať charakteristický vlastnosti prvku, t.j. vlastnosť, ktorú majú všetky prvky danej množiny a len oni.

Definícia 1.1. Objekty (objekty), ktoré tvoria množinu, sa nazývajú jej prvkov.

Množina sa zvyčajne označuje veľkými latinskými písmenami a prvky množiny sa označujú malými písmenami. Čo X je prvkom súpravy A, sa píše takto: x A(X patrí A). Zobraziť záznam x A(x A) znamená to X nepatrí A, t.j. nie je súčasťou súpravy A.

Prvky množiny sú zvyčajne napísané v zložených zátvorkách. Napríklad, ak A- súbor pozostávajúci z prvých troch písmen latinskej abecedy, potom je napísaný takto: A={a,b,c} .

Množina môže obsahovať nekonečný počet prvkov (množina bodov na priamke, množina prirodzených čísel), konečný počet prvkov (množina školákov v triede) alebo vôbec žiadny prvok (množina žiaci v prázdnej triede).

Definícia 1.2. Volá sa množina, ktorá neobsahuje žiadny prvok prázdna sada, označené Ø.

Definícia 1.3. Kopa A volal podmnožina súpravy B ak každý prvok množiny A patrí do sady B. Toto je označené A B(A- podmnožina B).

Prázdna množina sa považuje za podmnožinu akejkoľvek množiny. Ak súprava A nie je podmnožinou množiny B, potom píšu A B.

Definícia 1.4. Dve sady A A B volal rovný ak sú navzájom podmnožinami. určiť A = B. To znamená, že ak x A, To x B a naopak, t.j. ak a , tak .

Definícia 1.5.križovatka súpravy A A B s názvom set M, ktorého prvky sú súčasne prvkami oboch množín A A b. určiť M = A b. Tie. x A B, To x A A xB.

zapísať A B={x | x A A x B). (Namiesto spojenia a - znaky , & sú umiestnené).

Definícia 1.6. Ak A B=Ø, potom hovoríme, že množiny A A B sa nepretínajú.

Podobne je možné definovať priesečník 3, 4 a ľubovoľného konečného počtu množín.

Definícia 1.7.asociácie súpravy A A B s názvom set M, ktorého prvky patria aspoň do jednej z daných množín M=A b. To. A B={x | x A alebo x B). (Namiesto spojenia alebo - je umiestnený znak).

Sada A 1 A2 … An. Skladá sa z prvkov, z ktorých každý patrí aspoň do jednej zo sád A 1,A2,…,A n(alebo možno niekoľko naraz) .

Príklad 1.8. 1) ak A=(1;2;3;4;5) a B=(1;3;5;7;9), potom A B=(1;3;5) a A B={1;2;3;4;5;7;9}.

2) ak A=(2;4) a B=(3;7), potom A B=Ø a A B={2;3;4;7}.

3) ak A=(letné mesiace) a B=(mesiace s 30 dňami), potom A B=(jún) a A B=(apríl; jún; júl; august; september; november).

Definícia 1.9.prirodzené volajú sa čísla 1,2,3,4, ..., používajú sa na počítanie predmetov.

Množinu prirodzených čísel označíme N, N=(1;2;3;4;…;n;…). Je nekonečný, má najmenší prvok 1 a žiadny najväčší prvok.

Príklad 1.10. A je množina prirodzených deliteľov čísla 40. Vymenuj prvky tejto množiny. Je pravda, že 5 A, 10 A, -8 A, 4 A, 0 A, 0 A.

A= (1,2,4,5,8,10,20,40). (V, V, N, N, N, V)

Príklad 1.11. Uveďte prvky množín dané charakteristickými vlastnosťami.